+ (-1) = 2 - Contenidos Abiertos

TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC
DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
Nombre De la Asignatura: Matemáticas tres (Álgebra Lineal)
Clave de la signatura: ACM-9303
AUTOR:
M. EN C. FIDEL CASTRO LÓPEZ
Números Complejos
1.1 Definición ............................................................................................................3
1.2 Operaciones fundamentales con números complejos
1.3 Elevación a potencia y extracción de la raíz del número complejo ....................9
1.4 Función exponencial con exponente complejo y sus propiedades ...................22
Matrices y Determinantes
2.1 Definición de matrices .....................................................................................24
2.2 Clasificación de matrices: cuadradas, triangulares, diagonales
escalar unitaria,nula,transpuesta, simétrica y antisimétrica ..................................25
2.3 Operaciones con matrices: suma, multiplicación por un escalar y producto
de matrices .............................................................................................................27
2.4 Transformaciones elementales de una matriz .................................................36
2.5 Matriz escalonada y canónica
2.6 Definición de determinantes de una matriz n por n .......................................37
2.7 Cálculo de determinantes n por n ..................................................................40
2.8 Propiedades de determinantes ........................................................................42
2.9 Inversa de una matriz cuadrada: .....................................................................48
a) Método de la adjunta ................................................................................49
b) Forma escalonada ( Gauss- Jordan) .........................................................53
Sistema de Ecuaciones Lineales
3.1 Definición de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas
y no homogéneas, tipos de solución .................................................................58
3.2 Compatibilidad e incompatibilidad de los sistemas ....................................59
3.3 Método de solución de Gauss y de Gauss-Jordan
3.4 Regla de Cramer ..........................................................................................81
Espacios Vectoriales
4.1 Definición de espacio vectorial y propiedades ...........................................92
4.2 Subespacio vectorial ...................................................................................97
4.3 Combinación lineal, dependencia e independencia lineal ........................101
4.4 Bases y dimensiones ................................................................................108
4.5 Cambio de base, bases ortonormales y ortogonalización
de Gram-Schmidt ..........................................................................................114
Transformaciones lineales
5.1 Definición de una transformación ( aplicación lineal ) ............................121
5.2 Propiedades de las transformaciones lineales ..........................................124
5.3 Núcleo ( Ker) e imagen de una transformación lineal .............................126
5.4 Matriz asociada a una transformación lineal y representación de una
transformación lineal en forma matricial .....................................................130
5.5 Transformaciones lineales inversa ..........................................................133
Vectores característicos, formas cuadráticas y vectores característicos
6.1 Vectores y vectores característicos ........................................................136
6.2 Polinomio característico y ecuación característica ................................139
6.3 Diagonalización de una matriz n por n .................................................149
6.4 Formas cuadráticas y canónicas ............................................................157
6.5 Teorema de Cayley-Halmilton ..............................................................160
Bibliografía ..................................................................................................162
Introducción
En el curso de matemáticas tres, establezco como principal problema en el
proceso de enseñanza-aprendizaje, las deficiencias que tienen nuestros alumnos en
conocimientos requeridos como son el álgebra y los algoritmos.
El material didáctico pretende atacar esta problemática, con la presentación de
problemas resueltos que muestren lo más ampliamente posible, los desarrollos
matemáticos e indiquen la manera de resolver los sistemas de ecuaciones, así como
los problemas algebraicos con números complejos, esperando minimizar la
problemática señalada, entendiendo que se deberán indicar a los alumnos que es
necesario trabajar el álgebra y el análisis de los sistemas de ecuaciones, en sus
distintas variantes de condicionar el tipo de solución a través de asesorias personales
en el cubículo.
El material didáctico se desarrollará tomando en cuenta la simbología de los
textos que los maestros utilizan en clase, la exposición de los ejercicios resueltos
serán desarrollados con amplitud, haciendo los señalamientos pertinentes de porque
se resolvieron en la manera indicada, además de presentar problemas con distintos
niveles de dificultad para que el alumno adquiera confianza en resolver y planear los
sistemas de ecuaciones por si mismo.
De este modo pretendemos contribuir a mejorar el proceso educativo que se realiza en
nuestras aulas, planteando un material didáctico acorde con las necesidades y
características de nuestros alumnos y que pudiera ser utilizado por todos nuestros
profesores.
Números Complejos
I . NÚMEROS COMPLEJOS
El sistema numérico, como nosotros lo conocemos ha sido el resultado de un
gran esfuerzo intelectual. Por muchos años, las necesidades y los problemas
intelectuales que han tenido y planteado los hombres han dado como resultado un
proceso y avance gradual, en la identificación de distintos números, de ahí la idea de
conformar varios sistemas de números hasta construir el sistema de números reales,
A continuación listamos los distintos sistemas numéricos
1.- Los números naturales
Estos números fueron usados primero para contar, los símbolos con los que se escriben
han cambiando en el transcurso del tiempo, en este momento los reconocemos como los
siguientes:
1, 2, 3, 4 …
2) Los números enteros
estos números se escriben como : . . . –4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4….
Observe que los números naturales están contenidos como conjuntos en el sistema de
números enteros
Estos números permiten resolver ecuaciones algebraicas como la siguiente
2
+ x
= -1
Los números racionales
Estos son los llamados fracciones, aunque de acuerdo a como estan definidos también
son los llamados números enteros, ya que estos tienen como denominador al número
uno.
Se definen de la siguiente manera
1
Números Complejos
Q=
{
q / q es de la forma
p
q
don de p y q son números enteros y q ≠ 0
}
Estos números resuelven ecuaciones algebraicas como la siguiente
3
2
x+2=3
Ejemplos de números racionales
{1,3,−2,3 / 4,1 / 3, }
Los números irracionales
Estos números se definen como aquellos que no son racionales, es decir , no
pueden ser expresados como números de la forma p/q, donde p y q son números enteros
y q distinto de cero.
Ejemplos de números irracionales
2 = 1.41423...
π = 3.1415...
Estos números resuelven ecuaciones algebraicas como la siguiente
x2 − 2 = 0
El conjunto de números racionales e irracionales es llamado el conjunto de
números reales. Los estudiantes se familiarizan con estos números en el curso de
matemáticas uno.
El sistema de números complejos
Al tratar de resolver la siguiente ecuación algebraica
x2 + 2 = 0
2
Números Complejos
encontramos que la expresión
−2
no corresponde a un número real, por lo tanto se
presenta una necesidad de definir un sistema nuevo de números llamados números
complejos. Este sistema se denota de la siguiente forma
1.1 Definición de número complejo
C=
{
z / z = a + bi
} donde a y b son números reales e i=
− 1 , este número i es
llamado número imaginario puro.
1.2 .- Operaciones fundamentales con los números complejos
Al efectuar operaciones con números complejos, podemos proceder como en el álgebra
de números reales, reemplazando i2 por –1 .
a) Adición
( a + bi ) + ( c + d i ) = a + b i + c + d i = ( a + c ) + ( b + d ) I
b) Sustracción
( a + b I ) - ( c + d I ) = a + b I – c – d I = = ( a – c) + ( b – d ) I
c) Multiplicación
( a + bi ) ( c + d I) = a c + a d i + b c i + b d i2 = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) I
d) División
a + bi
c + di
=
=
a + bi c − di
c + di c − di
ac + bd + ( bc − ad ) i
c2 +d 2
=
=
ac − adi + bci − bdi 2
c 2 − d 2i 2
ac + bd
c2 +d 2
+ cbc +− add
2
2
I
3
Números Complejos
En seguida se desarrollan algunos ejercicios y se plantean problemas a resolver
Ejemplos de sumas de números complejos
( 3+ 3i ) + ( 5 - 3i ) = ( 3 + 5 ) + ( 3 - 3 ) i = 8
(1 - 2i ) + ( 3 + 5 i ) = ( 1 + 3 ) + ( - 2 + 5 ) = 4 + 3 i
(1 - i ) + 3 i = 1 + 2 i
2- i = 2 - i
Problemas de suma de números complejos
1)
( 3 + 2 i ) + ( 1-3 i )
2)
( 5 – 3 i ) + (2 - i )
3)
(7-4i ) + (4-3i)
4)
( 1 - i ) + ( 5 + 2i )
5)
(1 - i ) + ( 4- 0.5 i )
6)
(2 + 3 i ) + (3 - 1.5 i )
7)
( 5 + 7 i ) + ( 1.5 - i )
8)
( 1 / 2 - ½ i ) + ( 1 / 4 –1 / 3 i )
9)
( 4/3 + 1/4i )+ i
10)
2 + ( 1–i )
11)
( - i )+ 5
12) ( 1 - 7 i ) + ( 2 + 9 i )
13)
( - 10 + 5 i ) + (4 + 8i )
14) ( 13 + 12 i ) + ( 3 – ½ i )
15) ( 1.42 + 12.5 i ) + ( 22 - i )
16) 2 - 5 i + 2 – 3 i
17) – 14 i + 22 i
4
Números Complejos
18) 32 + 54
19) 27 + 14
20) ½ + 1 / 3
21) ( -i )+ ( 12 – 3 i )
22) ( 2 + i ) + ( 3-i )
23) ( 2- 3 i )+ ( 2 / 4 - 2 / 5 i )
24) 11 + 15 - 3i
25) 11 i +14
26) ( 12 i ) + ( 22 i )
27) ½ i – 4 / 7 i ) +14
28) ½ + (3 / 4 – 1 / 3 i )
29) 1 / 3 + ( 4 / 6 + 1 / 5 i )
30) (1 / 2 + 1 / 4 i )+ ( 4 / 5 + 7 / 3 i )
Ejemplos de restas de números complejos
( 2 + 3 i ) - ( 2 + 5 i ) = ( 2 - 2 ) + ( 3 i - 5 i ) = - 3 i
( 3 + 5 i ) - ( - 2 i ) = ( 3 ) + ( 5 + 2 ) i = 3 + 7 i
(1 - i ) - ( 5 - 3 i ) = ( 1 - 5) + ( - 1 + 3 ) i = - 4 + 2 i
( - 3 i ) - ( 2 + i ) = - 2 + ( - 3 + 1 ) i = - 2 - 2 i
Problemas de resta de números complejos
1)
(3–2i)–(3+2i)
2)
(5+3i)–(5+3i)
3)
( 4 ) – ( 3i )
4)
(6 ) – ( 6i )
5)
( 7 + 6 I ) – (i )
6)
(-i)–(7)
7)
(-4i)+(6i)
8)
( 5 + 12i ) – ( 1 / 2 + 1 / 3i )
9)
( 1 / 2 ) – ( 4 – 7i )
10) ( 3+ 7 i ) – ( 7 i )
11) ( 0.25 - i ) – ( 1.25 – 3 i )
12)
( 11 + i )- (1 – i )
5
Números Complejos
13) ( 2 - 3i ) - ( 2 + i )
14) ( 3 i ) - ( 3 + i )
15) ( 3 i ) - ( 1/3 + i )
16) (
-2 i ) - ( 1/2 + i )
17) ( 1 / 6 - i ) - ( + i 1.5 )
18) ( 1 / 2 - i ) - ( + i )
19) ( 1.6 - i ) - ( + i 3 )
20) ( 1.2 - i ) - ( + i 7.2 )
21) ( 1 - i ) - ( + i )
22) ( 1.2 - i ) - ( + i 3 )
23) ( 2 - i ) - ( + 1 / 3 i )
24) ( 3 - i ) - ( - i )
25) ( 3 - i ) - ( - 5/4i )
26)
( 2 - i ) -( - i)
27)
( 1/2 -4) -( - 7)
28)
( 2 -3 ) -( -8i)
29)
( 1 - i ) - ( - 1/3 )
30)
( 3 + 2 i - 6
+ 7 -
i )
- ( 1 / 2
-
1 / 6 i )
Ejercicios de multiplicación de números complejos
3 ( 2 + 3 i ) = 6 + 9 i
-
i ( 5 - 2 i ) = - 5 i - 2 = -2 + 5 i
( 2 + 5 i )( 3 + i ) = ( 6 - 15 ) + ( 2 + 15 ) i
( 1 - i )( 2 + 5 i ) = ( 2 + 5) + ( 5 - 5 ) i = 7
Problemas de multiplicación de números complejos
1) ( 1 + i ) ( 1 - i )
2)
( 3 + i ) ( 2- i )
3)
( 6+ i ) ( 3+ i)
4)
( 8+i) ( - i)
5)
( 3+ i ) ( +5 )
6
Números Complejos
6)
( -4 + i) ( 4 - i )
7)
( -4 + i ) ( 2 + i )
8)
( 3+ i) ( 2+ i)
9)
( 2+i) ( 3- i)
10) ( 11 + i ) ( 1 + i )
11) ( 1 / 3 + i ) ( 1 / 3 + i )
12) (
i ) ( 1/2-i)
13) ( 1 / 4 - i) ( 6 - i)
14) ( 1 / 2 + i ) ( 3 i )
15) ( 4 - i ) ( 2 - i )
16) ( 9 + i ) ( 1 - i )
17) ( 8 + i ) ( 1 - i )
18) ( 7 + i ) ( 4 - i )
19) ( 8 - i ) ( 4 )
20) ( 4 - i ) ( 2 - i )
21) ( 5 + i ) ( 2 – i )
22) ( 6 + i ) ( 1 - i )
23) ( 2 - i ) ( -1 / 2 )
24) ( 3 + i ) ( 1 / 3 - i )
25) ( .2 - i ) (
)
26) ( .6 + i ) ( 3 + i )
27) ( 1.4 + i ) ( - i )
28) ( 3 + i ) (2 - i )
29) ( -.50 + i ) ( - i )
30) ( 3 i ) ( i )
Ejemplos de división de números complejos
2 + 3i
5
2 −3i
1+ i
= 52 + 53 i
=
2 − 3 i 1− i
1+ i 1− i
=
( 2 − 3 ) + ( −2 − 3 ) i
1+1
=
−1− 5 i
2
=
−1
2
− 52i
7
Números Complejos
2 −3i
i
=
2 −3i − i
i
−i
=
−2 i − 3
1
= −3 − 2i
Problemas de división de números complejos
1)
(1 - i ) / ( -i )
2)
( 4 - i) / ( - i )
3)
(4 - i) / ( 1- i)
4)
( 4- i) / (1 - i )
5)
(4i) / ( 2 - i)
6)
( 1- 5i) / (1/2 + i )
7)
(4 +i) / ( 2+i )
8)
( 1- i) / ( 2 - i )
9)
( 3 + 1 i ) / (1 + i )
10) ( 2 - i ) / ( + 3 )
11) ( 2 + 7 i ) / ( 2 - i )
12) ( 6 - i ) / ( 2 - i )
13) ( 1 / 2 i ) / ( 6 - i )
14) ( 2 - 2 i ) / (2 + i )
15) ( 1 / 4 + 7 i ) / ( - i )
16) ( 2 - i ) / ( 1 + i )
17) ( 1 / 4 + i ) / ( 1 + i )
18) ( - 4 - 5 ) / ( - i )
19) ( - 6 + 1 / 4 i ) / ( -1 + i )
20) ( 4 - 7i ) / ( - i )
21) ( - 6 + i ) / ( -2 + i )
22) ( - 7 - .9i ) / ( - i )
23) ( 7 + 7 ) / ( -3 + i )
24) ( 1 - 5 i ) / ( - 4 + i )
25) ( + i ) / ( - i )
26) ( 3.6 - i ) / ( -4 + i )
27) ( i ) / ( 4 + i )
28) ( 1 - i ) / ( - i )
29) ( - i ) / ( 4 - i)
8
Números Complejos
30) ( 1 / 4 + i ) / ( i )
1.3.- Elevación a potencia y extracción de la raíz del número complejo
Primeramente trataremos el tema de la determinación de la forma polar de un número
complejo:
Si tenemos la forma del número complejo: z = a + b i
Definimos su magnitud de la siguiente manera
a2 + b2
|z|=
Y su ángulo se determinará a través de la siguiente relación:
tan φ =
a
b
b
a
Ejercicios para determinar la forma polar de un número complejo
1)
2 + 3i
z = 2 + 3i
z = 4 + 9 = 13
3
2
1
tgθ =
1
2
3
2
θ = tg −1
3
= 56.30990
2
9
Números Complejos
z = 13 ( cos 56.30990 ,sin 56.30990 )
2)
1 − 3i
z = 1 − 3i
z = 1 + 9 = 10
θ
1
tg ∞ = 3
-1
-2
-3
∞ = tg −1 3 = 71.56500
θ = ∞ + 2700 = 71.56500 + 2700 = 341.5650
z = 10 ( cos 341.5650 ,sin 341.5650 )
3)
2+i
z = 2+i
z = 4 +1 = 5
tgθ =
1
1 2
1
2
θ = tg −1
1
= 25.56500
2
10
Números Complejos
z = 5 ( cos 25.56500 ,sin 25.56500 )
1
1− i
2
4)
1
z = 1− i
2
θ
1
z = 1+ 14 =
5
1
1
2
tg ∞ =
2
1
= tgθ
4
-1/2
1
= 26.56500
2
θ = 270 + 26.56500 = 296.56500
∞ = tg −1
z=
5
4
( cos 296.5650 ,sin 296.5650 )
0
0
−1 + 2i
5)
z = −1 + 2i
z = 1+ 4 = 5
θ
-1
2
1
θ
tg ∞ = 3
∞ = tg −1 3 = 71.56500
θ = ∞ + 2700 = 71.56500 + 2700 = 341.5650
z = 10 ( cos 341.5650 ,sin 341.5650 )
11
Números Complejos
6)
2−i
z = 2−i
z = 4 +1 = 5
θ
1 2
-1
tg ∞ = 2
∞ = tg −1 2 = 63.43490
θ = ∞ + 2700 = 63.43490 + 2700 = 333.43490
z = 5 ( cos 333.43490 ,sin 333.43490 )
7)
−1 − i
z = −1 − i
z = 1+1 = 2
θ
tg ∞ = 1
-1
-1
∞ = tg −11 = 450
θ = ∞ + 1800 = 450 + 1800 = 2250
z = 2 ( cos 2250 ,sin 2250 )
12
Números Complejos
8)
2 − 3i
z = 2 − 3i
z = 4 + 9 = 13
θ
1 2
-1
-2
-3
tg ∞ =
2
3
∞ = tg −1
2
= 33.690
3
θ = ∞ + 2700 = 33.690 + 2700 = 303.690
z = 13 ( cos 303.690 ,sin 303.690 )
9)
1 + 2i
z = 1 + 2i
z = 1+ 4 = 5
2
1
tgθ = 2
θ
1
θ = tg −1 2 = 63.43490
z = 5 ( cos 63.43490 ,sin 63.43490 )
13
Números Complejos
10)
2 + 3i
z = 2 + 3i
z = 4 + 9 = 13
3
2
1
tgθ =
1 2
3
2
θ = tg −1
3
= 56.30990
2
z = 13 ( cos 56.30990 ,sin 56.30990 )
1)
2+i
7) -3 ++ 5i
2)
1− i
8 ) 4 - 7i
3)
1
3− i
2
9) 5 – 7i
4)
−1 + i
10) 1 - 1/ 2 i
5)
−i
6)
3
11)
13) 1- 3i
14) 2-i
15) 2i
4 + 5i
12) - 5 + 3i
14
Números Complejos
1.4 Elevación a potencia de un número complejo
Si
z0 = a + b i
para elevar a una potencia entera este número, se
utiliza la formula de D ´moivre la cual es la siguiente:
z0n =
n
z0
(Cosnθ + iSennθ ) siendo θ
su ángulo y
z0
=
a2 + b2
Potencia de un Número Complejo:
1)
(1 + 2i ) 2
z = 1 + 2i
z = 1+ 4 = 5
2
1
tgθ = 2
θ
1
θ = tg −1 2 = 63.43490
( 5 ) ( cos 2 ( 63.4349 ) ,sin 2 ( 63.4349 ))
= 5 ( cos 2 ( 63.4349 ) ,sin 2 ( 63.4349 ) )
= 5 ( cos (126.8698 ) ,sin (126.8698 ) )
= 5 ( cos (126.8698 ) ,sin (126.8698 ) )
(1 + 2i ) 2 =
2
0
0
0
0
0
0
(1 + 2i ) 2 = −2.9999 + 4i
15
Números Complejos
2)
(1 − 2i )3
z = 1 − 2i
z = 1+ 4 = 5
θ
-1
-2
tg ∞ =
1
1
2
1
= 26.56500
2
0
θ = 270 + 26.56500 = 296.56500
∞ = tg −1
( 5 ) ( cos 3 ( 296.5650 ) ,sin 3 ( 296.5650 ))
= 11.1803 ( cos ( 889.695 ) ,sin ( 889.695 ) )
3
(1 − 2i )3 =
0
0
0
0
(1 − 2i )3 = −10.9999 + 2i
3)
(4 + i )10
z = 4−i
z = 16 + 1 = 17
θ
-1
-2
tgθ =
1
1
4
θ = tg −1
) ( cos10 (14.0362 ) ,sin10 (14.0362 ))
= 1419857 ( cos (14.0362 ) ,sin (14.0362 ) )
(4 − i )10 =
(
1
= 14.03620
4
17
10
0
0
0
0
(4 − i )10 = −1093418.128 + 905776.2953i
16
Números Complejos
Problemas:
Determine la forma a + bi de las siguientes expresiones:
1) ( 2 + 3i )6
2) ( 3 + i ) 5
3) ( 1 + i )4
4) (– i )7
5) ( 5 )4
6) ( –3 + i )7
7) ( 7 + 5i
)3
8) ( –1 + i )8
9) ( 4 + 3 i )10
10) ( 5 - 3i )17
Raíz enésima de un número complejo
Si z0 es un número complejo de la forma
Z0 = a + b i se determina su raíz-enésima con la siguiente formula;
n
z 0 = z0
1
n
(Cos θ +n2πk + iSen θ +n2πk )
K toma los valores desde uno hasta ( n – 1)
donde θ es el ángulo de Z0
z0
y
= a2 + b2
b
a
17
Números Complejos
Nota: Debe reconocer en que cuadrante se encuentra el número complejo z0 para hacer
una correcta asignación de su ángulo.
Ejercicios , donde se determina la raíz de un número complejo
1 − 2i
1)
z = 1 − 2i
z = 1+ 4 = 5
θ
1
-1
-2
tg ∞ =
1
2
1
= 26.56500
2
θ = 2700 + 26.56500 = 296.56500
∞ = tg −1
1 − 2i =
⎛
296.56500 + 2π k
296.56500 + 2π k ⎞
5 ⎜ cos
,sin
⎟
2
2
⎝
⎠
k =0
⎛
296.56500
296.56500 ⎞
= 1.4953 ⎜ cos
,sin
⎟
2
2
⎝
⎠
= 1.4953(−0.8506 + 0.5257)
= −1.2719 + 0.7860i
k =1
⎛
296.56500 + 2π
296.56500 + 2π ⎞
= 1.4953 ⎜ cos
,sin
⎟
2
2
⎝
⎠
= 1.4953(0.8506 − 0.5257)
= 1.2719 − 0.7860i
18
Números Complejos
3
2)
2−i
z = 2−i
θ
z = 4 +1 = 5
1
2
tg ∞ = 2
-1
∞ = tg −1 2 = 63.43490
θ = 2700 + 63.43490 = 333.43490
3
2−i =
3
⎛
333.43490 + 2π k
333.43490 + 2π k ⎞
5 ⎜ cos
,sin
⎟
3
3
⎝
⎠
k =0
⎛
333.43490
333.43490 ⎞
= 1.3076 ⎜ cos
,sin
⎟
3
3
⎝
⎠
= 1.3076(−0.3607 + 0.9326)
= −0.4716 + 1.2194i
k =1
⎛
333.43490 + 2π
333.43490 + 2π ⎞
= 1.3076 ⎜ cos
,sin
⎟
3
3
⎝
⎠
= 1.3076(−0.6273 − 0.7787)
= −0.822 − 1.0182i
k =2
⎛
333.43490 + 4π
333.43490 + 4π ⎞
= 1.3076 ⎜ cos
,sin
⎟
3
3
⎝
⎠
= 1.3076(0.9880 − 0.1539)
= 1.2919 − 0.2012i
19
Números Complejos
3) 3 1 + 2i
z = 1 + 2i
2
1
z = 1+ 4 = 5
θ
tgθ = 2
1
θ = tg −1 2 = 63.43490
3
2−i =
3
⎛
63.43490 + 2π k
63.43490 + 2π k ⎞
5 ⎜ cos
,sin
⎟
3
3
⎝
⎠
k =0
⎛
63.43490
63.43490 ⎞
= 1.3076 ⎜ cos
,sin
⎟
3
3
⎝
⎠
= 1.3076(0.4472 + 0.8944)
= 0.5847 + 1.695i
k =1
⎛
63.43490 + 2π
63.43490 + 2π ⎞
= 1.3076 ⎜ cos
,sin
⎟
3
3
⎝
⎠
= 1.3076(−0.7787 + 0.6273)
= −1.0182 + 0.8202i
k =2
⎛
63.43490 + 4π
63.43490 + 4π ⎞
= 1.3076 ⎜ cos
,sin
⎟
3
3
⎝
⎠
= 1.3076(−0.1539 − 0.988)
= −0.2012 − 1.2919i
20
Números Complejos
Problemas:
Determine las formas a + bi de las siguientes expresiones
1)
1
2− i
2
2)
−1 + 2i
3)
1
−2 − i
2
4)
−1 + i
5)
1
−1 − i
2
6)
1
2− i
2
7)
3
1− i
8)
3
4−i
9)
3
1+ i
10)
4
2+i
21
Números Complejos
1.4 Función exponencial con exponente complejo y sus propiedades
La forma exponencial de un número complejo, se basa en la relación de Euler , la cual
es la siguiente:
e iθ = cosθ + iSenθ
o
e − iθ = cosθ − isenθ
tomando en cuenta lo siguiente:
z = a + b i = |z| ( cosθ+ i senθ) = |z| eiθ esta es la forma exponencial de un número
complejo.
