Ses. 11 - Paralelismo, Perpendicularidad y F(x) no lineales

25-09-2010
SESIÓN
CONTENIDOS:
OBJETIVO:
↘Paralelismo y Perpendicularidad
entre funciones lineales.
11
↘Funciones no lineales.
∼Tipos de funciones no lineales.
∼ Determina ecuaciones de rectas paralelas y/o
perpendiculares a partir de la ecuación y/o gráfico.
∼ Relaciona funciones no lineales y sus respectivos
gráficos.
↘Gráfico de tipos de funciones.
Profesor: Víctor Manuel Reyes F.
Asignatura: Matemática Básica - Segundo Semestre 2010
PARALELISMO Y PERPENDICULAR ENTRE RECTAS
EJEMPLO:
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales
Teniendo en cuenta f(x)= 4x + 5, hallar g(x) que tiene como
ordenada al origen 4 y es paralela a f(x).
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1
Tenemos que sacar g(x) y sabemos que g(x) esta compuesta de la
siguiente manera y= mx + b, en este caso nos dan la ordenada al
origen que es 4 entonces:
g(x) = y = mx + 4
Ahora sacaremos mx sabiendo que es paralela a f(x), o sea que tiene
la misma pendiente:
f(x) = y = 4x + 5
entonces f(x) y g(x) tienen igual pendiente entonces,
g(x) = 4x + 4
1
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EJEMPLO:
y
y = 4x + 5
y = 4x + 4
5
4
Teniendo en cuenta f(x)= 4x + 5, hallar g(x) que es perpendicular a
f(x) y tiene como ordenada al origen -3
Sabemos que g(x) es de la forma y = mx + b, entonces averiguamos
la pendiente de g(x).
3
Pendiente de f(x) = 4, entonces la inversa utilizando la fórmula
2
m1 · m2 = -1 ⇒ m1 = -1/ m2
1
x
-2
-1
1
Seria 4 · m = -1 entonces m = -1/4
la pendiente de g(x) es -1/4, entonces
y = -1/4x – 3
-1
FUNCIONES LINEALES:
y
y
y = 4x + 5
y = -x/4 - 3
f(x) = 3x + 8
con m = 3 y n = 8
y = -x
con m = -1 y n = o
g(x) = -10x – 5
con m = -10 y n = -5
y=4
con m = 0 y n = 4
y = 3x + 8
y = -x
y = -10x - 5
y =4
24
16
8
x
El gráfico y los parámetros n y m:
x
-16
-8
8
-8
El gráfico de la función lineal es una línea recta. El número n , indica
a qué altura la recta intersecta al eje Y. Por tanto, si n es positivo, la
recta corta al eje Y por sobre el eje X. Si n es negativo, lo hace por
debajo del eje X y si n es cero, la recta pasa por el origen del sistema
de coordenadas O = (0,0).
2
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La pendiente m de la recta, corresponde a la inclinación de ésta
con respecto al eje X. Si miramos la recta de izquierda a derecha
puede darse uno y sólo uno de estos comportamientos gráficos:
La siguiente tabla muestra las diferentes situaciones descritas para
los tipos de valores de m y n y el gráfico respectivo:
1) La recta “sube”. Decimos que la función lineal es creciente. El
valor de m debe ser positivo.
2) La recta “baja”. Decimos que la función lineal es decreciente.
Esto sucede cuando el valor de m es negativo.
3) La recta es paralela al eje X. Esto ocurre cuando el valor de m
es cero.
Observación: Se ha dejado de lado el caso en que la recta sea
paralela al eje Y, caso en que el gráfico no corresponde al de una
función.
Las funciones lineales tienen gráficas que son líneas rectas. Estas
gráficas representan tasas de cambio constantes.
y = 2x + 3
y
FUNCIONES NO LINEALES:
Las funciones no lineales no tienen tasas de cambio constantes. Por
lo tanto, sus gráficas no son líneas rectas.
y
y = 2x+3
5
5
4
4
3
3
y = x2 + 1
2
2
1
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
4
5
6
7
-1
-2
Como x está elevada a una potencia, la ecuación no se puede
escribir en la forma y = mx + b. Así que la función es una función
no lineal.
-5
3
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EJEMPLOS FUNCIONES NO LINEALES:
EJEMPLOS FUNCIONES NO LINEALES:
Función de proporcionalidad inversa:
k
y=
x
Función racional: y =
Su gráfica es una hipérbola.
Su asíntotas son los ejes de
coordenadas
Asíntota horizontal: y = 0
Asíntota vertical: x = 0
El coeficiente k nos da los
cuadrantes
donde está situada:
ax + b
cx + d
y
Su gráfica es una hipérbola
Su asíntotas son:
Asíntota horizontal: y =
Asíntota vertical:
−d
y=
c
y = 2x/(x-1)
5
4
3
a
c
2
1
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
k>0
-3
-4
k<0
-5
EJEMPLOS FUNCIONES NO LINEALES:
Ejemplos de funciones no lineales
y= x
Función raíz:
y
y = x^(1/2)
y = x^(1/3)
y = x^(1/4)
y = x^(1/5)
4
3
2
1
x
-2
-1
1
-1
-2
2
3
4
5
6
A menudo los fisioterapeutas descubren que el proceso de
rehabilitación se caracteriza por un efecto de rendimientos
decrecientes. Es decir, la recuperación de la funcionalidad suele
aumentar con la duración del programa terapéutico, pero con el
tiempo el mejoramiento es cada vez menor en relación con los
esfuerzos adicionales del programa. Para una incapacidad particular,
los terapeutas han ideado una función que describe el costo C de un
programa terapéutico en términos del porcentaje de la funcionalidad
recuperada x dada por
7
c( x) =
5x
100 − x
donde C se mide en miles de dólares. Hallar el gráfico de la función.
Finalmente, interprete los resultados en el contexto del problema.
4
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c( x) =
5x
10 − x
y
192
• ¿Qué sucede con el costo si el
porcentaje de la funcionalidad
recuperada es de 100%?
128
64
-201
-101
101
-64
-128
201
302
402
503
• ¿Hay porcentaje de la funcionalidad
recuperada menor que el 0 y/o
superior a 100? Entonces ¿Qué
rangos deben considerarse
apropiados para un correcto análisis
del gráfico y sobretodo la función
señalada?
-192
5