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Guía de probabilidades 7º básico 2012
Profesora: Angélica Torre Mancilla
Nombre:……………………………………………………………………..
¿QUÉ TAN PROBABLE
ES QUE……………………………..?
“ES PROBABLE QUE HAYAS OIDO HABLAR DE LO PROBABLE, O ES
PROBABLE QUE NO. DESARROLLANDO ESTA GUIA ES PROBABLE QUE
NO OLVIDES LO PROBLABLE”.
Probabilidad y azar
El azar está relacionado con el desconocimiento. Un ejemplo nos puede ayudar;
piense en un proceso industrial que produce grandes cantidades de un artículo
determinado. No todos los artículos producidos son idénticos, cada artículo puede
calificarse como "bueno o "defectuoso. Si de toda la producción se escoge un
artículo "a ciegas'', ese artículo puede resultar bueno o defectuoso. Esta es una
situación azarosa (o aleatoria) y la parte esencial de este azar es que no sabemos
si el artículo seleccionado es defectuoso. Claro que con experiencia en el proceso
es posible cuantificar de una manera numérica qué tan probable es que el artículo
sea defectuoso o no.
Espacio muestral.
Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales
de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo
tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si dejamos caer un dado sobre
una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es
una experiencia aleatoria.
La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo
sociológico (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran
almacén o que se matricularán en una carrera...) aunque son suma de muchas
decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como
aleatorios.
NOCIONES ELEMENTALES:
1. Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas
condiciones un número indefinido de veces.
2. Experimento Aleatorio: Es aquel cuyo resultado no se puede predecir,
habiendo un conjunto de resultados posibles.
A.T.M.
EJEMPLO
1. Indicar ¿Cuál(es) de los siguientes experimentos es (son) aleatorio(s)?
Encender una vela y observar si alumbra.------------------------------------------Lanzar un dado y observar si la cara superior muestra un cinco.------------Preguntarle a un desconocido si fuma.----------------------------------------------3. Espacio Muestral: Es el conjunto de resultados posibles de un
experimento aleatorio. Si se representa el espacio muestral por E, cada
elemento de él es llamado punto muestral.
Ejemplo: 1) Lanzar un dado y observar el número obtenido en la cara
superior.
Respuesta: E =
2) Lanzar una moneda, obtener el espacio muestral.
Respuesta: E =
4. Evento o Suceso: Es un resultado particular de un experimento aleatorio.
En otras palabras, es un subconjunto del espacio muestral.
Ejemplo. Lanzar un dado y obtener un número par.
Respuesta.
E=
Suceso=
5. Suceso cierto: -Es el propio espacio muestral
- Se llama cierto en cuanto hay certeza respecto de que ocurra al realizar el
experimento aleatorio respectivo.
-Un evento cierto tiene probabilidad 1 y siempre ocurre
Ejemplo 1- Al lanzar un dado considere el evento A: que salga un número
menor que 10. ¿Cuál es el espacio muestral? Y su probabilidad.
Respuesta: A= E =
; la probabilidad es 1
Ejemplo 2- El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un
dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es
igual a uno (100%).
6. Suceso imposible: Es subconjunto
probabilidad es cero.
vacio del espacio muestral y su
Ejemplo1: Al lanzar un dado considere el suceso B: que salga el número 17
Respuesta: B= ; la probabilidad de B es cero
Ejemplo 2: Lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el
número 7 es cero (al menos, si es un dado certificado por la OMD,
“Organización mundial de Dados”).
7. La probabilidad de un evento se puede expresar en forma fraccionaria
decimal o porcentual.
A. T.M
8. Un espacio muestral es equiprobable si todos los elementos que lo
conforman tienen igual probabilidad de ser elegidos.
.
9. Observación: En todos los experimentos que se realicen con monedas,
dados, cartas, bolitas, etc..., se supondrá que no están cargados o
trucados, a no que se indique otra cosa.
13. PROBABILIDAD CLÁSICA
¿Cómo se mide la probabilidad?
Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace : La
probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos
favorables al evento A por el número total de casos posibles, es llamado el
Método Clásico
La probabilidad de A se denotará por P(A).
