El Teorema de Roth - Universidad Autónoma de Madrid

Trabajo Fin de Máster:
El Teorema de Roth
Universidad Autónoma de Madrid
Departamento de Matemáticas
Alumno:
Serafı́n Ruiz Cabello
Dirigido por:
Javier Cilleruelo Mateo
17 de septiembre de 2010
Índice general
Índice general
1
Resumen
3
1. Introducción
1.1. Notación . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Reseña histórica . . . . . . . . . . .
1.2.1. Teorema de Van de Waerden
1.2.2. Conjetura de Erdös-Turán . .
1.2.3. Teorema de Roth . . . . . . .
1.2.4. Teorema de Szémeredi . . . .
1.3. Sı́ntesis de los datos . . . . . . . . .
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5
5
6
6
7
8
10
11
2. Demostración analı́tica de Roth
2.1. Análisis de Fourier en Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Demostración analı́tica de Roth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
13
17
3. Demostración combinatoria de Szémeredi
3.1. Resultados previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Demostración combinatoria de Szémeredi . . . . . . . . . . . . . . . .
27
28
34
4. Ejemplo de Behrend
4.1. Ejemplo de Behrend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
39
Bibliografı́a
43
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ÍNDICE GENERAL
Resumen
El teorema de Roth es un resultado clásico de la teorı́a combinatoria de números. Demostrado por primera vez por el matemático británico Klaus F. Roth en 1953,
existen gran cantidad de diferentes demostraciones de este resultado en la literatura, utilizando diversas técnicas matemáticas. El teorema afirma que, para cualquier
δ > 0, todo subconjunto de {1, 2, . . . , N } que tenga más de δN elementos contiene una
progresión aritmética de tres elementos, si N es suficientemente grande. Cuantificar el
tamaño de N (en función de δ) es uno de los grandes retos en la teorı́a combinatoria
de números.
A lo largo del primer capı́tulo de esta exposición, presentaremos una breve reseña
histórica en la que hablaremos de los orı́genes de este teorema (el teorema de Van
der Waeden o la conjetura de Erdös-Turán, para la que el teorema de Roth prueba
un caso particular); de las distintas mejoras del resultado que han ido produciéndose
(hace tan sólo dos meses, Tom Sanders presentaba la última mejora de la cota inferior
para N ) y de algunos de los distintos tipos de demostraciones que se han producido.
Concretamente, nos centraremos en dos demostraciones: la que hace uso del análisis
de Fourier discreto y prueba la combinatoria, precursora de la primera demostración
del teorema de Szémeredi.
En los siguientes dos capı́tulos, presentaremos de forma explı́cita la demostración
original de Roth (mediante análisis de Fourier) y la demostración combinatoria que
dio Szémeredi (mediante cubos de Hilbert); en ambos casos, desarrollando la teorı́a
previa necesaria y luego exponiendo el llamado argumento iterativo, clave para demostrar que un conjunto contiene una progresión aritmética de tres elementos.
Finalmente y en sentido contrario expondremos el famoso ejemplo de Behrend. En
contraposición al teorema de Roth, en este ejemplo se construye un conjunto de gran
tamaño que no contiene tres elementos en progresión aritmética.
3
Tema 1
Introducción
1.1.
Notación
A lo largo de esta exposición se empleará la siguiente notación:
Dado un número natural N , el sı́mbolo [N ] representará al conjunto {1, 2, . . . , N }.
Dado un entero N , se considera el menor n tal que todo subconjunto A de
[N ] con al menos n elementos contega progresiones aritméticas (no triviales) de
tres elementos. A n se le denotará por r3 (N ). Formalmente, la función r3 (N )
está definida como
r3 (N ) := mı́n{n ∈ N : ∀A ⊂ [N ] y |A| ≥ n, A contiene al menos
una progresión aritmética no trivial de 3 términos }
De manera análoga puede definirse la función rk (N ) para todo k natural mayor
que 3.
Dado un número real x, los sı́mbolos bxc y {x} representarán, respectivamente,
su parte entera y su parte fraccionaria.
Para escribir exponenciales de forma abreviada se emplearán las siguientes notaciones:
e(t) = e2πit , eq (t) = e2πit/q
Cuando estemos trabajando en Z/Zn , escribiremos de forma abreviada a ≡ b (n)
para decir a ≡ b (mód n).
5
TEMA 1. INTRODUCCIÓN
Dadas dos funciones f y g, la notación f = O(g) indicará que
f (x) < ∞.
lı́m sup g(x) x→∞
Análogamente se podrá escribir f g.
Asimismo, la notación f = o(g) indicará que lı́m
x→∞
f (x)
= 0.
g(x)
Por último, la notación f g indicará que f = O(g) y g = O(f ). Nótese que
f = O(g) implica que existe una constante postiva C tal que |f (x)| ≤ C|g(x)|
a partir de un |x| suficientemente grande. Al mismo tiempo, si se cumple f g
existirán dos constantes positivas c1 y c2 tales que c1 |g(x)| ≤ |f (x)| ≤ c2 |g(x)|.
Si se escribe f d g, significa que la constante c tal que |f (x)| ≤ c|g(x)| depende
de d.
1.2.
Reseña histórica
El teorema de Roth es un conocido resultado sobre la existencia de progresiones
aritméticas dentro de un conjunto de números enteros. Dados dos enteros positivos
d y k, una progresión aritmética de k elementos con diferencia común d es cualquier
conjunto de la forma
{n, n + d, n + 2d, . . . , n + (k − 1)d},
donde n es cualquier número natural. Estrictamente hablando, si d es igual a 0 también
nos hallamos antes una progresión aritmética, de las llamadas triviales. Obviamente
estas progresiones no tienen interés, pero aparecen en el recuento de todas las progresiones sobre un conjunto.
1.2.1.
Teorema de Van de Waerden
Los orı́genes del teorema de Roth se remontan a 1927, año en el que se demuestra
el teorema de Van der Waerden sobre progresiones aritméticas, que puede enunciarse
de dos maneras distintas (en [14] se prueba que cada uno de ellas implica la otra):
Teorema 1.1 (Van der Waerden (1)) Sean l y k dos enteros positivos. Entonces,
para toda partición de Z en l conjuntos C1 , C2 , . . . , Cl , existe un ı́ndice j ∈ [l] tal que
Cj contiene k elementos en progresión aritmética.
6
1.2. RESEÑA HISTÓRICA
Teorema 1.2 (Van der Waerden (2)) Sean l y k dos enteros positivos. Existe un
número natural N (l, k) tal que, para todo N ≥ N (l, k) y para toda partición del conjunto [N ] en l conjuntos C1 , C2 , . . . , Cl , existe un ı́ndice j ∈ [l] tal que Cj contiene k
elementos en progresión aritmética.
Observamos que, mientras en la versión (1) se utilizan conjuntos infinitos, todos
los conjuntos que aparecen en la versión (2) son finitos. Por ello, la versión (2) del
teorema (que será la más importante para nosotros) se suele llamar versión finita del
teorema de Van der Waerden.
El teorema también se suele formular de una manera equivalente que proporciona una intuitiva interpretación visual: Existe un número natural N (l, k) tal que si
N ≥ N (l, k)) y cada número del conjunto [N ] se pinta de un color arbitrario entre
l posibles colores, entonces existirá una progresión aritmética de k números pintados
del mismo color; o, como también se le llama, una progresión monocromática.
Aunque este teorema supuso un enorme avance en el campo de la combinatoria,
poseı́a una gran desventaja: los valores obtenidos para N (l, k) eran enormes. Incluso
tomando el menor l posible no trivial, la cota dada por Van der Waerden era
N (2, k) ≤ A(k), para todo k ≥ 2,
donde A(k) es la función de Ackermann, definida como A(k) = fk (k), para la
familia recursiva de funciones:

 f1 (k) = k + 1
fj+1 (k) = (fj ◦ . . . ◦ fj )(1), j ≥ 1.
|
{z
}

k
Puede probarse que esta función crece tan rápido que no es expresable como composición de operaciones ordinarias.
Esta cota fue mejorada sustancialmente por Shelah sesenta años más tarde (ver
[13]). Pero las cotas que hoy conocemos, y que mejoraron las de Shelah, son un corolario
de un resultado más general que comentaremos a continuación.
1.2.2.
Conjetura de Erdös-Turán
Definición 1.3 Sea A ⊂ {1, 2, 3 . . .} un subconjunto arbitrario de los naturales. Se
define la densidad superior de A como la siguiente cantidad:
d(A) = lı́m sup
N →∞
7
|A ∩ [N ]|
.
N
TEMA 1. INTRODUCCIÓN
En el año 1936, Erdös y Turán, motivados por el teorema de Van der Waerden,
conjeturaron un resultado mucho más general que dicho teorema:
Conjetura 1.4 (Erdös-Turán (1)) Sea A ⊂ N un conjunto con d(A) > 0. Entonces, para todo k ≥ 3, A contiene una progresión aritmética de k elementos.
Conjetura 1.5 (Erdös-Turán (2)) Sea k ≥ 3 un número entero y δ ∈ (0, 1]. Existe
un número natural N (k, δ) tal que para todo N ≥ N (k, δ) y todo conjunto A ⊂ [N ]
con |A| ≥ δN , A contiene una progresión aritmética de k elementos.
Al igual que ocurrı́a con el teorema de Van der Waerden, existen dos versiones (finita e infinita) de la conjetura, y puede probarse (ver [14]) que ambas son equivalentes.
En particular, es inmediato ver que la versión (2) implica la (1), y que en cualquier
caso, si la conjetura es cierta, en particular demuestra también el teorema de Van der
Waerden.
1.2.3.
Teorema de Roth
La conjetura pudo ser demostrada, aunque muchos años más tarde. El primero
en arrojar algo de luz sobre la conjetura fue precisamente Roth, quien en 1953 consiguió demostrarla para el caso particular k = 3, mediante el teorema que hoy lleva
su nombre y que es el objeto principal de este trabajo. En el capı́tulo 2 analizaremos
este teorema con detalle.
