Sec3.2

Sec. 3.2 Reglas del Producto y el Cociente
Por analogía con las Reglas de suma y diferencia se
podría tener la tentación de adivinar, como lo hizo Leibniz
hace tres siglos, que la derivada de un producto es el
producto de las derivadas. Sin embargo, con un ejemplo
sencillo se dará cuenta que esto es incorrecto.
Ejemplo
Sea f ( x ) = x, g ( x ) = x 3 , hallar la derivada de ( fg )( x ) .
La fórmula correcta fue descubierta por Leibniz y se llama
la Regla del Producto.
Considere dos funciones positivas diferenciables u=f(x) y
v=g(x) para ver cómo se puede determinarla.
∆u = f ( x + ∆x ) − f ( x ) ; ∆v = g ( x + ∆x ) − g ( x )
∆(uv ) = (u + ∆u )(v + ∆v ) − uv = u∆v + v∆u + ∆u∆v
La suma de las áreas de las regiones sombreadas.
Dividiendo por
∆x
:
∆(uv )
∆v
∆u
∆v
=u
+v
+ ∆u
∆x
∆x
∆x
∆x
Si se considera
∆x → 0
, se obtiene la derivada de
uv
∆ ( uv )
d
∆u
∆v 
 ∆v
= lim  u
+v
+ ∆u 
( uv ) = lim
dx
∆x
∆x
∆x 
∆x → 0
∆x → 0  ∆x
∆v
∆u
∆v
= lim u
+ lim v
+ lim ∆u
∆x ∆x →0 ∆x ∆x →0
∆x
∆x → 0
∆v
∆u 
∆v 
du
du

= u lim
+ vlim
+  lim ∆u  lim  = u
+v
+0
dx
dx
∆x → 0 ∆x
∆x → 0 ∆x
 ∆x →0
 ∆x →0 ∆x 
Regla del Producto
Si f y g son funciones diferenciables, entonces
d
d
d
 f ( x ) g ( x ) = f ( x )  g ( x ) + g ( x )  f ( x )
dx
dx
dx
Ejemplo
2
2
Encuentra la derivada de f ( x ) = (1 − 3x )( x + x ) de dos
formas:
Ejemplo
z
2
z
Encuentra la derivada de f ( z ) = (1 + e )( z − e ) .
Ejemplo
x
'
f
x
=
e
g
x
,
g
0
=
2
y
g
(
)
(
)
(
)
( 0 ) = 5 , encuentra
Si
.donde
f ' (0).
Regla del Cociente
Si f y g son funciones diferenciables, entonces
d  f ( x)

=
dx  g ( x ) 
g ( x)
d
d
 f ( x ) − f ( x )  g ( x )
dx
dx
2
 g ( x )
Ejemplo
Encuentra la derivada:
t2 + 2
1. y = t 4 − 3t 2 + 1
v 3 + 2v v
2. y =
v 3/2
Ejemplo
x
g
x
=
gn ( x).
(
)
x , encuentra
Si
e
Ejemplo
x
y
=
La curva
1 + x 2 es llamada una serpentina. Encuentra
la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto
(3,0.3).
Tabla de Fórmulas de Diferenciación
d
(c) = 0
dx
( cf ) ' = cf '
d n
x ) = nx n −1
(
dx
( f + g ) ' = f '+ g '
( fg ) ' = fg '+ gf '
 f  gf '− fg '
 g ' =
g2
 
d x
e ) = ex
(
dx
( f − g ) ' = f '− g '