Continuación Vamos a volúmenes

Continuación Vamos a volúmenes
Problema.-Vamos a aproximar el volúmen de la superfı́cie f (x, y) = xy en un rectángulo [0, 6] ×
[0, 4]
Para estimar el volumen de la superfı́cie f (x, y) = xy dividimos el rectángulo [0, 6] × [0, 4] como
se muestra en la figura
Tenemos por tanto que
V ≈
2
3 X
X
f (xi , yj )4A = f (2, 2)4A+f (2, 4)4A+f (4, 2)4A+f (4, 4)4A+f (6, 2)4A+f (6, 4)4A
i=1 j=1
= 4 × 4 + 8 × 4 + 8 × 4 + 16 × 4 + 12 × 4 + 24 × 4 = 16 + 32 + 32 + 64 + 48 + 96 = 288
1
Más generalmente, dada una función de dos variables que está definida sobre el rectángulo
cerrado R = [a, b] × [c, f ] = {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} suponiendo que f (x, y) ≥ 0.
La gráfica de f es una superfı́cie con ecuación z = f (x, y). Sea S el sólido que esta encima de R
y debajo de la gráfica de f, es decir
S = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ z ≤ f (x, y), (x, y) ∈ R}
El objetivo es encontrar el volúmen de S, para ello
-Dividimos el rectángulo R en subrectángulos
Para el intervalo [a,b] tenemos m subintervalos [xi−1 , xi ] con una longitud de ∆x =
b−a
m
Para el intervalo [c,d] tenemos n subintervalos [yj−1 , yj ] con una longitud de ∆y d−c
n
Al trazar rectas paralelas a los ejes coordenados a través de los puntos extremos de las particiones formamos los subrectángulos
Rij = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] = {(x, y) ∈ R2 | xi−1 ≤ x ≤ xi }
cada uno con un área igual a ∆A = ∆x ∆y . Si elegimos un punto muestra (x∗i , yj∗ ) en cada Rij ,
entonces podemos aproximar la parte de S que esta encima de cada Rij mediante una caja
rectángular delgada con base Rij y altura f (x∗i , yj∗ )
El volúmen de la caja es el producto del área de su base por su altura, por lo tanto una
aproximación al volúmen de S es:
V ≈
m X
n
X
f (x∗i , yj∗ )∆A
i=1 j=1
2
Ejemplo.-Estimar el volúmen de la superfı́cie delimitada por el rectángulo [0, π] × [0, π] y la
superfı́cie f (x, y) = sen(x + y)
Vamos a subdividir el rectángulo [0, π] × [0, π] como se muestra en la figura
3
Tenemos por tanto que
2 X
2
X
π
π
π π
f (xi , yj )4A = f (0, 0)4A + f (0, )4A + f ( , 0)4A + f ( , )4A
2
2
2 2
i=1 j=1
2
2
2
2
π
π
π
π
π2
=0×
+1×
+1×
+0×
=
≈ 4,935
2
2
2
2
2
Intuitivamente se tendrı́a que para una funcion f (x, y) definida en un rectángulo [a, b] × [c, d]
V ≈
V = lı́m
m X
n
X
m,n→∞
f (x∗i , yj∗ )∆A
i=1 j=1
Definición.- La integral doble de f sobre el rectángulo R es:
Z Z
m X
n
X
f (x, y)dA = lı́m
f (x∗i , yj∗ )∆A
m,n→∞
R
i=1 j=1
Con las ideas hasta ahora trabajadas podemos intentar el siguiente problema.