Teorema 1.6 (Roth, 1953) Sea N un número entero mayor o igual que 3. Entonces
(1.1)
r3 (N ) N
.
log log N
En particular, este resultado proporciona una muy buena cota para la conjetura
de Erdös-Turán en el caso k = 3. En efecto, del enunciado anterior deducimos que
N (3, δ) ee
c/δ
,
para alguna constante positiva c que no depende de δ.
Hacemos aquı́ un alto en el desarrollo de la conjetura de Erdös-Turán y nos detenemos en el desarrollo histórico del teorema de Roth, que ocupará el grueso de los
siguientes capı́tulos. En particular nos detendremos en dos aspectos. El primero de
ellos es exponer brevemente las mejoras obtenidas sobre la cota original de Roth,
(1.1). Dicha cota ha sido mejorada repetidas veces durante las últimas décadas. A
continuación hacemos un breve repaso a las mejoras más significativas:
8
1.2. RESEÑA HISTÓRICA
En 1987 y 1990, respectivamente, Heath-Brown (ver [7]) y Szémeredi (ver [15])
conseguı́an reducir el doble logaritmo a uno solo elevado a una constante α ≥
1/20:
c N
,
N
(3,
δ)
exp
.
r3 (N ) (log N )α
δ 1/α
La mejor cota hasta hace unos meses era la que estableció Bourgain, por primera
vez en 1999, consiguiendo llevar el exponente del logaritmo hasta 2/3.
r3 (N ) N
,
(log N )(2/3)
N (3, δ) exp
c .
δ 3/2
Finalmente, el mejor resultado a dı́a de hoy es el dado por Sanders.
Teorema 1.7 (Sanders) Sea N un número entero mayor o igual que 3. Entonces
(1.2)
r3 (N ) N
,
(log N )3/4−ε
para todo ε > 0. O, de otra manera,
N (3, δ) ε exp
c
δ 4/3+ε)
,
donde c es una constante absoluta.
También cabe reseñar, en sentido contrario, el ejemplo de Behrend, que construye un conjunto de gran tamaño sin progresiones aritméticas de tres elementos. Este
ejemplo será estudiado en el capı́tulo 4.
Teorema 1.8 (Behrend) Sea N un número natural suficientemente grande. Entonces, existe un conjunto A ⊂ [N ], conteniendo al menos
p
N exp(−c log N )
elementos (donde c es una constante real positiva) que no contiene ninguna progresión
aritmética no trivial de tres elementos.
El segundo aspecto son las diferentes demostraciones surgidas del teorema de Roth,
empleando técnicas de diversa naturaleza. Entre ellas destacamos la reciente demostración de Croot (ver [4]) y la demostración combinatoria que hizo Szémeredi, empleando
cubos de Hilbert. Esta demostración será analizada minuciosamente en el capı́tulo 3.
9
TEMA 1. INTRODUCCIÓN
1.2.4.
Teorema de Szémeredi
Aunque en los próximos temas nos centraremos básicamente en el teorema de
Roth y en algunas de sus demostraciones, no quisiéramos concluir esta introducción
sin incluir también la resolución de la conjetura de Erdös-Turán. Las técnicas analı́ticas empleadas por Roth proporcionaban una muy buena cota de la conjetura, pero
únicamente para el caso k = 3, siendo en principio inútil para el resto de valores de
k. Fue Szémeredi quien, mediante técnicas combinatorias, logró salvar este escollo. Si
bien la cota obtenida en su demostración del teorema de Roth era peor que la que se
obtenı́a en la demostración analı́tica, dicha demostración tenı́a el interés de contener
en su interior el germen de lo que terminarı́a siendo la demostración completa de la
conjetura de Erdös-Turán, para cualquier k ≥ 3. Por ello, a la conjetura se la conoce
hoy en dı́a como teorema de Szémeredi.
De hecho, en 1969 (ver [16]), Szémeredi demostraba la conjetura de Erdös-Turán
para el caso k = 4, y 6 años después (ver [17]) obtenı́a la solución completa para
cualquier k. Ambas demostraciones eran de carácter combinatorio y utilizaban como
argumento principal el llamado lema de regularidad.
Al igual que lo conjetura de Erdös-Turán, el teorema de Szémeredi presenta una
versión infinita y otra finita.
Teorema 1.9 (Szémeredi, versión infinita, 1975) Sea A ⊂ {1, 2, 3, . . .} un conjunto arbitrario de números naturales con densidad superior positiva. Entonces, A
contiene una progresión aritmética de longitud arbitrariamente grande.
Teorema 1.10 (Szémeredi, versión finita, 1975) Sea δ > 0 y k un entero mayor
o igual que 3. Entonces, existe un número N (k, δ) tal que para todo N ≥ N (k, δ) y todo
conjunto A ⊂ [N ] con al menos δN elementos, A contiene una progresión aritmética
no trivial de longitud k.
Las cotas inferiores para N (k, δ) obtenidas por Szémeredi para valores genéricos de
k eran enormes. Pero en 1996, Tim Gowers sorprendió a la comunidad matemática con
una demostración analı́tica del teorema de Szémeredi, consiguiendo además mejorar
sustancialmente las cotas inferiores para N (k, δ), y por tanto también para el teorema
de Van der Waerden.
Teorema 1.11 (Gowers, 1996) Sean N un entero mayor o igual que 3 y k cualquier
número natural no inferior a 4. Entonces,
rk (N ) N
,
(log log N )ck
10
1.3. SÍNTESIS DE LOS DATOS
k+9
con ck = 2−2
.
De este teorema se deduce de forma evidente el siguiente corolario, que es una
expresión más fuerte del teorema de Van der Waerden:
Corolario 1.12 Sean k ≥ 4, N ≥ 3 enteros positivos tales que el cada elemento del
conjunto [N ] se pinta de un color arbitrario entre no más de (log log N )ck colores.
Entonces, [N ] contiene una progresión monocromática de longitud k.
1.3.
Sı́ntesis de los datos
Uniendo el ejemplo de Behrend (Teorema 1.8) y la mejor cota conocida para el
teorema de Roth (Teorema 1.7), podemos acotar r3 (N ) (es decir, el mayor cardinal
de un conjunto A ⊂ [N ] que no contenga progresiones aritméticas de tres elementos)
superior e inferiormente:
N e(−c
√
log N )
r3 (N ) ε
con ε cualquier real mayor que cero.
11
N
,
(log N )3/4−ε
TEMA 1. INTRODUCCIÓN
12
Tema 2
Demostración analı́tica de Roth
2.1.
Análisis de Fourier en Z/nZ
En esta sección trabajaremos en Z/N Z, con N un número primo, para hacer
análisis de Fourier discreto. Dado un conjunto A ⊂ Z/N Z, denotamos como A(n) a
la función indicador de A. La transformada de Fourier discreta de la función A es
b
A(n)
=
X
eN (an).
a∈A
Dado a ∈ Z/N Z, el sı́mbolo (a)N denota al representante de la clase a módulo N
comprendido entre 1 y N inclusive. Es decir,
(2.1)
(ma)N := mı́n{n ≥ 1 : n ≡ ma (N )}
Se verifica entonces que (a)N /N = {a/N }.
Para poder aplicar el análisis de Fourier a la existencia de progresiones aritméticas
en un conjunto, partimos del concepto de distribución uniforme. Ası́, dada una sucesión
numérica {an }n∈N , se dirá que ésta está uniformemente distribuida (módulo uno) si
para cualesquiera 0 ≤ α < β ≤ 1 se cumple
|n ≤ N : {an } ∈ (α, β]| ∼ (β − α)N
cuando N → ∞.
Existe un criterio necesario y suficiente para determinar con facilidad cuándo una
sucesión está uniformemente distribuida:
13
TEMA 2. DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA DE ROTH
Proposición 2.1 (Criterio de Weil) Una sucesión {an }n∈N está uniformemente
distribuida módulo uno si y sólo si se verifica que para todo b ∈ Z \ {0}:
X
1 e(ban ) = 0
lı́m sup N →∞ N n≤N
Serı́a deseable que, para definir de manera análoga el concepto de distribución
uniforme módulo N , la definición fuese algo parecido a la siguiente:
Dada una sucesión {an }n∈Z/N Z , se dice que está uniformemente distribuida módulo
N si para cualesquiera 0 ≤ α < β ≤ 1 se cumple
|a ∈ A : (ma)N ∈ (αN, βN ]| ∼ (β − α)|A|.
El problema es que esta definición sólo tiene sentido de manera asintótica. Es
decir, cuando A ⊂ N y |A| tiende a infinito. Nuestro objetivo es llegar a una definición
aplicable a subconjuntos A finitos, contenidos en Z/N Z. Por ello, necesitamos una
definición más consistente. En primer lugar introducimos el concepto de error para el
conjunto A:
Definición 2.2 Dado un conjunto A de residuos módulo N , se define el error para
A como:
#{a ∈ A : (ma)N ∈ (x, x + y]}
y (2.2)
Err(A) :=
máx
− .
0≤x<x+y≤N |A|
N
m6≡0 (N )
Nótese que, tal y como se ha definido el error para A, esta cantidad será un valor
comprendido entre 0 y 1. El error de A puede considerarse como un ı́ndice que mide el
nivel de aleatoriedad del conjunto. Cuanto más pequeño sea éste, más se parecerá A
a un conjunto aleatorio y estará, valga la redundancia, distribuido de una manera
más uniforme. Si el error es mayor, entonces A tendrá una estructura más irregular
en cuanto a su distribución a lo largo de Z/N Z, y por ende, del propio [N ]. Nuestra
idea de defnición será que A está uniformemente distribuido cuando Err(A) = o(1);
es decir, cuando su error sea muy pequeño.
Cualitativamente, el tamaño del error puede relacionarse con el de los valores de
la transformada de Fourier de A. En este sentido, tenemos el siguiente resultado:
Teorema 2.3 Dados N primo y δ > 0 fijos, se verifica que, si Err(A) ≤ δ 2 , entonces
b
|A(m)|
δ|A| para todo m 6≡ 0 (N ).
14
2.1. ANÁLISIS DE FOURIER EN Z/N Z
Demostración: Dado un entero k ≥ 1, se tiene que si (ma)N ∈ (x, x + N/k],
entonces (ma)N /N ∈ (x/N, x/N + 1/k). Y como (ma)N = N {ma/N }, se cumple
e
ma N
x
1
(ma)N
=e
+O
= e
=e
N
N
N
k
x x 1 1
=e
1+O
e O
= e
N
k
N
k
x
1
= e
.
