Geometria Métrica Plana

Resolução das atividades complementares
Matemática
1
M1 — Geometria Métrica Plana
p. 10
1 Na figura a seguir tem-se r // s // t e x 1 y 5 42. A diferença x 2 y é igual a:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 10
e) 12
Resolução:
x 5 8
(I)
y
6
x 1 y 5 42 (II)
Aplicando a propriedade daa proporção, temos:
x1y
816
5
→ 42 5 14 → 14x 5 42 ? 8 → x 5 24
x
8
x
8
Substituindo x em (I), temos:
8y 5 144 → y 5 18
Portanto, x 2 y 5 6.
2 Na figura abaixo, as medidas são dadas em centímetros. Sabendo que m // n // t, determine o valor de x. 9
Resolução:
Aplicando a propriedade da proporção, temos::
3
2x 1 5
5 4 51
3x 2 4
3
4
2x 1 5 5 3x 2 4 → 3x 2 2x 5 9 → x 5 9
3 Um feixe de quatro paralelas determina, sobre uma transversal, três segmentos consecutivos que
medem 4 cm, 7 cm e 8 cm. Calcule os comprimentos dos segmentos determinados pelo feixe em outra
transversal, sabendo que o segmento compreendido entre a primeira e a quarta paralela mede 76 cm.
16 cm, 28 cm, 32 cm
Resolução:
x
4
y
7
76
z
8
Pelo teorema de Tales, temos:
x 5 y 5 z
4
7
8
Aplicando a propriedade da proporção, temos:
x1y1z
5 x → 76 5 x → 19x 5 76 ? 4 → x 5 16
41718
4
19
4
x1y1z
y
y
5
→ 76 5
→ 19y 5 76 ? 7 → y 5 28
41718
7
19
7
x1y1z
5 z → 76 5 z → 19z 5 76 ? 8 → z 5 32
41718
8
19
8
Portanto, os comprimentos são: 16 cm, 28 cm e 32 cm.
4 O trecho do mapa de uma cidade apresenta os quarteirões I e II. Os lados que dão para a rua A
medem, respectivamente, 250 m ­e 200 m, e o lado do quarteirão I voltado para a rua B mede 40 m ­a mais do
que o do quarteirão II para a mesma rua.
A medida, em metros, do lado do maior dos dois quarteirões para a rua B é:
a) 160
c) 200
e) 240
b) 180
d) 220
Observação: Considere que as laterais dos quarteirões são paralelas.
Resolução:
Fazendo um esquema da situação, temos:
250 m
200 m
I
II
x � 40
x
x
x
5 200 →
5 4 → 5x 5 4x 1 160 → x 5 160
x 1 40
250
x 1 40
5
O lado maior dos dois quarteirões para a rua B é x 1 40; portanto, 160 1 40 5 200 m.
p. 11
5 No texto a seguir todas as distâncias são em metros.
As avenidas M e N se cruzam na praça P, por onde também
passa a rua B. As ruas A, C e D são paralelas à rua B conforme a
figura. A distância da rua C à rua D é igual a d. Uma pessoa que
sai da praça e caminha pela avenida M percorre uma distância
igual a d 1 10 para chegar à rua A e uma distância d 2 18
para chegar à rua C. Se ela sair da praça caminhando pela
avenida N, as distâncias percorridas para chegar às ruas A e C
serão, respectivamente, d 1 20 e d 2 16. Calcule a distância
percorrida por uma pessoa que saia do ponto de encontro da
avenida N com a rua A e, caminhando pela avenida N, vá até o
encontro dessa avenida com a rua C. 54 m
Resolução:
A expressão que determina a distância pedidaa é:
x 5 d 2 16 1 d 1 20 → x 5 2d 1 4
Aplicando o teorema de Tales, temos:
d 1 20
d 2 16
5
→ (d 1 10) ? (dd 2 16) 5 (d 1 20) ? (d 2 18)
d 1 10
d 2 18
d2 2 6d 2 160 5 d2 1 2d 2 360
d 5 25 m
Portanto, x 5 2 ? 25 1 4 5 54 m.
