1 UNIVERSIDAD DE LA REPUBLICA FACULTAD DE CIENCIAS

UNIVERSIDAD DE LA REPUBLICA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y DE ADMINISTRACION
Matemática I - Revisión - 9 de Marzo de 2001 - Segunda parte
[1]
Sea una matriz A 3x3 tal que nu(A) =2
Existe v∈ N(A) tal que v no es
(1)
 1
 
colineal con  − 2 
 1
 
(3)
[2]
(1)
(3)
[3]
(2)
 x 

 

3
N(A)=  y  ∈ R / x − 2y + z = 0
 z 

 

1

1
Sea A= 
1

1
Si a = 1
Si a ≠ 1
Sean a ∈ R
y
(4)
1 1

1 1
. Entonces:
1 1

1 a 
(2)
⇒ nu(A) = 2
(4)
⇒ nu(A) = 2
y
 1
 
 − 2  ∈N(A).
 1
 
rg(A)=2
  1  
 
 
N(A) = S   − 2  
 
 
  1  
Si a = 1 ⇒
Si a ≠ 1 ⇒
  a   − 1  1 
     
U =   1  ,  a  ,  1  .
  0   0   1 
     
Entonces:
nu(A) = 1
nu(A) = 3
U es base de R 3 sólo si a ≠ -1
(2)
No existe a ∈R tal que U es
base de R 3
(3)
U es base de R 3 para todo a
(4)
U es base de R 3 sólo si a =1
(1)
1 ×
2
3
4
Entonces:
(1)
[4]
1 ×
2
3
4
La ecuación del hiperplano que pasa por los puntos:
 1
 1
 − 2
 
 
 
p1 =  0  , p 2 =  0  y p3 =  1  es:
 0
 1
 2
 
 
 
(3)
2 x – 9 y = 2 (2)
y=0
x + 3 y = 1 (4)
z=0
1
2
3 ×
4
1
2
3 ×
4
1
[5]
Sea U = {u, v } ⊂ R un conjunto linealmente independiente.
Entonces, necesariamente:
4
(1) Si z ∈ S(U) entonces z es combinación lineal única de U
(2) Existe z ∈ S(U) tal que z no es combinación lineal de U
(3) Todo vector de R4 es combinación lineal de U.
(4) El conjunto
[6]
(1)
[7]
{ u, v, w } es linealmente independiente para todo w ∈ R4
x=0

Sea L la recta en R 3 de ecuaciones:  y = 0
z = λ

 a
 
y sea p =  b  .
 c
 
Entonces la distancia del punto p a la recta L es igual a:
a2 + c 2
(2)
a2 + b2 + c 2
(3)
[8]
b2 + c 2
(4)
a2 + b2
Sólo si 2 v
2
u+v
2
= λu, v
Para todo valor de λ
− u− v
2
= λu, v , se cumple:
(2)
Sólo para λ = 4
(4)
Sólo para λ = 1
Si U y V son bases de R 2 tales que
 1 1
M = 

U→ V  a 0 
y
 0 b
M = 
 ,
V → U  1 1
entonces:
(1)
(3)
[9]
1
2
3
4 ×
Sean u y v dos vectores no ortogonales de R n .
Entonces, la igualdad
(1)
(3)
1 ×
2
3
4
a = -1 y b = -1
a = -1 y b = 1
(2)
(4)
a=1 y b=1
a = 1 y b = -1
 1
Sean U = {u, v} una base de R 2 , z ∈ R2 tal que [z ] U =   ,
 2
V = { z + u , v } y W = { z − u , v }. Entonces:
(1)
Ni V ni W son bases de R 2
(2)
V y W son bases de R 2
(3)
W es base de R 2 y V no lo es
(4)
V es base de R 2 y W no lo es
3 − 1 4 5


[10] Sea A =  5 2 3 1 . Entonces:
8 3 5 2


rg (A) = 2
rg (A) = 3
(1)
(2)
(3)
nu(A) = 2
nu(A) = 1
rg (A) = 2
nu(A) = 1
(4)
rg (A) = 1
nu(A) = 2
1
2 ×
3
4
1 ×
2
3
4
1
2
3
4 ×
1 ×
2
3
4
2
UNIVERSIDAD DE LA REPÚBLICA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y DE ADMINISTRACIÓN
Matemática I - Segunda Revisión - 9 de marzo de 2001 - 1ª parte
[1]
(Total 7 puntos)
Sean u , v y w vectores no nulos de R 3 .
Indicar si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos justificando la respuesta.
(En caso afirmativo demostrar y en caso negativo encontrar un contraejemplo).
1) (4 puntos) Si
2) (3 puntos) Si
{ u − v , w − v } es LD entonces { u , v , w } es LD.
{ u , v , w } es LD entonces { u − v , w − v } es LD.
________________________________________________________________________
[2]
(Total 9 puntos)
 0
6 
 
