Ortogonalidad y SSL

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CAPITULO III ORTOGONALIDAD Y SISTEMAS DE STURM LIOUVILLE
Una transformación lineal L: C n [ a, b] → C [a,b] es un operador diferencial lineal de orden n (en el
intervalo [a,b]) si puede expresarse en la forma :
L = an (x)D n + - - - - +a1(x)D + a 0 (x)
donde D=d/dx y los coeficientes aj(x) , j∈{1,---,n} son funciones continuas en [a,b], con an(x) no
idénticamente nula en [a,b]. En particular si f ∈ C n ([ a, b]) , entonces
L[f ]( x) = an ( x)
dn
dxn
f ( x) + − − + a 0 ( x)f ( x)
DEFINICION 1.-Se dice que un operador diferencial lineal de segundo orden L definido en un
intervalo [a,b] esta en forma autoadjunta, si:
L = D( p( x)D) + q( x)
donde p es cualquier función en C1[a,b] tal que
q es una función arbitraria en C[a,b] .
p(x) > 0 ( o bien p(x) < 0 ) para todo x∈[a,b] y
Consideremos la EDO lineal de 2º orden
(1)
a 2 ( x)
d2 y
dx
2
+ a1( x)
dy
dx
+ a 0 ( x) = 0 ; a 2 ( x) ≠ 0.; x ∈ I
y sea
⎛ a ( x) ⎞
p( x) = exp⎜ 1 dx⎟ .
⎝ a 2 ( x) ⎠
∫
Como
d ⎛
dy ⎞
d2 y a ( x)
dy
⎜p( x) ⎟ = p( x) 2 + 1
p( x)
dx ⎝
dx ⎠
a 2 ( x)
dx
dx
entonces la ecuación (1) se puede escribir
dy ⎞ a ( x)
d⎛
⎜p( x) ⎟ + 0
p( x)y = 0
dx ⎠ a2 ( x)
dx ⎝
o más simple
(2)
dy ⎞
d⎛
⎜p( x) ⎟ + q( x) y = 0
dx ⎠
dx ⎝
donde
q( x) =
a 0 ( x)
a2 ( x)
p( x)
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La ecuación (2) se conoce como la forma autoadjunta de la ecuación (1)
EJEMPLO 1.- La forma autoadjunta de la ecuación de Legendre
(1 − x ) y′′ − 2xy + n(n + 1)y = 0
2
es
dy
1 − x )]
+ n(n + 1) y = 0
(
[
dx
dx
d
2
EJERCICIOS 1 : Expresar cada unas de las ecuaciones siguientes en forma autoadjunta
a)
b)
c)
( 1-x2 )y´´ - 2xy´+ 6y=0 , I= (-1,1)
x2y´´ - 2x3y´- (4-x2)y =0 , I = ℜ+
(x3-2)y´´- x2y´-3y =0 , I =] 3 2 ,∞ [
DEFINICION 2.- Un problema con valores en la frontera (PVF o PVC) para ecuaciones
diferenciales lineales de 2º orden consiste en :
1º .-
Una ecuación del tipo
(3)
Ly=h
en que L es un operador diferencial lineal de 2º orden definido en [a,b] y h ∈ C [a,b], y
2º
Un par de condiciones de frontera de la forma :
(4)
α1y( a) + α 2 y( b) + α 3 y′( a) + α 4 y′( b) = γ 1
β1y( a) + β2 y( b) + β3 y′( a) + β 4 y′( b) = γ 1
dondeα i , β i , γ j son constantes. Al menos una de las αi y una de las βi debe ser no nula y (4) debe
contener términos no nulos incluyendo a cada uno de los extremos.
NOTAS. 1º.- Se dirá que las condiciones de fronteras dadas son homogéneas si
γ1 = γ2 = 0.
2º.- Se puede probar que el conjunto S de las funciones dos veces diferenciables en [a,b]
que satisfacen condiciones de frontera homogéneas (4) es un subespacio de C2[a,b].
En este capítulo aprenderemos a resolver PVF de la forma:
⎧
Ly = h
⎪
⎨α1y( a) α 2 y( b) + α 3 y′( a) + α 4 y′( b) = 0
(5)
⎪
⎩ β1y( a) + β 2 y( b) + β 3 y′( a) + β 4 y′( b) = 0
donde L es un operador diferencial lineal L: S→C[a,b].
Las soluciones del PVF (5) están íntimamente ligadas a las soluciones del sistema:
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⎧
Ly = λy
⎪
⎨α1y( a) α 2 y( b) + α 3 y′( a) + α 4 y′( b) = 0
⎪
⎩ β1y( a) + β 2 y( b) + β 3 y′( a) + β 4 y′( b) = 0
(6)
donde λ es un parámetro.
Observe que el PVF (6) admite siempre como solución la función nula, y que además no satisface el
teorema de unicidad de soluciones. Nuestro interés está precisamente en encontrar las soluciones no
nulas del PVF (6).
Los valores de λ para los cuales la ecuación Ly=λy tiene soluciones no nulas en el subespacio S de
C2[a,b], son llamados valores propios ( o valores característicos ) de L, y para cada valor propio λ,
las funciones no nulos en S que satisfacen
Ly=λy se llaman funciones propias de L,
correspondientes a ese λ.
La ecuación diferencial en (6) también suele escribese en la forma
Ly +λy=0
En este caso los valores de λ tienen signo opuesto a los hallados en (6).
EJEMPLO 2 .-
Hallar los VP y las FP del siguiente problema diferencial:
y " +λy =0 , 0<x<π
y(0) = y '(π) = 0
SOL.:La ecuación característica asociada a la EDO y " +λy =0 es r2+λ = 0, de donde se obtiene que
r = ± −λ . Así se distinguen tres situaciones para la correspondiente solución general
1ra situación :λ<0
La solución general de la EDO y " +λy =0 es:
− −λ x
y( x) = c1e − λ x + c 2 e
de donde obtenemos
y′( x) = − λ ( c1e
−λ x
− c2e
,
−λ x
).
