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Diplomatura en Ciencia y Tecnologı́a
Análisis Matemático II - Tercer Parcial - 13/12/06
Apellido y Nombre:
1)
TEMA A
a) Dada f (x, y) = 4x5 + 5xy(y + 3)2 hallar todos sus puntos crı́ticos y clasificarlos. Si
se presenta caso dudoso analizar.
b) Hallar los valores extremos absolutos de f (x, y) = x2 + y 2 en el compacto limitado
por la curvas:
xy = 1 ; x = 2 ; y = −1 ; y = 2x + 1
Sobre la hipébola utilice multiplicadores de Lagrange y sobre el resto del borde
reduzca a una variable. Además, para los puntos que surjan de su análisis, utilice
(grafique, explique) curvas de nivel de f para clasificarlos como máximos o mı́nimos
relativos de f .
2)
6xy dx + (4y + 9x2 ) dy = 0
a) Hallar la solución general de:
b) Dada la EDO lineal homogénea: y 00 − 3y 0 + 2y = 0 determine los valores de la
constante k de modo que y = ekx sea solución particular. A partir de dichos valores
escriba la solución general de la homogénea
Considere ahora la EDO lineal inhomogénea: y 00 − 3y 0 + 2y = xe2x . Determine
valores de las constantes A, B de modo que y = (Ax + Bx2 )e2x sea solución
particular. Escriba la solución general de la inhomogénea.
3)
a) Sean: z + x ln y = yez−x ; Qo (1, 1, 1). Mostrar mediante el TFI que la ecuación
dada define implı́citamente x = f (y, z) localmente en Qo y deducir los valores de
fy0 (1, 1) y fz0 (1, 1) ¿ Puede afirmarse lo mismo para z = f (x, y) localmente en
Qo en base al TFI?
b) Mediante el TFI mostrar que el sistema:
 y+z
+ y2z + 3 = 0
 x

xz + 5 = y 2
define implı́citamente x = f (y) ; z = g(y) en un entorno de (1, 2, −1)
Enunciar hipótesis y conclusión de TFI en este caso.
Deducir expresiones para f 0 (2) ; g 0 (2)