Leccion 4 Espacios vectoriales

Ingenierı́a Civil.
Matemáticas I. 2012-2013.
Departamento de Matemática Aplicada II.
Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.
Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
4.1.- Espacios y subespacios vectoriales.
4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas.
Espacio nulo y espacio columna de una matriz.
Dependencia e independencia lineal.
Ecuaciones paramétricas y ecuaciones implı́citas de un subespacio.
4.3.- Bases de un subespacio.
Coordenadas. Dimensión.
Rango de una matriz. El teorema del rango.
Cambios de base.
4.4.- Ejercicios.
Enunciados.
Soluciones.
4.1.- Espacios y subespacios vectoriales.
De forma genérica, un espacio vectorial es un conjunto donde hay definida una operación
suma (la suma de dos elementos del conjunto es otro elemento del conjunto) y una operación producto por escalares (el producto de un escalar, real o complejo, por un elemento del
conjunto es otro elemento del conjunto) con las propiedades que conocemos de la suma y producto por escalares para vectores de coordenadas (conmutatividad, asociatividad, existencia
de elemento nulo, elemento opuesto, distributivas, etc.). Se dice que el espacio vectorial es
real o es complejo en función de que se consideren escalares reales o complejos respectivamente. Además de los espacios de coordenadas, Rn y Cn , que manipulamos habitualmente,
algunos ejemplos tı́picos de espacios vectoriales son, con las operaciones usuales de suma de
matrices y funciones y de producto de una matriz o una función por un escalar:
El conjunto de todas las matrices de dimensiones determinadas, m × n.
El conjunto de todos los polinomios en una variable.
El conjunto de todos los polinomios en una variable de grado menor o igual que un
cierto n ∈ N.
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Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
El conjunto de todas las funciones continuas (en un punto, en un intervalo).
El conjunto de todas las funciones derivables (en un punto, en un intervalo).
El conjunto de todas las funciones integrables en un intervalo.
El conjunto de las funciones (continuas, derivables, integrables) que se anulan en un
punto prefijado.
Y algunos ejemplos tı́picos de conjuntos que, con las operaciones usuales, no son espacios
vectoriales:
El conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n que tienen inversa.
El conjunto de los polinomios de un grado prefijado n ∈ N.
El conjunto de las funciones continuas f (en un punto, en un intervalo) tales que
f (x0 ) = 1 siendo x0 un punto del intervalo dado.
El conjunto de los vectores de R2 cuya segunda coordenada es igual a uno.
El conjunto de los vectores de R2 cuyas coordenadas verifican una ecuación de segundo
grado.
El tipo de subconjuntos más importantes dentro de un espacio vectorial son los llamados
subespacios vectoriales. En ellos se puede realizar las operaciones del espacio vectorial sin
salirnos de dicho subconjunto.
Definición. Se dice que un subconjunto (no vacio) S de un espacio vectorial es un subespacio vectorial si, con las operaciones que hay definidas en el espacio vectorial, es un
espacio vectorial. Es decir, si verifica que:
(a) ∀u ∈ S, ∀α ∈ K =⇒ αu ∈ S.
(b) ∀u, v ∈ S =⇒ u + v ∈ S.
De forma equivalente, S es un subespacio vectorial si
∀u, v ∈ S y ∀α, β ∈ K =⇒ αu + βv ∈ S.
Notemos que si S es un subespacio vectorial, el vector nulo tiene que pertenecer a S.
La propiedad (a) nos dice que si tenemos un vector no-nulo de un subespacio vectorial,
la recta determinada por dicho vector está contenida en el subespacio. La propiedad (b)
nos dice que si tenemos dos vectores (que no sean uno múltiplo del otro) de un subespacio
vectorial, el plano determinado
por dichos vectores está contenido en el subespacio.
{ }
Obviamente S = ⃗0 y S = Kn son subespacios vectoriales (a veces llamados subespacios
triviales). En el espacio tridimensional, cualquier recta o plano que pase por el origen es
un subespacio vectorial. En el plano, los vectores de posición determinados por los puntos
de una parábola NO forman un subespacio vectorial.
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4.1.- Espacios y subespacios vectoriales.
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Proposición. El conjunto de todas las combinaciones lineales de unos vectores dados es
un subespacio vectorial. Es decir, dados {v1 , . . . , vn },
Gen {v1 , . . . , vn } = {c1 v1 + · · · + cn vn : c1 , . . . , cn ∈ K}
es un subespacio vectorial (del espacio vectorial que se esté considerando). Este subespacio
vectorial se denomina subespacio generado por {v1 , . . . , vn }.
Es fácil comprobar que se cumplen las siguientes propiedades.
Propiedades.
(1) Gen {v2 , . . . , vn } ⊆ Gen {v1 , v2 , . . . , vn } .
(2) Gen {v1 , v2 , . . . , vn } = Gen {cv1 , v2 , . . . , vn } si c ̸= 0.
(3) Gen {v1 , v2 , . . . , vn } = Gen {v1 + αv2 , v2 , . . . , vn }.
(4) El subespacio generado por un conjunto de vectores no cambia al añadir combinaciones
lineales de dichos vectores o quitar vectores que sean combinación lineal de los restantes.
Ejemplos. Algunos ejemplos de subconjuntos que son o no son subespacios vectoriales.
En el espacio vectorial de las matrices m × n,
• el subconjunto de las matrices que tienen una fila (prefijada) nula es un subespacio
vectorial.
• el subconjunto de las matrices que tienen una fila (prefijada) no nula no es un
subespacio vectorial.
En el espacio vectorial de las matrices cuadradas n × n,
• el subconjunto de las matrices simétricas es un subespacio vectorial.
• el subconjunto de las matrices A cuadradas n × n que verfican que A2 = 0 no es
un subespacio vectorial.
• el subconjunto de las matrices cuadradas n × n con determinante cero no es un
subespacio vectorial.
En el espacio vectorial de todos los polinomios en una variable,
• el subconjunto de los polinomios de grado par no es un subespacio vectorial.
• el subconjunto de los polinomios de grado impar no es un subespacio vectorial.
• el subconjunto de todos los polinomios en una variable de grado menor o igual
que un cierto n ∈ N.
Relacionados con los subespacios vectoriales están las llamadas variedades lineales (o
afines). No son otra cosa que trasladados de subespacios vectoriales. Es decir, una variedad
es un conjunto de vectores que se puede expresar de la forma p + S siendo p un vector
dado y S un subespacio vectorial. Por ejemplo, en el plano o en el espacio, puesto que
una recta que pase por el origen de coordenadas es un subespacio vectorial, cualquier recta
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Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
será una variedad puesto que puede obtenerse trasladando, según un cierto vector, la recta
paralela que pasa por el origen de coordenadas. El estudio que haremos a continuación de la
estructura de espacio vectorial se centrará en los subespacios vectoriales. No consideraremos
de forma explı́cita el estudio de las variedades lineales aunque aparezcan: la solución general
de un sistema lineal es una variedad lineal porque la solucón general del sistema homogéneo
asociado es un subespacio vectorial.
A partir de la sección siguientes no vamos a considerar espacios vectoriales genéricos. Consideraremos, exclusivamente, los espacios vectoriales de coordenadas Rn y Cn . Los espacios
vectoriales de coordenadas Rn y Cn son los modelos para trabajar con espacios vectoriales
de dimensión finita (reales y complejos, respectivamente). Ası́, Rn , n = 1, 2, . . . , es el modelo
para el estudio de los espacios vectoriales reales de dimensión finita n. Por ejemplo, en lo
que se refiere exclusivamente a las operaciones suma y produco por un escalar, trabajar con
el espacio de las matrices reales de dimensiones 3 × 2 o con el espacio vectorial de los polinomios reales (en una variable) de grado menor o igual que 5 (6 coeficientes reales arbitrarios)
es equivalente a trabajar con el espacio R6 . Obviamente, todo lo que no se refiera exclusivamente a las operaciones suma y producto por un escalar en el espacio de las matrices o de los
polinomios, se pierde al representar dichos espacios como R6 (factorización de polinomios,
producto de matrices,...).
4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas.
4.2.1.- Espacio nulo y espacio columna de una matriz.
Definición. Sea A una matriz m × n con elementos en K. Se llama
espacio nulo de A a Nul (A) := {x ∈ Kn : Ax = 0} . Es decir, al conjunto solución del
sistema homogéneo Ax = 0.
espacio columna de A al subespacio (de Km ) generado por las columnas de A,
Col (A) := {y ∈ Km : y es combinación lineal de las columnas de A} .
Notemos que decir que un vector y ∈ Km es combinación lineal de las columnas de A es
equivalente a decir que el sistema Ax = y, con término independiente y e incógnita x, tiene
solución. Si llamamos v1 , . . . , vn a las columnas de A y se tiene que y = α1 v1 + · · · + αn vn
entonces α = (α1 , . . . , αn )T es solución de Ax = y puesto que y = Aα. Y viceversa, cada
solución de Ax = y (si existe) nos da los coeficientes de una combinación lineal de v1 , . . . , vn
que es igual a y. Es decir,
Col (A) = {y ∈ Km : Ax = y es un sistema compatible} .
No haremos especial referencia al espacio fila de A (subespacio vectorial generado por las
filas de A). Cuando necesitemos referirnos a él lo haremos mediante Col (AT ).
Proposición. Sea A una matriz m × n con elementos en K.
Nul (A) es un subespacio vectorial de Kn .
Col (A) es un subespacio vectorial de Km .
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4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas.
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Puesto que Nul (A) es un subespacio vectorial, para cualquier vector p ∈ Kn , el conjunto
p + Nul (A) es una variedad lineal. Para cualquier v ∈ p + Nul (A) tendremos un vector
u ∈ Nul (A) tal que v = p + u y por tanto, Av = Ap + Au = Ap. Es decir, v es solución del
sistema Ax = b siendo b = Ap. Reciprocamente, si tenemos un sistema Ax = b compatible y
p es una solución, cualquier otra solución v puede expresarse mediante v = p + (v − p) que
es un vector de p + Nul (A) (puesto que A(v − p) = Av − Ap = b − b = 0).
Por tanto, asociado a una matriz A, m × n tenemos:
(1) Nul (A), el conjunto solución del sistema homogéneo Ax = 0 (es un subespacio vectorial
de Kn ).
(2) Col (A), el conjunto de términos independientes y para los que el sistema Ax = y es
compatible (es un subespacio vectorial de Km )
(3) Para cada y ∈ Km , el conjunto solución del sistema Ax = y, {x ∈ Kn : Ax = y}.
Si y ∈ Col (A) (el sistema Ax = y es compatible) es una variedad lineal de Kn . Si
y ∈
/ Col (A) (el sistema Ax = y es incompatible) no hay ningún vector en dicho
conjunto.
Ejercicio.
(1) ¿Qué relación hay entre el espacio columna de una matriz y el de la matriz que se
obtiene al hacer operaciones columna sobre la matriz?
(2) ¿Qué relación hay entre el espacio nulo de una matriz y el de la matriz que se obtiene
al hacer operaciones fila sobre la matriz?
4.2.2.- Dependencia e independencia lineal.
Definición. Consideremos un conjunto finito de vectores {v1 , . . . , vn }.
(a) Se dice que {v1 , . . . , vn } es linealmente dependiente (L.D.) si existe alguna combinación lineal no trivial de dichos vectores igual al vector nulo. Es decir, si existen
coeficientes α1 , α2 , . . . , αn ∈ K no todos nulos tales que
α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = 0.
(b) Se dice que {v1 , . . . , vn } es linealmente independiente (L.I.) si no es linealmente
dependiente.
Si {v1 , . . . , vn } son vectores linealmente dependientes y tenemos una combinación lineal
de estos vectores igual al vector nulo
α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = 0
y el coeficiente αk ̸= 0, entonces de la igualdad anterior se puede despejar vk que quedará expresado como combinación lineal de los restantes vectores. Reciprocamente si tenemos un
vector que es combinación lineal de otros, el conjunto formado por estos y el vector combinación lineal es un conjunto linealmente dependiente. Notemos además de que si una
combinación lineal de vectores es igual al vector nulo, la combinación lineal que resulta de
multiplicar por cualquier coeficiente también es el vector nulo.
Propiedades. Consideremos un conjunto finito de vectores {v1 , . . . , vn }.
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Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
(1) La dependencia o independencia lineal de {v1 , . . . , vn } no depende del orden en el que
estén dados los vectores.
(2) Si uno de los vectores es nulo o hay vectores repetidos, entonces es L.D.
(3) La dependencia/independencia lineal de un conjunto no cambia al sustituir un vector
por un múltiplo no-nulo. Siendo c ̸= 0 (c ∈ K),
{v1 , . . . , vn } es L.D. ⇔ {u1 = cv1 , v2 , . . . , vn } es L.D.
(4) La dependencia/independencia lineal de un conjunto no cambia al sumar a un vector
un múltiplo de otro (distinto). Siendo α ∈ K
{v1 , . . . , vn } es L.D. ⇔ {v1 , u2 = v2 + αv1 , . . . , vn } es L.D.
(5)
Al añadir vectores a un conjunto L.D. se obtiene un conjunto L.D.
Al suprimir vectores de un conjunto L.I. se obtiene un conjunto L.I.
Teorema. Consideremos vectores {v1 , . . . , vn } en Km y sea A la matriz cuyas columnas son
los vectores dados
 . .

