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De esta
forma se
han definido
reales que asocian
radianes), una, el
tanto
dominio
estas
dos funciones
de reales
en
a cada número real x (medida del ángulo en
número Cosx
y otra
funciones g(x)=Senx
y
el número
Senx; por
f(x)=Cosx tendrán
como
todo R y como recorrido el intervalo [ - 1 , 1 ] .
Asi por ejemplo de la figura 3.58 se puede
concluir:
Y
Grados
Radianes
0o
90°
180°
270°
360°
Senx
0
TI/2
it
3k/2
2k
Cosx
0
1
1
0
-
-1
0
0
1
0
1
Existe otra forma de definir el seno y el coseno de un ángulo
x, que consiste
en considerar
cualquier
triángulo
rectángulo
con uno de sus ángulos agudos x y llamar
Senx-
Cat0to
opuesto a x
hipotenusa
definición que coincide con
cozxy
cateto
adyacente a x
hipotenusa
la que se dió inicialmente,
323
'
pues
de
la
figura
3.59,
concéntricas en el
considerando
origen y radios 1
las
circunferencias
y r (reí,
triángulo con ángulo agudo x; por semejanza
tiene:
dado) y
el
de triángulos se
v
• X
Fig 3.59
Siendo :
CA^Cateto adyacente a x en el triángulo OAB
CO=Cateto
opuesto.
I r CP
l " Cfca*
Qopx"
CO
" Catet-°
opuesto
r
hipotenusa
jTx
—r m — CA
1
„
CA = cateto
• S«B*=
—;
Senx
,
v
r
—adyacente
hipotenusa
Ejemplo
Las
funciones trigonométricas
calcular
figuras
por medio
de
de
45°, 30°,
los triángulos
3.60
324
60° se
pueden
representado en
las
1
Sen4?
Cos45°
sen60°-&
fó
2
Sen30°-±
2
COB60COB3(f--&
2
Con el fin de representar gráficamente estas funciones
Cosx
se
considerarán
caracterizarán
primero
algunas
propiedades
sus gráficas.
Inicialmente, de la figura 3.61 se puede concluir que:
Y
325
Senx,
que
Sen(-x)=-b=-Sen(x) .
Este
tipo
de simetrias
funciones Senx
reciben
no solamente
y Cosx,
sino para
se
cumplen
para
muchas otras funciones
las
y
el nombre de:
Función par. Si f(-x)=f(x) Vx€Df.
Función Impar. Si f(-x)=-f(x) V x e D r .
La característica principal de las funciones pares es
el punto
(x,y) pertenece
el punto
( - x , y ) también debe
es simétrica
impares, si
función,
respecto al
un punto
el punto
pertenecer;
eje y.
(x,y)
es decir;
En caso
pertenece
a
de las
la gráfica de la
entonces
la
curva
funciones
la gráfica
( - x , - y ) también pertenece,
expresar diciendo que
respecto al
a la gráfica de la función,
que si
de
lo que se puede
función es
simétrica
origen.
Ejemplo 1
f ( x ) = x 2 ; g(x)=|x|;
h(x)=x son funciones pares, ya que:
f(-x)=(-x)2=x2=f(x)
g(-x)=|-x|=|x|=g(x)
h(-x)=c=h(x)
observe en la figura 3.62 su simetría respecto al eje y.
326
la
iL
g(x) - |x
h(x) - c
c
Fig
3.62
i
Ejemplo 2
f(x)=x; g ( x ) = x 3
son funciones
impares
pues f(-x)=-x=-f(x) y
g(-x)=(-x)3=-x3=-g(x).
Observe en la figura 3.63 su simetría respecto al origen.
y=x
X
Fig
Por otra parte, observando
Y
3.63
las figuras
3.64
Y
•X
ANGULO X
ANGULO
X+2H
3 27
4
ANGULO X H R
Se p u e d e
apreciar que
la c i r c u n f e r e n c i a
x, X+2TC,
implica
las c o o r d e n a d a s del punto
unitaria
con el
X+4TI y en g e n e r a l x+2nn J
lado
neN
de corte de
final de
son
los
ángulos
las mismas,
lo cual
que:
S e n x = S e n ( x + 2 i O = Sen(x+4Ti)= . . . = S e n ( x + 2 m t ) y
C O S X = C O S ( X + 2 T O = C O S ( X + 4 T C ) = . . . =Cos(x+2nn;) con n€Z .
Todas
las f u n c i o n e s
esta se
conocen
que
con
tienen
una c a r a c t e r í s t i c a
el n o m b r e de
similar a
funciones p e r i ó d i c a s ,
más
concretamente:
Una
función
número
f ( x ) se
real T>0,
dice que
tal que
es
Periódica,
si
existe un
f ( x + T ) = f ( x ) V x e D r . Además
cualquier
*
número
f y
T que s a t i s f a g a
al menor de
f u n d a m e n t a l de
La
gráfica
función
se
le llama
periódica
con
periodo
la parte de ella que aparece en
longitud
T, por ejemplo
intervalo de
en el s i g u i e n t e
se le llama Período
de
periodo
f(x).
porque
intervalo de
siguiente
estos v a l o r e s de T>0,
de una
caracteriza
esta condición
(a,a+T)
longitud T, es decir,
(a+2T, a + 3 T ) y así
328
T>0
se
cualquier
se repite en el
en ( a + T , a + 2 T ) y
sucesivamente.
Ejemplo 1
como periodo 2n,
La función y = Senx tiene
y como
2n.
periodo fundamental
gráfica correspondiente
intervalos
al
4it, 6ir, . . . , 2nrc, neN
Por tanto
intevalo
la parte
[0,2tt:] se repite
[2n,4n;], [4rt,6n:], etc y en los intervalos
de
la
en los
[~2it,0],
[-4it, - 2 t t ] , etc .