6 Deseja-se construir uma ponte sobre um rio, no entanto os engenheiros não têm acesso para medir a
largura do rio nesse local. Eles então usaram um pequeno truque efetuando, com aparelhos apropriados, as
medidas que se vêem na figura a seguir.
Pode-se afirmar, então, que a largura do rio no local onde a ponte deverá ser construída é:
a) 33 m c) 43 m
e) 53 m
b) 38 m
d) 48 m
Resolução:
Chamando de x a largura do rio no local da ponte, temos o esquema:
r
30 m
24 m
s
x
t
32 m
2m
Pelo teorema de Tales, temos:
24 5 32 → 24x 1 48 5 960 → x 5 38 m
30
x12
rio
7 Um desenhista fez a seguinte construção: AE 5 5,2 cm; EF 5 7,8 cm; FG 5 13 cm
• desenhou o segmento AB e dividiu-o em três partes:
AD 5 4 cm, CD 5 6 cm e CB 5 10 cm;
• desenhou o segmento AG, que mede 26 cm;
• uniu B a G e traçou os segmentos DE e CF paralelos a BG.
Determine os comprimentos dos segmentos AE, EF e FG.
Resolução:
Esquematizando o enunciado, temos:
A
4 cm
x
D
E
6 cm
Aplicando o teorema de Tales e a propriedadee da proporção, temos:
x1y1z
5 x → 26 5 x → 20x 5 26 ? 4 → x 5 5,2
4 1 6 1 10
4
20
4
x1y1z
y
y
5
→ 26 5
→ 20y 5 26 ? 6 → y 5 7,8
4 1 6 1 10
6
20
6
x1y1z
5 z → 26 5 z → 20z 5 26 ? 10 → z 5 13
4 1 6 1 10
10
20
10
Portanto, AE 5 5,2 cm; EF 5 7,8 cm; FG 5 13 cm.
y
C
26 cm
F
10 cm
z
B
G
8 O ABC tem lados AB 5 3 e AC 5 5. A bissetriz do ângu­lo  intercepta o lado BC no ponto D tal
que BD 5 1,5. Calcule a medida do segmento CD. 2,5
Resolução:
A
5
3
B
1,5
x
D
C
Pelo teorema da bissetriz interna, devemos ter:
AB 5 BD → 3 5 1,5 → 3x 5 5 ? 1,5 → x 5 2,5
AC
DC
5
x
Então, CD 5 2,5.
9 Na figura a seguir, ABCD é um retângulo e PQ é a bissetriz
interna do ângulo P̂ do DPC. Sabe-se que AD 5 DQ e que as
medidas estão indicadas em centímetros.
Qual é o perímetro do retângulo ABCD? 15,2 cm
Resolução:
P
A
B
2,5
x
4,5
x
D
5,6 � x
C
Q
Aplicando o teorema da bissetriz interna no triângulo DPC, temos:
2,5
4,5
5
→ 2,5(5,6 2 x) 5 4,5x → 14 2 2,5x 5 4,5x → x 5 2
x
5,6 2 x
O perímetro do retângulo é med AD 1 med AB 1 med BC 1 med CD.
Ou seja, perímetro 5 2 1 5, 6 1 2 1 5,6 5 15,2 cm.
10 No ABC, MN // BC e AD é a bissetriz interna do ângulo Â. Determine:
a) as medidas a, e c indicadas na figura a 5 18, b 5 6, c 5 12
b) o perímetro do AMN 45
c) o perímetro do ABC 60
Resolução:
A
a
12
9
M
P
b
6
B
N
4
c
8
D
C
a) Se MN // BC, AB e AC são transversais; pelo teoorema de Tales, temos:
a 5 12 → a 5 18
6
4
AD é a bissetriz interna do ângulo Â, que determina os pontos P , em MN, e D, em BC.
