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28
Primitivas de una función*
Primitiva de una función: Se dice que la función F ( x ) es una primitiva
de f ( x ) ⇔ F' ( x ) = f ( x )
Ejemplos:
i sen x es primitiva de cos x porque la derivada del sen x es el cos x.
i x 2 es primitiva de 2 x, ya que la derivada de x 2 es 2 x.
1
1
i log x es primitiva de
porque la derivada del log x es
x
x
2
2
i x + 7 es primitiva de 2 x porque la derivada ( x + 7) es 2 x
Poniéndolo de otra forma:
f (x) función dada
cos x
2x
1
x
sen x
F(x) Pr imitiva de la función
sen x
x2 ó x2 + 7
log x (neperiano)
− cos x
Proposición 1: Si F ( x ) es primitiva de f ( x) ⇒ F ( x ) + C , C ∈ R también lo es.
En efecto, porque la derivada de F ( x ) + C es f ( x)
Proposición 2: Si F ( x) y G ( x) son dos primitivas de f ( x) entonces G ( x) = F ( x) + C
(es decir, dos primitivas de una función se diferencian en una constante.
En efecto, puesto que:
F '( x) = f ( x) y G '( x) = f ( x) por ser ambas primitivas de f ( x)
Si restamos ambas igualdades, tenemos:
G '( x) − F '( x) = 0 ⇒ (G ( x) − F ( x)) ' = 0 ⇒ G ( x) − F ( x) = C ⇒ G ( x) = F ( x) + C
Nota: De la proposición anterior cabe deducir que si F ( x ) y G ( x ) son dos primitivas
de f ( x), entonces G ( x) = F ( x) + C
Por tanto conocida una primitiva de una función, están conocidas todas.
1
Integral (indefinida) de una función:Se llama integral indefinida de f ( x ) al conjunto
de todas las primitivas de f ( x ).
∫ f ( x ) dx
Se representa por
Es decir:
∫ f ( x ) dx = {F ( x )
+ C : F ' ( x ) = f ( x )}
=
↑
Lo abreviaremos
F ( x) + C ; C ∈ R
Por tanto:
∫ f ( x ) dx = F ( x )
+ C , donde F ( x ) es una primitiva de f ( x ) y C una constante.
dx se lee diferencial de x, aunque nosotros leeremos el símbolo
∫ f ( x ) dx como
integral de f ( x )
∫ se conoce como símbolo integral
F ( x)
Entonces ∫ f ( x ) dx =
integrando
+ C
primitiva de f ( x )
Nota: Puesto que la derivada de C es 0, para comprobar si hemos integrado bien, es decir
si la igualdad
∫ f ( x ) dx =F ( x )
+ C es cierta, basta comprobar que F ' ( x ) = f ( x )
Como se ve el proceso de obtención de primitivas es inverso al de obtención de la función
derivada y se llama integración.
Así como podemos derivar cualquier función de las conocidas, por muy complicadas
que sean, sólo podremos integrar ciertas funciones preparadas. Además no todas las
funciones conocidas tienen integral (se dice que no son integrables), como por ejemplo
2
la función y = e − x que no tiene primitiva expresable mediante funciones elementales.
Ejemplos:
∫ 2 xdx = x
2
+C
1
∫ x dx = ln x + C
∫ cos x dx = sen x + C
Llamaremos integrales inmediatas a las que salen de aplicar el proceso de integración
directamente a la tabla de derivadas, sin necesidad de hacer transformaciones complicadas.
