Límite de funciones
Tres indeterminaciones:
Indeterminación 0 ⋅ ∞
Ejemplo sencillo:
lim+ x log
x→0
que podemos transformar en:
1
=0⋅∞
x
1
lim+ x log = lim+
x→0
x x→0
1
=y ;
x
1
x =∞
1
∞
x
log
x→0
y→∞
1
x = lim log y = 0
y →∞
1
y
x
log
lim
x →0
Ejemplo más complicado:
lim(1 − z ) tg
πz
=0⋅∞
2
Utilizamos la siguiente transformación trigonométrica:
z →1
πz
π
πz
π
(z − 1)
2
2
(1 − z ) = lim (1 − z )
πz
lim(1 − z ) tg = lim
z →1
πz z →1 π
2 z →1
c tg
tg (1 − z )
2
2
c tg
2
= tg
2
−
= tg
Hacemos:
(1 − z ) = x
(1 − z )
lim
z →1
z →1
;
tg
π
2
(1 − z )
Y ahora resolvemos la indeterminación
0
0
x→0
x
= lim
x →0
tg
π
2
=
x
0
0
0 ⋅ ∞ ; 00 ; ∞0
Límite de funciones
Tres indeterminaciones:
x
lim
x →0
tg
= lim
π
2
x →0
x
x
π
2
0 ⋅ ∞ ; 00 ; ∞0
2
=
π
x
Indeterminación 0 0
lim x x = 0 0
x→0 +
)
(
Cuando existe lim f ( x ) = b se tiene lim log f ( x ) = log lim f (x ) . Por tanto si
x→a
x→a
x→a
lim x x = a
x→0 +
Podemos tomar logaritmos y queda:
log lim+ x x = log a
x →0
Y
log lim+ x x = lim+ log x x = lim+ x log x = lim+
x→0
x→0
x→0
x →0
Y haciendo el cambio de variable:
1
=y ;
x
lim+
x→0
Es decir:
log x
= lim
y →∞
1
x
log
y
1
y
x → 0+
log x − ∞
=
1
∞
x
y→∞
− log y
= 0 = log a
y →∞
y
= lim
lim x x = 1
x→0 +
Indeterminación ∞ 0
lim+
1
x
lim+
1
x
x→0
x
= ∞0
Al igual que en el caso anterior, si
x→0
x
=a
a =1
Límite de funciones
Tres indeterminaciones:
0 ⋅ ∞ ; 00 ; ∞0
Se toman logaritmos y transformamos el tipo de indeterminación:
log lim+
x→0
1
x
x
= lim+ log
x →0
x
1
x
1
= lim+
x →0
x
= lim+ x ⋅ log
x →0
Hacemos el siguiente cambio de variable:
1
=y ;
x
x → 0+
log
lim+
x→0
Luego:
1
x
1
x
y→∞
= lim
y →∞
log a = 0
log y
=0
y
a =1
Es decir:
1
lim+
x→0
x
x
=1
log
1
x
1
x
=
∞
∞
0
