estadosolido

Tema 4. Fonones. Vibraciones de la red.
P
2
Ecuación de movimiento: m ddtu2n = p Cp (un+p − un ), soluciones:
ModosPnormales: un (x, t) = u0 ei(kx−ωt) • Relación de dispersión:
1
ω 2 = p 2Cp m
[1 − cos kpa] • Interacción a primeros vecinos, p = 1 •
x = sa con s = 0, 1, ... • un+1 = un (x + q
a) •
d 2 us
1 •
m dt2 = C(us+1 + us−1 − 2us ) ⇒ ω = 4C
sin ka
m
2
p
a
ωmax = ω(k = ±π/a) = 4C1 /m • 1 Zona de Brillouin:
−π ≤ ka ≤ π • Condición de Bragg: kmax = ±k/a
de
q • Velocidad
C1 a2 ka dω
~
cos
•
grupo: vg =
(1D), vg = ∇~ ω(k) (3D). vg =
tema 1. Estructura Cristalina.
Posicion de un punto de la red: ~r= n1~a1 + n2~a2 + n3~a3 • Volumen
de la celda unidad: V = ~a · ~b × ~c • Distancia entre planos (SC,
BCC, FCC): dhkl = √ a
• Red Ortorrómbica:
h2 +k2 +l2
dhkl =
1
r
h2
a2
2
2
• Estructuras cristalinas simples. i) NaCl
+ k2 + l 2
b
c
(FCC). Cl: 000, 12 12 0, 12 0 12 , 0 12 12 • Na: 12 12 12 , 00 12 , 0 12 0, 21 00 • ii) CsCl
(SC) Cs: 000 • Cl: 21 12 12 • iii) hcp: Factor de empaquetamiento:
c/a = (8/3)1/2 • iv) Estructura diamante (FCC). 000, 12 12 12 • v) ZnS
(2FCC). Zn: 000, 0 12 12 , 12 0 12 , 12 12 0 • S: 14 14 14 , 14 34 34 , 34 14 34 , 34 34 14 •
3
3
k
dk
m
2
Aproximación de onda larga: ka 1 ⇒ sin ka
' ka
. Ası́ pues,
2
2
C1 2 2
2
ω = m k a • Dos átomos por celda primitiva: Ecuaciones de
Volúmenes celdas primitivas: i) SC: V = a ii) BCC: V = a /2 iii)
FCC: V = a3 /4 • Coefiiente de dilatación lineal: L0 = L0 (1 + α∆T )
2
movimiento: m1 ddtu2s = C(vs + vs−1 − 2us ),
2
m2 ddtv2s = C(us+1 + us − 2vs ). Soluciones (modos normales):
us = u0 eiska e−iωt , vs =rv0 eiska e−iωt • Relación de dispersión:
2
m1 +m2
2
2
ω±
= C mm11+m
±C
− m14m2 sin2 ka
. ω+ → Rama
m2
m1 m2
2
tema 2. Difracción.
