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El Cálculo. Louis Leithold. Séptima edición en español. ISBN 970-613-182-5
Ejercicios de repaso para el capítulo 1. Ejercicio 31, página 96.
p
9 t 3
Calcula el límite lim
e indica los teoremas de límites empleados.
t!0
t
Solución:
Para calcular el límite de un cociente tenemos el teorema (página 43):
1.5.10 Teorema 9 de límites. Límite del cociente de dos funciones.
Si lim f (x) = L y
lim g (x) = M , entonces
x!a
f (x)
lim
L
M
=
x!a g (x)
x!a
si M 6= 0.
En este caso
lim
p
9
t
3
t
t!0
p
lim
=
t!0
9
t
lim t
t!0
3
=
?
0
0
que es inde…nido. Así que debemos analizar el límite con más cuidado. Podemos racionalizar el denominador, haciendo
p
p
p
p
p
9 t 3
9 t+3
9 t 3
9 t 3 9 t+3
9 t 9
t
1
p
p
=
=
= p
= p
=p
t
t
9 t+3
t 9 t+3
t 9 t+3
t 9 t+3
9 t+3
así que
p
9 t
t
3
=p
1
t+3
9
y ahora podemos aplicar el teorema citado arriba
lim
p
9
t!0
t
3
t
= lim p
t!0
lim ( 1)
1
t!0
p
=
t+3
lim 9 t + 3
9
t!0
Para sacar estos límites, tenemos primero el teorema sobre el límite de una constante (página 41),
1.5.3 Teorema 2 de límites. Límite de una función constante.
Si c es una constante, entonces para cualquier número real a;
lim c = c.
x!a
Así que
lim ( 1) =
t!0
1
Para sacar el límite del denominador, tenemos el teorema (página 41),
1.5.5 Teorema 4 de límites. Límite de la suma y de la diferencia de dos funciones.
Si lim f (x) = L y
x!a
lim [f (x)
x!a
lim g (x) = M , entonces
x!a
g (x)] = L
M.
Así que
1
p
lim 9
t!0
p
t + 3 = lim 9
t!0
t + lim 3
t!0
p
Ahora para encontrar el límite lim 9
t usamos el teorema (página 43),
t!0
1.5.11 Teorema 10 de límites. Límite de la raiz n ésima de una función.
Si n es un número entero positivo y si lim f (x) = L, entonces
x!a
p
p
lim n f (x) = n L
x!a
con la restricción que si n es par, debemos tener L
Así que
q
p
lim 9 t = lim 9
t!0
t!0
lim t =
t!0
p
9
0=
p
0.
9=3
Por tanto, tenemos …nalmente
lim
t!0
p
9
t
t
3
= lim p
t!0
En resumen,
p
9 t 3
lim
=
t!0
t
9
lim ( 1)
1
t!0
p
=
=q
t+3
lim 9 t + 3
lim 9
t!0
-4
-3
lim t + 3
=
1
=
3+3
1
6
t!0
1
6
A continuación presentamos la grá…ca de
límite
-5
t!0
1
-2
-1
0
p
9
t
3
t
1
en la vecindad del cero para que quede una imagen clara de este
2
3
y
-0.16
-0.17
-0.18
-0.19
-0.20
2
4
x
5