.. .. · · · ...


A =  v1 v2 · · · vn 
.
.. ..
. . · · · ..
Son equivalentes:
(1) {v1 , . . . , vn } es un conjunto linealmente dependiente.
(2) El sistema de ecuaciones Ax = 0 tiene infinitas soluciones.
(3) Al reducir A a forma escalonada se obtienen r pivotes, r < n.
(4) Alguno de los vectores vk es combinación lineal de los restantes.
(5) Si el primer vector v1 es no-nulo, alguno de los vectores es combinación lineal de los
anteriores.
Observación. Interpretación de la reducción por filas de una matriz A en relación con la
dependencia o independencia lineal de los vectores-columna de la matriz A.
Notemos que dar una cierta combinación lineal de vectores es lo mismo que multiplicar la matriz cuyas columnas son dichos vectores por el vector columna formado por los
correspondientes coeficientes



.. ..
..
x1
. . ··· .



 x2 

.
x1 v1 +2 v2 + · · · + xn vn =  v1 v2 . . . vn 

.
  .. 

.. ..
..
. . ··· .
xn
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4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas.
Si al reducir A a forma escalonada obtenemos U

..
.
..
.

A=
 v1 v2
.. ..
. .
99

*


..
 0
operaciones
··· .


fila - U = 
..


. vn 

..

··· .

∗
*
0

∗ ··· ∗ ∗

∗ ··· ∗ ∗ 


0 ∗


*


tenemos que:
Cada columna de U en la aparece un pivote es linealmente independiente con las
anteriores columnas de U . Por tanto, esto mismo es cierto para las correspondientes
columnas de A.
Cada columna de la matriz U en la que no hay pivote es combinación lineal de las
anteriores columnas de U . Por tanto, esto mismo es cierto para las correspondientes
columnas de A.
Si tenemos una cierta fila nula en la matriz U esto quiere decir que una cierta combinación lineal de las filas de la matriz A es igual a la fila nula.
Las filas pivote (de U y las correspondientes de A dependiendo de los intercambios de
fila que se hayan hecho) son linealmente independientes.
Es decir, en la situación del esquema anterior, se verifica que
la columna 3 de U es combinación lineal de las columnas 1 y 2 (y lo mismo es cierto
para las correspondientes columnas de A),
las columnas {columna1, columna2, columna4} de U son linealmente independientes (y
lo mismo es cierto para las correspondientes columnas de A.
4.2.3.- Ecuaciones paramétricas y ecuaciones implı́citas.
Asociados a una matriz A, m × n,
 . .
.. .. · · ·

A =  v1 v2 · · ·
.. ..
. . ···

a11 a12 · · · a1n
.. 
.
 a21 a22 · · · a2n
 
vn  =  ..
..
..
...
 .
.
.
..
.
am1 am2 · · · amn





hemos considerado;
El espacio nulo de la matriz A, esto es el conjunto de vectores x ∈ Kn caracterizados
por las ecuaciones implı́citas homogéneas



a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0 



 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 

Ax = 0
.
..
.. ..


.
.
.



 a x + a x + ··· + a x = 0 

m1 1
m2 2
mn n
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Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
El espacio columna de la matriz A (y el subespacio generado por unos ciertos vectores), esto es, el conjunto de vectores y
y = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn
caracterizado por


y1


 y2
..

