Curva de ionización para el hidrógeno basada en el modelo de

REVISTA MEXICANA DE FÍSICA S 53 (7) 217–219
DICIEMBRE 2007
Curva de ionización para el hidrógeno basada en el
modelo de Thomas-Fermi-Amaldi
M. Segura y G. Martı́nez Tamayo
Laboratorio de implantación, Departmento de Fı́sica, Universidad Nacional de Colombia,
Ciudad Universitaria, Bogotá, Colombia.
Recibido el 30 de noviembre de 2006; aceptado el 8 de octubre de 2007
Para analizar la posible existencia del anión hidrógeno en plasmas metálicos ténues se calcula la corrección de Amaldi al modelo de ThomasFermi obteniéndose la distribución radial de carga corregida tanto para el H− como para el H0 , y de ellas se infiere, mediante la aplicación
del criterio de Bohr, la curva universal de ionización que se propone. Los resultados, aunque muestran la tendencia correcta, no lo hacen en
la cuantı́a necesaria para explicar totalmente los resultados experimentales disponibles. Sin embargo, la aplicación de modelos más exactos,
como el de Lenz-Jensen, permiten suponer que nuestro enfoque es factible.
Descriptores: Modelo de Thomas-Fermi; distribución de carga; criterio de ionización de Bohr; curva de ionización.
In order to analyze the existence of the anodic form of hydrogen in tenuous metallic plasmas, the Amaldi’s correction to the Thomas-Fermi’s
model is calculated, obtaining the radial charge distribution for both the anion H− and the corrected H0 , and from them, the proposed universal
ionization curve that arises by applying Bohr’s criterion. Although the results show the correct feature, they do not do it in the necessary
amount to thoroughly explain the available experimental results. However, the use of more accurate models, such as that of Lenz-Jensen,
allows us consider feasible our view.
Keywords: Thomas-Fermi model; charge distribution; Bohr ionization criterion; ionization curve.
PACS: 31.15.Bs; 34.50.Dy; 71.10.Ca; 71.55.Ak
1.
Introducción
La curva universal de ionización que describe el estado de
carga de átomos pesados inmersos en metales [1], ha mostrado también ser útil para los átomos livianos, incluidos el
hidrógeno y el helio (excediendo cualquier expectativa teórica) ya que su soporte es el modelo estadı́stico de ThomasFermi [2]. Desafortunadamente, la región de los metales con
baja densidad electrónica permanece fundamentalmente inexplorada debido a su alta reactividad quı́mica.
En el trabajo [3] se ha lanzado la hipótesis de una curva
alterna de ionización compatible con un estado de carga negativo del hidrógeno (H− ) en plasmas de baja densidad. Allı́ se
indicaba también que la energı́a de afinidad de este elemento
liviano (0.77 eV) harı́a dificil distinguir este ión de la forma
neutra prevista en la curva universal estándar de ionización
para el estado de carga del hidrógeno estático.
Es este trabajo se analiza la existencia de la forma aniónica del hidrógeno en plasmas metálicos tenues sin abandonar
el modelo de Thomas-Fermi, es posible utilizar una extensión
al modelo conocida como la corrección de Fermi-Amaldi.
En la primera sección se hace una revisión del modelo de
Thomas-Fermi y se explica la corrección de Amaldi, luego
se aplica este modelo al ion H− y al átomo neutro H0 para
determinar la distribución de carga, y finalmente, aplicando
el criterio de ionización de Bohr se obtiene la curva de ionización que se propone para el H− y el H0 .
2.
Modelo de Thomas-Fermi-Amaldi
Se considera un gas de electrones de energı́a mı́nima confinado en una región esférica por un potencial neto φ(r) con
origen en la atracción que ejerce el núcleo sobre el electrón de referencia y la interacción repulsiva promedio entre
electrones. La profundidad del potencial es tal que todos los
niveles de energı́a están llenos, esto es EF = −V (r) con
V (r) = eφ(r), la energı́a potencial [4, 5] y EF , energı́a de
Fermi.
