X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 1 Geometría con Cabri: Un viaje con Voyage 200 Edison De Faria Campos Universidad de Costa Rica CIMM, ASOMED [email protected] Resumen En este taller utilizaremos la nueva calculadora graficadora Voyage 200 de Texas Instruments como un recurso didáctico en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la geometría euclidiana. Actividades de simulación, exploración y conexiones entre múltiples sistemas de representaciones serán desarrolladas por los participantes. La National Council of Teachers of Matematics ( NCTM) recomienda la integración de la tecnología en todos los niveles de la enseñanza de matemática para: ¾ Explorar y experimentar con ideas matemáticas tales como relaciones, propiedades numéricas y algebraicas, y funciones. ¾ Desarrollar y reforzar habilidades tales como cálculos, gráficas, y análisis de datos. ¾ Dar énfasis al proceso de resolver problemas con datos reales, en lugar de concentrarse en los cálculos asociados con los problemas. ¾ Acceder ideas matemáticas y experiencias que van más allá de los niveles limitados por los cálculos tradicionales con papel y lápiz, permitiendo elevar el nivel de abstracción y generalización. ¾ Desarrollar conceptos y reconocer patrones. ¾ Evaluar habilidades matemáticas y conceptos. ¾ Construir modelos. ¾ Experimentar, conjeturar y verificar propiedades matemáticas. ¾ Explorar y desarrollar nuevas formas de enseñar. Además, investigaciones realizadas por Duval (1992) reportan que en estudios en donde se presente un enunciado en el cual están en juego varios sistemas de representación, es importante analizar las articulaciones que hay de un sistema a otro. Concuerdo la afirmación de Kaput (1992) de que los sistemas de representaciones son un aspecto central de la comprensión del sujeto acerca de los objetos matemáticos y sus relaciones y de las actividades matemáticas que éste ejecuta cuando realiza tareas que tienen que ver con esos objetos. La aplicación Cabri Geometry nos permite por un lado realizar “experimentos” geométricos, de manera que los estudiantes lleguen a establecer las relaciones adecuadas y obtener sus propias conclusiones, y por otro lado facilita la conexión interna entre distintas representaciones matemáticas (Bongiovanni, V., Campos T., Almouloud, S. 1997; De Faria, 1999, 2000). X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 2 Actividad 1: Un problema de optimización Se construirá un oleoducto desde una refinería hasta unos tanques de almacenamiento, atravesando un pantano. El costo de construcción a través del pantano es de $ 50.000,00 por kilómetro y sobre tierra firme de $25.000,00. ¿Cómo debe construir el oleoducto para que el costo de construcción sea mínimo? Pasos: 1. Ingrese a la aplicación Cabri. Abra un archivo nuevo con nombre aplic1 (en el espacio correspondiente a Variable). Presione dos veces ¸ para ingresar en la pantalla de Cabri Geometry. 2. Como haremos el dibujo a escala utilice Š, Format, activar cuadriculado (Grid, on). Presione „ 2, seleccione dos puntos consecutivos sobre el cuadriculado (grid) y calcule la distancia entre ellos (ˆ 1). La distancia entre dos puntos consecutivos del cuadriculado (0,5 cm) representará 1 Km. 3. Construya una recta horizontal L1 („ 4: Line) sobre dos puntos del cuadriculado, e cuatro puntos del cuadriculado sobre L1, construya una recta horizontal L2. 4. Construya un punto A en un punto del cuadriculado sobre L1 („ 2). Este punto representará el oleoducto. Construya un punto B en L1 sobre el punto del cuadriculado que se encuentra a 10 puntos de distancia de A 5. Construya una recta L3 que pasa por B y que sea perpendicular a L1 († 1). Sea C el punto de intersección entre L2 y L3 („ 3). Oculte L3 (‰ 1). 6. Construya un punto P sobre L2, y los segmentos CP y PA. 7. Construya una recta L4 que pasa por P y que sea perpendicular a L1. Sea D el punto de intersección de L4 con L1. Oculte L4. X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 3 8. Mida las longitudes de los segmentos AP, PC, AD (ˆ1). 9. Calcule el costo de la construcción del oleoducto Costo = 50000 AP + 25000 PC (ˆ 6). 10. Capture las medidas AD, Costo (ˆ 7, opción 2 para definir entradas), seleccione la longitud del segmento AD, la medida Costo, y presione ¥ D para capturar estos datos. Los resultados son almacenados en las dos primeras columnas del archivo sysdata. 