Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez

Universidad de Puerto Rico
MATE3031.0506.1
Recinto Universitario de Mayagüez
SOLUCIONES EXAMEN I
Departamento de Matemáticas
6 de septiembre de 2005
Nombre__________________________________________
Número de Estudiante_________________________
Profesor__________________________________________
Sección_____________________________________
NOTA: Por razones de conveniencia y brevedad, usamos “aritmética extendida” en la evaluación de los límites con ∞ .
1. [12 puntos] Llenar los blancos. Se corrige sólo la respuesta.
a.
b.
c.
(
)
lim 5x 2 + 3x + 2 = 5(1)2 + 3(1) + 2 = 10
x →1
lim (3 sin x + 2 cos x ) = 3 sin π + 2 cos π = 3(0) + 2(−1) = −2
x →π
1
1
1
 1 
=
=
= = 0
lim 
x 
∞
1+∞ ∞
1 + e  1 + e
x →∞
d.
5+
5
 x 
lim+ 
=
= + = ∞

+
x →5  x − 5 
5 −5 0
e.
 3e x + 2 
3e 0 + 2
3(1) + 2 5
lim  2 x
=
=
= =1

2(0)
x → 0 4e
+ 1  4e
+ 1 4(1) + 1 5

f.
La función f (x ) = 10 sin(3x − π ) es continua en el/los intervalo(s)
( −∞, ∞ )
2. [40 puntos] Evaluar estos límites usando algún procedimiento apropiado.
x 4 − 8x
x (x 3 − 8)
a. lim 2
= lim
x →2 x + x − 6
x → 2 ( x + 3)( x − 2)
x (x − 2)(x 2 + 2x + 4)
x →2
(x + 3)(x − 2)
= lim
x (x 2 + 2x + 4)
x →2
(x + 3)
= lim
=
b.
2(22 + 2(2) + 4) 2(4 + 4 + 4) 24
=
=
(2 + 3)
5
5
 2x 2 4 x 2 − 1 
lim 
−

x →∞ x − 1
2x 

(
)
 2x 2 ( 2x )
4 x 2 − 1 ( x − 1) 

= lim 
−
x → ∞  ( x − 1 )( 2 x )
2x ( x − 1 ) 


(
)
 2x 2 ( 2x ) − 4 x 2 − 1 ( x − 1 ) 

= lim 
x →∞ 
2x ( x − 1 )



(
 4x 3 − 4x 3 − 4x 2 − x + 1
= lim 
x →∞ 
2x 2 − 2x

) 
 4 x 3 − 4 x 3 + 4x 2 + x − 1 
= lim 

x →∞
2x 2 − 2x


 4x 2 + x − 1 
= lim 

2
x →∞
 2x − 2x 
 4x 2
x
1
 2 + 2 − 2
x
x
= lim  x
2
x →∞
 2x − 2 x
x2 x2

1
1

4 + x − x 2
= lim 
x →∞
 2− 2

x
=
4+0−0
= 2
2−0












c.
lim
x →1
2x + 7 − 3
= lim
x →1
x −1
= lim
x →1
= lim
x →1
= lim
x →1
= lim
x →1
= lim
x →1
=
10x − 1
lim
x → ∞ 2 x 3 + 3x
5
d.
(
2x + 7 − 3
(x
(x
(x
(x
(x
(
− 1)
(
2x + 7
− 1)
(
)(
2x + 7 + 3
)
2
− 32
2x + 7 + 3
2x + 7 − 9
− 1)
− 1)
(
2x + 7 + 3
2x − 2
(
2x + 7 + 3
2(x − 1)
− 1)
(
2x + 7 + 3
)
)
)
)
)
)
2
2x + 7 + 3
2
2(1) + 7 + 3
2
=
9 +3
 10 x 5
1
− 3

3
x
x
= lim 
3
x →∞
 2x + 3x
 3
 x
x3






1

2
 10x − x 3
= lim 
x →∞
 2 + 3

x2





=
2x + 7 + 3
=
2
2 1
= =
3+3 6 3
∞−0
= ∞
2+0
e. (algunos) lim ln(5x ) − ln(3x 2 + 7) 
x →∞
  5x  
= lim ln  2

x →∞
  3x + 7  



5x



2
x
= ln  lim 

2
 x → ∞  3x + 7  
 2

 x
x 2 


 5


= ln  lim  x
x →∞
7

 3 + 2
x


 0+ 
= ln 
+ 
3+0 
= ln(0 + ) = −∞





3. [6 puntos]
Hallar el valor de a que hace que la función
 x + a 2 , x < 1


f (x ) =  2a
 sea continua en el intervalo (−∞, ∞) .
,
≥
1
x
 2


x
Para cualquier valor de a , esta función es continua en los intervalos (−∞,1) y [1, ∞) , porque es una función
lineal para x < 1 y una función potencia para x ≥ 1 . La única posible discontinuidad es en x = 1 . Nos
aseguramos de que sea continua en x = 1 tambien con el requisito de la definición de continuidad en x = 1 :
lim f (x ) = lim+ f (x )
x → 1−
x →1
 2a 
lim x + a 2 = lim+  2 
x →1  x 
2a
1 +a2 = 2
1
2
1 + a = 2a
x →1−
(
)
a 2 − 2a + 1 = 0
(a − 1)2 = 0
a =1
x + 1, x < 1