Assim, pelo teorema da bissetriz interna nos triângullos AMN e ABC, temos:
a 5 12 → 18 5 12 → b 5 6 e a 1 6 5 12 1 4 → 18 1 6 5 16 → c 5 12
9
b
9
b
c
8
c
8
b) Perímetro do triân
ngulo AMN
p AMN 5 a 1 9 1 b 1 12 5 18 1 9 1 6 1 12 5 45  p AMN 5 45
c) Perímetro do triângulo ABC
p ABC 5 a 1 6 1 c 1 8 1 4 1 12 5 18 1 6 1 12 1 8 1 4 1 12 5 60  p ABC 5 60
p. 19
11 Os hexágonos H1 e H2 das figuras são semelhantes. Qual é a razão de semelhança entre H1 e H2?
3 ou 1,5
2
Resolução:
Sendo os polígonos semelhantes, os lados corrrespondentes são proporcionais.
5,4
r5
5 544 5 6 5 3 5 1,5
3,6
36
4
2
Logo, r 5 3 ou 1,5.
2
12 Os quadriláteros ABCD e EFGH abaixo são semelhantes: Aˆ  Eˆ , Bˆ  Fˆ , Cˆ  Gˆ e Dˆ  Hˆ . Nessas
condições, determine:
a) razão de semelhança entre ABCD e EFGH 3
2
b) as medidas de x, y, z x 5 3; y 5 2,4; z 5 6
Resolução:
Sendo os quadriláteros semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais.
a) r 5 6 5 3
4
2
A razão de semelhança entre os quaddriláteros é 3 .
2
4,5
3,6
b)
5
5 9 5 3
x
y
z
2
4,5
5 3 → 3x 5 4,5 ? 2 → x 5 3
x
2
3,6
3
5
→ 3y 5 3,6 ? 2 → y 5 2,4
y
2
9 5 3 → 3z 5 9 ? 2 → z 5 6
z
2
Logo, x 5 3; y 5 2,4; z 5 6.
13 Os quadriláteros ABCD e MNPQ das figuras são
semelhantes. O lado AB do primeiro corresponde ao
lado MN do segundo. Se a razão de semelhança entre
os quadriláteros ABCD e MNPQ é 3 , determine a
5
medida do lado MN do quadrilátero MNPQ. 10
Resolução:
Os quadriláteros são semelhantes de razão r 5 3 ; então, seus lados correspondentes são proporcionais,
5
ou seja:
AB 5 3 → 6 5 3 → 3x 5 30 → x 5 10
MN
5
x
5
Logo, MN 5 10.
14 Os trapézios ABCD e PQRS das figuras ao lado
são semelhantes. Sabe-se que o perímetro do trapézio PQRS
é 110 unidades de comprimento e Cˆ  Rˆ e Bˆ  Qˆ .
Calcule as medidas de a, b, c e d dos lados do trapézio PQRS.
a 5 25, b 5 30, c 5 35, d 5 20
Resolução:
Como os trapézios são semelhantes, então seu
us lados correspondentes são proporcionais::
50 5 60 5 70 5 40
a
b
c
d
Sabendo que a 1 b 1 c 1 d 5 110, e aplicando a propriedade da proporção, temoos:
50 1 60 1 70 1 40
5 50 → 220 5 2 5 50 → a 5 25
a1b1c1d
a
110
a
50 1 60 1 70 1 40
5 60 → 220 5 2 5 60 → b 5 30
a1b1c1d
b
110
b
50 1 60 1 70 1 40
5 70 → 220 5 2 5 70 → c 5 35
a1b1c1d
c
110
c
50 1 60 1 70 1 40
5 40 → 220 5 2 5 40 → d 5 20
a1b1c1d
d
110
d
Portan
nto, a 5 25; b 5 30; c 5 35; d 5 20.