11. Seleccione el punto P y utilice las teclas ‚ y @ (presionadas simultáneamente) para moverlo a una nueva posición. Presione ¥ D para capturar la nueva información en el archivo sysdata. 12. Repita el procedimiento anterior varias veces, con el objetivo de determinar aproximadamente la posición del punto P que produce el valor mínimo para el costo. El valor observado debe ser multiplicado por dos, y la unidad cambiada de cm a Km, debido al cambio de escala que estamos utilizando. Las figuras que siguen representan a cuatro capturas de datos. X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 4 Utilice este procedimiento (registro de figuras del Cabri Geometry) ubicando el origen en el punto A, para obtener un valor aproximado del costo mínimo de construcción del oleoducto y la distancia correspondiente entre el punto D y el punto A. Ahora utilizaremos un sistema semiótico distinto: una tabla con los valores capturados en el ambiente Cabri Geometry y almacenados en sysdata. 13. Presione O 6, opción 2, seleccione sysdata en el campo Variable y presione dos veces ¸. Aparecerá una tabla con los datos capturados en Cabri Geometry. La columna 1, c1, contiene los valores de AD y la columna 2, c2, contiene los valores del costo de construcción del oleoducto. 14. Presione „ para configurar el tipo de gráfico estadístico a utilizar, escoger el primero gráfico (plot) desocupado, y presione ƒ para definir los parámetros, seleccione la opción 1 para Plot Type, opción 1 para Mark, digite c1 para x:, c2 para y: y presione ¸ dos veces. 15. Presione N (Escape) para regresar al editor de datos, presionar ‡, seleccione la opción 9 para Calculation Type para hacer una regresión cuadrática, digite c1 para x:, c2 para y: y almacene la ecuación de regresión en la función y1(x). Presione ¸ X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 5 Aparece la ecuación de la curva de mejor ajuste para los datos capturados, mediante regresión cuadrática. 16. Presione ¥ W para ingresar en el editor de funciones (Y=), y observe que la ecuación de la regresión y del gráfico estadístico se encuentran seleccionadas. Presione „ 9 para graficar los datos capturados y la función de ajuste. Utilice ‡ 3 para determinar el punto de mínimo para la curva de ajuste: mueva el cursor con @ hacia la izquierda del punto de mínimo y seleccione la cuota inferior. Repita el procedimiento para la cuota superior y capture el punto de mínimo en la pantalla principal presionando ¥ H. La solución encontrada mediante regresión cuadrática es la siguiente: la proyección D del punto P que produce un costo mínimo (de acuerdo a los datos anteriores) se encuentra sobre la recta L1, aproximadamente a 2*1.00492 Km 2.00984 Km del punto A. El costo mínimo aproximado es de 2*¢ 212.619,00=¢ 425.218,00. 17. Utilice regresión de cuarto grado para la curva de ajuste en el paso 15. X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 6 Para los datos obtenidos y utilizando regresión de cuarto grado, el punto D se encuentra a aproximadamente 2.3165km del punto A, y el costo aproximado es de ¢ 423.230,00. Ahora utilizaremos el registro de cálculo simbólico (CAS) de la calculadora. 18. Como ubicamos el origen en A, el costo de la construcción del oleoducto es la siguiente función de x definida en el intervalo [0,10]: f ( x) = 50000 x 2 + 16 + 25000(10 − x) . La figura que sigue muestra los pasos seguidos para obtener la solución utilizando comandos del ambiente de cálculo simbólico de la TI92 desde la pantalla principal. Los comandos pueden ser digitados directamente, o bien obtenidos del menú † 1 (Define), … 6 (fMin), … 1 para calcular derivada, „ 1 para resolver la ecuación que permite determinar los puntos críticos de la función de costo. X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 7 Las soluciones encontradas al utilizar el comando fMin y el comando de derivación simbólica seguido por el comando solve son bastante parecidas. Para notar la diferencia entre ellas, tendremos que utilizar mas cifras significativas. Para finalizar utilizaremos los registros de representación tabular y gráfico de la calculadora. 