2
∫
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
f ( x ) dx
F ( x) + C
∫ dx
x +C
∫ adx , a ∈ R
ax + C
n
∫ x dx
x n+1
+ C , n ≠ −1
n +1
1
∫ x dx
ln x + C ó ln x + C
f ' ( x)
∫ f ( x) dx (Muy útil)
1
∫ x 2 dx
x
∫ e dx
ln f ( x ) + C ó ln f ( x ) + C
−
ex + C
ax
+C
ln a
x
∫ a dx
∫
1
x
dx
2 x +C
∫ senxdx
∫ cos xdx
∫ sec xdx
− cos x + C
sen x + C
tg x + C
2
1
∫ cos
2
x
tg x + C
dx
∫(1+tg x)dx
∫( −1−ctg x) dx
2
tg x + C
2
ctgx + c
−1
∫ sen x dx
ctgx + c
2
∫ ( − cos ec x ) dx
ctg x + c
2
∫
1
dx
arc sen x + C = −arc cos x + C
1− x
1
∫ 1 + x 2 dx
1
∫ x 2 +1 dx (está en el libro de teoria)
∫
1
+C
x
2
1
x 2 −1
dx (está
arc tg x + C
ln ( x 2 + 1 + x )+ C
en el libro de teoria)
ln ( x 2 −1 + x )+ C
3
Ejemplos:
x3
x3
∫ x dx = 2 + 1 + C = 3 + C
2
Obsevad que si hallamos la derivada de
x
∫ 3 dx =
x3
3x 2
da
= x2
3
3
3x
+C
ln 3
2x − 1
dx = ln x 2 − x + C
2
−x
∫x
Propiedades de la integración:
'
 f ( x ) dx  =
∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + c
∫

∫ [ f ( x ) ± g ( x )] dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
∫ K . f ( x ) dx = K .∫ f ( x ) dx
f ( x)
Ojo: ∫  f ( x ) . g ( x )  dx ≠ ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx
y
f ( x ) ∫ f ( x )dx
∫ g ( x ) ≠ g ( x ) dx
∫
Ejemplos:
3
2
3
+1
2
5
2
2 5
x
x
+C =
+C =
x +C
3
5
5
+1
2
2
6
x
x3
x2
1 6 4 3 3 2
5
2
∫ (3x - 4 x + 3x - 7) dx =3. 6 − 4. 3 + 3. 2 − 7. x + C = 2 x − 3 x + 2 x − 7 x + C
3
1
∫ x dx = 3.2∫ 2 x dx = 6 x + C
∫
x 3 dx = ∫ x dx =
−2
3
−2
+1
3
1
3
5x
5x
+C =
+ C = 15 3 x + C
−
2
1
x
+1
x
3
3
4
2
1
x 1
2
(
)
+
x
x
dx = ∫ ( x 4 + 2 x 3 + x 2 ) dx = x 5 + + x 3 + C
∫
5
2 3
3
x
33
∫ 2 x dx = 2 x + C (Examen 8º junio 95 t)
La solución de este último se consigue de la manera siguiente:
∫
5
3
2
dx = ∫
5
2
3
dx = ∫ 5 x dx =
−2
1
∫
+1
1
1 x3
1 13 −1
1 −32 1 x 3
1 x3
3
x
+C = ⋅ +C = 3 x +C
dx = ∫ dx = ∫ x dx = ∫ x = ⋅
2x
2 x
2
2
2 −2 + 1
2 1
2
3
3
3
4
Nota:
Como
consecuencia
de
∫  f ( x ) . g ( x ) dx ≠ ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx
que
y
f ( x ) ∫ f ( x )dx
∫ g ( x ) ≠ g ( x ) dx , hay una infinidad de funciones, productos y cocientes de ellas, que no
∫
sabemos integrar aplicando las fórmulas elementales. Por ejemplo x.e x ó
ln x
por poner
x
algún ejemplo.
Para resolver este problema se estudian varios métodos de integración. Nosotros veremos
principalmente tres: el método de integración por partes, método de sustitución o
integración por cambio de variable y método de descomposición en fracciones simples,
este último para funciones racionales.
INTEGRACIÓN POR PARTES
Diferencial de una función: Dada la función f ( x ) llamaremos diferencial de f ( x ) al
producto de la derivada por la diferencial de x . Es decir:
df ( x ) = f ' ( x )dx
Ejemplos:
f ( x) = x 3 ⇒ df ( x) = 3x 2 dx
f ( x) = senx ⇒ df ( x) = cos xdx
1
f ( x) = ln x ⇒ df ( x) = dx
x
Se puede demostrar que si tenemos dos funciones u = u( x ) y v = v ( x ) , entonces se
cumple la siguiente fórmula: ∫ u.dv = u.v − ∫ v.du
Esta fórmula se usa en para integrar, sobre todo, funciones producto y cocientes de
funciones, en las que aparece una función polinómica y una función transcendente
(trigonométricas, logarítmicas o exponenciales)
Nota: Para recordarla ahí va una regla nemotécnica (memorística) que a alguno le hará
mucha gracia, pero que funciona.
