EJERCICIO RESUELTO: Un libro tiene cuatro capítulos. El primer

EJERCICIO RESUELTO:
Un libro tiene cuatro capítulos. El primer capítulo tiene 140 páginas, el segundo 100, el
tercero 150 y el cuarto 50. El 5% de las páginas del primer capítulo, el 4% del segundo
y el 2% del tercero tienen algún error. Las páginas del cuarto capítulo no tienen errores.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir una página al azar, tenga algún
error?.
b) Supongamos que hemos elegido una página y observamos que no tiene
ningún error, ¿cuál es la probabilidad de que sea del segundo capítulo?
Resolución:
(ver página siguiente)
Resolución:
a)
Hagamos la siguiente partición del espacio muestral (el espacio muestral son todas las
hojas del libro):
H1 es el suceso formado por extraer una hoja del capítulo 1.
H2 es el suceso formado por extraer una hoja del capítulo 2.
H3 es el suceso formado por extraer una hoja del capítulo 3.
H4 es el suceso formado por extraer una hoja del capítulo 4.
Es claro que los sucesos H1 , H2 , H3 , H4 es una partición del espacio muestral (en
efecto, la unión de todos estos sucesos da el espacio muestral y la intersección de
cualesquiera de éstos sucesos da el conjunto vacío, esto es, no hay ningún suceso
elemental incluido en más de un conjunto H)
Una vez creada la partición del espacio muestral, definamos los siguientes sucesos:
M es el suceso formado por extraer una página errónea del libro.
B es el suceso formado por extraer una página no errónea del libro.
Me piden calcular P(M). Pues bien, aprovechando que H1 , H2 , H3 , H4 es una
partición del espacio muestral, tenemos:
PM   PH 1  PM | H 1  PH 2   PM | H 2   PH 3  PM | H 3  PH 4   PM | H 4 
PM  
140 5
100 4
150 2
50






0
440 100 440 100 440 100 440
PM  
1400
14
7


 0,0318
44000 440 220
Solución: La probabilidad de que al elegir una página al azar del libro, ésta sea errónea,
es 0,0318 .
b)
Apliquemos la fórmula de Bayes:
P B | H 2  P H 2 | B 

P B 
PH 2 
Y ahora calculemos las probabilidades más fáciles que aparecen en ésta fórmula:
P H 2  
PB | H 2   96% 
100
440
96
100
P B   PH 1  P B | H 1  P H 2   P B | H 2   P H 3  P B | H 3  P H 4   PB | H 4
P B  
140 95 100 96 150 98
50






1
440 100 440 100 440 100 440
PB  
13300  9600  14700  5000 42600 426 213



 0,96 81
44000
44000 440 220
También se podía haber hecho mucho mas rápido PB  de la siguiente manera:
PB   1  PM   1 
7
213

 0,96 81
220 220
Y ahora volvamos a la fórmula de Bayes y sustituyamos:
96
100  PH 2 | B 
213
100
220
440



96  220
P H 2 | B 

100
213  100
440
96  220
 P H 2 | B 
213  440
176
 PH 2 | B 
781



96  220 100

 P H 2 | B 
213  100 440
21120
 P H 2 | B 
93720

0,225  PH 2 | B 
Solución: La probabilidad de que, habiendo elegido al azar una página y hayamos
comprobado que no tiene ningún error, ésta sea del segundo capítulo, es 0,225. Esto es,
si elegimos al azar una página sin errores, la probabilidad de que dicha página sea del
segundo capítulo es 0,225.