La densidad volumétrica de electrones n(r) es
n(r) =
(−2mV (r))3/2
3π 2 ~3
(1)
formalmente también se puede obtener V (r) a partir de la
ley de Poisson en coordenadas esféricas, de tal manera que
sustituyendo n(r) se obtiene:
1 d
r dr
µ
¶
d(−V )
4e2 (−2mV (r))3/2
r2
=
dr
3π~3
(2)
es conveniente expresar (2) de manera adimensional en términos de una coordenada radial reducida x = r/b y de la función de pantalla χ(x), tal que únicamente aparezca Z como
factor de escala, ası́
1
Ze2
χ(x), además, b =
V (r) = −
r
2
µ
3π
4
¶2/3
a0
Z 1/3
(3)
con a0 el radio de Bohr, con esto se obtiene la ecuación de
TF:
x1/2
d2 χ
= χ3/2
dx2
(4)
218
M. SEGURA Y G. MARTÍNEZ TAMAYO
debido a un electrón φe /N para un átomo con N electrones,
de esta manera la función χ(x) se escribe como
V (r) − V0 −
χ(x)
Ve
= −Ze2
N
r
(7)
F IGURA 1. Solución de la Ec. (4) para diferentes condiciones de
χ0 (0): (– – –) -1.650, (- - - -) -1.610, (—) -1.588, (— - —) -1.570
y (— —) -1.550
³
´2/3
b y b se define
con r = b∗ x siendo b∗ = NN−1
en (3). Ası́, en el lı́mite r → 0, el electrón más cercano al núcleo, siente la acción del núcleo desnudo, esto es
(V (r) − V0 − Ve /N )/e = Ze/r mientras que en el lı́mite
r → ∞, sobre el electrón más alejado (electrón extra) el potencial se anula al ver él tan sólo un átomo neutro. Por ello,
la solución de ion negativo según Amaldi es mas bien similar
al átomo neutro en el modelo básico TF.
En el caso de átomo neutro, cuando r → 0 el potencial se
reduce al potencial de Coulomb V (r) = Ze2 /r, mientras que
en el lı́mite r → ∞, V (r) = −e2 /r, valor que normalmente
se desprecia frente a Ze2 /r en átomos multielectrónicos, ası́
3.
χ(0) = 1
χ(∞) = 0
(5)
La lı́nea sólida en la fig. 1 corresponde a la solución de la
Ec. (4) con las condiciones dadas.
Para el caso de iones positivos, se redefine la función
χ(x) tal que V (r) − V0 = −Ze2 χ/r donde V0 es una constante positiva que da cuenta de los átomos ionizados, de tal
manera que la solución se debe anular en algún valor finito
x0 , esto es χ(x0 ) = 0. Las soluciones correspondientes se
muestran en la Fig. 1 y se encuentran por debajo de la del
átomo neutro.
Aplicando el teorema de Gauss a φ(r) − φ0 = −Zeχ/r
y haciendo χ(x0 ) = 0 se tiene que x0 depende del grado de
ionización z/Z de la siguiente forma [5]
z
= −x0 χ0 (x0 )
Z
Resultados
La solución de la Ec. (4) se obtuvo en Mathematica 5.2 resolviendo una ecuación diferencial no lineal de segundo orden
con condiciones iniciales χ(0) = 1 y χ0 (0) = −1.588 para
el ión negativo y χ0 (0) = −1.610 para el átomo neutro.
(6)
el cual se representa gráficamente por el valor de la ordenada en el punto de corte con la recta tangente a la curva en el
punto x = x0 . Para un ion positivo de número atómico Z y
N electrones se tiene que z = Z − N
En la Fig. 1 se muestran además soluciones de la ec. (4)
que divergen, y que se supone corresponden a átomos impureza en sólidos [6] o también (según Ref. 5) a átomos sujetos
a grados altos de compresión.
2.1. Corrección de Fermi-Amaldi
La corrección de Amaldi al modelo TF busca compensar el
efecto de eliminar el término −e2 /r en la condición distante. Este ajuste de inmediato habilita la existencia de los iones
negativos simples, los que no eran estables en el modelo original. Con ese objetivo se resta del potencial total para un átomo ionizado φ(r) − φ0 , el potencial de repulsión promedio
F IGURA 2. Densidad de carga. a) H− y b) H0 .
Rev. Mex. Fı́s. S 53 (7) (2007) 217–219
CURVA DE IONIZACIÓN PARA EL HIDRÓGENO BASADA EN EL MODELO DE THOMAS-FERMI-AMALDI
átomo, esto es [3]:
r

¶3/2
Z 0µ
2χ(r0 /b∗ )
1 
4πr02 dr0  + Qion
γ=
3π 2
r0
219
(10)
r
con r0 la frontera del átomo. En la Fig. 3 se muestra la curva de ionización para el átomo H0 cuya carga es 0 cuando
vF = 0 o r → ∞, y la del ión H− cuya carga total es -1
cuando vF = 0.