Ley de Bragg: 2d sin θ = nλ, intensidad máxima n = 1 • Red Real →
a, Red Recı́proca → 2π/a • Número de electrones en la red
P
~ · ~r) con
periódica: n(~r) = G nG exp(−iG
R
1
~
nG = Vc c dV n(~r) exp(−iG · ~r) • Vector de la red recı́proca:
G = h~b1 + k~b2 + l~b3 con ~b1 = 2π ~a2 ×~a3 , ~b2 = 2π ~a3 ×~a1 ,
~
a1 ·~
a2 ×~
a3
óptica, ω− → Rama acústica. • Aproximación de onda larga
2
2
2
(ka 1): ω+
' 2C mm11+m
. ω−
' 2(m1C+m2 ) k2 a2 • kmax = ± πa ⇒
m2
2
2
ω+
= 2C/m1 . ω−
= 2C/m2 • Fonones: E = (n + 1/2)~ω • p
~ = ~~k •
~k0 = ~k + ~kf onón + G
~ • Energı́a total de los
Scattering de P
un fonón:
P
fonones: U = k p hnk,p i ~ωk,p • Número medio de fonones:
P R
1
hni = e~ω/kB T −1 • U = p dωDp (ω) e~ω/k~ω
• CV = ∂U
•
∂T
B T −1
Densidad de
Un estado permitido por cada
estados: (1D)
dk
intervalo 2π • D(ω) = L
= dN
• (2D) 1 estado por área
π dω
dω
L
2π
2π
L2 dk
• D(ω) = 2π k dω • (3D) 1 estado por volumen
Lx Ly 2 dk
2π
2π
2π
V
• D(ω) = 2π
2 k dω • Modelo de Debye:
Lx
Ly
Lz
R ωD
V ω2
Dispersion lineal ω = vk ⇒ D(ω) = 2π
D(ω)dω ⇒
2 v3 • N = 0
~
a1 ·~
a2 ×~
a3
~b3 = 2π ~a1 ×~a2 • ~bi · ~aj = 2πδij • Amplitud de Scattering:
~
a ·~
a ×~
a
P 1R 2 3
~
~
~
~
F = G dV ng ei(G−∆k)~r • Condición
de difracción: ∆k = G, si
~
2
~
~
~
~
elástica ⇒ 2kG = G • dhkl = 2π/ G. Si ∆k = G ⇒
R
~
FG = NPc dV n(~r)e−iG·~r =P
N SG , con SG ≡ Factor de Esctructura •
s
n(~r) = j=1 nj (~r − ~rj ) = sj=1 nj (~
ρ) ⇒
P R
~ · ~r)=
SG = j dV nj (~r − ~rj ) exp(−iG
R
P
~ rj ) dvnj (~
~ ·ρ
ρ) exp(−iG
~) • Factor atómico de forma:
j exp(−iG · ~
R
P
~
~ · ~r) y también
fj = dV nj (~
ρ) exp(−iG · ρ
~) ⇒ SG = j fj exp(−iG
P
SG = j fj exp{−i(hn1 + kn2 + ln3 ) • Anillos de difracción:
dhkl = λ/2 ⇒ sin θmax = π/2, aparecen anillos para dhkl ≥ λ/2 •
Factor atómico
de forma, distribución
esférica de carga:
R∞
R∞
fj = 4π 0 drr2 nj (r) sinGrGr • 0 dxxn e−ax = Γ(n+1)
•
an+1
Γ(n + 1) = nΓ(n) = n! • BCC: SG,BCC = fBCC 1 + (−1)h+k+l •
h+k
k+l
h+l
FCC: SG,F CC = fF CC 1 + (−1)
+ (−1)
+ (−1)
•
∗
Intensidad de difracción: I = SG · SG
2 3
3
Freciencia de Debye (frecuencia máx.): RωD
= 6πV v N • kD = ωD /v •
Energı́a térmica (1 polarización): Up = dωD(ω)f (ω)Eω •
3 R
3
xD
U = Up × 3 ⇒ U = 9N kB T θTD
dx exx−1 con x = β~ω,
0
2
3 R
4 x
xD
e
θD = xD T = k~B v 6π
• CV = 9N kB θTD
dx (exx −1)
2 • Ley
V
0
T 3 de Debye: i) Altas temperaturas: kB T ~ω ⇒ x 1 •
U = 3N kB T , CV = 3N kB • ii) Bajas temperaturas:
12π 4 N kB 3
π4
T •
kB T ~ω ⇒ x 1 • U = 9N kB T 4 15θ
3 • CV =
5
θ3
D
D
Modelo de Einstein: U = 3N e~ω/k~ω
•
B T −1
3N kB (~ω/kB T )2 ~ω/kB T
e
(e~ω/kB T −1)2
• i) Altas temperaturas: CV ' 3N kB •
3
− ~ω
E
ii) Bajas temp.: CV ' 3N kB k~ω
e kB T • θE = ~ω
•
kB
BT
CV =
tema 3. Enlace Cristalino.