+O
N
k
n ma o
Y entonces, utilizando esta observación para x = jN/k, tenemos que:
b
|A(m)|
=
X ma e
N
a∈A
=
k−1
X
j=0
=
k−1
X
j=0
X
a∈A
(ma)N ∈(jN/k,(j+1)N/k]
X
a∈A
(ma)N ∈(jN/k,(j+1)N/k]
e
ma N
1
j
+O
.
e
k
k
El número de elementos de A tales que (ma)N ∈ (jN/k, (j + 1)N/k] se puede
estimar mediante la fórmula del error (2.2), tomando x = jN/k e y = N/k. Ası́,
#{a ∈ A : (ma)N ∈ (x, x + y] N/k ≤ Err(A).
−
|A|
N Luego
1
|#{a ∈ A : (ma)N ∈ (x, x + y]| = |A|( + O(Err(A))).
k
Por otro lado, es evidente que
(2.3)
k−1
X
j=0
15
ek (j) = 0
TEMA 2. DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA DE ROTH
Utilizando esto y los cálculos anteriores, concluimos que
X
X
X
k−1
1
j
b
+
O
|A(m)|
= e
k
k j=0
a∈A
a∈A
(ma)N ∈(jN/k,(j+1)N/k]
k−1
X
1
|A| j
= |A|
+O
+ O(Err(A)) e
k
k
k j=o
k−1 k−1
X
X
|A| j |A|
+ |A|
≤
e
O(Err(A)) + O
k k k
j=0
(utilizando (2.3))
=
|A|
k−1
X
j=0
O(Err(A)) + O
j=0
1
|A| k · Err(A) +
k
|A|
k
La prueba se completa tomando k 1/δ, junto con la hipótesis de que Err(A) δ 2 . Queda entonces:
b
|A(m)|
= δ|A|(Err(A) + 1) δ|A|,
lo que concluye la demostración.
De forma similar al criterio de Weil, este teorema proporciona una condición suficiente para que el error del conjunto A sea grande: si alguno de los valores de la
b
transformada de Fourier (es decir, {|A(m)|,
m 6≡ 0 (N )} es suficientemente grande,
entonces el error también lo será y existirá un dilatado de A que no estará uniformemente distribuido. Este hecho tendrá una importancia vital en la demostración del
teorema de Roth de este capı́tulo. Sin embargo, este resultado no nos permite asegurar la existencia o no de progresiones aritméticas en A en función de su error. En la
siguiente sección presetaremos resultados que cuantifican esta idea intuitiva.
A continuación, por razones que se expondrán más adelante, nos planteamos buscar
soluciones de una ecuación algo diferente, añadiendo un segundo conjunto de residuos
B. Nos planteamos buscar soluciones a la ecuación siguiente:
(2.4)
a + b ≡ 2d
(mód N ),
a ∈ A; b, d ∈ B; A, B ⊂ Z/N Z.
Teorema 2.4 Sean dos conjuntos A, B ⊂ Z/N Z. Si se verifica la siguiente cota:
(2.5)
b
|A(m)|
≤
|B|
|A|, para todo m 6≡ 0 (N ),
2N
16
2.2. DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA DE ROTH
entonces la ecuación (2.4) posee al menos
|A||B|2
2N
2N
1−
soluciones (no tri|A||B|
viales).
Demostración: El número de progresiones aritméticas (triviales o no) de tres
elementos de A viene dado, según (2.4), por la siguiente fórmula:
XXX 1 X
r(a + b − 2d)
1 X b b
b
e
=
A(r)B(r)B(−2r)
N
N
N
a∈A b∈B d∈B
r (mod.N )
r (mod.N )
b B(0)
b B(0)
b
Obviamente, el sumando en r = 0 vale N1 A(0)
= |A||B|2 /N . Para el resto de
residuos, puede establecerse la siguiente cota:
1 X b
b
b
|A(r)||B(r)||
B(−2r)|
≤
N
r6≡0
(Cauchy-Schwarz) ≤
X
1
b
b
b
máx |A(m)|
|B(r)||
B(−2r)|
N m6≡0
r6≡0

1/2 
1/2
X
X
1
2
b
b
b 2


máx |A(m)|
|B(s)|
|B(t)|
N m6≡0
s6≡0
t6≡0
p
1
b
(Plancherel) =
máx |A(m)|
N |B|N |C|
N m6≡0
p
b
= máx |A(m)|
|B||B|.
m6≡0
Por tanto, el número de soluciones de (2.4) está acotado inferiormente por |A||B|2 /N −
b
máxm6≡0 |A(m)|
· |B|. Y entonces, si se cumple (2.5), existen al menos |A||B|2 /2N soluciones (triviales o no) para (2.4). Si quitamos las triviales, que por construcción han
de ser exactamente |B|, nos quedan
|A||B|2
|A||B|2
2N
− |B| =
1−
2N
2N
|A||B|
soluciones no triviales.
2.2.
Demostración analı́tica de Roth
Teorema 2.5 (Roth) Sea δ > 0. Existe una constante absoluta C > 0 tal que si N
(C/δ)
es un entero positivo mayor que Nδ = ee
, entonces todo subconjunto A de [N ] con
al menos δN elementos contiene una progresión aritmética no trivial de 3 elementos.
Observación: El teorema también puede enunciarse al revés; es decir, tomando
un entero N y sin más que invertir la fórmula, deducir el mı́nimo valor de δ que puede
17
TEMA 2. DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA DE ROTH
tomarse. Es fácil ver que ese valor es
δ(N ) 1
.
log log N
De aquı́ se deduce la siguiente cota inferior para el tamaño de un subconjunto de
[N ] que contiene forzosamene progrsiones aritméticas de 3 elementos:
r3 (N ) N
.
log log N
Demostración: En primer lugar, aclaramos que en lo sucesivo y salvo que se especifique otra cosa, cuando hablemos de progresiones aritméticas estaremos refiriéndonos
sólo a progresiones aritméticas no triviales.
Para comenzar la demostración, nótese que tomando cualquier δ mayor que 2/3,
por ejemplo δ = 3/4, es fácil comprobar que el teorema es válido para cualquier N ≥ 6,
ya que entonces A poseerá al menos dos tercios de los elementos de [N ] más un elemento adicional, y por tanto A siempre contendrá tres elementos consecutivos.
Observemos también que si el enunciado del teorema se verifica para un cierto
entonces trivialmente se verifica también para cualquier δ > δ ∗ , ya que cualquier
A con al menos δN elementos contiene múltiples subconjuntos A∗ con más de δ ∗ N
elementos. Por tanto, para demostrar el teorema fijaremos un δ ∈ (0, 3/4), un entero
N y un conjunto A cumpliendo las hipótesis del enunciado y determinando que una
de las dos siguiente condiciones debe satisfacerse:
δ∗,
O bien A contiene una 3-progresión aritmética no trivial (con lo que habrı́amos
probado el teorema),
O bien existe una progresión aritmética de longitud N1 < N que contiene más
de δ1 N1 elementos de A, con δ1 > δ(1 + cδ) para una cierta constante positiva c
a determinar más adelante.
La clave para demostrar el teorema está en que siempre podemos aplicar este hecho (que será demostrado a lo largo de este capı́tulo) repetidas veces, cada vez sobre
conjuntos más pequeños pero con mayor densidad. Si llamamos A1 a A ∩ N1 , podemos
operar sobre él de la misma forma que hicimos con A, y obtener otro subconjunto A2
con densidad sobre N2 < N1 mayor de lo que era la densidad de A1 en N1 . En un escenario en que se dé el segundo caso de forma indefinida para todos los Aj , llegará un
momento en que una cierta densidad δk haya crecido lo suficiente con respecto a δ
como para superar al valor crı́tico δ = 3/4, con lo cuál Ak contendrı́a tres elementos
en progresión aritmética y habrı́amos acabado, ya que Ak ⊆ A. El precio que hay
18
2.2. DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA DE ROTH
que pagar por conseguir un subconjunto más denso en cada paso es que el valor N
se irá reduciendo también a cada paso, pudiendo incluso llegar a valores sin sentido
(menores que uno). Es necesario, por lo tanto, cuantificar el crecimiento de las deltas
para asegurarnos de que el argumento iterativo se puede seguir empleando en cada paso; de ahı́ surge la cota inferior de N que nuestra el enunciado y que vamos a demostrar.
A la hora de realizar análisis de Fourier discreto sobre A, es más sencillo operar si
N es un número primo. Por el postulado de Bertrand sabemos que existe al menos un
número primo entre N y 2N . Este resultado se ha mejorado varias veces, y actualmente
se sabe que existe un primo entre N y N + N 2/3 (de hecho, este resultado puede
mejorarse hasta valores cercanos a N + N 1/2 ; por ejemplo, en [1] se toma N + N 1,525 ).
Dado entonces N y un conjunto A ⊂ [N ] con densidad al menos δ, si reemplazamos
N por p, el menor primo no inferior N , entonces
N
N
≥ δp
p
N + N 2/3
!
δN 2/3
1
≥ p δ − 1/3 ≥ p(δ − δ 4 ),
= p δ−
N + N 2/3
N
|A| = δN = δp
donde en la última desigualdad suponemos que N > δ −12 .
Observación: Nótese que suponer N > δ −12 no provoca pérdida de generalidad
C/δ
para el teorema. En efecto, es una cuenta sencilla comprobar que ee
≥ δ −12 para
todo δ > 0 y para cualquier C > 11/10. Por tanto, si suponemos
(2.6)
N > ee
C/δ
, C > 11/10,
los cálculos anteriores son lı́citos. Y, como se verá al final de este capı́tulo, el teoC/δ
rema se demuestra para N > ee , donde C es una constante mayor que 50, por lo
que podemos utilizar esta suposición.
