MAT002 Calculo I - Escuela de Matemáticas

Carta al estudiante
MAT002 Cálculo I
1. Aspectos generales del curso
Unidad: Escuela de Matemática
Créditos: 4
Nombre: Cálculo I
Horas semanales: 11
Código: MAT002
Horas presenciales: 5 (3 teoría, 2 práctica)
Nivel: Bachillerato
Horas docente: 5
Periodo lectivo: II ciclo 2016
Horas de atención al estudiante: 1
Tipo de curso: Regular
Horas de estudio independiente: 6
Modalidad: Presencial
Requisitos: Depende de la carrera
Naturaleza: Teórico – Práctico
2. Descripción general del curso
Este curso pretende brindar al estudiante una base sólida en el manejo del cálculo
diferencial e integral, como herramienta práctica en el desarrollo de su carrera.
Se estudian los conceptos teóricos que sirven de base para la resolución de ejercicios
prácticos, referentes a límites, derivadas e integrales de funciones reales en una variable.
Además, se estudian algunas de las aplicaciones de la derivada, enfatizando en los
procedimientos de optimización de funciones en una variable, que le proporcionarán las
bases conceptuales necesarias para los cursos posteriores.
Para el abordaje de los contenidos de este curso es fundamental un manejo adecuado de
conocimientos previos en los temas de Números Reales, Álgebra, Funciones, Geometría y
Trigonometría.
3. Objetivos generales
a) Aplicar los conceptos del cálculo diferencial e integral en una variable en la solución
de ejercicios.
b) Resolver problemas de aplicación utilizando conceptos del cálculo diferencial e
integral.
4. Objetivos específicos
a) Calcular límites de funciones de una variable real.
b) Resolver problemas que involucren el cálculo de derivadas e integrales de
funciones de una variable real.
1
c) Resolver problemas donde se aplique el concepto de derivada de una función de
una variable real.
d) Optimizar funciones reales de variable real.
e) Resolver problemas que involucren el cálculo de valores máximos y mínimos de
funciones de una variable real.
f)
Calcular integrales definidas de una función de una variable real mediante la
definición.
g) Calcular integrales definidas e indefinidas de una función de una variable real
haciendo uso de las principales técnicas de integración.
5. Contenidos
a) Límites (3 semanas)
Noción intuitiva de límite. Límites unilaterales. Propiedades y cálculo de límites: por
sustitución directa, simplificación, racionalización y cambio de variable. Teorema del
encaje. Límites de funciones trigonométricas y sus inversas. Límites infinitos. Límites al
infinito. Concepto de función continua, propiedades de las funciones continuas y análisis de
la continuidad de distintas funciones.
b) Derivación (3 semanas)
Definición de la primera derivada de una función en un punto. Interpretación de la primera
derivada como razón de cambio instantáneo. Interpretación geométrica de la primera
derivada en un punto. Cálculo de rectas tangentes y de rectas normales a una curva.
Función derivada. Teoremas sobre derivación de funciones: derivada de una suma, resta,
producto, cociente y composición de funciones. Regla de la cadena. Teorema del valor
medio y Teorema de Rolle. Derivadas de orden superior. Derivación implícita. Derivación
logarítmica.
c) Aplicaciones de la derivada (4 semanas)
Problemas de razones de cambio. Extremos absolutos de una función continua. Extremos
relativos a una función. Aplicación de la primera derivada al estudio del crecimiento de una
función. Aplicación de la segunda derivada al estudio de la concavidad de una función.
Criterios de primera, segunda y n-ésima derivada. Construcción de gráficas de funciones
mediante su cuadro de variación (incluyendo asíntotas verticales, horizontales y oblicuas).
Aplicación de la teoría de derivadas en resolución de problemas de optimización. Regla de
L'Hopital.
d) Integración (6 semanas)
La integral indefinida de una función como un conjunto de primitivas. Notación.
Propiedades de la integral. Técnicas de integración: directa, por sustitución, por partes,
integrales de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, por sustitución
trigonométrica, por fracciones parciales, por sustitución de racionales, por sustitución de
Weiestrass. La integral definida mediante sumas de Riemman y propiedades
fundamentales relacionadas con el álgebra de funciones. Teorema fundamental del
cálculo. Cálculo de la integral definida. Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas
bajo una curva y área entre curvas.
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e) Estrategias metodológicas
Las estrategias metodológicas incluyen la clase magistral, el trabajo individual, la discusión
y reflexión sobre los conceptos matemáticos expuestos. Se requiere la participación activa
de los estudiantes con el aporte de ideas y la resolución de ejercicios. Además, se
considera importante que el estudiante evacúe sus dudas durante la clase y realice los
ejercicios que el profesor asigne como trabajo complementario. Estos ejercicios pretenden
fortalecer los conocimientos, habilidades y destrezas fomentadas en clase. Se recomienda
el trabajo en grupo para completar apuntes, resolver ejercicios y compartir estrategias de
resolución, y asistir a las horas de atención de estudiantes ofrecidas por el profesor.