Con esta
característica,
una función
y teniendo en cuenta
impar, que su dominio es 1 y su recorrido [ - 1 , 1 ]
y hallando valores en forma
anteriores,
además que es
similar como se hizo en ejemplos
se puede trazar su gráfica (Fig 3.65)
Y
Ejemplo 2
En forma análoga,
la función y=Cosx resulta ser periódica con
periodo 2rc, 4it,...,2nn con n€N y con periodo fundamental
su gráfico se puede apreciar
2n y
en la figura 3.66. (Observe por
su simetría, que esta función es par).
329
Fig
3.66
Ejemplo 3
1
si
x€[2n,2n+1]
-1
si
x€[2n-1,2nJ
n€Z
f(x)= <
Es una
función
periódica
con periodo T=2.
(Fig
3.67)
t Y
-2
-»X
Fig
A partir
cuatro
se
de
las
funciones
funciones
f u n d a m e n t a l e s que se
el
Senx
y Cosx
t r i g o n o m é t r i c a s de gran
presentarán
las f u n c i o n e s
3.67
junto
con
deducen de
se definirán
interés,
algunas
las propiedades
estas c a r a c t e r í s t i c a s
gráf icas.
330
cuáles
características
seno y coseno y con sus gráficas,
lector d e m u e s t r e
las
otras
dadas
se espera
y justifique
para
que
sus
Función
Tangente
f(x] - Tanx- JíÉE*
Cosx
^-«-frf1)*-
m z
)
Rf-R
Función
impar.
Función periódica de periodo fundamental n.
Complete
la siguiente tabla y con ello
justifique su ¿ráfica
(Fig 3.68)
x
0
±n/6
±n/4
±n/3
±tt/2
±3u/4
±3n/2 ±
±2tc
Tanx
i >-
|
1
-V!
-i
i
i /*
i
V'
A*
y
Fig
y m tan x
Función
Cotangente
£ (x) -Cotx--£2«*
Senx
Df-R-{mi | neZ)
RfmR
Función
impar.
331
Función periódica de periodo fundamental T=u.
Complete
la siguiente tabla
y con ella justifique su gráfica
(Fig 3.70)
x
0
±n/6
±tt/4
±n/3
±tt/2
±3tx/4
±3u/2 +
±2tc
Cotx
y = cota:
ÍV
1
i
II
1
1
l\
1\
1 \
1 \
Función
%
k
X i IT 3ir\
2 \ 1 2\
1
\
\ 1
\1
\l
\l
\l
CMb
\
0
Fig 3.70
Secante
f (x) *Secx~Cosx
nez}
Rf-{-<», -i] crii,*«)
Función
par
Función periódica de periódo fundamental T=2n.
Complete
la tabla
siguiente y con ella
3.71
332
justifique
la figura
X
0
±V 6
±u/4
±n/2
±3n/4
....
±n
±2it
Secx
y
Función
— sec
x
cosecante
f (x) "Cscx-Df=R-{nn
Función
impar.
función
p e r i ó d i c a de p e r i o d o
Complete
(Fig
X
la siguiente
1
Senx
| neZ)
fundamental
T=2TC.
tabla y con ello j u s t i f i q u e
3.72)
0
±N/6
±TT/4
±n/3
±n/2
±2n
Cscx
333
su
gráfica
V = csc X
Fig
3.72
334
EJERCICIOS
1. Hallar el valor de todas las funciones trigonométricas en
los siguientes
ángulos:
±150°, ±600°, ±300V, ±540°, ±450°, ±900°, ±810°
/ ± 10tt/3 ; ±7it; ±20n/3; ±10tt; ±45rt; #16*: (radianes).
2. Usando calculadora,
encontrar el valor de:
Sen200; Sen200°; Senl; Senl°, Cos3; Cos3°;
Sen(8750); Sec(2120°);
Sec(2120); Tan(350);
Cos(-3450);
Cot(±2520).
3. A partir de sus definiciones determine el signo de
todas
las funciones trigonométricas en los diferentes
cuadrantes.
4. Recuerde que de las definiciones de las funciones seno y
coseno se dedujo que para la figura
Fig 3.71
335
3.71.
COBX-
y
r
Senx-
—
r
Demuestre resultados análogos para las demás
funciónes
trigonométricas.
Demostrar:
a) La suma y producto de funciones pares es par
b ) La suma de funciones impares es impar
c) El producto de funciones impares es par
d ) Si f(x) es una función
impar entonces
|f(x)| es par
e ) Si g ( x ) es una función cualquiera, definida para todo
xel, entonces
h(x) ~
f(x) " g ( x ) ~f{~x)
e
s
par
y
es impar.
f) Encontrar todas las funciones que son pares e. impares a
la vez.
g ) Escribir
las funciones siguientes como la suma de una
función par y una
impar.
i) x+1
ü )
3+x
iii)
e~x
2
5. Demostrar que las funciones f(x)=CosMx y g(x)=SenMx,
2%
tienen periodo
T*—— .
ti
336
6. Trazar el gráfico de las
a)
f (x) *Sen2x
b)
g(x)
c)
d)
funciones:
-sen(-Z)
hlx)-COB(lx)
q(x)-Cos(^í)
e)
g(x)-Tan(-Z)
f)
g(x)~sec(^-)
8. Cuál es el periodo fundamental para las
a)
f(x)=Tan(áx)?
b ) g(x)=Cot(bx)?
c ) q(x)=Sec(bx)?
337
funciones:
3.3.12.3 IDENTIDADES
De
la definición
el punto
x2+y2=1,
TRIGONOMÉTRICAS
de las
funciones Senx y Cosx,
(Cosx,Senx) está sobre
debe
representa
satisfacer
la identidad
expresiones
esta ecuación;
identidad
resultado
trigonométrica
que
una igualdad
se cumple
entre
para todo
ángulo
dividiendo entre S e n 2 x y
Cos2x,
radianes).
A partir de esta identidad,
las siguientes dos
identidades:
Cot2x+l=Csc2x
Y.
