(6. Global de Análisis)

Colegio La Presentación
Granada
MATEMATICAS II
Examen de Matemáticas
GLOBAL DE ANÁLISIS
NOMBRE: __________________________________________ GRUPO:
FECHA:
OPCIÓN A
1.- Sean las funciones f ( x) = log x − b y g ( x) = a x + b .
(a) [1’5 puntos] Determina a y b para que ambas funciones sean tangentes entre si
al pasar por x = 1 .
(b) [0’5 puntos] Determina en qué puntos se anula cada una de estas funciones.
(c) [0’5 puntos] Determina cuál es el dominio de la función producto
h( x) = f ( x) ⋅ g ( x) .
2.- [2’5 puntos] Calcula de forma razonada el valor de a sabiendo que se cumple:
 sen 3x a

lim 
+ + 3x  = 0
2
x →0
x
 x

3.- [2’5 puntos] De todas las primitivas de la función f ( x ) = sen ( Ln x ) calcula la que
pasa por el punto (1, 0 ) . Utiliza para ello el cambio de variable t = Ln x .
4.- Sea f : ( −1, +∞ ) → ℝ la función definida por f ( x ) = Ln ( x + 1) .
(a) [0’5 puntos] Determina la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa
x =0.
(b) [2 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta
tangente obtenida en el apartado anterior y la recta x = 1 .
Colegio La Presentación
Granada
MATEMATICAS II
Examen de Matemáticas
GLOBAL DE ANÁLISIS
NOMBRE: __________________________________________ GRUPO:
FECHA:
OPCIÓN B
1.- Sea f : ℝ → ℝ la función dada por f ( x) = 8 − x 2
(a) [1’5 puntos] Esboza la gráfica, estudia la monotonía y halla los extremos
relativos de f (dónde se alcanzan y cuáles son sus respectivos valores).
(b) [1 punto] Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con la recta tangente a la
misma en el punto de abscisa x = −2 .
2.- [2’5 puntos] La gráfica de la función derivada de una función f es la parábola de
vértice ( 0, −4 ) que corta el eje de abscisa en los puntos ( −2,0 ) y ( 2, 0 ) . A partir de
dicha gráfica, estudia la monotonía y la curvatura de f.
3.- [2’5 puntos] Calcula un polinomio de tercer grado p ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d
sabiendo que:
(a) Tiene un máximo relativo en x = 1.
(b) Tiene un punto de inflexión en el punto de coordenadas ( 0,1) .
(c) Se verifica que:
5
∫ p ( x ) dx = 4 .
1
0
4.- [2’5 puntos] La curva y = x3 , su recta tangente en el punto x = 2 y el eje OX
limitan en el primer cuadrante un recinto finito del plano. Esboza un esquema gráfico de
dicho recinto y calcula su área.
Colegio La Presentación
Granada
MATEMATICAS II
Examen de Matemáticas
GLOBAL DE ANÁLISIS
NOMBRE: __________________________________________ GRUPO:
FECHA:
SOLUCIÓN (OPCIÓN A)
1.- (a) Sean f ( x ) = log x − b; f ′ ( x ) =
1
a
⋅ Ln10 y g ( x ) = a x + b; g ′ ( x ) =
.
x
2 x
Dos funciones son tangentes entre si en un punto (en x = 1 ), si en dicho punto coinciden
y tienen la misma tangente. Por lo que, f (1) = g (1) y m = f ′ (1) = g ′ (1) .
f ′ (1) = g ′ (1) ⇒ Ln10 =
a
⇒ a = 2 ⋅ Ln10
2
−a
⇒ b = − Ln10
2
(b) f ( x ) = 0 ⇒ log x − b = 0 ⇒ log x = b ⇒ x = 10b ⇒ x = 10− Ln10
f (1) = g (1) ⇒ −b = a + b ⇒ 2b = − a ⇒ b =
g ( x ) = a x + b = 0 ⇒ a x = −b ⇒ x =
−b
b2
1
⇒x= 2 ⇒x=
a
a
4
(c) Dom ( f ( x ) ) = Dom ( log x − b ) = ( 0, +∞ ) ;
(
)
Dom ( g ( x ) ) = Dom a x + b = [ 0, +∞ )
Entonces, Dom ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) = Dom ( f ( x ) ) ∩ Dom ( g ( x ) ) = ( 0, +∞ ) .
3
2
L'H
2.- lim  sen 23 x + a + 3 x  = lim  sen 3 x + 2ax + 3 x  =  0  = lim 3cos 3 x + a + 9 x =  3 + a 
x →0
x
x
2x
 0 
 x
 x →0 
  0  x →0
 sen 3x a