19. Presione ¥ W para ingresar en el editor de funciones (Y=) y digite la ecuación correspondiente a f(x). Presione ¥ E para ingresar en el editor de ventana (WINDOW) y digite los parámetros para la graficación. 20. Presione ¥ R para graficar e ‡ 3 para determine o ponto de mínimo. 21. Presione ¥ T, escoger los parámetros bien cerca del punto de mínimo, y presione ¥ Y para ver la tabla. X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 8 Podemos reiniciar la tabla en el valor mínimo encontrado y reducir el valor de ∆tbl para obtener mejores aproximaciones para el costo mínimo. Actividad 2: Construyendo una caja de volumen máximo El objetivo de esta actividad es el de construir una caja de volumen máximo, recortando cuadrados del mismo tamaño en las esquinas de una lámina de dimensiones 25 unidades x 30 unidades. 25 30 Pasos: 1. Ingrese a la aplicación Cabri. Abra un archivo nuevo con nombre aplic2 (en el espacio correspondiente a Variable). Presione dos veces ¸ para ingresar en la pantalla de Cabri Geometry. 2. Utilice Š, Format, activar cuadriculado (Grid, on). Display precision (Fix 1). Length & Area (mm). La distancia entre dos puntos consecutivos del cuadriculado representará 5 unidades. X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 9 3. Construya un segmento OB sobre 5 puntos del cuadriculado (25mm) en la parte superior derecha de la pantalla. Utilice † para bisecar OB. Sea A el punto medio de OB. 4. Oculte el segmento original OB y el punto O ( ‰ Hide/Show). Construya el segmento AB (mide 12.5 mm de longitud). Construya un punto C sobre AB („ Point on Object). C será utilizado como punto de control de la longitud del recorte de la caja. 5. Construya un rectángulo de 25 unidades x 30 unidades (… Polygon) en el lado izquierdo de la pantalla. 6. Transfiera la longitud del segmento AC († 8) a cada vértice del rectángulo (Marcar A, C y después cada vértice del rectángulo. Repita el procedimiento para cada vértice). 7. Construya segmentos conectando los puntos de intersección del polígono con las circunferencias („ 3, señale la circunferencia y posteriormente el polígono. „ 5 para construir los segmentos). 8. Oculte el polígono (‰ 1), las circunferencias y sus centros. 9. Construya segmentos DE, FG („ 5) y mida sus longitudes (ˆ 1). Mida la longitud de AC. 10. Calcule ((ˆ 6) el volumen de la caja: V = AC * DE * FG . El volumen aparece como R en la figura. Aquí AC es la altura de la caja, DE el ancho y FG el largo. X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 10 11. Construya la caja: Con („ 6) construya 3 rayos y transfiera las medidas de los segmentos AC, DE y FG sobre los rayos († 9). Para ello señale la medida, el vértice de la nueva caja y ajuste sobre el rayo el segmento generado. 12. Oculte los rayos (‰ 1) y construya los tres segmentos con los puntos correspondientes. Utilice Š, Format para desactivar el cuadriculado. 13. Utilice († 2) y („ 3) para construir las rectas paralelas a los segmentos y puntos de intersección de tal forma que los vértices de la caja sean construidos. Oculte las rectas y construya los segmentos (‰ 1 y „ 5). Para cambiar R por V, señale el texto que contiene R con su valor y presione ¸ dos veces. Con las teclas ¥@ posicione sobre la letra R y digite V. Posteriormente digite =. A indica el ancho, L el largo y H la altura de la caja, es decir, AC = H , DE = A , FG = L 14. Capture las medidas AC , V (ˆ 7, opción 2 para definir entradas), seleccione la altura H el volumen V y presione ¥ D para capturar estos datos. Los resultados son almacenados en las dos primeras columnas del archivo sysdata. 15. Seleccione C (punto de control) y utilice las teclas ‚ y @ (presionadas simultáneamente) para moverlo a una nueva posición. Presione ¥ D para capturar la nueva información en el archivo sysdata. Repita el procedimiento para capturar varios datos. X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 11 16. Ingrese en el editor de datos (O 6, opción 2), seleccione sysdata en el campo Variable y presione dos veces ¸. Aparecerá una tabla con los datos capturados en Cabri Geometry. La columna 1, c1, contiene los valores de la altura y la columna 2, c2, contiene los valores del volumen de la caja. 17. Configure los parámetros para graficar los datos y la regresión cúbica para la curva de mejor ajuste. 