15 Um aluno deseja representar no papel a planta de sua sala de aula, que tem a forma retangular.
A sala tem 8 m de comprimento por 4,5 m de largura. No desenho feito pelo aluno, ficou com 16 cm de
comprimento e 9 cm de largura.
1
a) Qual a escala (razão de semelhança) utilizada? 50
b) Se o aluno quiser construir uma maquete da sala usando a mesma escala, qual deverá ser a altura da
maquete se a altura real da sala é 2,8 m? 5,6 cm
Resolução:
a) Lembrando que 4,5 m 5 450 cm e 8 m 5 800 cm, temos:
r 5 9 5 16 5 1
450
800
50
4,5 m
A razão de semelhança utilizada foi 1 .
9 cm
50
8m
16 cm
b) Aplicando a propriedade da proporção, temos:
h 5 1 → h 5 1 → 50h 5 280 → h 5 5,6 cm
H
50
280
50
Logo, a altura da maquete será 5,6 cm.
p. 20
16 Os retângulos R1 e R2 das figuras seguintes são semelhantes. Mostre que a razão entre as áreas desses
retângulos é igual ao quadrado da razão de semelhança entre eles.
Razão entre os retângulos: 1 ;
2
razão entre as áreas: 1
4
Resolução:
r 5 30 5 20 5 1
60
40
2
área de R1 5 30 ? 20 5 600 cm2
área de R 2 5 60 ? 40 5 2 400 cm2
área R1
5 600 5 1 5 r 2
área R 2
2 400
4
A razão entre as áreas desses retânguloos é igual ao quadrado da razão de semelhan
nça entre eles, ou seja:
área R1
r5 1 e
5 1
2
área R 2
4
ˆ e BAC
ˆ são congruentes. Determine a medida,
17 Na figura, BC 5 18 cm, BD 5 9 cm e os ângulos BCD
em centímetros, do segmento AD. 27 cm
Resolução:
Os triângulos ABC e BDC são semelhantes, pois possuem três ângulos congruentes.
Representando os triângulos separadamente, temos:
A
9
D
D
B
9
18
C
B
C
18
Aˆ  Cˆ ; Bˆ  Bˆ ; Cˆ  Dˆ
Os lados correspondentes sãão proporcionais.
Seja AD 5 x.
AB 5 BC → 9 1 x 5 18 → 9 (9 1 x) 5 18 ? 18 → 9 1 x 5 36 → x 5 27
BC
BD
18
9
Logo, AD 5 27 cm.
18 Para calcular a largura de um rio, em um trecho em que as margens são paralelas, um agrimensor
marcou em uma delas um ponto A e na outra os pontos B e C alinhados com A. Considere os pontos D e E
marcados na margem do rio, conforme a figura. Usando as medidas indicadas, calcule a largura do rio. 38,4 m
Resolução:
Os triângulos AEB e BCD são semelhantes, pois possuem os três ângulos congruentes:
Bˆ  Bˆ (o.p.v.)
Eˆ  Dˆ (90°)
Aˆ  Cˆ (soma dos ânguloos internos de um triângulo)
Logo, os lados correspondentes são proporcionais.
15 5 12 → 15AE 5 48 ? 12 → AE 5 38,4 m
48
AE
19 As bases de dois triângulos isósceles semelhantes medem, respectivamente, 18 cm e x cm. As
medidas de cada lado congruente do primeiro triângulo são 27 cm e do segundo triângulo, 30 cm.
Determine o perímetro do segundo triângulo. 80 cm
Resolução:
Os triângulos são semelhantes; logo, os lados correspondentes são proporcionais.
27 cm
27 cm
18 cm
30 cm
30 cm
x cm
27 5 18 → 27x 5 18 ? 30 → x 5 20 cm
30
x
Sendo x 5 20, o perím
metro do segundo triângulo é: 30 1 30 1 20 5 80 cm
m.