P(A) =Casos favorables / casos posibles
Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que
cumplir dos requisitos:
a) El número de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito. .
b) Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. (Si al lanzar un
dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos
aplicar esta regla)
Ejemplos aclaratorios:
Ejemplo 1
a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 3: el caso favorable
es tan sólo uno (que salga el tres), mientras que los casos posibles son seis
(puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto:
P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%)
b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso
los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que
los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto:
P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%)
A.T.M.
c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en
este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el
cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto:
P(A) = 4 / 6 = 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%)
d) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número mayor que 3: en
este caso tenemos tres casos favorables (que salga el cuatro, que salga el cinco o
1
el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo el seis. Por lo tanto:
P(A)=3/6= 0.5 (o lo que es lo mismo, 50%)
Ejemplo 2: En una bolsa hay 87 caramelos y 68 son de naranja. Si se escoge uno
al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea de naranja?
En este caso tenemos 68 casos favorables, mientras que los casos posibles son
87. Por lo tanto:
P(A)= 68/87 = 0.78 (78%)
14-Sucesos complementarios: la probabilidad de un suceso complementario a
un suceso (A) es igual a 1 - P(A)
Ejemplo: lanzamos un dado al aire. El suceso (A) es que salga un número
par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un número impar.
La probabilidad del suceso (A) es igual a:
P(A) = 3 / 6 = 0,50
Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a:
P (B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50
Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos
posibles":
P (B) = 3 / 6 = 0,50
-Entre los sucesos compuestos se pueden establecer distintas relaciones.
a) Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del
primer suceso será menor que la del suceso que lo contiene.
Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6,
y b) que salga un número par. Dijimos que el suceso a) está contenido en el
suceso b).
P(A) = 1/6 = 0,166
P (B) = 3 / 6 = 0,50
Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso a), es
menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).
b) Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de ambos
sucesos son las mismas.
A.T.M.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga
número par, y b) que salga múltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos
casos.
P(A) = 3 / 6 = 0,50
P (B) = 3 / 6 = 0,50
DIAGRAMAS DE ARBOLARES
JUGUEMOS CON LAS MONEDAS
Las gráficas pueden ayudarte sin duda a determinar las
probabilidades de cualquier evento
En un experimento lanzamos tres monedas (una a una) y escribimos los
resultados, utilizando las letras C o S para indicar si es cara o sello
respectivamente.
Podemos obtener por ejemplo, CCS que significa que en las dos primeras
monedas obtuvimos cara y en la tercera sello.
Calculemos la probabilidad de obtener CSC y la de obtener SSS.
Podemos indicar todos los posibles resultados (sin repetir) que se pueden
obtener al lanzar las monedas, mediante un diagrama de árbol como el
siguiente
MONEDA 1
C
∕
S
∕
MONEDA 2
MONEDA 3
C
∕
C
↓
2 OPCIONES
\
S
\
S
↓
∕
C
↓
\
C
\
S
↓
S
4 OPCIONES
∕
C
↓
\
S
↓
∕
C
↓
\
S
↓
C
C
C
C
S
S
S
S
C
C
S
S
C
C
S
S
C
S
C
S
C
S
C
S
8 OPCIONES
Podemos observar que los posibles resultados son 8:
CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS.
Como hay 8 posibles resultados, la probabilidad de cada resultado es
A.T.M.
.EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Indicar si la afirmación es falsa o verdadera
a) Al lanzar un dado el evento “sacar un número menor que siete”, es
un suceso cierto.
.
b) “Lanzar dos dados y obtener una suma mayor que 12”, es un evento
Imposible.
2. ¿Cuál(es) de los siguientes experimentos es (son) aleatorio(s)?
------- Encender una vela y observar si alumbra.
------- Lanzar un dado y observar si la cara superior muestra un cinco.
------- Preguntarle a un desconocido si fuma.
3. Un vendedor del servicio de televisión por cable visita tres casas,
anotando v si vende y n si no vende. El evento de vender el servicio a lo
más en una de ellas está representado por (marcar con una cruz la
alternativa correcta)
A) [nnn, nnv, nvn, vnn]
B) [nnv, nvn, vnn]
C) [vvv, vvn, vnv, nvv]
D) [vvn, vnv, nvv]
E) [nnn]
4. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener más de 10
puntos?
5. Un naipe inglés consta de 52 cartas repartidas en cuatro pintas distintas,
de las cuales dos son rojas (corazón y diamante) y dos son negras (pique y
trébol). Cada pinta consta de 3 figuras: rey (K), dama (Q), caballero (J) y de
10 cartas numeradas desde 1 (as) a 10. Calcular la probabilidad de
obtener:
-un “AS” al extraer una de las 52 cartas de una baraja inglesa.
-Un “REY” al extraer una de las 52 cartas de una baraja inglesa es.