En
unitaria
Sen2x+Cos2x=1.
trigonométricas que
(en grados o en
se obtienen
la circunferencia
fundamental:
X.
Entendiendo por
puesto que
l+Tan2x=Sec2x
las figuras 3.72 se puede apreciar
y
que:
Y
338
El triángulo
OAB
es semejante
al triángulo
simplemente una rotación de éste, por
OPQ,
pues
es
tanto:
d(P,Q)=d(A,B) [d(P,Q)]2=[d(A,B)]2
-
(Cosx-Cosy) 2 +(Senx-Seny) 2 =[Cos(x-y)-l] 2 +[Sen(x-y)-0] 2
Cos 2 x-2CosxCosy+Cos2y+Sen 2 x-2SenxSeny+Sen 2 y=
C o s 2 ( x - y ) - 2 C o s ( x - y ) + l+Sen 2 (x-y) «*
2-2CosxCosy-2SenxSeny=2-2Cos(x-y)
Cos(x-y)=CosxCosy+SenxSeny
-
y asi:
Cos(x-y)=CosxCosy+SenxSeny.
A partir de esta identidad
identidades de uso
se pueden demostrar
las siguientes
frecuente:
5. Cos(x-Tt/2 )=Senx.
Demostración
(Ejercicio)
6. Sen(x-Ti/2) = -Cosx .
En
efecto:
Sen{ x — " C o s i x——-
2
lugar de x ) = Cos(x-n)
X-
) (Propiedad
5 tomando
2 2
x --
2
= CosxCosn+SenxSenn
Sen(x.-y ) = SenxCosy-CosxSeny.
339
-
-Cosx
en
De la propiedad
5 se sabe:
Seni
x-y)
= Cos(x-y~— )
Seni
x-y)
= C o s ( ( x - y ) — - ) = C o s ( ( x - ~ )- y )
2
Luego
2
= Cos(x—-)Cosy+Sen(
x--
2
=
2
)Seny
2
SenxCosy-CosxCosy
Cos(x+y)=CosxCosy-SenxSeny.
En
efecto:
Cos(x+y)=Cos(x-(-y))=CosxCos(-y)+SenxSen(-y) =
CosxCosy-SenxSeny.
Cos2x=Cos2x-Sen2x.
Demostración
10.
(Ejercicio)
Sen2x=2SenxCosx.
Demostración
(Ejercicio)
En efecto:
1 +COB2X_
2
1+ (CoaPx-Serfx) _ (1 -Sen*x) +Cos*x _
2
*
2
340
CO82X+COB>X
"
2
Demostración
13.
(Ejercicio)
1+Cosx
Coa* (±) 2
2
Demostración
14.
(Ejercicio)
Serfi^)*1-^8*
«
Cá
Demostración
15.
(Ejercicio)
CosxCoay--^(Coa (x+y) +cos (x-y)>.
En
efecto:
\ Coa (x+y) +
Coa (x-y) =
(CosxCoay-SenxSeny)
«
(CosxCosy+SenxSejjy) =
A
(CosxSeny-SenxSeny+ CosxCosy* SenxSeny) -CoaxCoay
1>6
í?.
SenxCosy= — (Sen (x+y) +Sen (x-y))
4M
Demostración
SenxSeny=
Demostración
18.
(Ejercicio).
<Cos (x-y) - C o s (x+y))
(Ejercicio).
Senx+Seny-2Sen (^ÍZ) Coa ( - )
2
2
En
efecto:
341
Sen(A+B) +Sen(A-B) -2SenACOBB
entonces
Senx+Seny=2Sen
19.
)
2
Coa
( )
2
Senx-Seny-2 Coa (
)
Sen
(
)
(
)
(Ejercicio)
C0SX+C0Sy-2 COS (
Demostración
21.
)
COS
(Ejercicio)
COBX- Cosy-2Sen (
)
Sen (
)
«
Demostración
22.
TanU+y)
-
.
«
(Ejercicio)
l - TanxTany
.
En ef e o t 8 t o U + y ) -
„
Cos (x>y)
SenxCoBy*CoaxSeny,
CosxCoBy-SenxSeny
SenxCoay+ CosxSeny
CosxCosy
~
1_ SenxSeny
COBxCoay
23
Tan(x-y) 1+TanxTany
Demostración
24.
Sea x=A+B, y=A-B,
, y así.
-B
(
Demostración
20.
y
"A
.Prop 16.
(Ejercicio)
Cotix+y)-
0
^
0
?;
1
Coty+Cotx
Demostración
(Ejercicio)
342
Tanx+Tany
1 - TanxTany
25.
Tan2x^
2TaDX
l-Tatfx
Denostración
26.
Cot2x-
(Ejercicio)
Cot2 ?f 1
- "
2Cotx
Denostración
Usando
(Ejercicio)
las identidades anteriores es posible demostrar
menos
conocidas.
27.
Tanx+TanyEn
.
COBXCOBy
efecto:
rarac-i-rany- SeDX
+ Seny _ SenxCoay+ CoaxSeny
Cosx
Cosy
CosxCoBy
28.
SeD
Tanx- Tany-
CoaxCoay
Demostración
29.
Cotx±Coty-
(Ejercicio)
S
J*n
SenxSeny
Demostración
30.
(Ejercicio)
Sen3x=3Senx-4Seriix
En
.
efecto:
Sen3x=Sen(x+2x)
=SenxCos2x+CosxSen2x
=Senx(Cos2x-Sen2x)+2CosxCosxSenx
=Senx(l-2Sen2x)+2Senx(1-Sen2x)
=Senx-2Sen3x+2Senx-2Sen3x
343
_
Sen(x+y)
CoaxCoay
otras
=3Senx-4Sen3x.
