semana 1 - Universidad Tecnológica del Perú

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ
Vicerrectorado de Investigación
ESTADÍSTICA Y
PROBABILIDADES I
TINS Básicos
INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS,
INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA,
INGENIERÍA TEXTIL, INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES
TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP
Lima - Perú
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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES II
© ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Desarrollo y Edición
: Vicerrectorado de Investigación
Elaboración del TINS
: Mg. Heiner López Príncipe
Diseño y Diagramación
: Julia Saldaña Balandra
Soporte académico
: Instituto de Investigación
Producción
: Imprenta Grupo IDAT
Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y
transformación de esta obra.
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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Presentación
El indeterministico, en el presente siglo va ganando márgenes importantes, en los
certámenes donde se exponen trabajos relacionados con la “mecánica celestial”
Universo y con la “mecánica de las partículas”. De modo que la teoría de
probabilidades, en extensión, se va haciendo cada día más útil en el planteamiento y
en la solución de problemas, en las diferentes áreas de actividad del hombre: en la
economía, en el comportamiento social, en la esfera política, en general en toda
actividad del hombre.
Trabajos que tienen como antecedente las observaciones de Ricard de Fourmivel
(1200-1250), contenido en su poema “De vetula”, donde expresa si se lanza tres
dados se puede llegar a identificar 216 combinaciones. Doscientos años después Luca
Paciola (1445-1517) propone un problema, conocido luego como “problema, del
reparto de apuestas”, relacionado con la distribución de ganancias entre jugadores
cuando el juego se interrumpe antes de finalizar.
Más adelante Girolamo Cardano (1501-1576), en su obra el “Libro de los Juegos de
Azar”, escrito en 1565 y sin embargo publicado en 1663, se ocupa también del
problema de reparto de apuestas. Indica que la solución de Pacioli era incorrecta
porque al considerar tan sólo el número de juegos generados por cada equipo, no
contaba cuántos juegos debían ganar para hacerse con el premio. El problema que se
comenta también fue tratado por Niccolo Tartaglia (1499-1557), quien observaba que
la solución elaborada por Paccioli tenía restricciones y propuso una solución más
general.
No se puede cerrar estos años de la teocracia sin dedicar algunas líneas al trabajo de
un coloso de la humanidad: Galileo Galilei (1564-1642), famoso por sus trabajos de
Física, Astronomía e Ingeniería; primer sistematizador de la metodología experimental
en la investigación científica, quien dedicó una parte de su tiempo a resolver
problemas sobre dados, contenidos en su libro “sobre la puntuación en tiradas de
dados”. No obstante su mayor contribución fue la creación de la “teoría de errores”:
errores sistemáticos y errores aleatorios.
Liberado de las ataduras de la escolástica que frenó, para desgracia de la humanidad
trabajos de gran envergadura, no sólo en el campo de la incerteza, por considerarlos
impíos, recién en el siglo XVII, con los trabajos de Pascal (1623-1662) y Fermat (16011665) empieza a establecerse los principios y métodos de cálculo de la incerteza.
Más tarde el espíritu humano se ve engrandecido con la contribución de Huyghens
(1629-1675), quien acopiando diversos trabajos elaborados hasta su época, reunió
problemas diversos en un tratado, al que llamó “De Rotiociniis in ludo aleae”.
Posteriormente siguieron trabajando para la gloria de la humanidad, en Holanda
Huddes y Witt (1625-1672); Halley (1656-1742) en Inglaterra; aplicaron los cálculos a
las probabilidades de la vida humana; Bernoulli (1654-1705) a su vez propuso a los
geómetras de su época diversos problemas de probabilidades; entre ellos a Moivre.
Unos años después, entre 1700 y 1706 Montmort (1678-1719) y Moivre (1667-1754)
publican obras sobre el cálculo de probabilidades.
La obra de Montmort con el título “Essai sur les Jeux de hasard” y el trabajo de Moivre
3
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES II
aparecieron en “Transactions Philosophiques” de 1711; obra que fue sometido por él a
sucesivas correcciones, mientras intensificaba su trabajo de las “series recurrentes” que
luego usó Lagrange para la integración de las ecuaciones lineales de diferencias con
coeficientes constantes; procedimiento que muy poco antes había sido trabajo por
Taylor.
Más adelante, Bayes (1702-1761) bebiendo en la cantera de trabajos realizados por
varios sabios que le antecedieron, estudió el problema de las causas y de los
acontecimientos futuros, inferida de los acontecimientos sucedidos. Trabajos
publicados después de su muerte en “Transactions Philosophiques” de 1763. Así
mismo, dos años después de su muerte, en 1763 se publica “Essay Towards Solving a
Problem in the Doctrine of Chances”, donde se enuncia el teorema que lleva su
nombre.
Continúa el avance de esta teoría con las contribuciones de Lagrange, con su obra
publicada en “Mémoires de Turin” sobre las probabilidades de los términos medios,
basado en la ley de los errores de las observaciones. En esta avanzada continuaron
Legendre (1752-1833) y Gauss que concibieron la idea de sumar los cuadrados de los
primeros miembros de las ecuaciones de condición y de convertir dicha suma en un
“minimun”.
Gauss (1777-1855), considerado el “príncipe de las matemáticas” y “el matemático
más grande desde la antigüedad”, en 1823 publica “Theoria combinations
observationum erroribus minimis obnoxiae”, dedicado a la distribución normal, cuya
curva característica (campana de Gauss) es muy usada en disciplinas donde los datos
podrían estar afectados por errores sistemáticos y casuales.
Por ese tiempo, Pierre Simon Laplace un matemático francés que a los 24 años se le
llamó el “Newton de Francia”, por la calidad de sus trabajos en la “Mecánica
Celestial”, expuso en su gran obra “Traite du Mecanique Celeste” sus estudios acerca
del sistema solar; contribuyendo a extender el modelo de Newton y sin embargo
anotando que el sistema solar era estable y que “Dios era hipótesis innecesaria”.
Un sabio de tal brillantez, no sólo trabajó en física astronómica, sino también como
pensador presentó su “Hipótesis Nobular”, antecedido por Inmanuel Kant quien en
1755 presenta su obra “Allgemeine Naturgeschichte”. Trabajó, así mismo, en la teoría
de probabilidades, planteando diversos problemas al azar, siendo uno de ellos el
método de los mínimos cuadrados, presentando en 1812, en su “Theorie Analitique
des Probabilités” donde supera las restricciones que Lagrange había considerado en
sus “Memories de Turin”.
Otra gran contribución, a la teoría de errores fué la de Simeon Poisson (1781-1840)
quien planteó la pregunta: ¿es cierto que la media aritmética es siempre mejor que una
única observación?. Altamente conocido por la distribución que lleva su nombre,
comprobado posteriormente por A. Cauchy (1789-1857).