UT = Uatrac + Urepuls • Potenciales repulsivos: i) Potencial de
Lenard-Jones: UR = B/R12 • ii) Potencial de Born-Mayer:
0
UR = λ exp(−R/ρ) • Cristales inertes (Van der Waals):
Potencial de interacción de una pareja de átomos:
12
6
Uij = B/Rij
− A/Rij
= 4 (σ/Rij )12 − (σ/Rij )6 , con
σ = (B/A)1/6 ≡ parámetro de distancia; = A2 /4B ≡ parámetro de
energı́a • Energı́a
total:
hP
i
P
12
UT = 2N (σ/R
− j6=i (σ/Rij )6 → Rij = ρij R. R ≡
ij )
j6=i
distancia entre vecinos más próximos • UT (R) = 2N A12 (σ/R)12 − A6 (σ/R)6 ≡ Energı́a total de
interacción o Energı́a de Cohesión. • FCC: A12 = 12.13188,
A6 = 14.45392. HCP: A12 = 12.13229, A6 = 14.4589 • Parámetro de
k
1/6
T (R)
red: dUdR
= 0 ⇒ R0 = 2 AA12
σ • Cristales iónicos:
6
R=R0
P
±Q2
Interacción electrostática: Uelec = j6=i 4π0 Rij (SI),
P
2
(CGS) • Energı́a total:
Uelec = j6=i ±Q
Rij
h
i
P
Q2 P
−R/ρ
±1
UT otal (R) = N − 4π
con α = i6=j P±1
≡
j6=i Pij + zλe
0R
ij
P
α
1
Constante de Madelung, tb R = j rij ⇒
3g
2
3
4
Expansión térmica: hxi = 4c
2 kB T , con U (x) = cx − gx − f x •
1
Conductividad térmica: K = 3 Cvl con C = CV /V , v = velocidad
media, y l = recorrido libre medio.
Tema 5. Gas de electrones libres de Fermi.
~2
nπ 2
Niveles de energı́a (1D): ψn = A sin 2πn
• n = 2m
•
L
L
2
2
~
Nπ
Energı́a de Fermi: F = 2m 2L , con 2nF = N • Distribución de
1
Fermi-Dirac: f (E) = e(−µ)/k
. A T = 0K ⇒ µ = F • Gas
B T −1
~
de Electrones libres (3D): ψk (~r) = eik~r , con
2 1/3
2 2
k
kx = 0, ±2π/L, ±4π/L... • k = ~2m
•p
~ = ~~k • kF = 3πV N
•
2
~
Energı́a de Fermi: F = 2m
kF •Velocidad de Fermi:
2 1/3
~
3π N
V
2m 3/2
vF = m
• Densidad de estados: N () = 3π2
•
V
~2
dN
V
2m 3/2 1/2
3N
D() = d = 2π2 ~2
= 2 • Capacidad calorı́fica de un gas
R∞
d
d
de electrones: Ce− = dT
hU i = dT
dD()f () ⇒
0
3N 2
Ce− ' 13 π 2 2
k
T
⇒
Capacidad
calorı́fica
experimental:
B
F
C = γT (e− libres)+αT 3 (Debye) • Ley de Ohm:
~ = m d~v = ~ dk = −e(E
~ + ~v ∧ B)
~ • Desplazamiento de la esfera de
F
dt
dt
~
−e
E
~ •
Fermi: δ~k =
t • Densidad de corriente: ~j = nq~v = σ E
2
Q α
+ zN λe−R/ρ • Energı́a de Cohesión:
UT OT (R) = − N
4π0 R
2
NQ α
U (R0 ) = − 4π
[1 − ρ/R0 ] • N a + P I → N a+ + e− •
0 R0
−
−
e + Cl → Cl +hAE • N a +
i Cl → N aCl + Ecohesión • Cristal iónico
2
lineal: UT ot = N RAN − αq
• Cristales covalentes:
R
Singlete-Enlazante. Triplete-Antienlazante. • Cristales Metálicos.
