119. Las cónicas y sus propiedades reflexivas

XXVI CONGRESO DE INVESTIGACIÓN CUAM - ACMor
LAS CÓNICAS Y SUS PROPIEDADES REFLEXIVAS
Autores: Eduardo Valle Lecuona, José María Ruíz Vázquez y Carlos Uriel Sedeño Olivar
Asesor: Enrique Barrera Herrera
Escuela “El Peñón”
Área Ciencias Físico Matemático, Preparatoria
Proyecto escolar
OBJETIVO
Las diversas aplicaciones que tienen en la vida diaria la elipse y la parábola principalmente, son tan diversas
e importantes por lo que el objetivo del presente trabajo es estudiar las propiedades reflexivas de la luz en
la parábola y en elipse probando analíticamente y experimentalmente lo siguiente:
 Si desde uno de los focos se emite un rayo de luz, que se refleja en el interior de la elipse, el rayo
reflejado pasará por el otro foco.
 Si desde el foco se emite un rayo de luz, que se refleja en el interior de la parábola, el rayo reflejado
será paralelo al eje de la parábola.
DEFINICIÓN
Reflexión de la luz y sus leyes
La luz es una manifestación de energía. Gracias a ella las imágenes pueden ser reflejadas en un espejo, en la
superficie del agua o un piso muy brillante. Esto se debe a un fenómeno llamado reflexión de la luz. La
reflexión ocurre cuando los rayos de luz que inciden en una superficie chocan en ella, se desvían y regresan
al medio que salieron formando un ángulo igual al de la luz incidente.
Es el cambio de dirección, en el mismo medio, que experimenta un rayo luminoso al incidir oblicuamente
sobre una superficie. Para este caso las leyes de la reflexión son las siguientes:
1a. ley: El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal se encuentran en un mismo plano.
2a. ley: El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión 𝜽𝒊 = 𝜽𝒓
No todos los cuerpos se comportan de la misma manera frente a la
luz que les llega. Por ejemplo, en algunos cuerpos como los espejos
o los metales pulidos podemos ver nuestra imagen pero no
podemos "mirarnos" en una hoja de papel. Esto se debe a que
existen distintos tipos de reflexión:
Cuando la luz obedece a la ley de la reflexión, se conoce como
reflexión especular. Este es el caso de los espejos y de la mayoría
de las superficies duras y pulidas. Al tratarse de una superficie lisa,
los rayos reflejados son paralelos, es decir tienen la misma
dirección.
Cónicas
La palabra cónica viene de la figura geométrica cono. Las secciones cónicas son figuras geométricas que se
obtienen al hacer pasar un plano de diferentes formas a través de un par de conos invertidos y unidos por el
vértice. Las figuras que se obtienen al hacer estos cortes toman el nombre de: circunferencia, parábola, elipse
e hipérbola. Para este trabajo sólo utilizaremos la parábola y la elipse.
Elipse: Es un conjunto de puntos en el plano, tal que la suma de sus distancias a
dos punto fijos, es constante. La ecuación de la elipse con centro en el origen es
𝑥2
𝑎2
𝑦2
+ 𝑏2 = 1, en donde 𝑎 es el semieje mayor y 𝑏 el semieje menor, 𝑐 cumple la
condición 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 .
Parábola: Es el conjunto de puntos en el plano que se encuentran a la misma
distancia de un punto fijo F, llamado foco y una recta D llamada directriz. La
ecuación de la parábola horizontal es 𝑦 2 = 4𝑝𝑥, donde el foco se localiza en el
punto 𝐹(0, 𝑝) y la directriz tiene ecuación 𝑥 = −𝑝.
DESARROLLO
Comenzaremos dando la demostración analítica y enseguida la práctica, para la demostración analítica
utilizaremos las herramientas que aprendimos en nuestros cursos de geometría analítica y cálculo diferencial.
Demostración analítica para el caso de la parábola
 Enunciado: Si desde el foco se emite un rayo de luz, que se refleja en el interior de la parábola, el
rayo reflejado será paralelo al eje de la parábola.
DEMOSTRACIÓN
Observando el siguiente diagrama, para probar esta propiedad reflexiva debemos demostrar que 𝛼 = 𝜃
La ecuación de la parábola horizontal con vértice en el origen es de la forma 𝑦 2 = 4𝑝𝑦, donde el foco se
encuentra en 𝐹(𝑝, 0) y la ecuación de la directriz es 𝑥 = −𝑝.