Se suman a estos brillantes científicos, que trabajaron en la teoría de errores P
Chebyshev con su Método de los Momentos (1821-1894) y A. Markov (1856-1922),
conocido por su trabajo denominado: cadenas de Markov; discípulo de Chebyshev
quien mejoró uno de los teoremas de su profesor, que más tarde fuera motivo de
comprobación de A. Liaponuv (1857-1918) y de extensión en su generalización por
Lindeberg (0000 0000), William Feller (0000 0000) y S. Bernshtein (0000 0000)
Por esa misma época A. Khinchine (1894-1959) y Paul Levy (1886-1971) considerando
4
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
la sucesión de variables aleatorias, motivo de interés de estos científicos, encontraron
las condiciones necesarias y suficientes para la convergencia de la distribución ∑ de
variables.
Avanzando en el tiempo de ascenso del hombre, en el siglo pasado se destaca la
presencia de Frank P. Ramsey ( ) con su obra “Los fundamentos de la Matemática”;
publicado en 1931 en el campo de la interpretación subjetiva de la probabilidad,
considerada más amplia que la probabilidad de las frecuencias, conocida como
frecuentista u objetiva. En el siglo pasado no se puede dejar de mencionar los trabajos
de Émile Borel (1871-1956) en torno a la “teoría general de las medidas” para la
sustentación amplia de los fundamentos de la teoría de las probabilidades. Sustento
que N. Kolmogorov (1903-1987) continuó al proponer la axiomatización de la teoría
de las probabilidades.
En el marco de esta breve consideración de evolución de la probabilística y la
estadística se pretende, dentro de las restricciones propias de la formación profesional,
componer el Curso de Estadística y Probabilidades I, para alumnos del IV ciclo de la
Carrera de Ingeniería de Sistemas, que con esfuerzo singular el profesor Mg. Heiner
López, de gran ejecutoria académica-profesional, quien trabajando con denuedo
académico ha logrado elaborar un texto didáctico para el aprendizaje de la teoría de
probabilidades y la estadística.
En este efecto la composición mencionada del presente trabajo se desplaza según la
siguiente secuencia:
Capítulo I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. El aprendizaje se inicia con el cálculo de los
diferentes estadísticos mas usuales; media, mediana, moda, varianza, coeficiente de
variación, etc, determinado sus valores será necesario interpretarlos según sus
propiedades y definiciones. Se presenta también las graficas histogramas, polígonos de
frecuencia, ojivas, diagrama circular, de los diferentes tipos de datos cualitativos o
cuantitativos. Las propiedades de la media y varianza en soluciones de problemas son
usuales. Se termina con el estudio con los percentiles deciles, cuartiles, además
medidas de asimetría y curtosis.
Capítulo II. PROBABILIDAD. Es la base fundamental del curso ya que es el soporte
matemático para la inferencia estadística. Se basa fundamentalmente en experimentos
aleatorios en los cuales se calcula las probabilidades sobre eventos aparecen teoremas
importantes en probabilidad muy usuales en la solución de problemas. Desarrollamos
la probabilidad condicional que tiene trascendencia en los procesos estocásticos, así
mismo tratamos la probabilidad de independencia y dependencia de eventos que
tienen gran aplicabilidad en ingeniería, para terminar con el teorema de la
probabilidad total y teorema de Bayes de gran significación, ya que origina la teoría
Bayesiana.
Capítulo III. VARIABLE ALEATORIA. Es una función especial definida sobre un
espacio muestral el cual puede ser discreto o continuo según sea el experimento
aleatorio a tratar, generando funciones que pueden ser discretas (funciones de
probabilidad) las cuales cumplen con propiedades establecida dentro del modelo
probabilístico. Se le puede calcular su media (μ), Varianza (σ2) y la esperanza
matemática E(X) de la variable aleatoria X, las cuales tienen propiedades que se usan
en la solución de problemas diversos. Seguidamente desarrollamos las funciones de
5
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES II
densidad de probabilidad uniforme y exponencial ambas muy usuales en aplicaciones
teóricas como prácticas.
Capítulo IV. DISTRIBUCIONES DISCRETAS Y CONTINUAS. Las distribuciones
generadas por variables aleatorias, pueden ser discretas como: Bernoulli, Binomial,
Poisson, etc. ó continuas como la Normal, t de Student, etc. cada una de estas
distribuciones tienen su media (μ) y varianza (σ2), las cuales son de utilidad en
inferencia estadística.
Las distribuciones mencionadas son modelos que con frecuencia se presentan en las
diferentes especialidades, teniendo aplicaciones muy diversas. Por ejemplo la
distribución binomial, muy usual en control de calidad, en encuestas de opinión, etc.
la distribución de Poisson, estudia por ejemplo los fenómenos de llegada la teoría de
colas, etc. La distribución normal la mas importante y usual en estadística, por su
simetría en experimentos aun cuando las mediciones sean con errores de
aproximación. Bajo condiciones determinadas podemos aproximar la binomial y
Poisson con la Normal.
Capítulo V. DISTRIBUCIONES MUESTRALES. El capítulo anterior se ocupó de
distribuciones específicas, muy usuales en teoría de confiabilidad control de calidad y
muestreo de aceptación. Nos concentramos en el muestreo de distribuciones o
poblaciones y se estudian los valores de los estadísticos mas importantes como son la
media muestral y varianza muestral que resultan de la extracción de una muestra
aleatoria de una población pueda tener cualquier distribución, pero sin embargo la
distribución de la media muestral puede seguir una normal o aproximadamente una
normal tal afirmación lo sostiene el teorema del Límite Central (TLC) de gran
aplicabilidad en la estadística inferencial.
Capítulo VI. ESTIMACIÓN. Hemos señalado la importancia de las propiedades de la
media y varianza muestral, el propósito de nuestro estudio es crear un fundamento
para sacar conclusiones acerca de los parámetros poblacionales a partir de los datos
experimentales. Por ejemplo, el Teorema Central de Límite (TLC) nos proporciona
información acerca de la distribución de la media muestral X ; la distribución
comprende la media poblacional μ. Entonces cualquier conclusión referente a μ, que
se obtenga de un promedio muestral observado, depende del conocimento de la
distribución muestral. La estimación de los parámetros poblacionales (μ, σ2, p) pueden,
ser puntuales o por intervalos. Los estimadores usuales son la media, varianza y
proporción ( x , S2, p̂ ) muestrales; siendo isesgados eficientes, consistentes y
asintóticos. Nos centramos en la estimación para la media μ mediante intervalos
usando las distribuciones, normal y “t” de Student.
Al cerrar esta presentación debemos reconocer el esfuerzo y trabajo del profesor
Heiner López Príncipe a quien la Institución agradece por su excelente contribución.