.


 y
m
las ecuaciones paramétricas homogéneas
=
=
..
.
α1 a11 + α2 a12 + · · · + αn a1n
α1 a21 + α2 a22 + · · · + αn a2n
..
.
, α1 , α2 , . . . , αn ∈ K.
= α1 am1 + α2 am2 + · · · + αn amn
Resolviendo el sistema homogéneo Ax = 0 podemos obtener los vectores del espacio
nulo de A como el conjunto de vectores que se pueden expresar como combinación lineal
(arbitraria) de determinados vectores, es decir, como el subespacio generado por ciertos
vectores o como el espacio columna de la matriz que tiene a dichos vectores como vectores
columna.
Por otra parte, puesto que el espacio columna de una matriz A está formado por los
vectores, y, tales que el sistema de ecuaciones Ax = y es compatible, obteniendo las condiciones de compatibilidad de este sistema (en función del término independiente y), tendremos
unas ecuaciones lineales homogéneas que permiten expresar el citado espacio columna como
espacio nulo de otra matriz.
Por tanto, hablar de espacio nulo o espacio columna de una matriz (o subespacio generado
por ciertos vectores) no es hablar de conjuntos de vectores con caracterı́sticas distintas, sino
que es hablar de un mismo tipo de conjunto de vectores, los subespacios vectoriales, pero
expresados en forma distinta:
(a) Cuando un subespacio vectorial viene dado como espacio nulo de una matriz tenemos una descripción implı́cita (ecuaciones implı́citas) de dicho conjunto (un vector
está en el conjunto considerado si, y sólo si, sus coordenadas verifican el sistema homogéneo asociado a la matriz).
(b) Cuando uno de dichos conjuntos de vectores viene dado como espacio columna de una
matriz tenemos una descripción paramétrica (ecuaciones paramétricas) de dicho
conjunto (un vector está en el conjunto considerado si, y sólo si, puede expresarse
como combinación lineal de determinados vectores).
Entre las descripciones implı́citas de un subespacio vectorial habrá unas mejores que
otras, en el sentido de que una puede tener ecuaciones redundantes y otra no. De unas
ecuaciones implı́citas dadas Ax = 0 se podrán suprimir las que sean redundantes, es decir
las ecuaciones que sean combinación lineal de las restantes. Dichas ecuaciones las podemos
localizar sin más que reducir a forma escalonada por filas la matriz A dada. Las filas (tanto
de la matriz original A como de la matriz escalonada final U ) que contengan algún pivote
nos darán unas ecuaciones implı́citas, no redundantes, de dicho subespacio. Si resolvemos el
sistema tendremos una descripcion paramétrica del conjunto solución, es decir del subespacio
dado, el espacio nulo de la matriz A original.
Si en la descripción paramétrica eliminamos los parámetros, llegaremos a unas ecuaciones
homogéneas que darán una descripción implı́cita del subespacio considerado. De la misma
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4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas.
101
forma que en el caso de ecuaciones implı́citas, entre las descripciones paramétricas de un
subespacio vectorial, unas serán mejores que otras en el sentido de que unas involucren menos
vectores que otras. Es decir, si tenemos el espacio columna de una cierta matriz A, m × n,
y los vectores columna de A son linealmente dependientes, suprimiendo vectores que sean
combinación lineal de los que quedan, tendremos que el espacio columna de la matriz original
también es el espacio columna de la matriz que resulta de la matriz anterior suprimiendo
algunas columnas. Si nos quedamos con un conjunto de vectores linealmente independiente,
tendremos que dichos vectores generan el espacio columna de la matriz original y cada vector
de dicho espacio se puede expresar de forma única como combinación lineal de los vectores
linealmente independientes obtenidos. Dichos vectores constituyen lo que se denomina una
base (es decir, un conjunto de vectores linealmente independiente que genera el subespacio)
del subespacio vectorial considerado, el espacio columna de la matriz original.
De la misma forma que un subespacio vectorial, S, puede caracterizarse mediante
ecuaciones implı́citas o ecuaciones paramétricas homogéneas, una variedad lineal, p + S,
puede caracterizarse mediante ecuaciones implı́citas, en general no homogéneas, y mediante
ecuaciones paramétricas, en general no homogéneas, puesto que el vector nulo puede no
pertenecer a la variedad. Una vez que se tienen unas ecuaciones paramétricas/implı́citas de
un subespacio S, puesto que la variedad p + S esta formada por los vectores v tales que
u = v − p está en S, esto será equivalente a decir que u = v − p verifica las citadas ecuaciones
de S.
Ejemplo.- (Ecuaciones implı́citas −→ Ecuaciones implı́citas no redundantes, Ecuaciones
paramétricas y una base). Consideremos el espacio nulo de la matriz


−1 2 0 3
A =  3 0 1 −1  .
1 4 1 5
Es decir, estamos considerando el conjunto S de los vectores x ∈ R4 cuyas coordenadas
(x1 , x2 , x3 , x4 ) verifican las ecuaciones (implı́citas)

−x1 + 2x2 +
3x4 = 0 
3x1 +
x3 − x4
= 0 .

x1 + 4x2 + x3 + 5x4 = 0
Haciendo operaciones fila sobre la matriz A
ecuaciones del sistema) tenemos



−1 2 0 3
−1
F2 + 3F1



3 0 1 −1
0
A=
F3 + F1
1 4 1 5
0
(que se corresponden con operaciones sobre las

2 0 3
6 1 8 
6 1 8


−1 2 0 3
- U =  0 6 1 8 .
0 0 0 0
F3 − F2
De hecho, refiriéndonos a la matriz original tenemos que F3 (A) = F2 (A)+2F1 (A). Equivalentemente, la tercera ecuación del sistema original es combinación lineal de las dos primeras con
lo cual si un vector es solución de las dos primeras también lo es de la tercera. Resumiendo,
tenemos que
[
]
[
]
−1 2 0 3
−1 2 0 3
S = Nul (A) = Nul
= Nul (U ) = Nul
3 0 1 −1
0 6 1 8
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Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
con lo cual nuestro conjunto S de vectores está caracterizado por las ecuaciones (no redundantes)
} (
})
−x1 + 2x2 +
3x4 = 0
−x1 + 2x2 +
3x4 = 0
o por
.
6x2 + x3 + 8x4 = 0
3x1 +
x3 + x4
= 0
Resolviendo el sistema U x = 0 tenemos




Variables libres
-1 2 0 3 0


x3 y x4 .

 0
6 1 8 0  =⇒ 
 Variables fijas  =⇒
0
0 0 0 0
x1 y x2 .

 x2 = 61 (−x3 − 8x4 )
⇒

x1 = 2x2 + 3x4 = 26 (−x3 − 8x4 ) + 3x4 = − 31 x3 + 13 x4



x1
 x2 



⇒ 
 x3  = x3 
x4

 1 
− 31
3
 8 
− 16 
 + x4  − 6  .
 0 
1 
0
1
Por tanto,






 1
− 13
3
 −1 
 −8
6
6



Nul (A) = Gen v1 = 
 , v2 =  0
1



0
1


− 31 13
 −1 −8 
6
6  = Col
= Col 
 1
0 
0
1




 = Gen





−2



 −1
6v1 = 
 6



0

1 




 , 3v2 =  −4 

 0 


3




−2 1
 −1 −4 

.
 6
0 
0
3
Los vectores {v1 , v2 } forman una base de S = Nul (A). Los vectores de Nul (A) son los que
pueden expresarse como combinación lineal de v1 y v2 y, como consecuencia de la independencia lineal, cada vector de S sólo puede expresarse de una forma como combinación lineal
de v1 y v2 . Los coeficientes que aparezcan en dicha combinación lineal son las coordenadas
del vector de S respecto a la base {v1 , v2 } (de S). El vector v = [−8 5 18 − 6] está en S y
sus coordenadas respecto a {v1 , v2 } son la solución de
 1 1

  

− 3 3 −8
[ ]
 −1 −8 5 
λ
6
6
,
v = λv1 + µv2 ≡  v  =  v1 v2 
≡ 
 1
µ
0 18 
0
1 −6
es decir, λ = 18, µ = −6 (v = 18v1 − 6v2 ).
Ejemplo.- (Ecuaciones paramétricas −→ Ecuaciones paramétricas y Ecuaciones implı́citas
no redundantes y una base). Vamos a utilizar la misma matriz A del ejemplo anterior.
El espacio columna de dicha matriz es, por definición de espacio columna, el conjunto de
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4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas.
103
vectores y que se pueden expresar como combinación lineal de las columnas de A, es decir
los vectores y (con 3 coordenadas!) que se pueden expresar mediante




 
 


y1
−1
2
0
3
y =  y2  = α  3  + β  0  + γ  1  + δ  −1 
y3
1
4
1
5
para ciertos α, β, γ, δ ∈ R. Esto es lo mismo que decir que el espacio columna está formado
por los vectores y ∈ R3 para los que el sistema de ecuaciones Ax = y tiene solución. En dicho
caso, cada solución del sistema Ax = y nos darı́a una forma de expresar y como combinación
lineal de las columnas de A. Obtengamos, para un vector genérico y ∈ R3 las condiciones de
compatibilidad del sistema Ax = y, reduciendo la matriz ampliada del sistema [A|y] a forma
escalonada. Haciendo las mismas operaciones fila que hemos hecho cuando hemos obtenido
el espacio nulo tenemos




−1 2 0 3 y1
F2 + 3F1
−1 2 0 3
y1
-  0 6 1 8 y + 3y 
[A|y] =  3 0 1 −1 y2 
2
1
1 4 1 5 y3
F3 + F1
0 6 1 8 y3 + y1
F3 − F2

