8 RELACOES METRICAS NO TRIANGULO RETANGULO

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
01 – (UFMG) – Na figura, OAB, OBC e OCD são triângulos retângulos em A, B e C,
respectivamente, e AO = AB = BC = CD = 1 m. O segmento OD mede
D
a)
2 m
b)
3 m
C
B
c) 2 m
d)
5 m
e) 4 m
A
0
02 – Um triângulo retângulo tem catetos AB = 4 m e AC = 3 m. A soma da hipotenusa
com a altura relativa a ela é
a) 2,4
b) 5,0
c) 5,2
d) 7,4
03 – Em um trapézio isósceles, as bases medem 14 m e 10 m e a altura mede 5 m. O
valor da diagonal, em metros, é
a) 10
b) 12
c) 11
d) 13
e) 15
04 – (UFMG) – No triângulo retângulo ABC da figura, a hipotenusa a mede 3 m e
2. A altura AH mede
a) 1
b)
6
5
c)
7
5
d)
8
5
c
B
b
C
H
a
b
=
c
e)
9
5
05. (Fei) Se em um triângulo os lados medem 9, 12 e 15cm, então a altura relativa ao
maior lado mede:
a) 8,0 cm
b) 7,2 cm
c) 6,0 cm
d) 5,6 cm
e) 4,3 cm
06. (Mackenzie) Num triângulo retângulo, um cateto é o dobro do outro. Então a razão
entre o maior e o menor dos segmentos determinados pela altura sobre a hipotenusa
é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 3/2
07 – (UFRS) – Observe a figura. Qual o valor de x?
a) 2,15
12
b) 2,35
y
6
c) 2,75
d) 3,15
x
8
08 – (PUC-MG)- No triângulo retângulo da figura , M é o ponto médio do cateto AB, AC
= 4 cm e BC= 2 13 cm. A medida de CM, em centímetros,
C
a) 3
b)
13
c) 4
d)
e) 5
19
A
B
M
09– (UFMG) – Observe a figura.
C
E
A
F
B
D
Nessa figura, a reta CD é mediatriz do segmento AB, e F é ponto médio do segmento
EB.
Se AC = a e DF = b, então o valor de
(CE)2 – 4 (DE)2 em função de a e b, é
A) a2 + 4 b2
B) 4 a2 + b2
C) (a + 2 b) (a – 2 b)
D) (2 a + b) (2 a – b)
E) a2 + b2
10 – (UFMG) – Observe a figura.
Nessa figura, a circunferência de raio r é tangente às três semi circunferências. Se
AB = BC = a , o valor de r, em função de a, é
a)
a
2
4
b)
a 3
5
c)
a
3
d)
a
4
11. (Uel) Na figura a seguir, tem-se o ponto P que dista 12cm do plano α. Traça-se por
P a reta r, perpendicular a α e que o intercepta em A.
Os pontos B e C, de α, são tais que BP =13 cm, CP = 15 cm e AB é perpendicular AC.
Nessas condições, a medida de BC em centímetros, é igual a
r
a) 3 5
P
b)
93
c)
106
α
d) 11
e) 12
B
C
12 – Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é o dobro do produto dos
catetos. Então, um dos ângulos agudos do triângulo vale
a) 75o
b) 60o
c) 45o
d) 15o
e) 10o
13. (Mackenzie) A folha de papel retangular na figura I é dobrada como mostra a figura
II. Então, o seguimento DP mede:
a) 12
5
b) 10
5
c) 8
d) 21
e) 25
5
14 – (CESGRANRIO) – Uma folha quadrada de papel ABCD é dobrada de modo que
o vértice C coincide com o ponto M médio de AB. Se o lado de ABCD é 1, o
comprimento BP é
a) 0,300
C
D
D
b) 0,325
P
c) 0,375
x
d) 0,450
e) 0,500
A
M
B
A
M=C
B
15 – (UFMG) – Essa figura representa um trecho retilíneo de estrada entre os
quilômetros 148 e 150. Os pontos A e B representam duas escolas que estão a uma
distância de 200 m e 100 m, respectivamente da estrada. A quantos metros do
quilômetro 148 deve ser construída uma passarela que seja eqüidistante das duas
escolas?
