Análisis de la racionalidad en el uso de preferencias lingüísticas: un

Análisis de la racionalidad en el uso de preferencias
lingüísticas: un estudio empírico
Luis Carlos Meneses Poncio
Departamento de Economía Aplicada (Matemáticas)
Universidad de Valladolid
Avenida del Valle Esgueva 6. 47011 Valladolid
Tfno.: 983 186 566;
Fax: 983 423 299
[email protected]
Resumen
El objetivo del presente trabajo es analizar la racionalidad de los individuos al
enfrentarse a un problema de decisión en el que deben manifestar sus preferencias
mediante etiquetas lingüísticas. Este análisis se realiza bajo una doble perspectiva: por
un lado se estudia la influencia del número de alternativas y del número de atributos de
cada alternativa; por otro lado, se comparan diferentes maneras de tratar la información.
Para ello, se ha realizado un experimento en el que se cuestiona a 200 estudiantes sobre
su futuro viaje fin de carrera, primero teniendo en cuenta únicamente los destinos y
luego considerando también los precios. En el mismo, se comparan todos los posibles
pares de alternativas y se muestran las preferencias a través de etiquetas lingüísticas. Al
tratar la información, se representan las etiquetas lingüísticas por números
comprendidos entre 0 y 1, de acuerdo con diferentes escalas. En el trabajo se estudia la
racionalidad por medio de cuatro clases de transitividad difusa y se analiza el grado de
cumplimiento de cada una de ellas en las distintas representaciones.
Palabras clave: preferencias; etiquetas lingüísticas; racionalidad; transitividad difusa;
análisis experimental
1. Introducción
Al estudiar el comportamiento racional de los agentes, muchos modelos de la teoría de
la decisión se basan en relaciones binarias ordinarias, en donde sólo se presentan dos
modalidades de preferencia (se prefiere, no se prefiere). Sin embargo, si se tiene en
cuenta la vaguedad, la incertidumbre o la intensidad con la que se manifiestan las
preferencias humanas resulta más apropiado un enfoque basado en relaciones binarias
difusas ya que éstas permiten graduar las preferencias.
Así, cuando un individuo manifiesta sus preferencias sobre un conjunto finito de
alternativas por medio de una relación binaria difusa, indica la intensidad o el grado de
preferencia de una alternativa sobre otra por medio de un número del intervalo [0, 1].
Sin embargo, existen multitud de situaciones en las que los individuos no son capaces
de expresar sus preferencias por medio de un valor numérico, ya sea por la vaguedad o
la incertidumbre de las mismas, ya sea por estar analizando aspectos difícilmente
cuantificables. En este caso sería más conveniente realizar una valoración cualitativa de
las alternativas, mediante términos lingüísticos o etiquetas, y expresada por medio de
relaciones lingüísticas de preferencia. De esta forma, a los individuos se les presenta un
conjunto de términos lingüísticos para que declarar sus preferencias.
En esta modelización la transitividad es la principal hipótesis de coherencia. En un
entorno difuso existe una amplia gama de condiciones de transitividad que generalizan
la propiedad clásica (ver Zadeh (1971), Bezdek et al. (1978), Dubois et al. (1980), Basu
(1984), Tanino (1984), Dutta et al. (1986), Ovchinnikov (1986), Barrett et al. (1990),
Jain (1990), Dasgupta et al. (1996) y Switalski (2001), entre otros).
El objetivo principal de este trabajo es analizar el nivel de coherencia que alcanzan los
individuos cuando manifiestan sus preferencias por medio de relaciones lingüísticas de
preferencia recíprocas. Para ello realizamos un estudio empírico con 200 estudiantes en
un problema real de decisión: la elección del destino de su viaje de fin de carrera. En
este contexto, analizamos 4 propiedades de transitividad difusa con el propósito de
conocer cuáles de ellas son más apropiadas y realistas de acuerdo con diferentes
aspectos, como el número de alternativas comparadas o el número de atributos
inherentes a cada alternativa (en nuestro caso, países y dinero). Además estudiamos la
influencia de la escala numérica utilizada a la hora de representar las etiquetas
lingüísticas.
El trabajo se organiza como sigue. En la sección 2 exponemos los conceptos
relacionados con las preferencias lingüísticas y con las propiedades de transitividad
difusa analizadas. En la sección 3 se explican las características del experimento. En la
sección 4 se presentan y analizan los resultados del estudio empírico.