Lucio H. Huamán Ureta
Vicerrectorado de Investigación
6
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
“El presente material de lectura contiene una compilación de
artículos, de breves extractos de obras de Estadística y
probabilidades I publicadas lícitamente, acompañadas de
resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un
material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el
desarrollo de las clases en nuestra institución.
Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de
la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines
didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc.
A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor”.
7
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES II
ÍNDICE
CAPÍTULO I. Estadística Descriptiva .................................................
Semana 1
Introducción.......................................................................................
Algunas definiciones y términos importantes en estadística ................
Definición de estadígrafos ..................................................................
Etapas que cubre la estadística............................................................
Semana 2
Calculo de los estadígrafos más importantes.......................................
Ejercicios de aplicación casos I, II y III................................................
Métodos de clasificación de datos por intervalos................................
13
13
14
17
18
21
26
Semana 3
Estadísticos de tendencia central.........................................................
Tipos de gráficas.................................................................................
Propiedades de la media y varianza ...................................................
Propiedades adicionales de la media..................................................
Ejercicios de aplicación ......................................................................
31
32
36
36
38
Semana 4
Percentiles, deciles y cuartiles ............................................................
Medidas de asimetría y curtosis ..........................................................
Ejercicios propuestos de recapitulación (tarea)....................................
44
49
52
CAPÍTULO II. Probabilidades ............................................................
Semana 5
Introducción.......................................................................................
Algunas definiciones importantes en probabilidad .............................
Álgebra de eventos.............................................................................
Ejercicios de aplicación ......................................................................
67
68
69
70
Semana 6
Probabilidad de un evento .................................................................
Algunos teoremas importantes en probabilidad ..................................
Ejercicios de aplicación ......................................................................
77
78
79
8
67
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Semana 7
Probabilidad condicional....................................................................
Ejercicios de aplicación ......................................................................
Probabilidad de la multiplicación de eventos .....................................
Ejercicios de aplicación ......................................................................
89
90
95
96
Semana 8
Probabilidad de independencia de eventos ........................................
Ejercicios de aplicación ......................................................................
Teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes.........................
Ejercicios de aplicación ......................................................................
Ejercicios propuestos de recapitulación (tarea)....................................
101
105
103
105
108
Semana 9
Repaso y solución de los ejercicios propuestos de recapitulación
Semana 10. EXAMEN PARCIAL
CAPÍTULO III. Variable Aleatoria .....................................................
Semana 11
Secuencia natural de problemas en variable aleatoria.........................
Propiedades de la variable aleatoria discreta y continua .....................
Variable aleatoria discreta ..................................................................
Ejercicios de aplicación ......................................................................
Esperanza matemática en variable aleatoria discreta...........................
Ejercicios de aplicación ......................................................................
Semana 12
Variable aleatoria continúa.................................................................
Función de densidad de probabilidad uniforme .................................
Función de densidad de probabilidad exponencial.............................
Ejercicios de aplicación
Ejercicios propuestos de recapitulación (tarea)....................................
CAPÍTULO IV. Distribuciones de probabilidad discreta y continua ..
Semana 13
Distribuciones de probabilidad discreta..............................................
Distribución binomial.........................................................................
Ejercicios de aplicación ......................................................................
Distribución de Poisson......................................................................
Ejercicios de aplicación ......................................................................
9
125
125
127
128
128
128
138
141
144
146
149
167
167
167
169
174
175
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES II
Teorema de aproximación de las distribuciones binomial y Poisson...
180
Semana 14
Distribución Normal...........................................................................
Lectura de tabla ..................................................................................
Ejercicios de aplicación ......................................................................
183
186
186
Semana 15
Errores de aproximación en mediciones usando distribución normal .
Ejercicios de aplicaciones...................................................................
Aproximación de la distribución Normal a la binomial ......................
Ejercicios de aplicación ......................................................................
Distribución de Weibull .....................................................................
Ejercicios de aplicación ......................................................................
Ejercicios propuestos de recapitulación (tarea)....................................
193
193
197
198
202
204
205
CAPÍTULO V. Distribuciones muéstrales...........................................
Semana 16
Distribuciones muéstrales...................................................................
Teorema del límite central (TLC).........................................................
Ejercicios de aplicación ......................................................................
Estimación..........................................................................................
223
223
225
226
229
CAPÍTULO VI. Estimación .................................................................
Semana 17
Métodos clásicos de estimación .........................................................
Estimación puntual .............................................................................
Cualidades de un buen estimador ......................................................
Estimación por Intervalo .....................................................................
Intervalo de confianza para la media con varianza conocida..............
231
231
232
234
236
Semana 18
Intervalo de confianza para la media con varianza no conocida.........
Ejercicios de aplicación ......................................................................
Ejercicios propuestos de recapitulación (tarea)....................................
243
245
249
Semana 19. EXAMEN FINAL
TABLAS ESTADÍSTICAS
TABLA 1.- Distribución Normal Estándar...........................................
TABLA 2.- Distribución t de Student ...................................................
Bibliografía ........................................................................................
257
259
261
10
231
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
DISTRIBUCIÓN TEMÁTICA
Clase
N°
Tema
Horas
1
Conceptos y definiciones fundamentales de la
estadística. Población, muestra, variable, etc. Tipos de
muestra, (no probabilística y probabilística, extracción
de una muestra aleatoria)
03
2
Estadísticos de posición y dispersión para datos
clasificar. Cálculo y propiedades.
03
3
4
sin
Estadísticos de posición y dispersión para datos
clasificados por intervalos de clase. Método de
clasificación tablas de distribución, sus elementos.
Cálculo de los estadísticos de posición y dispersión.
Propiedades de los estadísticos de posición y dispersión
media y varianza. Gráficas: Histograma, Polígono de
frecuencia, Ojivas, etc. Diagrama circular.
03
03
5
Percentiles para datos clasificados y sin clasificar.
Asimetría y Curtosis.
03
6
Probabilidad: Álgebra de eventos, axiomas y teoremas
importantes
sobre
probabilidades.
Probabilidad
condicional. Aplicación.
03
7
Probabilidad de un producto de evento y probabilidad
de independencia de eventos.
03
8
Probabilidad total y teorema de Bayes. Aplicaciones.
03
9
Revisión y nivelación
03
10
11
EXAMEN
PARCIAL
Variable aleatoria continua y discreta. Variable aleatoria
discreta. Función de cuantía. Propiedades, media
varianza. Aplicaciones.
11
02
03
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES II
Clase
N°
Tema
Horas
12
Variable aleatoria continúa. Función de densidad,
propiedades, media y varianza. Aplicaciones.
03
13
Distribuciones
discretas
binomial y Poisson.
03
14
Distribuciones continuas importantes: Uniforme y
exponencial. Normal propiedades, uso de tablas.
Aplicaciones.