a) 500
b) 800
c) 850,3
A
d) 992,5
e) 1000
km 150
km 148
B
16 – (UFRRJ) – Um eucalipto de 16 m de altura ergue-se, verticalmente, sobre um
terreno horizontal. Mas, durante uma tempestade, seu caule é quebrado em um ponto,
permanecendo preso ao tronco neste local. Seu topo é arremessado a uma distância
de 4 m de sua base. Pode-se afirmar que o eucalipto foi quebrado a uma altura de
a) 6,0 m
b) 6,5 m
c) 7,5 m
d) 8,5 m
17 – As medianas de um triângulo retângulo, relativas aos catetos, medem
52 cm. O menor cateto mede, em cm,
a) 3
73 cm e
b) 4
c) 5
d) 6
18 – Na figura, o quadrado menor está inscrito no quadrado maior. Se x e y são
respectivamente proporcionais a 4 e 3, a razão entre o perímetro do maior e o
perímetro do menor quadrado é
a) 1,2
b) 1,4
c) 1,5
d) 1,6
19 – (FATEC) – Na figura abaixo, as circunferências C1 e C2, respectivamente, em A e
B. Se o raio de C1 é 8 cm e o raio de C2 é 2 cm, então,
a) AB = 8 cm
b) AB = 13 cm
c)
A
B
t
AB = 10 cm
d) AB = 12 cm
C
C2
C1
20 – (UFMG) – Se as medidas, em metros, das diagonais de um losango são a e b,
então a medida do raio do círculo inscrito nesse losango é, em metros,
a)
b)
c)
d)
e)
ab
2 a2 + b2
ab
2
2
a +b
2 2
a b
2
2
a +b
2 ab
2
2
a +b
2 a2 b2
2
2
a +b
21. (FUVEST) Na figura, ABC e CDE são triângulos retângulos, AB = 1, BC =
3 e
BE = 2DE. Logo, a medida de AE é
C
A)
3
2
B)
5
2
D
E
7
C)
2
D)
11
2
B
A
22 – Calcule o perímetro do círculo abaixo, sabendo que AD = 12cm, AE = 15cm e
AB = 8cm.
E
B
A) 5π cm
B) 10π cm
C) 15π cm
A
0
C
D
D) 20π cm
23 – (PUC-MG) – Na figura, o círculo de raio r é tangente aos quatro arcos de círculo
de raio R e centros nos vértices do quadrado. O raio r mede
R
a) R ( 2 + 1)
b) R ( 2 - 1)
c) R ( 3 + 1)
d) R ( 3 - 1)
24 – (UFMG) – Na figura, o triângulo ABC é inscrito numa circunferência de centro O e
diâmetro AB. Os pontos E e D pertencem aos lados AC e AB, respectivamente, e são
tais que EO e CD são perpendiculares a AB. Se AD = 12 e DB = 3, pode-se afirmar
que OE mede
a)
4
3
C
E
b) 3
c)
d)
7
2
A
O
D
B
15
4
25 – (UFMG/06) - Nesta figura, estão representadas três circunferências, tangentes
duas a duas, e uma reta tangente às três circunferências:
Sabe-se que o raio de cada uma das duas circunferências maiores mede 1 cm. Então,
é CORRETO afirmar que a medida do raio da circunferência menor é
1
cm
3
1
A)
cm
4
2
B)
cm
2
2
C)
cm
4
A)
26. (Fuvest) Dois pontos materiais A e B deslocam-se com velocidades constantes
sobre uma circunferência de raio r =
8 m partindo de um mesmo ponto O. Se o ponto
A se desloca no sentido horário com o triplo da velocidade de B, que se desloca no
sentido anti-horário, então o comprimento da corda que liga o ponto de partida ao
ponto do primeiro encontro é
a) 1 m
b) 2 m
c) 3 m
d) 4 m
e) 5 m
27 – (ITA) Num trapézio retângulo circunscritível, a soma dos dois lados paralelos é
igual a 18 cm e a diferença dos dois lados é igual a 2 cm. Se r é o raio da
