PROBABILIDAD. 1. Experimento aleatorio . Aquel cuyo resultado no

PROBABILIDAD.
1. Experimento aleatorio. Aquel cuyo resultado no puede predecirse.
Lanzar moneda.
Tirar dado.
Extraer una bola de una bolsa con bolas de colores.
Etc.
Lo contrario es determinista:
Tiempo en recorrer una distancia a una determinada velocidad.
Fuerza para levantar un objeto.
Etc.
2. Espacio muestral. Es el formado por todos los posibles resultados de un
experimento aleatorio. Se representa mediante E.
Al lanzar un dado tetraédrico: E={1,2,3,4}
Al tirar una moneda: E={C,X}
Al extraer una carta de una baraja y mirar el palo: E={O,C,E,B}
3. Suceso. Es cada subconjunto del espacio muestral.
Al tirar un dado: par={2,4,6}
menor de 3={1,2}
4. Espacio de sucesos. Es el conjunto formado por todos los sucesos, incluido el
conjunto vacío y el propio espacio muestral. Se representa por S. El número de
elementos del espacio de sucesos de un experimento de espacio muestral con n
sucesos, es 2n.
Al tirar un dado tetraédrico:
S  {0,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}}
Al lanzar una moneda: E={C,X}
S={0,{C},{X},{C,X}}
5. Tipos de sucesos.
 Seguro. Sucede siempre. Es el espacio muestral.
 Imposible. No sucede nunca. Es el conjunto vacío.
 Contrario o complementario de un suceso. Es el que sucede cuando no ocurre el
__
suceso considerado. En el lanzamiento de un dado:  3  {3,4,5,6}
 Compatibles. Pueden verificarse simultáneamente. Si no, incompatibles.
En el lanzamiento de un dado: <4 y par son compatibles. Son incompatibles <3
y >4
 Dependientes. El que se verifique uno influye en que ocurra el otro. Si no,
independientes. Todas las extracciones sin devolución son sucesos dependientes.
6. Operaciones con sucesos.
 Unión. U Es el suceso formado por los elementos que pertenecen a alguno o a
los dos sucesos iniciales. A={2,3,4} B={3,4,5,6} AUB={2,3,4,5,6}
 Intersección. ∩ Es el suceso formado por los elementos que pertenecen a los dos
sucesos considerados. A={2,3,4} B={3,4,5,6}
A∩B={3,4}
 Diferencia. A-B es el suceso formado por los elementos de A que no pertenecen
a B. Se cumple que A  B  A  B  A  A  B
 Complementario o contrario. Es el suceso que se verifica cuando no ocurre el
__

suceso considerado. Como vimos:  3  {3,4,5,6}
Leyes de Morgan
a. AUB  A  B
el complementario de la unión es la
intersección de los complementarios.
b. A  B  A  B
el complementario de la intersección es la
unión de los complementarios.
Ejemplo: E={1,2,3,4,5,6} A={1,2,3,4} B={3,4,5}
{6}={6}
A B  A B
{1,2,5,6}={1,2,5,6}
A B  A B
7. Probabilidad
casos favorables
casos posibles
Sólo es válida cuando los casos son equiprobables.
1
Ejemplo: al lanzar un dado:
P(6)=
6
3 1
P(<4)= 
6 2
b. Definición a posteriori. Ley de los grandes números. La frecuencia
relativa de un suceso tiende a estabilizarse alrededor de un número que es su
probabilidad.
fi
P  lim  lim hi
N  N
N 
Tiene el inconveniente de tener que efectuar el experimento previamente un
número elevado de veces.
Ejemplo: en 1000 tiradas de dado hemos obtenido 150 seises.
150
15
3
P(6)=


1000 100 20
a. Definición a priori. Ley de Laplace. P 
8. Propiedades.
 0  P  1 ya que P(suceso imposible)=0 y P(E)=1
 P ( A)  1  P ( A) ya que E=A+ A
Ejemplo: en una urna hay 2N, 3 R y 5 A. ¿Cuál es la probabilidad de que al
extraer una bola salga R ó A?
2 4
P(R o A)=1-P(N)=1- =
10 5
9. Probabilidad de la unión.
a. En sucesos incompatibles: P(AUB)=P(A)+P(B)
Ejemplos:
 al extraer una carta de una baraja, la probabilidad de que sea <6 ó >8:
20 8
28 7
p(<6 U >8)=p(<6)+p(>8)= 