03
15
Distribución Normal aproximación a la binomial.
Distribución de Weibull. Aplicaciones.
03
16
17
18
importantes:
Bernoulli,
Distribuciones muestrales: distribución muestral de
medias. Muestreo aleatorio: Muestreo aleatorio simple.
Teorema del Límite central. Palicaciones.
Estimación. Estimador insesgado y de mínima varianza.
Estimación por intervalos para la media poblacional con
varianza conocida.
Intervalo de confianza para la media con varianza no
conocida.
Repaso - Revisión
03
03
03
19
EXAMEN FINAL
02
20
EXAMEN SUSTITUTORIO
02
12
ESTADÍSTICA Y PRO BABILIDADES I
Semana 1
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
RESEÑA HISTÓRICA: La estadística tiene etapas de desarrollo que podemos
clasificar en tres:
•
ETAPA INICIAL: Podemos considerar desde la antigüedad hasta el
siglo XVII. Se caracteriza por que la estadística esta asociada por
causas poblacionales y a los registros del estado como muerte,
nacimientos, impuestos, etc.
Las grandes civilizaciones la utilizaron como las egipcias, romanas,
aztecas y el imperio incaico.
•
ETAPA DE SISTEMATIZACIÓN: Aparecen tres escuelas:
o Escuela Alemana: Crea la primera cátedra estadística y la asocia
con la administración.
o Escuela Inglesa: Utiliza la estadística para el estudio de fenómenos
sociales y política, es decir, la aritmatizan.
o Escuela Francesa: Introduce la teoría de la probabilidad como
fundamento matemático de la estadística.
•
ETAPA ACTUAL: Se considera a partir del siglo XIX hasta nuestros días
caracterizándose la estadística como ciencia y metodología de la
investigación científica que se aplica en todas las ramas del saber
humano.
DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA: es una disciplina que nos proporciona un
conjunto de métodos y procedimientos que permiten recolectar, clasificar,
presentar y describir datos en forma adecuada para tomar decisiones
cuando prevalecen condiciones de incertidumbre o predecir o afirmar algo
acerca de la población y sus parámetros a partir de los datos extraídos de la
misma.
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: Es la que nos proporciona la metodología
para la recolección, clasificación, presentación y simplificación de los datos.
13
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
ESTADÍSTICA INFERENCIAL: Es la que nos proporciona la teoría necesaria
para inferir o estimar las leyes de una población, partiendo de los resultados
o conclusiones del análisis de una muestra.
ALGUNAS
DEFINICIONES
ESTADÍSTICA
Y
TÉRMINOS
IMPORTANTES
EN
1.
POBLACIÓN (N): Totalidad de individuos o elementos en los cuales
puede presentarse una característica susceptible de ser estudiada. La
población esta constituida por unidades elementales a las cuales se les
llama unidad estadística, unidad experimental u observación.
Una población puede ser:
• Finita pequeña o grande
• Infinita (se puede considerar una población finita muy grande)
2.
MUESTRA (n): Conjunto de medidas o conteos que se obtiene de una
población con propósito de obtener información acerca de ella
3.
VARIABLE ESTADÍSTICA (x, y, z,……): Característica de la población
que interesa al investigador y que puede tomar diferentes valores
14
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
™ VARIABLE CUALITATIVA: Son variables cuyos valores consisten
en categorías de clasificación ósea se refieren a la cualidad que
presenta la población no lleva clasificación numérica.
EJEMPLO:
Soltero (a)
Casado (a)
Estado civil
Viudo (a)
Divorciado (a)
ƒ
VARIABLE CUALITATIVA NOMINAL: Son aquellos que
surgen cuando se definen categorías y se cuenta el numero de
observaciones pertenecientes a cada categoría.
EJEMPLO:
APRA
PARIDOS POLÍTICOS
UPP
UNIDAD NACIONAL
15
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
ƒ
VARIABLE CUALITATIVA ORDINAL: Cuando en la
clasificación se busca ordenar los casos en términos del grado
que posee en una característica determinada.
EJEMPLO:
PRIMARIA
ESTUDIO
SECUNDARIA
SUPERIOR
BACHILLER
GRADO
MAGISTER
DOCTORADO
™ VARIABLE CUANTITATIVA: Son aquellas que se obtienen como
resultado de mediciones o conteo.
ƒ
VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA: Es aquella que toma
valores enteros. Ejemplos, número de hijos en una familia,
número de estudiantes, número de accidentes, etc.
ƒ
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA: Variables que toman
valores infinitos entre dos números. Ejemplos, peso, talla,
unidades monetarias, tiempo, etc
Existen otros tipos de variables:
- variable independiente
- variable dependiente
- variable aleatoria
- variable control
4.
DATO ESTADÍSTICO: Son números o medidas que han sido
recopiladas como resultado de observaciones que pueden ser
comparados, analizados e interpretados. Entendemos también que es
la valorización de una variable x por ejemplo si tenemos la variable
peso de n estudiantes, sus valores serian x1 , x2,…, xn que vendrían a
ser los datos a ser tratados.
16
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
5.
PARÁMETRO: Medida que describe alguna característica de la
población cuyo valor es determinado utilizando todos los valores de
las variables estadística u observaciones que la constituyen, por lo
tanto las decisiones no tendrán error y serán de certidumbre total. Por
ejemplo los parámetros poblacionales:
-
6.
μ : media población
σ 2 variable poblacional
p: proporción poblacional
(
0 ≤ p ≤1 )
ESTADÍSTICO O ESTADÍGRAFOS: Es una medida usada para
describir alguna característica de la muestra y la toma de decisiones
contiene un grado de incertidumbre o error. Por ejemplo
-
x : media muestral
Me: mediana muestral
Mo: moda muestral
S2: varianza muestral
S = s 2 desviación estándar o típica muestral
Cv = s coeficiente de variación
x
DEFINICIONES DE ESTADÍGRAFOS
1.
MEDIA: ( x ) Suma de todos los datos divididos entre el total de datos
(n).
2.
MEDIANA: (Me) Se encuentra justo al centro del conjunto de datos
ordenados previamente de menor a mayor (o de mayor a menor).
Divide al conjunto de datos 50% a un lado (izquierdo)y 50’% al otro
lado (derecho)
3.
MODA (Mo) Se determina considerando la mayor frecuencia con que
se repiten los datos. En un conjunto de datos pueden haber varias
modas por ejemplo la uní modal (una), bimodal (dos) trimodal (tres),
etc.
4.
VARIANZA (S2).- Es la suma de las desviaciones ( di = xi - x ) de los
datos (xi) respecto de su media x elevadas al cuadrado y divididas
entre (n – 1). Indica como los datos están dispersos al rededor de la
17
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
media. Una varianza grande indica una alta dispersión o variabilidad
de los datos.