2. Preferencias lingüísticas y transitividad difusa
Consideramos un individuo que muestra sus preferencias sobre un conjunto finito de
alternativas X = {x1 , x 2 ,..., x n }, con n ≥ 3 , mediante una relación lingüística de
preferencia PL. Una relación lingüística de preferencia es una relación binaria difusa
valorada sobre un conjunto de términos lingüísticos o etiquetas S de forma que
µ P L : X × X → S . La etiqueta µ P L ( xi , x j ) = rij ∈ S ha sido interpretada de dos maneras
en la literatura (ver García-Lapresta et al. (2000) para referencias). Para unos autores
representa el grado de certeza con la que un agente prefiere, estricta o débilmente, xi a
xj. Para otros representa la intensidad con la que el agente prefiere xi a xj. Nuestro
trabajo se basa en este segundo punto de vista por lo que representará la intensidad de
preferencia lingüística de la alternativa xi sobre la alternativa xj.
Como se considera en Herrera et al. (1996) y García-Lapresta et al. (2001a) asumimos
que el conjunto de etiquetas S = {s 0 , s1 ,..., sT } es finito, tiene cardinal impar, y que está
totalmente ordenado, de forma que s i > s j si i > j . La etiqueta central, sT/2, representa
la indiferencia y el resto de etiquetas se distribuye simétricamente alrededor de ella.
Además se considera el operador Neg que asigna a cada etiqueta su simétrica:
Neg(si) = sj tal que j = T – i.
El conjunto de términos lingüísticos que se considere depende del dominio del
problema. Por ejemplo, en el contexto en el que nosotros trabajamos, consideraremos el
siguiente conjunto de etiquetas a la hora de comparar los distintos pares de alternativas:
s8 :
s7 :
s6 :
s5 :
s4 :
s3 :
s2 :
s1 :
s0 :
si se prefiere totalmente la primera alternativa a la segunda.
si se prefiere mucho la primera alternativa a la segunda.
si se prefiere bastante la primera alternativa a la segunda.
si se prefiere poco la primera alternativa a la segunda.
si se es indiferente entre las dos alternativas.
si se prefiere poco la segunda alternativa a la primera.
si se prefiere bastante la segunda alternativa a la primera.
si se prefiere mucho la segunda alternativa a la primera.
si se prefiere totalmente la segunda alternativa a la primera.
Para poder tratar la información que proporcionan las etiquetas se asocia a cada una de
ellas un valor. Para definir este valor existen varias posibilidades (ver Herrera et al.
(2000) y García-Lapresta et al. (2001a)). Aquí destacamos las dos siguientes:
a) Representar cada etiqueta por un conjunto difuso definido en el intervalo [0, 1] y
descrito por funciones de pertenencia (triangulares, trapeciales,…).
b) Asignar un valor del intervalo [0, 1] a cada etiqueta de acuerdo con la estructura
ordenada del conjunto de términos lingüísticos. Este valor se puede interpretar
como la intensidad de preferencia cuantitativa que representa la preferencia
lingüística (de carácter cualitativo).
Nosotros adoptaremos el segundo enfoque.
La distribución simétrica alrededor de la etiqueta central nos permite asumir que el par
(si, sT-i) es igualmente informativo. Así, es factible asumir que cuanto mayor sea la
intensidad rij con la que se prefiere xi a xj, menor será la intensidad rji con la que se
prefiere xj a xi. Este hecho queda recogido en el siguiente axioma de reciprocidad. Para
justificar el axioma de reciprocidad, ver Bezdek et al. (1978), Nurmi (1981) y
Nakamura (1986), entre otros.
Definición 1. Una relación de preferencia lingüística PL sobre X es recíproca si y sólo si
se verifica que si rij = sk, entonces rji = Neg(sk) para todo k ∈ {0, 1,…,T}.
A partir de una relación de preferencia lingüística recíproca es posible definir una
relación de preferencia ordinaria que nos muestra aquellas alternativas que son algo
preferidas por el agente.
Definición 2. Sea PL una relación de preferencia lingüística recíproca sobre X. La
relación de preferencia ordinaria asociada a PL se define por xi Px j ⇔ rij > sT / 2 , para
cualquier par de alternativas xi , x j ∈ X .