-1
- U = 0
0
2
6
0

0 3
y1
.
1 8
y2 + 3y1
0 0 y3 − y2 − 2y1
Por tanto, el sistema Ax = y es compatible (determinado o indeterminado) ⇐⇒ la tercera
ecuación tiene solución ⇐⇒ y3 −y2 −2y1 = 0. Es decir, el espacio columna de A está formado
por los vectores y ∈ R3 cuyas coordenadas verifican la ecuación (lineal homogénea) y3 − y2 −
2y1 = 0. Se trata, por tanto, de un plano (en R3 ) que pasa por el origen de coordenadas.
Además, teniendo la forma escalonada U que hemos obtenido, tenemos que:
las columnas 1 y 2 de U son linealmente independientes y
las columnas 3 y 4 son combinación lineal de las columnas 1 y 2.
Por tanto, lo mismo sucede con las columnas correspondientes de la matriz A. Es decir, el
espacio columna de A (generado por las 4 columnas) coincide con el espacio generado por
las columnas 1 y 2 de A (no de U !). Los vectores dados por las columnas 1 y 2 de A forman
una base de Col (A) puesto que son linealmente independientes y generan dicho espacio. Si
denotamos por v1 , v2 , v3 y v4 a los vectores columna de A, cada vector y ∈ Col (A) se puede
expresar de infinitas formas distintas como combinación lineal de v1 , v2 , v3 y v4 puesto que el
sistema de ecuaciones Ax = y es compatible (puesto que y ∈ Col (A)) indeterminado (puesto
que hay 2 variables libres). Sin embargo, dicho vector y ∈ Col (A) sólo puede exprearse de
una forma como combinación lineal de v1 y v2 puesto que el sistema de ecuaciones




[ ]
y1
 v1 v2  λ =  y 2 
µ
y3
tiene solución única. Para discutir, y resolver, este sistema basta con suprimir las columnas
3 y 4 de la reducción que hemos hecho del sistema Ax = y con lo cual tenemos




-1 2
y1
−1 2 y1
 3 0 y2  → · · · →  0
6
1y2 + 3y1  .
1 4 y3
0
0 y3 − y2 − 2y1
Matemáticas I.
2012-2013
104
Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
La solución única (λ, µ) de este sistema (compatible cuando y ∈ Col (A)) nos dará los
coeficientes para los cuales se verifica
y = λv1 + µv2 .
Estos coeficientes (λ, µ) (únicos para cada vector y ∈ Col (A)) se denominan coordenadas de
y respecto de la base {v1 , v2 }. Por ejemplo, las coordenadas del vector
 
1

y= 1 
(∈ Col (A) puesto que y3 − y2 − 2y1 = 3 − 1 − 2 = 0)
3
respecto a la base {v1 , v2 } de Col (A) vienen dadas


 

[ ]
-1
1
 v1 v2  λ =  1  −→  0
µ
3
0
Ejemplo. Consideremos la matriz
por la solución del sistema

[ ] [ 1 ]
2 1
λ

= 34 .
6 4 =⇒
µ
6
0 0

−1 0 1 2
1
 −2 2 2 5
0 

A=
 1 −4 0 −3 3  .
−1 2 1 3 −1

Con el mismo proceso de reducción a forma escalonada vamos a obtener: S1 = Nul (A) ⊂ K5 ,
unas ecuaciones paramétricas de S1 , S2 = Col (A) ⊂ K4 , unas ecuaciones implı́citas de S2 ,...
Reducimos a forma escalonada un sistema de ecuaciones Ax = y siendo y un vector
genérico de K4 ,
[A|y]
F2 − 2F1 
-1
0 1
F3 + F1

F4 − F1  0 2 0
 0 −4 1
0
2 0

-1
0 1
F3 + 2F2

0
F4 − F2  0 2
 0 0 1
0 0 0

2
1
y1
1 −2 y2 − 2y1 

−1
4 y3 + y1 
1
0 y4 − y1
2
1
y1
1 −2
y2 − 2y1
1
0 −3y1 + 2y2 + y3
0
0
y1 − y2 + y4




Por tanto, tenemos:
(a) El espacio columna de A: El sistema Ax = y es compatible si, y sólo si, el vector y ∈ K4
verifica y1 −y2 +y4 = 0. Es decir Col (A) = {y ∈ K4 : y1 − y2 + y4 = 0}. Por otra parte,
teniendo en cuenta la reducción que hemos hecho, los dos últimos vectores columna de
A son combinación lineal de los tres primeros y estos tres primeros vectores columna son
linealmente independientes. Si denotamos por {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } los vectores columna
de A, tenemos


Col (A) = Col  v1 v2 v3 
Matemáticas I.
Ingenierı́a Civil
4.3.- Bases de un subespacio.
105
y cada vector y ∈ Col (A) se puede expresar de infinitas formas distintas (cada una de
las soluuciones del sistema Ax = y) como combinación lineal de los vectores columna
de A, pero de una única forma como combinación lineal de {v1 , v2 , v3 }.
(b) El espacio nulo de A, las soluciones del sistema Ax = 0: Puesto que al reducir hemos
obtenido 2 variables libres, la solución general del sistema homogéneo se podrá expresar
en función de 2 parámetros arbitrarios,

-1
 0
[A|0] → 
 0
0
0
2
0
0
1
0
1
0


2
1 0
-1


1 −2 0  F1 −F3  0
−→ 
1
0 0 
0
0
0 0
0



 x1 = x4 + x5

1
x2 = − 2 x4 + x5 =⇒ 
⇔



x3 = −x4
x1
x2
x3
x4
x5


 
 
=
 
 
0
2
0
0
α+β
− 12 α + β
−α
α
β
Por tanto, el espacio nulo de A está generado por
dientes,




1



 −1 



 2 

−1 
u1 = 
, u2 = 





 1 




0
0
0
1
0


1
1 0
1 −2 0 

1
0 0 
0
0 0





 = α




1
− 12
−1
1
0






+β




1
1
0
0
1



.


los vectores, linealmente indepen1
1
0
0
1






 .





Notemos por último que, puesto que al hacer la reducción del sistema Ax = 0 hemos
obtenido una fila de ceros, dicha ecuación es redundante en el sistema homogéneo y
por tanto tenemos que

-1

Nul (A) = Nul
0
0
0
2
0



1 2
1
−1 0 1 2 1
0 1 −2  = Nul  −2 2 2 5 0  .
1 −4 0 −3 3
1 1
0
4.3.- Bases de un subespacio.
Ya hemos citado lo que es una base de un subespacio vectorial.
Definición. Dado un subespacio S de Kn distinto del subespacio trivial nulo S ̸= {0}, se
dice que un conjunto de vectores
{v1 , v2 , . . . , vr }
de S es una base de S si:
(a) {v1 , v2 , . . . , vr } es Linealmente Independiente,
(b) {v1 , v2 , . . . , vr } genera S, S = Gen {v1 , v2 , . . . , vr }.
Matemáticas I.
2012-2013
106
Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
Las anteriores condiciones se pueden expresar de
la matriz cuyas columnas son los vectores dados

.. ..
. . ···


A =  v1 v2 . . .
.. ..
. . ···
forma matricial: Si denotamos por A a
..
.


vr 

..
.
las columnas de A forman una base de un subespacio vectorial S si:
(a) El sistema homogéneo Ax = 0 tiene solución única (condición equivalente a que los
vectores sean linealmente independientes) y
(b) S = Col (A), es decir S está formado por los vectores y ∈ Km para los que el sistema
de ecuaciones Ax = y es compatible.
Ejemplos.
(1) Los vectores canónicos de Kn ,



1


 0


e1 =  ..

 .



0






 , e2 = 



0 


 .. 


 
 , . . . , en =  . 

 0 


0
1 
0
1
..
.


forman una base de Kn .
(2) Los vectores {e1 , e1 + e2 , · · · , e1 + e2 + · · · + en } también forman una base de Kn .
(3) Si tenemos una matriz A, m × n, y al reducir a forma escalonada obtenemos n pivotes,
entonces los vectores columna de A forman una base del espacio columna de dicha
matriz. En general, si al reducir a forma escalonada obtenemos r pivotes, las r columnas
pivote de A (no de la forma escalonada U ) forman una base de Col (A).
(4) Si una matriz cuadrada A, n × n, tiene inversa, sus n columnas formam una base del
espacio total Kn .
4.3.1- Coordenadas. Dimensión.
Teorema/Definición. (Coordenadas respecto de una base) Sea S un subespacio vectorial
(S ̸= {0}) y sea {v1 , v2 , . . . , vr } una base de S.
(1) Teorema. cada vector v de S se puede expresar de forma única como combinación lineal
de los vectores de la base dada,
v = c 1 v1 + c 2 v2 + · · · + c r vr .
(2) Definición. Los coeficientes que aparecen en dicha expresión (c1 , . . . , cr ) se denominan
coordenadas de v respecto a la base dada B = {v1 , v2 , . . . , vr } y se suele denotar


c1


[v]B =  ...  .
cr
Matemáticas I.
Ingenierı́a Civil
4.3.- Bases de un subespacio.
107
Teorema/Definición. Consideremos un subespacio vectorial S ̸= {0} de Km .
(1) Teorema. Se verifica:
(a) S tiene base.
(b) Todas las bases de S tienen el mismo número de elementos.
(2) Definición. Al número de elementos de una base de S se le denomina dimensión de
S. Por definición, la dimensión del subespacio nulo es cero.
Si, al igual que antes, denotamos por A a la matriz cuyas columnas son los vectores dados


.. ..
.
. . · · · ..