El divisor entre (n – 1) lo utilizamos en vez de n porque produce una
estimación mas precisa de la correspondiente varianza poblacional
σ 2 . Entendemos por estimación al instrumento estadístico que intenta
asignar un solo valor lo mas cercano posible al valor verdadero del
parámetro poblacional. La varianza definida así, dividida entre (n – 1)
es por que tiene propiedades matemáticas deseables, para la inferencia
estadística.
5.
DESVIACIÓN ESTÁNDAR: ( S = S 2 )
Representa el grado de
dispersión de lo valores de una variable, con respecto a su media.
Cuando mayor sea la dispersión de los valores de la variable mayor
será la magnitud de las desviaciones respecto a la media por lo tanto la
desviaciones estándar crecerá en magnitud. En un experimento,
normalmente la mayor parte de los datos estará a una distancia de una
desviación estándar de la media. Muy pocos estarán más allá de dos o
tres veces la desviación estándar.
6.
COEFICIENTE DE VARIACIÓN: (CV = S/ x ) Indica en porcentaje de
la variabilidad de los datos respecto a la medida es decir;
Baja si → 0 ≤ CV < 20%
Media si → 20% ≤ CV < 50%
Alta si → 50% ≤ CV < 100%
Como es una medición relativa, el coeficiente de variación es
particularmente útil para comparar la variabilidad dos o mas series de
datos, que se expresan en distintas unidades de medición.
ETAPAS QUE CUBRE LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
RECOLECCIÓN: Si la información es recolectada cuidadosamente las
conclusiones que de ella se derive podrán tener validez. Para recolectar una
buena información es necesario no cometer errores y saber como
controlarlo. Los métodos de recolección de datos se realizan mediante
diseños y la elaboración de los formularios, cuestionarios, encuestas de
opinión; se dirigirán obviamente a los individuos en estudio.
18
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
CRITICA DE LOS DATOS: Recolectada la información es necesaria
resolverla cuidadosamente, resumirla y presentarla convenientemente. Los
datos deberán ser clasificados, esto equivale decir que aquellos datos serán
organizados en clases y/o categorías.
PRESENTACIÓN: Una vez organizados los datos de acuerdo a algunos
métodos de clasificación estos son descritos y analizados al fin de facilitar
su entendimiento y comprensión de los resultados para ello usamos tablas
de frecuencias y graficas.
DESCRIPCIÓN: Estudiados cuidadosamente los datos en la muestra nos
ocupamos de su descripción mediante el calculo y estudio de los
estadígrafos. Estas medidas descriptivas fundamentalmente estudian las
medidas de:
• Posición de tendencia central: x , Me, Mo
• Variabilidad o de dispersión: S2, S, CV
• Asimetría y kurtosis
En el presente cuadro se muestran las estadísticas de tendencia central, las
cuales por comparación definen tipos de curva
x < Me < Mo
x = Me = Mo
x > Me > Mo
Los siguientes cuadros presentan los grados de deformación vertical, que
tienen las curvas generadas por los datos, estudiada por la Kurtosis. Que
hace uso de los percentil es.
19
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
La deformación horizontal estudia la asimetría mediante los sesgos de
Pearson que serán estudiados mas adelante.
20
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Semana 2
CÁLCULOS DE LOS ESTADÍGRAFOS MÁS
IMPORTANTES
Supongamos que obtenemos datos mediante experimentación u otros
métodos de técnicas estadísticas siendo estas:
x1, x2,…………………………., xn
Para el cálculo de las estadísticas consideraremos tres casos:
CASO I: Datos originales, es decir; sin agruparlos xi. i = 1, 2, .., n
CASO II: Datos agrupados por sus frecuencias ni. i = 1, 2,..,k
CASO III: Datos agrupados por intervalos de clase Ii. i = 1, 2,.., k
21
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
CASO I
CASO II
Datos Originales Xi
Datos Agrupados según
sus Frecuencias ni;
i=1,2,…,k
Datos agrupados por
intervalos de clase Ii, Xi
(Marcas de Clase)
k
∑ ni xi
k
i =1
x=
; n = ∑ ni
i =1
n
k
∑ ni xi
i =1
x=
n
Media:
n
∑ xi
x = i =1
n
CASO III
Mediana:
Ordenar los datos Xi de mayor
a menor o viceversa.
⎧ X n+1 ; n impar
⎫
⎪ 2
⎪
⎪
⎪
Me = ⎨
⎬
⎡
⎤
⎪ 1 ⎢ X n + X n ⎥ ; n par⎪
+1
⎪⎩ 2 ⎣⎢ 2
⎪⎭
2 ⎥⎦
Me
⎧X n+1 ; n impar
⎫
⎪ 2
⎪
⎪
⎪
Me = ⎨
⎬
⎡
⎤
⎪1 ⎢ X n + X n ⎥ ; n par⎪
+1
⎪⎩2 ⎣⎢ 2
⎪⎭
2 ⎦⎥
∈
n
[Li ; Li+1 [ ←
⎯⎯ Ni ≤
2
⎛n
⎞
⎜ − Ni−1 ⎟
⎟
Me = Li + Ci ⎜ 2
⎜ ni ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
N1− i Frecuencia
acumulada
Mo
Moda:
∈
Mo =
Frecuencia más
Alta ni
Mo =
Frecuencia
más Alta ni
[ Lio ; Lio+1 [
←⎯
ni
o
mayor
⎛ Δ1
Mo = Lio + C io ⎜
⎜Δ +Δ
⎝ 1
2
Δ 1 = n io − n io −1
Δ 2 = n io − n io +1
2
k
∑ ni xi − x
k
2
S = i =1
; n = ∑ ni
i=1
n −1
Varianza:
2
n
∑ xi − x
2
S = i =1
n −1
(
)
ó
S
2
=
(
2
2
∑ xi −( ∑ xi ) / n
n−1
Desviación estándar:
2
S = S
;
S>0
Coeficiente de Variación:
S
CV = ; 0 < CV < 1
x
)
ò
(
∑ ni xi
2
∑ ni xi −
2
n
S =
n −1
S =
S
CV =
2
S
x
22
;
)2
S>0
; 0 < CV < 1
2
k
∑ ni xi − x
2
S = i =1
n −1
ò
(
)
(
∑ ni xi
2
∑ ni xi −
2
n
S =
n −1
S =
S
CV =
2
S
x
;
)2
S>0
; 0 < CV < 1
⎞
⎟
⎟
⎠
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
EJEMPLO: Supongamos una escala de calificación de 0 a 5 la cual es
utilizada en una evaluación de un concurso de proyectos presentados por
estudiantes de ultimo ciclo de ingeniería. Supongamos que son 10 los
estudiantes obteniéndose los siguientes resultados 0, 1, 5, 4, 3, 3, 2, 1, 3, 3.
