Algebra de matrices. Aplicaciones al campo de las Ciencias

Álgebra de matrices. Aplicaciones al campo de las
Ciencias Sociales y de la Naturaleza
Título: Álgebra de matrices. Aplicaciones al campo de las Ciencias Sociales y de la Naturaleza.. Target: Profesores de
Matemáticas.. Asignatura: Matemáticas. Autor: Emiliana Oliván Calzada, Licenciada en Matemáticas, Profesora de
Matemáticas en Educación Secundaria.
1. MATRICES. DEFINICIONES Y NOTACIONES
NOTA: Definiremos matrices con coeficientes en un cuerpo K. Muchas de las propiedades y definiciones
seguirán siendo válidas si K fuera sólo anillo.
 
Definiciones: Una matriz A con coeficientes en K es una familia de elementos de K, aij
iI , jJ
, siendo I, J
conjuntos finitos. Si I  1,..., m y J  1,..., n dichos elementos se escriben en m filas y n columnas de la
siguiente forma:
 a11 a12  a1n 


 a 21 a 22  a 2 n 
A  aij   
, y diremos que A es una matriz mxn .
 


a

a



a
m2
mn 
 m1
Dos matrices mxn son iguales si y solo si tienen en cada lugar i, j  el mismo elemento de K, es decir,
A  aij   B  bij   aij  bij
i  I , j  J
 
1 j  n
se llama fila i-ésima de la matriz A o vector fila de A.
 
1 i  m
se llama columna j-ésima de la matriz A o vector columna de A.
Fijado i la familia aij
Fijado j la familia aij
Definición: Llamaremos M mxn K  al conjunto de todas las matrices de orden mxn con coeficientes en K.
 11ijmn  M mxn K  .
Definiciones: Sea A  aij

Si A  M mx1 se dice que A es una matriz columna.

Si A  M 1xn se dice que A es una matriz fila.

Si aij  0 i, j se dice que A es matriz nula. En este caso denotamos A  0 .

Se define matriz opuesta de A  aij a la matriz  A   aij

 

Si m  n A se dice matriz cuadrada y se denota A  M n K  .

i, j  IxJ .
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Definiciones: Sea A  M n K  .

Si aij  a ji
i, j se dice que A es matriz simétrica.

Llamaremos diagonal principal a los elementos aii

Se llama traza de A a la suma de los elementos de la diagonal principal: Traza  A 
1 i  m.
m
a
i 1
ii

Si aij  0 i  j entonces A se llama matriz diagonal.

Si A es una matriz diagonal y además aii  a jj

Si A es una matriz diagonal y además aii  1 i se llama matriz identidad y se denota I n .

Se llama matriz triangular superior (o inferior) a una matriz cuadrada con todos los elementos por
debajo (o por encima) de la diagonal principal nulos.
i  j A se llama matriz escalar.
Definición: Sea A  M mxn K  . Se llama matriz traspuesta de A y se denota A t o A a la matriz resultante
de intercambiar las filas por columnas.
Definición: (Otra definición de simétrica).
Sea A  M n K  . Se dice que A es matriz simétrica si At  A . Se dice que A es antisimétrica o
hemisimétrica si At   A .
2. EL ESPACIO VECTORIAL
Suma de matrices:
 
 
Definición: Sean A  aij  M mxn K  y B  bij  M mxn K  . Definimos suma de A y B denotado A + B
 
como: A  B  cij
1i  m
1 j  n
donde cij  aij  bij
i, j .
Nota: La operación suma de matrices verifica las siguientes propiedades:



Asociativa
Conmutativa
Elemento neutro: Se trata de la matriz nula A  0

Elemento opuesto: Se trata de la matriz opuesta  A   aij
Luego M mxn K ,,.R  es grupo abeliano.