20 Em determinada hora do dia, um prédio projeta uma sombra de 35 m no solo, enquanto um bastão
de madeira de 2 m de comprimento, colocado perpendicularmente ao solo, projeta uma sombra de 1,40 m.
a) Qual é a altura do prédio? 50 m
b) Quantos andares tem esse prédio, se o térreo tem 5 m de altura e cada um dos outros pavimentos, 3 m de
altura? 15 andares
Resolução:
Esquematizando o problema, temos:
A
h
D
2m
B
35 m
C
E
F
1,40 m
a) Os raios solares podem ser considerados retas paralelas, determinando ângulos congruentes com
o prédio e com o bastão.
Assim, Aˆ  Dˆ , Bˆ  E (retos) e Fˆ  Cˆ (soma dos ângulos internos de um triângulo).
Os triângulos são semelhantes e os lados correspondentes, proporcionais:
h 5 35 → 1,40h 5 2 ? 35 → h 5 50
2
1,40
Então, a altura do prédio é 50 m.
b) Se o térreo tem 5 m, temos 45 m para dividirmos de 3 em 3 metros, ou seja: 45 5 15.
3
Logo, o prédio tem 15 andares.
21 Na figura, r1 5 3 cm, r2 5 5 cm e AO1 5 6 cm. Qual é a distância, em centímetros, entre os centros
O1 e O2 das circunferências? 4 cm
Resolução:
Os triângulos ABO1 E ACO2 são semelhantes, pois possuem um ângulo em comum e ângulos retos.
Os lados correspondentes, entretanto, são proporcionais:
O
61x
5 5 → 18 1 3x 5 30 → x 5 4 cm
x
O
6
3
2
1
6 cm
A
10
3 cm
B
5 cm
C
22 Na figura, P é o ponto de intersecção de AD e BC, AB 5 2 CD e a
3
área do PAB é 10 cm2. Qual é o valor da área do PDC? 22,5 cm2
Resolução:
Os triângulos PDC e PAB são semelhantes, pois possuem os três
ângulos congruentes; logo, os lados correspondentes são proporcionais.
2 CD
A
B
A razão entre os lados dos triângulos é: r 5
5 3
5 2.
CD
CD
3
A razão entre as áreas de dois polígonos é igual ao quadrado da razão
entre os lados, então:
()
2
SPAB
5 2 5 4
SPDC
3
9
10 5 4 → S 5 22,5 cm2
PDC
SPDC
9
23 No ABC o ângulo  é reto, AB 5 12 cm e BC 5 18 cm. A mediatriz
de BC (reta perpendicular a BC passando pelo seu ponto médio) intersecta
AB no ponto E. Determine BE. 13,5 cm
Resolução:
ED é mediatriz de BC; portanto, med BD 5 med DC 5 9 cm.
Separando os dois triângulos, temos:
12
B
A
x
B
E
9
18
D
C
Como os triângulos são retângulos e possuem um ângulo em comum, são semelhantes e os lados
correspondentes, proporcionais.
18 5 12 → x 5 13,5  BE 5 13,5 cm
x
9
11
24 Na figura ao lado, temos que DE // BC. Calcule os valores
de AD 5 x e AC 5 y. 40 e 48
Resolução:
Se DE // BC, os triângulos são semelhantes, pois os
ângulos são congruentes. Os lados correspondentes,
então, são proporcionais:
AE 5 y 2 16
x 5 y 2 16 5 24 5 2
60
y
36
3
x 5 2 → x 5 40
60
3
y 2 16
5 2 → 2y 5 3y 2 48 → y 5 48
y
3
Então, AD 5 40 e AC 5 48.
25 O losango ABCD está inscrito no AEF cujos lados
AE e AF medem, respectivamente, 9 cm e 18 cm. Determine
o lado do losango. 6 cm
Resolução:
Seja x o lado do losango.
A
x
D
x
B
9�x
E
x
18 � x
x
C
F
Se AE 5 9 e AF 5 18, então: BE 5 9 2 x e DF 5 18 2 x.