Así, dadas dos alternativas xi , x j ∈ X , sólo se verifica una de las siguientes
afirmaciones: xi P x j ( rij > sT /2 ), xi I x j ( rij = sT /2 ), x j P xi ( rij < sT /2 ).
Dado que la relación de preferencia lingüística es una relación binaria difusa, al analizar
la coherencia de los agentes estudiamos varias propiedades de transitividad difusa. Las
que se consideran en el experimento se introducen a continuación.
Definición 3. Sea ∗ una operación binaria sobre S ′ = {sT / 2 ,..., sT }, es decir, a ∗b ∈ S´
para todo a , b ∈ S ′ , con las siguientes propiedades:
•
Commutatividad: a ∗ b = b ∗ a para cualesquiera a, b ∈ S ′.
•
Monotonía:
a, a ′, b, b ′ ∈ S ′.
(a ≤ a' y b ≤ b' ) ⇒ a ∗ b ≤ a '∗b' ,
para
cualesquiera
Una relación de preferencia lingüística PL sobre X es transitiva max- ∗ débil si y sólo
si se verifica ( xi P x j y x j P x k ) ⇒ ( xi P x k y rik ≥ rij ∗ r jk ) , para cualesquiera
xi , x j , xl ∈ X .
Las propiedades transitividad max-* para relaciones binarias difusas se definieron
inicialmente para demandar rik ≥ rij ∗ r jk . La condición “débil” se considera, entre otros,
por Tanino (1984) y Dasgupta et al. (1996) cuando se requieren ciertas hipótesis
adicionales. En la Definición 3, al trabajar con preferencias lingüísticas, consideramos
intensidades de preferencia mayores que sT/2.
Definición 4. Dadas las siguientes operaciones binarias conmutativas y monótonas
sobre el conjunto S´:
•
s i ∗1 s j = sT / 2
•
s i ∗ 2 s j = max{s k , sT / 2 } con k = i + j − T
•
s i ∗3 s j = min{si , s j }
•
s i ∗ 4 s j = max{si , s j }
Decimos que la relación de preferencia lingüística recíproca PL sobre X verifica la
propiedad Ti si y sólo si PL es transitiva max- ∗ i débil.
Es fácil ver que a *1 b ≤ a *2 b ≤ a *3 b ≤ a *4 b , para cualesquiera a, b ∈ S´, es decir,
T4 ⇒ T3 ⇒ T2 ⇒ T1 . Además, T1 es equivalente a que la relación de
preferencia ordinaria P sea transitiva.
3. El experimento
Las condiciones de comportamiento racional que se asumen en las teorías normativas
son usualmente violadas en los problemas reales de decisión. De hecho, varios estudios
empíricos muestran la aparición de inconsistencias en la práctica (ver May (1954) y
Switalski (2001), entre otros). Para examinar cómo se verifican las hipótesis de
coherencia relacionadas con las transitividades difusas T1 , K , T4 , consideradas en la
Definición 4, llevamos a cabo un experimento con 4 grupos de 50 estudiantes de cuarto
curso de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad de
Valladolid. Contestaron varias encuestas en las que manifestaban sus preferencias sobre
diferentes destinos de su futuro viaje de fin de carrera: China, Egipto, Praga-Budapest,
Italia, Cuba, Rusia y Estambul. Cada grupo tuvo que manifestar dos veces sus
preferencias sobre los distintos destinos comparando todas las alternativas por pares:
primero considerando únicamente sus propios gustos sobre cada destino, sin considerar
ningún otro factor, y posteriormente teniendo en cuenta, además de sus gustos sobre
cada destino, el precio real (en euros) que tenían que pagar. Esos precios tuvieron una
reducción de 150 euros, que es lo que habitualmente obtienen de beneficio por fiestas o
por la venta de loterías y otros productos. Al primer grupo se le planteó un conjunto de
4 destinos, al segundo de 5, al tercero de 6 y al cuarto de 7. De esta forma se
consideraron 8 conjuntos diferentes de alternativas para analizar la influencia de dos
variables, el número de alternativas y el precio de cada viaje, sobre el nivel de
cumplimiento de cada transitividad difusa investigada, T1 , K , T4 .