~
2
Conductividad eléctrica: σ = nem τ , con τ ≡ tiempo medio entre
choques. • Resistividad eléctrica: ρ = 1/σ • Recorrido libre medio:
l = vF τ • Resisitividad experimental: ρ = ρf onón + ρdef ectos •
1
2
Movimiento
en un CEM: Ecuación
de movimiento:
d
~ tb: m d + 1 ~v = −e(E
~ + ~v ∧ B).
~ Soluciones:
~ dt
+ τ1 δ~k = F
dt
τ
eτ
eτ
−eτ
vx = − m E x − ω c τ vy , vy = − m E y − ω c τ vx , vz = m E z •
eB
• Efecto Hall: Campo Hall:
Frecuencia de ciclotrón: ωc = mc
E
eBτ
1
•
Ey = −ωc τ Ex = − m Ex • Coeficiente Hall: RH = jxyB = − ne
B
Resistencia Hall: ρH = − ne
=
metales: K =
L=
k
σT
π 2 nkB T τ
3m
Ey
jx
• Conductividad térmica en
2
2
• Número de Lorenz: σk = π3 keB T ,
2
= 2.44 × 10−8 K 2J·C 2
Tema 6. Bandas de energı́a.
Potencial periódico. Modelo de e− cuasilibres. Gap en
• Ondas en 1a zona de Brillouin: ψ+ = 2 cos πx
,
k = ±π/a = ± 1G
2
a
πx
ψ− = 2i sin a • Magnitud del gap de Energı́a: U (x) = U cos 2πx
•
a
R1
Eg = 0 dxU (x) |ψ+ |2 − |ψ− |2 = U • Funciones de Bloch.
~
ψ~k (~r) = u~k (~r)eik~r con u~k (~r) = u~k (~r + T~ ) • Modelo de
Kronig-Penney. Potencial periódico (PP): función escalón.
Condiciones de contorno periódicas. Aprox: funciones δ • Ecuación
−
de
Schrödinger:
h 2 ondas del
i e en un PP. Ec. deP
p
iGx
+
U
(x)
ψ(x)
=
ψ(x)
•
U
(x)
=
•
G UG e
2m
P
ikx
2πn
ψ(x) = k C(k)e
con k = L , L longitud del cristal. • Ecuación
de ondas (Fourier)
(Ecuación
central):
P
(λk − )C(k) + G UG C(k − G) = 0 con λk = ~2 k2 /2m •
P
P
ψk (x) = G C(k − G)ei(k−g)x • uk (x) ≡ G C(k − G)e−iGx
Invariante bajo traslaciones de cristal T • ~k ≡ Momento cristalino del
~ • Energı́a del e− libre:
e− : ~k + ~
q = ~k0 + G
~ 2 • Solución aprox. en la frontera:
(kx , ky , kz ) = (~2 /2m)(~k + G)
2
~
k = ± 12 G ⇒ = λ ± U = 2m
( 12 G)2 ± U ⇒
1
1/2
1
= 2 (λk−G + λk ) ± 4 (λk−G − λk )2 + U 2
• No de orbitales en
o
una banda. 2N con N = n de celdas primitivas de parámetro a.
Tema 7. Cristales semiconductores.
Gap. Transiciones directas: Eg = ~ωg • Transiciones indirectas:
Eg = ~ω − ~Ω • Ecuaciones de movimiento. Velodidad de grupo:
d
vg = dω
= ~1 dk
• ~v = ~1 ∇~k (~k) • Fuerza externa aplicada sobre el e− :
dk
~
~ = ~ dk • Campo magnético: ~ d~k = −e~v × B
~ • huecos: ~kh = −K
~e •
F
dt
dt
~
kh
~ + ~vh × B)
~ •
h (~kh ) = −e (~ke ) • ~vh = ~ve • mh = −me • ~ ddt
= e(E
2
2
d ~
k
1
1
1
1 d ~
Masa efectiva: m∗ = ~2 dk2 • m∗ µν = ~2 dkµ dkν • Frecuencia de
ciclotrón: ωc =
eB
m∗