Ejercicios:
Determine la forma exponencial del siguiente número complejo z = 2 + 3i
Su forma polar es z = 13 ( cos 56.30990 ,sin 56.30990 )
Z=
13e 56.3099 i
Ejercicio
Determine la forma polar del siguiente número complejo z = 1-3i
Su forma polar es
z = 10 ( cos 341.5650 ,sin 341.5650 )
Entonces:
Z=
10e 341.565 i
22
Números Complejos
Problemas: determine la forma exponencial de los siguientes números complejos
1) 2 - 3 i
2) 5 - i
3) - 4 i
4) 3- 4i
5) 2
6) –8i
7) 1-7i
8) 2-9i
9) 1+I
10) 2-i
23
Números Complejos
2.7 Calculo de determinantes nxn
El cálculo se demostrara a través de ejemplos
Calcule el siguiente determinante.
3 2
1 2
= 6−2 = 4
5 0
= 5(2) − 1(0) = 10
1 2
−3 2
2
1
= −3 − 4 = −7
3a 4b
= 3a 2 + 4b
−1 a
−1 2 1
3 2 2 = −(4 − 0) − 2(6 + 2) + 1(0 + 2) = −4 − 16 + 2 = −18
−1 0 2
3 −2 0
2 1 1 = 3(1 + 1) + 2(2 − 3) = 6 − 2 = 4
3
−1 1
− 3 −1 1
2
2 1 = −3(4 − 1) + 1(4 − 1) + 1(2 − 2) = −9 + 3 = −6
1
1 2
2 −1 0
3 2 1
−1 1
2
2 2 −1
1
2 1 2
3 1 2
3 2 1
2
= 2 1 2 1 + 1−1 2 1 + 0 + 1−1 1 2
1
2 −1 1
2 −1 1
2 2 −1
1
= 2[2(2 + 1) − (1 − 2 ) + 2(− 1 − 4 )] + [3(2 + 1) − (− 1 − 2) + 2(1 − 4 )]
+ [3(− 1 − 4 ) − 2(1 − 4) + (− 2 − 2)]
= 2[6 + 1 − 10] + [9 + 3 − 6] + [− 15 + 6 − 4]
= 2(− 3) + 6 − 13 = −6 + 6 − 13 = −13
24
Números Complejos
−1
2
3
1
2 3 −1
1 1
2
2 1 2
2 1
3
2 1 1
1 1
2
= 0 1 − 2 − 2 3 1 −1 + 33 1 − 2 + 3 0 1
0 1 −2
2 −3 2
1 3 2
1 −3 2
1 2 −3
2 −3 2
= −[1(2 − 6) − 4 + 2(− 2)] − 2[2(2 − 6) − (6 + 2) + 2(− 9 − 1)]
+ 3[2(0 + 4) − (6 + 2) + 2(6)] + [2(0 − 2 ) − (− 9 − 1) + 6]
= −[− 4 − 4 − 4] − 2[− 8 − 8 − 20] + 3[8 − 8 + 12] + [− 4 + 10 + 6]
= −[− 12] − 2[− 36] + 3[12] + 12 = 12 + 72 + 36 + 12 = 132
NOTA: No existen determinantes que tiene un numero mayor de filas que de columnas
o a la inversa.
Realice los siguientes determinantes
1 1 2
1) 2 1 − 1
−1 3 2
3 0 1
2) − 1 1 2
−1 1 3
2 1 0
3) − 1 1 1
−1 1 3
−3 0 1
4) − 1 2 2
1 0 1
6 1 2
5) − 1 3 1
4 2 1
4 −1 3
6) 2 1 2
−1 1 3
5 1 2
7) − 3 0 3
2 1 2
6 5 −1
8) 2 3 2
−1 2 1
−5 0 3
9) 2 1 1
−1 2 1
−3 1
5 1
1
−3 2
10) − 1 − 2 2
3
2 −3
11) 4
−2 1 2 3
13) 1
2 −1
3
2
4
−3 1 2 4
14) − 1 − 1 2
2 −1 4
1 3 1 −1
16) 2 1 2 0
2 −1 2 3
17) 2 − 1
2
4
2
−1
1
−1
2
2
−1
2
1
−1 3 2
12) 2 − 1 1
2 1 3
4 1 2 −1
15) 0 1 − 2
2 1 −4
4 −1 2 2
18) − 1
2
−4
5
2
−1
25
Números Complejos
1 2 −1 0
1
−3 1 2
19)
2 0 −3 2
1 2 2 −1
−3 2 3
−2 1 4
20)
−3 1 0
−1 2 2 − 3
−2 1
4 −2 1
2
22)
1
0
−1 4
2 −1 2 −1
−1 − 2 4
0
1 −1
23)
3
2
2
4
1 −1
−4 −2 1 2 1
1
2 −1 2
25)
− 3 2 −1 2
2 −1 2 −1
−2 1
−1 2
26)
−1 1
2 −1
0
3
−3 1
3
− 4 2 −1
28)
2 −1 1
−1 1
2
−1 2
2
21)
4
1
2
1
4
1
3
0
3
1
2
1
3
2 −1
1 2
2 −1 1
−1 3 − 2
0 −1 2
3
−2 2
−1 2
1 3 2 −1
24)
2 −1 2
3
1 3 2 −3
2
27)
1
−2
2
3
4
−1 1
3 −2
− 4 2 −1
1 − 2 −1
1
−1
2
2
3
2
2.8 PROPIEDADES DE DETERMINANTES.
En seguida se enlistaran los propiedad de los determinantes, las demostraciones se pueden encontrara en
algún libro de álgebra lineal
Sea R una operación de renglón o una sucesión de operadores de renglón, A y B matrices (no
necesariamente cuadradas) tales que el producto AB esta definido. Entonces R (AB)= R (A) B
Sean A y B matrices nxn . Entonces
det ( AB ) = det ( A) + det (B )
( ) = [det( A)]
Si A es invertible, entonces A
−1
−1
Sea C una sola operación de columna, o bien una sucesión de ellas. Para cualquier para de matrices A, B
tales que el producto AB este definido
C ( AB ) = AC (B )
Sea A una matriz nxn . C una operación de columnas y R la correspondiente operación de
renglón. Entonces
det C ( A) = det R( A)
Sea A una matriz de nxn . Entonces
( )
det ( A) = det A t
Sean A una matriz nxn . Entonces
a) det ( A) = ai1 Ai1 `+ ai 2 Ai 2 + ...... + ain Ain (desarrollo con respecto al i-esimo renglón).
26
Números Complejos
b) det ( A) = a1 j A1 j `+ a 2 j A2 j + ...... + a nj Anj
columna).
(desarrollo con respecto a la j-esima
Calcule el determinante de la siguiente matriz
z
z ⎞
x+ y
z
z
⎛x + y
⎜
⎟
y+z
x ⎟ entonces
x
y+z
x
⎜ x
⎜ y
⎟
y
x + z⎠
y
y
x+z
⎝
Multiplicando la segunda fila por menos uno y se le suma a la primer fila
y
x
y
−y
y+z
y
y
x
2y
−y
y+z
0
z−x
x
x+z
sumamos la fila uno a la fila tres
y
z−x
x =2x
y
2z
−y
y+z
0
z−x
x
z
mltiplicamos la fila tres por menos uno y se le suma a la primera
0
=2x
y
−y −x
y+z x
z
0
sumamos la fila uno a la fila dos
0 −y −x
0
0 = −2 x
=2x z
y
y 0
z
y x
z 0 = −2[− y (xz ) + x(0 − yz )]
0 z
= −2[− xyz − xyz ] = 4 xyz
Calcule el determinante de la siguiente matriz
a − b − c⎤
2a
⎡ 2a
⎢b − c − a
2b
2b ⎥⎥ Consideremos su determinante
⎢
⎢⎣ 2c
c−a−b
2c ⎥⎦
2a
a − b − c⎤
⎡ 2a
⎢b − c − a
2b
2b ⎥⎥
⎢
⎢⎣ 2c
2c ⎥⎦
c−a−b
multiplicamos la segunda columna por menos uno y sumandola a la primera
0
2a
a − b − c⎤
⎡
⎢− b − c − a
2b
2b ⎥⎥
⎢
⎢⎣ c + a + b c − a − b
2c ⎥⎦
0
a + b + c a − b − c⎤
⎡
⎢− b − a − c
0
2b ⎥⎥
⎢
2c ⎦⎥
⎣⎢ c + a + b − c − a − b
multiplicamos la tercer columna por menos
uno y se le suma a la seguna columna
se le suma la fila uno a la fila tres
27
Números Complejos
a+b+c
0
⎡
⎢− b − a − c
0
⎢
⎢⎣ c + a + b
0
a+b+c
0
⎡
⎢− b − a − c
0
⎢
⎢⎣
0
0
a − b − c⎤
2b ⎥⎥
a − b + c ⎥⎦
se le suma la fila dos a la fila tres
a − b − c⎤
se le suma la tercer a la primera
2b ⎥⎥
a + b + c ⎥⎦
0
a + b + c a − b − c⎤
⎡
⎢− b − a − c
0
2b ⎥⎥ = (a + b + c )[0 − (a + b + c )(− a − b − c )]
⎢
⎢⎣
0
0
a + b + c ⎥⎦
= (a + b + c )
3
Calcule el determinante de la matriz siguiente.
⎡b + c c + à a + b⎤
⎢a − b b − c c − a ⎥ el determinante es el siguiente
⎥
⎢
⎢⎣ a
b
c ⎥⎦
⎡b + c c + a a + b ⎤
⎢a − b b − c c − a ⎥
⎥
⎢
⎢⎣ a
b
c ⎥⎦
⎡b + c c + a a + b ⎤
⎢ −b
−c
− a ⎥⎥
⎢
⎢⎣ a
b
c ⎥⎦
a
b ⎤
⎡c
⎡ c
⎢− b − c − a ⎥ = −1⎢b
⎢
⎥
⎢
⎢⎣a
⎢⎣ a
b
c ⎥⎦
[
= −(a
multiplicamos la tercer fila por menos
uno y se le suma a la seguna
de seguna fila se le suma a la primera
a b⎤
c a ⎥⎥ = − c c 2 − ab − a bc − a 2 + b b 2 ac
b c ⎥⎦
= − c 3 − abc − abc + a 3 + b 3 − abc
3
+ b + c − 3abc
3
3
)
[(
) (
)] [(
)]
]
Calcule el determinante de la siguiente matriz.
a a b a
⎡a a b a ⎤
⎢b b b a ⎥
⎥ El determinante es b b b a
⎢
⎢b a a a ⎥
b a a a
⎥
⎢
b a b b
⎣b a b b ⎦
multiplicamos la fila cuatro por menos uno y se la sumas a la fila tres
⎡a
⎢b
⎢
⎢0
⎢
⎣b
a
b
a ⎤
⎡a
⎢b
⎥
b
b
a ⎥
= (a − b )⎢
⎢0
0 a − b a − b⎥
⎢
⎥
a
b
b ⎦
⎣b
a
b
0
a
b
b
1
b
a⎤
a ⎥⎥
1⎥
⎥
b⎦
28
Números Complejos
multiplicamos la fila uno por menos uno y sumandola a la fila cuatro
a
⎡ a
⎢ b
b
(a − b )⎢
⎢ 0
0
⎢
⎣b − a 0
multiplicamos la
a⎤
a ⎥⎥
1⎥
⎥
1⎦
fila dos por menos uno y sumandosela a la primera
b
a ⎤
⎡a
⎢b
⎥
b
a ⎥
= (a − b )(b − a )⎢
⎢0
1
1 ⎥
⎢
⎥
0 b − a⎦
⎣1
⎡a − b a − b
⎢ b
b
(a − b )(b − a )⎢
⎢ 0
0
⎢
0
⎣ 1
a
b
0
0
b
b
1
0
0⎤
⎡1
⎥
⎢b
a⎥
= (a − b )(b − a )(a − b )⎢
⎢0
1⎥
⎥
⎢
1⎦
⎣1
se multiplicamos la columna dos por menos uno y
se le suma a la primera columa
0
b
1
0
1
b
0
0
0
b
1
0
0⎤
a ⎥⎥
1⎥
⎥
1⎦
0⎤
a ⎥⎥
1⎥
⎥
1⎦
se multiplicamos la columna tres por menos uno y
se le suma a la segunda fila
⎡0
⎢0
= (a − b )(b − a )(a − b )⎢
⎢0
⎢
⎣1
1
b
0
0
⎡0 1
⎢0 0
= (a − b )(b − a )(a − b )⎢
⎢0 − 1
⎢
⎣1 0
0
b
1
0
0
b
1
0
= (a − b )(b − c )(a − b )[− (1(b − a ))]
= −(a − b )(a − b )(a − b )(a − b )
= −(a − b )
0⎤
a ⎥⎥
1⎥
⎥
1⎦
4
PROBLEMAS:
Evalué los siguientes determinantes.
1 0 0 0
1 3
1
−3 1 0 0
0 20 − 40
2 1 3 0
0 0
1
4 1 3 2
1 2 3
3 7 6
1 2 3
− 3 −1 2
6 −2 4
1
7 3
29
Números Complejos
Aplique las propiedades de los determinantes, para evaluar los siguientes.
2 3
7
2 1 1
1 −2 0
0 0 −3
4 2 3
−3 5 1
1 −2 7
1 3 0
4 −3 2
3
6
9
3
2 1 3 1
1
0
−1 0
1
3
2 −1
−1 − 2 − 2 1
12 12
−1 2 1 2
23
13 13
13
4
2
1
0
1
13
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 3
1
12
12
−2 −7
0
0
0
0
0
0
0
0 −1 0
1 0 5
0 3
−2 4
4
0
3
3
1
0
1
1
5
3
0
2
1
2
−4
0
1
1
1
0
1
1
1
2 −1
3 0 1 0
4 −1 0 2
4
0
1
0
PROBLEMAS:
a
b
c
Suponga que d
g
e
h
f = 5 encuentre.
i
−a
−b −c
b) 2d
−g
2e 2 f
−h −i
d e
a) g h
a b
f
i
c
a+d
c) d
g
b+e c+ f
e
f
h
i
a
b
d ) d − 3a e − 3b
2g
2h
c
f − 3c
2i
PROBLEMAS:
Aplique la reducción en los renglones para demostrar que.
1 1 1
a b c = (b − a )(c − a )(c − b )
a2 b2 c2
30
Números Complejos
PROBLEMAS:
Aplique la det(AB)=det(A)*det(B)
3 1 0
1 −1 3
A= 3 4 0
B= 7 1 2
0 0 2
5 0 1
PROBLEMA:
Supóngase que det(A)=5 en donde
a b c
A= d
g
e
h
f
i
Determine:
-1
b) det (2A )
a) det (3A)
c) det (2A)
-1
a
g
d
d) det b
h
e
c
i
f
PROBLEMA:
Sin evaluar directamente demuestre que x=0 y x = z satisfacen
x2 x z
z 1 1 =0
0
0 −5
PROBLEMA:
Sin evaluar directamente demuestre que.
b+c c+a b+a
det a
b
c =0
1
1
1
PROBLEMA:
Supóngase que
x x1
det y y1
z z1
x2
y2 = k
z2
Calcule
y+z
y1 + z1
det z + x
x+ y
z1 + x1
x1 + y1
y2 + z2
z 2 + x2
x2 + y 2
31
Números Complejos
2.9 Inversa de una matriz cuadrada
Definimos ahora la inversa de una matriz (para ciertas matrices). Si A tiene inversa que
se expresa como A-1.
Una matriz B se llama inversa de una matriz cuadrada A si AB=BA=I
Se dice que una matriz A es invertible o no singular si tiene inversa. Sin embargo, una
matriz A no puede tener inversa en cuyo caso se llama no invertible o singular.
32
Números Complejos
a) MÉTODO DE LA ADJUNTA
Este método permite calcular la matriz inversa pero se requiere primeramente definir la
matriz adjunta.
Definición de matriz adjunta: sea A=(aij) una matriz nxn y Aij el correspondiente
cofactor de (aij). Entonces la matriz
⎡ A11 A12 Κ A1n ⎤
⎢A
A22 Κ A2 n ⎥⎥
B = ⎢ 21
⎢ Μ Μ
Μ⎥
⎢
⎥
⎣ An1 An 2 Κ Ann ⎦
Se llama matriz de cofactores de A. La transpuesta de esta matriz se lla adjunta de A, y
se denota por Adj.(A).
⎡ A11 A21 Κ An1 ⎤
⎢A
A22 Κ An 2 ⎥⎥
adj ( A) = ⎢ 12
⎢ Μ Μ
Μ⎥
⎥
⎢
⎣ A1n An 2 Κ Ann ⎦
Teniendo la matriz adjunta la matriz inversa se calcula de la manera siguiente
⎛ 1 ⎞
⎟⎟adj ( A)
A −1 = ⎜⎜
(
)
det
A
⎠
⎝
PROBLEMA:
Determine si existe, la matriz inversa de la siguiente matriz.
⎛1 3 ⎞
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝1 6 ⎠
A11 = 6
A12 = −1 A21 = −3 A22 = 1
⎛ 6 − 1⎞
⎟⎟
B = ⎜⎜
⎝− 3 1 ⎠
⎛ 6 − 3⎞
⎟⎟
la adj ( A) = A = ⎜⎜
A = 6−3 = 3
⎝−1 1 ⎠
−1 ⎞
1 ⎛ 6 − 3⎞ ⎛ 2
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟
A −1 = ⎜⎜
3 ⎝ − 1 1 ⎠ ⎝ − 1 3 − 1 3 ⎟⎠
Se debe cumplir AA-1 = I.
33
Números Complejos
PROBLEMA:
Determine la matriz inversa, si es que existe de la siguiente matriz
− 2⎞
⎟
8 ⎟⎠
A12 = − 1
⎛0
A = ⎜⎜
⎝4
A11 = 8
⎛ 6
B = ⎜⎜
⎝− 3
A = 6−3=3
A 21 = − 3
A 22 = 1
− 1⎞
⎟
1 ⎟⎠
⎛ 8 2⎞
⎟⎟
la adj ( A) = A = ⎜⎜
⎝ − 4 0⎠
1 4⎞
1 ⎛ 8 2⎞ ⎛ 1
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟
A −1 = ⎜⎜
8 ⎝ − 4 0 ⎠ ⎝ − 1 2 0 ⎟⎠
PROBLEMA:
Si la siguiente matriz tiene inversa, determínela
⎛ 4 6⎞
⎟⎟
A = ⎜⎜
se tiene A = 28 − 12 = 16
⎝2 7⎠
A11 = 7
A12 = −2
A21 = −6
A22 = 4
⎛ 7 − 2⎞
⎟⎟
B = ⎜⎜
⎝− 6 4 ⎠
⎛ 7 − 6⎞
⎟⎟
la adj ( A) = A = ⎜⎜
⎝− 2 4 ⎠
1 ⎛ 7 − 6 ⎞ ⎛ 7 16 − 6 16 ⎞
⎟=⎜
⎟
A −1 = ⎜⎜
16 ⎝ − 2 4 ⎟⎠ ⎜⎝ − 1 8 − 1 4 ⎟⎠
34
Números Complejos
PROBLEMA:
Si la siguiente matriz tiene inversa determínela.
⎛1 3 7⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 4 9 2⎟
⎜ 0 5 0⎟
⎝
⎠
A11 = −10
A12 = −(0 ) = 0
A21 = −(− 35) = 35 A22 = 0
A31 = −6 − 63 = −57
A13 = 20
A23 = −5
A32 = −(2 − 28) = 26
A33 = 9 − 12 = −3
⎛ − 10 0 20 ⎞
⎜
⎟
B = ⎜ 35
0 − 5⎟
⎜ − 57 26 − 3 ⎟
⎝
⎠
⎛ − 10 35 − 57 ⎞
⎜
⎟
la adj ( A) = A = ⎜ 0
0
26 ⎟
⎜ 20 − 5 − 3 ⎟
⎝
⎠
A −1 =
adj ( A)
A
1 3 7
A = 4 9 2 = −10 − 3(0 ) + 7(20 ) = −10 + 140 = 130
0 5 0
⎛ − 10 35 − 57 ⎞ ⎛ − 10 130 35 130 − 57 130 ⎞
⎟ ⎜
⎟
1 ⎜
0
26 ⎟ = ⎜
0
0
26 130 ⎟
A =
⎜ 0
130 ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ 20 − 5 − 3 ⎠ ⎝ 20 130 − 5 130 − 3 130 ⎠
PROBLEMA:
Si la siguiente matriz tiene inversa determínela:
⎛ 2 1 − 1⎞
⎜
⎟
A=⎜ 1 2 3 ⎟
⎜ − 1 2 − 1⎟
⎠
⎝
−1
2 1 −1
A = 1 2 3 = 2(− 2 − 6 ) − (− 1 + 3) − (2 + 2) = −16 − 2 − 4 = −22
−1 2 −1
A11 = −2 − 6 = −8 A12 = −(− 1 + 3) = −2
A13 = 2 + 2 = 4
A21 = −(− 1 + 2 ) = −1 A22 = −2 − 1 = −3 A23 = −(4 + 1) = −5
A31 = 3 + 2 = 5 A32 = −(6 + 1) = −7
A33 = 4 − 1 = 3
⎛−8 − 2 4 ⎞
⎜
⎟
B = ⎜ − 1 − 3 − 5⎟
⎜ 5 −7 3 ⎟
⎝
⎠
35
Números Complejos
Entonces la matriz adjunta de A es.
⎛ − 8 −1 5 ⎞
⎜
⎟
adj ( A) = ⎜ − 2 − 3 − 7 ⎟
⎜ 4 −5 3 ⎟
⎝
⎠
⎛ − 8 −1 5 ⎞
⎟
1 ⎜
adj ( A)
= − ⎜ − 2 − 3 − 7⎟
A =
22 ⎜
A
⎟
⎝ 4 −5 3 ⎠
⎛ 8 22 1 22 − 5 22 ⎞
⎜
⎟
−1
A = ⎜ 2 22 3 22 7 22 ⎟
⎜ − 4 22 5 22 − 3 22 ⎟
⎝
⎠
−1
PROBLEMA:
Si la siguiente matriz tiene matriz inversa determínela
⎛ −1
⎜
A=⎜ 3
⎜− 2
⎝
0
1
1
A12 = − (9 + 4 ) = − 13
A11 = 3 − 2
A 21 = 2
A31 = 2
2⎞
⎟
2⎟
3 ⎟⎠
A 22 = − 3 + 4 = 1
A13 = 3 + 2 = 5
A23 = 1
A32 = − (− 2 + 6 ) = − 4
A33 = − 1
su matriz de coeficient es es
⎛1
⎜
B = ⎜2
⎜2
⎝
− 13
1
−4
5 ⎞
⎟
1 ⎟
− 1 ⎟⎠
entonces la matriz adjunta de A es
2 2 ⎞
⎛ 1
⎜
⎟
adj ( A) = ⎜ − 13 1 − 4 ⎟
⎜ 5 1 −1⎟
⎝
⎠
−1 0 2
A = 3 1 2 = −(3 − 2) + 2(3 + 2) = −1 + 10 = 9
−2 1 3
2 2 ⎞ ⎛ 19
29 29 ⎞
⎛ 1
⎟ ⎜
⎟
1⎜
A = ⎜ − 13 1 − 4 ⎟ = ⎜ − 13 9 1 9 − 4 9 ⎟
9⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ 5 1 −1⎠ ⎝ 5 9 1 9 −1 9 ⎠
−1
36
Números Complejos
b) FORMA ESCALONADA (GAUSS-JORDAN)
PROBLEMA:
Si la siguiente matriz tiene matriz inversa determínela:
⎛1 3 4 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜2 8 6 ⎟
⎜ 5 1 35 ⎟
⎝
⎠
1 3 4
A = 2 8 6 = (280 − 6) − 3(70 − 30) + 4(2 − 40) = 270 − 120 − 152 = 2
5 1 35
Como su determinante es distinto de 0, si tiene una matriz inversa
a) 1 3 4 Μ 1 0 0
b) 2 8 6 Μ 0 1 0
c) 5 1 35 Μ 0 0 1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
3
4 Μ 1 0 0
a) 1
b) 0 2 − 2 Μ − 2 1 0
c) 0 − 14 15 Μ − 5 0 1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
a) 1 0 7 Μ 4 − 3 2 0
b) 0 1 − 1 Μ − 1 1 2 0
7
1
c) 0 0 1 Μ − 19
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
a ) 1 0 0 Μ 137 − 101 2 − 1
0
b) 0 1 0 Μ − 20 15 2
c) 0 0 1 Μ − 19
7
1
37
Números Complejos
Se concluye que la matriz inversa es
⎛ 137 − 101 2 − 1⎞
⎟
⎜
−1
0⎟
A = ⎜ − 20 15 2
⎜ − 19
7
1 ⎟⎠
⎝
PROBLEMA:
Si la siguiente matriz tiene matriz inversa determínela
⎛1 4 6⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 3 1 2⎟
⎜4 5 8⎟
⎝
⎠
1 4 6
A = 3 1 2 = 8 − 10 − 4(24 − 8) + 6(15 − 4 ) = −2 − 64 + 66 = 0
4 5 8
Como su determinante es igual a cero no tiene matriz inversa.