Por tanto, si al realizar la primera iteración en lugar de N consideramos N 0 = p,
entonces un conjunto A que tuviera al menos δN elementos tendrá al menos (δ −δ 4 )N 0
elementos, luego la densidad de A en N 0 será δ 0 ≥ δ − δ 4 ; y tras realizar una primera
iteración la densidad de A1 en N10 pasará a ser δ 0 + cδ 02 = δ − δ 4 + c(δ − δ 4 )2 =
δ + c0 δ 2 + O(δ 4 ) δ + c0 δ 2 . En adelante, abusando de la notación, nos referiremos
a N 0 como N y a c0 como c, asumiendo que reemplazar N por un primo no afecta
al argumento de densidad por lo que acabamos de probar (aunque, obviamente, este
hecho debe ser tenido en cuenta a la hora de calcular c).
19
TEMA 2. DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA DE ROTH
Procedamos a demostrar el argumento iterativo, tomando un δ ∈ (0, 3/4), un
entero [N ] y un subconjunto A que satisfagan las hipótesis del enunciado. Supongamos
por reducción al absurdo que [A] no contiene progresiones aritméticas. Distinguiremos
dos casos:
Sean B1 := A ∩ [N/3] y B2 = A ∩ ([N ] \ [2N/3]). Si
(2.7)
|B1 | ≥ (1 + cδ)|A|/3
ó |B2 | ≥ (1 + cδ)|A|/3,
entonces el argumento iterativo está completado, tomando N1 = bN/3c y A1 =
B1 o bien A1 = {N − a : a ∈ B2 }, según sea B1 o B2 quien verifique (2.7).
Si no se verifica (2.7), se considera el conjunto formado por el tercio central de
los elementos de A. Es decir,
B = A ∩ ([2N/3] \ [N/3]).
Y por hipótesis de que no se cumplen los dos primeros casos, es claro que
(2.8)
|B| > (1 − 2cδ)|A|/3.
A la vista de lo hecho hasta ahora, la constante c ha de estar en el intervalo
(0, 1/2δ) para que los datos tengan sentido. Poniendo, por ejemplo, c = 1/8δ, se tiene
que o bien |A1 | ≥ 9δ
8 N1 (en el primer caso), o bien el conjunto |B| verifica
δ
|B| > |A|,
4
sin más que sustituir en c.
Observación: En este punto podemos fácilmente intercambiar c por la c0 que quedaba al sustituir N por un primo. Como c0 δ 2 = cδ 2 + O(δ 4 ), queda c0 = c + O(δ 2 ),
con lo cuál podemos, en lugar de tomar c = 1/8δ, tomar uno ligeramente mayor (ya
que, si se desarrolla el término de error se deduce que c > c0 ). Concretamente, existe
un c ∈ [1/8δ, 1/4δ] tal que, operando como ahora, c0 vale 1/8δ. Por simplicidad en la
notación, omitiremos explı́citamente este paso y en adelante supondremos que la c de
la que estamos hablando es c0 .
Vamos a aplicar el análisis de Fourier que vimos en la sección 2.1. Recordemos
que, dadas las variables a ∈ A y b, d ∈ B, considerábamos la ecuación
(2.9)
a + b ≡ 2d (N )
20
2.2. DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA DE ROTH
Se verifica que si A no contiene progresiones de tres elementos, esta ecuación no tiene
solución que no tenga todos los coeficientes iguales. Esto se deduce del hecho de que
N/3 < b, d < 2N/3, por lo que 2N/3 < 2d < 4N/3 y 0 < 2d − b < 3N/3 = N ; con lo
que de existir una solución no trivial para esta ecuación, se verificarı́a a+b = 2d y esto
no es posible por hipótesis, ya que en A no hay progresiones aritméticas de 3 elementos.
Como consecuencia de lo anterior, afirmamos que debe existir un m 6≡ 0 (N ) tal
b
que |A(m)|
> (1 − 2cδ)|A|/6. Para probar esto, recurrimos al teorema 2.4. Como no
existen soluciones a la ecuación (2.4), debe existir alguna clase m módulo N , no nula,
tal que:
p
|B||B|
|B| |A|
|B|
(1 − 2cδ)|A|
|A|
b
(2.10) |A(m)|
>
|A| =
≥
δ>
δ = δ(1 − 2cδ)
2N
2 N
2
2·3
6
Equivalentemente, sustituyendo c por 1/8δ,
(2.11)
δ
b
|A(m)|
> |A|
8
Podemos interpretar este hecho de la siguiente forma: existe un dilatado de A
(concretamente, el conjunto {ma : a ∈ A}) que no está uniformemente distribuido.
Por tanto, dicho conjunto está lejos de presentar una cierta estructura aleatoria. Esto
propiciará que exista una gran progresión dentro de él conteniendo más elementos del
dilatado de lo que cabrı́a esperar. Pero necesitamos algo más; para evitar el problema
de que las progresiones en Z/N Z no son progresiones genuinas (es decir, progresiones
en Z), es preciso que la progresión que obtengamos cumpla ciertas propiedades que
hagan que sea fácil de descomponer en progresiones genuinas. En este sentido, tenemos
la siguiente definición:
Definición 2.6 Dada una progresión aritmética P de diferencia entre términos d en
Z/N Z, diremos que P es una progresión no solapada si |P |d < N .
Es inmediato comprobar que toda progresión no solapada P puede descomponerse
en dos progresiones genuinas P1 , P2 , ya que por construcción P sólo puede dar una
vuelta a Z/N Z. Nuestro próximo objetivo va a ser, partiendo del hecho de que el
conjunto mA no está uniformemente distribuido, tratar de obtener una progresión
P ⊂ Z/N Z sobre la que A tenga una densidad relativa mayor de la que tenı́a en N y
cumpliendo al mismo tiempo que P sea no solapada.
b
Lema 2.7 Si existen m 6≡ 0 (N ) y ε > 0 tales que |A(m)|
≥ εN
√ , entonces existe
una progresión aritmética no solapada P ⊂ Z/N Z tal que |P | ≥ N /4 y |A ∩ P | ≥
(δ + ε/4)|P |.
21
TEMA 2. DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA DE ROTH
Demostración: En primer
√ lugar, afirmamos que existe una progresión no solapada
b
≥ |Q|/2. Para verlo, consideramos las N
Q ⊂ Z/N Z tal que |Q| ≥ N /4 y |Q(m)|
coordenadas (0, 0), (1, m), (2, 2m), . . . , ((N − 1), (N − 1)m), módulo N . Todas ellas
están en la malla
{(x, y) ∈ Z2 : x, y = 0, 1, . . . , N − 1}.
√
la malla en cuadrados iguales de lado l = N/b N c. Tendemos entonces
√ Dividimos
b N c2 < N cuadrados (la desigualdad siempre es estricta, pues N es primo), y por
lo tanto dos de los pares arriba nombrados deben estar en un mismo cuadrado. Es
decir, existen enteros diferentes s, t ∈ {0, 1, . . . , N − 1} tales que t − s ≤ l (N ) y
m(t − s) ≤ l (N ). Fijemos d := t − s y consideremos la progresión
√
N
Q := {zd : |z| ≤ b
c},
2π
√
que por construcción tiene b N /πc elementos. Se verifica lo siguiente (recuérdese que
Q denota por abuso tanto al conjunto como a su función indicador, mientras no se
indique otra cosa):
X
qm X qdm b
e
|Q(m)| = Q(q)e
=
N N
q∈Q
|q|≤ 12 |Q|


X
X
qdm 
2πqdm

≥ Re 
.
e
cos
=
N
N
1
1
|q|≤ 2 |Q|
|q|≤ 2 |Q|
Por otro lado,
$√ %
2πqdm 1
1
N 1
1
N
N ≤ 2π 2 |Q|l N ≤ π 2π b√N c N ≤ 2 .
Y entonces
(2.12)
b
|Q(m)|
≥
X
|q|≤ 12 |Q|
1
1
|Q|
cos
≥ |Q| cos
≥
.
2
2
2
Ya tenemos Q, y a partir de él vamos a construir P , que será un trasladado suyo. En primer lugar, dado un conjunto A, definimos su función indicador balanceada
como fA (a) := A(a) − δ, que es la trasladada de la función indicador
P A(a) con media nula. Esto es inmediato
de probar, simplemente viendo que n(mod.N ) fA (n) =
P
P
A(n)
−
n(mod.N )
n(mod.N ) δ = A − δN = 0.
22
2.2. DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA DE ROTH
Pasamos a construir P . Pongamos P = Q + q, para algún q a determinar (serán
entonces equivalentes las funciones Q(k − q) y P (k), para cualquier k ∈ N ; además
los conjuntos P y Q tendrán el mismo cardinal). Se tiene que
X
ε
ε
|A ∩ P | ≥ (δ + )|P | ⇔
A(k)P (k) ≥ δ|P | + |P |
4
4
k(mod.N )


X
X
ε
δ  P (k) ≥ |Q|
⇔ 
A(k) −
4
k(mod.N )
k(mod.N )
X
ε
(A(k) − δ) Q(k − q) ≥ |Q|
⇔
4
k(mod.N )
X
ε
⇔
fA (k)Q(k − q) ≥ |Q|.
4
k(mod.N )
Pongamos G(q) =
P
k fA (k)Q(k
− q). Por hipótesis y utilizando (2.12), se tiene
que
X
|G(q)| =
f
(k)Q(k
−
q)
A
q(mod.N )
q(mod.N ) k(mod.N )
X
X
b
≥ |fc
A (m)||Q(m)|
1
1
b
|Q| ≥ ε|Q|,
≥ |A(m)|
2
2
donde hemos utilizado que las funciones A y fA tienen por construcción la misma
transformada sobre cualquier m 6≡ 0 (M ), además de la desigualdad siguiente:
X
f ∗ g(x) =
x
XX
x
=
f (y)g(x − y)
y
1 X b 2
g (r)|2
|f (r)| |b
N r
≥ |fb(m)||b
g (m)|,
donde x, y y r son variables mudas que recorren los enteros módulo N .
Como,
es de media nula por serlo fA , (es fácil de
P por construcción,
PG(q) también
P
ver que q(mod.N ) G(q) = q(mod.N ) k(mod.N ) (A(k) − δ)Q(k − q) = 0), se tiene que
P
1
q(mod.N ) G(q) + |G(q)| ≥ 2 εN |Q|, por lo que existirá un q tal que G(q) + |G(q)| ≥
1
1
2 ε|Q|. Esto implicará que G(q) ≥ 4 ε|Q|, y por tanto, fijando este q y tomando
P = Q + q, queda probado el lema.