Problema.-Si f es una función constante f (x, y) = k y R = [a, b] × [c, d] demuestre que
RR
kdA = k(b − a)(d − c)
R
Tenemos que
m X
n
X
Z Z
kdA = lı́m
R
m,n→∞
k
kdA = k
i=1 j=1
m
X
i=1
∆x
n
X
m X
n
X
dA = k
i=1 j=1
m X
n
X
∆x ∆y =
i=1 j=1
∆y = k(b − a)(d − c)
j=1
Si consideramos ahora Mij = sup{f (xi , yj )} y mij = ínf {f (xi , yj )} con (xi , yj ) ∈ Rij podemos
deducir que
m X
n
X
mij ∆Rij ≤ V (S) ≤
i=1 j=1
m X
n
X
Mij ∆Rij
i=1 j=1
Definición.- Sean f una función (de valores reales) definida y acotada sobre un rectángulo R
contenido en Rn y P una partición de R. Si R1 , R2 , ..., Rk son los subrectángulos de R inducidos
por la partición P, definimos la suma inferior de f correspondiente a la partición P denotada
por S(f, p) como
S(f, p) =
m X
n
X
i=1 j=1
4
mij ∆Rij
Analogamente definimos la suma superior de f correspondiente a la partición P denotada por
S(f, p) como
S(f, p) =
m X
n
X
Mij ∆Rij
i=1 j=1
Estas sumas tienen una serie de propiedades
Proposición 1. Si P es cualquier partición de R, entonces
S(f, p) ≤ S(f, p)
Demostración. Como mij = ínf {f (xi , yj )} y Mij = sup{f (xi , yj )} se tiene que
mij ≤ Mij ⇒ mij ∆Rij ≤ Mij ∆Rij ⇒
m X
n
X
mij ∆Rij ≤
i=1 j=1
m X
n
X
Mij ∆Rij ⇒ S(f, p) ≤ S(f, p)
i=1 j=1
Proposición 2. Si P, Q ∈ PR . Si Q refina a P entonces
S(f, P ) ≤ S(f, Q) y
S(f, Q) ≤ S(f, P )
Demostración. Sean R1 , ..., Rk los subrectángulos inducidos por P y R1i , ..., Rki los subrectángulos inducidos por Q. Dado que cada Rji está contenido en Ri , tenemos que {f (x) | x ∈
Rji } ⊂ {f (x) | x ∈ Ri } y por lo tanto inf {f (x) | x ∈ Ri } ≤ inf {f (x) | x ∈ Rij } y
sup{f (x) | x ∈ Rji } ≤ sup{f (x) | x ∈ Ri } ∴
inf {f (x) | x ∈ Ri } × ∆Rij ≤ inf {f (x) | x ∈ Rij } × ∆Rij
sup{f (x) | x ∈ Rji } × ∆Rij ≤ sup{f (x) | x ∈ Ri } × ∆Rij
Si ahora sumamos ambas desigualdades corriendo los ı́ndices i,j se tiene que
m X
n
X
inf {f (x) | x ∈ Ri } ≤
i=1 j=1
m X
n
X
m X
n
X
inf {f (x) | x ∈ Rij }
i=1 j=1
sup{f (x) | x ∈
Rji }
≤
i=1 j=1
m X
n
X
i=1 j=1
5
sup{f (x) | x ∈ Ri }
Recordando la definición de suma inferior y suma superior se tiene que
S(f, P ) ≤ S(f, Q) y
S(f, Q) ≤ S(f, P )
Proposición 3. Si P y Q son cualesquiera dos particiones del rectángulo R entonces se cumple
S(f, P ) ≤ S(f, Q)
Demostración. Consideremos la partición P
S
Q. Esta partición refina tanto a P como a Q de
tal forma que, por la proposición 2 se tiene
S(f, P ) ≤ S(f, P
[
Q)
y también
S(f, P
[
Q) ≤ S(f, Q)
Como
S(f, P
[
Q) ≤ S(f, P
[
Q)
por la proposición 1, se tiene que
S(f, P ) ≤ S(f, Q)
Definición.-Al supremo del conjunto S(f ) lo llamamos integral inferior de f sobre R y se
R
puede denotar
(f ). Y al ı́nfimo del conjunto S(f ) lo llamamos integral superior de f sobre R
R
R
y podemos denotar R (f )
DefiniciónSea f : R ⊂ Rn → R acotada sobre el rectángulo R. Decimos que f es integrable
según Riemann sobre R si se tiene que la integral inferior y la integral superior de f sobre R
son iguales. Es decir
Z
Z
(f )
(f ) =
R
R
En este caso, a este número lo llamaremos la integral de f y lo denotarremos por
6
RR
R
f