..
,
A=
.
v
v
v
1
2
r


.. ..
..
. . ··· .
para cada vector v (vector columna) de S se verifica que v = Ac para algún vector de
coeficientes c. De esta forma, todo subespacio se puede expresar como espacio columna de una
matriz cuyas columnas sean los vectores de una base. Por tanto, se puede expresar mediante
ecuaciones paramétricas, y elminando los paramétros se podrán obtener unas ecuaciones
implı́citas que caractericen al subespacio dado.
Teorema (El Teorema de la Base). Consideremos un subespacio vectorial S de Km de
dimensión p y un conjunto de vectores {u1 , . . . , uq } ⊂ S:
(a) Si {u1 , . . . , uq } generan S, entonces q ≥ p. Además, q = p ⇐⇒ {u1 , . . . , uq } es una base
de S.
(b) Si {u1 , . . . , uq } es linealmente independiente, entonces q ≤ p. Además, q = p ⇐⇒
{u1 , . . . , uq } es una base de S.
En particular, si tenemos un conjunto de n vectores de Km :
Si n > m, los n vectores no pueden ser linealmente independientes,
Si n < m, los n vectores no pueden generar Km .
4.3.2.- Rango de una matriz. El teorema del rango.
Definición. Dada una matriz A, m × n, se llama rango de A a la dimensión de su espacio
columna, es decir, a la dimensión del subespacio vectorial (de Km )
Col (A) = {combinaciones lineales de las columnas de A}
= {Ax : x ∈ Kn } = {y ∈ Km : Ax = y es un S.C.} .
Teniendo en cuenta la relación entre la dimensión del espacio columna de A y la reducción
de A a forma escalonada tenemos que rango(A) = número de pivotes de A.
Para una matriz cuadrada A de orden n, teniendo en cuenta los resultados sobre la
existencia de la inversa obtenemos que: A tiene inversa ⇐⇒ rango(A) = n.
Teorema. Consideremos una matriz A, m × n. Se verifican:
Matemáticas I.
2012-2013
108
Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
(a) rango(A) = rango(AT ). Es decir, la dimensión del subespacio vectorial (de Kn ) generado
por las m filas de A coincide con la dimensión del espacio columna de A (subespacio
vectorial de Km generado por las n columnas de A):
(
)
dim (Col (A)) = dim Col (AT ) .
Es decir, si por un lado reducimos la matriz A a forma escalonada por filas (mediante
operaciones fila) y por otro reducimos a forma escalonada por columnas (mediante
operaciones columna), el número de pivotes que se tienen en ambas reducciones es el
mismo.
(b) Teorema del rango: dim (Col (A)) + dim (Nul (A)) = n.
(c) En términos de la reducción por filas de A a forma escalonada, el Teorema del rango se
puede expresar mediante:
(número de pivotes) + (número de variables libres) = n.
La propiedad (a) anterior no es otra cosa que la expresión de que al reducir a forma
escalonada el número de filas-pivote coincide con el número de columnas-pivote.
Si consideramos la transformación lineal T : Kn −→ Km , asociada a una matriz A, m × n,
el espacio imagen de la transformación es el espacio columna de la matriz de la matriz A,
Imagen(T ) = T (Kn ) = {T (x) ∈ Km : x ∈ Kn } =
= {y ∈ Km : y = T (x) para algún x ∈ Kn } = Col (A).
Se trata, por tanto, de un subespacio vectorial de Km cuya dimensión es rango(A).
Dada una matriz Am × n, la imagen, mediante la transformación lineal T (x) = Ax, de
cualquier subespacio vectorial S de Kn será un subespacio vectorial T (S) de Km contenido en
el espacio imagen (columna) y por tanto la dimensión de dicho subespacio T (S) será menor o
igual que el rango (y menor o igual que la dimensión del subespacio S original). Además, si el
subespacio S puede generarse con ciertos vectores {u1 , . . . , up } (en particular si {u1 , . . . , up }
es una base de S) entonces T (S) puede generarse con {T (u1 ), . . . , T (up )},
S = Gen ({u1 , . . . , up }) =⇒ T (S) = Gen ({T (u1 ), . . . , T (up )}) .
No obstante, el que {u1 , . . . , up } sea una base de S no implica que {T (u1 ), . . . , T (up )} sea
una base de T (S).
Por otra parte, si consideramos un subespacio vectorial H de Km , el conjunto de los
vectores x ∈ Kn cuyos transformados T (x) = Ax pertenecen a H forman un subespacio
vectorial de Kn .
Ejercicio. Sea A una matriz m × n y B una matriz n × p, prueba que
rango(AB) ≤ mı́n {rango(A), rango(B)} .
Matemáticas I.
Ingenierı́a Civil
4.3.- Bases de un subespacio.
109
4.3.3.- Cambios de Base.
Todas las bases de Kn están formadas por n vectores. Puesto que en ese caso tendremos
n vectores linealmente independientes con n coordenadas cada uno, la matriz cuadrada
formada por dichos vectores como vectores columna tiene inversa (y los vectores columna de
dicha matriz inversa formarán otra base de Kn ). Por otra parte, también los vectores fila de
cada una de las dos matrices citadas serán una base de Kn . Para comprobar si n vectores
forman una base de Kn bastará con reducir a forma escalonada la matriz formada por dichos
vectores como vectores columna y comprobar si se obtienen n pivotes o menos. Notemos
que, puesto que el orden de los vectores no influye en si éstos forman base o no, en la matriz
citada podemos intercambiar las columnas. De hecho, podrı́amos hacer operaciones columna.
Ejemplo. Sean e1 , e2 , . . . , en los vectores canónicos de Kn . Los vectores
e1 , e1 + e2 , e1 + e2 + e3 , . . . , e1 + e2 + · · · + en
forman una base de Kn . Para calcular las coordenadas de un vector genérico x ∈ Kn respecto
de esta base basta con resolver el sistema (con término independiente x)


 

1 1 ··· 1
α1
x1
 0 1 · · · 1   α2   x2 


 

 .. .. . . ..   ..  =  ..  .
 . .
. .  .   . 
0 0 ··· 1
αn
xn
Resolvemos el sistema







1 · · · 1 x1


1 · · · 1 x2 


.. . . .. ..  −→ 

. . . 
.

0 0 · · · 1 xn
1
0
..
.
0 0 · · · 0 x1 − x2
1 0 · · · 0 x2 − x3
..
.. . .
.
. . . . ..
.
.
0 0 · · · 1 0 xn−1 − xn
0 0 ··· 0 1
xn
1
0
..
.




.


Por tanto, las coordenadas de x respecto a la base dada son
 


α1
x1 − x2
 α2   x2 − x3 
 



 ..  
.
.
.
 . =
.

 

 αn−1   xn−1 − xn 
xn
αn
Dada una base V = {v1 , v2 , . . . , vn } de Kn , las coordenadas de un vector x ∈ Kn respecto
a dicha base son los coeficientes (únicos) α1 , α2 , . . . , αn para los cuales se verifica





.. ..
..
x1
α1
. . ··· .
 x2 





 α2 

=
x
=
α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = x ≡  v1 v2 . . . vn 
 .. 


.
  .. 
 . 
.. ..
.
. . · · · ..
xn
αn
Matemáticas I.
2012-2013
110
Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
Sólo vamos a considerar cambios de bases entre bases del espacio total Kn . No consideraremos
el problema de cambio de base entre bases de un subespacio.
Dadas dos bases
U = {u1 , u2 , . . . , un }
y V = {v1 , v2 , . . . , vn }
de Kn se trata de hallar la relación entre las coordenadas de un vector x ∈ Kn respecto de
ambas bases. Las coordenadas de un vector x ∈ Kn respecto a U vienen dadas por un vector
[x]U que verifica que



x=

x1
x2
..
.




,

α1
α2
..
.


[x]U = 

xn



 ⇔ x = α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn un

αn



⇔

La matriz

..
.
x1
x2
..
.


..
.
..
.
 
 
 =  u1 u2

..
..
.
.
xn

···


..
. un 


..
··· .
..
.
α1
α2
..
.



.

(∗)
αn

.
· · · ..

..
. un 

..
··· .
..
.

 u u
 1 2
..
..
.
.
que relaciona las coordenadas de un mismo vector x respecto a la base canónica con las
coordenadas del mismo vector x respecto a la base U se denomina matriz del cambio de
base U −→ C de U a la base canónica C = {e1 , e2 , . . . , en } y se denota por

..
.
..
.

..
.
···


P

=  u1 u2 . . . un 
,
C←U
..
..
..
.
. ··· .
Puesto que la

α1
 α2

 ..
 .
αn
(
la matriz
igualdad (∗) es
 
..
..
.
  .
 