Aplicando las condiciones de contorno (CC), resulta:
y(0) = 0 ⇒ 0 = c1+c2 ⇒ c1 = −c 2
y '(π)= 0 ⇒ 0 = -c2(
− λc1e
− λπ
+ − λc 2 e −
− λπ
)⇒ c1 = c 2 = 0.
Por lo tanto no hay VP negativos.
2da situación λ=0 :
La solución general ahora es: y( x) = C1x + C 2 . Luego, y'( x) = C1 . Aplicando las condiciones de
contorno se obtiene C1=C2=0. Por lo tanto λ = 0 no es VP.
3rasituación λ>0 :
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La solución general ahora es:
y( x) = A cos λ x + B sen λ x .
y'( x) = − λ A sen λ x + λB cos λ x .
Luego,
Aplicando la primera CC, resulta : y(0) = 0 ⇒ A= 0
Por lo tanto y '(x) = λB cos λ x .
Aplicando la segunda CC: y '(π)= 0 ⇒ λB cos λπ = 0 ⇒ cos λπ = 0,B ≠ 0
( 2n − 1)π
∴π λ=
,
n = 12
, ,3,...
2
( 2n − 1) 2
∴ VP: λn =
,
n = 12
, ,3,...
4
⎛ 2n − 1⎞
⎟x
y así
FP: y n = sen⎜
, ,3,...
n = 12
⎝ 2 ⎠
EJEMPLO 3. Consideremos la ecuación de Euler:
(7)
x2y" + xy' + λy = 0 ,
y '(1) = y '(e2π) = 0.
1 < x < e 2 π , λ ≥ 0 con las CC :
SOL.: Observamos que la forma autoadjunta de (7) es
d ⎛ dy ⎞ λ
⎜x ⎟ + y = 0
dx ⎝ dx ⎠ x
(8)
Por hipótesis, λ ≥ 0 ; luego discutimos sólo dos casos:
i) λ=0 : La ecuación de Euler toma la forma
d2 y dy
x 2 +
= 0,
1 < x < e2 π (∴ x > 0 )
dx
dx
∴
y(x) = c1lnx+c2 e y '(x) = c1/x
y'(1) = 0 ⇒ c1 = 0 ⇒ y( x) = c 2 , c2 cte. arbitraria no nula.
y '( e 2 π ) = 0 ⇒ y '( x) = 0
∀x .
Luego λ = 0 es valor propio y la correspondiente función propia es y0 (x)=c2.
CC :
ii) λ > 0: De (8) se obtiene xy"+ y'+
λ
y = 0 , y dividiendo ambos miembros por x ( x ≠ 0 ) resulta :
x
x2 y "+ xy '+ λ y = 0
que es la forma más conocida ecuación de Euler. La sustitución x = e t transforman esta
en su equivalente:
y"(t)+λy(t)=0
Como λ>0, la solución general es : y( t) = c1 sen λ t + c 2 cos λ t,
es decir
y( x) = c1 sen( λ ln x) + c 2 cos( λ ln x)
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ecuación
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∴
y'( x) =
c1 λ
x
cos( λ ln x) −
+CC: y '(1)=0 ⇒ c1 λ =0 ⇒ c1=0 ∴ y'( x) = −
+CC:
y'( e2 π ) = 0 ⇒ 0 = −
c2 λ
e
2π
c2 λ
x
c2 λ
x
sen( λ ln x),
x>0
sen( λ ln x),
x > 0.
sen( λ ln e2 π ),
C2 ≠0
e.d.
c 2 λe −2 π sen( 2π λ ) = 0 ⇒ sen( 2π λ ) = 0 ⇒ 2π λ = nπ , n=1,2,3,...
∴
λ=
nπ
2π
e.d.
VP: λn =
n2
4
⎛n
⎞
FP: y ( x) = cos⎜ ln x⎟ , n=1,2,...
⎝2
⎠
, ,..
n = 12
,
DEFINICION 3. .- Sea L:S →V, donde S y V son espacios euclidianos , y S es un subespacio de
V. Se dice que L es simétrico con respecto al producto interior en V si :
(9)
⟨Lx,y⟩ =⟨x,Ly⟩
;
∀ x , y∈ S
Propiedades :
a ) Todos los valores propios para una transformación lineal simétrica , sobre un
subespacio V son reales
b) Cada par de vectores propios , correspondientes a diferentes valores propios,
para
una transformación lineal simétrica L: S→ V son ortogonales en V
TEOREMA 1. .-Sea S un subespacio de C2[a,b] determinado por las funciones que verifican las
condiciones de fronteras homogéneas :
α1y( a) + α 2 y(b) + α 3 y′ ( a) + α 4 y′(b) = 0
β1y( a) + β 2 y(b) + β 3 y′ ( a) + β 4 y′(b) = 0
y sea L cualquier operador diferencial lineal autoadjunto, que transforma S en C[a,b]. Entonces L
es simétrico con respecto al producto interior en C [a,b] si y solo si :
(10)
p( x)[ y1( x) y′2 − y 2 ( x) y′1( x)]
b
a
=0
∀y1, y 2 ∈ S.
