Problema 3

Problema realizado por José Francisco Ramón Prados.
Enunciado:
r
r
r r r r
Dados los vectores x = 2u + 3v , y = u − v . Calcular el producto escalar de los
r
r
r r
r
vectores x e y sabiendo que {u, v} es una base ortogonal y el módulo de u y
r
v es 2 y 3 respectivamente.
Bases teóricas:
•
Base ortogonal: es cuando los vectores de la base son perpendiculares
entre sí.
•
Definición de Combinación lineal:
Se llama combinación lineal de dos o más vectores al vector que se
obtiene de sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.
r
r
r
El vector x es combinación lineal de los vectores u y v , si existen los
escalares a y b, tales que:
r
r
r
x = a ⋅ u + b ⋅ v ; siendo a, b ∈ R
•
Producto escalar de dos vectores es un número real que se obtiene de
multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que
forman.
r r r r
u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cosα
Si el producto escalar es igual a 0 puede ser por dos motivos.
1. Que uno de los dos vectores sea el vector nulo, es decir
r
ó u = (0,0).
r
v = (0,0)
2. Que siendo los vectores distintos del vector nulo, formen un ángulo
de 90º. Es decir:
r r r r
u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos90º = 0
Solución grafica: (no tiene solución grafica)
Cálculo:
r v
r
r r r
r r
r r
r r
r r
x ⋅ y = (2u + 3v)(u − v ) = 2u·u + 2u( −v) + 3v·u − 3(v ⋅ v)
r r
x ⋅ y = 2 ⋅ 2 2 − 2·0 + 3·0 − 3·3 2 = 8 − 27 = −19
Aclaraciones:
•
r r r2
r2
u ⋅ u = u . En nuestro problema u = 22
•
r2
r r r2
v ⋅ v = v . En nuestro problema v = 32
•
r r r r
u ⋅ v = v ⋅ u = 0 ; al ser base ortogonal (perpendicular) el producto escalar
vale 0
r r
Solución: x · y = −19