PROBLEMA:
Si la siguiente matriz tiene matriz inversa determínela.
⎛1 3 4 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 2 0 − 4⎟
⎜ 3 9 13 ⎟
⎝
⎠
1 3 4
A = 2 0 − 4 = 36 − 3(26 + 12) + 4(18) = 36 − 114 + 72 = −6
3 9 13
Como su determinante es diferente de cero; tiene matriz inversa la cual se calculara por
el método de Gauss-Jordán.
38
Números Complejos
a) 1 3 4 Μ 1 0 0
b) 2 0 − 4 Μ 0 1 0
c) 3 9 13 Μ 0 0 1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
4 Μ 1 0 0
a) 1 3
b) 0 − 6 − 12 Μ − 2 1 0
1 Μ −3 0 1
c) 0 0
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
12 0
a) 1 0 − 2 Μ 0
Μ 1 3 −1 6 0
1 Μ −3
0
1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
0
a) 1 0 0 Μ − 6 1 2
b) 0 1 0 Μ 1 3 − 1 6 − 2
c) 0 0 1 Μ − 3
0
1
b) 0 1
c) 0 0
2
39
Números Complejos
Resultando ser la matriz Inversa
0 ⎞
⎛− 6 1 2
⎟
⎜
−1
A = ⎜1 3 − 1 6 − 2 ⎟
⎜−3
0
1 ⎟⎠
⎝
PROBLEMA:
Si la siguiente matriz tiene matriz inversa determínela
⎛ 1 −2 4 ⎞
⎟
⎜
6⎟
A=⎜5 1
⎜13 − 4 24 ⎟
⎠
⎝
1 −2 4
6 = 24 + 24 + 2(120 − 78) + 4(− 20 − 13)
A= 5 1
13 − 4 24
= 48 + 84 − 132 = 0
Como su determinante es cero, la matriz no tiene matriz inversa.
PROBLEMAS:
Si la matriz tiene inversa, determina su inversa.
⎛ 1 2⎞
⎛ 3 − 1⎞
⎛ 2 − 1⎞
⎟⎟
⎟⎟ 3) ⎜⎜
⎟⎟
1) ⎜⎜
2) ⎜⎜
⎝ −1 1⎠
⎝2 1 ⎠
⎝ 2 − 1⎠
⎛− 6 2 ⎞
⎟⎟
4) ⎜⎜
⎝ 3 − 1⎠
⎛ 4 2⎞
⎟⎟
5) ⎜⎜
⎝ − 1 2⎠
⎛ −1 2⎞
⎟⎟
6) ⎜⎜
⎝ 1 2⎠
⎛ 4 − 1⎞
⎟⎟
8) ⎜⎜
⎝3 2 ⎠
⎛ 3 1⎞
⎟⎟
9) ⎜⎜
⎝ −1 2⎠
⎛ 5 − 1⎞
⎟⎟
10) ⎜⎜
⎝4 1 ⎠
⎛ − 1 2 3⎞
⎟⎟
13) ⎜⎜
⎝1 2 2 ⎠
⎛ − 1 2⎞
⎟⎟
7) ⎜⎜
⎝ 1 3⎠
⎛1 2 − 1 ⎞
⎟⎟
11) ⎜⎜
⎝ 0 1 2⎠
⎛1 2 − 1⎞
⎟
14) ⎜⎜
1 ⎟⎠
⎝ 0
⎛1 3 3 ⎞
⎟⎟
12) ⎜⎜
⎝ − 1 1 2⎠
⎛3 − 2⎞
⎟⎟
15) ⎜⎜
⎝1 1 ⎠
⎛ − 1 2 3⎞
⎟
⎜
16) ⎜ 1 − 1 3 ⎟
⎜ 2 1 1⎟
⎠
⎝
⎛ 4 0 1⎞
⎟
⎜
17) ⎜ − 1 2 1 ⎟
⎜ 3 1 2⎟
⎠
⎝
⎛− 2 0 1⎞
⎟
⎜
18) ⎜ 1 − 1 2 ⎟
⎜ 0
1 0 ⎟⎠
⎝
⎛1 2 2 − 1⎞
⎜
⎟
19) ⎜ 0 1 1 ⎟
⎜ −1 2 3 ⎟
⎝
⎠
⎛ −1 2 3⎞
⎜
⎟
20) ⎜ − 1 1 2 ⎟
⎜ 3 1 2⎟
⎝
⎠
⎛ 3 2 − 1⎞
⎜
⎟
21) ⎜ 1 0 1 ⎟
⎜−1 2 2 ⎟
⎝
⎠
40
Números Complejos
⎛ 4 −1 3 ⎞
⎜
⎟
22) ⎜ − 1 2
1 ⎟
⎜0
2 − 3 ⎟⎠
⎝
⎛ − 2 3 5⎞
⎟
⎜
25) ⎜ − 1 0 2 ⎟
⎜ − 3 1 2⎟
⎠
⎝
⎛ − 1 2 − 1⎞
⎜
⎟
23) ⎜ 3 − 1 0 ⎟
⎜ 2
3
2 ⎟⎠
⎝
⎛3 −1 0 ⎞
⎟
⎜
26) ⎜ 2 1 − 1⎟
⎜1 1
2 ⎟⎠
⎝
⎛ 3 − 1 1 2⎞
⎜
⎟
28) ⎜ 0 1 1 2 ⎟
⎜1 −1 1 ⎟
⎝
⎠
⎛−1 0 1 ⎞
⎜
⎟
29) ⎜ 2 1 − 1⎟
⎜3 2 1⎟
⎝
⎠
⎛ 4 −1 2 ⎞
⎜
⎟
24) ⎜ − 3 2 − 1⎟
⎜ 1
1
2 ⎟⎠
⎝
⎛ 4 −1 2 ⎞
⎟
⎜
27) ⎜ − 3 2 − 1⎟
⎜ 1
1
2 ⎟⎠
⎝
⎛ 2 − 1 1⎞
⎜
⎟
30) ⎜ 4 − 1 3 ⎟
⎜ 2 1 1⎟
⎝
⎠
0⎞
⎛1 4 − 1
⎟
⎜
31) ⎜ 0 − 1 2 1 ⎟
⎜ 0
− 1⎟⎠
1
⎝
⎛ −1 2 0 1 2⎞
⎟
⎜
32) ⎜ 0
1 − 1⎟
⎜ − 1 1 − 1⎟
⎠
⎝
⎛ 3 2 − 1⎞
⎟
⎜
33) ⎜ 1 1 − 1⎟
⎜2 1 1 ⎟
⎠
⎝
⎛ − 3 2 −1 2⎞
⎜
⎟
−1 ⎟
34) ⎜ 1
1
⎜ 2 −1
0 ⎟⎠
⎝
⎛ − 3 1 2 − 1⎞
⎜
⎟
35) ⎜ 1 − 1 2 ⎟
⎜ −1 2
1 ⎟⎠
⎝
⎛ −1 0 1 2⎞
⎜
⎟
36) ⎜ − 1 0 − 1 ⎟
⎜3 2 1 ⎟
⎝
⎠
41
Números Complejos
42
Números Complejos
2.7 Calculo de determinantes nxn
El cálculo se demostrara a través de ejemplos
Calcule el siguiente determinante.
43
Números Complejos
3 2
1 2
= 6−2 = 4
5 0
= 5(2 ) − 1(0) = 10
1 2
−3 2
= −3 − 4 = −7
2 1
3a 4b
= 3a 2 + 4b
−1 a
−1 2 1
3 2 2 = −(4 − 0 ) − 2(6 + 2 ) + 1(0 + 2 ) = −4 − 16 + 2 = −18
−1 0 2
3 −2 0
2
3
1 1 = 3(1 + 1) + 2(2 − 3) = 6 − 2 = 4
−1 1
− 3 −1 1
2
2 1 = −3(4 − 1) + 1(4 − 1) + 1(2 − 2) = −9 + 3 = −6
1
1
2
2 −1 0
3 2 1
−1 1
2
2 2 −1
1
2 1 2
3 1 2
3 2 1
2
= 2 1 2 1 + 1−1 2 1 + 0 + 1−1 1 2
1
2 −1 1
2 −1 1
2 2 −1
1
= 2[2(2 + 1) − (1 − 2 ) + 2(− 1 − 4 )] + [3(2 + 1) − (− 1 − 2) + 2(1 − 4 )]
+ [3(− 1 − 4 ) − 2(1 − 4) + (− 2 − 2)]
= 2[6 + 1 − 10] + [9 + 3 − 6] + [− 15 + 6 − 4]
= 2(− 3) + 6 − 13 = −6 + 6 − 13 = −13
44
Números Complejos
−1 2
−1
3
1 1
2
2 1 2
2 1
3
2 1 1
1
2
= 0 1 − 2 − 2 3 1 −1 + 33 1 − 2 + 3 0 1
1 −2
2 −3 2
1 3 2
1 −3 2
1 2 −3
2 −3 2
2
3
1
0
1
= −[1(2 − 6 ) − 4 + 2(− 2 )] − 2[2(2 − 6) − (6 + 2) + 2(− 9 − 1)]
+ 3[2(0 + 4 ) − (6 + 2 ) + 2(6)] + [2(0 − 2 ) − (− 9 − 1) + 6]
= −[− 4 − 4 − 4] − 2[− 8 − 8 − 20] + 3[8 − 8 + 12] + [− 4 + 10 + 6]
= −[− 12] − 2[− 36] + 3[12] + 12 = 12 + 72 + 36 + 12 = 132
NOTA: No existen determinantes que tiene un numero mayor de filas que de columnas
o a la inversa.
Realice los siguientes determinantes
1
1
2
3
1 −1
−1 3 2
1) 2
−3 0 1
4) − 1 2 2
1 0 1
0 1
2
2) − 1 1 2
3) − 1 1 1
−1 1 3
−1 1 3
6
1 2
4
5) − 1 3 1
6) 2
−1
4
2 1
1 2
6
7) − 3 0 3
8) 2
5 −1
3 2
5
2
−1 2
1 2
−3 1
5 1
−2 1 2 3
13) 1
2 −1
3
2
4
−3 1 2 4
14) − 1 − 1 2
2 −1 4
1 3 1 −1
16) 2 1 2 0
2 −1 2
17) 2 − 1
−1
2
−1
4
1
3
−1 2 1
1
11) 4
2
−1 3
1 2
−5 0 3
9) 2 1 1
1
−3 2
10) − 1 − 2 2
3
2 −3
1
1 0
2
2
1
3
2
−1
−1 3 2
12) 2 − 1 1
2 1 3
4 12
15) 0
1
2
1
−1
−2
−4
4 −1 2 2
18) − 1
2
−4
5
2
−1
45
Números Complejos
1
19)
−1
2
−3 2 3
−2 1 4
20)
−3 1 0
0
1
−3 1
2 0 −3 2
1 2 2 −1
0
22)
2
4
−2
−2 1
3
−1 4
2 −1
2
−1
0
2
−1
3
−3 1
− 4 2 −1
28)
2 −1 1
−1 1
2
21)
1
−1 − 2 4 0
0
1 −1 3
23)
3
2
2 1
2
1
2
2
−1 2 2 − 3
1
−4 −2 1 2
1
2 −1
25)
− 3 2 −1
1
4
−2
−1
26)
−1
1
2
2
−1
2
−1 2
2
4
−1 1
−1 3 − 2
0 −1 2
3
−2
1
3
−1 2
1
1
4
1
2
1
3
−2
2
2 −1
−1 1 2
2
3
−1 2
1 3
2 −1
24)
2 −1 2
3
2
1
1
2
27)
3
4
2
1
−3
−1 1
3 −2
2 −1
−1
−4
1 −2
−1
2
2
3
2
2.8 PROPIEDADES DE DETERMINANTES.
En seguida se enlistaran los propiedad de los determinantes, las demostraciones se pueden encontrara en
algún libro de álgebra lineal
Sea R una operación de renglón o una sucesión de operadores de renglón, A y B matrices (no
necesariamente cuadradas) tales que el producto AB esta definido. Entonces R (AB)= R (A) B
Sean A y B matrices nxn . Entonces
det ( AB ) = det ( A) + det (B )
( ) = [det( A)]
Si A es invertible, entonces A
−1
−1
Sea C una sola operación de columna, o bien una sucesión de ellas. Para cualquier para de matrices A, B
tales que el producto AB este definido
C ( AB ) = AC (B )
Sea A una matriz nxn . C una operación de columnas y R la correspondiente operación de
renglón. Entonces
det C ( A) = det R( A)
Sea A una matriz de nxn . Entonces
( )
det ( A) = det A t
Sean A una matriz nxn . Entonces
a) det ( A) = ai1 Ai1 `+ ai 2 Ai 2 + ...... + ain Ain (desarrollo con respecto al i-esimo renglón).
46
Números Complejos
b) det ( A) = a1 j A1 j `+ a 2 j A2 j + ...... + a nj Anj
(desarrollo con respecto a la j-esima
columna).
Calcule el determinante de la siguiente matriz
z
z ⎞
x+ y
z
z
⎛x + y
⎜
⎟
y+z
x ⎟ entonces
x
y+z
x
⎜ x
⎜ y
⎟
y
x + z⎠
y
y
x+z
⎝
Multiplicando la segunda fila por menos uno y se le suma a la primer fila
x
−y
y+z
y
y
y
x
2y
−y
y+z
y
0
z−x
x
x+z
sumamos la fila uno a la fila tres
z−x
y
x =2x
2z
y
−y
y+z
z−x
x
0
z
mltiplicamos la fila tres por menos uno y se le suma a la primera
0
=2x
y
−y −x
y+z x
0
z
0 −y −x
=2x
y
z
0
sumamos la fila uno a la fila dos
0
0 = −2 x
z
y
y x
z 0 = −2[− y (xz ) + x(0 − yz )]
0 z
= −2[− xyz − xyz ] = 4 xyz
Calcule el determinante de la siguiente matriz
2a
a − b − c⎤
⎡ 2a
⎢b − c − a
2b
2b ⎥⎥ Consideremos su determinante
⎢
⎢⎣ 2c
c−a−b
2c ⎥⎦
2a
a − b − c⎤
⎡ 2a
⎢b − c − a
2b
2b ⎥⎥
⎢
⎢⎣ 2c
2c ⎥⎦
c−a−b
multiplicamos la segunda columna por menos uno y sumandola a la primera
0
2a
a − b − c⎤
⎡
⎢− b − c − a
2b
2b ⎥⎥
⎢
⎢⎣ c + a + b c − a − b
2c ⎥⎦
0
a + b + c a − b − c⎤
⎡
⎢− b − a − c
0
2b ⎥⎥
⎢
2c ⎦⎥
⎣⎢ c + a + b − c − a − b
multiplicamos la tercer columna por menos
uno y se le suma a la seguna columna
se le suma la fila uno a la fila tres
47
Números Complejos
0
a+b+c
⎡
⎢− b − a − c
0
⎢
⎢⎣ c + a + b
0
0
a+b+c
⎡
⎢− b − a − c
0
⎢
⎢⎣
0
0
a − b − c⎤
2b ⎥⎥
a − b + c ⎥⎦
se le suma la fila dos a la fila tres
a − b − c⎤
2b ⎥⎥
a + b + c ⎥⎦
se le suma la tercer a la primera
0
a + b + c a − b − c⎤
⎡
⎢− b − a − c
0
2b ⎥⎥ = (a + b + c )[0 − (a + b + c )(− a − b − c )]
⎢
⎢⎣
a + b + c ⎥⎦
0
0
= (a + b + c )
3
Calcule el determinante de la matriz siguiente.
⎡b + c c + à a + b⎤
⎢a − b b − c c − a ⎥ el determinante es el siguiente
⎥
⎢
⎢⎣ a
b
c ⎥⎦
⎡b + c c + a a + b ⎤
⎢a − b b − c c − a ⎥
⎥
⎢
⎢⎣ a
b
c ⎥⎦
⎡b + c c + a a + b ⎤
⎢ −b
−c
− a ⎥⎥
⎢
⎢⎣ a
b
c ⎥⎦
a
b ⎤
⎡c
⎡ c
⎢− b − c − a ⎥ = −1⎢b
⎥
⎢
⎢
⎢⎣a
⎢⎣ a
b
c ⎥⎦
[
= −(a
multiplicamos la tercer fila por menos
uno y se le suma a la seguna
de seguna fila se le suma a la primera
a b⎤
c a ⎥⎥ = − c c 2 − ab − a bc − a 2 + b b 2 ac
b c ⎥⎦
= − c 3 − abc − abc + a 3 + b 3 − abc
3
+ b + c − 3abc
3
3
)
[(
) (
)] [(
)]
]
Calcule el determinante de la siguiente matriz.
a a b a
⎡a a b a ⎤
⎢b b b a ⎥
⎢
⎥ El determinante es b b b a
⎢b a a a ⎥
b a a a
⎢
⎥
b a b b
⎣b a b b ⎦
multiplicamos la fila cuatro por menos uno y se la sumas a la fila tres
⎡a
⎢b
⎢
⎢0
⎢
⎣b
a
b
a ⎤
⎡a
⎢b
⎥
b
b
a ⎥
= (a − b )⎢
⎢0
0 a − b a − b⎥
⎢
⎥
a
b
b ⎦
⎣b
a b a⎤
b b a ⎥⎥
0 1 1⎥
⎥
a b b⎦
48
Números Complejos
multiplicamos la fila uno por menos uno y sumandola a la fila cuatro
a
⎡ a
⎢ b
b
(a − b )⎢
⎢ 0
0
⎢
⎣b − a 0
multiplicamos la
a ⎤
⎡a a b a ⎤
⎥
⎢b b b a ⎥
b
a ⎥
⎥
= (a − b )(b − a )⎢
⎢0 0 1 1 ⎥
1
1 ⎥
⎥
⎢
⎥
0 b − a⎦
⎣1 0 0 1 ⎦
fila dos por menos uno y sumandosela a la primera
b
⎡1
⎡a − b a − b 0 0 ⎤
⎢b
⎥
⎢ b
b
b a⎥
(a − b )(b − a )⎢
= (a − b )(b − a )(a − b )⎢
⎢0
⎢ 0
0
1 1⎥
⎢
⎥
⎢
0
0 1⎦
⎣1
⎣ 1
se multiplicamos la columna dos por menos uno y
se le suma a la primera columa
1 0 0⎤
b b a ⎥⎥
0 1 1⎥
⎥
0 0 1⎦
1 0 0⎤
b b a ⎥⎥
0 1 1⎥
⎥
0 0 1⎦
se multiplicamos la columna tres por menos uno y
se le suma a la segunda fila
⎡0
⎢0
= (a − b )(b − a )(a − b )⎢
⎢0
⎢
⎣1
⎡0 1
⎢0 0
= (a − b )(b − a )(a − b )⎢
⎢0 − 1
⎢
⎣1 0
0 0⎤
b a ⎥⎥
1 1⎥
⎥
0 1⎦
= (a − b )(b − c )(a − b )[− (1(b − a ))]
= −(a − b )(a − b )(a − b )(a − b )
= −(a − b )
4
PROBLEMAS:
Evalué los siguientes determinantes.
1 0 0 0
1 3
1
−3 1 0 0
0 20 − 40
2 1 3 0
0 0
1
4 1 3 2
1 2 3
3 7 6
1 2 3
−3
6
1
−1 2
−2 4
7 3
49
Números Complejos
Aplique las propiedades de los determinantes, para evaluar los siguientes.
2 3
7
2 1 1
1 −2 0
−3
1 −2 7
0
0
−3 5 1
4 −3 2
4 2 3
1 3 0
3
6
9
3
2 1 3 1
−1
1
0
1
0
1 0 1 1
−1
−1 − 2 − 2 1
3
12
2
12
1
0 2 1 0
0 1 2 3
1
12
−2 −7
0
0
−1 2 1 2 0 1 2
23 13 13 0
13
1
13
3
0
5
3
0
2
1
−4
0
1
0
0
2
1
1
0
0
0
1
1
3
1
1
2
0 −1 0
1 0 5
4
0
2 −1
0
3
4
0
3
0
1
0
−2 4
0
1
4 −1 0
2
4
1
1
PROBLEMAS:
a b
Suponga que d e
g h
c
f = 5 encuentre.
i
−a
−b −c
b) 2d
−g
2e 2 f
−h −i
d e
a) g h
a b
f
i
c
a+d
c) d
g
b+e c+ f
e
f
h
i
a
b
d ) d − 3a e − 3b
2g
2h
c
f − 3c
2i
PROBLEMAS:
Aplique la reducción en los renglones para demostrar que.
1 1 1
a b c = (b − a )(c − a )(c − b )
a2 b2 c2
50
Números Complejos
PROBLEMAS:
Aplique la det(AB)=det(A)*det(B)
3 1 0
1 −1 3
A= 3 4 0
B= 7 1 2
0 0 2
5 0 1
PROBLEMA:
Supóngase que det(A)=5 en donde
a b c
A= d e f
g h i
Determine:
-1
b) det (2A )
a) det (3A)
c) det (2A)
-1
a
d) det b
g
h
d
e
c
i
f
PROBLEMA:
Sin evaluar directamente demuestre que x=0 y x = z satisfacen
x2 x z
z 1 1 =0
0
0 −5
PROBLEMA:
Sin evaluar directamente demuestre que.
b+c c+a b+a
det a
b
c =0
1
PROBLEMA:
Supóngase que
x x1
det y y1
z z1
1
1
x2
y2 = k
z2
Calcule
y+z
det z + x
x+ y
y1 + z1
z1 + x1
x1 + y1
y2 + z2
z 2 + x2
x2 + y 2
51
Números Complejos
2.9 Inversa de una matriz cuadrada
Definimos ahora la inversa de una matriz (para ciertas matrices). Si A tiene inversa que
se expresa como A-1.
Una matriz B se llama inversa de una matriz cuadrada A si AB=BA=I
Se dice que una matriz A es invertible o no singular si tiene inversa. Sin embargo, una
matriz A no puede tener inversa en cuyo caso se llama no invertible o singular.
52
Números Complejos
a) MÉTODO DE LA ADJUNTA
Este método permite calcular la matriz inversa pero se requiere primeramente definir la
matriz adjunta.
Definición de matriz adjunta: sea A=(aij) una matriz nxn y Aij el correspondiente
cofactor de (aij). Entonces la matriz
⎡ A11 A12 Κ A1n ⎤
⎢A
A22 Κ A2 n ⎥⎥
B = ⎢ 21
⎢ Μ Μ
Μ⎥
⎥
⎢
⎣ An1 An 2 Κ Ann ⎦
Se llama matriz de cofactores de A. La transpuesta de esta matriz se lla adjunta de A, y
se denota por Adj.(A).
⎡ A11 A21 Κ An1 ⎤
⎢A
A22 Κ An 2 ⎥⎥
adj ( A) = ⎢ 12
⎢ Μ Μ
Μ⎥
⎥
⎢
⎣ A1n An 2 Κ Ann ⎦
Teniendo la matriz adjunta la matriz inversa se calcula de la manera siguiente
⎛ 1 ⎞
⎟⎟adj ( A)
A −1 = ⎜⎜
(
)
det
A
⎝
⎠
PROBLEMA:
Determine si existe, la matriz inversa de la siguiente matriz.
