FÍSICA CU´ANTICA - Fısica Médica - 2009 Prof. Dr. JL Alessandrini

FÍSICA CUÁNTICA - Fı́sica Médica - 2009
Departamento de Fı́sica - UNLP
Prof. Dr. J. L. Alessandrini
[email protected]
Aux: Dr. Diana Monteoliva
[email protected]
6. Átomos con un electrón
1. El Hidrógeno, el Deuterio y el Helio ionizado son ejemplos de átomos con un electrón. El núcleo del
Deuterio tiene la misma carga que el núcleo del Hidrógeno, pero casi exactamente el doble de su masa.
El núcleo del Helio tiene el doble de la carga del núcleo del Hidrógeno y casi exactamente el cuádruple
de su masa. Predecir con precisión las razones de las energı́as de los estados base de estos átomos
(sugerencia: tenga en cuenta la masa reducida).
2. Verifique por sustitución que la función de onda del estado fundamental ψ100 , y la energı́a del mismo,
satisfacen la ecuación de Schödinger independiente del tiempo para el átomo de Hidrógeno.
3. Calcular la posición para la cual la densidad de probabilidad radial del átomo de Hidrógeno es máxima,
cuando éste se encuentra
i. en el estado fundamental
ii. en el estado n = 2, l = 1.
Calcular el valor de expectación de la coordenada radial para dichos estados. Explicar el significado
fı́sico de las diferencias entre los cálculos anteriores para cada estado.
4.
i. Calcular el valor medio V̄ para la energı́a del estado fundamental del átomo de Hidrógeno
ii. Demostrar que en el estado fundamental E = V̄ /2, donde E es la energı́a total.
iii. Usar la relación E = K + V para calcular el valor de expectación de la energı́a cinética K
en el estado fundamental y demostrar que K̄ = −V̄ /2. Estas relaciones se obtienen para cualquier
estad de movimiento de cualquier sistema mecánico–cuántico (o clásico) con un potencial de la forma
V (r) ∼ −1/r.
a estas relaciones se las llama Teorema Virial. Indicación: tenga en
R ∞ Algunas veces
n
n+1
cuenta
que
exp(−αr)r
dr
=
y emplear
las siguientes relaciones: hr−1 i = 1/an2 hri =
0
2
2 n!/α
a
a
2
2
2
2 3n − l(l + 1) y hr i = 2 5n + 1 − 3l(l + 1) donde a = hbar /me .
5.
i. Calcular el valor medio de V̄ de la energı́a potencial en el estado n = 2, l = 1 del átomo de
Hidrógeno.
ii. Hacer lo mismo para el estado n = 2, l = 0
iii. Analizar los resultados anteriores en relacion con el Teorema Virial del problema anterior y
explicar qué papel juega en el origen de la degeneración el ı́ndice l.
6. Demostrar que la suma de las densidades de probabilidad para los estados cuánticos n = 3 del átomo
de Hidrógeno es esféricamente simétrica. Lo mismo sucede para todos los valores de n. Compruebe
además, para n = 1, n = 2 y n = 3 que las diferentes capas asociadas no se solapan.
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