OPERADORES

OPERADORES
Vimos que las funciones de onda que son soluciones de la ecuación de Schrödinger
nos dan infomación acerca de los posibles niveles de energı́a del electrón, la probabilidad
de hallarlo en una región del espacio particular y la frecuancia de radiación emitida o
absorbida cuando el electrón pasa de un estado a otro. Sin embargo ésta no es la única
información que podemos obtener del sistema. Es posible expresar los principios de la
Mecánica Cuántica de un modo formal usando operadores. La ecuación de Schrödinger
en una dimensión se puede escribir:
½
¾
2
1
2 d
(−h̄
) + V (x) ψ(x) = Eψ(x)
2m
dx2
Los términos entre llaves deben ”operar” sobre ψ(x) y podemos definir un operador H
tal que:
Hψ(x) = Eψ(x)
(1)
Aquéllas funciones que satisfacen (1) se llaman autofunciones o funciones propias del
operador hamiltoniano H y los valores correspondientes de E se llaman autovalores o
valores propios de ese operador.
En Mecánica Cuántica los operadores pertenecen a una clase llamada ”hermitiana”, es
decir, cumplen la condición:
Z
Z
∗
ψ1 Hψ2 dV = [Hψ2∗ ]ψ1 dV
V
V
Z
V
ψi ψj∗ dV = δij

 = 0 si i 6= j

= 1 si i = j
Un teorema dice que todo operador hermı́tico tiene sus autofunciones ortogonales
y sus autovalores son reales.
En la Mecánica Clásica el hamiltoniano se refiere a la energı́a total de un sistema,
expresada en función del impulso y la coordenadas:
Hclasico =
p2
+ V (x)
2m
1
En Mecánica Cuántica:
h̄2 d2
+ V (x)
2m dx2
Comparando uno y otro hacemos la correspondencia:
d
p → −ih̄ dx
Para el caso tridimensional:
H=−
1 2
Hclasico =
(p + p2y + p2z ) + V (xyz)
2m x
µ 2
¶
h̄2
∂
∂2
∂2
H=−
+
+
+ V (xyz)
2m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
∂
p~ → −ih̄( ∂x
+
∂
px → −ih̄ ∂x
∂
py → −ih̄ ∂y
∂
pz → −ih̄ ∂z
∂
~ (operador vectorial nabla)
+ ∂z
) = −ih̄∇
∂
∂y
h̄2 2
∇ + V (xyz)
2m
La ecuación general de Schrödinger dependiente del tiempo es:
·
¸
∂Ψ(xyzt)
h̄2 2
−
∇ + V (xyz) Ψ(xyzt) = ih̄
2m
∂t
H=−
Et
dado que : Ψ(xyzt) = ψ(xyz)e−i h̄
HΨ(xyzt) = ih̄
Et
∂Ψ(xyzt)
∂t
Hψ(xyz)e−i h̄ = ih̄ψ(xyz)
Et
Hψ(xyz)e−i h̄ = ih̄ψ(xyz)
d −i Et
(e h̄ )
dt
Et
d −i Et
(e h̄ ) = Eψ(xyz)e−i h̄
dt
o sea:
HΨ(xyzt) = EΨ(xyzt)
Entonces podemos corresponder la energı́a con el operador diferencial:
2
∂
E → −ih̄ ∂t
Momento angular orbital del electrón:
~ = ~r × p~
Clásicamente: L
~ = −ih̄(~r × ∇)
~
Cuánticamente: L → ~r × (−ih̄∇)