Consideremos al punto 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 ) sobre la parábola, sea 𝑚 la pendiente de la recta tangente a la parábola
que pasa por el punto 𝑃, por las clases de cálculo diferencial sabemos que la derivada de una curva, me da la
pendiente de la recta tangente en un punto dado, por lo que sólo tenemos que derivar la ecuación de la
parábola para poder obtener la pendiente de la recta tangente. Al derivar implícitamente la ecuación de la
parábola obtenemos
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑝
𝑦
por lo que la
pendiente de la recta tangente en el punto 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 )
es
𝑚 = tan(𝛽1 ) =
2𝑝
.
𝑦0
Sea 𝛽1 el ángulo que forma la
recta tangente con el eje de las abscisas, 𝛽2 el ángulo
que forma el eje de las abscisas y la recta que pasa
por 𝑃 y 𝐹, de acuerdo al diagrama, tenemos que
𝛼 = 𝛽2 − 𝛽1 .
La pendiente de la recta que pasa por P y F es
𝑦0
𝑚1 = tan(𝛽2 ) = 𝑥 −𝑝
. Utilizando la fórmula para la
0
tangente de la diferencia de dos ángulos, obtenemos:
tan(∝) = tan(𝛽2 − 𝛽1 ) =
𝑚1 − 𝑚
1 + 𝑚1 𝑚
=
𝑦0
2𝑝
−
𝑥0 −𝑝 𝑦0
𝑦
2𝑝
1+ 0 .
𝑥0 −𝑝 𝑦0
=
2(4𝑝𝑥0 )−4𝑝𝑥0 +4𝑝2
, 𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
2𝑥0 𝑦0 +2𝑦0 𝑝
2𝑦02 −4𝑝𝑥0 +4𝑝2
0 𝑦0 −2𝑝𝑦0 +4𝑦0 𝑝
= 2𝑥
𝑞𝑢𝑒 4𝑝𝑥0 = 𝑦02
4𝑝(𝑥0 +𝑝)
0 (𝑥0 +𝑝)
= 2𝑦
=
2𝑝
𝑦0
Si observamos esta última expresión, tenemos que tan(𝛼) = 𝑚, pero como 𝛽1 = 𝜃, entonces tenemos que
tan(𝛼) = 𝑚 = tan(𝜃) por lo tanto 𝛼 = 𝜃. Podemos concluir que un rayo de luz que sale del foco de la
parábola se refleja paralelamente al eje de la parábola, que en este caso coincide con el eje de las
abscisas. ∎
Demostración analítica para el caso de la elipse
 Enunciado: Si desde uno de los focos se emite un rayo de luz, que se refleja en el interior de la
elipse, el rayo reflejado pasará por el otro foco.
En el siguiente diagrama mostramos una elipse cuya ecuación es
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1, la ubicación de los focos
es 𝐹1 (−𝑐, 0) y 𝐹2 (𝑐, 0). Sea 𝐿1 la recta tangente a la elipse en el punto 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 ) y 𝐿2 la recta
perpendicular a 𝐿1 que pasa por el punto de tangencia.
Para probar que un rayo de luz que sale de 𝐹1 , se refleja en la elipse y el rayo reflejado pasa por 𝐹2 debemos
probar que ∝1 =∝2.
La pendiente de una recta la podemos ver como la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de las
abscisas y la derivada de una función me da la pendiente de la recta tangente en un punto dado.
Derivando implícitamente la ecuación de la elipse y despejando
pendiente de la recta 𝐿1 en el punto
𝑃(𝑥0 , 𝑦0 )
es 𝑚 = −
𝑏 2 𝑥0
𝑎 2 𝑦0
y la
pendiente de la recta 𝐿2 es 𝑚⊥ =
𝑎 2 𝑦0
𝑏 2 𝑥0
puesto que 𝑚. 𝑚⊥ = −1.