Observaciónes.
a ) Si y(a) = y(b) =0 entonces (10) se satisface sin restricción, y así podemos escribir
S = C2[a,b] .
b) Sea S el conjunto de todas las funciones y en C[a,b] tales que :
α1y(a) + α 2 y′(a) = 0
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β1y(b) + β2 y′ (b) = 0
(11)
con
α1 + α 2 ≠ 0
, β1 + β 2 ≠ 0 .
si y1 , y 2 son dos funciones cualquiera
Entonces (10) se verifica de inmediato. En efecto,
en S , se tiene :
y1( a) y′2 ( a) − y 2 ( a) y′1( a) = 0
(12)
y1( b) y′2 ( b) − y 2 ( b) y1′ ( b) = 0
NOTA. Una condición de frontera de forma anterior, que involucra valores de y , y' sólo en uno de
los extremos del intervalo, se conoce con el nombre de: CONDICION DE FRONTERA NO MIXTA.
c) Si S es el subespacio de C2[a,b] que consiste de todas las funciones y tales que :
(13)
y(a)=y(b)
,
y´(a) = y´(b)
y además
p(a) = p(b)
(condicion de compatibilidad)
entonces (10) se verifica para toda y1, y 2 en S .
NOTA . Esta situación (13) se conoce con el nombre de: "CONDICIONES
PERIÓDICAS ".
DE
FRONTERA
EJEMPLO 4: Sea L=-D2 definido en el intervalo [0,2π] y sea S el subespacio de C2[0,2π] descrito
por las condiciones de fronteras :
y( 0 ) = y( 2 π )
y′ ( 0 ) = y′ ( 2π )
Como -D2 = D(-D), entonces p( x) = −1 , ∀x ∈ [ 0,2π] y p( 0) = p( 2π ) . Entonces L es simétrico en el
subespacio de C2[0,2π] descrito por las condiciones de frontera anteriores.
Para encontrar los valores propios y los funciones propias respectivas, se debe resolver la ecuación
diferencial
y′′ + λy = 0
con las condiciones de frontera
y( 0 ) = y( 2π ) ; y′ ( 0 ) = y′ ( 2π ) .
Puesto que L es simétrico entonces sus valores propios son reales y sus funciones propias son
ortogonales. Luego,
i) Si λ < 0 , entonces se obtienen sólo soluciones triviales
ii) Si λ = 0, entonces la solución general de la EDO. es y( x) = c1 + c 2 x
Aplicando las condiciones de fronteras, se obtiene las soluciones y(x)=Cte. Así , λ = 0 es valor
propio para L sobre S .
iii) Si λ > 0 la solución general de la E.D. es: y( x) = C1 sen λ x + C 2 cos λ x .
Aplicando las condiciones de fronteras, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones
algebraicas:
(
)
C 2 1 − cos 2π λ = C1 sen 2π λ
(14)
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(
)
C1 1 − cos 2π λ = −C 2 sen 2π λ
λ = 1,2,3,... se tiene que para cualesquier C1, C 2 se satisface (14) , y los
Ahora, si
enteros 1, 4, 9, ... son valores propios para L. Así, las funciones propias son :
yn ( x) = C1 sen nx + C 2 cos nx .
EJEMPLO 5. Como se verá más adelante, el siguiente PVC aparece en el estudio de la conducción
del calor en un anillo.
y "+λy=0 ,-π<x<π
y(-π)=y(π)
y '(-π)=y '(π)
Sol.: Se trata de un PVC periódico. Antes de resolverlo, debemos verificar si se cumple la "condición
de compatibilidad" . En efecto,
p(x)≡1 ⇒ p(-π)=p(π).
De la ecuación característica, deducimos que debemos analizar el PVC para λ = 0 ; λ < 0 y λ >
0.
λ=0 :
y "=0 ⇒ y(x)= c1+c2x.
+CC: y(-π)=y(π) ⇒c1 - c2π = c1+c2π ⇒ 2c2π=0 ⇒ c2 =0
∴ y(x)=c1 e y '(x)=0.
+CC: y '(-π)=y '(π) , que siempre es válida. Por lo tanto λ=0 es VP, y la FP asociada es
cte.arbitraria, digamos K0.
λ<0 : y "+λy = 0 ⇒ ecuación característica: m2 + λ=0 ⇒ m = ± −λ (raíces reales y distintas).
−α = − −λ , y así la solución general será
Podemos definir α = + − λ,
αx
−α x
y( x) = c1e + c 2 e
y(-π)=y(π) ⇒ c1e − απ + c 2 eαπ = c1eαπ + c 2 e − απ
+CC:
∴
c1( e − απ − eαπ ) = c 2 ( e − απ − eαπ ) ⇒ c1 ≡ c 2 .
Por otro lado,
y'( x) = αc1eαx − αc 2 e − αx = α( c1eαx − c 2 e − αx )
(
) (
y'( − π ) = y '( π ) ⇒ c1e − απ − c 2 eαπ = c1eαπ − c 2 e − απ
+CC:
Como c1 = c2 entonces
2c1( e
− eαπ ) = 0 ⇒ c1 = c 2 ≡ 0
− απ
∴
No hay VP negativos.
λ>0 : La solución general es
∴
y( x) = A cos λ x + B sen λ x
y'( x) = − λ A sen λ x + λB cos λ x .
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)
,α≠0.
y0(x) =
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+CC: y(-π)=y(π) ⇒ A cos λ (−π) + B sen λ (−π) = A cos λπ + B sen λπ
∴
(15)
+CC:
y'(-π)=y'(π) ⇒
(16)
2B sen λπ = 0
λ A sen λπ + λB cos λπ =− λ A sen λπ + λB cos λπ
∴
2A sen λπ = 0 .
Luego en (9) y (10), si A y B son no nulas, entonces
sen λπ = 0 ⇒ λπ = nπ,
∴
Los VP son λn = n 2 ,
cos(nx), es decir,
n = 1,2,...
n = 12
, ,3,... Así, para un mismo VP tenemos dos soluciones l.i.: sen(nx),
VP={0,1,4,9,....} ; FP ={K0, An cosnx+Bn senx} , n=1,2,3,...