18. Determine el volumen máximo y el correspondiente valor de la altura de la caja. X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 12 Actividad 3: Algunas propiedades de círculos El objetivo de la actividad es descubrir algunas propiedades relacionadas con cuerdas o rectas secantes a un círculo. Pasos : 1. Construya un círculo arbitrario. 2. Determine un punto arbitrario en el plano y etiquétalo con la letra X. 3. Construya dos cuerdas arbitrarias al círculo que pasen por el punto X (si X es un punto interior al círculo), o bien dos rectas que pasan por X y que son secantes al círculo (si X es exterior al círculo). 4. Sean P, Q los puntos de intersección de una de las cuerdas (o recta secante) con la circunferencia, R, S los puntos de intersección de la otra cuerda (o recta secante) con la circunferencia. 5. Calcule las longitudes de los segmentos XP, XQ, XR y XS. 6. Arrastre el punto X y registre 5 observaciones con las medidas anteriores. −−− −−− −−− −−− 7. Calcule XP. XQ y XR. XS 8. ¿Qué se puede concluir? Desarrollo : 1. Ingrese a la aplicación Cabri. Abra un archivo nuevo con nombre activ3 (en el espacio correspondiente a Variable). Presione dos veces ¸ para ingresar en la pantalla de Cabri Geometry. 2. Construya un círculo. …1 :Circle 3. Construya un punto etiquetado con la letra X. „1 :Point, ‰4 :Label, seleccione el punto y escriba X. 4. Con „4 :Line, seleccione el punto X y mueva el cursor para colocar la recta en una posición deseada, y presione ¸. 5. Repita el paso anterior para construir la otra cuerda (o recta secante). 6. Con „3 :Intersection Point, seleccione la circunferencia y cada una de las cuerdas (o rectas secantes) para obtener los puntos de intersección de ellas con la circunferencia. Etiquétalos con las letras P, Q, R y S, de tal forma que P y Q se encuentren sobre una de ellas, R y S se encuentren sobre la otra. X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 13 7. Calcule las longitudes de los segmentos XP, XQ, XR y XS. Utilice ˆ1 :Distance & Length, seleccione X y P, presione ¸. En la pantalla aparecerá el valor de la longitud de XP. Repita el procedimiento para calcular las longitudes de XQ, XR y XS. 8. Arrastre el punto X y observe como las medidas de los segmentos cambian. Anote las observaciones. Observación medida de XP medida de XQ medida de XR medida de XS 1 −−− −−− 2 3 4 5 −−− −−− 9. Calcule los productos XP. XQ y XR. XS . Para ello puede utilizar la línea de entrada de la pantalla Home o bien ˆ6 :Calculate, seleccione cada número, presione la tecla de multiplicación ù entre los dos números, y apriete la tecla ¸.En la pantalla de trabajo aparecerá el resultado de la multiplicación precedido por R :. −−− −−− 10. ¿ Qué se puede conjeturar respecto a los productos XP. XQ y? 11. Investigue el resultado anterior en libros de geometría, y analice su demostración. Actividad 4: Algunas propiedades de círculos y triángulos El objetivo es encontrar una fórmula que relaciona tres cantidades que aparecen en una construcción geométrica envolviendo circunferencias y triángulos. Pasos : 1. Construya un triángulo rectángulo RIT, con ángulo recto en R. −−− 2. Construya un círculo con centro en I y radio RI . 3. Construya el punto H de intersección del círculo con el segmento IT. −−− 4. 5. 6. 7. Construya un círculo con centro en T y radio RT . Construya el punto G de intersección del nuevo círculo con el segmento IT. Oculte los círculos. Construya la recta perpendicular a RT que pasa por H. X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 14 8. Construya el punto A de intersección de la recta con el segmento RT. 9. Construya la recta perpendicular a RI que pasa por G. 10. Construya el punto N de intersección de la recta anterior con el segmento RI 11. Oculte las rectas perpendiculares. 12. Construya los segmentos HA y GN. 13. Mida los segmentos HG, HA y GN. 14. Haga una tabla con los valores anteriores 15. Arrastre los vértices I o T del triángulo, y registre algunos valores solicitados en 13. 16. Encuentre una fórmula que relacione las medidas de los segmentos HG, HA y GN. 17. Repita los pasos 13, 14 y 15 para encontrar una fórmula que relacione las medidas de los segmentos GI, GH y HT. Desarrollo : 1. Ingrese a la aplicación Cabri. Abra un archivo nuevo con nombre activ4 (en el espacio correspondiente a Variable). Presione dos veces ¸ para ingresar en la pantalla de Cabri Geometry. 