Con este valor de a , la función es: f (x ) =  2
 , y vemos que efectivamente:
x
,
≥
1
x 2


lim− f (x ) = lim+ f (x ) = f (1) = 2
x →1
x →1
La gráfica de esta función es:
2
1.5
1
0.5
-2
-1
1
-0.5
-1
2
3
4
4. [6 puntos] Usar la definición formal de límite para demostrar que lim(2x + 3) = 5 .
x →1
Primero, dado ε , hallar δ .
f (x ) − L < ε
Sea ε > 0 : se requiere
( 2x
+ 3) − 5 < ε
2x − 2 < ε
2 x −2 <ε
x −1 <
Por lo tanto debemos tomar δ =
ε
2
ε
2
en la demostración formal.
Demostración formal:
ε
Dado ε > 0 , sea δ = .
2
Entonces:
0 < x −1 < δ
⇒ 2 x − 1 < 2δ
ε 
⇒ 2 x −1 < 2 
2
⇒ 2 x −1 < ε
⇒ 2x − 2 < ε
⇒ ( 2x + 3 ) − 5 < ε
5. [10 puntos] La posición de una partícula es dada por s (t ) = 10t 2 . Hallar la velocidad instantánea de la partícula en
el momento t = 1 , usando la definición.
s (t + h ) − s (t )
h
10(t + h )2 − 10t 2
v (t ) = lim
h →0
h
v (t ) = lim
h →0
v (t ) = lim
(
)
10 t 2 + 2th + h 2 − 10t 2
h
h →0
v (t ) = lim
10t 2 + 20th + 10h 2 − 10t 2
h
h →0
v (t ) = lim
h →0
v (t ) = lim
h →0
20th + 10h 2
h
h ( 20t + 10h )
h
v (t ) = lim ( 20t + 10h )
h →0
v (t ) = 20t
v (1) = 20(1) = 20
6. [10 puntos] Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = x1
en el punto x = 2 , usando la definición.
La ecuación de la recta tangente es y = f (a ) + f ′(a )(x − a ) , con f (x ) =
f ′(x ) = lim
h →0
f (x + h ) − f (x )
h
1
 1
 x +h − x 
f ′(x ) = lim 

h →0
h




1
1
1
f ′(x ) = lim
−
h  x + h x 
f ′(x ) = lim
1(x + h ) 
1
1(x )
−


h  ( x + h ) (x ) x ( x + h ) 
f ′(x ) = lim
1  1(x ) − 1 ( x + h ) 


h  ( x + h ) (x ) 
h →0
h →0
h →0
 x − (x + h ) 

h → 0 h ( x + h ) (x ) 


f ′(x ) = lim 
 x − x −h 

h → 0 h ( x + h ) (x ) 


f ′(x ) = lim 


−h

 h ( x + h ) (x ) 
f ′(x ) = lim 
h →0


−1

 ( x + h ) (x ) 
f ′(x ) = lim 
h →0
f ′(x ) =
f ′(x ) =
−1
( x + 0 ) (x )
−1
X2
La pendiente de la recta tangente en x = 2 es: m tan = f ′(2) =
La ecuación de la recta tangente es:
−1
1
=−
2
4
2
y = f (a ) + f ′(a )(x − a )
y = f (2) + f ′(2)(x − 2)
1
1
+ − (x − 2)
2
4
1 1
y = − (x − 2)
2 4
y =
1
4
y = − x +1
1
x
, a = 2 , f (a ) = f (2) =
1
.
2
a. Intervalos en donde f (x ) es continua:
( −∞,0 )
b. Ceros de f (x ) : 3x − 1 = 0 ⇒⇒⇒ x =
1
3
c.
d.
e.
f.
lim− f (x ) =
3(0− ) − 1 0 − 1 −1
= + = + = −∞
(0 − )2
0
0
lim+ f (x ) =
3(0+ ) − 1 0 − 1 −1
= + = + = −∞
(0 + )2
0
0
x →0
x →0
lim f (x ) = lim
x →∞
3x − 1
lim f (x ) = lim
x → −∞
x2
x →∞
1
 3x
= lim  2 − 2
x →∞ x
x

3x − 1
x → −∞
x
2
3x − 1
f (x ) =
7. [16 puntos] Análisis y gráfica de la función
x2
y
( 0, ∞ )
1 

3
− 2  =0−0 = 0
 = xlim
→∞  x
x 


1
 3x
= lim  2 − 2
x → −∞ x
x

1

3
− 2
 = xlim
→ −∞  x
x


g. Ecuaciones de las asíntotas verticales:
h. Ecuaciones de las asíntotas horizontales:
i.
f (x ) > 0 en el/los intervalos:
1 
 3 ,∞


j.
f (x ) < 0 en el/los intervalos:
( −∞,0 ) ,

=0−0 = 0

x =0
y =0
 1
 0, 3 


k. Graficar f (x ) aquí cuidadosamente. Debes indicar los interceptos y asíntotas claramente en tu gráfica.
4
2
-6
-4
-2
2
-2
-4
-6
-8
-10
4
6