23
TEMA 2. DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA DE ROTH
El siguiente paso es dividir la progresión P en dos progresiones genuinas, conservando una densidad relativa suficientemente grande. En este sentido, tenemos el
siguiente lema:
Lema 2.8 Si P ⊂ Z/N Z es una progresión aritmética no solapada tal que |A ∩ P | ≥
(δ + ε0 )|P |, encontes existe una progresión genuina P1 con P1 ≥ 21 ε0 |P | y |A ∩ P1 | ≥
(δ + 21 ε0 )|P1 |.
Demostración: Basta escribir P = P1 t P2 , con P1 y P2 progresiones genuinas.
Supongamos por ejemplo que |P1 | ≤ |P2 |. Si |P1 | ≤ 21 ε0 |P |, entonces
1
1
|A ∩ P2 | ≥ (δ + ε0 )|P | − |P1 | ≥ (δ + ε0 )|P | ≥ (δ + ε0 )|P2 |,
2
2
con lo que P2 satisfarı́a el lema.
En caso de que no se cumpla |P1 | ≤ 12 ε0 |P |, tanto P1 como P2 verifican
1
|P1 |, |P2 | ≥ ε0 |P |.
2
Y A debe tener densidad al menos δ + ε0 en uno de ellos. En cualquiera de los dos
casos, llamando P1 a aquél de los dos que nos de el resultado buscado, se tiene el lema.
Combinando ahora todo lo que sabemos, podemos llegar al resultado final. En
primer lugar, de (2.11) se deduce que
(2.13)
δ
δ
δ2
b
|A(m)|
≥ |A| ≥ δN = N.
8
8
8
Luego nuestro ε será δ 2 /8. Del lema 2.7 deducimos que existe una progresión P ,
√
2
δ2
no solapada, tal que |P | ≥ N /4 y |A ∩ P | ≥ (δ + δ 4/8 )|P | = (δ + 32
)|P |. P se
puede descomponer en dos progresiones genuinas P1 y P2 y, utilizando el lema 2.8,
existirá una de ellas, digamos P1 , tal que
√
√
1 δ2 N
1
P1 ≥ ε|P | ≥
= 2−8 δ 2 N
2
8 8 4
y
1
|A ∩ P1 | ≥ (δ + ε)|P1 | = (δ + 2−6 δ 2 )|P1 |.
2
Podemos reflejar esto en una proposición final:
Proposición 2.9 Fijados un δ ∈ (0, 1], un entero N suficientemente grande en función de δ, y un conjunto A ⊂ [N ] con |A| ≥ δN , entonces se cumple uno de los dos
siguientes hechos:
24
2.2. DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA DE ROTH
A contiene tres elementos en progresión aritmética.
Existe una progresión aritmética genuina P1 ⊂ [N ], con
√
(2.14)
|P1 | ≥ 2−8 δ 2 N y |A ∩ P1 | ≥ (δ + 2−6 δ 2 )|P1 |.
Nótese que, el caso en que se cumpla (2.7) está incluido en la segunda opción
aquı́ expuesta, ya que se obtiene una progresión mayor y con mejor densidad, por lo
que la opción aquı́ expuesta es más restrictiva y siempre podemos, sin pérdida de generalidad, suponer que se da uno de los dos casos que nombramos en la proposición 2.9.
El paso iterativo final se basa en aplicar repetidamente la proposición 2.9. Dados
δ, N y A como en el enunciado, supongamos que A no contiene progresiones aritméticas de 3 elementos (si no, ya habrı́amos acabado). Por lo que
√ hemos visto, en el peor
−8
2
escenario podemos considerar una progresión N1 > 2 δ N tal que A1 = A ∩ [N1 ]
1 2
contiene al menos (1 + 216 δ)δN1 = (δ + 64
δ )N1 elementos (sin más que llamar N1 al
P1 de la proposición).
Repitiendo el paso una vez más, tenemos una progresión de
q
p
√
−8 2
−8 2
N2 ≥ 2 δ1 N1 ≥ 2 δ1 2−8 δ 2 N
elementos tal que A2 = A1 ∩ [N2 ] tiene al menos δ2 N2 elementos, con δ2 ≥ δ1 + 2c δ12 ≥
(δ + 216 δ 2 ) + 216 (δ + 216 δ 2 ) ≥ δ + 2 216 δ 2 . Repitiendo este argumento un número k de
pasos, tendremos que la densidad δk será al menos de δ + k 216 δ 2 . Por lo tanto, para
6
doblar la densidad, son necesarios 2δ pasos. Para doblarla de nuevo y llegar a 4δ,
6
6
6
son necesarios en total 2δ + 22δ pasos (es decir, 22δ pasos adicionales. En general, tras
26
−1 + . . . + 2−(l−1) ) ≤ 26 2 = 27 pasos, la densidad será forzosamente mayor
δ (1 + 2
δ
δ
que 3/4, con lo que el correspondiente conjunto Ak contendrá forzosamente una progresión aritmética, ası́ como sus predecesores; en particular, A también contendrá una
progresión aritmética, lo que bastarı́a para probar el teorema de Roth.
Para que el argumento sea válido, necesitamos que el valor de Nk tenga sentido; por
ejemplo, que sea mayor que uno. Sabemos, por ejemplo, que el conjunto Nk contiene
3
2
3−k
k
k
más de δ 2 δ 2/2 δ 2/3 · . . . δ 2/k 2−2 2−2 · . . . · 2−2 N 1/2 ≤ δ 4 216 N 1/2 elementos. Por
k
tanto, basta probar que δ 4 N 1/2 ≥ 216 . Tomando logaritmos:
1
log N + 4 log δ ≥ 16 log 2 ⇒
2k
7 δ −1
⇒ log N ≥ [16 log 2 + 4 log(δ −1 )]2k = [16 log 2 + 4 log(δ −1 )]22
25
.
TEMA 2. DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA DE ROTH
Por otro lado, la función 24λ − 16 log 2 − 4 log λ es positiva en el rango λ ∈ [1, ∞).
−1
Por tanto, 24δ ≥ 16 log 2 + 4 log δ −1 en el rango δ ∈ (0, 1), y es suficiente que se
cumpla
log N ≥ 2(2
7 +4)δ −1
7 δ −1
≥ 22
24δ
−1
≥ 22
7 δ −1
[16 log 2 + 4 log(δ −1 )]
Equivalentemente,
log log N ≥ (27 + 4) log 2 · δ −1 .
Luego es suficiente que
N ≥ exp[exp(132 log 2 · δ −1 )] = exp[exp(Cδ −1 )].
26
Tema 3
Demostración combinatoria de
Szémeredi
Unos quince años después de publicarse la demostración original del teorema de
Roth, Endre Szémeredi presentó otra alternativa que, si bien no mejoraba la cota de
Roth (de hecho era una cota terriblemente pobre a nivel práctico), contenı́a algunos
elementos de lo que serı́a la demostración general para la existencia de progresiones
con k elementos, donde k es cualquier número natural.
La clave de la demostración se basa, al igual que en la original, en un argumento de
densidad que se puede aplicar repetidas veces sobre A y sus sucesivos subconjuntos.
Concretamente probaremos que, fijos δ, N y A, siendo A cualquier conjunto que
contenga al menos δN elementos, siempre ocurre uno de los siguientes hechos:
4
O bien N ≤ (64/δ 2 )e , lo cuál no es ninguna restricción, ya que en nuestras
hipótesis exigiremos que N sea mayor que una cantidad notablemente mayor
que ésta.
O bien A contiene una progresión aritmética, que es lo que buscamos probar.
O bien, en el caso más general, existirá una progresión larga P ⊂ [N ] donde la
densidad relativa de A aumente hasta, al menos δ+cδ 2 , con c = 1/16. Mientras el
tamaño de las sucesivas progresiones no sea demasiado pequeño, siempre podremos reiterar indefinidamente este paso a voluntad hasta que la densidad relativa
crezca hasta llegar a 3/4, por lo que como ya vimos en el capı́tulo anterior, A
contendrı́a una progresión aritmética.
Nuestro estudio se basará en probar que esta tercera opción se dará siempre que
no se dé alguna de las otras dos. A lo largo de este capı́tulo hablaremos varias veces
de la densidad relativa o densidad de un conjunto en otro. En un sentido preciso, esto
27
TEMA 3. DEMOSTRACIÓN COMBINATORIA DE SZÉMEREDI
quiere decir lo siguiente: si tenemos dos conjuntos A, P ⊂ N, ambos finitos, la densidad
de A en P se define como
(3.1)
1
|A ∩ P |.
|P |
d(A|P ) :=
Nótese que no es preciso que A esté contenido en P para que la definición tenga
sentido.
3.1.
Resultados previos
La demostración está estructurada en tres grandes resultados previos junto con
un lema final que se apoya en los tres anteriores y que constituye el argumento clave
para la demostración de Szémeredi. En primer lugar, veremos dos proposiciones sobre
densidades relativas de un conjunto en una serie de subconjuntos de P que forman
una unión disjunta de éste. A continuación analizaremos resultados para poder dividir
P en distintos subconjuntos que sean progresiones aritméticas de razón común. Por
último, introduciremos el concepto de k-cubo o cubo de Hilbert, y veremos condiciones
suficientes para que un conjunto A genérico contenga al menos un k-cubo. Todos estos
ingredientes formarán en la siguiente sección el lema final con el que poder demostrar
el teorema de forma satisfactoria.
En lo que sigue, habitualmente A representará el conjunto que queremos probar
que contiene progresiones aritméticas y P la progresión que queremos subdividir en
varias progresiones más pequeñas, de modo que la densidad de A en alguna de ellas sea
significativamente mayor de lo que lo era en P . En este sentido tenemos el siguiente
lema:
Lema 3.1 Sean A, P ⊂ N dos conjuntos finitos de modo que P puede escribirse como
unión disjunta finita de los conjuntos P1 , . . . , Pk . Es decir,
P =
k
G
Pj .
j=1
Entonces se verifica
d(A|P ) =
k
X
|Pj |
j=1
|P |
· d(A|Pj )
28
3.1. RESULTADOS PREVIOS
Demostración: Por (3.1), es equivalente demostrar
k
k
j=1
j=1
|A ∩ P | X |Pj |
1 X
=
· d(A|Pj ) =
|Pj | · d(A|Pj ).