40 40 40 10
 al lanzar un dado, la probabilidad de que sea <3 ó >5 es:
2 1 3 1
p(<3 U >5)=   
6 6 6 2
b. En sucesos compatibles: P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
Ejemplos:
 Al extraer una carta, la probabilidad de que sea oro o figura:
10 12 3 19
P(oro U figura)=P(oro)+P(figura)-P(oro∩figura)= 


40 40 40 40
El caso b incluye al a, siendo entonces P(A∩B)=0
10. Probabilidad de la intersección.
a. En sucesos independientes. P(A∩B)=P(A)·P(B)
Ejemplos:
 Al extraer dos cartas, devolviendo la primera, la probabilidad de que
la primera sea oro y la segunda figura:
10 12
3
P(oro ∩ figura)=P(oro)·P(figura)=

40 40 40
b. En sucesos dependientes: P(A∩B)=P(A)·P(B/A) siendo P(B/A) la
probabilidad de B suponiendo que ha ocurrido previamente el suceso A.
 Al extraer dos cartas, sin devolución de la primera, la probabilidad de
que la primera sea oro y la segunda copa:
10 10 5
P(oro ∩ figura)=P(oro)·P(copa/oro)=

40 39 78
Ejemplo: Al extraer 2 cartas de una baraja, ¿cuál es la probabilidad de que
al menos una sea copas?
Posibilidades: CX
XC
CC
10 30 30 10 10 9 23
P



40 39 40 39 40 39 52
30 29 23
Más sencillo por complementario: P=1- C =1
40 39 52
11. Probabilidad condicionada. Despejando de la probabilidad de la intersección
P( A  B)
P(A∩B)=P(A)·P(B/A) tenemos que P ( B / A) 
P ( A)
1. En una urna hay 7 bolas rojas y 3 blancas. Se extraen dos bolas. ¿Cuál es la
probabilidad de que la segunda sea roja si la primera fue blanca?
7
P( R / B) 
9
2.
a. Calcula la probabilidad de obtener par en el lanzamiento de un dado.
3 1
P(par)= 
6 2
b. ¿Y si sabemos que la puntuación obtenida ha sido mayor de 3?
2
directamente, aplicando Laplace:
P
3
2
P( 3  par ) 6 2
P(>3 ∩ par)=P(>3)·P(par/>3)
P( par /  3) 
 
3 3
P( 3)
6
Al tirar dos dados ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los dados sea 8
si el primero no fue 5?
4
P ( s  8  1º 5 36 2
P(s=8/1º 5 )=


5 15
P (5)
6
P(B) = 30 / 36. Porque de las 36 parejas posibles, 6 tienen 5 en el primer
dado.
P(A y B) = 4 / 36. Porque sólo se obtiene 8, con las parejas (2,6), (3,5), (4,4)
y (6,2) La pareja (5,3) sí suma ocho pero tiene un 5 en el primer dado].
y, usando la fórmula.
3. El 60% de los alumnos estudia y el 55% estudia y aprueba todo. ¿Cuál es la
probabilidad de que un alumno que estudia apruebe?
P(Estudia∩Aprueba)=P(Estudia)·P(Aprueba/Estudia)
P ( E  A) 0,55
P( A / E ) 

 0,9166  91,7%
P( E )
0,60
4. En una clase hay 10 chicos y 20 chicas. De los chicos estudian 4 y de las
chicas 8. ¿Cuál es la probabilidad de que una chica estudie?
O
A
E
4
8
12
6
12 18
E
10 20 30
8 2
directamente: P(E/A)=

20 5
8
8 2
mediante la fórmula de la probabilidad condicionada: P ( E / A)  30 

20 20 5
30
5. En una clase de 30 alumnos hay 20 chicas de las que el 25% estudian. ¿Cuál
es la probabilidad de que una chica estudie?
5
P ( E  A) 30
5
P ( E / A) 


 0,25
20 20
P ( A)
30
6. En una clase de 25 alumnos, hay 10 chicos, de los que 6 han aprobado un
examen. ¿Cuál es la probabilidad de que un chico apruebe?
P(A/O)=
6
P ( A  O) 25 6 3


  0,6
10 10 5
P (O)
25
7. El 60% de los alumnos de un Instituto son chicas y el 40% chicos. La mitad
de los chicos lee el periódico, mientras que sólo el 30% de las chicas la lee.
a) Obtener de forma razonada la probabilidad de que un alumno elegido al
azar lea la revista.
b) Si el alumno elegido al azar nos dice que no lee la revista, obtener de
forma razonada la probabilidad de que sea chica.
L
L
A
18
42
60
a)
O
20 38 P(L)= 38
100
20 62
40 100
42
P ( A  L) 100 42 21
b) P ( A / L) 



62
62 31
P ( L)
100