DEFINICION 4. Un problema, o sistema, de Sturm-Liouville esta formado por una ecuación
diferencial lineal homogénea de segundo orden de la forma
d⎛
dy ⎞
⎜p( x) ⎟ + ( q( x) − λ ) y = 0
dx ⎝
dx ⎠
con p una función cualquiera en C1[a,b] tal que p(x)>0 , o bien p(x)<0 ,∀ x∈(a,b) , y q es una
función arbitraria en C[a,b], junto con un par de condiciones de fronteras (homogéneas) escogidas en
forma tal que las funciones propias correspondientes a diferentes valores propios para el operador
D( p( x)D) + q( x) , son ortogonales
EJEMPLO 6 : Resolver el PVC.
y” +λy =0, 0<x<1
y(0)=0
y(1)+hy’(1) = 0
siendo h una constante positiva .
SOL: Obviamente L es autoadjunto con p=1; q=0; ρ=1. Los VP son positivos y la solución de la EDO
es:
y( x) = c1 cos λ x + c 2 sen λ x
CC:
CC:
y(0)=0 ⇒ c1= 0 ⇒ y(x) = c2sen λx ⇒
y '(x) =
y(1)+hy'(1)=0 ⇒ c 2 (sen λ + h λ cos λ ) =0.
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λc 2 cos λ x
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Si c 2 ≠ 0 , entonces
sen λ + h λ cos λ = 0⇒ tg λ + h λ = 0 .
Luego, tg λ = −h λ . Si hacemos α = λ tenemos
una ecuación trigonométrica: tg α = −hα que no
posee solución explícita, pero podemos resolverla
gráficamente, como se muestraen la Figura 1, en
un sistema ( α , ξ ( α ) ),ξ=tgα.
Figura 1.
Observamos que existen infinitas raíces αn , n=1,2,... A cada raíz αn le corresponde un VP : λn = α 2n ,
n=1,2,..
Por lo tanto existe una sucesión de VP:
λ1 < λ2 < λ3 <...con
límn→∞ λn = ∞
y las correspondientes funciones propias son : yn(x)=sen λn x.
EJERCICIOS 2: i) Compruebe que los VP y las FP del PVF:
y′′ + λy = 0
y( 0 ) = 0 ;
son λ n =
n2π 2
2
L
, y n ( x) = sen
nπ x
L
,respectivamente para n=1,2,3,... y que los VP y FP de:
y′′ + λy = 0
y ‘(0)=y ‘(L)=0
son λ n =
n2π 2
2
L
, y n ( x) = cos
nπ x
L
0<x<L
y( L) = 0
0<x<L
, respectivamente para n=0,1,2,3,...
ii) Sin realizar cálculos, escriba los VP y FP de los siguientes PVC.
a)
0<x<1
y′′ + λy = 0
y( 0) = 0 ; y( 1) = 0
c) y′′ + λy = 0
0<x<1
y ‘(0)=y ‘(1)=0
b)
y′′ + λy = 0
y( 0) = 0 ;
0<x<π
y( π ) = 0
d)
y′′ + λy = 0
y ‘(0)=y ‘(π)=0
0<x<π
Hasta el momento hemos visto que ciertos PVC generan valores propios reales y funciones
propias ortogonales, pero nada sabemos sobre posibles bases conformadas por estas funciones
propias. El siguiente teorema da una agradable respuesta, su demostración cae fuera del interés del
curso.
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TEOREMA 2. Sea L un operador diferencial lineal de segundo orden definido en un intervalo cerrado
[a,b], y sea S un subespacio de C2[a,b] determinado por un par de condiciones de fronteras no
mixtas. Entonces :
1º.- L tiene una sucesión infinita de valores propios reales {λn}, donde n =0,1,2,...tal que
λ 0 < λ1 < λ 2 <.....
lim λ n =∞.
n →∞
2º.- Los subespacios propios de C[a,b] correspondientes a diferentes valores propios son
unidimensionales.
3º.- Cualquier conjunto completo de funciones propias para L, una por cada valor propio, es una
base para C[a,b].
4º.-El desarrollo en serie, de cualquier función h suave por tramos en [a,b], relativa a tal base
converge uniformemente y absolutamente en cualquier intervalo cerrado donde h es continua.
APLICACIÓN DE LA TEORIA DE STURM-LIOUVILLE A LA RESOLUCION DE PVC.
Consideremos la ecuación diferencial
(17)
Ly =h
en que h es una función conocida en C[a,b] ; L un operador diferencial lineal autoadjuntode
segundo orden, actuando sobre el subespacio S de C2[a,b] definido por un par de condiciones de
fronteras homogéneas.
Para resolver este PVC podemos aplicar el “método de los valores propios” para espacios
euclidianos de dimensión infinita .
En efecto, supongamos que
λ0 , λ1,... , λk ,...son valores propios para L sobre S , y sean
ϕ0 ( x), ϕ1( x),..., el conjunto de funciones propias correspondientes a los λn n∈IN .
Supongamos que dicho conjunto de funciones propias forman una base para C[a,b]. Luego,
podemos escribir la serie generalizada de Fourier para un elemento h cualquiera de ese espacio en la
forma:
(18)
h( x) =
∞
∑ c ϕ ( x)
n= 0
(convergencia en media )
n n
donde los coeficientes generalizados de Fourier están definidos por:
∫ h( x)ϕ ( x) dx
=
∫ [ϕ ( x)] dx
b
(19)
cn =
⟨h,ϕn ⟩
ϕn
2
n
a
2
b
a
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n
.
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Si suponemos que la solución buscada tiene la forma:
∞
∑α ϕ ( x)
y( x) =
(20)
n= 0
n n
entonces, el problema está resuelto si hallamos los coeficientes αn.
Sustituyendo (20) en (17), resulta:
(21)
⎛∞
⎞ ∞
L⎜ α n ϕn ( x) ⎟ =
c n ϕn ( x) .