Los estudiantes del primer grupo mostraron sus preferencias sobre dos conjuntos de 4
alternativas:
X 4 = {China, Egipto, Praga-Budapest, Italia}
X 4* = {(China, 630), (Egipto, 450), (Praga-Budapest, 270), (Italia, 150)}.
Los estudiantes del segundo grupo mostraron sus preferencias sobre dos conjuntos de 5
alternativas:
X 5 = {China, Egipto, Praga-Budapest, Italia, Cuba}
X 5* = {(China, 630), (Egipto, 450), (Praga-Budapest, 270), (Italia, 150), (Cuba,
540)}.
Los estudiantes del tercer grupo mostraron sus preferencias sobre dos conjuntos de 6
alternativas:
X 6 = {China, Egipto, Praga-Budapest, Italia, Cuba, Rusia}
X 6* = {(China, 630), (Egipto, 450), (Praga-Budapest, 270), (Italia, 150), (Cuba,
540), (Rusia, 330)}.
Los estudiantes del cuarto grupo mostraron sus preferencias sobre dos conjuntos de 7
alternativas:
X 7 = {China, Egipto, Praga-Budapest, Italia, Cuba, Rusia, Estambul}
X 7* = {(China, 630), (Egipto, 450), (Praga-Budapest, 270), (Italia, 150), (Cuba,
540), (Rusia, 330), (Estambul, 210)}.
Los estudiantes tuvieron que comparar cada par de alternativas a través de cuatro
modalidades de preferencia de la alternativa preferida sobre la otra, representadas por
las siguientes etiquetas de una manera descendente: “totalmente”, “mucho”, “bastante”
y “poco”; en ausencia de preferencia entre las alternativas debían declarar “indiferente”.
Los cuestionarios que debían responder fueron como el del siguiente ejemplo, donde
tenían que marcar una de las 9 modalidades de preferencia o indiferencia.
630 euros - China
150 euros - Italia (bus)
Totalmente Mucho Bastante Poco Indiferente Poco Bastante Mucho Totalmente
Basándonos en la estructura ordenada del conjunto de etiquetas lingüísticas, asignamos
a cada una de las 9 etiquetas un número entre 0 y 1. Con el fin de analizar la influencia
del número fijado a cada etiqueta en el cumplimiento de las distintas propiedades de
transitividad difusa, realizamos diferentes asignaciones de acuerdo con las escalas
mostradas en la Tabla 1.
Etiqueta
Escala 1
s8: totalmente rij = 1 (rji = 0)
Escala 2
rij = 1 (rji = 0)
Escala 3
rij = 1 (rji = 0)
s7: mucho
rij = 0,875 (rji = 0,125) rij = 0,950 (rji = 0,050) rij = 0,920 (rji = 0,080)
s6: bastante
rij = 0,750 (rji = 0,250) rij = 0,850 (rji = 0,150) rij = 0,820 (rji = 0,180)
s5: poco
rij = 0,625 (rji = 0, 375) rij = 0,700 (rji = 0, 300) rij = 0,630 (rji = 0, 370)
s4: indiferente rij = 0,500 (rji = 0,500) rij = 0,500 (rji = 0,500) rij = 0,500 (rji = 0,500)
s3: poco
rij = 0,375 (rji = 0,625) rij = 0,700 (rji = 0,300) rij = 0,370 (rji = 0,630)
s2: bastante
rij = 0,250 (rji = 0,750) rij = 0,850 (rji = 0,150) rij = 0,180 (rji = 0,820)
s1: mucho
rij = 0,125 (rji = 0,875) rij = 0,950 (rji = 0,050) rij = 0,080 (rji = 0,920)
s0: totalmente rij = 0 (rji = 1)
rij = 0 (rji = 1)
rij = 0 (rji = 1)
Tabla 1. Representación numérica de las etiquetas
La escala 1 considera que la distancia entre dos etiquetas consecutivas cualesquiera es la
misma. La ventaja de esta escala está en su simplicidad, pero tiene el inconveniente
principal de que no todos los individuos perciben que la diferencia que sienten entre las
distintas etiquetas sea la misma. La escala 2 intenta solucionar en parte el anterior
problema, al considerar que la distancia es menor a medida que nos aproximamos a los
extremos. Esto es equivalente a suponer que los agentes tienen una mayor capacidad de
discernimiento a medida que aumente la intensidad en sus preferencias. La escala 3
también intenta solucionar el inconveniente de la escala 1 y se ha construido basándose
en las manifestaciones de varios individuos sobre la diferencia que sentían entre las
distintas etiquetas.