circunferência inscrita e a é o comprimento do menor lado do trapézio, então a soma
a + r (em cm) é igual a
a) 12
b) 11
c) 10
d) 9
28 – (UNA-MG) - Para subir um muro de 12 m de altura , colocou-se uma escada de
20 m de comprimento de um lado e , do outro lado do muro , colocou-se uma outra
escada de modo que elas ficaram perpendiculares no alto do muro . A distância , em
m , do pé da segunda escada até o muro é :
a) 9
b) 15
c) 16
d) 25
29 – (UFOP-MG) - A diagonal de um retângulo mede 10 cm. A diferença entre a base
e a altura é igual a 2 cm. O perímetro do retângulo mede:
a) 50 cm
b) 44 cm
c) 28 cm
d) 14 cm
e) 10 cm
30 – (Cefet-MG) - Os dois círculos são tangentes exteriores, e a reta PQ é uma
tangente comum.
Então PQ vale
P
Q
r
R
2
a) R − r
2
b) Rr
c) R 2 + r 2
d) 2 Rr
e) Rr − r 2
31 – (FCMMG) - Observe a figura.
B
18 cm
24 cm
A
Todos os degraus da escada da figura têm 18 cm de altura por 24 cm de
profundidade. Sobre essa escada foi colocada uma tábua AB, de modo a formar uma
rampa.
O comprimento de AB, em metros, é
a) 1,2
b) 1,5
c) 1,8
d) 2,1
32 – (VUNESP) - Uma praça possui a forma da figura,
onde ABCE é um quadrado, CD = 500 m, ED = 400 m. Um poste de luz foi fixado em
P, entre C e D. Se a distância do ponto A até o poste é a mesma, quando se contorna
a praça pelos dois caminhos possíveis, tanto por B como por D, conclui-se que o poste
está fixado a
a) 300 m do ponto C.
B
C
b) 275 m do ponto D.
c) 250 m do ponto C.
P
•
d) 175 m do ponto C.
A
E
D
33 – (PUC-SP) - Uma estação de tratamento de água (ETA) localiza-se a 600 m de
uma estrada reta. Uma estação de rádio localiza-se nessa mesma estrada, a 1.000 m
da ETA. Pretende-se construir um restaurante, na estrada, que fique à mesma
distância das duas estações. A distância do restaurante a cada uma das estações
deverá ser de
a) 575 m
b) 600 m
c) 625 m
d) 700 m
e) 750 m
34 – (OBM) - A figura a seguir mostra o logotipo de uma empresa, formado por dois
círculos concêntricos e por quatro círculos de mesmo raio, cada um deles tangente a
dois dos outros e aos dois círculos concêntricos. O raio do circulo interno mede 1 cm.
Então o raio do circulo externo deverá medir, em cm:
a) 2 2 + 3
b)
2 +2
c) 4 2 + 1
d) 3 2
e)
2 +1
35 – (UFLA-MG) Os lados de um triângulo medem 1 m, 2 m e 3 m. A medida em
metros, que adicionada aos três lados, transforma o triângulo em um triângulo
retângulo é
a) 1 m
b) 2 m
c) 3 m
d) 4 m
e) 5 m
36 – (UNA-MG) Pedro e Paulo são corredores e vão fazer uma demonstração. Ambos
estão em um ponto A da circunferência de uma praça circular. O comprimento dessa
circunferência é de 100π metros. Eles desejam correr até o ponto B, diametralmente
oposto. Pedro vai pelo caminho mais curto, a uma velocidade de 20 km/h. Paulo sai
correndo sobre uma corda da circunferência que mede 80 metros, até o ponto C da
circunferência. Em seguida, corre sobre a corda CB, alcançando, então, o ponto de
chegada B.