2. Construya un triángulo rectángulo RIT. Utilice …1 :Triangle, ‰4 :Label, seleccione los vértices y escriba R, I y T. Utilice R para el ángulo recto. −−− 3. Con …1 :Circle, construya un círculo con centro en I y radio igual a RI . 4. Con „3 :Intersection Point, construya el punto de intersección del círculo con el segmento IT. Etiquétalo con la letra H. −−− 5. Construya el círculo con centro en T y radio RT , con …1 :Circle. 6. Con „3 :Intersection Point, construya el punto de intersección del círculo anterior con el segmento IT. Etiquétalo con la letra G. 7. Utilice ‰1 :Hide/Show para ocultar los círculos. 8. Con †1 :Perpendicular Line, construya la recta que pasa por H y que es perpendicular al lado RT del triángulo. 9. Con „3 :Intersection Point, construya el punto de intersección de la recta anterior con el segmento RT. Etiquétalo con la letra A. 10. Con †1 :Perpendicular Line, construya la recta que pasa por G y que es perpendicular al lado RI del triángulo. 11. Con „3 :Intersection Point, construya el punto de intersección de la recta anterior con el segmento RI. Etiquétalo con la letra N. 12. Utilice ‰1 :Hide/Show para ocultar las perpendiculares. 13. Construya los segmentos HA y GN con „5 :Segment. Seleccione los extremos de los segmentos. 14. Con ˆ1 :Distance & Length, mida las longitudes de los segmentos HG, HA y GN. 15. Haga una tabla con los valores anteriores. Utilice ˆ7 :Collect Data, 2 :Define Entry. Seleccione el número que representa la medida del segmento HG y presione ¸. 16. Repita el mismo proceso para los números que representan las medidas de los segmentos HA y GN. Con esto definimos tres columnas de la tabla para almacenar los −−− −−− −−− valores de HG , HA y GN . Con ¥ D procedemos a almacenar en la tabla los tres X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 15 valores, en el orden en que fueron seleccionados . En la línea de estado aparece la indicación: Data placed in variable sysdata. 17. Arrastre el punto I o T con la tecla ‚ y el cursor @, manteniendo recto el ángulo R, al finalizar cada movimiento, presione ¥ D, para que los nuevos valores queden registrados en la tabla. 18. Para averiguar los valores medidos de los segmentos en la tabla, utilice O 6 : Data/Matrix Editor, 2 :Open, Folder : main, Variable : sysdata, o bien utilice Š B: Data View. Esto permite abrir la tabla con los datos registrados en el experimento realizado con la construcción anterior. ¿ Cuál es la fórmula que relaciona las tres cantidades representadas en la tabla ? (Su tabla no será exactamente como la que sigue) 19. Limpie la tabla anterior, para construir una nueva tabla. Utilice ƒ8 :Clear Editor, y seleccione la opción “yes”. 20. Repita los pasos 13 al 17 con las medidas de los segmentos GH, HT y GI ¿ Cuál es la fórmula que relaciona las tres cantidades representadas en la tabla ? (Su tabla posiblemente no contiene los mismos números que aparecen en la tabla que sigue) . X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 16 Actividad 5: Construcción de dos macros El objetivo es elaborar una macro que permita construir un triángulo equilátero a partir de un segmento dado y otra macro que determine el centroide de un triángulo. Las macros serán utilizadas posteriormente en el teorema de Napoleón. Macro que construye un triángulo equilátero Pasos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Construya un segmento AB. Construya una circunferencia con centro en A y con B como punto para el radio. Construya una circunferencia con centro en B y con A como punto para el radio. Determine un punto C de intersección entre las dos circunferencias. Oculte todos los objetos, excepto los puntos A, B y C. Construya el triángulo ABC. Verifique que este triángulo es equilátero(calculando los ángulos o bien las longitudes de los lados. Mueva uno de los vértices del triángulo, para verificar que el triángulo es verdaderamente equilátero. 7. Utilice † 6 para crear la macro. Seleccione como objeto inicial los puntos extremos del segmento AB y como objeto final el triángulo equilátero. Defina la macro con el nombre triequi, nombre del objeto trianguloequilatero y guárdelo en la variable macro1. 