Nombre: Curso: - Programa Académico de Bachillerato

Primera Prueba de Matemáticas II. Programa de Bachillerato
Nombre:
1
Curso:
3. El sistema circulatorio debe funcionar entre otras cosas para que se
minimice la energı́a consumida por el corazón al bombear sangre. En
particular, esta energı́a se reduce cuando se reduce la resistencia de
la sangre. Una de las leyes de Poiseuille modela la resistencia R en la
sangre como
L
R=C 4
r
donde L es la longitud del vaso sanguı́neo, r es el radio y C es uan
constante positiva que depende de la viscosidad de la sangre. En la
figura se muestra un vaso sanguineo principal, con radio r1 , el cual se
ramifica formando un ángulo θ ∈ [0, π/2], hacia un vaso más pequeño
r2 .
a) Aplica la ley de Poiseuille para demostrar que la resistencia total
de la sangre a lo largo de la trayectoria ABC es:
¶
a − bcotan(θ) bcosec(θ)
+
R=C
r14
r24
donde a y b son las medidas que se muestran en la figura.
µ
Solución:
Denotemos por x la distancia de A a B y por y la distancia de B
a C.
Por lo tanto, sen(θ) = yb , de donde
y = bcosec(θ)
2
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Del mismo modo, cotan(θ) =
a−x
, de donde
b
x = a − bcotan(θ)
Por lo tanto:
RAB = C
a − bcotan(θ)
,
r14
y
RBC = C
bcosec(θ)
r24
Entonces
RAB + RBC = R = C
µ
a − bcotan(θ) bcosec(θ)
+
r14
r24
¶
b) Para r1 y r2 constantes, al ángulo θ que minimiza la resitencia,
se le llama ángulo óptimo de ramificación. Verifica que el ángulo
óptimo de ramificación, satisface
cos(θ) =
r24
r14
Solución:
Derivando R respecto a θ resulta:
dR
cosec2 (θ)
cos(θ)
(θ) = Cb
−
bC
dθ
r14
r24
·
¸
cos(θ)
1
dR
2
(θ) = Cbcosec (θ) 4 −
dθ
r1
r24
·
¸
Cbcosec2 (θ) r24
dR
(θ) =
− cos(θ)
dθ
r24
r14
dR
r24
Luego
(θ0 ) = 0, si y solo si cos(θ0 ) = 4 .
dθ
r1
Como la función coseno es decreciente en [0, θ0 ], se tiene que si
θ < θ0 , entonces
cos(θ) > cos(θ0 ) =
Luego
r14
r14
⇔
0
>
− cos(θ)
r24
r24
dR
(θ) < 0, por lo tanto R es decreciente en [0, θ0 ].
dθ
Del mismo modo, si π/2 > θ > θ0 , entonces
cos(θ) < cos(θ0 ) =
r14
r14
⇔
0
<
− cos(θ)
r24
r24
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Luego
3
dR
(θ) > 0, por lo tanto R es creciente en [θ0 , π/2].
dθ
r24
.
r14
c) Encuentra el ángulo óptimo de ramificación cuando el radio del
vaso sanguı́neo menor es dos tercios del radio mayor.
Entonces R alcanza un mı́nimo en θ0 , tal que cos(θ0 ) =
Solución:
Evaluando cos(θ0 ) =
Por lo tanto
24
16
r24
=
=
.
4
r1
34
81
µ ¶
16
θ0 = Arccos
81