⎛1 3 ⎞
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝1 6 ⎠
A11 = 6
A12 = −1 A21 = −3 A22 = 1
⎛ 6 − 1⎞
⎟⎟
B = ⎜⎜
⎝− 3 1 ⎠
⎛ 6 − 3⎞
⎟⎟
la adj ( A) = A = ⎜⎜
A = 6−3 = 3
⎝−1 1 ⎠
−1 ⎞
1 ⎛ 6 − 3⎞ ⎛ 2
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟
A −1 = ⎜⎜
3 ⎝ − 1 1 ⎠ ⎝ − 1 3 − 1 3 ⎟⎠
Se debe cumplir AA-1 = I.
53
Números Complejos
PROBLEMA:
Determine la matriz inversa, si es que existe de la siguiente matriz
− 2⎞
⎟
8 ⎟⎠
A12 = − 1
⎛0
A = ⎜⎜
⎝4
A11 = 8
⎛ 6
B = ⎜⎜
⎝− 3
A = 6−3=3
A 21 = − 3
A 22 = 1
− 1⎞
⎟
1 ⎟⎠
⎛ 8 2⎞
⎟⎟
la adj ( A) = A = ⎜⎜
⎝ − 4 0⎠
1 4⎞
1 ⎛ 8 2⎞ ⎛ 1
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟
A −1 = ⎜⎜
8 ⎝ − 4 0 ⎠ ⎝ − 1 2 0 ⎟⎠
PROBLEMA:
Si la siguiente matriz tiene inversa, determínela
⎛ 4 6⎞
⎟⎟
A = ⎜⎜
se tiene A = 28 − 12 = 16
⎝2 7⎠
A11 = 7
A12 = −2
A21 = −6
A22 = 4
⎛ 7 − 2⎞
⎟⎟
B = ⎜⎜
⎝− 6 4 ⎠
⎛ 7 − 6⎞
⎟⎟
la adj ( A) = A = ⎜⎜
⎝− 2 4 ⎠
1 ⎛ 7 − 6 ⎞ ⎛ 7 16 − 6 16 ⎞
⎟=⎜
⎟
A −1 = ⎜⎜
16 ⎝ − 2 4 ⎟⎠ ⎜⎝ − 1 8 − 1 4 ⎟⎠
54
Números Complejos
PROBLEMA:
Si la siguiente matriz tiene inversa determínela.
⎛1 3 7⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 4 9 2⎟
⎜0 5 0⎟
⎝
⎠
A11 = −10 A12 = −(0 ) = 0 A13 = 20
A21 = −(− 35) = 35
A31 = −6 − 63 = −57
A22 = 0
A23 = −5
A32 = −(2 − 28) = 26
A33 = 9 − 12 = −3
⎛ − 10 0 20 ⎞
⎜
⎟
0 − 5⎟
B = ⎜ 35
⎜ − 57 26 − 3 ⎟
⎝
⎠
⎛ − 10 35 − 57 ⎞
⎜
⎟
0
26 ⎟
la adj ( A) = A = ⎜ 0
⎜ 20 − 5 − 3 ⎟
⎝
⎠
A −1 =
adj ( A)
A
1 3 7
A = 4 9 2 = −10 − 3(0 ) + 7(20 ) = −10 + 140 = 130
0 5 0
⎛ − 10 35 − 57 ⎞ ⎛ − 10 130 35 130 − 57 130 ⎞
⎟ ⎜
⎟
1 ⎜
0
26 ⎟ = ⎜
0
0
26 130 ⎟
A =
⎜ 0
130 ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ 20 − 5 − 3 ⎠ ⎝ 20 130 − 5 130 − 3 130 ⎠
PROBLEMA:
Si la siguiente matriz tiene inversa determínela:
⎛ 2 1 − 1⎞
⎜
⎟
A=⎜ 1 2 3 ⎟
⎜ − 1 2 − 1⎟
⎝
⎠
−1
2 1 −1
A = 1 2 3 = 2(− 2 − 6 ) − (− 1 + 3) − (2 + 2) = −16 − 2 − 4 = −22
−1 2 −1
A11 = −2 − 6 = −8 A12 = −(− 1 + 3) = −2
A13 = 2 + 2 = 4
A21 = −(− 1 + 2) = −1 A22 = −2 − 1 = −3 A23 = −(4 + 1) = −5
A31 = 3 + 2 = 5 A32 = −(6 + 1) = −7
A33 = 4 − 1 = 3
⎛−8 − 2 4 ⎞
⎜
⎟
B = ⎜ − 1 − 3 − 5⎟
⎜ 5 −7 3 ⎟
⎝
⎠
55
Números Complejos
Entonces la matriz adjunta de A es.
⎛ − 8 −1 5 ⎞
⎜
⎟
adj ( A) = ⎜ − 2 − 3 − 7 ⎟
⎜ 4 −5 3 ⎟
⎝
⎠
⎛ − 8 −1 5 ⎞
⎟
1 ⎜
adj ( A)
= − ⎜ − 2 − 3 − 7⎟
A =
22 ⎜
A
⎟
⎝ 4 −5 3 ⎠
⎛ 8 22 1 22 − 5 22 ⎞
⎜
⎟
−1
A = ⎜ 2 22 3 22 7 22 ⎟
⎜ − 4 22 5 22 − 3 22 ⎟
⎝
⎠
−1
PROBLEMA:
Si la siguiente matriz tiene matriz inversa determínela
⎛ −1
⎜
A=⎜ 3
⎜− 2
⎝
0
1
1
A12 = − (9 + 4 ) = − 13
A11 = 3 − 2
A 21 = 2
A31 = 2
2⎞
⎟
2⎟
3 ⎟⎠
A 22 = − 3 + 4 = 1
A13 = 3 + 2 = 5
A23 = 1
A32 = − (− 2 + 6 ) = − 4
A33 = − 1
su matriz de coeficient es es
⎛1
⎜
B = ⎜2
⎜2
⎝
− 13
1
−4
5 ⎞
⎟
1 ⎟
− 1 ⎟⎠
entonces la matriz adjunta de A es
2 2 ⎞
⎛ 1
⎜
⎟
adj ( A) = ⎜ − 13 1 − 4 ⎟
⎜ 5 1 −1⎟
⎝
⎠
−1 0 2
A = 3 1 2 = −(3 − 2 ) + 2(3 + 2 ) = −1 + 10 = 9
−2 1 3
2 2 ⎞ ⎛ 19
29 29 ⎞
⎛ 1
⎟ ⎜
⎟
1⎜
A = ⎜ − 13 1 − 4 ⎟ = ⎜ − 13 9 1 9 − 4 9 ⎟
9⎜
⎟ ⎜
1 9 − 1 9 ⎟⎠
⎝ 5 1 −1⎠ ⎝ 5 9
−1
56
Números Complejos
b) FORMA ESCALONADA (GAUSS-JORDAN)
PROBLEMA:
Si la siguiente matriz tiene matriz inversa determínela:
⎛1 3 4 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜2 8 6 ⎟
⎜ 5 1 35 ⎟
⎝
⎠
1 3
A= 2 8
4
6 = (280 − 6 ) − 3(70 − 30 ) + 4(2 − 40) = 270 − 120 − 152 = 2
5 1 35
Como su determinante es distinto de 0, si tiene una matriz inversa
a) 1 3 4 Μ 1 0 0
b) 2 8 6 Μ 0 1 0
c) 5 1 35 Μ 0 0 1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
a) 1
3
4 Μ 1 0 0
b) 0
−2 Μ −2 1 0
2
c) 0 − 14 15 Μ − 5 0 1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
a) 1 0 7 Μ 4
−3 2 0
b) 0 1 − 1 Μ − 1 1 2 0
c) 0 0 1 Μ − 19
7
1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
a ) 1 0 0 Μ 137 − 101 2 − 1
b) 0 1 0 Μ − 20 15 2
0
c) 0 0 1 Μ − 19
7
1
57
Números Complejos
Se concluye que la matriz inversa es
⎛ 137 − 101 2 − 1⎞
⎟
⎜
−1
0⎟
A = ⎜ − 20 15 2
⎜ − 19
7
1 ⎟⎠
⎝
PROBLEMA:
Si la siguiente matriz tiene matriz inversa determínela
⎛1 4 6⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 3 1 2⎟
⎜4 5 8⎟
⎝
⎠
1 4 6
A = 3 1 2 = 8 − 10 − 4(24 − 8) + 6(15 − 4 ) = −2 − 64 + 66 = 0
4 5 8
Como su determinante es igual a cero no tiene matriz inversa.
PROBLEMA:
Si la siguiente matriz tiene matriz inversa determínela.
⎛1 3 4 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 2 0 − 4⎟
⎜ 3 9 13 ⎟
⎝
⎠
1 3 4
A = 2 0 − 4 = 36 − 3(26 + 12 ) + 4(18) = 36 − 114 + 72 = −6
3 9 13
Como su determinante es diferente de cero; tiene matriz inversa la cual se calculara por
el método de Gauss-Jordán.
58
Números Complejos
a) 1 3 4 Μ 1 0 0
b) 2 0 − 4 Μ 0 1 0
c) 3 9 13 Μ 0 0 1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
4 Μ 1 0 0
a) 1 3
b) 0 − 6 − 12 Μ − 2 1 0
1 Μ −3 0 1
c) 0 0
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
12 0
a) 1 0 − 2 Μ 0
Μ 1 3 −1 6 0
1 Μ −3
0
1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
0
a) 1 0 0 Μ − 6 1 2
b) 0 1 0 Μ 1 3 − 1 6 − 2
c) 0 0 1 Μ − 3
0
1
b) 0 1
c) 0 0
2
59
Números Complejos
Resultando ser la matriz Inversa
0 ⎞
⎛− 6 1 2
⎟
⎜
−1
A = ⎜1 3 − 1 6 − 2 ⎟
⎜−3
0
1 ⎟⎠
⎝
PROBLEMA:
Si la siguiente matriz tiene matriz inversa determínela
⎛ 1 −2 4 ⎞
⎜
⎟
A=⎜5 1
6⎟
⎜13 − 4 24 ⎟
⎝
⎠
1
−2
4
1
6 = 24 + 24 + 2(120 − 78) + 4(− 20 − 13)
13 − 4 24
A= 5
= 48 + 84 − 132 = 0
Como su determinante es cero, la matriz no tiene matriz inversa.
PROBLEMAS:
Si la matriz tiene inversa, determina su inversa.
⎛ 1 2⎞
⎛ 3 − 1⎞
⎛ 2 − 1⎞
⎟⎟
⎟⎟ 3) ⎜⎜
⎟⎟
1) ⎜⎜
2) ⎜⎜
⎝ −1 1⎠
⎝2 1 ⎠
⎝ 2 − 1⎠
⎛− 6 2 ⎞
⎟⎟
4) ⎜⎜
⎝ 3 − 1⎠
⎛ 4 2⎞
⎟⎟
5) ⎜⎜
⎝ −1 2⎠
⎛ −1 2⎞
⎟⎟
6) ⎜⎜
⎝ 1 2⎠
⎛ 4 − 1⎞
⎟⎟
8) ⎜⎜
⎝3 2 ⎠
⎛ 3 1⎞
⎟⎟
9) ⎜⎜
⎝ −1 2⎠
⎛ 5 − 1⎞
⎟⎟
10) ⎜⎜
⎝4 1 ⎠
⎛ − 1 2 3⎞
⎟⎟
13) ⎜⎜
⎝1 2 2 ⎠
⎛ −1 2⎞
⎟⎟
7) ⎜⎜
⎝ 1 3⎠
⎛1 2 − 1 ⎞
⎟⎟
11) ⎜⎜
⎝ 0 1 2⎠
⎛1 2 − 1⎞
⎟
14) ⎜⎜
1 ⎟⎠
⎝ 0
⎛1 3 3 ⎞
⎟⎟
12) ⎜⎜
⎝ −1 1 2⎠
⎛3 − 2⎞
⎟⎟
15) ⎜⎜
⎝1 1 ⎠
⎛ − 1 2 3⎞
⎜
⎟
16) ⎜ 1 − 1 3 ⎟
⎜ 2 1 1⎟
⎝
⎠
⎛ 4 0 1⎞
⎜
⎟
17) ⎜ − 1 2 1 ⎟
⎜ 3 1 2⎟
⎝
⎠
⎛− 2 0 1⎞
⎜
⎟
18) ⎜ 1 − 1 2 ⎟
⎜ 0
1 0 ⎟⎠
⎝
⎛1 2 2 − 1⎞
⎜
⎟
19) ⎜ 0 1 1 ⎟
⎜ −1 2 3 ⎟
⎝
⎠
⎛ −1 2 3⎞
⎜
⎟
20) ⎜ − 1 1 2 ⎟
⎜ 3 1 2⎟
⎝
⎠
⎛ 3 2 − 1⎞
⎜
⎟
21) ⎜ 1 0 1 ⎟
⎜−1 2 2 ⎟
⎝
⎠
60
Números Complejos
⎛ 4 −1 3 ⎞
⎜
⎟
22) ⎜ − 1 2
1 ⎟
⎜0
2 − 3 ⎟⎠
⎝
⎛ − 2 3 5⎞
⎜
⎟
25) ⎜ − 1 0 2 ⎟
⎜ − 3 1 2⎟
⎝
⎠
⎛ − 1 2 − 1⎞
⎜
⎟
23) ⎜ 3 − 1 0 ⎟
⎜2
3 2 ⎟⎠
⎝
⎛3 −1 0 ⎞
⎜
⎟
26) ⎜ 2 1 − 1⎟
⎜1 1
2 ⎟⎠
⎝
⎛ 3 −1 1 2⎞
⎜
⎟
28) ⎜ 0 1 1 2 ⎟
⎜1 −1 1 ⎟
⎝
⎠
⎛−1 0 1 ⎞
⎜
⎟
29) ⎜ 2 1 − 1⎟
⎜3 2 1⎟
⎝
⎠
⎛ 4 −1 2 ⎞
⎜
⎟
24) ⎜ − 3 2 − 1⎟
⎜ 1
1
2 ⎟⎠
⎝
⎛ 4 −1 2 ⎞
⎜
⎟
27) ⎜ − 3 2 − 1⎟
⎜ 1
1
2 ⎟⎠
⎝
⎛ 2 − 1 1⎞
⎜
⎟
30) ⎜ 4 − 1 3 ⎟
⎜ 2 1 1⎟
⎝
⎠
0⎞
⎛1 4 − 1
⎜
⎟
31) ⎜ 0 − 1 2 1 ⎟
⎜ 0
1
− 1⎟⎠
⎝
⎛ −1 2 0 1 2⎞
⎜
⎟
32) ⎜ 0
1 − 1⎟
⎜ − 1 1 − 1⎟
⎝
⎠
⎛ 3 2 − 1⎞
⎜
⎟
33) ⎜ 1 1 − 1⎟
⎜2 1 1 ⎟
⎝
⎠
⎛ − 3 2 −1 2⎞
⎜
⎟
34) ⎜ 1
1
−1 ⎟
⎜ 2 −1
0 ⎟⎠
⎝
⎛ − 3 1 2 − 1⎞
⎜
⎟
35) ⎜ 1 − 1 2 ⎟
⎜ −1 2
1 ⎟⎠
⎝
⎛ − 1 0 1 2⎞
⎜
⎟
36) ⎜ − 1 0 − 1 ⎟
⎜ 3 2 1 ⎟
⎝
⎠
61
Números Complejos
62
Números Complejos
IV . ESPACIOS VECTORIALES
4.1 Definición de espacio vectorial y propiedades
Definición: Un conjunto de objetos V es un espacio vectorial real (o simplemente un
espacio vectorial) y los elementos de V se llaman vectores, si existen dos operaciones
en V, llamadas adición (o suma) (denotada por +) y multiplicación por escalar, que
satisfacen las propiedades siguientes.
Propiedad de Cerradura
→
→
1. Si u y v Pertenecen a V entonces u+v pertenecen a V.
→
→
2. Si u esta en V y c es cualquier número real entonces c u pertenece a V.
Propiedad de Adición
→
→
→
Para todo u , v y w en V
→
→
→
→
3. u + v = v + u
→
→
→
→
→
→
4. ( u + v )+ w = u + ( v + w )
5. Existe un elemento en V, denotado por O, tal que para todo un en V.
u+O=O+u=u
6. Para todo u en V existen un elemento en V, denotado por u, tal que
u + (− u ) = (− u ) + u = 0
Multiplicación por escalar, Para todo par de números reales ay b, llamados escalares
reales o simplemente escalares y para todo por de vectores u y v pertenecientes a V.
7.
8.
9.
10.
(a + b )u = au + bu
a(u + v ) = au + av
(ab )u = a(bu )
lu = u
Problema:
Determine si el conjunto es cerrado bajo la multiplicación.
S = {− 1,0,1}
Tomemos (-1) y (1)
(− 1)(1) = −1 ∈ S
Tomemos (-1) y (0)
(− 1)(0) = 0 ∈ S
Tomemos (0) y (1)
(0)(1) = −1 ∈ S
63
Números Complejos
Luego se concluye que el conjunto S es cerrado bajo la multiplicación.
Problema:
Determine si el conjunto es cerrado bajo la multiplicación.
El conjunto de todas las matrices 2 x 2 .
Sean las matrices 2 x 2 siguientes.
a12 ⎞
b12 ⎞
⎛a
⎛b
⎟⎟
⎟⎟
A = ⎜⎜ 11
B = ⎜⎜ 11
⎝ a 21 a 22 ⎠
⎝ b21 b22 ⎠
a12 ⎞⎛ b11 b12 ⎞ ⎛ a11b11 + a12 b21
⎛a
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
AB = ⎜⎜ 11
⎝ a 21 a 22 ⎠⎝ b21 b22 ⎠ ⎝ a 21b11 + a 22 b21
a11b12 + a12 b22 ⎞
⎟
a 21b12 + a 22 b22 ⎟⎠
Las matriz resultante es de tamaño 2 x 2 , entonces decimos que la multiplicación es
cerrada.
Problema:
Determine si el conjunto es un espacio vectorial.
⎛ a b⎞
⎟⎟ en donde a y b son números
El conjunto S de todas las matrices de la forma ⎜⎜
⎝− b a⎠
reales, con las operaciones de adición de matrices y multiplicación por un escalar.
Tenemos las dos siguientes matrices en el conjunto dado.
⎛ m n⎞
⎛ p q⎞
⎜⎜
⎟⎟ y ⎜⎜
⎟⎟
⎝ − n m⎠
⎝− q p⎠
n+q ⎞
⎛ m n⎞ ⎛ p q⎞ ⎛ m+ p
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
1. − ⎜⎜
⎝ − n m ⎠ ⎝ − q p ⎠ ⎝ − (n + q ) m + p ⎠
La matriz resultante pertenece al espacio.
2. − Si K es un escalar
⎛ m n ⎞ ⎛ Km Kn ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
K ⎜⎜
⎝ − n m ⎠ ⎝ − Kn Km ⎠
La matriz resultante pertenece al espacio.
n+q ⎞ ⎛ p+m
q+n⎞
⎛ m n⎞ ⎛ p q⎞ ⎛ m+ p
⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⎝ − n m ⎠ ⎝ − q p ⎠ ⎝ − (n + q ) m + p ⎠ ⎝ − (q + n ) p + m ⎠
⎛ p q⎞ ⎛ m n⎞
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟
= ⎜⎜
⎝ − q p⎠ ⎝ − n m⎠
64
Números Complejos
Se cumple que la suma es conmutativa.
4. Para esta propiedad necesitamos una tercera matriz.
⎛ r
⎜⎜
⎝− l
⎡⎛ m
⎢⎜⎜
⎣⎝ − n
l⎞
⎟
r ⎟⎠
n⎞ ⎛ p
⎟+⎜
m ⎟⎠ ⎜⎝ − q
q ⎞⎤ ⎛ r
⎟⎥ + ⎜
p ⎟⎠⎦ ⎜⎝ − l
l⎞ ⎛ m+ p
n+q ⎞ ⎛ r
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟+⎜
r ⎠ ⎝ − (n + q ) m + p ⎟⎠ ⎜⎝ − l
l⎞
⎟
r ⎟⎠
n+q+r⎞ ⎛ m n⎞ ⎛ p+r
q+l ⎞
⎛ m+ p+l
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ =
= ⎜⎜
⎝ − (n + q + r ) m + p + l ⎠ ⎝ − n m ⎠ ⎝ − (q + l ) p + r ⎠
⎛ m n ⎞ ⎡⎛ p q ⎞ ⎛ r l ⎞⎤
⎜⎜
⎟⎟ + ⎢⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟⎥
⎝ − n m ⎠ ⎣⎝ − q p ⎠ ⎝ − l r ⎠⎦
Se cumple que la suma es asociativa.
⎛ p
5. − ⎜⎜
⎝− q
q ⎞ ⎛0 0⎞ ⎛ p
⎟+⎜
⎟=⎜
p ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠ ⎜⎝ − q
q ⎞ ⎛0 0⎞ ⎛ p
⎟=⎜
⎟+⎜
p ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠ ⎜⎝ − q
q⎞
⎟
p ⎟⎠
Si se cumple las operaciones.
⎛ p
6. − ⎜⎜
⎝− q
q⎞
⎛ p
⎟⎟ + (− 1)⎜⎜
p⎠
⎝− q
q⎞ ⎛ p
⎟=⎜
p ⎟⎠ ⎜⎝ − q
q ⎞ ⎛ − p − q ⎞ ⎛ 0 0⎞
⎟+⎜
⎟=⎜
⎟
p ⎟⎠ ⎜⎝ q − p ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠
7. Si a y b son escalares
(a + b )⎛⎜⎜
p
⎝− q
q ⎞ ⎛ (a + b ) p
⎟=⎜
p ⎟⎠ ⎜⎝ (a + b )(− q )
⎛ ap + bp aq + bq ⎞
⎛ p
⎟⎟ = a⎜⎜
= ⎜⎜
⎝ − aq − bq ap + bp ⎠
⎝− q
(a + b )q ⎞
⎟
(a + b ) p ⎟⎠
q⎞ ⎛ p
⎟ + b⎜
p ⎟⎠ ⎜⎝ − q
q⎞
⎟
p ⎟⎠
La operaciones se cumple y por lo tanto la propiedad.
8.
⎡⎛ m n ⎞ ⎛ p
⎟⎟ + ⎜⎜
a ⎢⎜⎜
⎣⎝ − n m ⎠ ⎝ − q
q ⎞⎤
n + q ⎞ ⎛ am + ap an + aq ⎞
⎛ m+ p
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟⎥ = a⎜⎜
p ⎠⎦
⎝ − (n + q ) m + p ⎠ ⎝ − an − aq am + ap ⎠
⎛ am an ⎞ ⎛ ap aq ⎞
⎛ m n⎞ ⎛ p
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ = a⎜⎜
⎟⎟ + a⎜⎜
= ⎜⎜
⎝ − an am ⎠ ⎝ − aq ap ⎠
⎝− n m⎠ ⎝− q
q⎞
⎟
p ⎟⎠
Las operaciones se cumple y por lo tanto la propiedad.
⎛ p
9. (ab )⎜⎜
⎝− q
q ⎞ ⎛ abp abq ⎞
⎛ bp bq ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ = a⎜⎜
⎟⎟
p ⎠ ⎝ − abq abp ⎠
⎝ − bq bp ⎠
65
Números Complejos
Las operaciones se cumple y por lo tanto la propiedad.
⎛ p
10. 1⎜⎜
⎝− q
q⎞ ⎛ p
⎟=⎜
p ⎟⎠ ⎜⎝ − q
q⎞
⎟
p ⎟⎠
Se concluye que el elemento es un espacio vectorial.
Problema:
Determine si el conjunto es un espacio vectorial, bajo las operaciones dadas. Si no lo es.
liste todos los axiomas que no se cumplen.
Sea el conjunto de todas las ternas de números reales (x, y, z ) con las siguientes
K ( x, y, z ) = (Kx, y, z )
operaciones (x, y, z ) + ( x' , y ' , z ') = ( x + x' , y + y ' , z + z ')
1. tomemos los siguientes elementos del conjunto.
(m, n, o ), ( p, q, r ) y (s, t , u )
Entonces
(m, n, o ) + ( p, q, r ) = (m + p, n + q, o + r )
2. Si K es un escalar
K (m, n, o ) = (Km, n, o ) este elemento, si pertenece al conjunto
3.
(m, n, o ) + ( p, q, r ) = (m + p, n + q, o + r )
= ( p + m, q + n, r + o ) = ( p, q, r ) + (m, n, o )
Se cumple que la suma es conmutativa.
4.
[(m, n, o ) + ( p, q, r )] + (s, t , u ) = (m + p, n + q, o + r ) + (s, t , u )
= (m + p + s, n + q + t , o + r + u ) = (m, n, o ) + ( p + s, q + t , r + u )
(m, n, o ) + [( p, q, r ) + (s, t , u )]
Las operaciones se cumplen y por lo tanto la propiedad.