Posteriormente realizamos un programa informático para analizar los resultados
mediante los cálculos pertinentes. Hay que tener presente que el número total de pares
que se compararon en las encuestas fue de 5200. Una vez introducidos todos estos
datos, comparamos las 6900 ternas posibles de alternativas para estudiar el grado de
cumplimiento de las distintas propiedades de transitividad difusa.
4. Los resultados
Al analizar el grado de cumplimiento de las distintas transitividades difusas T1 , K , T4
en cada uno de los 8 conjuntos de alternativas X 4 , K , X 7 y X 4* , K , X 7* , examinamos los
siguientes aspectos:
•
La influencia del número de alternativas: estudiamos tanto el porcentaje
de estudiantes como el porcentaje de ternas de alternativas que verifican
las distintas propiedades.
•
La influencia del número de atributos asociado a cada alternativa:
comparamos los resultados obtenidos en los conjuntos X 4 , K , X 7 con los
obtenidos en los conjuntos X 4* , K , X 7* .
•
La influencia de la escala utilizada: comparamos los resultados
obtenidos en las tres escalas consideradas.
En García-Lapresta et al. (2001b) se realiza un análisis de los dos primeros aspectos
considerando la escala 1, por lo que los comentaremos brevemente y nos centraremos en
el tercero.
4.1. Análisis de la influencia del número de alternativas
En las Tablas 2 y 3 se muestran los resultados obtenidos al analizar el porcentaje de
cumplimiento de las distintas propiedades de transitividad difusa T1 , K , T4 en cada uno
de los 8 conjuntos de alternativas X 4 , K , X 7 y X 4* , K , X 7* . Así, con cualquiera de las
escalas observamos que, a media que aumenta el número de alternativas, se produce un
decrecimiento en el cumplimiento de las distintas propiedades, tanto en X i como X i* :
para cada T j , cuando i aumenta, el porcentaje de cumplimiento de T j disminuye.
T1
Escala
1
2
T2
3
1
2
T3
3
1
2
T4
3
1
2
3
X4
92% 92% 92% 92% 88% 88% 88% 88% 86% 66% 66% 60%
X5
80% 80% 80% 74% 62% 62% 62% 62% 60% 28% 28% 26%
X6
62% 62% 62% 60% 54% 52% 52% 52% 48% 24% 24% 22%
X7
50% 50% 50% 44% 36% 36% 36% 36% 36% 18% 18% 10%
Tabla 2. Porcentajes de cumplimiento absolutos de Ti en los conjuntos Xi
T2
T1
Escala
1
2
3
1
2
T3
3
1
2
T4
3
1
2
3
X 4*
90% 90% 90% 88% 84% 80% 80% 80% 80% 58% 58% 54%
X 5*
78% 78% 78% 68% 56% 54% 54% 54% 52% 28% 28% 28%
X 6*
76% 76% 76% 66% 44% 46% 48% 48% 46% 16% 16% 16%
X 7*
42% 42% 42% 38% 28% 30% 30% 30% 30%
8%
8%
8%
Tabla 3. Porcentajes de cumplimiento absolutos de Ti en los conjuntos Xi*
El cumplimiento de cada transitividad difusa por parte de un individuo requiere que no
se vulnere esa condición en ninguna terna de alternativas. Dado que hay 4, 10, 20 y 35
ternas diferentes en los conjuntos de 4, 5, 6 y 7 alternativas, respectivamente, es
deseable tener una medida relativa de cumplimiento de cada propiedad Ti, por lo que
estudiamos el porcentaje de ternas que verifica cada propiedad. En las tablas 4 y 5 se
muestran estos resultados.
Considerando cualquiera de las escalas, se puede observar cómo la disminución en los
porcentajes de cumplimiento es mucho menor que en la anterior situación. El grado de
cumplimiento es mayor en el conjunto de 4 alternativas que en los conjuntos de 5, 6 y 7
alternativas. En general, un mayor número de alternativas produce un decrecimiento en
la condiciones de coherencia aunque hay varias situaciones que contradicen esta
afirmación: por ejemplo, al analizar los grados de cumplimiento en los conjuntos X i*
respecto de la escala 1, se produce un mayor cumplimiento de T2 y T3 en el conjunto de
6 alternativas que en el de 5.