31. Si x+y+z = n:, demostrar:
Senx+ Seny+Senz - 4 COB ( ) Coa ()
2
En
Coa (—)
2
2
efecto:
Senx+Seny+Senz
=Senx+Seny+Sen(n-(x+y))
=Senx+Seny+Sen(x+y)
=Senx+Seny+SenxCosy+CosxSeny
=Senx(1+Cosy)+Seny(1+Cosx)
= Senx(2Cos2
y
x
-)+Seny(2Cos2 - ) =
2
2
y
x
= 2 S e n x C o s 2 — + 2SenyCos 2 — )
2
2
X
X
= 4Sen
—
Cos
2
—
Cos
2
—
Cos
2
—
2
X
y
Sen( — f — )
2
2
2
—
—
2
y
X
= 4Cos
—
y
X
= 4Cos
X
X
y
y
( Sen — Cos
+ Sen
Cos - )
2
2
2
2
2
—
y
X
—
—
y
Cos
2
= 4Cos
X
y
y
y
2
- +4Sen - Cos
Cos
2
2
2
2
Cos2
2
X
= 4Cos
—
Cos
x+y
TI
Cos( —
2
-
(
2
z
Cos -.
2
2
—
344
—
32.
Cos4x-Sen4x=2Cos2x-1.
En
efecto:
Cos4x-Sen4x=(Cos2x-Sen2x)(Cos2x+Sen2x)
=Cos2x-Sen2x=Cos2x-(l-Cos2x)
=2Cos 2 x-1
345
EJERCICIOS
1. Deducir
identidades para las funciones trigonométricas en
forma analítica
180°±x, 270 °±x,
2. Verificar
a)
Si
y geométrica de los ángulos:
360°±x.
las siguientes
Tanx--|-
90°±x;
,
igualdades:
Tajny--j
, x,y ángulos agudos,
Tan(x+y)-l. .
b)
Tanl5°=2-f5
c) Si
Serve*-,
d ) Si
0<x<-£
, entonces
entonces
0<x<90°;
2 Tan (JL
e)
Tac ( 4 ) =
8
l-Tan2—
16
f) Si
Tan-^-2
entonces
h)
Sen4 (f + Sen5 (f
i)
Sen7$° -Senl 5o - jg
j)
Tan75?
-Tanl?
346
Sen2x--^J5
C0S2x—8
entonces
k)
Senl5 -
l)
senú(f COS3G0(Sen7(f
4
(¿3+1)
+Senl0a)
M
3. Demuestre las siguientes
a)
identidades:
Sen X
' +jen2*-Tan3x
COB4x+COS2X
Tani
b
Senx-Seny
Senx+Seny
2
=
ran^
2
C)
D)
e)
f)
!+COB2X+COB4X+C086X"4COBXCOB2XCOB3X
2CBCX--*¥X-+.1
1+Cosx
Secx-Cacx
Secx+Cacx
C o s
2
CO0X
Sertx
Tanx-1
Tanx+1
x S e n ( 2 - COB2X-2 COB4X+COB6X)
32
CoBX+Senx _
Cosx-Senx
h)
+
Tan2x+Sec2x
Sen2x+Sen2y+Sen2z-4
SenxSenySenz
i)
•i i
i
Cos 4 X - 4-+-=• Cos2x+ -=- c o s *x
j)
sen (x+y) Co BY-COB (x+y)
k)
Cos2xSen 2x- — (1-COB4X)
8
8
2
1 +Senx + Coax
Coax
1+Senx
8
SenySenx
m2Secx
347
)
n)
o)
Sen2x+2Senx+l
COB2X
_ 1+Senx
1-Senx
TanxSenx+Coax-Secx
2
m2+Tan
Tan2x
x
4. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son identidades?
A
VI~COB
b)
Vi -Sen2X«*COBX
)
o)
d)
2
XM-Senx
.S9nxi
-Tan*
yJl-Sen2x
JI-COB2X- | Senx \
348
3.3.12.4 FUNCIONES
Para el
INVERSAS
estudio que
inversas y
se
en general
hará de
de funciones
inicialmente distinguir un
llamadas
funciones
algunas
en las
dominio, se
f el
cuales valores
tienen
necesario
cuales, para
Entre
las
dos o más
un mismo
funciones,
valores d® x
valor de
mismo número
(9), y
diferentes de x
Las
hay
en su
su recorrido, por
les asocia por
existen otras
en el dominio
para las
de f, siempre
imágenes diferentes, estas últimas funciones se llaman
funciones
reales
inversas, es
f(x)=x 2 , a los números 3, -3 se
ejemplo para
medio de
trigonométricas
tipo particular de funciones:
inyectivas.
le asocia
funciones
inyectivas
en
horizontal
reales
que
o 1 a 1,
se
la
y su gráfica
caracteriza
corte,
lo
porque
hace
en
para el caso de
cualquier
un
solo
recta
punto.
Resumiendo:
Def inición
Una función f se dice inyectiva si
se tiene que
para todo xi,x 2 €Df,
xi*x2
f(xi)*f(x2).
Ejemplo
Las funciones f(x)=|x|; g(x)=x 2 ; h(x)=Senx no son
inyectivas;
justificar esta afirmación, por medio de sus gráficas.
349
Las funciones f(x) = 2x+l; g(x)=4; h(x)=Tanx con
X2
si
x>0
x
si
x<0
l(x) =
Son
funciones
este
resultado).
Suponga
inyectivas
que se
despejar x.
tiene
(trace
la
Observe que
sus gráficas
ecuación f(x)=b y que
si existe
una función
V
y justifique
se pretende
g, tal
que
g(f(x))=x VxeDr y tal que b esté en el dominio de g, entonces
al
aplicar
esta
g(f(x))=g(b),
función
a
es decir, x=g(b),
la
ecuación,
se
obtiene:
logrando así, despejar x.