5. Sea (0,0,0 ) que pertenece al conjunto entonces
(m, n, o ) + (0,0,0) = (m, n, o ) = (0,0,0) + (m, n, o ) las operaciones se cumplen y por
lo tanto la propiedad.
6.
(m, n, o ) + (− m,−n,−o ) = (m − m, n − n, o − o ) = (0,0,0)
= (− m + m,− n + n,−o + o ) = (− m,− n,−o ) + (m, n, o )
Las operaciones se cumplen y por lo tanto la propiedad.
(a + b )(m, n, o ) = ((a + b )m, n, o ) = (am + bm, n, o )
a(m, n, o ) + b(m, n, o ) = (am, n, o ) + (bm, n, o ) = (am + bm, n + n, o + o )
Entonces (a + b )u ≠ au + bu
7.
66
Números Complejos
8.
a[(m, n, o ) + ( p, q, r )] = a(m + p, n + q, o + r ) = (am + ap, n + q, o + r )a
a(m, n, o ) + a( p, q, r ) = (am, n, o ) + (ap, q, r ) = (am + ap, n + n, o + o )
Las operaciones se cumplen y por lo tanto la propiedad.
a[(m, n, o ) + ( p, q, r )] = a (m, n, o ) + a ( p, q, r )
9. (ab )(m, n, o ) = (abm, n, o ) = a(bm, n, o ) = a[b(m, n, o )]
Las operaciones se cumplen y por lo tanto la propiedad.
10. 1(m, n, o ) = (m, n, o ) la operación se cumple y por lo tanto la propiedad.
La conclusión es que es un espacio vectorial.
Problemas:
Se da un conjunto de objetos con las operaciones de adición y multiplicación
escalar. Determine cuales de los conjuntos son espacios vectoriales bajo las
operaciones dadas. Para aquellos que no lo son liste cual de los 10 axiomas no se
cumplen.
1) El conjunto de todas las ternas de números reales (x, y, z ) con las operaciones
(x, y, z ) + (x' , y ' , z ') = (x + x' , y + y ' , z + z ') y K (x, y, z ) = (0,0,0) .
2) El conjunto de todas la parejas de números reales ( x, y ) con las operaciones
(x, y ) + (x' , y ') = (x + x' , y + y ') y K (x, y ) = (2 Kx,2 Ky ) .
3) El conjunto de todos los números reales x con las siguiente operaciones estándar
de adición y multiplicación.
4) El conjunto de todas las n-adas de números reales de la forma (x, x, x........, x )
con las operaciones estándar sobre R n .
5) El conjunto de todas la parejas de números reales ( x, y ) con las operaciones
(x, y ) + (x' , y') = (x + x' , y + y ') y K (x, y ) = (Kx, Ky ) .
6) El conjunto de todo los números reales positivos con las operaciones x con las
y K x = xK .
operaciones x + x' = xx'
⎛ a 1⎞
⎟⎟ con la adición
7) El conjunto de todas las matrices de 2 x 2 de la forma ⎜⎜
⎝ 1 b⎠
matricial y la multiplicación escalar.
⎛ a 0⎞
⎟⎟ con la adición
8) El conjunto de todas las matrices de 2 x 2 de la forma ⎜⎜
⎝ 0 b⎠
matricial y la multiplicación escalar.
67
Números Complejos
9) El conjunto de todas la funciones con valor real f definidas en todo punto sobre
la recta real y tale que f(1)=0, con las operaciones definidas.
( f + q )(x ) = f (x ) + g (x )
(Kf )(x ) = Kf (x )
a + b⎞
⎛ a
⎟ con la
10) El conjunto de todas las matrices de 2x 2 de la forma ⎜⎜
b ⎟⎠
⎝a + b
adición matricial y la multiplicación escalar.
⎛0 − a⎞
⎟⎟ .
11) El conjunto de todas las matrices de la forma ⎜⎜
⎝a 0 ⎠
⎛a − b⎞
⎟⎟ .
12) El conjunto de todas las matrices de la forma ⎜⎜
⎝b a ⎠
⎛a b ⎞
⎟⎟ tales que a+d=0.
13) todas las matrices ⎜⎜
⎝c d ⎠
⎛a b ⎞
⎟⎟ tales que a+d=1
14) todas las matrices ⎜⎜
⎝c d ⎠
15) demuestre que el conjunto formado por los polinomios de grado n
P( x ) = ao + a1 x + a 2 x 2 + ....... + a n x n es un espacio vectorial.
4.2 Subespacio Vectorial
Definición: Sea V un espacio vectorial y S un subconjunto no vacío de V. Entonces S es
un subespacio de V si S es un espacio vectorial con las mismas operaciones de adición y
multiplicación por escalar definidas en V.
Teorema: Si W es un conjunto de uno o mas vectores de un espacio vectorial V,
entonces W es un subespacio de V si y solo si se cumplen loas condiciones siguientes
a) Si u y v son vectores en W entonces a+v esta en W.
b) Si K es un escalara cualquiera y u es un cualquier vector en W entonces Ku esta
en W.
Problema:
Determine si el conjuntote vectores de la forma (a,0,0 ) es un subespacio de R 3 .
u = (b,0,0), v = (c,0,0)
Sean
u + b = (b,0,0) + (c,0,0) = (b + c,0,0 )
El vector tiene la forma de los vectores dados. Si pertenece al conjunto.
Ku = K (b,0,0 ) = (Kb,0,0 ) El vector tiene la forma de los vectores dados.
68
Números Complejos
El conjunto si es un subespacio de R 3 .
Problema:
Determine si el conjunto de vectores de la forma (a,1,1) es un subespacio de R 3 .
u = (a,1,1), v = (b,1,1)
Sean
u + v = (a,1,1) + (b,1,1) = (a + b,2,2)
El vector no tiene la forma de los elementos del conjunto. El conjunto no forma parte
del subespacio de R 3 .
Problema:
Determine si el conjunto de vectores de la forma (a, b, c ) en donde b = a + c es un
subespacio de R 3 .
Sean (m, n, p ) (q, r , s ) donde n=m+p, r=q+s, (m, n, p ) + (q, r , s ) = (m + q, n + r , p + s )
Se debe cumplir
n+r =m+q+ p+s
Para comprobar si es cierto resuman
n = m + p, r = q + s
n+r =m+ p+q+s =m+q+ p+s
Si cumple ahora hagamos K (m, n, p ) = (Km, Kn, Kp ) se debe cumplir
Kn = Km + Kp ó n = m + p lo cual si es cierto se concluye que si es un subespacio
vectorial.
Problema:
Determine cuales de los siguientes conjuntos son subespacios de M 2 x 2 .
⎛a b ⎞
⎟⎟ en donde a, b, c y d son enteros.
a) Todas las matrices de la forma ⎜⎜
⎝c d ⎠
⎛a b ⎞
⎟⎟ en donde a+d=0.
b) Todas las matrices de la forma ⎜⎜
⎝c d ⎠
c) Todas la matrices A de 2 x 2 tales que A = A t .
d) Todas la matrices A de 2x 2 tales que det( A) = 0 .
Problema:
Determine cuales de los siguientes subespacios
a) Todos lo polinomios a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 para los a 0 = 0 .
b) Todos lo polinomios a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 para los que a 0 + a1 + a 2 + a3 = 0 .
69
Números Complejos
c) Todos los polinomios a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 para los que a 0 , a1 , a 2 y a3 son
enteros.
d)Todos los polinomios de la forma a 0 + a1 x , en donde a 0 y a1 son números reales.
Problema:
Determine si los conjuntos dados forman un subespacio de matrices.
⎫
⎧⎡a ⎤
a) V = ⎨⎢ ⎥, a ∈ R ⎬
⎭
⎩⎣ 0 ⎦
⎫
⎧⎡ a − b ⎤
b) V = ⎨⎢
, a, b ∈ R ⎬
⎥
⎭
⎩ ⎣ 2a + b ⎦
⎫
⎧⎡ a ⎤
⎪
⎪⎢
⎥
c) V = ⎨⎢ 0 ⎥, a, b ∈ R ⎬
⎪
⎪ ⎢ − 2a ⎥
⎦
⎭
⎩⎣
⎧⎡ a − b ⎤
⎫
⎪⎢
⎪
⎥
⎪ b − c⎥
⎪
d) V = ⎨⎢
, a , b, c , d ∈ R ⎬
⎪⎢ c − d ⎥
⎪
⎪⎢⎣d − a ⎥⎦
⎪
⎩
⎭
Problema:
Determine si los conjuntos dados de vectores n son subespacio de R n .
⎫
⎧⎡a ⎤
a) ⎨⎢ ⎥, a ∈ R ⎬
⎭
⎩⎣a ⎦
⎫
⎧⎡a + 1⎤
b) ⎨⎢
, a ∈ R⎬
⎥
⎭
⎩⎣ a ⎦
⎫
⎧⎡ a ⎤
c) ⎨⎢ ⎥, a + b ≥ 2, a, b ∈ R ⎬
⎭
⎩⎣b ⎦
⎫
⎧⎡ a ⎤
d) ⎨⎢ ⎥, a 2 + b 2 = 1, a, b ∈ R ⎬
⎭
⎩⎣b ⎦
70
Números Complejos
⎫
⎧⎡ a ⎤
e) ⎨⎢ ⎥, a ≤ 1 b ≥ 2, a, b ∈ R ⎬
⎭
⎩⎣b ⎦
⎫
⎧⎡a ⎤
f) ⎨⎢ ⎥, a ≤ b, a, b ∈ R ⎬
⎭
⎩⎣b ⎦
⎫
⎧⎡ a ⎤
g) ⎨⎢ ⎥, a = −3b, a, b ∈ R ⎬
⎭
⎩⎣b ⎦
⎫
⎧⎡ a + 1⎤
h) ⎨⎢
, a, b ∈ R ⎬
⎥
⎭
⎩⎣ a + b ⎦
i) El conjunto de todos los vectores en R 3 cuyos dos números componentes son iguales.
j) El conjunto de todos los vectores en R 4 cuyos dos últimos componentes son iguales.
k) El conjunto de todos los vectores en R 3 cuyo primer componente es el doble del
segundo.
l) El conjunto de todos los vectores en R 2 del primer cuadrante.
m) El conjunto de todos los vectores en R 2 del cuarto cuadrante.
Problema:
Considere los siguientes conjuntos de vectores. Demuestre que son subespacio de R 3 .
a) (a,0 )
b) (a, a )
c) (a,2a )
d) (a, a + 3b )
Problema:
Considere los siguientes conjuntos de vectores. Demuestre que son subespacio de R 4 .
a) (a, a, a )
b) (0, a,2a )
c) (a, a + b,3a )
d) (a,2a,3a + 5b )
71
Números Complejos
Problema:
Considere los siguientes conjuntos de vectores. Demuestre que son subespacio de R 4 .
a) (a,2a, b,3b )
b) (a,2a,3a,4a )
c) (0, a, b, a + 2b )
Problema:
¿Cuáles de los subconjuntos de R 3 siguientes es subespacio (a, b, c ) ?
a) a + b + c = 0
b) a + b + c = 1
c) ab = 0
d) ab = 5
e) ab = ac
f) a = b + c
Problema:
¿Los conjuntos siguientes son subespacios de R 2 , el conjunto de vectores de la forma?
b) a,b 3
c) (a, b ) donde a > 0
a) a,b 2
(
)
(
d) (a, b ) donde ab < 0
)
e) (a, b ) donde a no es positivo y b no es negativo
4.3 Combinación lineal, dependencia e independencia lineal.
Definición: Sean V1 , V2 .....Vn vectores en R n . Una expresión de las forma
a1V1 , a 2V2 .....a K VK donde a1 , a 2 .....a K son escalares, se denomina combinación lineal
de los vectores V1 , V2 .....VK .
Problema:
Exprese el vector (11,3) como una combinación lineal de los vectores (4,2) y (− 3,1) .
Solución. (11,3) = a1 (4,2) + a 2 (− 3,1) = (4a1 − 3a 2 ,2a1 + a 2 )
4a1 − 3a 2 = 11
2a1 + a 2 = 3
El determinante del sistema es
4 −3
= 4 + 6 = 10
2 1
11 − 3
a1 =
3
1
=
10
4 11
11 + 9 20
=
=2
10
10
12 − 22
10
= − = −1
10
10
10
La combinación lineal es (11,3) = 2(4,2) − (− 3,1)
a2 =
2
3
=
Problemas:
72
Números Complejos
Exprese el vector (3,9 ) como una combinación lineal de los vectores (4,2) y (− 3,1)
Solución. (3,9) = a1 (4,2) + a 2 (− 3,1) = (4a1 − 3a 2 ,2a1 + a 2 )
4a1 − 3a 2 = 3
2a1 + a 2 = 9
El determinante del sistema es
4 −3
= 4 + 6 = 10
2 1
3 −3
a1 =
a2 =
9
1
10
4 3
2 9
10
=
=
3 + 27 30
=
=3
10
10
36 − 6 20
=
=3
10
10
Problema:
Exprese el vector (− 2,11,−2) como una combinación líneas de los vectores
(1,−1,4), (0,3,0), (− 1,2,−2)
Solución:
(− 2,11,−2) = a1 (1,−1,4) + a2 (0,3,0) + a3 (− 1,2,−2)
= (a1 ,−a1 ,4a1 ) + (0,3a 2 ,0) + (− a3 ,2a3 ,−2a3 ) = (a1 − a3 ,−a1 + 3a2 + 2a3 ,4a1 − 2a3 )
a1 − a3 = −2
a1 + 3a 2 + 2a3 = 11
4a1 − 2a3 = −2
73
Números Complejos
Calculando el determinante del sistema
1 0 −1
1 3 2 = 6 − (0 − 12) = −6 + 12 = 6
4 0 −2
− 2 0 −1
11 3 2
a1 =
a2 =
−2 0 −2
6
1 − 2 −1
1 11 2
4 −2 −2
6
=
− 2(− 6) − (6) 12 − 6
=
=1
6
6
=
− 22 + 4 + 2(− 2 − 8) − (− 2 − 44) − 22 + 4 − 20 + 46 4
=
=
6
6
3
1 0 −2
1 3 11
a3 =
4 0 −2
6
=
− 6 − 2(− 12) − 6 + 24 18
=
=
=3
6
6
6
La combinación lineal es:
(− 2,11,−2) = 1(1,−1,4) + 4 (0,3,0) + 3(− 1,2,−2)
3
Problema:
¿Cuáles de las siguientes son combinaciones lineales de
u = (2,1,4), v = (1,−1,3), w = (3,2,5) ?
a) (3,3,3)
b) (4,2,6 )
c) (1,5,6 )
d) (0,0,0 )
Problema:
Exprese los vectores indicados como combinación lineal de
u = (2,1,4), v = (1,−1,3), w = (3,2,5)
a) (5,9,5)
b) (2,0,6 )
c) (0,0,0 )
d) (2,2,3)
Problema:
Exprese los siguientes polinomios como combinación lineal de:
P1 = 2 + x + 4 x 2 , P2 = 1 − x + 3x 2 P3 = 3 + 2 x + 5 x 2
a) 5 + 9 x + 5 x 2
b) 2 + 6 x 2
c) 0
d) 2 + 2 x + 3x 2
74
Números Complejos
Problema:
¿Cuáles de las siguiente matrices, son combinación lineales de.
⎛ 4 − 2⎞
⎛−1 7⎞
⎛ 1 2⎞
⎟⎟
⎟⎟ C = ⎜⎜
⎟⎟ B = ⎜⎜
A = ⎜⎜
⎝ − 0 − 2⎠
⎝ 5 1⎠
⎝ −1 3⎠
⎛ 6 3⎞
⎛−1 7⎞
⎛0 0⎞
⎛ 6 − 1⎞
⎟⎟ b)⎜⎜
⎟⎟ c)⎜⎜
⎟⎟ d )⎜⎜
⎟⎟
a)⎜⎜
⎝ 0 8⎠
⎝ 5 1⎠
⎝0 0⎠
⎝ − 8 − 8⎠
Dependencia e Independencia lineal
Definición: Un conjunto {V1 , V2 .....Vn } de vectores en R n es linealmente independiente
si y solo si la ecuación vectorial a1V1 + a 2V2 ..... + a K VK = 0 tiene precisamente la única
solución a1 = a 2 = ....a K = 0 .
Un conjunto {V1 , V2 .....Vn } de vectores en R n es linealmente dependiente si y solo si la
ecuación vectorial a1V1 + a 2V2 ..... + a K VK = 0 , tiene solución tal que por lo menos uno
de los ai no es igual a 0.
Teorema: Los vectores V1 , V2 .....Vn de R n forman un cojunto de vectores linealmente
independientes de R n si y solo si
a) El determinante de [V1 , V2 .....Vn ] ≠ 0 o bien
b) [V1 , V2 .....Vn ] es invertible, o bien
c)
[V1 ,V2 .....Vn ] es equivalente por renglones a In
75
Números Complejos
Problema:
Determine si los vectores son linealmente dependientes o independientes.
(3,1) (6,5)
Calculando el determinante.
3 6
= 15 − 6 ≠ 0
1 5
forman un conjunto linealmente independiente
Problema:
Determine si los vectores son linealmente dependientes o independientes.
(1,2,4) (6,1,1) (0,−1,0)
Calculando el determinante.
1 6
0
4 1
0
2 1 − 1 = 1 − 6(2 − 4))1 + 12 = 13 ≠ 0
forman un conjunto linealmente independiente
Problema:
Determine si os polinomios son linealmente dependientes.
2 − x + 4 x 2 3 + 6 x + 2 x 2 2 + 10 x − 4 x 2
x1 = (2,−1,4)
2 − x + 4x 2
3 + 6x + 2x
x 2 = (3,6,2)
2
2 + 10 x − 4 x
2
x3 = (2,10,−4)
Calculando su determinante
2 3 2
− 1 6 10 = 2(− 24 − 20) − 3(4 − 40) + 2(− 2 − 24)
4 2 −4
= 2(− 24 − 20) − 3(− 36) + 2(− 26) = −88 + 108 − 52 = −140 + 108 = −36 ≠ 0
Forman un conjunto linealmente independiente.
76
Números Complejos
Problema:
¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores en R 3 son linealmente independientes?
a) (2,−1,4 ) (3,6,2 ) (2,10,−4 )
b) (3,1,1) (2,−1,5) (4,0,−3)
c) (6,0,−1) (1,1,4)
d ) (1,3,3)
(0,1,4) (7,2,−1)
Problema:
¿Cuáles de los siguientes polinomios de grado dos son linealmente dependientes?
1 + 3x + 3x 2
2
2
3+ x+ x
6− x
a)
b)
c) 5 + 6 x + 3x 2
2
2 − x + 5x
1− x − 4x2
7 + 2x − x2
Problema:
Sea V el espacio vectorial de todas las funciones con valor real definidas sobre la recta
real completa. ¿Cuáles de los siguientes conjunto de vectores en V. son linealmente
dependientes?
a )2,4Sen 2 x, Cos 2 x
b) x, xCosx
c)Cos 2 x, Sen 2 x, Cos 2 x
d )0, x, x 2
Problema:
¿Para cuales valores de λ los vectores que siguen forman un conjunto linealmente
dependiente en R 3 ?
1 1⎞
⎛
V1 = ⎜ λ ,− ,− ⎟
2 2⎠
⎝
1⎞
⎛ 1
V 2 = ⎜ − , λ ,− ⎟
2⎠
⎝ 2
⎛ 1 1 ⎞
V3 = ⎜ − ,− , λ ⎟
⎝ 2 2 ⎠
77
Números Complejos
Problema:
Demuestre si el conjunto de vectores siguiente son linealmente dependiente en R 3 ?
a) (1,−2,3) (− 2,4,1) (2 − 4,8,9)
b) (1,0,2 ) (2,6,4 ) (1,12,2)
c) (3,4,1) (2,1,0 ) (9,7,1)
d ) (1,2,−3)
(2,1,−1) (0,0,0)
Problema:
Encuentre el (los) Valor(es) det. Para el(los) cual(es) son linealmente dependientes los
conjuntos siguientes.
a ) (− 1,2 ) (t ,−4 )
b) (3, t ) (6, t − 1)
c) (2,−t )
(2t + 6,4t )
Problemas:
Determine si los conjuntos siguientes son linealmente dependiente.
⎛1
a) ⎜⎜
⎝0
⎛1
b) ⎜⎜
⎝3
0⎞
⎟
0 ⎟⎠
2⎞
⎟
1 ⎟⎠
⎛0
⎜⎜
⎝0
⎛1
⎜⎜
⎝1
2⎞
⎟
0 ⎟⎠
1⎞
⎟
1⎟⎠
⎛0
⎜⎜
⎝3
⎛2
⎜⎜
⎝4
0⎞
⎟
0 ⎟⎠
⎛ 0 0⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 4⎠
1⎞
⎟
2 ⎟⎠
⎛ 1 2 ⎞ ⎛1 2 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
c) ⎜⎜
⎝ − 1 0 ⎠ ⎝1 1 ⎠ ⎝ 5 3 ⎠
78
Números Complejos
4.4 Bases y Dimensiones.
Definición: un conjunto de vectores S pertenecientes a un espacio vectorial V se llama
base de V, si todo elemento de V se puede expresar como una combinación lineal de los
elementos de S de una manera única.
De forma práctica utilizaremos el siguiente teorema para trabajar el concepto de base.
Teorema: Un subconjunto S de un espacio vectorial V es una base de V si y solo si S es
un conjunto linealmente independiente que genera el espacio V.
Ejemplo:
Considere los vectores
⎛1 0⎞
⎟⎟
A1 = ⎜⎜
⎝0 0⎠
⎛0 1⎞
⎟⎟
A2 = ⎜⎜
⎝0 0⎠
⎛0 0⎞
⎟⎟
A3 = ⎜⎜
⎝1 0⎠
⎛0 0⎞
⎟⎟
A4 = ⎜⎜
⎝0 1⎠
Consideremos la combinación lineal.
C1 A1 + C 2 A2 + C3 A3 + C 4 A4 = 0
⎛1 0⎞
⎛0 1⎞
⎛0 0⎞
⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞
⎟⎟ + C 2 ⎜⎜
⎟⎟ + C3 ⎜⎜
⎟⎟ + C 4 ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
C1 ⎜⎜
⎝ 0 0⎠
⎝0 0⎠
⎝1 0⎠
⎝0 1⎠ ⎝0 0⎠
sumando :
⎛ C1 C 2 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⎝ C3 C 4 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠
entonces C1 = C 2 = C3 = C 4 = 0
Decimos que el conjunto de matrices son li.
Ahora demostraremos que el conjunto genera el espacio de matrices M 2 x 2 .
Tenemos una matriz arbitraria de tamaño 2x2.
a12 ⎞
⎛a
⎟⎟ se observa lo siguiente
A = ⎜⎜ 11
a
a
⎝ 21
22 ⎠
a11 A1 + a12 A2 + a 21 A3 + a 22 A4 =
⎛1
a11 ⎜⎜
⎝0
⎛ a11
⎜⎜
⎝ a 21
0⎞
⎛0 1⎞
⎛ 0 0⎞
⎛ 0 0⎞
⎟⎟ + a12 ⎜⎜
⎟⎟ + a 21 ⎜⎜
⎟⎟ + a 22 ⎜⎜
⎟⎟ =
0⎠
⎝ 0 0⎠
⎝1 0⎠
⎝0 1⎠
a12 ⎞
⎟= A
a 22 ⎟⎠
79
Números Complejos
Ejemplo: determine si el conjunto de matrices forma una base de M 2 x 2 .
⎛ 2 3 ⎞ ⎛ 1 4 ⎞ ⎛ 5 10 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
⎝ −1 4⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝ − 2 9 ⎠
Primeramente veremos si el conjunto de matrices son linealmente independientes:
⎛ 2 3⎞
⎛1 4⎞
⎛ 5 10 ⎞ ⎛ 0
⎟⎟ + C 2 ⎜⎜
⎟⎟ + C3 ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
C1 ⎜⎜
⎝ −1 4⎠
⎝0 1⎠
⎝− 2 9 ⎠ ⎝0
⎛ 2C1 + C 2 + 5C3 3C1 + 4C 2 + 10C3 ⎞ ⎛ 0
⎜⎜
⎟=⎜
4C1 + C 2 + 9C3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0
⎝ − C1 − 2C3
0⎞
⎟
0 ⎟⎠
0⎞
⎟
0 ⎟⎠
2C1 + C 2 + 5C3 = 0
3C1 + 4C 2 + 10C3 = 0
− C1 − 2C3 = 0
4C1 + C 2 + 9C3 = 0
apliquemos operaciones entre filas.
a) 2
b) 3
c) − 1
1
4
0
d)
4
1
a)
b)
1
0
12 52 0
52 52 0
c)
d)
0
0
12 12 0
−1 −1 0
a)
b)
c)
d)
1
0
0
0
0
1
0
0
5 0
10 0
−2 0
9
2
1
0
0
0
0
0
0
0
(a )(− 3) + b → b
(b )(− 1 2) + a → a
− 3 − 3 2 − 15 2 0
3
4
10
0
0 −1 2 −1 2 0
1 12
52 0
0
52
52
0
1
0
2
0
(a )(1) + c → c
(b )(1) + d → d
1 12 52 0
−1 0 −1 0
0 12 12 0
0 1 1 0
0 −1 −1 0
0 0 0 0
(a )(− 4) + d → d
(b )(− 1 2) + c → c
− 4 − 2 − 10 0
4
1
9 0
0 −1 −1 0
0 −1 2 −1 2 0
0 12
12 0
0
0
0
0
Entonces C1 + C3 = 0 C 2 + C 4 = 0 el sistema tiene una infinidad de soluciones,
entonces el sistema es linealmente dependiente. El sistema no forma una base.