Se recomendará a los estudiantes páginas web con materiales adicionales, ejercicios
resueltos y videos explicativos, de modo que puedan profundizar y reforzar los temas
vistos en clases.
Las direcciones electrónicas de estas páginas, así como los ejercicios del curso y material
adicional de teoría estará disponible en:
https://drive.google.com/folderview?id=0By6k7roY_RMbeldDR0d1bHpSTFk&usp=sharing
6. Ausencia del profesor a clases
Según el artículo 28 del Reglamento General sobre los procesos de Enseñanza y
Aprendizaje de la Universidad Nacional, si un docente se ausenta de las clases, se
deberán tomar las medidas que correspondan para garantizar el cumplimiento del
programa del curso. Por esta razón, si pasados 20 minutos de la hora de inicio de clases el
docente no ha llegado, los estudiantes deberán levantar una lista, en donde hagan constar
la ausencia del profesor y entregarla en la recepción de la Escuela de Matemática.
7. Evaluación
Su trabajo será evaluado por medio de tres exámenes parciales, todos con el mismo valor
porcentual. Los contenidos a evaluar en cada uno de estos exámenes se detallan en el
cronograma. A continuación se indican las fechas de cada una de las pruebas.
Tabla 1: Calendario de pruebas parciales
Prueba
Fecha
Hora
I Parcial
Sábado 3 de setiembre
2:00pm
Reposición I Parcial
Miércoles 14 de setiembre
8:00am
II Parcial
Sábado 8 de octubre
1:00pm
Reposición II Parcial
Miércoles 19 de octubre
8:00am
III Parcial
Lunes 7 de noviembre
1:00pm
Reposición III Parcial
Jueves 10 de noviembre
8:00am
Extraordinario
Lunes 21 de noviembre
8:00am
Las fechas de los exámenes están sujetas a la disponibilidad de aulas.
3
La nota mínima para aprobar el curso es 7.0. En caso contrario, si la nota es superior a 6.0
el estudiante tendrá derecho a presentar un examen extraordinario para el que deberá
pagar el derecho correspondiente en el Departamento Financiero. Este examen incluye
todos los contenidos desarrollados en el curso y para aprobarlo, el estudiante deberá
obtener una nota igual o mayor que 7.0.
El lugar donde se realizarán las pruebas se comunicará oportunamente. La hora y la fecha
pueden cambiar según la disponibilidad de aulas para ejecutar las pruebas.
Por las características del curso, se recomienda la asistencia regular a todas las sesiones.
8. Disposiciones para realizar las pruebas escritas
i.
Las son colegiadas y su resolución es individual.
ii.
Para realizar las pruebas escritas es indispensable que el estudiante presente la
cédula de identidad.
iii.
Si un estudiante no presenta ningún documento de identificación válido no podrá
realizar la prueba.
iv.
Ningún estudiante puede abandonar el recinto de examen en los primeros treinta
minutos de iniciada la prueba ni entrar en éste pasados treinta minutos.
v.
No se contestan preguntas durante la administración de las pruebas; salvo que
éstas sean de carácter general, en cuyo caso se aclararán en voz alta.
vi.
Los exámenes pueden hacerse con lápiz (parcial o totalmente). Los estudiantes
que lo hagan no tienen derecho a realizar reclamos en la nota obtenida.
vii.
No se permite el préstamo de ningún tipo de materiales durante la administración
de las pruebas.
viii.
No se permite el uso de celulares o algún otro dispositivo electrónico de
comunicación durante la ejecución de las pruebas
ix.
Los exámenes deben realizarse en un cuaderno de examen con sus hojas
debidamente grapadas, sin utilizar hojas sueltas durante la prueba. Únicamente se
permite el uso de las hojas de tablas y fórmulas que el docente les confeccione.
x.
No se permite el uso de calculadora programable o financiera, salvo que se indique
lo contrario con anterioridad.
xi.
Ningún estudiante puede abandonar el recinto de examen durante la administración
de la prueba, salvo que haya finalizado su examen.
El estudiante que, por enfermedad u otra causa de fuerza mayor, no pueda efectuar una
evaluación, debe presentar al profesor del curso (por escrito) la justificación con los
documentos probatorios dentro de los cinco días hábiles posteriores a la fecha en que se
realizó la prueba. Si procede repetir la evaluación, de común acuerdo se fijará la fecha y
hora de su aplicación dentro de los ocho días hábiles siguientes a la presentación de la
justificación. Para justificar, el estudiante deberá completar la boleta que se distribuye en la
secretaria de la Escuela de Matemática y llevarla al profesor a cargo para que dé su visto
bueno; debe adjuntarse la justificación correspondiente. La boleta, firmada por el profesor,
deberá depositarse en el casillero del coordinador de la Cátedra.
4
9. Hora de atención
El horario de atención de estudiantes se muestra en la tabla 2.
Tabla 2: Horario de atención de estudiantes
Día
Hora(s)
Oficina o aula
10. Cronograma
La distribución de contenidos por semana se muestra en la tabla 3.