Calcular los estadígrafos media ( X ), mediana (Me), moda (Mo), varianza
(S2), desviación típica o estándar (S), coeficiente de variación (CV).
Solución:
CASO I:
∑ xi = 0 + 1 + 5 + 4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 3 + 3 = 2.5
x=
n
10
⎛
⎞
⎜ xn + xn ⎟
⎜
+1 ⎟
(x + x )
2 ⎠
Me = ⎝ 2
= 5 6 =3
2
2
Mo = 3
; (mayor frecuencia n=4)
(∑ x )
−
2
2
S =
S=
∑x
2
i
i
n −1
n
= 2.2778
S 2 = 1.51
C. V. =
1.51
S
=
= 0.6040 = 60.40% Î Variación alta
x
2.5
CASO II:
Datos agrupados en una tabla según sus frecuencias n:
xi
0
1
2
3
4
5
n
i
n x
i i
n x2
i i
N
i
1
2
1
4
1
1
∑ ni =10
0
2
2
12
4
5
∑ ni xi =25
0
2
4
36
16
25
∑ ni xi2 = 83
1
3
4
8
9
10
23
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
∑n x
25
= 2.5
n
10
⎛
⎞
⎜ xn + xn ⎟
⎜
+1 ⎟
(x + x )
2
2 ⎠
⎝
Me =
= 5 6 =3
2
2
Mo = 3
;
(mayor frecuencia n=4)
x =
S2 =
S=
i
∑ ni x
S2
C. V =
•
i
=
(∑ n x )
−
2
2
i
i
i
n
(25) 2
10 = 2.2778
10 − 1
83 −
=
n −1
= 2.2778 = 1.51
1.51
S
=
= 0.604 = 60.4% Î Variación alta
x
2.5
En ambos casos se obtienen los mismos resultados.
CASO III:
Datos agrupados en una tabla por intervalos de clase Ii:
TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Supongamos n datos: x1, x2,…………………………., xn, extraídos de una
población o resultados por observación o experimentación.
Los clasificamos en k intervalos: Ii = [Li + L i +1 ; una vez clasificados los
datos xi son representados por las marcas de clase, Xi como se observa en
la tabla siguiente;
Ni
Xi
n
i
n1
[L2, L3>
Xi
n2
N2
M
[Li , Li+1>
M
Xi
M
M
Ni
f
i
F
i
M
M
M
M
M
M
Nk = n
f
k
F
k
Ii
Xi
[L1, L2>
[Lk ,Lk+1>
Xk
n
i
nk
∑n
i
N1
f
i
f
1
f
2
F
i
F
1
F
2
M
M
∑f
=n
24
i
=1
%fi
%Fi
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
[
•
Ii = Li + L i +1 Intervalos de clase i=1, 2, 3, …, k
•
Ci = Li +1 − Li Amplitud o ancho de clase
•
X i : marca de clase representa a los datos que caen en el mismo
intervalo
•
•
Xi =
Li + Li +1
2
n : frecuencias con que se repiten los datos: 0 ≤ n ≤ n,
i
i
Ni: Frecuencia acumulada: N1 = n1 ; Ni =
k
∑n
=n
i
i =1
i
∑ nj
j =1
•
•
n
fi = i frecuencias relativas: 0 ≤ fi ≤ 1,
n
k
∑f
i =1
i
Fi; frecuencia relativa acumulada: F1 = f1 ; Fi =
=1
i
∑f
j =1
j
EJEMPLO: Completar los datos que faltan en la siguiente tabla donde X i es
una marca de clase. Los valores numéricos en negrita son los datos
[0.5;1.5
[1.5; 2.5
[2.5; 3.5
[3.5; 4.5
[4.5; 5.5
[5.5; 6.5
[6.5; 7.5
[7.5; 8.5
Xi
n
i
Ni
f
i
1
4
4
0.08
2
4
8
0.08
3
8
16
0.16
4
7
23
0.14
5
5
28
0.1
6
10
38
0.2
7
7
45
0.14
8
5
n = 50
0.1
∑n
i
= 50
25
∑f
i
=1
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
n
fi = i
n
n
4
⇒n = i ⇔ n =
= 50
f
0.08
i
4
5
10
5
f =
= 0.08 ; f =
= 0 .1 ; f =
= 0 .2 ; f =
= 0.1
2 50
5 50
7 50
8 50
n1 = N1 ; n1 = N1 = 4 ; N1 + n2 = 4 + 4 = 8 ; N 3 + n4 = 16 + 7 = 23 ;
N 7 + n8 = 45 + n 8 = 50 ⇒ n 8 = 50 - 45 = 5
CASO III:
MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN DE DATOS POR INTERVALOS
o
o
o
Regla de Sturges
La regla de la raíz cuadrada
Método libre (el investigador elige el número de intervalos)
MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN
1.
2.
3.
R = [ menor dato, mayor dato]
l( R ) = | mayor dato - menor dato |
Numero aproximado de intervalos
o Regla de Sturges: k = 1 + 3.33 Log n
o Regla de la raíz cuadrada: si n ≤ 25, k =5
si n > 25, k = n
4.
Amplitud del intervalo: c =
5.
l ( R)
k
Determinación de los intervalos:
1 I2
I
= [L1, L2>
= [L2, L3>
IK
.
.
.
.
= [LK, LK+1>
26
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
EJEMPLO: Los siguientes datos proporcionan cobro en dólares por hora de
técnicos calificados en una compañía.
73
65
69
76
73
47
70
58
79
64
67
57
76
77
70
82
85
67
88
46
67
59
52
94
68
70
70
68
67
63
60
57
69
77
72
67
73
66
54
84
61
77
72
93
63
80
58
86
56
74
Clasificar los datos en una tabla de distribución de frecuencia y calcular los
estadígrafos: media ( X ), mediana (Me), moda (Mo), varianza (S2),
desviación típica o estándar (S), coeficiente de variación (CV).
Solución:
o
Usando método de Sturges:
1.