⎝ n= 0
⎠ n= 0
∑
∑
Ahora, si L puede aplicarse a (20) termino a termino , se tiene :
∞
∑
(22)
n= 0
∞
αn λn ϕn ( x) =
∑c
n= 0
n
ϕn ( x)
de donde se deduce que (20) es una solución de (17) siempre que :
i)
α n λn = c n , ∀n ∈IN
(23)
∞
ii)
∑α ϕ ( x)
(24)
n= 0
n n
defina una función en C2[a,b], cuyas primeras dos derivadas puedan calcularse por derivación termino
a termino de la serie.
OBSERVACIONES IMPORTANTES:
Respecto de (23) ; claramente α n =
cn
, λ n ≠ 0 ∀n ( y así existe una única solución). Pero si
λn
uno de los λn , digamos λ0 es cero, el problema no tiene solución si c0≠0, y tiene infinitas soluciones si
c0=0.
1.
2.
El análisis completo es más complicado pues debemos investigar la convergencia de la serie
cn
φ ( x). Esta convergencia depende de las propiedades de h y de las constantes cn , que resultan
λn n
del sistema OG particular {φn(x)}. Luego, cada caso deberá examinarse individualmente. En general,
para que la solución-serie sea "buena" (e.d. de clase C2), se requiere que h sea "buena".
∑
EJEMPLO 7. Resuelva el PVC:
usando las FP del SSL asociado
y′′ = πx − x 2 , 0 < x < π
y( 0 ) = y( π ) = 0
.
SOL.: Sabemos que el SSL asociado es y” = λy ,
0<x<π
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y(0) = y(π) = 0
cuyas FP, de acuerdo a
λ n = n 2 n = 12
, ,...
EJERCICIOS 2, son φ n ( x) = sen nx, y los correspondientes VP son :
⎧ 2
⎫∞
4
el sistema ON será: φ n ( x) = ⎨
sen nx⎬ y cn = 3 (1 − (−1)n ) .
πn
⎩ π
⎭ n =1
∴
Además
∞
Sea y( x) =
∑
n=1
∞
sen(2n − 1)x
, x ∈ [0, π ]
(2n − 1)3
n=1
4
n
c n πn 3 (1 − (−1) ) 8
an sen nx , entonces α n =
=
= 5 , n impar.
λn
n2
n
h( x) =
8
π
∑
y( x) =
∴
8
π
∞
sen(2n − 1)x
.
(2n − 1)5
n=1
∑
EJERCICIO 3.
Determinar la solución formal de la ecuación y′′ = − x
y( 0 ) = y′( π ) = 0 .
sujeta a las condiciones de fronteras
ORTOGONALIDAD CON RESPECTO A UNA FUNCION PESO
Una generalización parcial e importante para problemas con valores en la frontera consiste de :
a) Una ecuación diferencial lineal lineal homogénea de 2º orden de la forma
d⎡
dy ⎤
⎢⎣p( x) ⎥⎦ + ( q( x) − λr ( x)) y = 0
dx
dx
, x∈[a,b]
b) Un par de condiciones de fronteras homogéneas que definen el espacio dominio S para el
operador
L = D[ p( x)D] + q( x)
donde p y q son funciones en C1[a,b] y en C[a,b] respectivamente , y p(x) no se anule en (a,b) , y
además r es una función continua, no negativa en [a,b] que se anula a lo más en un número finito
de puntos, llamada función ponderadora.
TEOREMA 3. Sea L un operador diferencial lineal verificando las hipótesis anteriores, r una
función ponderadora cualquiera en[a,b] y sea S un subespacio de C2[a,b] tal que
p( x)[ y1( x) y′2 ( x) − y 2 ( x) y1′ ( x)]
b
a
=0
para cada par de funciones y1 , y 2 en S. Entonces, cualesquier conjunto de funciones propias
correspondientes a diferentes valores propios para L sobre S es ortogonal en C[a,b] con respecto a
la función r.
41
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NOTA.- Debemos observar que en general el operador L no es simetrico en S con respecto al
producto interior anterior, pero el teorema afirma que las funciones propias correspondientes a
diferentes valores propios son aún ortogonales.
Puede probarse que si : a)
b)
L: S → C [a,b] es uno a uno
r( x) > 0, ∀x ∈[a,b]
entonces C[a,b] tiene una base (conjunto ortogonal completo) compuesta de las funciones propias
para L.
Para este resultado son importantes las siguientes propiedades:
a) Si S es el subespacio de C2[a,b] determinado por condiciones de fronteras no mixtas , y si y1 ,
y2 son soluciones l.i. de la ecuación Ly=0, entonces L es uno a uno cuando se restringe a S si, y
solamente si , el determinante
α1y1( a) + α 2 y1′ ( a)
β1y1( b) + β 2 y′1( b)
α1y 2 ( a) + α 2 y′2 ( a)
β1y 2 ( b) + β 2 y′2 ( b)
≠0
b) Si S es el subespacio de C2[a,b] determinado por condiciones de fronteras periodicas, y si y1 ,
y2 son soluciones l.i. de la ecuación Ly=0, entonces L es uno a uno cuando se restringe a S si, y
solamente si , el determinante
y1( a) − y1( b)
y′1( a) − y1′ ( b)
y 2 ( a) − y 2 ( b)
y′2 ( a) − y′2 ( b)
≠0
EJEMPLO. 8. Hallar los VP y las FP del SSL:
4 y"−4 y'+(1 + λ)y = 0
y(−1) = 0,
y(1) = 0
y discutir la ortogonalidad de la FP en C[-1,1].