Nessas condições, para que ambos cheguem ao mesmo tempo ao ponto B, Paulo
deverá correr a uma velocidade de
a) 26 km/h
b) 28 km/h
c) 28,5 km/h
d) 29 km/h
37 – (FUMEC) - O diâmetro do círculo mede 15 cm. A corda AB divide o diâmetro que
lhe é perpendicular na razão 1/4. Quantos segundos um móvel gasta para percorrer a
corda AB, com a velocidade constante de 2 cm/s?
A
a) 3
b) 6
c) 5
d) 4,5
B
38 – (FUVEST) - Um lenhador empilhou 3 troncos de madeira num caminhão de
largura 2,5 m, conforme a figura a seguir. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da
base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros, é
a)
b)
1+ 7
2
1+ 7
3
1+ 7
c)
4
d) 1 +
7
3
e) 1 +
7
4
•
h
•
•
2,5
39 – (Vunesp/SP) – Na figura, o triângulo ABD é reto em B, e AC é bissetriz de BÂD.
Se AB = 2. BC, fazendo BC = b e CD = d, então
D
a) d = b
b) d =
5
b
2
c) d =
5
b
3
d) d =
6
b
5
e) d =
5
b
4
C
A
B
40 – (PUC/SP) – A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2
5 cm e um dos
catetos mede 2 cm. A medida da mediana relativa ao maior cateto desse triângulo é
a) 2 cm
b) 2
3 cm
c) 3 cm
d) 2
2 cm
e) 4 cm
41 – (PUCCamp/SP) – Os lados paralelos de um trapézio retângulo medem 6 cm e 8
cm, e a altura
mede 4 cm. A distância entre o ponto de interseção das retas suporte
dos lados não paralelos e o ponto médio da maior base é
a) 5
15 cm
b) 2
19 cm
c) 3
21cm
d) 4
17 cm
e) 3
15 cm
42 – (Vunesp/SP) – Seja ABCD um retângulo cujos lados têm as seguintes medidas:
AB = CD = 6 cm e AC = BD = 1,2 cm. Se M é o ponto médio de AB, então o raio da
circunferência determinada pelos pontos C, M e D mede
a) 4,35 cm
b) 5,35 cm
c) 3,35 cm
d) 5,34 cm
e) 4,45 cm
43 – (Fatec) – Na figura abaixo, ABFG e BCDE são dois quadrados com lados,
respectivamente, de medida a e b. Se AG = CD + 2 e o perímetro do triângulo ACG é
12, então, simultaneamente, a e b pertencem ao intervalo
F
G
a) ]1; 5[
E
b) ]0; 4[
D
c) ]2; 6 [
d) ]3; 7[
e) ]4; 8[
A
B
C
44 – (Vunesp) – Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB, apoiada sobre
uma mureta de concreto no ponto C, como na figura. As dimensões são: AC = 1,2 m,
CB = 1,8 m, DC = CE = DE = 1 m. Quando a extremidade B da haste toca o chão, a
altura da extremidade A em relação ao chão é
a)
3 m
3
b)
c)
d)
3
B
m
C
6 3
m
5
5
e) 2
3
6
A
m
D
E
2 m
45 – (Fuvest) – Em um triângulo OAB, retângulo em O, com OA = a e OB = b, são
dados os pontos P em OA e Q em OB, de tal maneira que AP = PQ = QB = x. Nestas
condições o valor de x é
O
a)
ab - a – b
P
b) a + b c)
2
2
a +b
d) a + b +
e)
2ab
Q
2ab
A
ab + a + b
B
46 – (UFCE) - No triângulo ABC abaixo, a é a base, h a altura relativa à esta base, e b
o lado oposto ao ângulo de 45o.
A
h
45
o
B
a
C
Se a + h = 4, então o valor mínimo de b2 é:
a) 16.
b) 16/5.
c) 4/5.
d) 4 5 .
e) 16 5 .