R = [ 46, 94 ]
2.
l ( R ) = | 94 – 46 | = 48
3.
k = 1 + 3.33 Log 50 = 6.657 ≈ 6, 7, 8, se considera una terna
4.
c=
l ( R) 48
=
= 8 , pocos intervalos para el número de datos
6
k
5.
l ( R) 48
=
= 6.857 (no se considera por que no es exacta la
k
7
división)
c=
c=
= 88, 94
27
[
= 64, 70 ;
5
I
[
4
I
= 82, 88 ;
[
= 58, 64 ;
I8
[
I3
I6
[
= 76, 82 ;
[
= 52, 58 ;
7
I
[
= 46, 52 ;
I2
1
I
5.
l ( R) 48
=
= 6 (v)
k
8
[
= 70, 76 ;
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Ii
[46,52
[52 , 58
[58 , 64
[64 , 70
[70 , 76
[76 , 82
[82, 88
[88 , 94
Xi
n
i
Ni
n x
i i
n x2
i i
49
2
2
98
4802
55
5
7
275
15125
61
7
14
427
26047
67
12
26
804
53868
73
10
36
730
53290
79
7
43
553
43687
85
4
47
340
28900
91
3
n = 50
273
24843
∑n
x =
∑n x
i
n
i
=
Si Ni es mayor a
i
∑n x
= 50
i
i
=3500
∑n x
i
2
i
= 250562
3500
= 70
50
n
n
⇒ Me ∈ [Li, Li+1⟩ ; N4 = 26 > = 25 ⇒ Me ∈ [64,70⟩
2
2
⎛n
⎞
⎜ − N i −1 ⎟
25 − 14 ⎞
11
⎟ = 64 + 6⎛⎜
Me = Li + Ci ⎜ 2
⎟ = 64 + 6 * = 69.5
12
⎝ 12 ⎠
⎜⎜ ni ⎟⎟
⎝
⎠
26 = Mayor frecuencia, nio = 12 ⇒ Mo ∈ [64,70⟩
⎛ Δ1 ⎞
5
⎛ 5 ⎞
⎟⎟ = 64 + 6⎜
Mo = Li + Ci ⎜⎜
⎟ = 64 + 6 * = 68.285 ≅ 68.29 ; nio =12
7
⎝5+ 2⎠
⎝ Δ1 − Δ 2 ⎠
Δ1 = ni 0 − ni 0−1 = 12 − 7 = 5
Δ 2 = ni 0 − ni 0+1 = 12 − 10 = 2
28
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
S2 =
∑n x
i i
∑ (n x )
−
2
2
i i
n −1
n
=
2
(
3500)
250562−
50 −1
50
=
250562− 245000 5562
=
= 113.5102
49
49
S = S 2 = 113.51 = 10.65
CV =
S 10.65
=
= 0.1521
70
X
CV = 0.1521*100 = 15.21 ٪
Coeficiente de variación bajo (0%<CV < 20%)
29
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
30
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Semana 3
ESTADÍSTICOS DE TENDENCIA CENTRALES ( X , Me, Mo)
Son aquellos que como su nombre lo indica tienden a ubicarse al centro del
conjunto de datos, podemos observar y comparar el resultado; logrado del
ejemplo anterior
Las graficas a escala nos dan una idea mucho más precisa del
comportamiento que los cuadros estadísticos.
Los cuadros estadísticos guardan correspondencia con las graficas.
1.
2.
Las tablas estadísticas tienen 3 partes: el titulo (muy claro y preciso), el
cuerpo de la tabla (presenta los elementos que se usa para el calculo
de los estadísticos) y la fuente de información (indica de donde o
como se obtuvieron los datos).
Las graficas consideran: el titulo, la grafica propiamente dicha y las
notas explicativas.
ESCALAS MAS USADAS EN LA ESTADÍSTICA
a.- Escala 1:1 (esta es la mejor para representar)
b.- Escala 1:3/4
31
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
TIPOS DE GRAFICAS
Las más usuales son:
1.
2.
3.
4.
5.
Diagrama de Barras
Para datos Cualitativos
Diagrama Circular
Histograma
Para datos cuantitativos
Polígono de Frecuencias
Polígono de Frecuencias Acumuladas
1.
DIAGRAMA DE BARRAS: Es un conjunto de rectángulos de igual base
sobre el eje horizontal separados y proporcionales a fi ò ni sobre el eje
vertical. Por ejemplo consideremos exportación de harina de pescado:
I años, T toneladas
T
toneladas
fi ò ni
o
I
1.
años
Para construir un diagrama de barras se elige la escala por ejemplo 1 :
1 se toma una longitud l, cada rectángulo tiene una misma base l i y un
pequeño espaciamiento ei todo esto sobre el eje horizontal y sobre el
eje vertical ni ò fi, siendo las alturas hi proporcionales a las
frecuencias ni ò frecuencias relativas fi. Calculo de las hi
l - n
⎛n ⎞
⇒ hi = ⎜ i ⎟ l ; n =
hi - ni
⎝n⎠
∑ ni , l =
k
∑( l
i = 1
i
+ ei ) ; k : nùmero de barras
Los diagramas de barras pueden presentar datos cualitativos o
cuantitativos
32
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
2.
DIAGRAMA CIRCULAR: Dado un conjunto de datos, pueden ser ellos
presentados proporcionalmente en una grafica. Por ejemplo
consideremos la siguiente grafica supuesta, en donde los sectores
circulares son A, B, C y D expresados mediante frecuencias relativas
expresadas porcentualmente
Para su construcción tomamos una circunferencia y lo repartimos
proporcionalmente a ni ò fi
n - 360º
⎛n ⎞
⇒ θ i = ⎜ i ⎟ 360º , i = 1, 2, ., k
ni - θ i
⎝n⎠
Donde cada ángulo θ i define un sector circular, como en el ejemplo
define cuatro sectores que sumados da el 100%
3.
HISTOGRAMA: Es un conjunto de rectángulos unidos por sus lados.
Utilizamos las siguientes coordenadas
Ii vs ni ò Ii vs fi
0
33
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Para su construcción se toma una longitud l sobre el eje horizontal sus
alturas hi se reparte porcentualmente a ni ò fi
l -n
hi - ni
4.
⎛n ⎞
⇒ h i = ⎜ i ⎟ l , i = 1, 2, ..., k
⎝n⎠
POLÍGONO DE FRECUENCIAS: Es un conjunto de segmentos de
rectas que se obtiene utilizando los puntos medios de la parte superior
de los rectángulos del histograma. Los polígonos de frecuencia pueden
ser:
•
•
Abiertos
Cerrados
El área que encierra tanto el polígono de frecuencias como el
histograma es igual a 1. La construcción será realizada a escala. Para
que el área bajo el histograma o polígono cerrado sea 1, es necesario
considerar la densidad de clase es decir:
hi = fi
, donde fi es la frecuencia relativa y ci es la amplitud del
ci
intervalo.
Luego el área = ∑ ci hi = ∑ ci (fi/ci ) = ∑ fi = 1 .
34
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
5.
POLÍGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS: Es un conjunto de
rectángulos unidos por sus lados cuya grafica se obtiene utilizando los
intervalos
Ιi las acumuladas Ni
ò las frecuencias relativas
acumuladas Fi
Ii vs Ni; Ii vs Fi
Fk = 1
1
OJIVA
Ii
0
La ojiva se obtiene uniendo los puntos medios de la parte superior de
los rectángulos de frecuencias relativas acumuladas. (Fi).
