(07-la edo homog\351nea.dvi)

EDO’s Homogéneas
Estas notas tratan la Ecuación Diferencial Homogénea la cual es un tipo de EDO reducible
a variables separables.
Las EDO’s homogénea son de la forma
x
dx
=ϕ
dt
t
donde ϕ (u) está definida para a < u < b , Entonces la función ϕ
para todos los puntos (t, x) tal que
a<
(())
x
t
, está definida
x
<b
t
esto es , en la región comprendida entre las rectas x = at y x = bt
Supongamos entonces que ϕ es contı́nua y no nula en el intervalo (a, b) .Como
x
es natural hacer el cambio de
el segundo miembro de () depende sólo de la expresión
t
x
dy
dx
o x = yt . Como
variables y =
sustituyendo en la EDO se tiene que
=y+t
t
dt
dt
y+t
dy
= ϕ (y)
dt
de donde
ϕ (y) − y
dy
=
dt
t
la cual es de variables separables . Ası́ , separando variables e integrando, se tiene que
ln t = φ (y) + c
donde
φ (y) =
Luego de ,
ln t = φ
se obtiene la solución general .
dy
ϕ (y) − y
x
+c
t
t
También el cambio de variables y =
x
solución de la EDO homogénea.
se puede comprobar , nos conduce a la
• Ejemplo :
Resolvamos la EDO
Como
dx
t+x
=
dt
t−x
x
t+x
t
=
x
t−x
1−
t
1+
1
Sea y =
x
entonces la EDO queda
t
1 1 + y2
dy
= ·
dt
t 1−y
de donde , separando variables e integrando se tiene que
arctg y −
de donde
1 ln 1 + y 2 = ln t + c
2
x 2 x 1
= ln t + c
arctg − ln 1 +
t
2
t
esto es,
arctg
x 1 2
− ln t + x2 = c
t
2
es la forma implı́cita de la solución general.
Ecuaciones semi-homogéneas
Son EDO’s del tipo
a1 t + b1 x + c1
dx
=
dt
a2 t + b2 x + c2
donde a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 ∈ R son constantes . Evidentemente no son homogéneas cuando
c1 y c2 no son simultáneamente cero , pero un cambio de variable las reduce a homogénea
.Se distinguen dos situaciones :
a2 t + b2 x + c2 = 0 se intersectan en un punto
Caso 1: Si las rectas a1 t + b1 x + c1 = 0 y
(α, β) . Lo cual ocurre cuando
a1
b
1
= 0
a2
b2 Entonces podemos reducir la EDO a una del tipo homogéneo por medio de una
traslación del orı́gen de coordenadas al punto singular
b1 c2 − b2 c1 a1 c2 − a2 c1
,
(α, β) =
a1 b2 − a2 b1 a1 b2 − a2 b1
Esto es , el cambio de variables

 t = u+α

x = v+β
transforma esta ecuación en una ecuación homogénea .
Caso 2: Si
a1
a2
b1 =0
b2 basta considerar el cambio de variables
y = a1 t + b1 x
para transformar la EDO en una de variables separables
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• Ejemplos :
1. Encontrar la solución de la EDO
dy
t+x+2
=
dx
t+1
en los puntos donde t = −1
La ecuación dada es semi-homogénea , luego , si escogemos convenientemente los
parámetros α , β en el cambio de variables

 t = u+α

x = v+β
podemos tener una EDO homogénea.
dv
dx
, la ecuación dada puede ser escrita en la forma ,
Como
=
dt
du
dv
(v + β) + (u + α) + 2
u + v + (α + β + 2)
=
=
du
(u + α) + 1
u + (α + 1)
escogiendo α, β, de modo que
α+β+2 = 0
α+1
= 0
se tiene que α = −1 y β = −1 , obteniéndose la EDO homogénea
dv
u+α
v
=
=1+
du
u
u
haciendo y =
v
se tiene que de v = yu ,
u
dy
dv
=y+u
du
du
y la ecuación queda :
dy
=1+y o
du
Luego, separando variable e integrando ,
y+u
dy
1
=
du
u
y = ln |u| + c
de donde,
v
= ln k |u|
u
siendo k = ln c , c > 0
Volviendo a las variables originales ,
x + 1 = (t + 1) ln[k (t + 1)]
es la solución general.
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2. Encontremos la solución de la EDO
dx
t − 2x + 2
=
dt
2t − 4x + 1
Esta EDO admite solución en los puntos (t, x) ∈ R2 , que no satisfacen la ecuación :
2t − 4x + 1 = 0
El cambio de variables

 t = u+α

x = v+β
no produce resultado positivo ya que el sistema

 β − 2α + 2 = 0
no es posible.

2β − 4α + 1 = 0
Sin embargo , en este caso , el cambio de variables t − 2x = y , nos lleva a
y+2
dx
dy
=1−2
= 1−2
dt
dt
2y + 1
de donde
−3
dy
=
dt
3y + 1
Separando variables e integrando se tiene que ,
y 2 + y = −3t + c
y volviendo a las variables originales
4x2 − 4tx + t2 + 4t − 2x = c
es la solución general.
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ecuaciones diferenciales
ingenierias
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R.B.B.-UTA - I Semestre 2012
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