Tabla 3: Distribución de contenidos
Semana
1
2
Fecha
Contenidos
18 – 23 de julio
Noción intuitiva de límite. Límites unilaterales.
Propiedades y cálculo de límites: por sustitución directa,
simplificación, racionalización y cambio de variable.
25 – 30 de julio
Teorema del encaje. Límites de funciones trigonométricas
y sus inversas. Límites infinitos. Límites al infinito.
Feriado: Lunes 25 de julio
3
1 – 6 de agosto
Concepto de función continua, propiedades de las
funciones continuas y análisis de la continuidad de
distintas funciones.
Feriado: Martes 2 de agosto
4
8 – 13 de agosto
5
15 – 20 de
agosto
6
7
8
22 – 27 de
agosto
29 de agosto – 3
de setiembre
5 – 10 de
setiembre
Definición de la primera derivada de una función en un
punto. Interpretación de la primera derivada como razón
de cambio instantáneo. Interpretación geométrica de la
primera derivada en un punto. Cálculo de rectas tangentes
y de rectas normales a una curva.
Función derivada. Teoremas sobre derivación
funciones: derivada de una suma, resta, producto
de
Feriado: Lunes 15 de agosto
Teoremas sobre derivación de funciones: derivada de un
cociente y composición de funciones. Regla de la cadena.
Hasta aquí los temas a evaluar en el I Examen.
Derivadas de orden
Derivación logarítmica.
superior.
Derivación
implícita.
I Examen: Sábado 3 de setiembre.
Problemas de razones de cambio.
Extremos absolutos de una función continua. Extremos
relativos a una función.
5
9
12 – 17 de
setiembre
Aplicación de la primera derivada al estudio del
crecimiento de una función. Aplicación de la segunda
derivada al estudio de la concavidad de una función.
Construcción de gráficas de funciones mediante su cuadro
de variación (incluyendo asíntotas verticales, horizontales
y oblicuas)
Feriado: Jueves 15 de setiembre
10
19 – 24 de
setiembre
11
26 de setiembre
– 1 de octubre
Criterios de primera, segunda y n-ésima derivada.
Aplicación de la teoría de derivadas en resolución de
problemas de optimización.
Regla de L'Hopital.
Hasta aquí los temas a evaluar en el II Examen.
La integral indefinida de una función como un conjunto de
primitivas. Notación. Propiedades de la integral. Técnicas
de integración: directa, por sustitución, por partes.
II Examen: Sábado 8 de octubre. 1:00pm
Integrales de funciones trigonométricas, exponenciales y
logarítmicas. Integración por sustitución trigonométrica.
12
3 – 8 de octubre
13
10 – 15 de
octubre
14
17 – 22 de
octubre
Integración por fracciones parciales.
Feriado: Lunes 17 de octubre (Traslado del 12 de
octubre)
15
24 – 29 de
octubre
La integral definida mediante sumas de Riemman y
propiedades fundamentales relacionadas con el álgebra
de funciones. Teorema fundamental del cálculo. Cálculo
de la integral definida.
16
31 de octubre – 5
de noviembre
Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas bajo
una curva y área entre curvas.
17
7 – 12 de
noviembre
III Examen. Lunes 7 de noviembre.
18
14 – 19 de
noviembre
Entrega de promedios
19
21 – 26 de
noviembre
Examen extraordinario. Lunes 21 de noviembre.
8.00am
6
11. Bibliografía recomendada
Larson R., Hostetler R. y Edwards, B. (1999). Cálculo (Vol. 1). México DF, México:
McGraw-Hill.
Apóstol, T. (1985). Calculus (Vol. I y II). México DF, México: Reverté Ediciones S. A.
Ayres, F. (1988). Cálculo Diferencial e Integral (Trad. L. Gutiérrez y A. Gutiérrez). Madrid,
España: McGraw Hill.
Courant, R. y John, F. (1999). Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático. México DF,
México: Limusa.
Demidovich, B. (1977). Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. Moscú, Rusia:
Editorial MIR.
Finney T. (1997). Cálculo: una variable. México DF, México: Editorial Addison Weslie
Longman.
González, J. (2003). Introducción al Cálculo. San José, Costa Rica: Editorial UNED.
Piskunov, N. (1969). Cálculo diferencial e integral (Tomo I). Moscú, Rusia: Editorial MIR.
Simmons, G. (2002). Cálculo con Geometría Analítica (2ª ed.). México DF, México:
McGraw Hill.
Stewart, J. (2002). Cálculo (4ª ed.). México DF. México: Thompson Learning.
Thomas, G. (2006). Cálculo: una variable (11ª ed.). México DF, México: Pearson
Educación.
Atentamente,
ORIGINAL FIRMADO
Leonel Chaves Salas
Coordinador Cátedra
MAT002 Cálculo I
ORIGINAL FIRMADO
Alejandro Ugalde León
Coordinador Cursos Servicio
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