6. Se tienen dos urnas: la primera contiene 6 bolitas verdes y 4 rojas, la
segunda contiene 3 bolitas verdes y 7 rojas. Si se extrae una bolita de cada
una, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean verdes?
7. En una caja se tienen 10 fichas numeradas del 1 al 10, ¿cuál es la
probabilidad de que una ficha elegida aleatoriamente tenga un número par y
múltiplo de 4?
8. Un jugador de básquetbol encesta 8 de cada 10 lanzamientos al aro.
¿Cuál es la probabilidad de que este jugador no enceste?
9. ¿En cuál de los siguientes eventos la probabilidad de ocurrencia es igual
a cero? (justifica la respuesta)
------ Tener más de 10 hijos
------ Nacer en un año terminado en cero
------ Que un mes tenga 29 días
------ Que al elegir al azar una fruta en invierno esta sea manzana
------ Que al tirar 3 dados, la suma de los números obtenidos sea 24
A.T.M.
10. Una caja contiene 12 fichas de igual tamaño. Cada una de ellas contiene
una letra de la palabra PROBABILIDAD. Al sacar al azar una de las
fichas, calcular.
a) La probabilidad de obtener la: -letras b - letra a - letra d.
b) La probabilidad de sacar una vocal.
11. En un naipe de 52 cartas (13 picas, 13 corazones, 13 diamantes, 13
tréboles), ¿cuál es la probabilidad de sacar al azar: una pica- un corazón-un
diamante- un trébol y nuevamente un corazón, en ese orden y sin
reposición?
12. Jorge y Lorena decidieron estimar la probabilidad de sacar de una urna
una bolita de un color determinado. Para ello, Jorge extrajo con reposición
100 veces una bolita de la urna y Lorena registró cada una de las
extracciones. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
Color de las
bolitas
Negro
Probabilidades 0,15
Blanco
Rojo
Azul
0,3
0,4
0,15
1. ¿Cuántas veces sacaron una bolita de color negro?
2. ¿Cuántas veces sacaron una bolita de color blanco o rojo?
3. ¿Cuántas veces sacaron la bolita de un color distinto al negro y al
rojo?
Respuesta: 1) se extrajeron 15 bolitas negras
2) Se extrajeron 70 bolitas blancas o rojas
3) se extrajeron 45 bolitas de color distinto al rojo y al negro
13. en un restaurante se desea estimar qué tan probable es que los clientes
elijan un determinado plato de almuerzo. Para ello deciden registrar la
elección de 300 de sus clientes en un día lo que se muestra a continuación
en la tabla:
A.T.M.
Acompañamiento
Arroz
Fideos
Puré
Pollo
54
25
38
Carne
58
29
45
Tortilla de Acelga
25
12
14
De acuerdo con esta información, calcula la probabilidad de que al
llegar un cliente, este elija:
1.
2.
3.
4.
Arroz con pollo
Fideos
Arroz con carne o puré con pollo
Cualquier acompañamiento y ningún tipo de carne.
Respuesta: 1) 0.18
2) 0.22
3) 0.32
4) 0.17
14.
15.
Para la rifa de un electrodoméstico se organizan 25 boletas, cada
una con 4 números. Si Juan compró dos boletas, ¿cuál es la
probabilidad de ganar el premio?
Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con los
números 1, 2 y 3. (Resuelva diseñando un diagrama de árbol)
16.
Se tiene en una urna 15 bolitas; 5 son rojas; 3 son verdes y 7 son
amarillas. Se saca al azar una bolita:
a. ¿Cuántos son los casos posibles?
b. Los casos favorables de sacar una bolita verde, ¿Cuántos
son?
c. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja?, una verde?,
¿una amarilla?
17.
Considera una familia con tres hijos:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los hijos sean niñas?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer hijo sea un niño y
los otros dos sean niñas?
c. ¿cuál es la probabilidad de que dos de los hijos sean niñas y
el otro un niño? (realiza el diagrama de árbol correspondiente.
Puedes utilizar las consonantes F y M, para indicar femenino
y masculino).
18.
Se selecciona al azar un número de 1 a 10. Hallen la probabilidad de
obtener un número par. Escriban la respuesta en forma de fracción y
en porcentaje.
19.
Si en 1000 lanzamientos de una moneda resultan 520 caras, ¿Cuál
es la probabilidad de obtener sello en los 1000 lanzamientos?
20.
Se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 7 puntos?
“Tiempo estimado para resolver la guía una semana a partir de su publicación”
A.T.M.