Como um losango é um paralelogramo, AB // DC, e os triângulos DCF e AEF são semelhantes com
os lados correspondentes proporcionais:
x 5 18 2 x → 18x 5 162 2 9x → x 5 6
9
18
Portanto, o lado do losango é 6 cm.
12
p. 26
26 Para medir a altura de um muro, Paulinho apoiou
uma das extremidades de uma escada de 4 m ao muro e
mediu a distância da outra extremidade à base do muro,
obtendo 2,40 m. Qual é a altura do muro? 3,20 m
Resolução:
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
4 2 5 (2,4)2 1 h 2
h 2 5 16 2 5,76 5 10,24
h 5 3,20 m
27 Em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da
medida da hipotenusa. Calcule a medida da mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo que
tem catetos medindo 10 cm e 4 cm. 29 cm
Resolução:
A
4 cm
10 cm
B
M
C
BC é a medida da hipotenusa.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos:
(BC)2 5 4 2 1 102 → med BC 5 2 29 cm
med BC
A medida da mediana é
5 29 cm.
2
28 Considerando a figura a seguir, determine o valor de x e y.
x 5 12 cm, y 5 5 cm
Resolução:
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:
x 2 5 ( 23 ) 1 112
x 2 5 23 1 121
x 5 12 cm
2
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BCD, temos:
132 5 122 1 y 2
y 2 5 169 2 144
y 5 5 cm
13
p. 27
29 Pedrinho pegou uma folha de papel quadrada, de
20 cm de lado, denominou os cantos da folha A, B, C e D
e marcou um ponto P exatamente no meio do lado CD.
Em seguida ele dobrou a folha de modo que o vértice A
coincidisse com o ponto P. Calcule o comprimento de DQ.
7,5 cm
Resolução:
10
D
x
P�A
20 � x
Q
Se DQ 5 x , QA 5 20 2 x e DP 5
20
5 10, temos, aplicando o teorema de Pitágoras:
2
(20 2 x )2 5 102 1 x 2
400 2 400 x 1 x 2 5 100 1 x 2
40 x 5 300 → x 5 7,5
Logo, DQ 5 7,5 cm.
30 O nABC é retângulo em C. Uma reta paralela ao lado BC intercepta
AB e AC nos pontos P e Q tais que AP 5 6 cm, PB 5 12 cm e AQ 5 4 cm.
Qual é a medida do lado BC? 6 5 cm
Resolução:
Seja y 5 med PQ.
A
6 cm
P
r
y
4 cm
Q
12 cm
B
x
C
Se PQ // BC, o triângulo APQ é retângulo e semelhante ao triângulo ABC.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo APQ, temos:
62 5 y 2 1 4 2
y 5 2 5 cm
Se os triângulos APQ e ABC são semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais, ou seja:
2 5
y
6
6
5
→
5
→ x56 5
18
x
18
x
Portanto, BC 5 6 5 cm.
14
31 Um triângulo isósceles de base BC 5 16 cm tem lados AB 5 AC 5 10 cm. Calcule a altura relativa ao
lado BC. 6 cm
Resolução:
Esquematizando o problema, temos:
A
10 cm
B
h
D
10 cm
C
Se BC 5 16 cm, BD 5 DC 5 8 cm.
Num triângulo isósceles, a altura e a mediana relativas à base coincidem.
Portanto, o triângulo ADC é retângulo.
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
102 5 82 1 h2
h 5 6 cm
32 O lado maior de um retângulo mede 2 cm a mais que o lado menor, e a diagonal tem 2 13 cm.
Determine o perímetro desse retângulo. 20 cm
Resolução:
Esquematizando o problema, temos:
2 13 cm
x
x �2
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos:
( 2 13 )2 5 (x 1 2)2 1 x 2
52 5 x 2 1 4 x 1 4 1 x 2
x 2 1 2x 2 24 5 0
(x 1 6) ? (x 2 4) 5 0 → x 5 26 (não convém) e x  5 4
Sendo x 5 4, os lados do retângulo são 4 cm e 6 cm.