P
P
|P |
Y esto es cierto, ya que


k
[


|Pj | · d(A|Pj ) =
|A ∩ Pj | = A ∩
Pj = |A ∩ P |
j=1
j=1
j=1
k
X
k
X
Observación: De este lema se deduce en particular que alguna de las densidad
del nivel inferior es al menos del mismo tamaño que la original. Es decir, existe algún
Pi tal que
d(A|Pi ) ≥ d(A|P ).
Añadiendo unas hipótesis poco restrictivas a P , podemos decir algo más que esto;
de hecho podemos determinar que alguna de esas densidades es algo mayor que la
original:
Proposición 3.2 Sea δ ∈ (0, 8/9] cualquiera y sean M < N dos números naturales.
Sea A ⊂ [N ] un subconjunto con |A| = δN elementos y supongamos que existe un
conjunto P con A ⊂ P ⊂ [N ] y tal que |P | ≤ (1 − δ/8)N . Sea P1 ∪ P2 ∪ . . . ∪ Pk una
partición de P (es decir, P es unión disjunta de los Pj ) tal que kM ≤ N . Entonces
existe un i ∈ [k] tal que:
(3.2)
d(A|Pi ) ≥ (δ +
1 2
δ )
16
y
|Pi | ≥
δ3
M
16
Demostración: En primer lugar vamos a ver que necesariamente alguno de los
Pj debe verificar |Pj | ≥ (δ 3 /16)M . En caso de que ninguno lo verificase, se tendrı́a
|P | ≤ k máx |Pi | ≤
i∈[k]
δ3
N δ3
M =N
< N δ = |A|,
M 16
16
que es obviamente una contradicción. Vamos a dividir entonces los Pj en dos grupos,
según excedan o no esta cantidad. Definimos los conjuntos:
J1 := {j ∈ [k] : Pj ≥ (δ 3 /16)M }
J2 := [k] \ J1 .
29
TEMA 3. DEMOSTRACIÓN COMBINATORIA DE SZÉMEREDI
con J1 no vacı́o por construcción. Se tiene, como |A| = δN y |P | ≤ (1 − δ/8)N , que
d(A|P ) =
δ
δ + δ 2 /8
|A|
≥
=
≥ δ + δ 2 /8.
|P |
1 − δ/8
1 − δ 2 /64
Utilizando el lema 3.1,
X
d(A|P ) =
d(A|Pj )
j∈J1
X
Pj
Pj
+
d(A|Pj ) .
P
P
j∈J2
Podemos establecer la siguiente cota sobre los conjuntos de menor tamaño; es decir,
aquellos cuyo ı́ndice está en J2 :
X
d(A|Pj )
X Pj
Pj
N δ 3 M/16
δ2
≤
≤
= .
P
|A|
M δN
16
j∈J2
j∈J2
Recopilando todo lo obtenido hasta ahora, tenemos que
δ+
X
Pj
δ2
δ2
≤ d(A|P ) ≤
+
d(A|Pj ) .
8
16
P
j∈J1
Y por tanto,
δ+
X
Pj
δ2
≤
d(A|Pj )
≤ d(A|P ) ≤ máx d(A|Pj ).
j∈J1
16
P
j∈J1
Luego efectivamente existe un ı́ndice i ∈ [k] que verifica (3.2).
Pongamos M = log log N en la proposición anterior. Nuestro objetivo ahora será recubrir A con una unión disjunta de progresiones P1 , . . . , Pk tales que k ≤ log N
log N y tal
2
que la unión de todas ellas tenga, al menos, (δ + δ /16) elementos. Entonces, por lo
que acabamos de probar, alguna de esas progresiones, pongamos Pi , tendrá al menos
(δ 3 /16) · log log N elementos, con d(A|Pj ) ≥ δ + δ 2 /16. Con lo cuál, existe una progresión bastante larga en la cuál la densidad relativa de A se incrementa sensiblemente,
que es nuestro objetivo principal.
Para poder demostrar el teorema satisfactoriamente, necesitamos que las k progresiones sean de la misma razón, es decir, que todas ellas sean de diferencia común
d. Para lograr esto, estudiaremos algunos resultados técnicos sobre progresiones a
continuación:
Definición 3.3 Sea A ⊂ N un conjunto finito y d un número natural. Dados dos
elementos a, b ∈ A, decimos que son equivalentes, y escribimos a ∼d b o bien a ∼ b si
existe una progresión
P = {a, a + d, a + 2d, . . . , a + sd = b} ⊂ A
30
3.1. RESULTADOS PREVIOS
o bien
P = {b, b + d, b + 2d, . . . , b + sd = a} ⊂ A.
Observación: Obviamente, la noción de equivalencia que hemos dado depende
del parámetro d, que debe ser fijo. Aún ası́, a lo largo de la exposición utilizaremos la
notación ∼ omitiendo el valor d siempre que no haya lugar a confusión.
Proposición 3.4 Se verifican las siguiente propiedades:
1. La relación dada en la definición anterior es una relación de equivalencia. De
hecho, descompone a A en k clases de equivalencia:
A=
k
G
Jj .
j=1
2. El valor k viene determinado por la siguiente propiedad:
k = |(A + d) \ A|.
3. El complementario de A, que designamos con A, queda descompuesto en como
máximo k + d clases de equivalencia mediante ∼.
Demostración:
(1) Las propiedades reflexiva y simétrica son evidentes por definición. La transitiva
es muy sencilla de probar. Supongamos que tenemos a, b, c ∈ A, todos distintos (si no
ya estarı́a probado), y verificando a ∼ b, b ∼ c. Sean P y Q, respectivamente, las
progresiones que generan la equivalencia de a con b y la de b con c. Supongamos que
a < b < c. Entonces a y c son equivalentes tomando
P ∪ Q = {a, a + d, . . . , a + sd = b, a + (s + 1)d, . . . , a + (s + t)d = c}.
En cualquier otro caso, a y c están ambos en P o ambos en Q y se obtiene la equivalencia tomando un subconjunto adecuado.
(2) Sea B := (A + d) \ A. Afirmamos que existe una aplicación sobreyectiva
ϕ : A −→ B, con la caracterı́stica de que cada ϕ−1 (B) es una de las clases Jj . En
efecto, si definimos para a ∈ A
(3.3)
se tiene que:
31
ϕ(a) = mı́n{b ∈ B : {a, a + d, . . . , a + sd = b} ⊂ A},
TEMA 3. DEMOSTRACIÓN COMBINATORIA DE SZÉMEREDI
La aplicación está bien definida; es decir, para cada a ∈ A, existe al menos un
b ∈ B cumpliendo
la condición (3.3). Si no fuera ası́, deberı́a existir un n ≥ 1
Sn−1
tal que j=0 {a + kd} ⊂ A ∩ B y a + nd 6∈ A ∪ B. Pero si a + (n − 1)d está en
A, entonces a + nd tiene que estar en B por definición, y entonces se producirı́a
una contradicción.
La aplicación es sobreyectiva. Si existiese un b ∈ B tal que ϕ−1 (b) = ∅, entonces
b − d ∈ B. Pero al mismo tiempo, por definición b está en A + d, por lo que b − d
está en A. Por tanto, b − d está a la vez en A y B, lo que es una contradicción.
(3) La prueba es muy similar a la del apartado anterior. En este caso la función ϕ
no es adecuada, ya que A es infinito y los mı́nimos no tienen por qué estar definidos.
Ası́ pues, para n ∈ Z definimos ψ(n) como toda la clase de equivalencia de n; es decir:
ψ(n) := {z ∈ N : n ∼ z} ⊂ Z.
Consideramos el conjunto C = A \ (A + d). Por simetrı́a con B, C posee exactamente
k elementos. Tomemos ahora, por ejemplo, el conjunto
S := {1, 2, . . . , d}.
Puede reemplazarse por cualquier conjunto de d − 1 elementos, todos incongruentes
entre sı́ e incongruentes con 0 módulo d. Por simetrı́a con el caso anterior, es fácil
ver que para cada i ∈ S, el conjunto Si = i + dZ = {. . . , i − 2d, i − d, i, i + d, . . .}
se descompone
en, a lo más i(k) + 1 clases, donde i(k) P
= |C ∩ Si |. Por tanto,
Pd como
Sd
d
A ⊂ i=1 Si , se tiene que A se descompone en, a lo más, i=1 [i(k) + 1] = i=1 i(k) +
d = k + d clases.
Definición 3.5 Dados números naturales a, d1 , . . . , dk , se define el k-cubo como el
conjunto
M (a, d1 , . . . , dk ) = {a + c1 d1 + c2 d2 + . . . + ck dk : cj ∈ {0, 1}, j = 1, 2, . . . , k}
A M (a, d1 , . . . , dk ) también se le suele denotar por Mk . Nótese que
Mj+1 := M (a, d1 , . . . , dj+1 ) = Mj ∪ (Mj + di ).
A continuación estudiaremos condiciones suficientes para que A contenga un kcubo.
Lema 3.6 Sean δ ∈ (0, 1) y k, N ∈ N tales que
(3.4)
k
N > (4/δ)e .
Entonces, cualquier conjunto A ⊂ [N ] con al menos δN elementos contiene un k-cubo.
32
3.1. RESULTADOS PREVIOS
Demostración: Consideremos δ, k, N y A fijos, verificando las hipótesis del enunciado. Sea el conjunto
T := {(a, b) ⊂ A × A : a < b} ⊂ A × A.
Por construcción, T contiene al menos 1+2+. . .+(|A|−1) = |A|(|A|−1)/2 elementos.
Por otro lado, la desigualdad 12 (|A| − 1) ≥ 14 (|A| − δ) equivale a 2|A| ≥ 2δ + 4, que
es cierta para |A| > 2, lo cuál no hace perder generalidad. Por tanto, T contiene al
menos |A|(|A| − 1)/2 ≥ |A|(|A| − δ)/4 = δN (δN − δ)/4 = δ 2 N (N − 1)/4 elementos.