ı̂
ĵ

y
L → −ih̄ x
∂
∂x
∂
∂y

k̂
z 
∂
∂z








 ∂

∂
∂
∂
∂
∂
= −ih̄ (y
− z ) ı̂ − (x − z ) ĵ + (x
− y ) k̂

∂z
∂y
∂z {z ∂x }
∂y
∂x 

|

|
{z
}
|
{z
} 



Lyop
Lxop
Lzop → −ih̄(x
Lzop
∂
∂
−y )
∂y
∂x
Si consideramos coordenadas esféricas encontramos que :
∂
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
=
+
+
∂ϕ
∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z ∂ϕ
∂x
= −r sin θ sin ϕ = −y
x = r sin θ cos ϕ =⇒ ∂ϕ
∂y
y = r sin θ sin ϕ =⇒ ∂ϕ = r sin θ cos ϕ = x
∂z
=0
z = r cos θ =⇒ ∂ϕ
∂
∂
∂
= −y
+x
∂ϕ
∂x
∂y
Lzop → −ih̄
∂
∂ϕ
Lzop Φm (ϕ) = Lz Φm (ϕ)
−ih̄
∂Φm
= h̄mΦm
∂ϕ
Lz = h̄ml
3
(2)
son los autovalores del operador Lzop
con ml = 0, ±1, ±2... ± l, donde le agregamos el subı́ndice l para indicar que está asociado
con el momento angular orbital (L).
La componente z del momento angular orbital está cuantizada y toma 2l + 1 valores. En
cambio los operadores Lxop y Lyop no están definidos.
Se puede probar que el operador cuántico de una componente del momento angular,
∂
según cualquier dirección, estará dada por −ih̄ ∂ϕ
, siendo ϕ el ángulo medido alrededor de
esa dirección.
Hallaremos ahora los autovalores L2 asociados al operador L2
L2 → L2xop + L2yop + L2zop
En coordenadas esféricas:
·
¸
1 ∂
∂
1 ∂2
L → −h̄ −
(sin θ ) +
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂ϕ2
2
2
Aplicado a las autofunciones angulares:
L2 Θ(θ)Φ(ϕ) = L2 Θ(θ)Φ(ϕ)
·
−h̄
2
¸
Φ d
dΘ
Θ d2 Φ
(sin θ ) +
= L2 ΘΦ
2
2
sin θ dθ
dθ
dϕ
sin θ
sin2 θ
Multilicando ambos miembros por 2
nos queda:
h̄ ΘΦ
sin θ d
dΘ
1 d2 Φ
L2 sin2 θ
−
(sin θ ) −
=
Θ dθ
dθ
Φ dϕ2
h̄2
pero antes vimos que:
1 d2 Φ
Φ dϕ2
= −m2l
dΘ
m2l
L2
1
d
(sin θ ) +
= 2
−
Θ sin θ dθ
dθ
sin2 θ
h̄
Pero el primer miembro es igual a la constante de separación α = l(l + 1), de donde
resulta:
l(l + 1) =
4
L2
h̄2
L = h̄
p
l(l + 1)
(3)
con l = 0, 1, 2...(n − 1)
Las relaciones (2) y (3) indican que tanto el módulo como la componente z del momento
angular orbital, toman valores discretos según los números cuánticos l y m. En cambio las
~ precesione
componentes x e y no están definidas y su valor medio es cero. Esto hace que L
~ se denomina
alrededor de z describiendo una cónica. Esta caracterı́stica del vector L
cuantización espacial y la podemos ver en los diagramas vectoriales.
En el diagrama de la derecha se muestra el caso para l = 1; ml = 0, ±1.
L = h̄
p
√
l(l + 1) = h̄ 2
Lz = h̄ml = 0, ±h̄
Hay tres posibles orientaciones espaciales.
5
Momento magnético del electrón
Considerando el modelo de órbitas de Bohr, el electrón de masa m y carga −e se mueve
con una velocidad v en una órbita circular de radio r.
2πr
Perı́odo orbital del electrón.
P =
v
Esta carga produce una corriente circular i que la podemos expresar como:
i=−
e
ev
=−
cP
c2πr
e = 4.80 × 10−10 u.e.de carga
Como la carga del electrón es negativa, la corriente equivalente es opuesta al movimiento
electrónico.
Se sabe que una corriente circular produce un campo magnético que a grandes distancias es idéntico al producido por un dipolo magnético ubicado en el centro del cı́rculo y
perpendicular al plano de la órbita. El momento de un dipolo magnético es:
~µ = q~δ
donde q es la intensidad del polo magnético y ~δ por convención es el vector que va desde
el polo negativo al positivo.
6
Para un corriente i que fluye en una circunferencia de área A, la magnitud del momento
magnético es:
µ = iA
ev
evr
µ=−
πr2 = −
c2πr
2c
L = mvr
~µ = −
e ~
µB ~
L = −gl L
2mc
h̄
~µ
se llama relación giromagnética.
~
L
gl = 1 se determina experimentalmente.
eh̄
µB =
se llama magnetón de Bohr
2mc
µB = 0.927 × 10−20 erg/gauss = 5.79 × 10−9 eV /gauss
Como el momento magnético ası́ obtenido está referido al movimiento orbital del
~ de ahora en más lo vamos a indicar con un subı́ndice
electrón y está cuantizado como L,
l. Se cumple también la cuantización espacial, de modo que:
El cociente
~µl = −gl
µB ~
L
h̄
p
µB ~
| L |= gl µB l(l + 1)
h̄
µB
µlz = gl Lz = gl µB ml
h̄
Campo magnético externo uniforme:
Calcularemos las fuerzas que actúan sobre un dipolo, con un momento magnético ~µl ,
colocado en un campo externo uniforme, a lo largo del eje z y que forma un ángulo θ con
~ No existe una fuerza
~µl . El campo produce sobre los polos ±q un par de fuerzas ±qB.
translacional neta, sino un torque que lo podemos expresar como:
| ~µl |= gl
δ
δ
T = qB sin θ + (−qB)(− sin θ) = qδB sin θ