Dos
interrogantes surgen al analizar
debe
exigir a f para que exista esta función g?. Dada f, cómo
se construye esta función
Para
resolver
función
f
el primer
no fuese
este problema. ¿Qué se
g?.
interrogante,
inyectiva, entonces
observe que
existirián
menos dos valores xi, X2€Dr con su misma imagen,
entonces
si
la
por lo
llamémola c,
f(xi)=c y f ( x 2 ) = c . Si existiera la función g con la
propiedad descrita atrás, es decir, g(f(x))=x para todo xeDf,
entonces
xi=g(f(xi ) )=g(c)
significaría
que
c por
y
medio
350
x2=g(f(x2))=g(c),
lo
de g
imágenes
tendría
dos
que
diferentes xi
implica que
y X2, por
tanto g no sería
necesariamente para que exista
debe exigir que f sea una función
Para
una función. Esto
la función g,
se
inyectiva.
responder el segundo interrogante,
observe primero que
puesto que g se va a calcular
a los dos lados de la ecuación
f(x)=b, entonces g debe estar
definida en el recorrido de f,
pues beRr, por tanto D*=Rr.
Ahora; ¿Qué es g(b>?. Puesto que
b€Rr y f es inyectiva, existe un único a para el cual f(a)=b,
y ese "a"
precisamente define a
g(b): g(b)=a. En
la figura
^•73 Sé ilustra este resultado mediante un diagrama:
f
d
g'
•r
Dr
> d
Re=D*
Fig 3.73
f(a)=q;
g(q)=a;
f(g(q) ) = f(a)=q;
f(b)=h;
g(h)=b;
f(g(h))=f(b)=h;
g(f(b))=g(h)=b
f(c)=p;
g(p)=c;
f(g(p))=f(c)=p;
g(f(c))=g(p)=c
f(d)=r;
g(r)=d;
f(g(r))=f(d)=r;
g(f(d))=g(r)=d
A
la función
Función
inversa
g
construida de
g(f(a))=g(q)=a
esta
forma se
de f y se nota por f _ 1 . Más
351
le
llama la
exactamente:
Def inición
Dada una función
inyectiva f, se llama La inversa
función notada f - 1 con
f -1 ( f ( x ) ) - x
de f, a una
De-i"Rf y Rf-i"Df , tal que
Vx«£) f
y
/ ( f - 1 ( x ) ) - x VxsD¿-i .
Ejemplo 1
Sea f(x)=3x; como f es inyectiva (Ejercicio), entonces existe
f - 1 ( x ) y ésta satisface que:
x=f(f-i(x))=3f"i(x),
y de
aqui se tiene que, f"i(x)=x/3
(Fig
3.74).
Observe que si se
3x=6 y se
hubiése dado la ecuación f(x)=6, es decir,
aplicara a ambos lados de ésta la
función f - 1 , se
tendría
í"1 (3x) »í" 1 (6) ;
así 3x=2,
lo que ilustra, como se dijo anteriormente,
función
f _ 1 ( x ) sirve
forma
v ^rh
entonces
f"1 ( 3 x ) - - ^ - í " 1
para despejar x en
( 6 ) y
que la
una ecuación de
X
3
352
la
De
la figura
funciones
respecto
3.74 se puede observar
f(x)=3x
y de su
a la recta y-x,
que
inversa
las gráficas de
(-X) • —
son
simétricas
relación que siempre se da entre
gráficas de una función y de su
las
las
inversa
Ejemplo 2
Sea f ( x ) - x 2
con x>0,
f Hx),
tanto:
por
x-f(f"l(x))-LF
como f es inyectiva
Mx)]2
Sus gráficas se pueden
f _1 (x)=+v/x
entonces
R c -i m D f " [0, +«•) , se descarta
el signo
apreciar
(Ejercicio),
en
existe
(puesto
que
- ).
la figura
3.75
Ejemplo 3
Sea
f(x)~-x2
inyectiva
1
con x?: 1.
(Ejercicio),
x-f(f" 1 (x)) = [f- 1 (x)] 2 -l
f~1(x)=-y/x+í ;
donde
Asi.
Df- {-<», -1] -Rti .
entonces
el
f-x(x)
existe
signo
353
[f
-
Como
tal
(*) ] 2 «x+l
aparece
debido
f
es
que
y
a
asi
que
R£-i-Dt- (-••, -1] ,
o
sea
f_1(x)
que
siempre
es
negativa.
Además, aunque dentro de los números reales f - 1 tiene
para
x+l>0, es decir para
dominio,
puesto que
a [ 0 , + w ) ya que
Df-i-R£~ [0, +")
x>-l, no se toma
D£-t
debe ser igual a Rr y éste es igual
(Fig 3.76)
V
4.'1
3.
2.
1.
-6.
[-1,+°°) como su
la x esta restringida a (-«,-!]. Asi:
f(x) =x2-l
-4
-2
-4.
Fi
sentido
g
3.76
354
EJERCICIOS
1. Para las funciones
i)
f(x)-V*
f(x)-x3
ii)
iii)
iv)
V)
siguientes:
/ ( x ) -2x+5
f{x)~yfx^A
f(x) «x 2 -4
, si x< -2
, si x<0
a) Determinar si son o no
b ) Halle
inyectivas
la inversa cuando exista y verifique que
(f.f-i)(x)=(f-i.f)(x)=x.
c ) Encuentre sus dominios y recorridos
d ) Trace sus gráficas
2. Las relaciones siguientes no son inyectivas.
Restringiendo
sus dominios encuentre funciones inyectivas. Halle sus
inversas en estos dominios y trace sus gráficas:
a)
y2=x2
b)
x2-y2~ 4
c)
X» | y |
355
y2=x-l
e)
f)
\y \ « x 2 - l
3. J u s t i f i c a r
el cuadro
siguiente
y llenar
los espacios
blanco.
Función
Restricción
Recorrido
Don
Don de f
de f
de
[!,+•>
Recorrido
£ - 1 de
Inversa
£-1
f <x) « X a
[!,••)
[«,••)
f (x) - X 2
(-•,«]
[>,••)
f(x) - V i - X a
[0,1]
[0,1]
f{x) « + / 1 - X 2
[-1,0]
[0,1]
f " l ( x ) -Vi-Xa
Jf(x)—A1 +x
[0,+-)
[0,1]
f-Mx)-.