Ahora particionamos T como
NG
−1
T =
Uj ,
j=1
con Uj = {(a, b) ∈ T : b − a = j}, j ∈ [N − 1]. Por el principio del palomar, existe
un d1 ∈ [N − 1] tal que |Ud1 | ≥ δ 2 N/4. Es decir, que d1 es diferencia común de al
menos δ 2 N/4 parejas de elementos, que componen Ud1 . Supongamos que tales parejas
se escriben como (a1 , b1 ), (a2 , b2 ), . . . , (am , bm ), con m = |Ud1 |.
Si ponemos A1 = {a1 , a2 , . . . , am } y δ1 = δ 2 /4, entonces A1 tiene al menos δ1 N
elementos y
A1 ∪ (A1 + d1 ) = {a1 , a2 , . . . , am } ∪ {b1 , b2 , . . . , bm } ⊂ A
Sea ahora
T1 := {(a, b) ⊂ A1 × A1 : a < b} ⊂ A1 × A1 .
Por analogı́a con T , T1 contiene al menos |A1 |(|A1 | − 1)/2 = δ12 N (N − 1)/4 elementos,
siempre que |A1 | > 2. Si dividimos de nuevo los elementos de T1 en función de la
diferencia entre los dos elementos de cada par, debe existir una diferencia d2 común
a δ12 N/4 parejas. Si, igual que antes, creamos A2 con el primer elemento de cada una
de esas parejas, entonces A2 tiene al menos δ2 N elementos (con δ2 := δ12 /4) y
A2 ∪ (A2 + d2 ) ⊂ A1 ⊂ A.
De forma análoga a estos dos primeros casos, para cada j = 3, . . . , k, existirán
una diferencia dj , un conjunto Aj y un δj = δj−1 /4 tales que Aj tiene al menos δj N
elementos y
Aj ∪ (Aj + dj ) ⊂ A.
j
j−1
2 /4 = δ 4 /43 = . . . = δ 2 /42
Es fácil ver por inducción que δj = δj−1
j−2
utilizando la cota (3.4),
k
k
δ 2 4e
|Ak | ≥ δk N ≥ 4 2k · ek = 4
4
δ
33
4
/δ
ek −2k
≥ 4.
. Entonces,
TEMA 3. DEMOSTRACIÓN COMBINATORIA DE SZÉMEREDI
Por tanto, Ak tiene más de dos elementos, ası́ como todos los anteriores. En particular,
Ak es no vacı́o. Basta tomar un s ∈ Ak y definir el k-cubo Mk = M (s; d1 , . . . , dk ), que
por construcción está contenido en A.
Observación: La condición (3.4) puede escribirse de otra manera que nos será útil
k
más adelante. Tomando logaritmos, la condición N > (4/δ)e equivale a log N ≥
k
log(4/δ)e = ek log(4/δ) = ek+log log(4/δ) , que a su vez equivale a
(3.5)
log log N ≥ k + log log(4/δ)
A continuación veremos el último resultado previo, que utilizaremos en el lema
final de la siguiente sección.
Corolario 3.7 Sean δ ∈ (0, 1) y N un entero tal que
4
N > (16/δ 2 )e .
(3.6)
Entonces, cualquier A ⊂ [N ] con más de δN elementos contiene un k-cubo, para algún
k ≥ 1 + 21 log log N .
Demostración: Utilizando el lema 3.6 y la condición equivalente (3.5), A contiene
un k-cubo siempre que log log N ≥ k + log log(4/δ). El mayor k posible que verifica
esto es k ≥ log log N − log log(4/δ) − 1. Por otro lado, la hipótesis (3.6) equivale a
4
N ≥ ((4/δ)2 )e = exp(e4 (log(4/δ))2 ), que a su vez equivale a log N ≥ e4 (log(4/δ))2 .
Tomando logaritmos una vez más, (3.6) equivale a
(3.7)
log log N ≥ 4 + 2 log log(4/δ).
Multiplicando esta ecuación por (−2), − log log(4/δ) − 1 ≥ 1/2 log log N . Por tanto,
A contiene un k-cubo para
k ≥ log log N − log log(4/δ) − 1 ≥ 1 + 1/2 log log N,
con lo que queda probado el lema.
3.2.
Demostración combinatoria de Szémeredi
Juntando todos las piezas de la sección anterior llegamos al siguiente lema, que es
el corazón de la prueba de Szémeredi. A partir de él podremos construir el argumento
iterativo clave para demostrar que todo conjunto A con δN elementos contiene una
progresión aritmética de tres elementos.
34
3.2. DEMOSTRACIÓN COMBINATORIA DE SZÉMEREDI
Lema 3.8 Sean δ ∈ (0, 1) y N un entero tal que
4
N > (64/δ 2 )e .
(3.8)
Entonces, cualquier A ⊂ [4N 2 ] con más de 4δN 2 elementos verifica que:
O bien contiene 3 elementos en progresión aritmética.
O bien existe una progresión P tal que |P | ≥ (δ 3 /40) log log N y además d(A|P ) ≥
δ + δ 2 /16
Demostración: En primer lugar dividimos [4N 2 ] en cuatro subconjuntos de igual
longitud, B0 , B1 , B2 y B3 , con Bi = {iN 2 +1, iN 2 +2, . . . , (iN 2 +N }, con i = 0, 1, 2, 3.
Asimismo, definimos Ai = A∩Bi para cada i. Podemos suponer que los cuatro conjuntos verifican Ai ≥ δN 2 /2. En caso contrario, al no verificar la desigualdad uno de ellos,
los otros tres han de contener juntos más de 4δN 2 −δN 2 /2 = (7δ/2)N 2 elementos. Por
tanto, alguno de ellos, pongamos As , tendrá más de (7δ/6)N 2 = (δ + δ/6)N 2 elementos. Y entonces el lema estarı́a trivialmente probado al satisfacerse la segunda opción
con P = Bs , ya que |Bs | = N/4 ≥ δ 3 /40 log log N y d(A|Bs ) ≥ δ + δ/6 > δ + δ 2 /16.
Por tanto, asumimos en lo sucesivo que Bi ≥ δN 2 /2 para i = 0, 1, 2, 3. Dividimos
B1 en N intervalos iguales, de N elementos cada uno. Como d(A|Bi ) ≥ δ/2, uno de los
N intervalos, al que llamaremos C, verifica d(A|C) ≥ δ/2, por la observación posterior
al lema 3.1.
4
4
Como N > (64/δ 2 )e > (16/δ 2 )e , podemos aplicar el corolario 3.7, y el conjunto
A ∩ C contendrá un k-cubo, para un cierto k ≥ 1 + 1/2 log log N . A este k-cubo lo
denotaremos por
Mk = M (a; d1 , d2 , . . . , dk ),
donde a, d1 , d2 , . . . , dk son unos de los posibles datos que convierten a Mk en k-cubo.
A su vez, para j = 1, 2, . . . , k − 1, denotamos por Mj al conjunto M (a; d1 , d2 , . . . , dj ).
A continuación creamos una sucesión finita no decreciente de conjuntos, de la
siguiente forma: Para cada j ∈ [k],
Qj = {2b − c : b ∈ Mj , c ∈ A0 } = 2Mj − A0 ⊂ [4N 2 ].
La contención se tiene ya que 2Mj ⊂ 2C ⊂ [2N 2 , 4N 2 − 2] y A0 ⊂ [1, N 2 ], y
por tanto Qj ⊂ [N 2 , 4N 2 − 3] ⊂ [4N 2 ]. Por construcción, Qj ⊂ Qj+1 para cada
j ∈ [k − 1], ya que Mj ⊂ Mj+1 . Es evidente entonces que los conjuntos Qj+1 \ Qj ,
con j ∈ [k − 1], son disjuntos. Como todos están contenidos en el intervalo [4N 2 ],
35
TEMA 3. DEMOSTRACIÓN COMBINATORIA DE SZÉMEREDI
el número de elementos que contenga alguno de ellos será no superior a la media de
todos. Es decir, existe un j ∈ [k − 1] tal que
|Qj+1 \ Qj| ≤
(3.9)
4N 2
4N 2
8N 2
≤
=
.
k−1
1/2 log log N
log log N
Sean D = [4N 2 ] \ Qj y d = 2dj+1 . Podemos proceder como en la proposición 3.4 y
crear una unión disjunta de D = D1 ∪ . . . ∪ Dm , con m ≤ |(Qj + d) \ Qj | = |Qj+1 \ Qj |,
donde cada Dl es una progresión aritmética de la misma razón d.
Ya estamos en condiciones de aplicar la proposición 3.2. Por construcción de Qj ,
A ∩ Qj = ∅ (si esto no fuera ası́, existirı́a un a ∈ Qj que podrı́a escribirse como
a = 2b − c, con a ∈ A, b ∈ Mj ⊂ A y c ∈ A0 ⊂ A, y A contendrı́a una progresión
aritmética formada por a, b y c, no todos iguales por construcción de Qj ), de donde
A ⊂ D. También por construcción de Qj , se puede comrpobar fácilmente que |Qj | ≥
|A0 | ≥ δ 2 N/2, de donde |D| ≤ 4N 2 − |A0 | = (1 − δ/8)4N 2 . Utilizando la proposición
3.2, existe un ı́ndice l ∈ [m] tal que d(A|Dl ) ≥ δ + δ 2 /16 y además
|Dl | ≥
δ 3 4N 2
δ3
4N 2
·
≥
·
16 m
16 |Qj+1 \ Qj| + d
Usando (3.9) y que d = 2dj+1 ≤ 2N :
≥
δ3
4N 2
δ3
4N 2
·
≥
·
=
16 8N 2 / log log N + 2N
16 8N 2 / log log N + 2N 2 / log log N
δ3
4
δ 3 log log N
·
=
.
16 10/ log log N
40
El lema está completo simplemente llamando P a Dl .
Utilizando este lema podemos demostrar finalmente el teorema de Roth. Llamemos E1 a la progresión Dl sobre la que A tiene densidad relativa δ1 ≥ δ + δ 2 /16. Sea
A1 = A ∩ E1 . Como A1 no contiene progresiones aritméticas, volvemos a aplicar toda
la maquinaria sobre él, obteniendo en el peor de los casos una progresión E2 sobre la
que A1 tiene densidad relativa δ2 ≥ δ1 + δ12 /16 ≥ δ + 2δ 2 /16. Realizando este paso
repetidas veces, pongamos j veces, la densidad relativa δj será mayor que δ + jδ 2 /16.