 =  u1 u2

..
..
.
.
P
C←U
equivalente a
 
.. −1
··· .
 

..
. un 
 

..
··· .
P
[x]U
C←U





(
≡
[x]U =
P
C←U
)−1
[x]C
xn
)−1
es la matriz del cambio de base C → U con lo cual
P
=
U ←C
Matemáticas I.
x1
x2
..
.
x = [x]C =
(
P
C←U
)−1
.
Ingenierı́a Civil
4.3.- Bases de un subespacio.
111
De forma análoga, si tenemos dos bases distintas de Kn ,
B = {v1 , v2 , . . . , vn }
y U = {u1 , u2 , . . . , un }
podrı́amos obtener las matrices de cambio de base B −→ U y U −→ B de la misma forma
que lo que acabamos de hacer si conociéramos las coordenadas de los vectores de una base
respecto a la otra. Si conocemos las coordenadas de los vectores de ambas bases respecto,
por ejemplo, a la base canónica, podemos considerar un planteamiento similar.
Denotemos las coordenadas de un vector genérico, x ∈ Kn , respecto de ambas bases B y
U mediante




β1
α1




[x]B =  ...  , [x]U =  ...  .
βn
αn
Tenemos entonces que x = α1 v1 +· · ·+αn vn = β1 u1 +· · ·+βn un y expresando estas igualdades
en forma matricial tenemos que

 
 



x1
α1
β1






x =  ...  =  v1 v2 · · · vn   ...  =  u1 u2 · · · un   ... 
x3
αn
βn
es decir, siendo B la matriz cuyas columnas son los vectores de la base B y siendo U la
matriz cuyas columnas son los vectores de la base U se verifica que
x = B [x]B = U [x]U .
De estas expresiones podemos obtener las matrices de cambio de base,
[x]B = B −1 U [x]U =⇒
P
= B −1 U,
B←U
[x]U = U −1 B [x]B =⇒
P
= U −1 B.
U ←B
Ejemplos.
(1) Vamos a calcular las matrices de cambio de base entre la base canónica de R3 y la base
{
}
B = v1 = [−2 1 0]T , v2 = [1 − 2 3]T , v3 = [−1 0 − 1]T .
Siendo las coordenadas de un vector genérico x ∈ R3 respecto a B y respecto a la base
canónica respectivamente,




x1
α1
x =  x2 
[x]B =  α2  ,
x3
α3
Matemáticas I.
2012-2013
112
Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
se verifica que
 


x1
α1
x = α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 ≡  x2  =  v1 v2 v3   α2  .
x3
α3

Por tanto, la matriz

P =  v1 v2



−2 1 −1
v3  =  1 −2 0 
0
3 −1
(cuyas columnas son las coordenadas de los vectores B respecto a la base C) es la matriz
P
del cambio de base B −→ C, puesto que
C←B
x = [x]C = P [x]B ,
∀x ∈ R3 .
Puesto que la inversa P −1 verifica [x]B = P −1 [x]C ,
∀x ∈ R3 dicha matriz es la del
cambio de base C −→ B. Resumiendo,




−2 1 −1
2 −2 −2
1
P
P
= P −1 = −  1 2 −1  .
= P =  1 −2 0  ,
6
B←C
0
3 −1
3 6
3
C←B
(2) Calculemos las matrices de cambio de base entre las bases







−1 
1
−2

y
B = v1 =  1  , v2 =  −2  , v3 =  0 


−1
3
0

 




1
−1
−1 

U = u1 =  2  , u2 =  −2  , u3 =  3  .


1
2
2
Denotemos las coordenadas de un vector genérico x ∈ R3 respecto de ambas bases B
y U mediante




β1
α1
[x]B =  α2  , [x]U =  β2  .
β3
α3
Tenemos entonces que x = α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 = β1 u1 + β2 u2 + β3 u3 . Escribiendo estas
igualdades en forma matricial
 
 




−2 1 −1
1 −1 −1
x1
α1
β1
 x2  =  1 −2 0   α2  =  2 −2 3   β2 
x3
α3
β3
0
3 −1
1 2
2
obtenemos
Matemáticas I.
 
−1 


−2 1 −1
α1
1 −1 −1
β1
 α2  =  1 −2 0   2 −2 3   β2  .
α3
0
3 −1
β3
1 2
2

Ingenierı́a Civil
4.3.- Bases de un subespacio.
113
Por tanto,

−1 




−2 1 −1
1 −1 −1
2 −2 −2
1 −1 −1
P
=  1 −2 0   2 −2 3  = − 61  1 2 −1   2 −2 3 
B←U
0
3 −1
1 2
2
3 6
3
1 2
2


4 2 12
= 16  −4 7 −3  .
−18 9 −21
Análogamente podrı́amos obtener

−1

P
P
=
U ←B
B←U
Matemáticas I.


−20 25 −15
1 
−5 22 −6  .
=
15
15 −12 6
2012-2013
114
Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
4.4.- Ejercicios.
4.4.1.- Enunciados.
Ejercicio 1. Determina cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son subespacios vectoriales, cuáles son variadades y cuáles no son ni lo uno ni lo otro:
(a) El conjunto de los vectores (x1 , x2 ) ∈ R2 cuyas coordenadas verifican, respectivamente,
(a1) x1 x2 = a (a ∈ R),
(a2) x1 + 2x2 = 0 ó x1 − x2 = 0,
(a3) x21 + x22 = a (a ∈ R),
(a4) x1 + 2x2 = a y x1 − x2 = b, (a, b ∈ R).
(b) El conjunto de los vectores (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 cuyas coordenadas verifican, respectivamente,
(b1) (x1 + x2 )(x2 + x3 ) = 0,
(b2) x1 = 0 y (x2 = 0 ó x3 = 0),



 x1 = α,
2
x
=
α
+
α
,
(b3) Se pueden expresar de la forma
2


x3 = 0,
para algún α ∈ R.
(b4) x1 + x2 + x3 ≤ 0.
(c) El conjunto de los vectores (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Rn cuyas coordenadas verifican, respectivamente,
(c1) Cada una de las coordenadas a3 , . . . , an es la media (aritmética) de las coordenadas anteriores,
(c2) Cada una de las coordenadas a3 , . . . , an es la media geométrica de las dos coordenadas anteriores, a1 + a2 t + a3 t2 + · · · + an tn−1 vale 3 para t = 1.
Ejercicio 2. Determina dos bases distintas de cada uno de los subespacios siguientes ası́
como ecuaciones implı́citas independientes para cada uno de ellos:
(a) Vectores de R3 que pueden expresarse como combinación lineal de


 
−1
1



0
v1 =
y v2 = 1 
2
1
y cuyas coordenadas verifican la ecuación x1 − x2 + x3 = 0.
(b) Subespacio de R4 generado por los vectores





−1
2
1
 0 
 0 
 1




v1 = 
 2  , v2 =  −4  v3 =  1
0
0
1
Matemáticas I.



3
 

 y v4 =  2  .
 0 

2
Ingenierı́a Civil
4.4.- Ejercicios.
115
(c) Subespacio de R4 definido por las ecuaciones implı́citas

 x1 − x2 + x3 − x4 = 0,
−2x1 + x2 + x3 = 0,

3x1 − 2x2 − x4 = 0.
Ejercicio 3. Sea V la variedad de R4

x1



x2
x3



x4
dada por las ecuaciones paramétricas
=
=
=
=
1 + α − β + 2γ,
−1 + 2α + β,
2 + 2α − 7γ,
β + γ.
Determina una base (del subespacio director) y la dimensión de V y halla unas ecuaciones
implı́citas.
Ejercicio 4.
(1) Determina el rango de las siguientes matrices:



0 1 −1 2
0
−1
 0 2 1


2 −2 
3
A=
, B=
 0 1 −1 2
 2
0 
0 0 −1 −2 3
0

1 −1 2
2 3
2 
.
1 2
2 
1 0 −2
(2) Sea A una matriz 20 × 15 cuyo rango es rango(A) = 12. Determina la dimensión de los
siguientes subespacios vectoriales,
Col (A), Nul (A), Col (AT ) y Nul (AT ).
Ejercicio 5.

1
 0
T
 0
1
Determina la matriz de una
  
  
1
1
0
  0 
 0   1
 =  , T   = 
  1 
 1   1
2
2
0
aplicación lineal T : R4 → R4 sabiendo

   
  
0
0
0
1

 1   0 
 0   0
, T   =  , T   = 

 1   0 
 0   0
0
1
1
0
Ejercicio 6. Sea T : R3 → R4 la transformación lineal que verifica





 
 
 
1
0
1
1
1
 −1 
 −3 





T 2 =
, T 1 =
, T 0 =



−1
0
0
0
1
2
3
que


.


