Universidad de Costa Rica 23 de setiembre de 2015

Universidad de Costa Rica
Escuela de Matemática
MA2210 Ecuaciones Diferenciales Aplicadas
23 de setiembre de 2015
Segundo ciclo de 2015
Una solución del primer Examen Parcial
1.
a) (10 pts.) Muestre que la transformación y = v − x
ecuación diferencial
(x + y) dx + dy = 0
y = v−x
−→
separa variables en la
dy = dv − dx y sustituyendo en la ecuación dada, se obtiene:
[x + (v − x)] = (dv − dx) = 0 −→ (v − 1)dx + dv =, 0 −→
dv
= 0 −→ x + ln |v − 1| = C −→ x + ln |x + y − 1| = C
dx +
v −1
b) (10 pts.) Halle la solución de la ecuación dada tal que y(1) = 1.
Tomando x = 1 y y = 1, se tiene que 1 + ln(1) = C. Luego C = 1 y en
consecuencia la solución buscada es:
x + ln |x + y − 1| = 1
2.
−→
y = 1 − x + e1−x .
a) (5 pts.) Muestre que la ecuación diferencial
x + y 2 dx − 2 x + y + y 2 + 1 dy = 0
no es exacta.
∂ x + y2 = 2 y
∂y
mientras que
∂ −2(x + y + y 2 + 1) = −2
∂x
b) (15 pts.) Halle un factor integrante, para esta ecuación diferencial, de la forma
µ(x, y) = f (x − 2y), siendo f (t) una función diferenciable.
∂ ∂ x + y2 f =
−2 x − 2 y − 2 y 2 − 2 f
∂y
∂x
0
2
2 y f − 2 x + y f = −2 f + −2 x − 2 y − 2 y 2 − 2 f 0
2 x + 2 y + 2 y 2 + 2 − 2 x − 2 y 2 f 0 = (−2 − 2 y) f
(2 + 2 y) f 0 = (−2 − 2 y) f
f0
−2 − 2 y
=
= −1
f
2+2y
−→
−→
−→
−→
−→
Esta última ecuación es
f 0 (t)
= −1;
f (t)
siendo
t = x−2y
Integrando, respecto a t, se obtiene
ln [f (t)] = −t
−→
f (t) = e−t
Luego un factor integrante para esta ecuación diferencial es
µ(x, y) = e2y−x
3. Considere la ecuación diferencial
y 0 = x2 − 2 x y + y 2
a) (5 pts.) Muestre que
φ(x) = 1 + x
es solución de esta ecuación diferencial.
x2 − 2 x φ(x) + [φ(x)]2 = x2 − 2 x (1 + x) + (1 + x)2
= x2 − 2 x − 2 x2 + 1 + 2 x + x2
= 1 = φ0 (x)
b) (15 pts.) Halle la solución de esta ecuación diferencial que cumple con la condición
y(1) = 3.
1
z0
−→ y 0 = 1 − 2
z
z
Sustituyendo en la ecuación se obtiene:
2
1
1
z0
2
1− 2 = x −2x 1+x+
+ 1+x+
z
z
z
2x
1
2
2x
= x2 − 2 x − 2 x2 −
+ 1 + x2 + 2 + 2 x + +
z
z
z
z
1
2
= 1+ 2 +
z
z
y = 1+x+
Cancelando 1 y multiplicando por −z 2 se obtiene
0
z = −1 − 2 z
z = e
−2x
−→
0
z + 2 z = −1
1
− e2x + C
2
=
−→
2 C e−2x − 1
2
y = 1+x+
−2x
z = e
−→
1
2
=
−2x
z
2Ce
−1
2
2C
e−2x
Z
2x
− e dx + C
−1
−→
−→
Finalmente, tomando x = 1 y y = 3 se tiene que
3 = 2+
2
2C
e−2
−→
−1
−→
C =
3 e2
2
2
2C
e−2
−1
= 1
−→ y = 1 + x +
2 C e−2 − 1 = 2
−→
2
3
e2−2x
−1
4. (20 pts) Un temómetro en el que se lee 80◦ F se lleva al exterior. Cinco minutos más
tarde el termómetro indica 60◦ F. Después de otros cinco minutos en el termómetro da
una lectura de 50◦ F. ¿Cuál es la temperatura del exterior? (Suponga que se aplica la Ley
de Enfriamiento de Newton, siendo la temperatura del exterior constante.)
Llamando M a la temperatura del exterior y T (t) a la temperatura que indica el
termómetro en el instante t, se tiene que
dT
= k(T − M )
dt
−→
dT
= k dt
T −M
−→
ln(T − M ) = k t + ln C
−→
T (t) = M + C ekt
Cuando t = 0, T (0) = 80, lo cual implica que 80 = M + C
Ası́ que T (t) = M + (80 − M ) ekt .
−→ C = 80 − M.
Cuando t = 5, T (5) = 60, luego
(80 − M ) e5k = 60 − M
(1)
Cuando t = 10, T (10) = 50, luego
(80 − M ) e10k = 50 − M
(2)
De la ecuacion (1) se tiene que
e5t =
60 − M
80 − M
−→
e10t =
(60 − M )2
(80 − M )2
De esta última ugualdad y de la ecuación (2) se sigue que
50 − M
(60 − M )2
=
2
(80 − M )
80 − M
−→
(60 − M )2 = (50 − M )(80 − M )
3600 − 120 M + M 2 = 4000 − 130 M + M 2
−→
−→
M = 40◦ F.
5. (20 pts) Un tanque contiene inicialmente 100 galones de una solución salina en la que
hay disueltas 10 libras de sal.
En cada instante t entra solución salina al tanque a razón de 4t galones por minuto
y la solución, bien mezclada, sale del tanque a razón de 2t galones por minuto. La
concentración de la solución que entra al tanque es de 2 libras de sal por galón.
a) (5 pts.) Plantee una ecuación diferencial para la raźon de cambio del volumen ( v(t) )
de la solución en el tanque.
dv
= 4t−2t
dt
dv
= 2 t,
dt
−→
v(0) = 100
b) (5 pts.) Determine el volumen de la solución en el tanque en cualquier instante t.
Integrando la ecuación anterios, se obtiene
v(t) = t2 + C,
v(0) = 100
−→
v(t) = t2 + 100
c) (10 pts.) Plantee una ecuación diferencial para la razón de cambio en la cantidad
de sal en el tanque ( x(t) ), indicando las condiciones iniciales. (No resuelva esta
ecuación diferencial.
dx
x
= 2 (4 t) − 2 t
dt
v(t)
−→
dx
2t
= 8t− 2
x,
dt
t + 100
x(0) = 10.