Y por tanto, tras j = 16/δ iteraciones, la densidad relativa será al menos el doble de
la original. Por analogı́a con la demostración del capı́tulo anterior obtenemos que, tras
realizar k = 32/δ iteraciones, la densidad relativa de Ak−1 en Ek es mayor que 3/4,
y por lo tanto el conjunto correspondiente Ak contiene una progresión aritmética de
tres elementos, luego A también la contiene.
36
3.2. DEMOSTRACIÓN COMBINATORIA DE SZÉMEREDI
Al igual que en la demostración de Roth, es necesario asegurarnos de que, tras k
iteraciones,
|Ek | ≥ 1 para que el resultado sea aplicable. Se tiene, cambiando N por
p
0
N = N/2 que
δ 3 log log N 0
|E1 | ≥
40
|E2 | ≥
δ13 log log |E1 |
δ 3 log log[(δ 3 /40) log log N 0 ]
≥
40
40
...
|Ek | ≥ (δ 3 /40) log log[(δ 3 /40) log log[. . . [(δ 3 /40) log log N 0 ]]]
Luego la condición que debe cumplirse es
1 ≤ (δ 3 /40) log log[(δ 3 /40) log log[. . . [(δ 3 /40) log log N 0 ]]]
(3.10)
Tomando exponenciales, vemos que la condición 1 ≤ (δ 3 /40) log log N 0 equivale a
N ≥ e(e
40/δ 3 )
. Análogamente, es fácil ver que
1 ≤ (δ 3 /40) log log[(δ 3 /40) log log N 0 ]
equivale a
3
N 0 ≥ exp[exp[(40δ 3 exp(e40/δ ))]].
Y por tanto, la expresión genérica (3.10) es análoga a
p
3
(3.11)
N 0 = N/2 ≥ exp[exp[40/δ 3 exp[exp[40/δ 3 exp[. . . (exp(e40/δ ))]]]]].
Como adelantábamos al principio, se trata de una cota muy pobre que no mejora
la dada por Roth. Sin embargo, esta demostración de Szémeredi fue el primer paso
para la demostración genérica (para todo k ≥ 3) del teorema que hoy lleva su nombre.
37
TEMA 3. DEMOSTRACIÓN COMBINATORIA DE SZÉMEREDI
38
Tema 4
Ejemplo de Behrend
En contraposición al teorema de Roth, Behrend consiguió construir un subconjunto
de N de gran tamaño que no contiene progresiones aritméticas de tres elementos.
Además su construcción es sencilla, al existir una aplicación biyectiva entre los puntos
del conjunto y los de una esfera, en la que es inmediato ver que no puede haber tres
elementos alineados.
4.1.
Ejemplo de Behrend
Teorema 4.1 (Behrend) Sea N un número natural suficientemente
grande. Enton√
ces, existe un conjunto A ⊂ [N ], con al menos N exp(−c log N ) elementos (donde
c es una constante real positiva) que no contiene ninguna progresión aritmética no
trivial de tres elementos.
Demostración: La demostración se basa en un sencillo hecho geométrico: Una
esfera (en n dimensiones) y una recta siempre se cortan en como máximo dos puntos.
Formalmente, podemos enunciarlo ası́:
Lema 4.2 Sean n, r ∈ N cualesquiera. Entonces, el conjunto
T = {x ∈ Zn : |x| = r}
no contiene tres elementos en progresión aritmética (no trivial).
La demostración del lema es prácticamente evidente a la vista de lo expuesto en
el párrafo anterior. Sea
E(r) = {x ∈ Rn : |x| = r} ⊂ Rn .
39
TEMA 4. EJEMPLO DE BEHREND
Por construcción, E(r) es la superficie de la bola de centro 0 y radio r contenida en
Rn . Entonces, como T ∈ E(r) ⊂ Rn , si tomamos cualquier recta t contenida en Rn , se
verifica por geometrı́a que |E(r) ∩ t| ≤ 2. Y entonces T no puede contener tres elementos en progresión aritmética (es decir, x, y, z ∈ T distintos tales que x + y = 2z), ya
que si ası́ ocurriera, como z − x = y − z, se deducirı́a que existe una recta que pasa por
los tres puntos, contenidos estos a su vez en una esfera, lo cuál es una contradicción.
Por tanto T no contiene progresiones aritméticas de tres elementos.
Procedamos ahora a demostrar el teorema. En primer lugar, cuando se dice que
N debe ser suficientemente grande no significa que haya ninguna restricción concreta
sobre el valor mı́nimo que puede tomar N , salvo que éste tenga un √
valor lo suficientemente grande como para que cantidades del orden de N exp(−c log N ) no sean
insignificantes y el supuesto conjunto A tengan un número aceptable de elementos.
Sean n y M números naturales menores que N y dependientes de éste. Más adelante
fijaremos sus valores. Para todo r natural, consideramos el conjunto siguiente:
S(r) = {x ∈ [M ]n :
n
X
x2j = r}.
j=1
Se verifica de manera trivial que S(r) es vacı́o si r 6∈ [n, nM 2 ]; de hecho, S(n) y S(nM 2 )
tendrán cada uno un sólo punto ((1, 1, . . . , 1) y (M, M, . . . , M ), respectivamente). Por
tanto:
n
[M ] ⊂
2
nM
[
S(r),
r=n
P
ya que n ≤ nj=1 x2j ≤ nM 2 . Ası́ pues, tenemos n(M 2 − 1) conjuntos que recubren
a uno de cardinal M n . Usando el principio del palomar, alguno de esos conjuntos
tendrá√entonces tantos elementos como la media de todos ellos. Es decir, existe un
radio r∗ tal que S(r∗ ) contiene al menos
Mn
M n−2
>
n(M 2 − 1)
n
elementos.
Obviamente, S(r∗ ) no contiene progresiones aritméticas, por ser un subconjunto
del T que dimos en el lema 4.2. Por tanto, si logramos inyectarlo de manera adecuada
en [N ], habremos conseguido un subconjunto de [N ] sin progresiones aritméticas.
Consideramos la aplicación P : S(r∗ ) −→ [N ], definida como:
x 7→ P (x) := x1 + (2M )x2 + (2M )2 x3 + . . . (2M )n−1 xn ,
40
4.1. EJEMPLO DE BEHREND
para x = (x1 , x2 , . . . xn ) ∈ S(r∗ ). La aplicación estará bien definida siempre y cuando
P (x) ≤ N, ∀x ∈ S(r∗ ). Esto puede conseguirse ajustando M en función de N , algo
que haremos más adelante. En primer lugar, vamos a demostrar que P es inyectiva.
En efecto, si consideramos x ∈ S(r∗ ) y j ∈ [n], entonces 0 < xj ≤ M < 2M , pues
S(r∗ ) ⊂ [M ]n . Por tanto, si P (x) = P (y), se tiene que
x1 + (2M )x2 + . . . + (2M )n−1 xn = y1 + (2M )y2 + . . . + (2N )n−1 yn ,
de donde xj = yj para cada j ∈ [n] de manera trivial por los posibles valores de los
coeficientes x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , yn y la unicidad en la expresión de un número en
base 2M .
Del mismo modo se puede ver que, dados x, y, z ∈ S(r∗ ), se tiene que x+y = 2z si y
sólo si P (x)+P (y) = 2P (z). Una implicación es evidente. para ver la otra supongamos
que P (x) + P (y) = 2P (z). Entonces.
(x1 + y1 ) + (2M )(x2 + y2 ) + . . . + (2M )n−1 (xn + yn ) =
= 2z1 + (2M )2z2 + . . . + (2M )n−1 .
La demostración se hace de forma idéntica a la de la prueba de la inyectividad salvo en
el supuesto de que existan xj = yj = M , o bien zj = M . En tales casos, mediante un
pequeño truco, puede probarse que también se tiene la propiedad. Si j es la coordenada
más pequeña en la que xj = yj = M , entonces (xj +yj )(2M )j−1 +(xj+1 +yj+1 )(2M )j =
(1 + xj+1 + yj+1 )(2M )j = 2zj (2M )j−1 + 2zj+1 (2M )j , de donde se deduce que zj tiene
que ser M , y deducimos que xj+1 + yj+1 = 2zj+1 . Por tanto, esto no modifica el argumento y se tiene la propiedad.
Por último, probaremos que, para cualquier x ∈ S(r∗ ) se tiene P (x) ≤ (2M )n .
Como el valor máximo se alcanza para x = (M, M, . . . , M ), deducimos que
P (x) ≤ M (1 + 2M + (2M )2 + . . . + (2M )n−1 )
(2M )n − 1
= M
< (2M )n .
2M − 1
√
Utilizando esta última propiedad, basta fijar M como b n N /2c para que la aplicación P esté bien definida. En concreto, debido a ello se tendrá que A := P (S(r∗ )) ⊂
[N ], y además A no contendrá progresiones aritméticas de 3 elementos,
por no conte√
nerlas S(r∗ ) y por la inyectividad de P . Si fijamos ahora n como log N , vemos que
el cardinal de A es:
41
TEMA 4. EJEMPLO DE BEHREND
|A| =
≥
=
=
=
=
=
%
$
n−2
1/n
1
M
N
1 N 1/n 1
|S(r∗ )| >
=
≥
n
2
n
4 2 n
"
!#
N 1−2/n
N 1−2/n
=
exp
log
n2n
n2n
2
exp log N − log N − log n − n log 2
n
2
N exp − log N − log n − n log 2
n
p
p
2
N exp − √
log N − log( log N ) − log N log 2
log N
p
p
N exp −2 log 2 log N − log log N
p
p
N exp − log 4 log N + O(log log N ) .
Y con esto queda probado el teorema. Vemos que, como adelantábamos al principio, sobre N no hay ninguna restricción concreta sobre los valores que puede tomar.
Simplemente debe √
ser lo suficientemente grande como para que las cantidades del
orden de N exp(−c log N ) no tengan un valor despreciable.
42
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