2
2
~
T~ = ~µl × B
(4)
~ y su efecto es hacer precesionar a ~µl
T~ resulta perpendicular al plano formado por ~µl y B
~
alrededor de B (o del eje z) permaneciendo θ constante.
7
El sistema tendrá una energı́a potencial de orientación, la cual la podemos obtener
sumando la energı́a potencial en cada uno de los polos y tomando potencial cero en el
centro del dipolo.
∆E = −zqB − (−z)(−qB) = −2zqB
δ
∆E = −2 qB cos θ = −µl B cos θ
2
~
∆E = −~µl B
(5)
~ están alineados
La energı́a potencial de orientación alcanza un valor mı́nimo cuando ~µl y B
(cos θ = 1) y es nula cuando son perpendiculares. A menos que exista algún mecanismo
~ sino que, vemos aquı́ también, precesionará
disipativo, ~µl no tenderá a linearse con B,
aldrededor de él, con θ y ∆E constantes.
La frecuencia de precesión se llama frecuencia de Larmor y se obtiene de la siguiente
manera:
µB ~
~
T~ = −gl L
×B
h̄
8
~
dL
µB ~
~
T~ =
= −gl L
×B
dt
h̄
~ |= gl µB LB sin θdt
| dL
h̄
~ |
| dL
µB
dφ =
= gl Bdt
L sin θ
h̄
dφ
µB
= ωL = gl B
dt
h̄
En forma vectorial:
~
ω
~ L = gl µh̄B B
(6)
~ Es similar a la precesión del impulso angular de
El sentido de la precesión es el de B.
un trompo en un campo gravitacional.
9
Medición experimental de la cuantización espacial
Cuando un átomo es colocado en un campo magnético externo a lo largo del eje z, se
origina una energá de orientación ∆E que se traducirá en un corrimiento en los niveles de
energı́a del electrón:
∆E = −µlz B cos θ = gl
BµB
Lz = gl BµB ml
h̄
Tendremos tantos desplazamientos de los niveles como valores tenga ml . Esto se denomina
Efecto Zeeman Normal y lo veremos más adelante.
Otra forma de comprobar la cuntización espacial es enviar un haz de átomos a través
de un campo magnético externo no homogéneo. Constituye el experimento de STERN~ está en la dirección z y varı́a según z, habrá una fuerza de traslación
GERLACH. Si B
neta sobre los átomos:
~ µl .B)
~
F~ = ∇(−~
Fz = −µlz .
∂B
∂z
∂B
g l µB m l
∂z
Es decir, la fuerza ejercida sobre los átomos depende de ml y tomará (2l + 1) valores,
es decir un número impar de desviaciones del haz..
Fz =
10
En la experiencia original realizada por Stern y Gerlach, se utilizaron átomos de plata
(Ag), pero no se encontró lo que se esperaba. En vez de observarse un número impar de
desviaciones, solamente se veian dos haces, uno desviado en la dirección positiva del eje z
y el otro en la negativa.
Estas experincias pueden ser explicadas únicamente si el átomo posee algún momento
magnético adicional, el cual no podı́a provenir del núcleo ya que su masa es 1836 veces
q
mayor que la del electrón (
L) y dan un número muy pequeño. En consecuencia el
2M c
~ llamado spin.
electrón debı́a tener un momento magnético intrı́nseco S
~ = h̄
S
p
s(s + 1)
donde s = 1/2 =⇒ S 2 = 34 h̄2
y
Sz = h̄ms
donde ms = ± 21 correspondiendo a las dos posibles orientaciones del spin, hacia arriba y
hacia abajo.
El momento magnético asociado:
µB ~
~µs = −gs S
h̄
µB
µsz = −gs Sz = ±gs µB ms
h̄
El spin del electrón es perfectamente compatible con la teorı́a de Schrödinger, pero la
razón de que no esté contenido en la teorı́a es debido a que ignora efectos relativistas. La
Mecánica Cuántica Relativista desarrollada por Dirac en 1928 muestra naturalmente la
existencia del spin.
La incorporación del número cuántico ms indica que las autofunciones ahora serán:
ψnlml ms (rθϕ)
que se pueden expresar como el producto de una autofunción espacial ψnlml , contı́nua para
todo valor de sus variables y una función propia de spin (χms ), cuya variable puede tomar
sólo dos valores, de modo que no es una función continua y se puede representar en la
forma matricial de Pauli, con dos filas y una columna:
µ
¶
−
ψnlml (rθϕ)χms = ψnlml (rθϕ)
−
11
Suma de impulsos angulares:
~ yS
~ se acoplan para dar el impulso
Debido a interacciones magnéticas los vectores L
~
angular total de los electrones J:
~ +S
~
J~ = L
Se denomina interacción spin-órbita.
El impulso J~ estará definido cuánticamente por:
p
J = h̄ j(j + 1)
Jz = h̄mj
donde los números cuánticos j y mj toman los siguientes valores:
| l − s |< j > (l + s)
o bien, para el caso de un electrón:
| l − 1/2 |< j > (l + 1/2)
mj = −j, .... + j
12
Ejemplo:
l = 2 y s = 1/2
j
J
mj
5/2 h̄
3/2 h̄
p
35/4
p
15/4
jz
±5/2 ±h̄5/2
±3/2 ±h̄3/2
±1/2 ±h̄1/2
±3/2 ±h̄3/2
±1/2 ±h̄1/2
13