* Si a ≠ −3 ⇒ lim 
+ + 3x  ≠ 0 . Habría que estudiar límites laterales, sabiendo
2
x →0
x
 x

que cada uno de ellos son infinitos.
3cos 3x + a + 9 x 2  0  L ' H
−9 sen 3x + 18 x 0
=   = lim
= =0
x →0
2x
2
2
 0  x→0
* Si a = −3 ⇒ lim

1 


dx
u = et ; du = et dt
t
x  = ∫ sen t ⋅ e dt = 
=
 t

dv = sen t dt ; v = − cos t 

 e = x ⇒ dx = xdt 
3.- ∫ sen ( Ln x ) dx = 
t = Ln x ⇒ dt =
 u = et ; du = et dt 
t
t
t
= −et cos t + ∫ et cos t dt = 
 = −e cos t + e sen t − ∫ sen t ⋅ e dt ⇒
 dv = cos t dt ; v = sen t 
et ( sen t − cos t )
t
t
t
t
⇒ 2 ∫ sen t ⋅ e dt = −e cos t + e sen t ⇒ ∫ sen t ⋅ e dt =
+C ⇒
2
Colegio La Presentación
Granada
MATEMATICAS II
Examen de Matemáticas
GLOBAL DE ANÁLISIS
NOMBRE: __________________________________________ GRUPO:
⇒ F ( x ) = ∫ sen ( Ln x ) dx =
F (1) = 0 ⇒
F ( x) =
x ( sen ( Ln x ) − cos ( Ln x ) )
2
FECHA:
+C
( sen ( Ln 1) − cos ( Ln 1) ) + C = 0 ⇒ −1 + C = 0 ⇒ C = 1
2
x ( sen ( Ln x ) − cos ( Ln x ) )
2
4.- (a) f ( x ) = Ln ( x + 1) ⇒ f ' ( x ) =
2
+
2
1
2
1
; m = f ' ( x0 ) ; x0 = 0
x +1
m = f ' ( 0 ) = 1; y0 = f ( 0 ) = 0 ⇒ y = x
(b) La función y la recta sólo se cortan, en este intervalo, en el punto x = 0. En dicho
intervalo, la función está por debajo de la recta, por lo que
1
 x2 
1
A = ∫ ( x − Ln ( x + 1) ) dx = ∫ x dx + ∫ Ln ( x + 1) dx =   −  x ⋅ Ln ( x + 1)  0 +
0
0
0
 2 0
1
1
+ [ x ]0 −  Ln ( x + 1)  0 =
1
1
1
1
3
− Ln 2 + 1 − Ln 2 = − 2 Ln 2 u 2
2
2
1


u
=
Ln
x
+
1
;
du
=
dx 
(
)
x

x +1
∫ Ln ( x + 1) dx = 
 = x ⋅ Ln ( x + 1) − ∫ x + 1 dx =


dv = dx;
v=x
1


= x ⋅ Ln ( x + 1) −  ∫ dx − ∫
dx  = x ⋅ Ln ( x + 1) − x + Ln ( x + 1)
x +1 

x
− x −1
−1
x +1
Colegio La Presentación
Granada
MATEMATICAS II
Examen de Matemáticas
GLOBAL DE ANÁLISIS
NOMBRE: __________________________________________ GRUPO:
FECHA:
SOLUCIÓN (OPCIÓN B)
1.- (a) f ( x ) es continua por ser el valor absoluto de una función polinómica.
 x 2 − 8 si x < − 8