80
Números Complejos
Ejercicio: determine una base de P2 que contenga a los polinomios dados.
2 x 2 + 3 x − 2, x 2 − x + 4
Primeramente debemos verificar si los polinomios son linealmente dependientes.
(
)
(
)
C1 2 x 2 + 3 x − 2 + C 2 x 2 − x + 4 = 0
x 2(2C1 + C 2 ) + x(3C1 − C 2 ) + (− 2C1 + 4C 2 ) = 0
2C1 + C 2 = 0
3C1 − C 2 = 0
− 2C1 + 4C 2 = 0
81
Números Complejos
Resolviendo:
a)
b)
2
3
c) − 2
1
−1
0
0
4
0
a)
b)
1
0
c)
0
5
0
a)
b)
1
0
0
1
0
0
c)
0
0
0
12 0
−5 2 0
a/2
(a )(− 3) + b → b
−3 −3 2 0
−1 0
3
0 −5 2 0
(a )(2) + c → c
2 1 0
−2 4 0
0 5 0
(b )(− 1 2) + a → a
0 −1 2 0
1 12 0
1
0
0
(b )(− 5) + c → c
0 −5 0
0 5 0
0 0 0
Entonces C1 = 0 C 2 = 0 : los polinomios son linealmente dependientes.
Para determinar si un conjunto S es una base de un espacio vectorial V, se tiene que
comprobar que S es a la vez linealmente independiente y un conjunto generador de V.
Si, sin embargo, V es de dimensiones n, entonces, como lo muestra el siguiente teorema
se requiere satisfaga una de estas condiciones.
Teorema: Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Sea T = {U 1 ,U 2 ,...U n } un
conjunto de n vectores en V.
a) Si T es linealmente independiente, entonces T es una base de V.
b) Si T es un conjunto generador de V, entonces T es una base de V.
Por este teorema se concluye que el conjunto de polinomios forman una base de P2 .
Problemas:
1- Determine si el conjunto de matrices forman una base de M 22
⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 2 0 ⎞ ⎛ 1 − 1⎞
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 1⎠ ⎝ 3 − 2⎠ ⎝1 1⎠ ⎝3 0 ⎠
2- Determine si las siguientes matrices forman una base de M 23
⎛ 2 5 0⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 1 4 0⎠
⎛ − 3 −1 1⎞ ⎛ 4 1 0⎞
⎜⎜
⎟ ⎜
⎟
1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 4 1 ⎟⎠
⎝ 1
⎛ 7 6 0⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝10 13 0 ⎠
82
Números Complejos
3- Determine una base de P2 que contenga a los polinomios dados:
− x 2 + 4 x, 3 x + 5
4- Determine si el conjunto dado es una base de M 22
⎧⎛1 2 ⎞ ⎛ 3 4 ⎞ ⎛ 5 6 ⎞ ⎛ 7 8 ⎞⎫
⎟⎟⎬
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎨⎜⎜
⎩⎝1 2 ⎠ ⎝ 3 4 ⎠ ⎝ 5 6 ⎠ ⎝ 7 8 ⎠⎭
⎛a b ⎞
⎟⎟ Determine
5- Sea V ⊆ M 22 el conjunto de todas las matrices de la forma ⎜⎜
⎝c − a⎠
que: B = {E11 − E22 , E12 , E21 } es una base de V .
Nota: Eij es la matriz cuyo (i,j)-esimo elemento es uno y el resto de ellos son
cero.
6- Compruebe que 1, x,2 x 2 ,3 − 3x + x 3 es una base de P2 (estos son los primeros
elementos de Chebychev del primer tipo. Se presentan en forma natural, en
varias áreas de matemáticas y física).
7- Amplié el conjunto linealmente independiente dado para formar una base de P2 .
{
}
{
}
b){− x + x , x + x }
c){x + x ,1 + x}
d ){1 + x,−1 + x }
e){1 − x + x ,2 − x }
f ){− x + x ,−5 + x}
a ) 1 + x + x 2 ,1
2
2
2
2
2
2
2
8- Determine una base para R 3 que incluya los vectores (1, 1, 1), (1, 0, − 2 ) .
9- Determine una base para cada uno de los siguientes subespacios de R 3 . Indique
la dimensión de cada subespacio.
a) El conjunto de vectores (a, a, b )
b) El conjunto de vectores (a, 2a, b, 0 )
c) El conjunto de vectores (2a, b, a + 3b, c )
d) El conjunto de vectores (a, a, a, a )
Dimensión de un Espacio
Si un espacio vectorial V tiene una base que consta de n-vectores, entones, la dimensión
de V es n, que se denota como dim(V).
Ejemplo: Considere el conjunto {(1,2,3)(− 2,4,1)} de vectores en R 3 , estos vectores,
generan un subespacio V de R 3 , además los vectores son linealmente independientes
por los tanto dim(V)=2.
83
Números Complejos
Ejemplo: Determine la dimensión del subespacio.
V = {(1, 1, 1), (2, 1, − 1), (1, 0, − 2)}
como (2, 1, − 1) − (1, 1, 1) = (1, 0, − 2)
entonces {(2, 1, − 1), (1, 1, 1)} generan a V
como son independientes dim(V ) = 2
Ejemplo:
Considere los vectores:
⎛1 0⎞
⎟⎟
A1 = ⎜⎜
⎝0 0⎠
⎛0 1⎞
⎟⎟
A2 = ⎜⎜
⎝0 0⎠
⎛0 0⎞
⎟⎟
A3 = ⎜⎜
⎝1 0⎠
⎛0 0⎞
⎟⎟
A4 = ⎜⎜
⎝0 1⎠
Los cuales forman una base del espacio M 2 x 2 la dimension del espacio es 4.
Problema:
1- Determine la dimensión del espacio generado por los siguientes vectores:
⎛1 4 ⎞ ⎛ 2 6 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
⎝1 1 ⎠ ⎝ 4 3 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠
2- Indique la dimensión de cada subespacio.
a) El conjunto de vectores (a, a + b, a − b )
b) El conjunto de vectores (a, 2a, b, 0 )
c) El conjunto de vectores (2a, b, a + 3b, c )
d) El conjunto de vectores (a, a, a, a )
3- Determine la dimension de V.
⎧⎛ a ⎞
⎫
3.1) V = ⎨⎜⎜ ⎟⎟, a ∈ R ⎬
⎩⎝ 0 ⎠
⎭
84
Números Complejos
⎧⎛ a + b ⎞
⎫
⎟⎟ a, b ∈ R ⎬
3.2) V = ⎨⎜⎜
⎩⎝ 2a + b ⎠
⎭
⎫
⎧⎛ a ⎞
⎟
⎪
⎪⎜
3.3) V = ⎨⎜ 0 ⎟, a ∈ R ⎬
⎪
⎪⎜ − 2a ⎟
⎠
⎭
⎩⎝
⎫
⎧⎛ a − c ⎞
⎟
⎪
⎪⎜
3.4) V = ⎨⎜ b + c ⎟ a, b, c ∈ R ⎬
⎪
⎪⎜ 5c ⎟
⎠
⎭
⎩⎝
4.5 Cambio de base, bases ortonormales y ortogonalización de Gram-Schmidt.
Cambio de base:
Sean B = {V1 ,V2 ...Vn } y B'{V1 ' ,...Vn '} dos bases de un espacio vectorial de dimensiones
finitas. Sea P la matriz nxn cuyas columnas son:
B = {V1 ,V2 ...Vn }
P = {[V1 ]B ' , [V2 ]. B '..[Vn ]B ' }
Entonces P es invertible y esta es la única matriz en la que para todo v ∈ V .
[V1 ]B ' = P[V ]B
La matriz P se denomina matriz de transición (o matriz de cambio de base) de B a B’.
Ejemplo: obtenga la matriz de transición de {V1 ,V2 } a {V '1 ,V ' 2 } .
85
Números Complejos
V1 = (1, 1) V2 (1, 2) V '1 (1, 3) V ' 2 (1, 4 )
⎛1⎞
⎛1⎞
⎛ 1 ⎞ ⎛ C + C2 ⎞
⎟⎟
tenemos ⎜⎜ ⎟⎟ = C1 ⎜⎜ ⎟⎟ + C 2 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ 1
⎝1⎠
⎝ 3⎠
⎝ 4 ⎠ ⎝ 3C1 + 4C 2 ⎠
C1 + C 2 = 1
3C1 + 4C 2 = 1 Re solviendo el sistema
Δ=
1 1
3 4
= 4 −3 =1
1 1
1 4
C1 =
= 4 −1 = 3
1
⎛1⎞
⎛ 3 ⎞
entonces ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝1⎠ B ' ⎝ − 2 ⎠
1 1
3 1
C2 =
= 1 − 3 = −2
1
⎛1⎞
⎛1⎞
⎛ 1 ⎞ ⎛ C + C2 ⎞
⎟⎟
ahora ⎜⎜ ⎟⎟ = C1 ⎜⎜ ⎟⎟ + C 2 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ 1
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
⎝ 4 ⎠ ⎝ 3C1 + 4C 2 ⎠
C1 + C 2 = 1
3C1 + 4C 2 = 2 Re solviendo el sistema
Δ=
1 1
= 4 −3 =1
3 4
1 1
2 4
= 4−2 = 2
C1 =
1
⎛1⎞
⎛2⎞
entonces ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 2 ⎠ B ' ⎝ − 1⎠
1 1
3 2
= 2 − 3 = −1
C2 =
1
2⎞
⎛ 3
⎟⎟ .
En vista de lo anterior la matriz de transición es ⎜⎜
⎝ − 2 − 1⎠
Ejemplo:
2) Calcule la matriz de transición P de la base estándar
{(1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1)} de R 4 a la base B' = {V '1 ,V '2 ,V '3 ,V ' 4 } donde:
V '1 = e4 = (1,0,0,0 ) V ' 2 = e3 = (0,1,0,0 ) V '3 = e2 = (0,0,1,0 ) V ' 4 = e1 = (0,0,0,1)
si v = (a, b, c, d ) como,
e1 = (0V '1 ,0V ' 2 ,0V '3 ,1V ' 4 )
e3 = (0V '1 ,1V ' 2 ,0V '3 ,0V ' 4 )
tenemos que
[e1 ]B ' = e4
[e3 ]B ' = e2
e2 = (0V '1 ,0V ' 2 ,1V '3 ,0V ' 4 )
e4 = (1V '1 ,0V ' 2 ,0V '3 ,0V ' 4 )
[e2 ]B ' = e3
[e4 ]B ' = e1
86
Números Complejos
Se observa lo siguiente
⎧0
⎪0
⎪
P = ⎨
⎪0
⎪⎩ 1
0
0
1
0
1⎫
0 ⎪⎪
⎬
0⎪
0 ⎪⎭
0
1
0
0
Por consiguiente.
[V ]B ' = P[V ]B
⎛0
⎜
⎜0
=⎜
0
⎜
⎜1
⎝
0
0
1
0
0
1
0
0
1 ⎞⎛ a ⎞ ⎛ d ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 ⎟⎜ b ⎟ ⎜ c ⎟
=
0 ⎟⎜ c ⎟ ⎜ b ⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 ⎟⎠⎜⎝ d ⎟⎠ ⎜⎝ a ⎟⎠
Problemas:
1) Determine la matriz de transición de {V1 ,V2 } a {V '1 ,V ' 2 } siendo
V1 = (1, 0 ) V2 = (0, 1) V '1 = (0, 1) V ' 2 = (1, 0 )
2) Determine la matriz de transición de {V1 ,V2 ,V3 } a {V '1 ,V ' 2 ,V '3 } siendo
V1 = e3 V2 = e1 V3 = e2 V '1 = e1 V ' 2 = e2 V '3 = e3
Bases Ortonormales.
Definición: Un conjunto S = {U 1 ,U 2 ....U k } en R n es un conjunto ortogonal si
U i • U j = 0 siempre que i ≠ j .
Definición: Un conjunto S = {U 1 ,U 2 ....U k } de vectores en R n es ortogonal si:
a) S es ortogonal
b) Todo vector en S tiene una longitud unitaria, esto es U = 1 Para toda i.
Necesitamos manifestar el siguiente teorema.
Sea {V1 ,V2 ...Vn } una base ortonormal de R n , y supóngase que v es cualquier vector en
R n . Entonces V = (V ⋅ V1 )V1 + (V ⋅ V2 )V2 + ... + (V ⋅ Vn )Vn esto es el coeficiente de Vi es
V ⋅ Vi .
Ejemplo: El conjunto de vectores {(1,0,0 )(0,1,0 )(0,0,1)} es ortonormal.
(1,0,0)(0,1,0) = 0 (0,1,0)(0,0,1) = 0 (1,0,0)(0,0,1) = 0
(0,1,0) = 1
(0,0,1) = 1
(1,0,0) = 1
Ejemplo: Determine si el conjunto de vectores es ortogonal.
(3,2), (8,−12) Entonces (3,2) • (8,−12) = 24 − 24 = 0 si son ortogonales.
87
Números Complejos
Ejemplo: Obtenga el valor de c tal que la pareja de vectores sea ortogonal.
(2, c ), (3,1) tenemos
(2, c ) • (3,1) = 0
6 + c = 0 c = −6
Ejemplo: Determine si el conjunto de vectores son ortonormales.
2 1 ⎞ ⎛ 2 1 2 ⎞⎫
⎧⎛ 1 2 2 ⎞ ⎛ 2
⎨⎜ , , ⎟, ⎜ , − , ⎟, ⎜ , , − ⎟⎬
3 3 ⎠ ⎝ 3 3 3 ⎠⎭
⎩⎝ 3 3 3 ⎠ ⎝ 3
2 1⎞ 2 4 2
⎛ 1 2 2 ⎞⎛ 2
⎜ , , ⎟⎜ , − , ⎟ = − + = 0
3 3⎠ 9 9 9
⎝ 3 3 3 ⎠⎝ 3
⎛ 1 2 2 ⎞⎛ 2 1 2 ⎞ 2 2 4
⎜ , , ⎟⎜ , , − ⎟ = + − = 0
⎝ 3 3 3 ⎠⎝ 3 3 3 ⎠ 9 9 9
2 1 ⎞⎛ 2 1 2 ⎞ 4 2 2
⎛2
⎜ , − , ⎟⎜ , , − ⎟ = − − = 0
3 3 ⎠⎝ 3 3 3 ⎠ 9 9 9
⎝3
⎛1 2 2⎞ ⎛1 4 4⎞
⎜ , , ⎟ =⎜ + + ⎟
⎝3 3 3⎠ ⎝9 9 9⎠
1
2
2 1⎞ ⎛ 4 4 1⎞
⎛2
⎜ ,− , ⎟ =⎜ + + ⎟
3 3⎠ ⎝ 9 9 9⎠
⎝3
⎛2 1 2⎞ ⎛4 1 4⎞
⎜ , ,− ⎟ =⎜ + + ⎟
⎝3 3 3⎠ ⎝9 9 9⎠
=1
1
1
2
2
=1
=1
El conjunto de vectores es ortonormal.
Ortogonalizacion de Gram-Schmidt.
Es posible transformar cualquier base de R n en una base ortonormal usando una técnica
llamada proceso de Gram-Schmidt. fue un actuario danés Jorgen Gram y Erhardt
Schmidt fue un matemático alemán alumno de uno de os matemáticos mas destacados
del siglo XX, David Hilbert.
Citaremos en segunda un teorema y corolario que necesitamos usar.
Teorema: Sea {U 1 ,U 2 ....U k } conjuntos linealmente independientes de vectores en R n .
Entonces existe un conjunto ortonormal {V1 , V2 ....Vk } de vectores en R n tal que Vi es
una combinación lineal de {U 1 , U 2 ....U i } para todo i : 1 ≤ i ≤ k .
Colorario: Sea {U 1 , U 2 ....U n } una base de R n . Entones existe una base ortonormal
{V1 ,V2 ....Vn } de
R n talque Vi es una combinación lineal de {U 1 , U 2 ....U i } para todo
i :1 ≤ i ≤ n .
88
Números Complejos
Este Colorario nos indique que al tener una base podemos construir una base
ortonormal.
Ejemplo: Use el proceso de Gram-Schmidt para transformar la base de R 2 en base
ortonormal.
La base es (1, 1) (3, 4 ) .
Llamemos U 1 = (1, 1)
U 2 = (3, 4 ) .
89
Números Complejos
U 1 (1, 1)
1
(1, 1) = ⎛⎜ 1 , 1 ⎞⎟
=
=
U1
2
2
2⎠
⎝ 2
V ' 2 = U 2 − (U 2 • V1 )V1
Sea V1 =
1
⎡
(1, 1)⎤⎥ 1 (1, 1)
= (3, 4 ) − ⎢(3, 4 ) •
2
⎣
⎦ 2
⎛ 1
(3, 4) 1 (1, 1)⎞⎟
= (3, 4 ) − ⎜
2
⎝ 2
⎠
7
⎛7 7⎞
= (3, 4 ) − (1, 1) = (3, 4 ) − ⎜ , ⎟
2
⎝2 2⎠
⎛ 1 1⎞
= ⎜− , ⎟
⎝ 2 2⎠
⎛ 1 1⎞
⎜− , ⎟
V2 ⎝ 2 2 ⎠
1 ⎛ 1 1⎞ ⎛
2
2⎞
⎟
,
V2 =
=
=
⎜ − , ⎟ = ⎜⎜ −
1 ⎝ 2 2⎠ ⎝ 2
2 ⎟⎠
V2
1 1
+
2
4 4
2 2⎞
⎛ 1 1 ⎞ ⎛⎜
⎟.
,
,
La base ortonormal resulta ser: ⎜
⎟ ⎜−
⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎟⎠
Ejemplo: Use el proceso de Gram-Shmidt para transformar la base R 3 e n base
ortonormal.
La base es (1,0,1) (2,3,5) (0,−2,−1) .
Llamemos U 1 = (1,0,1) U 2 = (2,3,5) U 3 = (0,−2,−1) .
U
(1,0,1) = 1 ( )
V1 = 1 =
1,0,1
U1
1+1
2
⎡⎛
⎤
1
(1, 0, 1)⎞⎟ 1 (1, 0, 1)⎥
V2 ' = U 2 − (U 2 • V1 )V1 = (2,3,5) − ⎢⎜ (2,3,5) •
2
⎠ 2
⎣⎝
⎦
3⎞
⎛7 7⎞ ⎛ 3
⎞
⎛1
= (2,3,5) − ⎜ [2,5](1, 0, 1)⎟ = (2,3,5) − ⎜ ,0, ⎟ = ⎜ − , 3, ⎟
2⎠
⎝2 2⎠ ⎝ 2
⎠
⎝2
3⎞
⎛ 3
⎜ − , 3, ⎟
3⎞
2 ⎛ 3
2⎠
2
V2 = ⎝
=
⎜ − , 3, ⎟
2⎠
9
54 ⎝ 2
9
+`9 +
4
4
V3 ' = U 3 − (U 3 • V1 )V1 − (U 3 • V2 )V2
⎡
= (0,−2,−1) − ⎢(0,−2,−1) • (1,0,1)
⎣
⎡
3⎞ 2 ⎤
⎛ 3
− ⎢(0,−2,−1) • ⎜ − , 3, ⎟
2 ⎠ 54 ⎥⎦
⎝ 2
⎣
V3 ' = (0,−2,−1) −
1 ⎤ 1
(1,0,1)
⎥
2⎦ 2
2 ⎛ 3
⎜ − , 3,
54 ⎝ 2
3⎞
⎟
2⎠
1
[− 1](1,0,1) − 2 2 ⎡⎢− 6 − 3 ⎤⎥⎛⎜ − 3 , 3, 3 ⎞⎟
2⎠
2 ⎦⎝ 2
2
54 54 ⎣
90
Números Complejos
3⎞
2 ⎛ 15 ⎞⎛ 3
⎛1 1⎞
= (0,−2,−1) + ⎜ ,0, ⎟ −
⎜ − ⎟⎜ − , 3, ⎟
2⎠
54 ⎝ 2 ⎠⎝ 2
⎝2 2⎠
3⎞
⎛ 1 1 ⎞ 60 ⎛ 3
= (0,−2,−1) + ⎜ ,0, ⎟ +
⎜ − , 3, ⎟
2⎠
⎝ 2 2 ⎠ 180 ⎝ 2
1 ⎞ ⎛ 5 10
1 ⎞ ⎛ 30 60 30 ⎞ ⎛ 1
⎛1
= ⎜ ,−2,− ⎟ + ⎜ , , ⎟ = ⎜ ,−2,− ⎟ + ⎜ , ,
2⎠ ⎝6 6
2 ⎠ ⎝ 36 36 36 ⎠ ⎝ 2
⎝2
2 2⎞ ⎛ 4 1 1⎞
⎛8
=⎜ ,− , ⎟=⎜ ,− , ⎟
6 6⎠ ⎝ 3 3 3⎠
⎝6
⎛4 1 1⎞
⎜ ,− , ⎟
1 ⎛ 4 1 1⎞
3 3 3⎠
V3 = ⎝
=
⎜ ,− , ⎟
2 ⎝ 3 3 3⎠
16 1 1
+ +
9 9 9
5⎞
⎟
6⎠
La base resultante es:
1
(1,0,1) ,
2
2 ⎛ 3
⎜ − , 3,
54 ⎝ 2
3⎞
⎟,
2⎠
1 ⎛ 4 1 1⎞
⎜ ,− , ⎟
2 ⎝ 3 3 3⎠
Problema: Use el proceso de Gram-Schmidt para transformar la base de R 2 en base
ortonormal: (5,−2 ) (4,−1)
Problema: Use el proceso de Gram-Schmidt para transforma la base de R 3 en base
ortonormal: (1,3,2) (1,4,4 ) (− 2,−1, 1)
Problema: Use el proceso de Gram-Schmidt para transformar la base de R 4 en base
ortonormal: (0, 1, 0, 1) (2, 0, − 1, 0 ) (0, 1, 1, 1)(0, 0, 3, 4 ) .
91
Números Complejos
92
Números Complejos
V . TRANSFORMACIONES LINEALES
5.1 Definición de una Transformación (aplicación lineal)
Definición: Sea T una función de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W.
Entonces T es una transformación lineal si tiene las dos propiedades.
Siguientes:
a) Para toda u y v en V, T (u + v ) = T (u ) + T (v )
b) Para toda u en V cualquier escalar c, T (cu ) = cT (u )
Ejemplo:
Determine si la función dada es o no una transformación lineal.
T : R 2 → R 2 T [( x, y )] = (3 x + 2 y, x )
u = ( x1 , y1 ) v = (x 2 , y 2 )
u + v = ( x1 + x 2 , y1 + y 2 )
T (u + v ) = (3( x1 + x 2 ) + 2( y1 + y 2 ), x1 + x 2 )
= (3 x1 + 2 y1 + 3 x 2 + 2 y 2 , x1 + x 2 )
= (3 x1 + 2 y1 , x1 ) + (3 x 2 + 2 y 2 , x 2 )
= T (u ) + T (v )
Si c es un escalar cu = (cx, cy )
T (u ) = T ((cx, cy )) = (3cx1 + 2cy1 , cx1 ) = c(3 x1 + 2 y1 , x1 ) = cT (u )
La transformación es lineal.
Ejemplo: determine si la función dada es o no una transformación lineal.
T : R2 → R2
(
T [( x, y )] = x 2 ,0
u = ( x1 , y1 ) v = ( x 2 , y 2 )
)
u + v = ( x1 + x 2 , y1 + y 2 )
T (u + v ) = T ( x1 + x 2 , y1 + y 2 )
(
= ( x1 + x 2 ) ,0
(
2
)
) (
) (
= x + 2 x1x 2 + x 22 ,0 ≠ x12 ,0 + x 22 ,0
2
1
≠ T (u ) + T (v )
)
La transformación no es lineal.
93
Números Complejos
Ejemplo: Determine si la función dada es o no una transformación lineal.