1
−4 
.
−1 
5
(a) Calclula la matriz A de dicha transformación.
Matemáticas I.
2012-2013
116
Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
(b) Encuentra un sistema generador linealmente independiente y unas ecuaciones implı́citas
de Col (A).
(c) Obtén un conjunto linealmente independiente de vectores que genere el subespacio
Nul (A).
Ejercicio 7. Determina la matriz A de una transformación lineal T : R3 −→ R2 sabiendo
que el espacio nulo de A viene dado por la ecuación implı́cita x1 − x2 − x3 = 0 y que
 
[
]
1
2




1
T
=
.
−1
1
Ejercicio 8. Se considera la transformación lineal T cuya matriz asociada es
[
]
1 2 1 2
A=
.
2 4 1 3
(a) Determina el espacio columna de A, Col (A).
(b) Calcular los vectores del núcleo de T que, a su vez, verifican el sistema de ecuaciones
{
x1 + 4x2 − 2x3 + x4 = 2,
x1 + 6x2 − 4x3 + x4 = 4.
(c) Sea V el conjunto de los vectores encontrados en el apartado anterior. ¿Es V un subespacio vectorial de R4 ? Justifica la respuesta.
Ejercicio 9. Siendo e1 , e2 , e3 los vectores de la base canónica de R3 y sabiendo que los
vectores {u1 , u2 , u3 } e1 = 2u1 + 2u2 + u3 , e2 = u1 − 2u2 + 2u3 , e3 = −2u1 + u2 + 2u3 , señala
la relación correcta:


2
2 1
(a) [e1 e2 e3 ] =  1 −2 2  [u1 u2 u3 ] .
−2 1 2

−1


2
2 1
2 1 −2
(b) [u1 u2 u3 ] =  1 −2 2  = 91  2 −2 1  .
−2 1 2
1 2
2


−1

2 1 −2
2
2 1
(c) [u1 u2 u3 ] =  2 −2 1  = 91  1 −2 2  .
1 2
2
−2 1 2
Ejercicio 10. Consideremos los siguientes vectores de R5 ,
 
 


1
1
2
 5 
 1 
 1 
 
 


 4 
 0 ,
,
−1
v
=
v
=
v1 = 
3
2
 
 


 2 
 1 
 3 
1
1
2
Matemáticas I.

y


v4 = 


2
6
4
3
2



.


Ingenierı́a Civil
4.4.- Ejercicios.
117
(a) ¿Son v1 , v2 , v3 y v4 linealmente independientes?
(b) ¿Es v4 combinación lineal de v1 , v2 y v3 ?
(c) ¿Es v1 combinación lineal de v2 , v3 y v4 ?
(d) ¿Es v4 combinación lineal de v1 y v2 ?
(e) ¿Es v4 combinación lineal de v2 y v3 ?
(f ) ¿Son v1 , v2 y v3 linealmente independientes?
Ejercicio 11. Sea f : R3 → R4 la aplicación lineal

1 2 −3
 2 −1 4
f (x) = 
 3 a
1
b 4 −b
dada por



 x1
  x2  .

x3
Determinar las condiciones a satisfacer por a y b para que el vector v = (−1, 3, 2, b − 4)
verifique respectivamente:
(a) No pertenezca a la imagen de f .
(b) Sea la imagen de un único vector de R3 .
(c) Sea la imagen de infinitos vectores de R3 .
Ejercicio 12. Sea T : R2 → R2 la transformación que hace corresponder al punto P =
(x1 , x2 ) el punto Q = (−x1 , x2 ). Señala la única opción que es correcta.
es una transformación que no está bien definida.
es una aplicación lineal que se representa, respecto de las bases canónicas, por la matriz
[
]
−1 0
A=
.
0 1
es una transformación, pero no es lineal porque tiene por ecuaciones

 y1 = −x1 cos π2 + x2 sen π2 ,

y2 = x1 sen π2 + x2 cos π2 .
Ejercicio 13. (a) Demuestra que para una matriz cuadrada A se verifica que
Nul (A) ⊆ Nul (A2 ) ⊆ · · · y Col (A) ⊇ Col (A2 ) ⊇ · · ·
Matemáticas I.
2012-2013
118
Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
(b) Demuestra que para dos matrices A y B con las dimensiones adecuadas se verifica que
Nul (B) ⊆ Nul (AB) y Col (A) ⊇ Col (AB).
Ejercicio 14. Extender a una base de Rn el conjunto linealmente independiente que se da:
(a) {v1 = (1, 1, 1)} en R3 .
(b) {v1 = (1, 3, 4), v2 = (1, 0, 2)} en R3 .
(c) {v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 3, 0)} en R3 .
(d) {v1 = (1, 1, 0, 1), v2 = (2, 1, 0, 3)} en R4 .
Ejercicio 15. Dadas las bases de R2
[
]
[ ]
−5
2
B1 = {u1 =
, u2 =
} y
2
1
[
B2 = {v1 =
−3
1
]
[
, v2 =
]
−4
},
1
se pide:
(a) Hallar las matrices de cambio de base entre B1 y B2 .
(b) Obtener las coordenadas,
[ ]en la base B2 , del vector v cuyas coordenadas respecto de la
2
base B1 son [v]B1 =
.
1
Ejercicio 16. Consideremos la base B = {(2, 1), (−3, −1)} de R2 .
(a) Obtener, en dicha base, las ecuaciones implı́citas y las paramétricas de los subespacios
que en la base canónica vienen definidos mediante:
E ≡ x1 + x2 = 0, F ≡ x1 − 2x2 = 0, G = Gen {(3, 1)}.
(b) Obtener, en la base canónica, las ecuaciones implı́citas y las paramétricas de los subespacios que en la base B vienen definidos mediante:
E ≡ y1 + 5y2 = 0, F ≡ y2 = 0, G = Gen {(1, 0)B }.
Ejercicio 17. Halla las ecuaciones paramétricas de Nul (A), siendo A la matriz


1 −2
0 0
 1 −3
3 0 


1 −1 0 
A=
 0
.
 −1
2
4 0 
2 −3 −1 0
Matemáticas I.
Ingenierı́a Civil
4.4.- Ejercicios.
119
4.5.1.- Soluciones.
Ejercicio 1. (a) (a1) El conjunto considerado no es subespacio vectorial y es inmediato
comprobar que tampoco es una variedad.
(a2) x1 + 2x2 = 0 ó x1 − x2 = 0.
El conjunto considerado no es un subespacio vectorial. Puede comprobarse que
tampoco es una variedad (al desplazar dos rectas que pasan por el origen se
obtienen otras dos rectas).
(a3) x21 + x22 = a (a ∈ R),
Para a = 0 el único vector que verifica la ecuación es el vector nulo y por tanto, se
trata de un subespacio vectorial.
Para a < 0, no hay ningún vector (x1 , x2 ) ∈ R2 que verifique la ecuación. Por tanto,
se trata del conjunto vacı́o que no es ni un subespacio vectorial ni una
variedad.
Para a > 0, la ecuación
√ dada determina la circunferecia de centro el origen de coordenadas y radio a. Por tanto, no es ni un subespacio vectorial ni una
variedad.
(a4)
Si a = b = 0, se trata de un subespacio vectorial puesto que el conjunto considerado
está definido como el espacio nulo de una matriz, adems resolviendo el sistema que
caracteriza al conjunto tenemos que el único vector que verifica las dos ecuaciones
es el vector nulo.
Si a ̸= 0 o b ̸= 0, el conjunto de vectores considerado es una variedad (es un único
punto) cuyo subespacio director viene dado por las ecuaciones implı́citas x1 +
2x2 = 0 y x1 − x2 = 0, es decir el subespacio director es el subespacio nulo.
(b) (b1) Es el conjunto formado por dos planos (que no es lo mismo que la recta intersección). Obviamente dicho conjunto no es ni un subespacio ni una variedad.
(b2) Dicho conjunto no es ni un subespacio ni una variedad.
(b3) Eliminando el parámetro α, el conjunto citado es el de los vectores cuyas coordenadas verifican
{
x2 = x1 + x21 ,
x3 = 0.
Es decir, se trata de una parábola (en R3 ) que está contenida en uno de los
planos coordenados. Obviamente dicho conjunto no es ni un subespacio ni una
variedad.
(b4) El vector (−1, 0, 0) verifica la inecuación dada, sin embargo, −2(−1, 0, 0) =
(2, 0, 0) no la verifica. Por tanto, no es un subespacio vectorial. De la misma
forma, tampoco se trata de una variedad.
(c) (c1) Las condiciones que caracterizan a los vectores del conjunto considerado vienen
Matemáticas I.
2012-2013
120
Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
dadas

a3






a4

..


.


 a
n
por las siguientes ecuaciones,



= 12 (a1 + a2 ) ,



a
+
a
−
2a
=
0,
1
2
3















1
= 3 (a1 + a2 + a3 ) ,
a
+
a
+
a
−
4a
=
0,
1
2
3
4
≡


.. ..
..
.. .. 





. .
.
. . 