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Producto de una matriz por un escalar:
 
Definición: Dada una matriz A  aij  M mxn K  y un escalar t  K . Se define la matriz producto por un

escalar y se denota por t  A como: t  A  t  aij

i , jIxJ
.
Nota: La operación producto por un escalar verifica las propiedades:



Conmutativa.
Pseudoasociativa
Elemento unidad
Y además en M mxn K  se verifica la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma.
Luego (M mxn K ,, K ) es un K-espacio vectorial. Se denota como Μmxn
Nota:



La aplicación  : M mxn K   L K m , K n es un isomorfismo de espacios vectoriales siendo L K m , K n
conjunto de las aplicaciones lineales de K
m

n
en K .
  A : K m  K n
n
ei    Aei    ej
j 1
 
 
Con ei  base de K m y ej base de K n y aij

1 j  n
elementos de la fila i-ésima de A.

Así, M mxn K   L K m , K n .
Ejemplo: Sea K m  R 3 y K n  R 2
 3 4
1,0,0, 0,1,0, 0,0,1 base de R y 1,0, 0,1 base de R . A    1 1   M 3 x2 R 
 0 5


3
 : M 3 x 2 R 
2
 LR 3 , R 2 
 3 4


A    1 1     A : R 3  R 2
 0 5


n
ei    Aei    aij  ej
j 1
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el
Sea e1  1,0,0 . Entonces:
2
  Ae1    a1 j ej  a11 1,0  a12 0,1  31,0  40,1  3,0  0,4  3,4 .
j 1
2
  Ae2    a21 j ej  a21 1,0  a22 0,1  11,0  10,1   1,0  0,1   1,1
j 1
2
  Ae3    a31 j ej  a31 1,0  a32 0,1  01,0  50,1  0,0  0,5  0,5
j 1
 : M mxn R 

 L R3 , R2

 a11 a12  a1n 


A   a 21 a 22  a 2 n     A : R m  R n
a

 m1 a m 2  a mn 
n
ei    Aei    aij  ej
j 1
1,0, 0, 0  a11 , a12 ,, a1n 
0,1,0,,0  a 21 , a 22 ,, a 2 n 
Así,

0,0,,0,1  a m1 , a m 2 ,, a mn 
Por tanto, toda aplicación lineal de K m en K n se puede escribir como una matriz M mxn .
3. EL ANILLO M n K 
Producto de matrices
Definición: Sean A  M mxn y B  M nxp . Definimos el producto de las matrices A y B denotado A  B como
n
A  B  cik   M mxp con cik   aij  b jk con i  1,, m, j  1, p
j 1
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Ejemplo:
1

0
0  3

2   0
 M 2x2
1
0
1  3

2   0
 M 2 x3
1
0
1

4 
 M 2 x3
Observación: El producto solo existe si el nº de columnas de A coincide con el nº de filas de B.
Nota: Solo tiene sentido pensar en la conmutatividad del producto cuando estemos en M n K  . Es más, el
producto de matrices en M n K  no es conmutativo.
 2 6 3
1 1 1




Ejemplo: Dadas las matrices A   0 9 5  y B   2  4 2  . Calcular AB y BA .
  6 2 1
 3 5 7




¿Coinciden los resultados?
 2 6 3  1 1 1 

 

AB   0 9 5    2  4 2  
  6 2 1  3 5 7 

 

 2  1  6  2  3  3 2  1  6   4  3  5 2  1  6  2  3  7   23  7 35 

 

  0  1  9  2  5  3 0  1  9   4  5  5 0  1  9  2  5  7    33  11 53 
  6  1  2  2  1  3  6  1  2   4  1  5  6  1  2  2  1  7   1  9 5 

 

 2 6 3  1 1 1

 

BA   0 9 5    2  4 2  
  6 2 1  3 5 7 

 

1  2  1  0  1 6
1 6  1 9  1 2
1 3  1 5  11
9 

   4 17

 

  2  2   4  0  2   6 2  6   4  9  2  2 2  3   4  5  2  1    8  20  12 
 3  2  5  0  7   6
3 6  59  7  2
3  3  5  5  7  4    36 77
41 