F IGURA 3. Curvas de ionización para el ion H− (— —) y para el
átomo neutro H0 (—).
3.1.
Densidad de carga
Teniendo en cuenta las Ecs. (1) y (3), la densidad electrónica
n(r) se expresa en términos de χ(x) según (u.a.):
n(r) =
1
3π 2
µ
2χ(r/b∗ )
r
¶ 23
(8)
La densidad electrónica de carga, ρ(r) = 4πr2 en(r), para el ion H− y para el hidrógeno neutro se muestran en la
Fig. 2. Ası́, la carga total que se obtiene integrando ρ(r) entre
0 e ∞ resulta en 1.97 para el H− y 0.97 para el H0 , integrando
en este caso hasta r0 = 3.9 que es la frontera del átomo. De
este modo se verifica del ion H− la doble carga electrónica
frente al H0 .
3.2.
Curva de ionización
La velocidad de los electrones en el modelo de ThomasFermi, se escribe como:
¶1/2
µ
2χ(r/b∗ )
(9)
vF =
r
Aplicando el criterio de ionización de Bohri , se obtiene
el estado de carga del átomo, γ = z/Z, en función de la distancia al núcleo r, integrando n(r) desde r hasta el lı́mite del
i. El criterio de Bohr estima el estado de carga del átomo (impureza intersticial) suponiendo que los electrones atómicos con
velocidades orbitales, u, mayores que la velocidad promedio de
los electrones del medio, v, permanecen ligados al átomo mientras que para u < v los electrones se desligan de la impureza.
1. W. Brandt, Atomic Collisions in Solids, ed. S. Datz (Plenum
New York, 1975) vol. 1, p. 261
4.
Conclusiones
Por aplicación del modelo estadı́stico de ThomasFermi con corrección Amaldi, a los casos extremos
del átomo de hidrógeno y su ión negativo H− , se obtuvieron las respectivas distribuciones electrónicas y
energı́as de estado fundamental. Como resultado, la
energı́a de afinidad de éste último es 2.64 eV [7], cifra que aunque alejada del valor experimental para el
ión atómico (0.77 eV) puede ser representativa para el
hidrógeno inmerso como impureza en el jellium.
Una consecuencia evidente del modelo es que para metales con vF = (4/3)v ≈ 0.6 u.a [8] (por ejemplo Li,
Mg, Ca) se tiene que la carga neta es cero, lo que significa que el hidrógeno no interactuarı́a eléctricamente
con el medio y por tanto su frenado deberı́a mostrar
una disminución en estos metales.
Dada la alta energı́a de afinidad que asegura una amplia
brecha entre las dos curvas de ionización en la región
de los metales, parece posible la presencia mayoritaria
de la forma aniónica del hidrógeno en plasmas densos,
frente a la del H0 .
La discusión anterior se presenta en un escenario en
el que se permite al protón ligar electrones en el sólido, dilema planteado a mediados de los 50 que parecı́a
cerrado alrededor de una respuesta negativa pero que
resultados experimentales con soporte teórico posteriores [2] mostraron que sı́ es el caso.
4. Eisberg y Robert Martin, Fundamentos de Fı́sica Moderna
(1983).
5. Landau y Lev Davidovich, Mecánica Cuántica no Relativista
(1972).
6. J.C. Slater y H.M. Krutter, Phys. Rev. 47 (1935) 559.
2. G. Martı́nez-Tamayo et al., Phys. Rev. A 54 (1996) 3131.
7. M. Segura y G. Martı́nez Tamayo, El ión de H- en el modelo
de Thomas-Fermi-Amaldi, VII Escuela Nacional de Fı́sica de la
Materia Condensada, Tunja - Colombia, Oct. 23 - 27 de 2006.
3. G. Martı́nez Tamayo, Revista Colombiana de Fı́sica 36 (2004)
156.
8. S. Kreussler, C. Varelas y W. Brandt, Phys. Rev. B 23 (1981)
82.
Rev. Mex. Fı́s. S 53 (7) (2007) 217–219