T1
Escala
1
2
T2
3
1
2
T3
3
1
2
T4
3
1
2
3
X4
98,0% 98,0% 98,0% 98,0% 97,0% 97,0% 97,0% 97,0% 96,5% 88,5% 88,5% 86,5%
X5
97,2% 97,2% 97,2% 96,0% 94,2% 94,2% 94,2% 94,2% 93,8% 84,8% 84,8% 82,8%
X6
96,3% 96,3% 96,3% 96,1% 94,9% 95,4% 95,4% 95,4% 95,0% 86,5% 86,5% 84,7%
X7
96,9% 96,9% 96,9% 96,5% 95,4% 95,4% 95,4% 95,4% 95,0% 87,1% 87,1% 84,3%
Tabla 4. Porcentajes de cumplimiento relativos de Ti en los conjuntos Xi
T2
T1
Escala
1
2
3
1
2
T3
3
1
2
T4
3
1
2
3
X 4*
97,5% 97,5% 97,5% 97,0% 95,0% 94,5% 94,5% 94,5% 94,5% 84,5% 84,5% 80,0%
X 5*
97,4% 97,4% 97,4% 95,6% 92,2% 92,2% 92,4% 92,4% 92,0% 81,8% 81,8% 80,6%
X 6*
97,4% 97,4% 97,4% 96,8% 95,0% 95,4% 95,6% 95,6% 95,3% 81,6% 81,6% 80,6%
X 7*
96,3% 96,3% 96,3% 94,9% 92,5% 93,3% 93,3% 93,3% 93,1% 81,0% 81,0% 79,3%
Tabla 5. Porcentajes de cumplimiento relativos de Ti en los conjuntos Xi*
4.2. Análisis de la influencia del número de atributos
Para conocer la influencia del atributo adicional de los precios de los viajes sobre el
nivel de coherencia obtenido, comparamos los resultados obtenidos en los conjuntos de
alternativas X i y X i* , para cada i ∈ {4, 5, 6, 7}. En la mayoría de las situaciones
podemos decir que al considerar los precios de los viajes se produce un menor
cumplimiento de las condiciones de coherencia que cuando no se consideran. Ahora
también hay excepciones: si consideramos la escala 1, respecto de los porcentajes de
cumplimiento absolutos, de los 16 casos posibles en 2 aumenta el nivel de coherencia y
respecto de los porcentajes de cumplimiento relativos, de los 16 casos en 4 aumenta.
4.3. Análisis de la influencia de la escala
Tanto si se consideran los niveles de coherencia absolutos como los relativos, al
comparar las distintas escalas vemos que la primera es la que proporciona en todos los
casos unos mayores niveles de coherencia. En T1, T3 y T4 las escalas 1 y 2 proporcionan
exactamente los mismos resultados, mientras que la escala 3 tiene unos porcentajes de
cumplimiento ligeramente inferiores. En T2 las escalas 2 y 3 proporcionan unos niveles
de coherencia similares y menores a los obtenidos con la escala 1. Es esta última
propiedad de transitividad difusa la que se muestra más sensible a los cambios de
escala, sobre todo en los conjuntos X 4* ,…, X 7* : la disminución en el porcentaje de
cumplimiento absoluto alcanza hasta un 22% (al comparar la escala 2 con la 1 en el
conjunto X 4* ), y en el relativo alcanza hasta un 3,4% (al comparar las escalas 2 o 3 con
la 1 en el conjunto X 5* ).
Hay que resaltar el hecho de que con todas las escalas, al aumentar el número de
alternativas en ciertos casos se producen aumentos en los niveles de cumplimiento
relativos. Lo mismo ocurre cuando se comparan los resultados obtenidos en los
conjuntos que consideran un único atributo con los que consideran dos.
Por tanto, a la vista de los resultados de este experimento, la escala elegida no influye de
una manera significativa en el nivel de coherencia de los agentes.
Agradecimientos
Este trabajo ha sido financiado parcialmente por los proyectos VA057/02 de la Junta de
Castilla y León y BEC2001-2253 del Ministerio de Ciencia y Tecnología.
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