f ( x ) = 8 − x 2 si − 8 ≤ x ≤ 8
 2
 x − 8 si x > 8
Derivabilidad
2 x si
x<− 8


f ′ ( x ) = −2 x si − 8 < x < 8

x> 8
2 x si
f ( x ) no es derivable en x = − 8 ni en x = 8 .
Monotonía
−2 x = 0 ⇒ x = 0 (punto crítico)
(
f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −
) ( )
(
) ( )
8, 0 ) ∪ ( 8, +∞ ) ⇒ f ( x ) es creciente ∀x ∈ ( − 8, 0 ) ∪ ( 8, +∞ )
f ( x ) tiene mínimos relativos en los puntos ( − 8, 0 ) , ( 8, 0 ) y un máximo relativo en
f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ −∞, − 8 ∪ 0, 8 ⇒ f ( x ) es decreciente ∀x ∈ −∞, − 8 ∪ 0, 8
el punto ( 0,8) .
(b) m = f ′ ( x0 )
La recta tangente a la función en ese punto es:


m = f ′ ( −2 ) = 4
 ⇒ r ≡ y − 4 = 4 ( x + 2 ) ⇒ y = 4 x + 12

y0 = f ( −2 ) = 8 − 4 = 4
x0 = −2
Calculamos los puntos de corte de la recta con la función:
y = 4 x + 12 
⇒ 8 − x 2 = 4 x + 12 ⇒ x 2 + 4 x + 4 = 0 ⇒ x = −2 . ( −2, 4 ) (punto de tangencia)
2 
y =8− x 
y = 4 x + 12 
4 ± 96
2
2
 ⇒ x − 8 = 4 x + 12 ⇒ x − 4 x − 20 = 0 ⇒ x =
2
2
y = x −8 
Colegio La Presentación
Granada
MATEMATICAS II
Examen de Matemáticas
GLOBAL DE ANÁLISIS
NOMBRE: __________________________________________ GRUPO:
 4 − 96
4 − 96
, 8−

2
2

4 ± 96

La recta corta a f ( x ) en x =
⇒
2
 4 + 96
4 + 96
, 8−

2
2

FECHA:







2.MONOTONÍA
 x = −2
f '( x) = 0 ⇒ 
puntos críticos.
x = 2
f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −2, 2 ) ⇒ f ( x ) es decreciente ∀x ∈ ( −2, 2 )
f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −∞, −2 ) ∪ ( 2, +∞ ) ⇒ f ( x ) es creciente ∀x ∈ ( −∞, −2 ) ∪ ( 2, +∞ )
CURVATURA
f ' ( x ) es decreciente ∀x ∈ ( −∞, 0 ) ⇒ f '' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −∞, 0 ) ⇒
⇒ f ( x ) es cóncava ∀x ∈ ( −∞, 0 )
f ' ( x ) es creciente ∀x ∈ ( 0, +∞ ) ⇒ f '' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 0, +∞ ) ⇒
⇒ f ( x ) es cóncava ∀x ∈ ( 0, +∞ )
3.- p ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ; p ' ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c; p '' ( x ) = 6ax + 2b
p ' (1) = 0 ⇒ 3a + 2b + c = 0


p '' ( 0 ) = 0 ⇒ 2b = 0


p (0) = 1 ⇒ d = 1
⇒

1
1
 x4

5
x2
5
a c
5
3
∫0 ( ax + cx + 1) dx = 4 ⇒ a 4 + c 2 + x  = 4 ⇒ 4 + 2 + 1 = 4 
0

b=0

−1

a=
 d = 1
5

3a + c = 0 ⇒ 

c=3
a
c
5
 + +1 =

5

 4 2
4
4.- y = x3 ; y ' = 3 x 2
m = y ' ( 2 ) = 12

 ⇒ y − 8 = 12 ( x − 2 ) ⇒ y = 12 x − 16 corta al eje OX en
x0 = 2; y0 = f ( 2 ) = 8
4 
 ,0
3 
Colegio La Presentación
Granada
MATEMATICAS II
Examen de Matemáticas
GLOBAL DE ANÁLISIS
NOMBRE: __________________________________________ GRUPO:
2
A=∫
2
0
FECHA:
2
 x4 
32  4

x dx − ∫4 (12 x − 16 ) dx =   −  6 x 2 − 16 x  4 = 4 −  −8 +  = u 2
3 3

3
3
 4 0
3
2