⎛ x ⎞ ⎛ 1 3 ⎞⎛ x ⎞
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟
T ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝ y ⎠ ⎝ 4 2 ⎠⎝ y ⎠
⎛ x + x2 ⎞
⎛x ⎞
⎛x ⎞
⎟⎟
tomemos u = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ v = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ u + v = ⎜⎜ 1
⎝ y1 + y 2 ⎠
⎝ y2 ⎠
⎝ y1 ⎠
T : R2 → R2
⎛ ⎛ x + x 2 ⎞ ⎞ ⎛ 1 3 ⎞⎛ x1 + x 2 ⎞ ⎛ x1 + x 2 + 3 y1 + 3 y 2 ⎞
⎟⎟
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟⎜⎜
T (u + v ) = T ⎜⎜ ⎜⎜ 1
⎝ ⎝ y1 + y 2 ⎠ ⎠ ⎝ 4 2 ⎠⎝ y1 + y 2 ⎠ ⎝ 4 x1 + 4 x 2 + 2 y1 + 2 y 2 ⎠
Luego T (u ) + T (v ) =
⎛ 1 3 ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞⎛ x 2 ⎞ ⎛ x1 + 3 y1 ⎞ ⎛ x 2 + 3 y 2 ⎞
⎟⎟
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
= ⎜⎜
⎝ 4 2 ⎠⎝ y1 ⎠ ⎝ 4 2 ⎠⎝ y 2 ⎠ ⎝ 4 x1 + 2 y1 ⎠ ⎝ 4 x 2 + 2 y 2 ⎠
⎛ x + x 2 + 3 y1 + 3 y 2 ⎞
⎟⎟ = T (u + v )
= ⎜⎜ 1
⎝ 4 x1 + 4 x 2 + 2 y1 + 2 y 2 ⎠
⎛ cx ⎞
Ahora si c ∈ R c(u ) = ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ cy1 ⎠
⎛ ⎛ cx ⎞ ⎞ ⎛ 1 3 ⎞⎛ cx1 ⎞ ⎛ cx1 + 3cy1 ⎞
⎟⎟
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
T ((u )) = T ⎜⎜ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝ ⎝ cy1 ⎠ ⎠ ⎝ 4 2 ⎠⎝ cy1 ⎠ ⎝ 4cx1 + 2cx1 ⎠
⎛ x + 3 y1 ⎞
⎟⎟ = cT (u )
= c⎜⎜ 1
⎝ 4 x1 + 2 x1 ⎠
La transformación es lineal.
94
Números Complejos
Problemas: Determina si la función dada es o no una transformaron lineal.
1) T : R 3 → R 3 , T [(x, y, z )] = (0, x + y , y + z )
⎛ 2 0⎞
⎟⎛ x ⎞
⎛⎛ x ⎞⎞ ⎜
2) T : R 2 → R 2, T ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜ − 1 4 ⎟⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ⎝ y ⎠ ⎠ ⎜ 3 8 ⎟⎝ y ⎠
⎠
⎝
⎛⎛ x ⎞⎞ ⎛ x −1 ⎞
⎟⎟
3) T ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝⎝ y ⎠⎠ ⎝ x − y ⎠
⎛ ⎛ x ⎞ ⎞ ⎛ xy ⎞
⎟⎟
4) T ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝⎝ y ⎠⎠ ⎝ − y ⎠
⎛⎛ x ⎞⎞
⎛ x⎞
⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎛ 1 − 1 0 ⎞⎜ ⎟
⎟⎟⎜ y ⎟
5) T ⎜ ⎜ y ⎟ ⎟ = ⎜⎜
0
1
1
⎝
⎠⎜ z ⎟
⎜⎜ z ⎟⎟
⎝ ⎠
⎝⎝ ⎠⎠
⎛⎛ x ⎞⎞ ⎛ x − y ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜
⎟
6) T ⎜ ⎜ y ⎟ ⎟ = ⎜ y + z ⎟
⎜⎜ z ⎟⎟ ⎜ − 7z ⎟
⎠
⎝⎝ ⎠⎠ ⎝
⎛ x + y⎞
⎟
⎛⎛ x ⎞⎞ ⎜
7) T ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜ y ⎟
⎝⎝ y ⎠⎠ ⎜ 0 ⎟
⎠
⎝
8) F (x, y, z ) = 2 x − 3 y + 4 z
9) F ( x, y ) = ( x + 1,2 y, x + y )
95
Números Complejos
5.2 Propiedades de las Transformaciones Lineales
Definición: Sea T ' ;V → W y T ' ' ;V → W dos transformaciones lineales la suma
T = T '+T ' ' de as transformaciones T’ y T’’ es función de V a W definida por :
T (V ) = (T '+T ' ')(V ) = T ' (V ) + T ' ' (v ) para todo vector v en V.
Definición: Sea T ;V → W una transformación lineal y c cualquier escalar. Entonces
cT ;V → W esta definida por (cT )(V ) = c(T (V )) . Para toso vector v en V.
Teorema: Si T ' ;U → V y T ' ' ;V → W son transformaciones lineales, entonces la
función T ' ' T ': U → W es una transformación lineal.
96
Números Complejos
Ejemplos: Dadas la trasformaciones lineales T : R 2 → R 2 y S : R 2 → R 2 definidas por
T [(x, y )] = (3x + y, y ), S [( x, y )] = ( x − y,2 x + 4 y ) describa las transformaciones lineales
indicadas.
a) T + S
(T + S )[(x, y )] = T (x, y ) + S (x, y )
= (3 x + y, y ) + ( x − y,2 x + 4 y ) = (3x + y + x − y, y + 2 x + 4 y ) = (4 x,2 x + 5 y )
b) S − T
(S − T )[(x, y )] = S (x, y ) − T (x, y )
c) 3S + 4T
(3S + 4T )[(x, y )] = 3S (x, y ) + 4T (x, y )
= 3(x − y,2 x + 4 y ) + 4(3x + y, y ) = (3 x − 3 y,6 x + 12 y ) + (12 x + 4 y,4 y )
= (15 x + y,6 x + 16 y )
d ) ST
(ST )[(x, y )]S (T [(x, y )])
= S (3 x + y, y ) = (3 x + y − y,6 x + 2 y + 4 y ) = (3 x,6 x + 6 y )
e) T 2
= T 2 [( x, y )] = T (T (x, y ))
= T [(3 x + y, y )] = (9 x + 3 y + y, y ) = (9 x + 4 y, y )
f ) S2
S 2 [(x, y )] = S [S ( x, y )]
= S [(x − y,2 x + 4 y )] = (x − y − 2 x − 4 y,2 x − 2 y + 8 x + 16 y )
= (− x − 5 y,10 x + 14 y )
g )( S 2 + 2 S + T )[(x, y )]
(
)
= S 2 [(x, y )] + 2S [(x, y )] + T [(x, y )] = S (S ( x, y )) + 2( x − y,2 x + 4 y ) + (3 x + y, y )
= S [(x − y,2 x + 4 y )] + (2 x − 2 y,4 x + 8 y ) + (3 x + y, y )
= (x − y − 2 z − 4 y,2 x − 2 y + 8 x + 16 y ) + (5 x − y,4 x + 9 y )
= (− x − 5 y,10 x + 14 y ) + (5 x − y,4 x + 9 y ) = (4 x − 6 y,14 x + 23 y )
Ejemplo: Sea T : R 3 → R 3 la transformación lineal tal que
⎛ 2⎞
⎛ 3 ⎞
⎛3⎞
T (e1 + e2 + e3 ) = ⎜⎜ ⎟⎟
T (− e1 + e2 + e3 ) = ⎜⎜ ⎟⎟
T (e1 − e2 + e3 ) = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝1⎠
⎝ − 3⎠
⎝ − 1⎠
e1 = (1,0,0) e2 = (0,1,0 ) e3 = (0,0,1)
97
Números Complejos
⎛ − 10 ⎞
⎜
⎟
y T ⎜ 15 ⎟
⎜ 25 ⎟
⎝
⎠
Determine T ( x )
Necesitamos hacer una combinación lineal de los vectores para determinar los valores
de a, b y c.
a (1,1,1) + b(− 1,1,1) + c(1,−1,1) = (− 10,15,25)
(a − b + c, a + b − c, a + b + c ) = (− 10,15,25)
a − b + c = −10
a + b − c = 15
a + b + c = 25
1 −1
El determinante del sistema es: 1
1
a=
b=
− 10 − 1 1
15
1 −1
25
1 1
4
1 − 10 1
1 15 − 1
1 25
1
4
=
=
1
1
− 1 = (1 + 1) + (1 + 1) + (1 − 1) = 4
1
1
− 10(1 + 1) + (15 + 25) + (15 − 25) − 20 + 40 − 10 10
=
=
4
4
4
15 + 25 + 10(1 + 1) + (25 + 15) − 35 + 20 + 10 65
=
=
4
4
4
5.3 Núcleo ( ker) e imagen de una transformación lineal
Definición:
Sea T ; V W una transformación lineal El conjunto de todos los vectores v en V
tales que T(v) =0
se llama núcleo de kernel de T , lo cual se simboliza por ker (T). de manera que :
Ker(T) = { v en V : T (v) = 0 }
El conjunto de todos los elementos w de V tales que existen por lo menos un elemento
v en V . de modo que T(v) = w se llama imagen de T, denotada por imag (T)
Específicamente:
Img (T) =
{
w en W ; T(v) = w para algún v en V }
98
Números Complejos
Ejemplo determine el karnel ò núcleo y la imagen de la transformación lineal .
T[ x , y
] = (2x , x-y)
Solución; para determinar ker (T) , se resuelve
T[ x , y
] = (2x , x-y) = (0 , 0)
2x = 0
x-y = 0
X=0 ;
-y = 0 ;
y=0
La única solución es ( x , y ) = ( 0 , 0 )
Para obtener imag (T) se determinan todos los vectores ( a , b ) tales que existe un
vector
( x , y ) con la propiedad de que
T[ x , y
] = (2x , x-y) = (a , b).
Entonces se tiene :
T[ x , y
] = (2x , x-y) = x(2, 1) + y (0 , 1)
Por lo tanto , image (T) = 5
{ (2, 1) (0 , -1) }
Ejemplo :
Determine el kernel o núcleo y la imagen de la transformación lineal.
T
: R²
R³
; T[(x , y )] = (x + 3 y , 2x-3y , 5x-y)
Solución; para determinar ker (T) , se resuelve
T[(x , y
)] = (x + 3 y , 2x-3y , 5x-y) = ( 0 , 0 , 0)
x + 3y = 0
2x – 3y = 0
5x – y = 0
99
Números Complejos
Tenemos
( a ) ( -2 ) + b
a) 1 3
b) 2 -3
c) 5 -1
0
0
0
-2 -6 0
2 -3 0
0
-9 0
a) 1 3
b) 0 -9
c) 0 -16
0
0
0
( a ) ( -5 ) + c
a) 1
b) 0
c) 0
-5
5
0
0
1
0
0
0
0
-15
-1
-16
b
c
0
0
0
(b ) ( -3 ) + a
-2
2
0
-3
3
0
0
0
0
(b ) ( 16 ) + c
0
0
0
16
-16
-0
b
c
0
0
0
Tenemos entonces x = 0 , y = 0
Por lo tanto ker(T) =
{ (0 , 0) }
Para obtener imag (T) se determinan todos los vectores ( a , b , c ) tales que existe un
vector ( x , y ) con la propiedad de que
(x + 3 y , 2x-3y , 5x-y) = (a , b , c)
= x
Por lo tanto , imag (T) = 5
( 1 , 2 , 5 ) + y ( 3 , -3 , -1)
{ ( 1 ,2, 5) , (3 ,
-3 , -1)
}
100
Números Complejos
Ejemplo: determine el kernel ò núcleo y la imagen de la siguiente transformación .
T
R² ; T[(x , y , z )]
: R³
= (x + 2 y , 0)
Para determinar ker(T), se resuelve
T[(x , y , z )]
= (x + 2 y , 0) = ( 0 , 0 )
Dada la ecuación
x + 2=0
Si x = c ; y = - c / 2
la solución general
( x,y) = ( c,-c ) = c ( 1,-1 )
2
Por lo tanto ker(T) =
= 5
2
{ ( 1 , - 1) }
2
Para obtener imag(T) se determinan todos los vectores ( a , b ) tales que existen un
vector[(x , y , z )]
T[(x , y , z )]
con la propiedad de que
= (x + 2 y , 0) = ( a , b )
= x ( 1 , 0) + y ( 2 , 0 )
Por lo tanto , imag(T) = 5
{ ( 1 , 0) , ( 2 , 0) }
Problemas determine el Kernel o núcleo y la imagen de cada una de las
transformaciones lineales.
1)
T
R³ ; T[(x , y , z )]
: R³
= (2x + y
+ z , x – 4y + 2z , 4x + 5z 2 y , 0)
t
2)
3)
T: M
T: M
23
22
M
M
32
22
; T (A)A
; T (A) A
1 0
1 1
101
Números Complejos
4)
P2 T ( a x2 + a1x + a 0
T: P2
T
x
y
z
x - y
= y - z
-x + z
6)
T
x
y
z
w
x - y
= y - z
-x + z
z+w
7)
T: P1
5)
) = (a2 + a1) x² + (a1 - a 0 ) x
P3 de manera que
T ( a + bx ) = ( a – 2b )x + ( a – 2b ) x² + ( 2a – 4b ) x³
5.4 Matriz asociada a una Transformación Lineal y Representación de
una Transformación Lineal en forma Matricial
En esta parte de curso, se hace necesario mencionar los siguientes temas :
Teorema; sea T: V = W una transformación lineal entre dos espacios vectoriales v y w.
si 5 { u1 , u2….un
única por los valores de ;
} es una base de V. entonces T esta
determinada de manera
T ( u1 ), T ( u2 ) ……. T ( un ).
- ytransformación lineal. Entonces existe una matriz única
Rmxuna
Teorema se; T:xRⁿ
ST5)tal que
T paray toda x en
= Ryⁿ. - z
z
-x + z
T(x) = ST x la columna i – esima de ST es T (ei )
Ejemplo; obtenga la matriz canónica ST que representa a la transformación dada;
T: R²--R² ;T[(x , y)]
Solución; si e1 = ( 1 , 0 )
= (x +
y , y)
e2 = ( 0 , 1 )
102
Números Complejos
T[(1 , 0)] = (1 , 0 )
T[(0 , 1)] = (1 , 1 )
Ahora se escriben estos valores como vectores columna para obtener la matriz ( de
acuerdo con el primer teorema ).
ST = 1
0
1
1
Utilizando el segundo teorema;
T
X1
X2
=
1 1
0 1
X1
X2
=
(X1 + X2, X2)
Con lo cual queda demostrado.
Ejemplo; obtenga la matriz canónica ST que represente a la transformada dada :
Ti
R³ ; T[(x , y )]
: R²
= (2x + y ,
y , x-y)
e1 = ( 1 , 0 )
Solucion;
T[(1 , 0 )]
e2 = ( 1 , 0 )
= (2 , 0 , 1 )
La matriz ST pedida es
ST =
T[(0 , 1 )]
= (1 , 1 , -1 )
2 1
0 1
1 -1
Ejemplo; obtenga la matriz canónica ST que represente a la transformada dada;
T
: R³
R² ; T[(x , y , z )]
= (x + y
,y+z)
Solución:
Tenemos
e1 = ( 1 , 0 , 0 )
e2 = ( 0 , 1 , 0 )
e3 = ( 0 , 0 , 1 )
103
Números Complejos
T ( ( 1 , 0 , 0 ) ) = (1 , 0) ; T ( ( 0 , 1 , 0 ) ) = (1 , 1) ; T ( (1 , 0 , 0 ) ) =(1 , 0)
La matriz ST pedida es
1
0
ST =
1
1
0
1
Problemas;
Obtenga la matriz canónica que represente a la transformación dada
T
: R³
R² ; T[(x , y , z )]
T
: R²
R² ; T[(x , y )]
= (x + y + z
= (x - y
, 2y + 4z , z
)
, 2x – 1 y )
2
Sean B, B' y B'' las siguientes bases de P1 , P2 y P3 respectivamente
B =
{ 1+x , 1+x } < igual
B' =
{-x+x² , 1+x , x } < igual
B'' =
{ -x+x³ , 1+ x² , x , -1+x } < igual
P1
P2
P3
Sean p, p’ y p’’ polinomios cualesquiera de P1 P2 y P3 respectivamente.
p = a + bx en P1
p’ = a +bx + cx² en P2
p’’ = a +bx + cx² + dx³ en P3
En los ejercicios siguientes, determine la matriz de T con respecto a cada base de los
siguientes:
1.
2.
3.
B y B’ , si T (p) = (a-b) + bx + ax²
B’ y B , si T (p’) = (a-b) + (b -4c) x
B’ , si T ( p’) = (a-b) + (b-c) x + (-a+3c) x²
104
Números Complejos
5.5 Transformaciones Lineales Inversa
Definición : sea T : V W una transformación lineal de un espacio vectorial V de
dimensión n hacia un espacio vectorial W de n dimensiones , una inversa de T
( si existe ) expresada por T ¯ ¹ es la función de W hacia V tal que:
T¯¹ T=Iv
TT¯¹ =Iw
En donde I v e I w son las transformaciones identidad de V y W, respectivamente.
Ejemplo: demuestre que f y g son inversas entre si
X
Y
Z
f=
=
-X + Y
X -Z
X+Y
=
-1
1
1
g=
X
Y
Z
=
1
0
1
-X - Y + Z
-Y + Z
-X + 2Y + Z
=
Tenemos
1
0
0
f=
f
=
0
1
0
f=
0
0
1
0
= -1
-1
Entonces
f
=
X
Y
Z
=
-1
g=
g=
-1
= 1
1
0
-1
X
Y
Z
-1 1 0
1 0 -1
1 1 -1
=
g
=
=
-1 -1 1
0 -1 1
1 -2 1
X
Y
Z
0
1
0
=
-1
= -1
-2
g
=
0
0
0
1
= 1
1
X
Y
Z
105
Números Complejos
-1 1 0
1 0 -1
1 1 -1
-1
0
0
-1
-1
-2
1
1
1
1+0+0 1-1+0 -1+1+0
= -1+0+1 -1+0+2 1+0-1
-1+0+1 -1-1+2 -1+1-1
-1
1
1
1
0
1
0
-1
-1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
= 0
0
0
1
0
0
0
1
=
Ahora:
-1 -1 1
0 -2 1
-1 -2 1
f=
X
Y
Z
=
1-1+1 -1+ 0 + 1 0+ 1-1
0-1+1 0+ 0 + 1 0+1 - 1
1-2+1 -1+ 0 + 1 0 2 -1
=
-X + Y
X -Z
X+Y
f y g si son inversas
Ejemplo: compruebe que f es invertible. No calcule la inversa.
X
Y
Z
f =
f
=
1
0
0
f =
-1
= 1
2
X
Y
Z
-X + Y + Z
X - 2Y
2X - Y
=
f
=
-1 1 1
= 1 -2 0
2 -1 0
0
1
0
=
; TENEMOS
1
0
-1
f
=
0
0
1
X
-1 1
Y ; TENEMOS 1 0
Z
2 -1
=
1
-2
0
1
-2
0
106
Números Complejos
la matriz de transformación , tiene matriz de transformación inversa si su determinante
es distinta de cero.
-1
1 1
1 0 -2 = -(0-2) - (0+4) + (-1) = 2 – 4 - 1 = -3 0
2 -1 0
PROBLEMAS
1) compruebe que f es invertible. No calcule la inversa
X
f = Y =
Z
-X + 3Y + 2Z
3X + 2Y + Z
3X + 3Y + Z
2) demuestre que la transformación es invertible y calcule su inversa
a) F ( X, Y, Z )=( -2X-Z, -Y-2Z, -2Z )
b) F ( X, Y, Z )=( X+ 2Y - Z, X-2Y-Z, X+6Y+Z )
c) F ( X, Y, Z )=( X+Y-Z, X+2Y-Z, 3X+4Y+3Z )
107
Números Complejos
108
Números Complejos
VI . VECTORES CARACTERÍSTICOS Y FORMAS CUADRÁTICAS
6.1 Vectores y Vectores Característicos.
Definición:
Si n es un entero positivo, entonces una n – ada ordenada es una sucesión de n
números reales ( a1 , a2 , ….a n). el conjunto de todas las nadas ordenadas se conoce
como espacio n dimensional y se denota por
.n
R
Definición; se dice que dos vectores U = (U1 , U2 , …Un ) y
V= (V1, V2, … Un )
La suma U + V se define por U + V= ( U1 + V1,U2 + V2,…Un +Vn).
Si K es una escalar , el multiplo escalar kU se define por
k U = ( k U1, k U2, …k Un ).
Las operaciones de adición y multiplicación escalar se denominan operaciones
n
estándar sobre R
Definición; se define el vector cero en R
n
como el vector
0 = ( 0, 0….0 )
n
Definición ; si U = ( U1,U2,…Un ) es vector cualquiera en R , entonces el
negativo ( o inverso aditivo ) de U se denota, por -U y se define por
-U = ( -U1,-U2,….-Un).
Teorema. si U = ( U1,U2….Un ), V = ( V1, V2,…Vn ) y W = ( W1,W2,…Wn ) son
vectores en R^n y k y λ son escalares , entonces :
a) U + V = V + U
b) U+( V + W ) = ( U + V ) + W
c) U + 0 = 0 + U = U
d) U + 0( - U ) = 0 , es decir , U-U = 0
e) K (λ U ) = ( K λ ) U
f) K ( U + V ) = KU + KV
g) ( K + λ ) U = KU +λ U
h) 1U = U
109
Números Complejos
Definición ; si U = ( U1,U2,…Un ) y V = ( V1, V2,…Vn ) son vectores cualesquiera
n
en R , entonces el producto euclidiano interior U•V se define por:
U*V = U 1V 1 + U 2V 2 + U 3V3 +
+ U nV n
Teorema 2. Si u , v y w son vectores en Rn y k es un escalar cualquiera, entonces:
(a)
(b)
(c)
(d)
u •v = v •u
( u + v ) •w = u • w + v • w
(ku)•v = k(u•v)
v•v>0 Además v•v = 0 si y solo si v = 0
Definición ; se define la norma euclidiana ( o longitud euclidiana ) en R
vector U = ( U1,U2,…Un ) por :
u = (u • u ) 2 = u 1 + u 2 + ... + u n
1
2
2
n
de un
2
Ejercicios:
Sean U = ( 2, 0,-1, .3) V = ( 5, 4, 7 -1 ) y w = ( 6, 2, 0, 9 )
Halle ( a ) U - V
U – V = ( 2, 0, -1, .3 ) – ( 5, 4, 7, -1) = ( -3, -4, -8, 4 )
Halle (b) 7 V + 3 W
7V + 3W = 7( 5, 4, 7, -1 ) + 3 ( 6, 2, 0, 9 )
= ( 35 , 28, 49, -7 ) + ( 18, 6, 0, 27 )
= ( 53, 34, 49, 20)
Halle (c) -W + V
-W + V = - ( 6, 2, 0, 9 ) + ( 5, 4, 7, -1 ) = ( -6, -2 0, -9 ) + ( 5, 4, 7, -1 ) = ( -1, 2, 7, -10 )
110
Números Complejos
Halle (d) 3 ( U – 7V ) =
3 ( U – 7V ) = 3 [( 2, 0, -1, 3 ) – 7 ( 5, 4, 7, -1 )]
= 3 [( 2, 0, -1, 3 ) + ( -35,- 28,- 49, 7 )]
= 3 ( -33,-28, -50, 10 )
=
( -99, -84, -150, 30 )
Halle (e) -3V – 8W
-3V – 8W = -3 ( 5, 4, 7, -1 ) – 8 ( 6, 2, 0, 9 )
= ( -15,-12, -21, 3 ) + (-48 , -16, 0, -72 )
= ( -63, -28, -21, -69 )
Halle (d) 3 ( U – 7V ) =
Halle (f)
2V – ( U + W )
2V – ( U + W ) = 2 ( 5, 4, 7, -1 ) – [ ( 2, 0, -1, 3 ) + ( 6, 2, 0, 9 ) ]
= ( 10, 8, 14, -2 ) - ( 8, 2,- 1, 12 )
= ( 2, 6, -15, -14 )
2.-calcula la norma euclidiana de V como:
(a) V = ( 4, -3 )
V =
√16 + 9 = √25 = 5
(b) V = ( 1, -1, 3 )
V
=
√1 + 1 + 9 = √11
(c) V = ( 2, 0, 3, -1 )
V
=
√4 + 0 + 9 + 1 = 14
(d) V = ( -1, 1, 1, 3, 6 )
V
=
√1 + 1 + 9 + 36 = √48
3.- Halle el producto euclidiano interior U • V cuando
(a) U = ( -1, 3 ) V = ( 7, 2 )
U •V= -7+ 6 = -1
(b) U = ( 3, 7, 1 )
V = ( -1, 0, 2 )
111
Números Complejos
U •V = -3 + 0 + 2 = -1
(c) U = ( 1, -1, 2, 3 )
V = ( 3, 3, -6, 4 )
U • V = 3 -3 -12 + 12 = 0
Problemas:
1) Sean
U = ( -1, 2, -2 )
V = ( 4, -3, 5 )
W = ( -4, -2, 0 ) d = ( -1, -2, 1 )
a) determine las longitudes de los vectores siguientes
U, V, W, U + V, U – V, U – V + W, d, 10d, /d/d
b) calcule las expresiones siguientes
U+V
,
U
+
V
,
U -
1
d
V
,
U - V
,
V
V +
W W
(d)
2) Sean U1 = ( -1, 3, 2, 0 ) , U2 = ( 2, 0, 4, -1 ) , U3 = ( 7, 1, 1, 4 )
U4 = ( 6, 3, 1, 2, ) encuentre los escalares C1, C2, C3 y C4 tales que
C1 U1 + C2U2 + C3U3 + C4U4 + = ( 0, 5, 6, -3 ) demuestra que si V es un vector
diferente de cero en Rn , entonces ( 1 / ll V ll ) V tiene norma uno.