 
Sean c =  0  , q =  6  y A = x / x ∈ R3 , x − c = 3 .
 3
0 
 
 
1) (3 puntos) Demostrar que: 0 ∈ A , c ∉ A y 2 c ∈ A .
{
}
2) (3 puntos) Investigar si A es un subespacio de R 3 .
3) (3 puntos) Sea L la recta que pasa por 2 c y q .
Encontrar los puntos de L que están en A.
________________________________________________________________________
[3]
(Total 9 puntos)
 1 1 −1 
1 
1
 a − 2


 
 


Sean A =  a 1 − a  , u =  0  , v = 1 y w =  − a  .
 2 1 − 2
1 
1
 a − 4


 
 


1) (3 puntos) Calcular A.u , A.v y A.w .
2) (3 puntos) Encontrar los valores propios de A . (Se sugiere usar la parte anterior).
3) (1 punto) Demostrar que A es diagonalizable ∀ a ∈ R .
4) (2 puntos) Determinar todos los x que verifican A. x = x .
________________________________________________________________________
3
Matemática I - Segunda Revisión - 9 de marzo de 2001
Soluciones de la 1ª parte
______________________________________________________________
[1] 1) La afirmación es verdadera pues:
Si {u-v,w-v} es LD entonces
m(u-v)+n(w-v)=O con m o n no nulos
entonces
mu+nw+(-m-n) v=O con m o n no nulos
entonces
{u,v,w}es LD.
2) La afirmación es falsa pues podemos presentar el siguiente contraejemplo:
Si u=(1,0,0), v=(-2,0,0) y w=(0,1,0), {u,v,w}es LD pero {u-v,w-v}={...,...} es LI.
______________________________________________________________
[2] 1) O∈A pues ||O-c|| = ||c|| = 3
c∉A pues ||c-c|| = ||O|| = 0 ≠ 3
2c∈A pues ||2c-c|| = ||c|| = 3
2) A no es un subespacio de R 3 pues 2c∈A pero ½(2c) = c∉A
3) La ecuación de la recta L es
cumplen
 x   0
   
,
 y  −  0 = 3
 z   3
   
 x   0
 6 
   
 .
 y  =  0  + m 6 
 z   6
 − 6
   
 
Buscamos los puntos de esta recta que
o sea, que buscamos m para que
 6m 


.
 6m  = 3
 3 − 6m 


Esto sucede cuando 36m 2+36m 2+(3-6m)2 = 9, o sea, si m = 0 o si m = 1/3. Por lo tanto,
los puntos de la recta L que están en A son: 2c y
 2
 
 2
 4
 
______________________________________________________________
[3] 1)
 1 1 − 1  1   0 
 1 1 − 1 1 1

   

   
A.u =  a 1 − a  0  =  0  = 0.u ,
A.v =  a 1 − a 1 = 1 = 1.v
 2 1 − 2  1   0 
 2 1 − 2 1 1

   

   
 1 1 − 1  a − 2   2 − a 


 

A.w =  a 1 − a  − a  =  a  = (− 1).w .
 2 1 − 2  a − 4   4 − a 


 

y
2) Como A es una matriz de 3x3, A.u = 0.u , A.v = 1.v y A.w = (− 1).w , entonces, los números
0, 1 y –1 son todos los valores propios de A.
3) Como A es una matriz de 3x3 y tiene tres valores propios reales y distintos,
independientemente del valor de a, entonces A es diagonalizable ∀ a ∈ R .
4) Los vectores x que verifican A. x = x son los vectores propios asociados al valor propio 1.
Como A es una matriz de 3x3 con tres valores propios distintos, los tres subespacios de
vectores propios tendrán, cada uno, dimensión 1; por lo tanto, todo vector no nulo de
esos subespacios es un generador del mismo.
El vector v es un vector no nulo del subespacio que buscamos y por lo tanto lo genera,
entonces { x ∈ R 3 / A.x = x } es el subespacio generado por v, o sea, el conjunto de todos
los vectores de R 3 que tienen las tres componentes iguales.
______________________________________________________________
4