Hoja de Problemas 5. F´ısica Atómica.

Hoja de Problemas 5. Fı́sica Atómica.
Fundamentos de Fı́sica III. Grado en Fı́sica.
Curso 2015/2016. Grupo 516. UAM.
Entrega: 9-3-2016. Recogida: 30-3-2016. Problemas a entregar: 1, 2, 3, 5 y 6
Problema 1
En 1896 el astrónomo americano Edward Charles Pickering observó unas misteriosas lı́neas en el
espectro de la estrella ζ-Puppis que podı́an describirse por la fórmula empı́rica
1
1
1
= RH
−
λ
(n2 /2)2 (n1 /2)2
donde RH es la constante de Rydberg y n1 y n2 son números enteros positivos con n1 > n2 . Usando
el modelo de Bohr determinar qué elemento quı́mico da origen a esas lı́neas.
Problema 2
Las longitudes de onda de las lı́neas espectrales dependen ligeramente de la masa nuclear. Esto se
debe a que el núcleo no posee una masa infinita y en realidad el electrón y el núcleo giran alrededor
de su centro de masas común. Se puede demostrar que un sistema de este tipo es equivalente a un
sistema en el que una partı́cula de masa reducida µ gira alrededor de la posición de la partı́cula
más pesada a una distancia igual a la separación entre el electrón y el núcleo. La masa reducida
viene dada por µ = me M/(me + M ), donde me es la masa del electrón y M es la masa nuclear.
Ası́, para tener en cuenta el movimiento del núcleo en el modelo de Bohr, debemos reemplazar me
por µ. Determinar los valores correctos para la longitud de onda de la primera lı́nea de la serie de
Balmer teniendo en cuenta el movimiento nuclear para (a) hidrógeno, 1 H, (b) deuterio, 2 H, y (c)
tritio, 3 H. Comparar estos valores con los obtenidos ignorando el movimiento del núcleo.
Problema 3
La función de onda normalizada del estado fundamental del átomo de hidrógeno es
3/2
1
1
ψ(r) = √
e−r/a0
π a0
donde r es la coordenada radial del electrón y a0 es el radio de Bohr. (a) Demostrar que la
función de onda está normalizada. (b) Representar gráficamente la función de onda en función
de r. (c) Representar gráficamente la densidad de probabilidad radial y encontrar el radio en que es
más probable encontrar al electrón. (d) Determinar la probabilidad de encontrar el electrón entre
r1 = a0 /2 y r2 = 3a0 /2.
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Problema 4
Un átomo de hidrógeno está en el estado 6g. (a) ¿Cuál es el número cuántico principal?. (b) ¿Cuál
es la energı́a del átomo? (c) ¿Cuál es el valor del número cuántico orbital y del módulo del momento
angular orbital? (d) ¿Cuáles son los valores posibles para el número cuántico magnético? Para cada
valor, determinar la correspondiente componente z del momento angular orbital del electrón y el
ángulo que el momento angular orbital forma con el eje z.
Problema 5
Considérese un hipotético átomo de hidrógeno en el cual el electrón se reemplaza por una partı́cula
K − , que es un mesón con espı́n igual a cero. De este modo, el único momento magnético se debe
al movimiento orbital de la partı́cula K − . Supongamos que el átomo se encuentra en presencia de
un campo magnético Bz = 0.1 T. (a) ¿Cuál es su efecto sobre los niveles 1s y 2s del átomo?. (b)
¿En cuántas rayas se divide la raya espectral 2p → 1s?. (c) ¿Cuál es la separación en longitudes de
onda entre las lı́neas adyacentes? (Nota: la masa de la partı́cula K − es 493.7 MeV/c2 y su carga
es la del electrón.
Problema 6
(a) Determinar la diferencia de energı́as entre los electrones que tienen su espı́n alineado y antialineado con un campo magnético uniforme de 0.8 T cuando un haz de electrones libres se mueve
en una dirección perpendicular al campo. (b) La famosa lı́nea de 21 cm del átomo de hidrógeno
juega un papel fundamental en radioastronomı́a para estudiar el contenido del material interestelar
en las galaxias. Esta lı́nea tiene su origen en la emisión de un fotón cuando el electrón de un átomo
de hidrógeno invierte su espı́n y pasa de estar alineado a estar en la dirección opuesta al espı́n
del protón del átomo de hidrógeno. ¿Cuál es el valor del campo magnético que experimenta el
electrón?
Problema 7
(a) Calcular la proyección del momento magnético total µ en el vector momento angular total J y
demostrar que viene dada por
p
µ·J
eh̄
= −
g j(j + 1)
|J|
2m
donde
g =1+
j(j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1)
2j(j + 1)
A g se lo conoce como el factor de Landé y es necesario para calcular el desdoblamiento de los niveles
de energı́a en un campo magnéico. (b) Determinar el valor del desdoblamiento (o “splitting”) en
energı́as de un átomo en un campo magnético B si se supone que el desdoblamiento depende sólo
de la componente µ a lo largo de J.
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