Portanto, perímetro 5 4 1 4 1 6 1 6 5 20 cm.
15
33 O perímetro de um triângulo retângulo é 30 cm e sua hipotenusa mede 13 cm. Calcule as medidas
dos catetos. 5 cm, 12 cm
Resolução:
Se o perímetro do triângulo é 30 cm e a hipotenusa mede 13 cm, a soma das medidas dos catetos é
igual a 30 2 13 5 17 cm. Se um dos catetos medir x, o outro medirá 17 2 x.
Assim, esquematizando o problema, temos:
13 cm
x
17 � x
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
132 5 x 2 1 (17 2 x )2
169 5 x 2 1 289 2 34 x 1 x 2
x 2 2 17 x 1 60 5 0 → x 5 5 e x  5 12
Portanto, as medidas dos catetos são 5 cm e 12 cm.
34 No triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas
m, n, h e c indicadas. m  2, n  6, h  2 3 e c  4 3
Resolução:
Pelas relações no triângulo retângulo, temos:
82 5 42 1 c 2 → c 5 4 3
4 2 5 8m → m 5 2
c 2 5 8n → ( 4 3 ) 5 8n → n 5 6
8 h 5 4c → 8 h 5 4 ? 4 3 → h 5 2 3
Portanto, m 5 2; n 5 6; h 5 2 3 e c 5 4 3 .
2
35 Os catetos de um triângulo retângulo medem 12 cm e 9 cm. Nessas condições, determine a(s) medida(s):
a) a da hipotenusa; a 5 15 cm
b) h da altura relativa à hipotenusa; h 5 7,20 cm
c) m e n das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. m 5 9,60 cm e n 5 5,40 cm
Resolução:
A
12 cm
9 cm
C
h
n
m
B
a
a ) a 5 9 1 122 → a 5 15 cm
b) ah 5 9 ? 12 → 15h 5 9 ? 12 → h 5 7,20 cm
c) 122 5 am → 144 5 15m → m 5 9,60 cm
92 5 an → 81 5 15n → n 5 5,40 cm
2
2
16
p. 34
36 Qual é o comprimento da circunferência da figura? (Use π 5 3,14.) 18,84 cm
Resolução:
C 5 2πr
C 5 2π ? 3 5 18,84
 C 5 18,84 cm
37 Calcule o comprimento de um arco equivalente à metade de uma circunferência de raio 4 cm. 12,56 cm
Resolução:
2πr
C5
5 πr 5 3,14 ? 4 5 12,56
2
 C 5 12,56 cm
38 Uma circunferência está inscrita em um quadrado cuja diagonal mede 20 cm. O comprimento da
circunferência é:
a) π 2 cm b) 5 π 2 cm
Resolução:
c) 10 π 2 cm
d) 20 π 2 cm
e) 30 π 2 cm
20 cm
O
�
�
A diagonal de um quadrado é dada pela fórmulla d 5 , 2 . Então:
20 5 , 2 → , 5 10 2 cm
Se o lado do quadrado mede 10 2 cm, o raio da circunferênciia é r 5 5 2 cm.
C 5 2πr → C 5 10π 2 cm
17
39 Na figura, O é centro de uma circunferência. Os pontos B, O e C
estão alinhados, e AH é perpendicular a BC. Sabe-se ainda que AH 5 6 cm
e BH 5 4 cm. Calcule o raio da circunferência. 6,5 cm
Resolução:
A
6 cm
B
4 cm
n
H
O
C
O triângulo ABC possui um dos lados coincidindo com um diâmetro; portanto, é um triângulo
retângulo.
Usando as relações no triângulo retângulo, temos:
h2 5 mn
62 5 4n → n 5 9 cm
O diâmetro da circunferência é d 5 4 1 9 5 13 cm.
Portanto, r 5 6,5 cm.