No coinciden los resultados, es decir, AB  BA , lo que significa que el producto de matrices no verifica la
propiedad conmutativa.
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Nota:
1) ( M n K ,) es grupo abeliano.
2) ( M n K , ) es un semigrupo con unidad, ya que la operación producto definida en
verifica:
M n K 
i) La propiedad asociativa.
ii) Tiene elemento neutro, se trata de la matriz identidad.
3) El producto de matrices definido en M n K  cumple la propiedad distributiva respecto de la suma.
Luego ( M n K ,, R ) es un anillo.
Observación: El anillo M n K  tiene divisores de cero, es decir, A  B  (0) no implica A  (0) ó B  (0) .
Ejemplos:
4   0 2   0 0
 2
  
  

  1  2   0  1  0 0 
1) 
 0 1 1 0   0 0
  
  

 0 0  0 0  0 0
2) 
Nota:
Relacionadas con el producto aparecen algunos tipos de matrices como:
Una matriz cuadrada A se dice que es idempotente si verifica que A 2  A .
Una matriz cuadrada A se dice que es involutiva si verifica que A 2  I .
Una matriz cuadrada A se dice que es nilpotente de orden n si verifica que A n  (0) .
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Propiedades: Sean A, B  M n K  . Entonces:
1)  A  B   At  B t
t
2)   A    At
  K *
t
 
3) At
t
A
4)  A  B   B t  At
t
Siempre que los productos indicados sean posibles.
Propiedad: Toda matriz A  M n K  se puede descomponer de forma única como suma de una matriz
simétrica y otra antisimétrica.
Demostración:
Existencia:
Sean las matrices S 








1
1
A  At y H  A  At . Calculamos S t y H t para ver que S es simétrica y H
2
2
antisimétrica.


t
1
1

S t   A  At   A  At
2
2



t
1
1

H   A  At   A  At
2
2

t
t
t

    12 A

1 t
A  At
2

1 t
A  A  H .
2

t
t

A S

Así S t  S y H t   H . Luego S es simétrica y H antisimétrica.
Ahora bien: S  H 




1
1
A  At  A  At  A con lo que queda probada la existencia.
2
2
Unicidad:
Sea R simétrica y T antisimétrica tal que A  R  T . Así: At  R  T   R t  T t  R  T .
t
Luego: Sumando A  At  ( R  T )  ( R  T )  2  R  R 
A  At
 S

2
def
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Restando: A  At  ( R  T )  ( R  T )  2  T  T 
A  At
 H

2
def
Así la descomposición es única.
4. MATRICES REGULARES
Definición: Diremos que A  M n K  es una matriz regular o no singular si existe B  M n K  tal que
A  B  I n  B  A . A la matriz B se le llama matriz inversa de A y se denota A-1.
Proposición: La inversa de una matriz si existe es única.
y
dos
B
B
B  B  I n  B   A  B  B  A  B  I n  B  B .
Demostración:
Sean

Nota: Sea Gn  A  M n K  A es regular

Gn

matrices
inversas
de
A.
Entonces


:Gn ( M n )  L K n , K n es automorfismo, siendo  : M n K   LK n , K n  isomorfismo.
Propiedad: Sean A, B  Gn   A  B 
1
 B 1  A1
Demostración:
 A  B  B 1  A1   A  B  B 1  A1  A  I n  A1  A  A1  I n
B
1



 A1   A  B   B 1  A1  A  B  B 1  I n  B  B 1  B  I n
Luego  A  B 
1
 B 1  A1
Nota: Gn , es grupo ya que el producto de matrices es una operación interna en G n con elemento neutro
y elemento inverso.
5. APLICACIONES DE LAS MATRICES
Las matrices son una herramienta imprescindible en el campo del álgebra, de la geometría, de la estadística,
de la economía, de la física, etc.…
Cuando tratamos gran cantidad de datos se organizan en matrices para su posterior manipulación.
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Aplicaciones de las matrices en el campo de las ciencias sociales y de la naturaleza
A) La principal utilidad del álgebra matricial está en la posibilidad de poder representar, estudiar y resolver
sistemas de ecuaciones con ayuda de nociones como rango de una matriz (que es el número de filas o de
columnas linealmente independientes), matriz inversa y determinantes.
Un sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial como AX  B . Si A es regular la solución
del sistema es X  A1  B
B) Para estudiar máximos y mínimos de funciones de varias variables:
Sea f : R n  R m , se define su derivada por medio de una matriz M mxn R  llamada Jacobiana  J , cuyos
elementos son aij 
f i
donde x j son las variables. Se define su derivada segunda por medio de una matriz
x j
 2 fi
M mxn R  llamada Hessiana  H , cuyos elementos son bij 
xi x j
Resolviendo J  0 obtenemos los posibles extremos y estudiando en ellos el signo de H podemos saber
cuales son máximos y mínimos.
C) En la geometría las matrices sirven para representar los movimientos y semejanzas en el espacio. Son
importantes en dinámica, cristalografía, teoría de la relatividad,…
Ejemplos:

Traslación de vector v  (a, b, c)
 x   1 0 0   x   a   x   a   x  a 
  
         

 y   0 1 0    y    b    y    b    y  b 
 z    0 0 1  z   c   z   c   z  c 
  
         

Giro de ángulo  y eje z.
 x    cos 
  
 y     sen
 z   0
  
 sen 0   x   x  cos   y  sen 
   

cos  0    y    x  sen  y  cos  

0
1   z  
z

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D) En Estadística usamos matrices para representar los datos. También se utiliza la matriz varianza,
covarianza, matriz de correlaciones…
E) En Economía se usan las llamadas matrices de pago que informan de las ganancias o pérdidas que pueden
darse en determinadas situaciones.
F) En Probabilidad se usan por ejemplo al trabajar con cadenas de Harkov, donde se estudia la probabilidad
de un estado futuro conocidos los estados presente y pasado. Para ello se estudia la matriz de transición de
estados. Esto es muy útil por ejemplo en genética.
G) En Investigación Operativa al resolver el método del simplex se hace de forma matricial. También se usan
para resolver los llamados problemas de transporte (minimizar recorridos, minimizando costes).
H) En Sociología se utilizan para estudiar las relaciones existentes entre un grupo grande de personas porque
se utilizan los llamados grafos dirigidos (conjuntos de puntos y flechas que unen parejas de puntos distintos). A
estos grafos dirigidos se les asocia una matriz llamada de adyacencia Aad  aij
con
 
 k , si el punto i es adyacente al punto j
aij  
0, en otro caso
Con k número de flechas que unen el punto i con el punto j.
6. ORIENTACIONES DIDÁCTICAS
El tema comienza a estudiarse en 2º curso de Bachillerato y es importante desarrollarlo viendo gran cantidad
de ejemplos para comprender de forma correcta las distintas operaciones.
Este tema se completa con el estudio de los determinantes, en el cual se estudia el cálculo de la matriz
inversa utilizando los determinantes. No obstante, la matriz inversa, puede calcularse directamente aplicando
la definición y utilizando el producto de matrices o mediante transformaciones elementales por filas sobre
dicha matriz.
1 1 1


Ejemplo: Hallar la matriz inversa de A   2 1 2  .
0 0 1


 1 1 1 1 0 0


Escribimos  2 1 2 0 1 0  y tenemos que conseguir que mediante transformaciones elementales
0 0 1 0 0 1




A
I3
por filas que A se transforme en la matriz unidad I 3 , dichas operaciones son:
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



A la fila 2, le restamos dos veces la fila 1.
Se divide la fila segunda por 3.
Se suma a la fila primera la segunda.
A la fila primera se le resta la tercera.

1

Y obtenemos entonces:  0

0


0
1
3
2
0
3
1 0
0
1
0


I3
A

1
 1
3

1
0 .

3
0 1 

1
La matriz que resulta en el bloque correspondiente a I 3 es precisamente A 1 .
●
Bibliografía
Curso de álgebra y geometría. Juan de Burgos. Editorial: Alambra.
Álgebra lineal. F. Puerta. Editorial Univ. de Barcelona.
Grossman. Álgebra lineal.
Dixmier, J. Matemáticas generales.
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