Consideremos la parabola de ecuacion y = x2. Calcular el punto B

Consideremos la parábola de ecuación y = x2. Calcula el punto B de esta parábola que está
más cerca del punto A = (3, 0). Comprueba después que la recta BA es perpendicular a la
tangente a la parábola en el punto B.
SOLUCIÓN:
- Lo que se nos pide es buscar el punto de la parábola en que la distancia a (3, 0) sea mínima.
El punto B(x, y) al ser de la parábola y = x2, se puede escribir B(x, x2); que de esta forma se
expresa con una sola incógnita.
La función a minimizar es la distancia entre puntos:
d(A, B) =
x - 32  x2  0
=
x4  x2  6x + 9
Como la raíz será mínima cuando el radicando sea mínimo, podemos minimizar:
d2(A, B) = x4 + x2 - 6x + 9. Para hacerlo buscamos los ceros de su derivada.
(d2(A, B))’ = 4x3 + 2x - 6. Como la suma de coeficientes es 0, el 1 será una raíz;
descomponiendo por Ruffini:
(d2(A, B))’ = (x - 1)(4x2 + 4x + 6) que sólo se anula en x = 1.
Conociendo el signo de la derivada segunda en x = 1 podremos saber si se trata de un mínimo:
(d2(A, B))’’ = 12x2 + 2, siempre positiva, por lo que en x = 1, la función es cóncava. Se tiene un
mínimo en B(1, 1).
- Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1. Un vector
director de la recta AB es  = (-2, 1), y la pendiente de la recta, la segunda componente
dividida por la primera: m1 = -
1
.
2
Para calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función y = x 2 en el punto
B(1, 1), calcularemos la derivada en x = 1.
f’(x) = 2x.
f’(1) = 2, m2 = 2.
m1m2 = -
1
2 = -1, por lo que las dos rectas son perpendiculares.
2