SOL.: Forma autoadjunta: p( x) = e − x ,
∴ 4y "-4y '+(1+λ)y=0 ⇔
q( x) =
1
4
1
e− x ,
r ( x) =
1
4
e− x
⎞
d ⎛ − x dy ⎞ ⎛ 1 − x
⎜e
⎟ + ⎜ e + λe − x ⎟y = 0 /.4
⎠
4
dx ⎝
dx ⎠ ⎝ 4
d ⎛ − x dy ⎞
⎜ 4e
⎟ + e − x + λe − x y = 0 .
⇔
dx ⎝
dx ⎠
(
∴
Redefinimos p( x) = 4 e − x , q( x) = e − x ,
r ( x) = e − x .
De las CC, resulta: p( x)( y1y 2 '− y 2 y1 ') 1−1 = 0 .
Las FP serán OG con respecto a la función peso r(x) = e-x en C[-1,1].
42
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)
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La ecuación característica es: 4m 2 − 4m + (1 + λ) = 0 ⇒ m =
[
− λ /2
1° caso: λ<0 Sol. gral. y( x) = e x/ 2 c 1e x
+ c 2e− x
2° caso: λ=0 Sol. gral. y( x) = e x/ 2 [ c 1 + c 2 x ]
−λ /2
]
1
±
1
−λ
2 2
+ CC ⇒ c1 = c 2 = 0
+ CC ⇒ c1 = c 2 = 0
⎡
λ
λ ⎤
3° caso: λ>0 Sol. gral. y( x) = e x / 2 ⎢ c1 cos
+ c 2 sen
x⎥ .
2
2 ⎦
⎣
⎡
λ
λ⎤
λ
λ
− c 2 sen
+ CC y(-1)=0 ⇒ 0 = e−1/ 2 ⎢ c1 cos
− c 2 sen
= 0 (*)
⎥ ∴ c1 cos
2
2 ⎦
2
2
⎣
⎡
λ
λ⎤
λ
λ
+ c 2 sen
CC y(1)=0 ⇒ 0 = e1/ 2 ⎢ c1 cos
+ c 2 sen
= 0 (**)
⎥ ∴ c1 cos
2
2 ⎦
2
2
⎣
Restando y sumando (*) y (**), resulta:
2c 2 sen
2c1 cos
λ
2
λ
2
λ
c2 ≠0
= 0 ⇒ sen
2
λ
c1 ≠ 0
= 0 ⇒ cos
∴
=0⇔
=0⇔
2
FP :
λ
2
λ
= nπ ∴
λn = 4n 2 π 2 , n=1,2,3,...
= ( 2n − 1)π ∴
2
λn = ( 2n − 1) 2 π 2 , n=1,2,3,...
{ e x/2 cos nπx, e x/ 2 sen nπx } n=1.
∞
EJEMPLO 9.
-2x
, en términos de las FP del SSL :
a) Hallar la SGF para f(x)=xe
y "+4y '+(5-λ)y=0
y(0)=y(1)=0
⎧ y"+4 y'+5 y = xe −2 x
b) Hallar la solución formal del PVC : ⎨
y(1) = 0
⎩ y( 0) = 0;
SOL.: Forma autoadjunta: p( x) = 4 e 4 x ; q( x) = 5 e 4 x ; ρ( x) = e 4 x
a) Ecuación característica: r 2 + 4r + 5 − λ = 0 ⇒ r =
(
i) λ>1 : y(x)= e −2 x c 1e
∴
e.d.
(
y(x)= e −2 x c 1 e
λ−1x
+ c 2 e−
λ−1x
− e−
λ−1x
−4 ± 2 λ − 1
) + CC y(0)=0 ⇒ c =-c
2
λ−1x
)
⇒ r =-2± λ − 1.
2
1
+ CC y(1)=0 ⇒ c1=0 ∴ c2=0
No hay VP mayores que 1.
43
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ii) λ=1 : y(x)= e −2 x ( c1 + c 2 x
)
+ CC y(0)=0 ⇒ c1=0 ∴ y(x)= e −2 x c 2 x
+ CC y(1)=0 ⇒ c2=0
e.d. 1 no es VP.
−2 x
iii) λ<1 : y( x) = e (c1 cos 1 − λ x + c 2 sen 1 − λ x) + CC y(0)=0 ⇒ c1=0
−2 x
−2
∴ y( x) = c 2 e sen 1 − λ x + CC y(1)=0 ⇒ c 2 e sen 1 − λ = 0 ⇒ 1 − λ = nπ
n = 1,2,3,... FP φ n ( x) = e −2 x sen nπx
2 2
∴ VP λn = 1 − n π ;
∴ El conjunto
{ e −2 x sen nπx } n=1forma
∞
n = 12
, ,3,..
un conjunto ON completo con respecto a la función
ponderadora r (x)=e4x, en C[0,1].
φ n ( x)
Luego,
Sea f ( x) = xe−2 x =
∞
∑c e
−2 x
n
n =1
2
=
∫
1
0
sen nπx , con c n = 2
∴
cn = 2
xe −2 x =
y así
∞
∑
b) Sea
y( x) =
∑α e
n=1
n
sen nπx
1
0
nπ
nπ
e −2 x sen nπx
la solución del problema con αn por determinar.
∑
∞
∑
∑
∞
∑α λ e
n =1
n n
−2 x
∞
sen nπx =
∑
2( −1)n+1
nπ
n=1
∞
Luego, la solución del PVC es: y( x) =
∞
∑
n=1
nπ
e−2 x sen nπx
2(−1)n+1
nπ
e−2 x sen nπx
e−2 x sen nπx ⇒ α n =
2( −1)n+1
∑ nπ(1 − n π
n =1
2(−1)n+1
n=1
⎛∞
⎞
−2 x
⎜ αnL(e sen nπx)⎟ =
⎠
⎝ n=1
∴
.
xe −2 x e 2 x e4 x sen nπxdx
⎛∞
⎞
L[y] = xe−2 x ⇒ L⎜ αne−2 x sen nπx⎟ =
⎝ n=1
⎠
Luego,
e.d.