4) encuentre todos los escalares K tales que
Ll K ll = 3 , en donde V = (-1, 2, 0, 3 )
5) (a) halle dos vectores en R² con norma euclidiana uno, cuyos productos euclidianos
interiores con ( -2, 4 ) sean cero.
(b) demuestre que existen una infinidad de vectores en R³ con norma euclidiana uno ,
cuyo producto euclidiano interior con (-1, 7, 2 ) es cero.
6.2 polinomio característico y ecuación característica
Definición : Si A es una matriz de nxn , entonces se dice que un vector diferente de
cero x en Rn es un eigenvalor de A si A x es un múltiplo escalar de x : es decir
Ax= λx
Para algún escalar λ . el escalar λ se denomina eigenvalor de A y se decide que x es un
eigenvector correspondiente a λ
112
Números Complejos
Algunos autores también le dan a los eigenvolores los nombres de los valores propios,
valores característicos o bien raíces latentes.
Para encontrar los eigenvalores de una matriz A de nxn vuelve a escribir A x = λ
como:
Ax= λIx
ò ( λ I – A ) x = 0 esta ecuación tendrá una solución diferente de cero si solo si
det ( λ I – A ) = 0 esto se conoce como ecuación característica de A : los escalares que
satisfacen esta ecuación son los eigenvalores de A . Cuando se desarrolla, el
determinante det (λ I – A ) es un polinomio en λ conocido como polinomio
característico de A.
Ejercicios:
1.- Encuentre las ecuaciones características de las matrices siguientes
3 0
8 -1
λI – A =
λ–3
-8
10 -9
4 -2
λI–A= λ
solución det ( λI – A ) = 0
1 0 _
λ 0 1
0
λ+1
3 0
8 -1
=
λ-3
0
-8
λ-1
= (λ -3 ) (λ + 1 ) = 0
Solución; det (I – A ) = 0
1 0 _ 10 -9
0 1
4 -2
=
λ – 10 9
-4
λ+2
113
Números Complejos
λ – 10 9
-4 λ + 2
C)
= 0
(λ -3 ) (λ + 1 ) = 0
4 0 1
-2 1 0
-2 0 1
Solución; det (λI – A ) = 0
1 0 0
λI–A= λ 0 1 0
0 0 1
λ-4
0
2
λ-1
2
0
-1
0
λ-1
=
-
4 0 1
-2 1 0
-2 0 1
=
λ -4
2
2
0 -1
λ -1 0
0
λ -1
0
( λ – 4 ) ( λ – 1 )² + 2 (λ – 1 ) = 0
d)
3 0 -5
1/5 -1 0
1
1 2
1 0 0
λI–A= λ 0 1 0
0 0 1
Solución;
3 0 -5
- -1/5 -1 0
1 1 -2
(λI – A ) = 0
=
λ-3
-1/5
-1
0
5
λ -1 0
-1 λ +2
114
Números Complejos
λ-3
0
5
-1/5
λ-1 0
-1
-1
λ+2
=
0
( λ – 3 ) ( λ + 1 ) ( λ + 2 ) + 5 [ 1/5 + (λ + 1 ) ] = 0
(λ – 3 ) (λ + 1 ) (λ + 2 ) + 5 ( 6/5 + λ ) = 0
(λ – 3 ) (λ + 1 ) (λ + 2 ) + ( 6 + 5λ ) = 0
2. Halle los eugenvalores de la matriz
-2 -7
1 2
λI–A=
λ+2
Solución;
λ 0
0 λ
-2 -7
1 2
-
7
=
-1
=
λ+2
7
-1
λ-2
0
(λ + 2 ) (λ – 2 ) + 7 = 0
λ-2
El polinomio característico es: λ² - 4 + 7 = 0
Y la ecuación es: λ² - 3 = 0
No tiene soluciones reales, entonces no tiene eugenvalores .
Halle los eugenvalores de la matriz
3 0
8 -1
Solución;
115
Números Complejos
λI – A =
λ 0 0 λ
λ -3
-8
0
λ-1
Los eigenvalores son
3 0
8 -1
=
λ–3
-8
0
λ+1
= (λ – 3 ) (λ + 1 ) = 0
λ1 = 3
λ2 = -1
4) Halle los eigenvalores de la matriz
4 0 1
-2 1 0
-2 0 1
Solución;
1 0 0
λI–A= λ 0 1 0
0 0 1
-
4 0 1
-2 1 0
-2 0 1
=
λ-4 0
-1
2
λ -1 0
2
0 λ +-1
λ-4 0
-1
de t ( λ I – A )=
2 λ - 1 0 = (λ – 4 )(λ – 1 )(λ – 1) + 2(λ -1 )= 0
2 0 λ-1
( λ – 1 ) [ (λ – 4 ) (λ – 1 ) + 2 ] = 0
( λ – 1 ) [ (λ² - λ – 4 + 2 ] = 0
( λ – 1 ) ( λ² -5λ + 6 ) = 0
( λ – 1 ) ( λ -3 ) (λ - 2 ) = 0
116
Números Complejos
Los eigenvalores son
1
= 1 , λ2 = 3 , λ3 = 2
Ahora trataremos de calcular los eigenvalores, necesitamos dar el siguiente teorema:
Teorema. Si A es una matriz n x n , entonces las siguientes proposiciones son
equivalentes;
a)
b)
c)
d)
λ es un eigenvalor de A
El sistema de ecuaciones ( λ I – A )x = 0 tiene soluciones no triviales.
Existe un vector diferente de cero x en Rn ,tal que A x = λ x
λ es una solución real de la ecuación característica de t ( λ I – A ) = 0
los eigenvalores de A correspondientes a un eigenvalor λ son los vectores
diferentes de cero que satisfacen a Ax = λx.
De igual manera los eigenvalores correspondientes a λ son los vectores diferentes
de cero en el espacio de soluciones de ( λ I – A )x = 0 . A este espacio se le llama
eigenespacio de A correspondiente a λ.
3 0
8 -1
Ejemplo: Halle el eigenvector de la matriz
λI – A =
λ 0 0 λ
3 0
8 -1
de t ( λ I – A ) = λ - 3
-8
=
λ–3
-8
0
λ-1
0
λ+1
= (λ – 3 ) (λ + 1 ) = 0
Los vectores propios son : λ=3 λ= -1
X1
Por definición x
X=
es un eigenvector de A
X2
Correspondiente a λ si y solo si x es una solución no trivial de ( λ I – A )x = 0 , es
decir de
λ–3
0
-8
λ+1
X1
X2
=
0
0
117
Números Complejos
Si λ = 3
0 0
-8 4
X1 =
X2
0
0
; -8 X1 + 4 X2 = 0
Tiene una infinidad de soluciones, si X1 = t € R
-8t + 4 x 2 = 0
x 2 = 84t = 2t
X1
X =
t
1
=
X2
= t
2t
1
entonces
2
2
Es un eigenvector de =3
Si λ = -1
-4 0
-8 0
X1 =
X2
0
0
; -4 X1 =0 X1 =0
-8 X1 =0 X1 = 0
X2 puede tomar cualquier valor real distinto de cero
X1
X2 = t
X=
:
=
X2
Entonces
0
1
0
0
= t
t
1
es un eigenvector de λ = 1
Ejemplo halle el eigenespacio de la matriz
4
-2
-2
0
1
0
1
0
1
Su polinomio característico es ( λ – 1 ) ( λ -3 ) ( λ – 2 ) = 0
Los eigenvalores son; λ = 1 , λ = 3 , λ = 2.
118
Números Complejos
X1
X2
X3
Por definición X =
es un eigenvector de la matriz
Correspondiente a λ si y solo si x es una solución no trivial de ( λ I – A )x = 0 es
decir, de
λ–4 0
-1
2
λ–1 0
2
0 λ–1
X1
X2
X3
0
= 0
0
X1
X2
X3
0
= 0
0
Si λ = 1
-3
2
2
0
0
0
-1
0
0
- 3 X1 - X3 = 0 ;
2 X1 = 0
; 2X1 = 0
El sistema tiene una infinidad de soluciones
X1 = 0 , X2 = 0 y X2 puede tomar cualquier valor real distinto de cero.
t € R - {0}
Sea X2 = t
X1
X2
X3
=
0
1
0
Si
0
t
0
= t
0
1
0
es un eigenvector de λ = 1
λ=3
-1
2
2
0
2
0
-1
0
2
X1
X2
X3
0
= 0
0
1 – X1 - X3 = 0
2 X1 + 2 X2 = 0
2 X1 + 2 X3 = 0
119
Números Complejos
X1 + X3 = 0
X1 + X2 = 0
el sistema tiene una infinidad de soluciones;
Si X1 = t , donde t € R- {0}
X2 = - X1 = - t ;
X1
X2
X3
X3 = - X1 = - t
t
-t
-t
=
1
= t -1
-1
Entonces
1
-1
-1
es un eigenvector de λ = 3
Si λ = 2
-2
2
2
0
1
0
-1
0
1
X1
X2
X3
0
= 0
0
-2X1 - X3 = 0
2X1 + X2 = 0
2X1 + X3 = 0
2 X1 + X3 = 0
2 X1 + X2 = 0 E l sistema tiene una infinidad de soluciones.
Si X1 = t , donde t € R- {0}
X3 = -2 X1 = - 2t , X2 = -2 X1 = -2t
X1
X2
X3
=
t
-2t
-2t
1
= t -2
-2
120
Números Complejos
Entonces:
1
-2
-2
2
es un eigenvector de λ
Problemas:
Obtenga los valores propios o característicos y los vectores propios o característicos de
las matrices dadas:
1)
2
0
-3
4
2)
-1
0
0
3
3)
0
-4
5
2
4)
2
3
-1
1
5)
0
0
-4
2
6)
7
-1
0
2
7)
2 1
-1 0
1 1
9)
2 -2 3
10 -4 6
5 -4 6
3
1
1
8)
0 -1 3
2 1 0
1 1 3
6.3 Diagonalizaciòn de una matriz n por n
Definición : se dice que una matriz cuadrada A es diagonalizable si hay una matriz
inversible P -1 A P sea diagonal; se dice que la matriz P diagonaliza a A.
también se hace necesario el siguiente teorema:
Teorema; si A es una matriz de nxn. Entonces las proposiciones que siguen son
equivalentes.
a) A es diagonalizable
b) A tiene n eigenvectores linealmente independientes
En segunda se da un procedimiento para diagonalizar una matriz diagonizable A de
tamaños nxn.
i)
ii)
se determinan n eigenvectores linealmente independientes de A, P1 , P2 ,
…Pn
Se forma la matriz P que tenga a P1 , P2 , …Pn como sus vectores
columna.
121
Números Complejos
P-1 AP sera matriz diagonal con λ1 , λ 2 , … λ n como sus elementos
sucesivos en la diagonal , en donde λi es el eigenvalor correspondiente a
Pi , i = 1 , 2 ,……n .
iii)
P
Ejercicios:
1) determine si la siguiente matriz es diagonalizable
2
0
1
2
A=
A es diagonalizable si A tiene dos eigenvalores linealmente independientes.
λ
0
λI–A=
2 0
-
0 λ
λ–2
λ–2
0
=
1
2
-1
λ–2
0
= (λ – 2)² = 0
-1
λ–2
un eigenvalor es λ = 2
los eigenvalores correspondientes a λ = 2 es :
Planteamos:
λ–2
-1
(λ I – A) = 0
0
X1
λ–2
X2
0
=
0
Si λ = 2
- X1 = 0
0
-1
0
0
X1
X2
,
X1 = 0
0
=
0
El sistema permite un valor cualquiera para X2 ≠ 0
122
Números Complejos
Tomando X2 = t
X =
X1
t ε R-´{0} la solución es ( X1 , X2 ) = ( 0 , t )
0
0
=
=t
t
X2
1
Como este espacio es unidimensional A no tiene dos eigenvectores linealmente
independientes y por lo tanto no es diagonalizable.
2) determine si la siguiente matriz A es diagonalizable
3 0 0
A= 0 2 0
0 1 2
A es diagonalizable si A tiene tres eigenvectores linealmente independientes
Tomemos λ I – A =
λ-3 0
0
0 λ-2 0
0
0 λ-2
λ
0
0
0
λ
0
0
0
λ
-
3 0 0
0 2
0
0 1 2
λ-3 0
0
=
0 λ-2 0
0 -1 λ-2
= (λ-3) (λ-2)² = 0
Los eigenvalores son λ=3 , λ=2
Planteamos: (λ I – A) X = 0
λ–3 0
0
0 λ–2 0
0 -1 λ–2
0
0
0
0
1
-1
0
0
1
X1
X2
X3
X1
X2
X3
0
0
0
=
=
Si λ=3
0
0
0
X2 =0
- X2 + X3 = 0
Entonces X3 = 0 el sistema permite un valor cualquiera para X1 ≠ 0 , tomando
X1= t , t pertenece al conjunto R –{0} . El conjunto solución
X1 = t , tomando
es ( X1, X2 , X3 ) = ( t , 0 , 0 )
123
Números Complejos
X1
X2
X3
X =
t
0
0
=
1
0
0
= t
un eigenvector es
1
0
0
De λ=3
Si λ=2
-1 0
0 0
0 -1
0
0
0
X1
X2
X3
- X1 = 0 ; - X2 = 0
0
0
0
=
;
X1 = 0 ,
X2 = 0
El sistema permite un valor cualesquiera para X3 ≠ 0 , tomando
t ε R – {0}
X3 = t
La solución es (X1 , X2 , X3 ) = ( 0 , 0 , t )
X =
X1
X3
X2
0
0
t
=
= t
0
0
1
un eigenvector es
0
0
1
de λ=2
Como este espacio es bidimensional A no tiene tres eigenvectores linealmente
independientes y por lo tanto no es diagonalizable .
Problemas:
1) demuestre que las matrices no son diagonalizables .
2 -3
-1 0 1
b = -1 3 0
-4 13 -1
a=
1
-1
Ejercicios; determine una matriz P que diagonalice a A y determine P-1 AP.
-14
12
-20
17
A=
En seguida se determinan los eigenvectores.
λ
0
0
λ
λI–A=
-14
12
-20
17
124
Números Complejos
λ +14 -12
=
20
λ -17
λ +14
-21
= (λ +14)(λ -17) +20(12)=0
20
λ -17
λ ² - 17 + 14 λ - 238 + 240 = 0
λ² -3λ +2=0
(λ -2 )( λ -1 ) = 0
; λ = 2 , λ = 1 son los eigenvalores de A
Ahora calculemos los eigenvectores
Si
λ=2
16
20
-12
X1
-15
0
16 X1 -12 X2 = 0
20 X1 -15 X2 = 0
=
0
X2
El determinante del sistema
16
-12
= -240 + 240 = 0
20
-15
El sistema tiene una infinidad de soluciones, tomando
16 X1 -12 X2 = 0 ; 4 X1 -3 X2 = 0
t
4 X1 =3 X2
; X1 = ¾
Entonces (X1 , X2 ) = ( ¾
¾t
X1
=
X2
B
t
B
,
t )
¾t
= t
t
haciendo X2 = t ε R
¾
;
1
un eigenvector es
1
de λ=2
125
Números Complejos
Si λ=1
15
-12
X1
20
-16
X2
El determinante del sistema
0
=
0
17
-12
20
-15
= -240 + 240 = 0
El sistema tiene una infinidad de soluciones , tomando
15 X1 -12 X2 = 0 ; 5 X1 -4 X2 = 0
haciendo X1 = t
X1
Luego
t ε R . X 2 = 45 X 1
donde
t
1
=
= t
X2
5
4
=1
1
;
t
5
4
¾
1
1
5
4
5
4
Entonces P =
Calculando P-1 AP. Primero calculemos P-1
a)
¾
1
1
0
(a)(-1) + b será b
b)
1
5/4
0
1
-1 - 4/3
a)
1
4/3
4/3 0
1
b)
0
- 1/12
-4/3 1
0
- 4/3
0
5/4
0
1
-1/12
-4/3
1
126
Números Complejos
a)
1
4/3
4/3
0
(b)(- 4/3) + a ahora será a
b)
0
1
16
-12
0
- 4/3
- 64/3
16
a) 1
0
-20
16
1
4/3
4/3
0
b)
1
16
0
-20
16
0
-12
1
Entonces la matriz inversa es :
-1
-20
16
16
-12
P =
P-1 AP =
-20
16
-14
12
¾ 1
=
16
-12
-20
17
1
5/4
280 - 320
240 + 272
¾
1
-224 + 240
192 - 204
1
5/4
=
-40
32
16
-12
2
0
¾ 1
-30 + 32
-40 + 40
12 - 12
16 - 15
=
1
17
=
0
1
Como se observa P diagonaliza a A.
Ejercicio;
127
Números Complejos
Determine la matriz P que diagonalice a A y determine P-1 AP.
1 0 0
A= 0 1 1
0 1 1
λ
0
0
Tenemos λ I – A =
λ-1 0
0
0 λ- 1 -1
0
0 λ-1
0
λ
0
0
0
λ
1 0 0
0 1 1
0 1 1
-
=
λ-1 0
0
0 λ-1 -1
0 -1 λ-1
= (λ-1) [ (λ-1)²-1 ] =0
(λ-1) (λ2 - 2 λ +1-1 ) = 0
(λ-1) λ (λ - 2) = 0 ; los valores propios son.
λ = 1 , λ = 0 , λ = 2.
Si λ = 1
- X3 = 0
0
0
0
,
0
0
-1
0
-1
0
X1
X2
X3
- X2 = 0 entonces
X2 = 0
0
0
0
=
,
X3 = 0
X1 puede tomar cualquier valor
Sea
X1
X2
X3
X1 = t
=
t
0
0
donde
= t
t ≠ el conjunto solución es :
1
0
0
un vector es eigenvector
1
0
0
es un eigenvector
del valor λ = 2
Si λ = 0
-1
0
0
0
-1
-1
0
-1
-1
X1
X2
X3
=
0
0
0
-X1 = 0
-X2 - X3 = 0
-X2 - X3 = 0
X1 = 0 y X2 = - X3 , tomando X3 = t donde
t ε R . t≠ 0
128
Números Complejos
El conjunto solución es
X1
X2
X3
Si
0
t
t
=
0
1
1
= t
0
1
1
el vector
es un eigenvector de
λ=0
es un eigenvector de
λ=0
λ=2
1
0
0
0
0
-1
X1 = 0
,
0
-1
1
X1
X2
X3
X2 – X3 = 0
,
0
0
0
=
- X2 + X3 = 0
donde t ε R –{0}
X2 = X3 . si X3 = t
El conjunto solución es (X1 , X2, X3) = ( 0, t , t)
X1
X2
X3
0
t
t
=
0
1
1
= t
P=
el vector
0
1
1
1 0 0
0 1 1
0 1 1
Entonces
Se observa que los vectores
0
1
1
0
y 1
1
no son linealmente independientes
Se concluye que A no es diagonalizable
Problemas :
Determine una matriz P que diagonalice a A.
1
0
1)
2)
6 -1
-1 4 -2
-3 4 0
-3 1 3
3)
2 0 -2
0 3 0
0 0 0
129
Números Complejos
3 -2
5)
4)
1
1 -2 -4
0 -1 -4
0 0 0
0
6.4 Formas Cuadráticas y Canónicas
Definición:
Una ecuación de la forma
ax2 + 2bxy + cy2 = d
Se llama ecuación cuadrática en x y y sin términos lineales si por lo menos uno de
los números a,b,c no es igual a 0 . la expresión
ax2 + 2bxy + cy2 = d
las graficas de las ecuaciones cuadráticas reciben el nombre de cónicas.
Cualquier forma cuadrática
ax2 + 2bxy + cy2
Se puede expresar como producto matricial
a
b
x
b
c
y
(x y)
= Xt AX
x
X=
a
b
b
c
A=
y
Ejercicio; obtén las formas cuadráticas asociadas a las ecuaciones cuadráticas.
1)
3x2 + 4 xy – 9y2 = 8
ax2 +2bxy + cy2
la forma cuadrática general es
Entonces la forma cuadrática es 3x2 + 4 xy – 9y2
2) -x2 + xy + y2 -10 = 0 , la forma cuadrática general es
ax2 +2bxy + cy2
130
Números Complejos
entonces la forma cuadrática es -x2 + xy + y2
3) 5x2 + 3xy - y2 = 8
la forma cuadrática general es
ax2 +2bxy + cy2
entonces la forma cuadrática es 5x2 + 3xy - y2 .
Ejercicio; exprese las formas cuadráticas como Xt AX en donde A es una matriz
simétrica
12x2 + 8xy - 6y2
La expresión general la expresión general es ax2 +2bxy + cy2
a = 12 , 2b = 8
Tenemos
, c = -6
a
b
x
b
c
y
(x y)
12 4
x
4 -6
y
(x y)
Ejercicio; exprese las formas cuadráticas como Xt AX en donde A es una matriz
simétrica
13x2 + xy + 4y2
Tenemos
; a = 12 , 2b = -1 , c = 4
a
b
x
b
c
y
(x y)
12 ½
x
-½ 4
y
(x y)
Ejercicio; exprese las formas cuadráticas como Xt AX en donde A es una matriz
simétrica
10x2 + -6xy + y2 ; a = 10 , 2b = -6 , c = 1
10 3
x
-3 1
y
(x y)
131
Números Complejos
Tenemos
Ejercicio escriba la forma cuadrática definida por la matriz dada
4 1
1
6
4
Solución
1
x
(x y)
4x + y
=(x y)
1
6
y
x + 6y
= 4x2 + xy + xy + 6y2
= 4x2 + 2xy + 6y2
Ejercicio escriba la forma cuadrática definida por la matriz dada
-2
4
4
6
-2 4
Solución
x
(x y)
-2x + y
= (x y)
4 6
y
=
4x + 6y
= -2x2 + 4xy + 4xy + 6y2
= -2x2 + 8xy + 6y2
Problemas :
1) determine las formas cuadráticas asociadas con la ecuaciones cuadráticas que
siguen.
a) -2x2 - 3xy + 4y2 = 7
b) 5xy = 8
c) 4x2 - 2y2 = 7
2) exprese cada una de las las ecuaciones de ejercicio 1 en la forma matricial Xt AX
6.5 teorema de Cayley-Hamilton
Teorema; toda matriz es un cero de su polinomio característico
Ejemplo;
1 -2
A=
4
5
132
Números Complejos
Su polinomio característico
Es : primeramente calculamos
λ
0
0
0
λI–A=
1
-2
4
5
λ-1 2
-
λ +1
=
calculando su
λ-5 determinante
-4
2
-4
= (λ +1)(λ -5) +8 =
λ2-5 λ- λ+5+8.
λ -5
El polinomio característico es P (λ ) = λ2-6λ+13
1 -2
1 -2
4
4
1 –2
P(A) =
1 0
-6
5
1-8
+ 13
5
4 5
-2-10
-6
=
12
+
-12
24
17
=
13 0
=
4+20 -8+25
-7
0 1
-24 -30
7
0
13
12
+
0
0
0
0
=
-24 -17
Problemas: determine si las siguientes matrices, son cero de su respectivo polinomio
característico.
-2
2
a)
3
d)
-1
2
b)
1
-2 -1 0
2 1 2
3 -1 1
5 2
e)
2 3
c)
-4 1
-4 1 2
1 1 0
1 -1 2
133
Números Complejos
BIBLIOGRAFÍA
1 .- Grossman Stanley I.
Aplicaciones de Álgebra lineal
Grupo Editorial Iberoamericano
2 .- Gerber Harvey
Elementary lineal Algebra
Ed. Brooks- Hill
3.- Murray R. Spiegel
Variable compleja
Mc. Graw Hill
134