1
= n−1 (a1 + · · · + an−1 ) ,
a1 + · · · + an−1 − (n − 1)an = 0. 
Es decir, el conjunto considerado puede caracterizarse como el espacio nulo de
una matriz. por tanto, es un subespacio vectorial.
√
(c2) La media geométrica de dos números (reales positivos) α y β es γ = αβ.
Obviamente el conjunto considerado no es un subespacio vectorial puesto que
un múltiplo con coeficiente negativo de un elemento del conjunto no está en el
conjunto. Tampoco es una variedad.
Ejercicio 2. (a) Se trata del subespacio generado por el vector v1 = [−2, −1, 1]T (la recta
que pasa por el origen de coordenadas y tiene a dicho vector como vector dirección).
Una base, {v1 }.
Otra base, {−2v1 }.
Ecuaciones impı́citas:
(b)
{
x1 + 2x3 = 0,
x2 + x3 = 0.
Observación.- El subespacio estaba originalmente definido como la intersección
de un plano que venı́a dado en forma paramétrica con un plano que venı́a dado en
forma implı́cita. Lo único que hemos hecho ha sido expresar la recta intersección
en forma paramétrica y en forma implı́cita.
{
}
2x1 − 3x2 + x3 = 0
Ecuaciones implı́citas no redundantes
.
−x2 + x4 = 0



 
−1
1 




 0 
 1 




.
,v =
Una base v1 = 
2  3  1 





0
1
Otra base {v1 , v3 + v1 }.
(c)
El subespacio considerado puede caracterizarse mediante cualesquiera de las siguientes
parejas de ecuaciones implı́citas no redundantes (y otras muchas),
{
}
{
}
x1 − x2 + x3 − x4 = 0
x1 − 2x3 + x4 = 0,
, y
.
−x2 + 3x3 − 2x4 = 0
−x2 + 3x3 − 2x4 = 0.
Una base es
Matemáticas I.







2
−1
 3 
 −2


v1 = 
 1  , v2 =  0



0
1




 .



Ingenierı́a Civil
4.4.- Ejercicios.
121
Otra base es {v1 , v2 − 3v1 }.
Ejercicio 3.
La ecuación implı́cita de V viene dada por:
−12x1 + 13x2 − 7x3 − 25x4 = −39.
Una base de S, el subespacio






v1 = 




director de V , es




2
−1
1
 0
 1 
2 
,v = 
,v = 
2  2  0  3  −7
1
0
1




 .



Ecuación implı́cita de S : −12x1 + 13x2 − 7x3 − 25x4 = 0.
dim (V ) = dim (S) = 3.
Ejercicio 4.
(a) Reduciendo a forma escalonada se obtiene rango(A) = rango(B) = 3.
(b)
dim (Col (A)) = 12.
dim (Nul (A)) = 15 − 12 = 3.
(
)
dim Col (AT ) = rango(AT ) = rango(A) = 12.
(
)
dim Nul (AT ) = 20 − 12 = 8.
Ejercicio 5. La matriz A

1 0
 0 1
A=
 1 1
2 0
es
0
0
0
1

1
1 −1
1


0   0 −1 1
1
0
0  0
−1 1 −1
0
 
0
0 2 −2


0   0 −1 1
=
0   1 0
0
1
2 3 −2

1
0 
.
0 
0
Ejercicio 6. (a) La matriz A asociada a la transformación T es


−1
1
2
 −5
2
1 

A=
 1 −1 −2  .
4 −1
1
Matemáticas I.
2012-2013
122
(b)
Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
Un sistema generador linealmente independiente de Col (A) es





−1
1 




 −5 
 2 



v1 = 
 1  , v2 =  −1 





4
−1
Unas ecuaciones implı́citas vienen dadas por
{
x1 − 2x2 − x4 = 0,
x1 + x3 = 0.
.
(c) Un conjunto generador linealmente independiente de Nul (A) es

 
5 


u1 = 3  .


1
[
Ejercicio 7. A =
−2 2
2
1 −1 −1
]
.
Ejercicio 8. (a) El espacio columna de A es Col (A) = R2 .
(b)

 
x1
−2
 x2   1

 
 x3  =  0
x4
0



1



 + λ  −1  , ∀λ ∈ R.

 −1 
1
(c) Obviamente V no es un subespacio vectorial, el vector nulo no está en V .
Ejercicio 9. Las relaciones dadas entre los vectores de la base canónica {e1 , e2 , e3 } y los
vectores de la base B = {u1 , u2 , u3 } pueden expresarse en forma matricial

 


2 1 −2
 e1 e2 e3  =  u1 u2 u3   2 −2 1  =⇒ (c).
1 2
2
Ejercicio 10. (a) v1 , v2 , v3 y v4 no son linealmente independientes.
(b) v4 es combinación lineal de v2 y v3 ,
Matemáticas I.
Ingenierı́a Civil
4.4.- Ejercicios.
123
(e) y, por tanto, de v1 , v2 y v3 .
(c) v1 no es combinación lineal de v2 , v3 y v4 .
(d) v4 no es combinación lineal de v1 y v2 .
(f ) los vectores {v1 , v2 , v3 } son Linealmente Independientes.
Ejercicio 11. (Comparar con los resultados obtenidos en el Ejercicio 9 del Tema 3)
(a) Para un vector v ∈ R3 ,
v∈
/ Im (f ) ≡ f (R3 ) ⇔ Ax = v es un sistema incompatible ⇔ (ver Ejercicio 9)
(b) Un vector v ∈ R3 es imagen de un único vector de R3
⇔ Ax = v es un sistema compatible determinado ⇔ (ver Ejercicio 9)
(c) Un vector v ∈ R3 es imagen de infinitos vectores de R3
⇔ Ax = v es un sistema compatible indeterminado ⇔ (ver Ejercicio 9)
Ejercicio 12. X es una aplicación lineal que se representa, respecto de las bases canónicas, por la matriz
]
[
−1 0
.
A=
0 1
Ejercicio 13. (a)
Comprobemos que Nul (A) ⊆ Nul (A2 ), las otras inclusiones se pueden obtener de forma análoga,
Si x ∈ Nul (A) =⇒ Ax = 0 =⇒ AAx = 0 =⇒ x ∈ Nul (A2 )
Comprobemos que Col (A2 ) ⊆ Col (A), las otras inclusiones se pueden obtener de
forma análoga:
y ∈ Col (A2 ) =⇒ ∃x tal que A2 x = y =⇒ A(Ax) = y =⇒ y ∈ Col (A).
(b)
Si x ∈ Nul (B) =⇒ Bx = 0 =⇒ ABx = 0 =⇒ x ∈ Nul (AB).
y ∈ Col (AB) =⇒ ∃x tal que ABx = y =⇒ A(Bx) = y
=⇒ y ∈ Col (A)puesto que ∃z = Bx tal que Az = y.
Matemáticas I.
2012-2013
124
Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.
Ejercicio 14. (a) Primero tomamos un vector que no esté en la recta generada por v1 , por
ejemplo v2 = e1 . A continuación tomamos un vector que no esté en el plano generado
por v1 y v2 , por ejemplo v3 = (0, 1, 2). Y ya está.
(b) Basta tomar un vector que no esté en el plano determinado por v1 y v2 . Puesto que la
ecuación del plano es 6x1 + 2x2 − 3x3 =, podemos tomar v3 = e1 , por ejemplo.
(c) Basta tomar v3 = e3 .
(d) Para obtener una base de R4 hacen falta dos vectores linealmente independientes que
sean linealmente independientes con v1 y v2 . Si obtenemos unas ecuaciones implı́tas
del subespacio que generan v1 y v2 tendremos dos ecuaciones implı́tas. Si tomamos
un vector v3 que verifique una de dichas ecuaciones y no la otra y un vector v4 que
verifique la otra pero no la primera, ya estará.
Ejercicio 15. (a)
[
AB1 →B2 =
[
(b) [v]B2 =
3 −2
−1
1
]
[
AB2 →B1 =
1 2
1 3
]
]
4
.
−1
Ejercicio 16. (a) Llamemos y1 e y2 las coordenadas en la base B, tenemos
para E ≡ x1 + x2 = 0, ecuaciones implı́tas: 3y1 − 4y2 = 0 y las ecuaciones
paramétricas:
{
y1 = 43 α
α ∈ R.
y2 = α
para F ≡ x1 − 2x2 = 0, ecuaciones implı́tas: y2 = 0 y ecuaciones paramétricas:
y1 = α, y2 = 0.
para G, ecuacions implı́tas: y1 = 0 y ecuaciones paramétricas: y1 = 0, y2 = α.
(b) Expresando, en cada caso, y1 e y2 en función de x1 y x2 tenemos
E ≡ −6x1 + 13x2 = 0,
F ≡ −x1 + 2x2 = 0.
G ≡ x1 − 2x2 = 0.
Ejercicio 17. Una base de Nul (A) es e4 , por lo tanto Nul (A) = Gen {e4 } .
Matemáticas I.
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