−2 x
∫
2
( −1)n+1
2( −1)n+1
n =1
∞
1
e4 x e −4 x sen 2 nπxdx =
2
2
)
2( −1)n+1
nπ(1 − n2 π 2 )
e −2 x sen nπx
EJERCICIOS 4.
1.
Exprese cada uno los siguientes operadores diferenciales lineales en forma autoadjunta:
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1
a) D 2 + D + 1, x>0
x
b)(cos s)D 2 + (sen x)D − 1 , −
π
< x<
π
2
2
c) x D + xD + ( x − p ) , x>0, siendo p un número real.
d)(1 − x2 )D 2 − 2 xD + n(n + 1) , -1<x<1 , siendo n un entero no negativo.
2
2.
a)
c)
e)
g)
i)
k)
m)
2
2
2
Hallar todos los VP y las FP de los SSL regulares
y"+ λy = 0
b)
y(0) = y(π) = 0
y"+ λy = 0
d)
y'(0) = y'(π ) = 0
y"+ λy = 0
y(−1) = y(1), y'(−1) = y'(1)
y"+ λy = 0
y(0) = y(π ), y'(0) = y'(π )
y"+2y'+(1 − λ) y = 0
y( 0) = y'(1) = 0
x2 y"+3 xy'+λy = 0
y(1) = 0, y(e) = 0
f)
y"+ λy = 0
y( 0) = y'(1) = 0
y"+ λy = 0
y(1) = y(0) + y'(0) = 0
y"+ λy = 0
y(0) = y(2π ), y'(0) = y'(2π )
h)
y"+ y'+(1 + λ)y = 0
y(0) = y(1) = 0
j)
y"−3 y'+3(1 + λ)y = 0
y'(0) = y'(π ) = 0
l)
d
[(2 + x)2 y'] + λy = 0
dx
y(−1) = 0, y(1) = 0
(1 + x2 )y"+2(1 + x)y'+3λy = 0
y(0) = 0, y(1) = 0
SOLS.:
a)
λn = n 2 , φ n ( x) = sen nx
n = 12
, ,3,..
b)
⎛ 2n − 1⎞
⎛ 2n − 1⎞
⎟ , φ n ( x) = sen⎜
⎟πx
λn = ⎜
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
c)
e)
f)
λn = n 2 , φ n ( x) = cos nx
n = 0,12
, ,3,..
2 2
λn = 0, n π , φ n ( x) = 1,sen nπx,cos nπx n = 12
, ,3,..
2
λn = 0, n , φ n ( x) = 1,sen nx,cos nx
n = 1,2,3,..
g)
λn = 0,4n2 , φ n ( x) = 1,sen 2nx,cos 2nx
2
, ,3,..
n = 12
n = 12
, ,3,..
45
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−x
⎛3
⎞
λn = −⎜ + n 2 π 2 ⎟ , φ n ( x) = e 2 sen nπx n = 12
, ,3,..
⎝4
⎠
1
λn = 1 + n2 π 2 , φ n ( x) = sen(nπ ln x), n = 12
, ,3,..
x
2
⎡
⎤
⎡⎛ nπ ⎞
⎤
1 ⎛ nπ ⎞
1
⎟ , φ n ( x) = ⎢
⎜
⎟ ln( x + 2) ⎥, n ∈ ℵ
λn = + ⎜
1/ 2 ⎥ sen⎢
4 ⎝ ln 3 ⎠
⎣⎝ ln 3 ⎠
⎦
⎣ ( x + 2) ⎦
2
h)
k)
l)
m)
λn =
2
⎡
⎤
⎡⎛ nπ ⎞
⎤
1 ⎡ ⎛ 2nπ ⎞ ⎤
1
⎟ ⎥, φ n ( x) = ⎢
⎜
⎟ ln(1 + x)⎥ , n ∈ ℵ
⎢1 + ⎜
1/ 2 ⎥ sen⎢
12 ⎣ ⎝ ln 2 ⎠ ⎦
⎣⎝ ln 2 ⎠
⎦
⎣ (1 + x) ⎦
3.
Determinar todos los VP y las FP de los SSL:
a)
x2 y"+ xy'+ λy = 0 , y(1)=0 ; y e y ' son acotadas en x=0
b)
y "+λy=0 ; y(0) = 0; y e y ' son acotadas al infinito.
4.
a)
d4 y
2
Probar que el PVC dx4 − ω y = 0
y(0) = y(1) = 0
y '(0)=y '(1)=0
1
tiene soluciones no triviales sí y sólo si cos ω =
.
cosh ω
b)
Usar la técnica de hallar gráficamente los VP, para demostrar que éste PVC tiene
infinitos VP no negativos λn, donde n=0,1,2,..Cómo se comportan estos VP cuando n→∝?
c)
Cuál es la solución general del PVC correspondiente al VP λn ?
5.
L indica el operador diferencial de cuarto orden D4, y S indica el subespacio de C4[a,b] que
consiste de todas las funciones y tales que
y(a) = y "(a) = y(b) = y "(b) = 0.
a)
Demostrar que
y1(Ly 2 ) − y 2 (Ly1) = [ y1y 2 ' ''− y 2 y1' ' '− y1 ' y 2 "+ y 2 ' y1 " ]' ∀y1, y 2 ∈S.
b)
Usar el resultado en a) para probar que las FP correspondientes a diferentes VP para el PVC
L:S→C[a,b] , son OG.
6.
Transforme cada una de las siguientes EDO en la forma autoadjunta equivalente:
a)
b)
c)
La ecuación de Laguerre: xy "+(1-x)y '+ny=0 , n=0,1,2,3,...
La ecuación de Hermite : y "-2xy '+2ny=0 , n=0,1,2,3...