∫ u.dv = u.v − ∫ v.du
Un Dia Vi Una Vaca Vestida De Uniforme
Veamos un ejemplo de aplicación (4º septiembre 96 y 7º jun 99 t):
u=x
u
x
∫ x e dx =
dv
dv = e x dx
du = dx
v = ex
=
∫ udv =uv − ∫ vdu
x. e x - ∫ e x dv = x.e x − e x + C = e x .( x − 1) + C
5
 dv = v
∫
Nota: En lo anterior hemos tenido en cuenta que 
y que du = u '( x)dx
x
x
e
dx
e
=
 ∫
Ejemplo 1:
u = x2
dv = e x dx
I = ∫ x e dx =
= x 2 .e x − ∫ e x .2. x.dx = x 2 .e x − 2.∫ e x . xdx
du = 2 xdx
2 x
v = ex
Como la integral que queda es la misma que la hecha en el ejercicio anterior, la haríamos
aparte y sustituiríamos la integral por el resultado obtenido. Como ya tenemos el resultado,
lo ponemos:
I = x 2e x − 2 ( xe x − e x ) + c = x 2 e x − 2 xe x + e x + c = e x ( x 2 − 2 x + 2 ) + C
En este caso hemos tenido que integrar dos veces por el método de partes.
Ejemplo 2 (10º jun 00 m):
u=x
dv = cos xdx
∫ x cos xdx = du = 1dx = xsenx − ∫ senxdx = xsenx − ( − cos x ) + C = xsenx + cos x + C
v = senx
Nota: Hay que fijarse que no se trata de asignar el integrando x.cos x con u.v , pues en
este caso eso hubiera supuesto que u = x y v = cos x , sin embargo no ha sido así. En el
ejemplo 1, coincide porque la integral de e x es e x
Ejemplo 3: Veamos un ejemplo que aparentemente se sale de lo corriente. En lo que sigue
log x = ln x
u = log x
dv = dx
1
∫ log xdx = du = 1 dx = x log x − ∫ x x dx = x log− ∫ dx = x log x − x + C = x ( log x − 1) + C
x
v=x
Ejemplo 4:
u = log x
dv = xdx
2
x
x2 1
1 2
1
1 2
1 x2
1
∫ x log xdx = du = x dx = 2 log x − ∫ 2 x dx = 2 x log x − 2 ∫ xdx = 2 x log x − 2 2 + C =
x
2
x
2
v=
2
=
x2
x2
log x − + C
2
4
6
Ejemplo 5: En el siguiente ejercicio hay que utilizar la perseverancia como virtud y al final
tendremos éxito.
I= ∫ e x senxdx =
u = ex
dv = senxdx
du = e dx
v = − cos x
x
= − e x .cos x − ∫ ( − cos x ) e x dx = − e x .cos x + ∫ e x .cos xdx
I1
Como se ve llegamos a una integral del mismo tipo que la inicial, pero ahora con el cos x
en lugar del sen x , por lo que si intentamos resolverla por el método de partes, volveremos
a obtener de nuevo la integral del principio. No obstante eso, lo vamos a hacer. Hallemos
aparte I 1 . Es importante que mantengamos el mismo criterio anterior, y sigamos llamando
u a la función exponencial y dv a la parte trigonométrica.
u = ex
I1 = ∫ e x cos xdx =
dv = cos xdx
= e x senx − ∫ e x senxdx =e x senx − I
du = e dx
v = senx
Sustituyendo en la integral inicial, a integral queda así:
x
I = − e x cos x + I1 = − e x cos x + e x senx − I
Ahora bien la integral que queremos hallar es I (la integral inicial) por lo que lo
quedándonos con el término inicial y el final, queda:
I = − e x cos x + e x senx − I
− e x cos x + e x senx
2 I = −e cos x + e senx
I=
+C
2
Nota: En todos los ejercicios realizados hasta ahora y los que quedan por hacer, se puede
comprobar que la integral está bien hecha, derivando el resultado obtenido y viendo que
nos da el integrando. Es una buena práctica que animo a hacer de vez en cuando.
x
x
Ejemplo 6:
u = x2
I = ∫ x 2 cos xdx =
dv = cos xdx
du = 2 xdx
= x 2 .senx − ∫ senx 2 xdx = x 2 .senx − 2. ∫ x.senxdx =
I1
v = senx
= x 2 .senx − 2 I1
Hallemos I1 = ∫ x.senx dx aparte (2º junio 99 m).