Sea 𝑚1 la pendiente de la recta que
pasa
por
los
puntos
𝑃(𝑥0, 𝑦0 ) y 𝐹1 (−𝑐, 0),
𝑚2 la
pendiente de la recta que pasa por
𝑃(𝑥0, 𝑦0 ) y 𝐹2 (𝑐, 0), por todo lo
anterior tenemos lo siguiente:
𝑚1 = tan(𝛽1 ) =
𝑦0
𝑥0 + 𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑥
obtenemos
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑏2 𝑥
= − 𝑎2 𝑦, por lo que la
𝑚2 = tan(𝛽2 ) =
𝑦0
𝑥0 − 𝑐
𝑎2 𝑦
𝑚⊥ = tan(𝜃) = 𝑏2 𝑥0
0
A partir del diagrama podemos observar que ∝1 = 𝜃 − 𝛽1 y ∝2 = 𝛽2 − 𝜃 . Ahora vamos a utilizar la
siguiente fórmula para encontrar tan(∝1 ) y tan(∝2 ).
tan(𝐴 − 𝐵) =
tan(𝐴) − tan(𝐵)
1 + tan(𝐴) tan(𝐵)
Utilizando la fórmula anterior obtenemos:
tan(∝1 ) = tan( 𝜃 − 𝛽1 )
tan(𝜃)−tan(𝛽 )
1)
= 1+tan(𝜃) tan(𝛽1
=
sustituyendo y simplificando, obtenemos:
𝑦0 𝑐
𝑏2
De la misma manera, tenemos:
tan(∝2 ) = tan( 𝛽2 − 𝜃)
tan(𝛽 )−tan(𝜃)
2 ) tan(𝜃)
2
= 1+tan(𝛽
=
sustituyendo y simplificando, obtenemos:
𝑦0 𝑐
𝑏2
Tenemos que tan(∝1 ) = tan(∝2 ), concluimos que ∝1 =∝2
∎
DESARROLLO EXPERIMENTAL
Con la ayuda de la computadora diseñamos una parábola y una elipse, después la imprimimos en un papel
con dimensiones de 50cm x 50cm. Cada una la pegamos en una tabla con las mismas medidas para después
hacer un corte e insertar una lámina metálica.
Para hacer la prueba utilizamos una canica y una vara para simular la bola y el taco de billar y la tabla con
la lámina parabólica y elíptica simularán la mesa de billar.
Comenzamos con nuestra prueba, verificamos que cada una de las tablas estén en forma horizontal,
primero colocamos una canica en uno de los focos de la elipse y golpeamos, se observa que al chocar va
directo al otro foco de la elipse, hacemos lo mismo pero ahora colocamos la canica en el otro foco de la elipse
y golpeamos, se observa el mismo suceso, la canica se dirige al otro foco después del choque.
Ahora vamos con la tabla que tiene incrustada la lámina de forma parabólica. Primero colocamos una canica
en el foco de la parábola y golpeamos, se observa que después del choque, la canica viaja paralelamente al
eje de la parábola.
Es sorprendente ver que de una manera sencilla podemos demostrar prácticamente las propiedades de
reflexión que tienen algunas cónicas, como lo es la parábola y la elipse. De esta manera podemos entender el
porqué de tantas aplicaciones que tiene la parábola y la elipse, como por ejemplo:
El sonido y las ondas electromagnéticas obedecen las mismas leyes de la reflexión de la luz, por lo que se
usan micrófonos parabólicos para recoger y concentrar sonidos que provienen, por ejemplo, de una parte
distante del estadio de fútbol. Las antenas parabólicas utilizan la propiedad de reflexión de las ondas
electromagnéticas para recibir o enviar señales a estaciones de radio, satélites de comunicación o galaxias
remotas.
Una aplicación de la propiedad óptica de la elipse es la de ciertos hornos construidos en forma de elipsoides.
Si en uno de sus focos se coloca la fuente de calor y en el otro se coloca el material que se quiere calentar,
todo el calor emanado por la fuente de calor se concentrará en el otro foco.
Lewis Carroll, el matemático autor de Alicia en el País de las Maravillas, se construyó una mesa de billar de
forma elíptica. En ella si una bola pasa por un foco, sin efecto, pasará necesariamente por el otro foco
después de rebotar. Y así sucesivamente, hasta que se pare.
CONCLUSIÓN
A través de este trabajo podemos comprender mejor las propiedades reflexivas de la parábola y la elipse y
con esto entender mejor el porqué de todas las aplicaciones que tienen hoy en día. Ya que después de
probarlo analíticamente con la ayuda de la geometría analítica y el cálculo diferencial sólo faltaba llevarlo a la
práctica, pero con esta manera que nosotros encontramos para hacerlo, resulto fácil de visualizar y de
entender.
REFERENCIAS
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
http://conicas.galeon.com/Elipse.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Reflexi%C3%B3n_%28f%C3%ADsica%29
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
Libro de texto “Cálculo diferencial e integral” A. Anfossi y M.A. Flores Meyer. Ed. Progreso
Libro de texto “Geometría Analítica”, Luis Magaña Cuellar y Pedro Salazar Vázquez