[0,+»)
f -1 <X) mjx
(-•,0]
f'1 ( x ) — V x
Jf-1 ( x ) - V l - x 2
A-1
>| X
f (x) - 2 x + l
2
f(x)-(x+l)2
t-l,*»>
f
f (x) - X 9
f (x) » X 6
Jf (x) - 3 X - 2
1ÍXÍ10
356
_ 1
-Vx-l
en
3.3.12.5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
INVERSAS
Inversa de Senx
Como es conocido,
la función y=Senx no es inyectiva, por
tanto no tiene sentido hablar de su función
inversa, sin
embargo, puesto que en la práctica es frecuente tener que
despejar
se
hace
necesario definir una inversa para el Senx, no definida
para
todo x € R ,
función
x
en
sino
ecuaciones
de
solamente para
la
forma
una porción
sea inyectiva. De todas las
se tiene, se acostumbra a tomar
Senx=b,
en la
cual esta
porciones en donde esto
Xfti——,^^
(Fig 3.77).
y
Fig
De
3.77
la definición de inversa se tiene que la función Senx pon
tiene inversa g(x), con
357
y
y tal que g(Senx)=x y
Sen(g(x))=x. A esta función g(x) se llama Arco
Seno de x y
se nota por:
g(x)=ArcSenx ó g(x)=Sen- 1 x;
es decir, y=ArcSenx * x=Seny, por
tanto Sen(ArcSenx)=x para x€[-l,l] y ArcSen(Senx)=x
para
Teniendo en cuenta la simetría respecto a la recta y=x
función
y su
inversa,
de
la
figura
3.77
se
de
í ene
o 78)
y^ArcSenx está representada gráficamente por
} f'Hx) =ArcSen (x)
Fig
3.78
Ejemplos
1.
Ar5en-^-~
2
4
, porque
2.
ArcSen(-l)
3.
ArcSen (Sen)
4
4
— ~
, porque
4
2
Sen(-j-) --1
358
(Fié
una
que
4.
ArcSen(Sen2%)
-ArcSen(Seno)
-O , es decir,
r ~X
II i
es el número en el intervalo
para el cual el
seno toma el mismo valor que el
5.
ArcSen(Sen)
6.
Sen (ArcSen-^-) -sen (-?•)2
4
2
7.
5en(Arc5en(-|)) — \
áL
A
8.
Sen(ArcSen4)
no existe,
Secx y Cscx no son
inversa de cada una
de ellas
Sen2n
, osea "0".
-AicSen(Sen(-5-)) «-5.
4<[-l,l].
En forma análoga, puesto que
como se hizo con
AxcSen(Sen2%)
las funciones Cosx, Tanx, Cotx,
inyectivas,
de ellas,
tampoco se puede pensar en una
pero en una
forma similar
a
la función y=Senx se puede tomar una porción
(Restricción del
dominio) de
tal forma
que estas
funciones asi restringidas sean inyectivas y por tanto tengan
sus respectivas
inversas en estos nuevos dominios.
A continuación
se mostrarán
las gráficas
trigonométricas restringidas y sus inversas
359
de las
funciones
correspondientes.
Inversa de Cosx
Sea f(x)=Cosx con
define
f-1(x)=ArcCosx=Cos_1x
Df-i-[-l,l]
(Fig
x€[0,it]. Puesto que Rr=[-l,l]
y
como
la
entonces se
función,
J?jf-t-[0,n] , que satisface: y=ArcCosx
/
V
3.79)
con
*x=Cosy
i V
_1
(x) =ArcCos(x)
X,
-1
i
,i
0
/
/
-r/2,s /
/
/
/
/
/
/
( -
Fig 3.79
De la definición se puede concluir que Cos(ArcCosx)=x
con
x€[-l,l] y que ArcCos(Cosx)=x con X€[0,tc].
i:
Inversa de Tanx
Si
f(x)"Tanx
con
U
A
,
entonces
(
»
«
)
«
>
Rr=E, por tanto se define
f_1(x)=ArcTanx=Tan-1x
t a l
'
como
la
q u e :
>
y=ArcTanx ~ x=Tany (Fig
3.80)
360
función,
con
Df-t-R
y
f'Hx) "ArcTan(x)
-r/2
Fig
De
la
definición
ArcTan(Tanx)=x
3.80
se
si
concluye que
Tan(ArcTanx)=x
si x € l
y
** l-jf" •§" J •
I n v e r s a de C o t x
Sea
F(x)=Cotx
tanto se
D¿-i-R
define
y
y=ArcCotx
De
ésta
con X€(0,TC),
entonces D r = ( 0 , u )
f-1(x)=ArcCotx=Cot-1x
cono
la
y
Rr=I, por
función,
con
(0, *) , tal que:
x=Coty
(Fig
definición
A r c C o t ( C o t x ) = x con
Fig
se
3.81).
concluye
X€(0,TI)
3.81
361
que
Cot(ArcCotx)=x
x€l y
Inversa
Secx
Sea
f(x)=Secx
Df-[0,—
con
x«[0 f — ) CJÍ-^-,«] ,
y
,
entonces
por
tanto
se
def ine.
f-1(x)=ArcSecx=Sec-1x,
Df-tm(-*>, - 1 ] C7[l# +«)
y = A r c S e c x ••
x=Secy
que A r c S e c ( S e c x ) = x
Si
como
y
función,
Re-t-lo.-j)U(,
(Fig
si
la
3 . 8 2 ) De esta
X9 [ 0 , - £ - )
,k]
que
con
satisface
definición
se d e d u c e
y que Sec( A r c S e c x ) = x
XG(-oo,-l]U[l,+oo)
\
> -r-
/
f i g 3.82
Inversa de Cscx
Sea
f(x)=Cscx
I> f -[^-,0)C7(0,-|]
define
con
y
xe [ — , 0) C7(0, -5-] ,
*,-(-«•,-1](T[1,+«) ,
f-1(x)=ArcCscx=Csc-1x,
como
362
por
entonces
tanto
se
y=ArcCscx
x=Cscy
R£_im[^2.l0)U(0,A)
De la definición
x»[~—,
con
(Fig 3.83)
anterior se concluye que ArcCsc(Cscx)=x con
0) 17(0, — ]
y que con Csc(ArcCscx)=x con
xe(-» # -i] U[1,
••v
f~Hx)
w/2
=ArcCsc(x)
o i
»/2
Fig 3.83
Ejemplos
1.