8. Borre la pantalla y construya un segmento. Ejecute la macro triequi con † 6 ,1. Seleccione el nombre de la macro (triequi) y los puntos extremos del segmento. Macro que construye el baricentro (centroide) de un triángulo Pasos: 1. 2. 3. 4. Construya un triángulo ABC. Construya las tres medianas del triángulo ABC. Determine el punto común a las tres medianas del triángulo ABC (baricentro). Arrastre cualquiera de los vértices del triángulo ABC y observe lo que sucede con el baricentro del triángulo. 5. Construya una macro que reciba como objeto inicial un triángulo, y devuelve el centroide o baricentro del mismo. Desarrollo : 1. Ingrese en la aplicación Cabri. 2. Determine tres puntos no colineales A,B y C. Utilice „1 :Point para seleccionar los puntos, y ‰4 :Label para etiquetar los puntos con las letras A,B,C. 3. Construya el triángulo ABC con …3 :Triangle. 4. Construya las medianas del triángulo ABC. Con †3 :Midpoint, determine el punto medio de cada uno de los lados del triángulo ABC, y con „5 :Segment, construya el X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 17 segmento que une cada vértice del triángulo, al punto medio del lado opuesto, es decir, las medianas. 5. Etiquete con la letra Q el punto de intersección de las medianas ( „ 3 :Intersection Point, y seleccione cada una de las tres medianas). 6. Arrastre cualquiera de los vértices del triángulo ABC, y observe lo que sucede con en punto Q. ¿ Qué conclusiones se pueden sacar ? ¿ Se encuentra Q siempre en el interior del triángulo ? Anote sus observaciones. Observación 1 2 3 4 5 El punto Q es común a las 3 medianas El punto Q no es común a las 3 medianas Q es exterior al triángulo Q es interior al triángulo 7. Construya una macro denominada centroide que recibe como objeto inicial un triángulo y como objeto final el centroide del triángulo. Actividad 6: El teorema de Napoleón El objetivo es utilizar las macros triequi y centroide para “descubrir” el teorema de Napoleón. Pasos : 1. Construya un triángulo arbitrario ABC. Ejecute la macro triequi para construir un triángulo equilátero sobre cada uno de los lados del triángulo ABC. 2. Ejecute la macro centroide para construir el baricentro de cada uno de los triángulos equiláteros construidos en el paso anterior. Sean M, N y P los baricentros construidos. 3. Construya el triángulo MNP. Mida sus lados o bien sus ángulos para verificar que el triángulo MNP es equilátero. Mueva uno de los vértices del triángulo original ABC, y compruebe que el triángulo MNP se mantiene equilátero. El triángulo MNP se conoce como triángulo exterior de Napoleón. X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 18 4. Refleje cada centroide M, N y P respecto a su correspondiente lado en el triángulo ABC. Sean Q, R y S los puntos reflejados. 5. Construya el triángulo QRS, y verifique que el mismo es un triángulo equilátero, conocido como triángulo interior de Napoleón. 6. Mida las áreas del triángulo ABC y de los triángulos de Napoleón interno y externo. ¿Qué relación existe entre estas tres áreas? Actividad 7: Construcción de una parábola Queremos construir una parábola con foco y directriz conocidos. Pasos : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Construya una recta L(directriz) y un punto F(foco) fuera de la recta L. Construya un punto P sobre la recta L. Construya la mediatriz L’ entre los puntos F y P. Construya una recta L’’ que pasa por P y es perpendicular a L. Sea C el punto de intersección entre L’ y L’’. Oculte las rectas L’ y L’’. Determine el lugar geométrico del punto C cuando el punto P se mueve sobre la recta L. † A:Locus, seleccione C, seleccione P. Otra opción sería utilizar trace. ‰ 2:Trace On/Off, y mover el punto P sobre la recta L, para obtener la traza del punto C. X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 19 Actividad 8: Construcción de una elipse El objetivo es construir una elipse con focos y eje mayor conocidos. Pasos : 1. 2. 3. 4. 5. 