La ecuación de Tchebycheff : (1-x2)y "-xy '+n2y=0 , n=0,1,2,3...
7.
Pruebe que: Si q(x) y ρ(x) son continuas y p(x) es dos veces continuamente diferenciable en
[a,b], entonces las soluciones del SSL de cuarto orden
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[p( x)y" ( x)]"+[q( x) + λρ( x)]y( x) = 0
[a1y + a2 (py" )' ] x= a = 0,[b1y + b2 (py" )' ] x=b = 0
[c1y'+ c 2 (py" )] x= a = 0,[d1y'+ d2 (py" )] x=b = 0
con a12 + a 22 ≠ 0, b12 + b 22 ≠ 0, c12 + c 22 ≠ 0, d12 + d22 ≠ 0 son OG con respecto a la función peso ρ en [a,b].
8. En cada uno de los siguientes PVC, hallar las FP, los VP y determine en cada caso un espacio
euclidiano en el que un conjunto completo de FP para el problema dado, sea un conjunto ortogonal.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
y"+(1 + λ) y = 0; y( 0 ) = y( π ) = 0
y"+(1 − λ) y = 0; y'( 0 ) = y'(1) = 0
y"+2 y'+(1 − λ) y = 0; y( 0 ) = y(1) = 0
y"−4 y'+( 4 − λ) y = 0; y( 0 ) = y( π ) = 0
4 y"−4 y'+(1 + λ) y = 0; y( −1) = y(1) = 0
y"+(1 − λ) y = 0; y( 0 ) + y'( 0 ) = 0, y(1) + y'(1) = 0
y"+2 y'+(1 − λ) y = 0; y'( 0 ) = y'( π ) = 0
y"−3 y'+2(1 + λ) y = 0; y( 0 ) = y(1) = 0
y "+4y '+(4-9λ)y=0 ; y(0)=y(a)=0.
SOLS:
a)
c)
e2x.
λn = n 2 , φ n ( x) = sen nx, n = 12
, ,3,..; Ortogonal en C[0,π]
2 2
−x
λ n = −n π , φ n ( x) = e sen nπx,n = 12
, ,3,..;Ortogonal en C[0,1] con respecto a la función peso
⎧ x/ 2
nπ x
⎪e sen 2 ,n = 2,4,6,..
e) λ n = −n π ,φ n ( x) = ⎨
; Ortogonal en C[-1,1] con respecto a la función peso e⎪ e x/ 2 cos nπx , n = 13
, ,5,..
⎩
2
x
2
g)
9.
10.
2
λ n = −n 2 , φ n ( x) = e − x (n cos nx + sen nx), n = 12
, ,3,..; λ = 1,φ( x) = 1;
2x
respecto a la función peso e .
Ortogonal en C[0,π] con
⎧1 d
⎪ r dr (ry') + λy = 0, 0 < r < a
⎪
⎨
c 1y( a) + c 2 y'( a) = 0
Si las funciones propias del problema:
⎪
lím r →0 + y(r ) < ∞
⎪⎩
satisfacen límr → 0 + ry'(r ) = 0 , muestre que todos los VP son reales para c1 y c2 reales.
Hallar el desarrollo formal en serie de la solución de los siguientes PVC, en términos de
las FP del SSL asociado:
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128 ∞
1
2n + 1
SOL: y =
x
sen
2
π n= 0 (2n + 1) 5
∑
a)
y "=x(x-2π) , y(0)=0 , y '(π)=0
b)
y "=x2-π2 , y '(0)=0 , y(π)=0.
nπx
y "=sen
, y'(0) = 0, y'(L) = 0
L
nπ x
y "=sen
, y(0) = 0, y'(L) = 0
L
⎧ − x,0 ≤ x < π / 2
y "= ⎨
, y(0)=0 , y (π)=0
⎩ x − π / 2, π / 2 < x ≤ π
c)
d)
e)
SOL.: No hay solución; λ 0 = 0,c 0 =
−2
≠0
π
⎤
⎡ (−1)k +1 4
⎡ 1 + ( −1)k +1 ⎤
1
−
y= ⎢
⎥ sen(2k − 1)x + ⎢
⎥ sen 2kx
4
3
(2k − 1) 3 ⎦
⎦
⎣ 8k
k =1 ⎣ ( 2k − 1) π
∞
SOL.:
∑
f)
y "+y=1 ; y(0)=y(1)=0
g)
y "+4y=ex ; y(0)=y '(1)=0
h)
y "=senx ; y(0)=0; y(1)+2y '(1)=0
i)
y "=-h(x) ; y(0)=y(2π) , y '(0)=y '(2π) , considerando que h∈C[0,2π].
Sugerencia: considear los casos :
∫
2π
0
h( x)dx = 0
y
∫ h( x)dx ≠ 0
2π
separadamente.
0
SOL.: Si la integral de h es distinta de cero, no hay solución. Si es cero, entonces
∞
y=c+
donde an =
1
π
∑a
n=1
2π
∫
0
n
cos nx + bn sen nx,
h( x) cos nxdx,
bn =
∫
1 2π
h( x) sen nxdx y c es una cte. arbitraria.
π 0
11.
Hallar todos los VP y las FP del SSL "singular" x2y "-xy '+(1+λ)y=0 considerando que y(1)=0,
y lím x → 0 + y( x) < ∞ .
Cómo difieren los VP de otros problemas propuestos?
[Sugerencia: Note que se trata de la ecuación de Euler y recuerde que cuando el polinomio
característico tiene raices complejas, el espacio solución en (0,∝) está generado
por las
α
α
funciones x sen( β ln x),
x cos( β ln x) ].
2 2
nπ x
n π
SOL:
VP λn = −
n=1,2,3,...
n=1,2,3,... FP φ n ( x) = e−2 x sen
2
a
9a
⎯•⎯
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