7
u=x
dv = senxdx
I1 = ∫ x.senx dx
= − x cos x + ∫ cos xdx = − x cos x + senx + C
du = dx
v = − cos x
Sustituyendo el resultado en la integral inicial, queda:
I = x 2 senx − 2 ( − x cos x + senx ) + C = x 2 senx + 2. x cos x − 2.senx + C
Ejemplo 7:
∫ (3 + 4 x ).e
−x
dx (10º septiembre 97 y 1º junio 03 m)
u = 3 + 4x
dv = e − x dx
−x
−x
−x
−x
−x
∫ (3 + 4 x ).e dx = du = 4dx = (3 + 4 x).(−e ) − ∫ (−e ).4dx = − e .(3 + 4 x) + 4.∫ e dx =
v = −e− x
= e − x .( −3 − 4 x ) − 4.e − x + C = e − x .( −3 − 4 x − 4) + C = e − x .( −4 x − 7) + C
Otro ejemplo para que lo haga el alumno:
∫ (4 + 3x ).e dx (10º septiembre 03) (Sol: −e .(4x + 7) + C )
∫ e ⋅ ( x − 1) dx (3º septiembre 04) (Sol: e .(x − 2) + C )
−x
−x
x
x
INTEGRACION POR CAMBIO VARIABLE
Este método se usa cuando en el integrando tenemos el producto de una función
compuesta por la derivada de la función que hay dentro de la función compuesta. Es decir
en una integral que tiene la siguiente estructura:
∫ g ( f ( x ) ) . f ' ( x ) dx
La técnica que se utiliza es la siguiente:
∫ g ( f ( x ) ) . f ' ( x ) dx =
f ( x) = t
= g ( t ) dt = G ( t ) + C =G [ f ( x )] + C
f ' ( x ) dx = dt ∫
primitiva
↓
deshacemos el cambio
Ejemplo 1:
∫ (x
3
+ 1) x 2 dx
4
Como vemos x2 es la derivada de (x3+1) a falta de un 3, 3 que podemos poner simplemente
multiplicando y dividiendo por 3, por tanto:
8
4 2
3
∫ ( x + 1) x dx
=
↑
deshaciendo
el cambio
=
↑
multiplicamos y dividimos por tres
x3 + 1 = t
1 ( 3 )4 2
1 4
1 1 5
1 5
∫ 3 x + 1 3x dx = 3x 2dx = dt = 3 ∫ t dt = 3 ⋅ 5 t + C = 15 t + C =
1 ( 3 )5
x +1 + C
15
Ejemplo 2:
senx = t
1
∫ sen x cos xdx = cos xdx = dt = ∫ t dt = 4 t
3
3
4
+C =
1
sen 4 x + C
4
Atencion: sen 3 x equivale a [ sen x ]
3
Ejemplo 3:
∫x
=
2
1+x dx
↑
multiplico dentro por 2
y divido fuera por 2
1
1 + x2 = t
1
1
1 1
2
⋅ ∫ 2 x 1 + x dx =
= ∫ tdt = ∫ t 2 dt =
2
2
2 xdx = dt 2
3
+1
3
1 t2
1 t2
1 3
1 (
= ⋅
+C =
+C =
t +C =
1 + x2 ) + C
2 1 +1
2 3
3
3
2
2
Ejemplo 4:
5 − x2 = t
1 (
1
2
)
∫ 3x 5-x dx = 3 ⋅ −2 ∫ −2 x 5 − x dx = ( −2 x ) dx = dt = 3 ⋅ −2 ∫ tdt =
2
=
1
+1
2
3
2
3
−3 t
−3 t
−3 2 3
⋅
+C =
⋅ +C =
⋅
t + C = − (5 − x 2 ) + C
2 1+ 1
2 3
2 3
2
2
Ejemplo 5:
sen x = t
t3
sen 3 x
2
(
)
= 1 − t dt =t − + C = senx −
+C
x cos x dx =
∫ cos xdx = ∫ cos
cos x dx = dt ∫
3
3
1− sen 2 x derivada del seno
3
2
Ejemplo 6:
∫ sen xdx = ∫ sen x
3
2
(
senx
1−cos2 x derivada de cos x
a falta de un −
)
dx = − ∫ (1 − cos2 x ) ( − senx ) dx =
1
 1 
= −  t − t 3  + C = − cos x + cos3 x + C
3
 3 
9
cos x = t
= − ∫ (1 − t 2 )dt =
− senx dx = dt
Ejemplo 7: La integral que vemos a continuación es inmediata sin más que aplicar la
f ' ( x)
fórmula ∫
dx = log f ( x ) + C que está en la tabla de integrales inmediatas. No
f ( x)
obstante veamos que se puede hacer mediante un cambio de variable.
