Solución a los Ejercicios de Introducción a las Ciencias

Solución a los Ejercicios de Introducción a las
Ciencias
1. Aritmética básica
• Calcula
5(−7) = −35
(−2)4 = −8
• Calcula
5(−7 + 8) = 5
(8 + 9)(3 − 1) = 34
(−4)(−5) = 20
(−5)(−2) = 10
(−2)(4 − 7) = 6
(−4 − 5)(−3 − 8) = 99
• Comprueba si son iguales sin hacer la división:
3
5
=
−5
−2
21
35
=
−30
6
4
7
SI
=
4
−6
NO
8
15
=
−12
18
NO
SI
• Calcula
2−5 = 0.03125
104 = 10000
104 10−3 = 10
(−2)4 = 16
85 8−7 = 8−2 = 0.015625
32 ÷ 24 = 0.5625
6
−5
11
−4
5
−9
−5
4 ÷ 4 = 4 = 4194304 3 ÷ 3 = 3 = 5.080526 × 10
2. Ecuaciones de primer grado
• Despeja:
3x + 6 = 0
x−7=4
4x − 7x = 5
6x + 2 = 9x − 3
2 = 6x
−→
−→
−→
−→
−→
x = −2
x = 11
x = −5/3
x = 5/3
x = 1/3
−2x + 7 = 5
5x + 6x = 12
5x = 2x + 6
−5x + 3 = 9x
−→
−→
−→
−→
x=1
x = 12/11
x=2
x = 3/14
• Para profundizar:
2x+1
3
2x+6
3x
= 7 −→ x = 10
= 5 −→ x = 6/13
2x+6
3
x+4
3x−5
1
= x + 2 −→ x = 0
=7
−→ x = 39/20
3. Ecuaciones de segundo grado
• Resuelve:
x2 − 2x + 1 = 0
−→ x1 = −1, x2 = −1
x2 − 5x + 6 = 0
−→ x1 = 2, x2 = 3
2x2 − 8x − 10 = 0
−→ x1 = 5, x2 = −1
2x2 − 4x + 5 = 0
−→ No hay solución
2x2 + x − 1 = 0
−→ x1 = 1/2, x2 = −1
x2 − 9 = 0
−→ x1 = 3, x2 = −3
4. Notación cientı́fica
• Pon en notación cientı́fica:
0.000078 = 7.8 × 10−5
0.002548 = 2.548 × 10−3
5987456321 = 5.987456321 × 109
459874512369 = 4.59874512369 × 1011
0.0000125 = 1.25 × 10−5
0.00000000004 = 4 × 10−11
• Pon en decimales los siguientes números expresados con notación cientı́fica:
2.2858 · 104 = 22858
8.254 · 109 = 8254000000
5.1247 · 10−10 = 0.00000000051247
2.2547 · 10−3 = 0.0022547
2.87458 · 1020 = 287458000000000000000
7.85465 · 104 = 78546.5
5-6. Resolción de problemas
1. Calcula dos números enteros consecutivos cuyo producto sea igual a 380.
Resolución:
Planteamiento:
un número: x
sucesor de x : x + 1
Ecuación:
x(x + 1) = 380
Solución:
x1 = −20, x2 = 19
2. La suma de un número par, del par anterior i de los dos impares que le siguen, es 34.
Calcula este número.
Resolución:
Planteamiento:
Ecuación:
un número par: 2x
(2x) + (2x − 2) + (2x + 1) + (2x + 3) = 34
par anterior: 2x − 2
1o impar siguiente: 2x + 1
2o impar siguiente: 2x + 3
Solución:
x=4
→ 2x = 8
3. Para la planificación de un curso, se pretende que la primera evaluación cuente un 25 por
ciento, la segunda un 35 por ciento y la tercera un 40 por ciento. Una alumna ha tenido
un 5 en la primera evaluación y un 7 en la segunda. ¿Qué nota tiene que conseguir en la
tercera para que la nota final sea 7?
2
Resolución:
Planteamiento:
Eval. nota
25%
5
35%
7
40%
x
Ecuación:
Solución:
0.25 · 5 + 0.35 · 7 + 0.4 · x = 7
x = 8.25
4. El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y
éste 3 más que el menor. Si entre todos tienen la edad del padre que tiene 40 años, ¿qué
edad tiene cada hermano?.
Resolución:
Planteamiento:
Mayor: x + 4
Mediano: x
Pequeño: x − 3
Ecuación:
(x + 4) + (x) + (x − 3) = 40
Solución:
x = 13 → Mediano
→ Mayor = x + 4 = 17
→ Pequeño = x − 3 = 10
5. Un numero se multiplica por 3. El resultado se divide por 4 y luego se le resta 5. Este nuevo resultado se multiplica por 10, obteniéndose ası́ la cuarta parte del numero aumentada
en 37. ¿Cuál es el numero?
Resolución:
Planteamiento:
Ecuaci
ón:
3x
− 5 · 10 =
4
x
4
Solución:
x = 12
+ 37
6. Las medidas de un triángulo rectángulo son tres números pares consecutivos. Encuentra
las longitudes de los lados.
Resolución: Recordemos que en un triángulo rectángulo, si a es la hipotenusa y b, c
son los catetos, entoces se cumple el Teorema de Pitágoras:
a2 = b 2 + c 2
Recordemos también que si a, b son dos número cualesquiera, entonces
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a − b)2 = a2 + b2 − 2ab
(a · b) = a2 · b2
Planteamiento:
Hiporenusa: 2x + 4
Cateto 1: 2x
Cateto 2: 2x + 2
Ecuación:
(2x + 4)2 = (2x)2 + (2x + 2)2
3
Solución:
x1 = 3 (SI), x2 = −1 (NO)
→ Hipotenusa = 2x + 4 = 10
→ Cateto 1 = 2x = 6
→ Cateto 2 = 2x + 2 = 8