ArcCoa(-l)-n
Porque
2.
ArcTan(-l)
3.
Coa (AzcCoa^kr) - 4 3
3
4.
Tan ( A x c T a n — ) -—
3
3
5.
Cot (ArcCot—)
3
6.
Sec(ArcSec-)
Porque
4
Cosn--l
Tan(-^-) =-1
4
• —
3
no tiene sentido,
363
pues
* ( - « , -1]
7.
ArcCoa (Coa-—-) -
8.
ArcTan(Tan^-)
9.
ArcCac
4
-ArcTan(Tan(~))
4
10. Calcular
a)
Coa
Sea
^
4
4
4
(--^JL
4
el valor de:
(ArcSen)
5
3
x=ArcSen(—)
primer cuadrante
entonces
3
Senx=-1
, con x en el
(Fig 3.84)
4
Fig 3.84
Luego de la figura se tiene que:
3
4
Coax=Coa (ArcSen-^-) = ~
b)
Sen (ArcCoa ( ) )
Sea
x-ArcCoa ( — — )
entonces
segundo cuadrante (Fig
3.85)
364
Coax*-^-
con x en el
Fig 3.85
y de la figura se tiene que:
Senx-Sen (ArcCoa (~))
3
c)
•
3
Tan (Arasen (-—•))
4
Sea
x-ArcSen()
4
, entonces
5«nx»-~-
4
con x en el
cuarto cuadrante (Fig 3.86).
V
De la figura se tiene que
11. Hallar el valor de
Coa(ArcTan—
365
Tanx-Tan (AraSen
8
-ArcSen-^j-) .
26
4
) — ~
Sea
x»ArcTan{
yArcSen-—,
7
15
8
) Entonces
Entonces
Tanx-—
Seny~~
7
25
15
y sea
8
(Fig 3.87)
7
Por
tanto:
Fig
Coa(ArcTan—
8
17
t
8
3.06
-ArcSen-—)
-Cos(x-y)
25
24 + 15 t 7 _ 257
25 17 2 5
425
366
24
-cosxcosy+SenxSeny
EJERCICIOS
1. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos?
ArcTan(,/5)
3
ArcSec(-SS)
4
ArcCsc(-2) =
6
Aresen (Tan ( ) ) - JJL
4
2
Arceos (Tan ( ) )
4
ArcCOt
Aresen ( )
2
=n
- —
6
-AicSen
(A)
2
12
ArcCoa(0)+ Ar eran(-1)=ArcTan(l)
2ArcTan ()
2
=Ar cTajj (—)
3
ArcTan (-i.) +ArcTan (A) +ArcTan ( A ) - JE.
5
8
4
2
ArcTan(Cot<230°)-40°
Sea (2Aresen ( — ) ) 3
ArcSen(Coa(-105°))
Coa (ArcTan <
3
9
=-15°
) + ArcSen (—))
13
367
=
65
p)
q)
r)
Tan{2ArcSen(-i) + Arceos(^))
5
13
—
204
/LrcSen(Sen(^-))~^*2
2
Sen (ArcSen (4)) »4
2. Demuestre
las siguinetes
identidades,
las cuales son
necesarias para el cálculo de ArcCotx, ArcSecx y ArcCosx
por medio de calculadoras
a)
manuales:
ArcCotx-ArcTag—^
b)
ArcCo tx- — -ArcTanx
c)
ArcSecx-ArcCos—
x
d)
ArcCscx=ArcSen—
2
368
3.3.12.6 ECUACIONES
TRIGONOMÉTRICAS
Una expresión
como S e n 2 x + C o s 2 x = 1 ,
se satisface
para todo
expresiones
valores
como por
de x
que
estas expresiones
que se
hallar
valor
de x.
satisfacen y
los valores
su conjunto
Pero en
general
otros que no.
de x que
resolver
identidad
ó Sen 2 x+Cosx='í,
ejemplo Senx=l
la
conoce como
puesto que es una
la
la ecuación
para
habra
Hallar
satisfacen,
en
es lo
trigonométrica
o
solución.
Ejenplo 1
Hallar
la solución de la ecuación
Inicialmente
se considera que,
esta ecuación
aplicando a los dos lados
la función ArcSenx, se
ArcSen(Senx)=ArcSenb
entonces
Pero recordando
y^ArcSenx
solamente
Senx=b.
que
cuando
de
tiene:
x=ArcSenb.
es la inversa
,
entonces
de Senx,
este
valor
pero
de
x
M
hallado, x=ArcSenb, pertenece
a este intervalo. Pero es claro
que
función
considerando
periocidad,
ecuación
este
toda
la
no es el único valor de x
Senx=b, sino que existen
cuales están dados
Senx
por:
369
y
debido
a
que satisface
infinitos (Fig
su
la
3.89) los
2nn
+ ArcSenb
2niï+ArcSenb
si neZ
2rm+(n:-ArcSenb )
(2n+l )rc-ArcSenb
Como se visualiza en las gráficas de las figuras 3.89
y
Fig
Con analisis
similares
it-Sen'1 (Jb)
3.89
al anterior
se
pueden
hallar
las
soluciones de las ecuaciones Cosx=a; Tanx=a, Secx=a, Cotx=a y
Cscx=a
así:
Ejemplo 2
Solucionar
Cosx=a.