6. Construya el segmento AB que representa el eje mayor de la elipse. Construya un punto C en el segmento AB. Oculte el segmento AB. Quedan los tres puntos: A, B y C. Construya los segmentos AC y CB. Construya los puntos F1 y F2 (focos) fuera de los segmentos AC y CB. Utilice el comando compás, † 8:Compass para construir circunferencias centradas en F1 y F2, con radios iguales a las longitudes de los segmentos AC y CB respectivamente. Sean P y Q los puntos de intersección de las dos circunferencias. Si las circunferencias no se intersecan, mueva uno de los focos en la dirección del otro. 7. Oculte las circunferencias, y utilice † A:Locus para construir el lugar geométrico de P cuando C se mueve sobre el segmento AB. Repita el procedimiento para el punto Q. 8. Mueva uno de los extremos del segmento AB para observar el cambio correspondiente en la elipse. Actividad 9: Un problema de máximos y mínimos Determinar el rectángulo de perímetro constante con área máxima. Pasos : 1. 2. 3. 4. 5. Construya el segmento AB que representa el semiperímetro del rectángulo. Construya un punto C sobre el segmento AB. Oculte el segmento AB y construir los segmentos AC y CB. Construya un punto O fuera del segmento AB. Construya una circunferencia centrada en O con radio igual a la longitud de AC, y otra con centro O y radio CB. † 8:Compass, seleccione el segmento AC y el punto O. Repita el procedimiento para el segmento CB y el punto O. 6. Construya un rayo L con punto inicial en O. 7. Construya una recta L’ que pasa por O y que es perpendicular al rayo L. 8. Construya los puntos P y R de intersección de L’ con una de las circunferencias y L con la otra circunferencia respectivamente. X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 20 9. Construya una recta perpendicular a L por el punto R, y una recta perpendicular a L’ por el punto P. Sea Q el punto de intersección de las dos perpendiculares. 10. Oculte el rayo L, la recta L’ y las dos rectas perpendiculares. 11. Construya el polígono OPQR. Este polígono es un rectángulo cuyas medidas de los lados son las longitudes de los segmentos AC y CB. 12. Calcule el área del rectángulo OPQR. Mueva el punto C sobre el segmento AB, hasta encontrar el valor máximo para el área del rectángulo. ¿Cuándo ocurre esto? Actividad 10: Utilizar geométricos. Cabri para descubrir propiedades invariantes de objetos Una aplicación didáctica de las macros de Cabri es la producción de cajas negras (Acosta, 2002). Son macros que producen un determinado resultado en la pantalla, que se debe analizar para descubrir y reconstruir el proceso de construcción de la mismas e identificar relaciones invariantes en la figura. El docente prepara la construcción, oculta todos los objetos excepto los iniciales. Los estudiantes abren la macro, la ejecutan, hacen conjeturas y al final intentan reproducir la construcción. Pasos 1. Construya un segmento y un punto sobre el mismo. 2. Abra la macro1: Š, 1 (Open), Seleccione Type: Macro, Folder: main, Variable: macro1. 3. Oprima †, 6 y seleccione Execute Macro. Señale el paralelogramo ¿Qué aparece? Estudie los invariantes. 4. Abra un archivo nuevo e intente reproducir la macro. 5. Construya un paralelogramo. 6. Abra la macro2: Š, 1 (Open), Seleccione Type: Macro, Folder: main, Variable: macro2. 7. Oprima †, 6 y seleccione Execute Macro. Señale el paralelogramo ¿Qué aparece? Estudie los invariantes. 8. Abra un archivo nuevo e intente reproducir la macro. X Congreso Nacional de Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala Edison De Faria Campos 21 al 25 de noviembre del 2005 21 Referencias Acosta, M. (2002). Macro construcciones y cajas negras en el programa de geometría. Seminario Nacional de Formación de Docentes: Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas. Colombia: Ministerio de Educación Pública. Serie memorias. Bongiovanni, V., Campos T., Almouloud, S. (1997) Descobrindo o CabriGéomètre. Editora FTD S.A., São Paulo, Brasil. De Faria, E. (1999). Descubriendo teoremas con Geometría Dinámica. Memorias del VII Simposio Internacional en Educación Matemática Elfried Wenzelburger. México: Grupo Editorial Iberoamérica. De Faria, E. (2000) La tecnología como herramienta de apoyo a la generación de conocimiento. Innovaciones Educativas, Año VII, número 12. Costa Rica. Duval, R. (1992) Registres de representation sémiotique et fonctionnement cognitive de la pensée. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives. IREM Strasbourg. Kaput, J. (1992) Technology and Mathematics Education. D. A. Grouws. Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. N.Y.: Macmillan. NCTM (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Standards 2000.