40 Uma família deseja irrigar um terreno circular de 50 m de raio. Quantos metros cúbicos de água são
necessários se ela usar em média 5 ,/m2? 12,5p m3
Resolução:
O terreno é um círculo de raio 50 m.
S 5 pr2
S 5 p502 5 2 500p m2
Como 1 litro 5 1 dm3, vem:
V 5 0,005 ? 2 500p
V 5 12,5p m3
Serão necessários 12,5p m3 de água.
18
41 A figura mostra um viveiro, de forma circular e raio r 5 5 m,
que apresenta em seu interior uma região coberta na forma de um
� é igual
quadrilátero ABCD. O ponto O é o centro do viveiro, o arco BC
� e a medida do segmento AB é 8 m. Determine a área da
ao arco CD
região do viveiro não coberta.
Considere π 5 3,14. 30,5 m2
Resolução:
B
8m
A
O
C
5m
D
Os triângulos ABC e ADC possuem um dos lados coincidentes a um diâmetro; portanto, são
retângulos de hipotenusa 10 cm.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:
102 5 82 1 BC2 → BC2 5 36 → BC 5 6 m
� é igual ao arco CD,
� os dois triângulos são congruentes.
Como o arco BC
6?8
5 24 m2
2
A área da região não coberta é a área do círculo menos a área dos dois triângulos de
hipotenusa 10 m, e catetos 8 m e 6 m.
S 5 πr 2 2 2 ? 24 5 3,14 ? 25 2 48 5 78 ,5 2 48 5 30,5
 S 5 30,5 m2
S ABC 5
42 Acrescentando 1 m ao raio r de uma circunferência, o aumento, em metros, no comprimento será de:
a) π
b) 2π
e) π 1 2
c) 2(π 1 1)
d) π 11
Resolução:
C1 5 2πr
C 2 5 2π ? (r 1 1) 5 2πr 1 2π 5 C1 1 2π
O aumento no comprimento será de 2π.
19
43 Na figura ao lado temos um retângulo inscrito em uma
circunferência com centro O e raio igual a 5 cm. Se OP vale 3 do raio
5
da circunferência, determine a área, em centímetros quadrados, do
retângulo. 48 cm2
Resolução:
3
OP 5 r e r 5 5 cm, portanto: OP 5 3 cm.
5
A
5 cm
O
P
O triângulo AOP é retângulo em P. Então, aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
(AO)2 5 (OP)2 1 ( AP)2 → 52 5 32 1 (AP)2 → AP 5 4 cm
O lado menor do retângulo é 2 ? OP 5 6 cm, e o lado maior é 2 ? 4 5 8 cm.
A área do retângulo é S 5 8 ? 6 5 48 cm2.
44 Um automóvel cujos pneus têm 0,5 m de diâmetro percorreu uma distância de 125,6 km. Calcule o
número de voltas dadas por um pneu. aproximadamente 80 000 voltas
Resolução:
C 5 2pr
Se o diâmetro do pneu é 0,5 m, seu raio é 0,25 m.
C = 2 ? 3,14 ? 0,25 5 1,57 m
125,6 km 5 125 600 m
125 600
5 80 000 voltas
no de voltas 5
1,57
20
45 Um trapézio inscrito numa circunferência de centro O pode ser
dividido em três triângulos eqüiláteros congruentes, como mostra a
figura ao lado.
Calcule a área do círculo limitado por essa circunferência sabendo que
a área do trapézio é 27 3 cm2. 36π cm2
Resolução:
r
r
r
O
Relacionando os elementos do trapézio com os elementos da circunferência, temos:
base maior 5 2r
base menor 5 r
r 3
altura 5 altura de um triângulo eqüilátero de lado r → h 5
2
r 3
(2r 1 r)
2
(B 1 b) h
2 5 3r 3 5 27 3 → r 5 6 cm
S trapézio 5
5
2
2
4
2
2
2
Scírculo 5 πr 5 π6 5 36π cm
21