370
Si x€[0,Tt]; ArcCos(Cosx)=ArcCos(a),
entonces x=ArcCos(a),
la solución de Cosx=a (Fig 3.90), si x€R está dada por:
2nTi+Cos-i(a)
x =
con
neZ
2nn-Cos-!(a)
Como se visualiza en
los gráficos de la figura
Fig
3.90
Ejemplo 3
Solucionar
Tanx=a.
371
3.90
y
Si
;
x=ArcTan(a),
dominio
solución de
Tanx=a,
para x
está dada por: x=nrc+ArcTan(a) n€Z (Fig
En forma
con
y la
ArcTan(Tanx)=ArcTan(a);
análoga se
pueden
solucionar
las otras funciones trigonométricas
entonces
en todo
su
3.91)
ecuaciones
similares
(Ejercicio).
Ejemplo 4
Hallar
en
la
solución de
la ecuación
4CosxSenx+2Senx-2Cosx-1=0
[0, 2rc] .
4CosxSenx+2Senx-2Cosx-l=2Senx(2Cosx+l)-(2Cosx+l)=
(2Cosx+l)(2Senx-l)=0
Si
2Cosx+ 1=0
si y sólo si 2Cosx+l=0 ó 2Senx-l=0.
Cosx=-^ ,
y
puesto
que
ArcCos(
9 ir
entonces x=120°
ó x=360°-120°=240°,
372
es decir,
) = 120° ,
6
Si 2Senx-1=0 - S e n x ^ - x = 30° ó x=120°, es decir,
y así la solución de la ecuación
i n
{±+2nn
6
5n
^
ó
en [0,2tc] es:
2n
4K
+2nn,
+2nn)
Con
mZ
.
Ejenplo 5
Coa*x-SenAx=1
Hallar el conjunto solución de la ecuación
Co3*x-Sen*x=
(Coa2x+Sen2x)
Co82x" i
(Coa2x-Sen2x)
-» 2x=2mt
Coa2x-Sen2x=1
=1
yi°>nit
.
Con
nez .
Ejenplo 6
Solucionar
Senx=,/3Cosx-l
Si elevamos al cuadrado
•
los dos lados de la ecuación se tiene
que :
Sen2x- 3 Coa2 x- 2 y/3Coax+l
4C032X-2^C08X"0
-
l-Cos2x=3Co32x-2}/5Co8x+l
•*
2C09x(2C0ax-t/3) «0
COBX"0
2Coax-^3=0
i)
Si
COBX-0
-
X=
n
2 '
3n
2
5n
'
373
2
¿i)
Si
2CO9X-V5-0
ó
Cosx-^-
_»
2
Puesto que
los dos
al
aparecer
soluciones
verificar
en la ecuación
cuadrado,
conjunto son
inicial.
11
9n
en
este
"extrañas",
ó
x=^-+2mt
allí,
se
.
6
ecuación
conjunto
por
original cuáles
efectivamente
Reemplazando
5ti
nn
miembros de la
elevados
este
6
original
solución
tanto
es
pueden
necesario
de los elementos de
soluciones
puede
fueron
de la
observar
ecuación
que
13ff
~2 ' ~2~' ~ 2 ~ ' — 2 — ' ' ' "
y
Para
satisfacen
la
ecuación, por
lo
ecuación está dada por
+2rm,
6
,
con
n€Z,
tanto
la solución
+2n% . Con 1*2} .
2
Ejemplo 7
Solucionar
la ecuación
Cot6x=Tan(—-6x)
Tan (4jc) =Tan
Tan4x-Cot6x
.
(Ejercicio) Entonces
-6x)
y así:
4x=-5--6 x+nn
lOx—l^íllJL
luego
x= (
u \J
) n, neZ
Ejemplo 8
Solucionar
para
la ecuación
J2sen 2 x+Cosx-0
374
,neZ
entonces
de la
no
Si
i/2(1-COS2X) + C O S X - 0
Cosx-
^2CO32X-COBX-j2-0
.
=
2^/2
Ahora si
2
Cosx=——=i/2
v2
hay solución, y si
2 fl
t
como
Cosx=^p
y2
375
=
ó
&
entonces
-
"*
x=±^-+2mt.
*
^
'
en este caso no
Con MZ
.
EJERCICIOS
I. Hallar el conjunto solución de las ecuaciones:
1.
Sen3x=-^~
2
2.
Sen3x=0
3.
4.
Tan2x—fS
Cot (2x-l) =-—
y/3
5.
2Sen22x-l=0
6.
7.
3Senx=2Cos2x
Sen2x=Cos2x
8.
Sen2xC03x+
Co32xSenx*> 0
9.
Sen5x-Sen3x-Senx=Q
10 •
Coax-f5Senx=l
11.
2
Co8x=l-Senx
12.
SenxCoax'Q
13.
Secx-l*Tanx
14.
2
Tanx-Sonx-Tanx•o
15.
Sen4x-2Sen3x-l=2Senx-Cos2x
16.
6 Tanx+12 Co tx=5v^3 Secx
17.
(1-Sen 4 x) (1 + Tan 2 x) =
376
18
Tanx-1
raux+1
'
1
19.
Senix+Cosix=
20.
Cosx=4
Analizar
—
8
los cuadros siguientes paso a paso, e
ilustrarlos con ejemplos (En todos los casos n€Z)
a)
b<
-1
b = -
-
1
<
1
b <
b =
1
b >
1
1
Are senb + 2nTT
senx = b
x = ~
to hay
soluciones
+ 2n1T
j + 2ntí
y
7T -Are senb., nTT
No hay
soluciones
b)
=
-1
b < -1
b
No hay
solución
(2n+1 ) TT
- 1 < b < 1
b =1
b >
1
cosx=b
ArcCosb + 2n1T y
2nTT - Are Cosb
2n?T
c)
_ 00 <
b
<
+
OO
x = ArcTanb + nlT
Tan x = b
377
No hay
solución