x2 − x − 6 = t
2x −1
1
1
(
)
∫ x 2 − x − 6 dx = ∫ x 2 − x − 6 ⋅ 2 x − 1 dx = ( 2 x − 1) dx = dt = ∫ t dt =
= log t + C = log ( x 2 − x − 6 ) + C
Ejemplo 8:
∫
1
log x = t
1
1
x
= ∫ dt = log t + C = log ( log x ) + C
dx = ∫
dx = 1
x log x
log x
t
dx = dt
x
Ejemplo 9:
log x = t
2
log x )
log x
1
t2
(
∫ x dx = ∫ log x x dx = 1 dx = dt = ∫ tdt = 2 + C = 2 + C (También por partes)
x
Ejemplo 10:
cos x = t
− senx
senx
1
∫ tg x dx = ∫ cox dx = − ∫ cos x dx = − senx = dt = − ∫ t dt = − log t + C = − log ( cos x ) + C
Ejemplo 11:
cos x = t
senx
− senx
1
t −4+1
t −3
11
−4
dx
=
−
dx
=
=
−
dt
=
−
t
dt
=
−
+
c
=
−
+C =
+C =
4
∫ cos4 x
∫ cos4 x
∫
∫
− senx = dt
t
−4 + 1
−3
3 t3
=
1
+C
3cos3 x
Ejemplo 12:
∫e
x
e + 1dx =
x
ex + 1 = t
e dx = dt
x
=∫
1
1
2
+1
3
t2
t2
2 3
2
tdt = ∫ t dt =
+C = +C =
t +C =
1
3
3
3
+1
2
2
(e
x
+ 1) + C
Ejemplo 13:
x
∫ 1 + x 4 dx
La podemos reescribir de la siguiente forma:
x
∫ 1 + ( x 2 )2 dx
De esta forma tenemos en el numerador la derivada de x 2 , a falta de un dos que ponemos
multiplicando y dividiendo la función.
10
3
x2 = t
x
x
1
2x
1 dt
1
1
=
=
=
= ∫
= arctg t + C = arctg ( x 2 ) + C
dx
dx
dx
2
2
∫ 1 + x4
∫ 1 + ( x 2 )2
∫
2 1 + ( x2 )
2
2
2 xdx = dt 2 1 + t
Ejemplo 14:
x 2 = 4t 2
x = 2t
dx
x
2dt
2 dt
1
1
=
=
= arc tg t + C = arc tg + C
2
∫ x 2 + 4 dx = 2dt = ∫ 4t 2 + 4
∫
↑
4 t +1 2
2
2
sacando factor común
x
el 4 y sacándolo fuera
t=
2
Ejercicios de exámenes:
dx
∫ x 2 + 7 (8º jun 95 m)
4x
∫ x 2 + 1 2 dx (6º jun 96 m)
( )
x
∫ 1 + 4x
2
dx (10º jun 97 m)
1
∫ cos( 2 x)dx (10º jun 97 t)
∫ 2 + 5x dx (8º jun 98 m)
∫ x tg x dx (2º sept 99)
2
∫
3
3x
( 3x 2 + 1)
x
∫
(x
2
∫
(x
2
+ 1)
2
dx (8º sept 00)
dx (6º jun 01 m)
2x
− 2)
2
3
dx (1º sept 01)
∫ x cos x dx (6º jun 02 m)
∫ sen x (1 − cos x ) dx (2º jun 03 t)
2
2
∫
(x
4x
2
− 3)
2
dx (1º junio 04 m)
Otros ejercicios: Veamos algunas otras integrales a caballo entre partes y cambio de
variable:
u = arctgx
dv = dx
1
1 2x
∫ arctg xdx = du = 1 dx = x.arctgx − ∫ x ⋅ 1 + x 2 dx = xarctgx − 2 ∫ 1 + x 2 dx =
1 + x2
tenemos arriba la derivada
a falta de un dos, lo ponemos
v=x
11
1
= xarctgx − log (1 + x 2 ) + C
2
f ' ( x)
∫ f ( x ) dx = log f ( x ) + C
En la tabla que sigue a continuación, se han repetido las fórmulas ya conocidas en
la tabla anterior, pero incluyendo en el integrando la función u = u( x ) y su derivada
u ' = u '( x ) , en lugar de la función elemental x .
Nota: Hemos aplicado que
Tabla de primitivas inmediatas II y propiedades de la integral indefinida
Primitiva inmediata
Ejemplos
Primitiva de una suma
Primitiva de una constante por una función
Funciones potenciales
Funciones exponenciales
Funciones logarítmicas
12
Funciones trigonométricas
*
Este tema se basa en el libro Matemáticas Especiales, de E. Bujalance y otros, editado por la editorial
Sanz y Torres y en las explicaciones dadas en las tutorías presenciales, por el profesor tutor del Centro de la
UNED Alzira-Valencia “Francisco Tomás y Valiente”, José Luis Lombillo que los ha editado para uso
exclusivo de sus alumnos del Curso de Acceso para mayores de 25 años. En su edición ha participado
Vicente Liern, alumno de dicho curso.
13