Cuando n tiende al infinito se obtiene una línea continua en el límite
como se presenta en la siguiente grafica que corresponde a una
función de distribución simétrica
1
0.5
0
Me
Ii
Similarmente ocurre con el histograma y polígono de frecuencias que
coinciden en una curva continua que tiende a ser casi siempre
simétrica.
35
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
PROPIEDADES DE LA MEDIA Y LA VARIANZA
Estos dos estadísticos son de los más importantes por que a partir de ellos se
puede realizar inferencias sobre la población.
Sean X 1 , X 2; ,......, X n ; una muestra extraída de una población; se desea
estudiar las características de dicha población, utilizando la media y la
varianza para lo cual es necesario utilizar las propiedades de los respectivos
estadígrafos.
Media
Varianza
x = M ( x) = ∑
i
1.2.3.4.-
Xi
n
( xi − x) 2
s x = V ( x) = ∑i n − 1
2
s
s
s
s
si : X = Ci → X = C
si : Yi = X i + b → Y = X + b
si : Yi = aX i → Y = a X
si : Yi = aX i + b → Y = a X + b
2
x
2
y
2
y
2
y
= V (c ) = 0
2
= V(y) = sx
= V ( y ) = a 2 s x2
2
= V ( y) = a 2 s x
PROPIEDADES ADICIONALES DE LA MEDIA
5.
MEDIA PONDERADA:- Es aquella en donde los Xi son afectados por
coeficiente Pi:, “pesos” o coeficientes de cada xi ; se define como la
suma de los Pi xi divididos por ∑ pi
k
Xp =
∑PX
i =1
K
i
i
∑P
(i =1)
i
Por ejemplo los Xi pueden ser cursos y los Pi créditos en la inscripción
que un estudiante realiza al momento de matricularse.
36
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
6.
MEDIA GLOBAL:- Es aquella en donde las medias xi y sus frecuencias
respectivos, se definen como la suma de los productos n i x i , divididos
por ∑ ni :
X 1 ; X 2 ;...............; X K
↓
↓
↓
n1
nz
nk
k
X =
∑n X
i
i =1
K
∑n
i =1
i
k
; ∑ ni = n
(2)
i
Por ejemplo, la media global de los gastos mensuales de n familias de
un determinado estrato social.
7.
La suma de las desviaciones
madia es cero.
(d
∑ (X
n
i
i
)
= x i - x de los datos respecto de la
)
- X = 0
i
8.
La media X de un conjunto de datos es el centro de gravedad (C.
G:)de dicho conjunto, y es por ello que la suma es igual a cero.
∑(X
i
n1 n2 ;
; nK
X1
Xk
− X )ni = 0
X2
XC.G
9.
∑(X
i
− X ) 2 ⟨∑ ( X i − C ) 2
C ≠ Xi
Esta desigualdad nos indica que
∑ (xi - x )
2
es mínima respecto a
cualquier número C ≠ X i y si dividimos entre (n – 1) la desigualdad
obtenemos la varianza
s
2
x
la cual tiene un mínimo valor.
37
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
1.
Una distribución de frecuencias de sueldos en cientos de nuevos soles
consta de cinco intervalos de clase de igual amplitud y de ellas se
n = 110
n 4 − n 3 − n1 = 0
conocen los siguientes datos:
n 4 − n 5 = 10 n1 = n 5
n2 = n4
El limite inferior de la primera clase es 12.5; y5n4 = 975 ; donde y5 es el
limite superior de la cuarta clase.
a) Completar la tabla
b) Calcular los estadígrafos.
c) Calcular la varianza …..
d) Determine el porcentaje de datos….
Solución:
Sea C el ancho de las intervalos: [ 12, 5, 12.5 + c
[12.5 +
2c , 12.5 + 3c , [12.5 + 3c
, [12.5 + 4c
, 12.5 + c, 12.5 + 2c ,
, [ 12.5 + 4c , 12.5 + 5c
a)
Ii
[12,5;17,5>
[17,5;22,5>
[22,5;27,5>
[27,5;32,5>
[32,5;37,5>
Xi
15
20
25
30
35
ni
20
30
10
30
20
110
Ni
20
50
70
80
110
fi
0.18
0.27
0.09
0.27
0.18
0.99
nixi
300
600
250
900
700
2750
nixi2
4500
12000
6250
27000
24500
74250
n1 + n 2 + n3 + n 4 + n 5 = 10 , n 2 = n 4 = 10 + n1 = n1 + n3 ⇒ n3 = 10
2 n5 + 2(10 + n5 ) + 10 = 110
4 n5 = 80
n5 = 20
n4 − n5 = 10
Y5n4 = 975
Y5 =
975
30
Limite superior de la cuarta clase 12.5 + 4c
Y5 = 32.5 = 12.5 + 4c ⇒ c = 5
Calculado C = 5 podemos definir los intervalos
n4 = 30
38
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
b) MEDIA
X =
∑n X
i
n
i
=
2750
= 25
110
MEDIANA
Me :
n 110
=
= 55 ≤ N 3
2
2
ni
Ni
50
Me ∈ [22,5; 27,5> 10 …. 55 ;
⎛ 55 − 50 ⎞
Me = 22.5 + 5⎜
⎟ = 25
⎝ 10 ⎠
MODA
nio
⎞
⎛
30 − 2
Mo [17,5;22,5> ..30 ; Mo = 17.5 + 5⎜⎜
⎟⎟ = 19.17
⎝ (30 − 20 ) + (30 − 10 ) ⎠
VARIANZA
2
⎛ 2750 ⎞
74250 − ⎜
⎟
74250 − 68750
110 ⎠
2
⎝
S =
=
= 50.4587
109
109
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
S = 50.4587 = 7,1034
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
CV =
7,1034
= 0,2841 → 28,41%, la dispersiòn de los datos es media
25
20% ≤ C V < 50%
39
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
c) Calcular la varianza y la media de los últimos sueldos si la
desviación estándar de los sueldos originales xi es igual a 50,
según el reajuste lineal, y = x + 0.2x
Yi = Xi + 0,2 Xi
Yi = 1,2 Xi ⇒ y = 1.2 x = 1.2 (25) = 30
V (Y ) = V (1,2 X ) = (1,2) 2V ( X ) = (1,2) 2 (10) 2 = 144; (V ( X ) = S x2 )
Sy =
v (y) =
s
2
= 12
y
d) Determine el porcentaje de datos que caen en el intervalo [18,30]
(del ejercicio anterior)
Solución:
Usemos interpolación lineal para determinar las frecuencias x, y
sea la frecuencia total nt = x + 10 + y
18
.
17.5
x
.
30
30
y
22.5
.
10
27.5
32.5
30
n t = X + 10 + Y
X
22 ,5 − 18
X
4 ,5
=
→
=
⇒ X = 27
30
22 ,5 − 17 ,5
30
5
Y
30 − 27 ,5
Y
2 ,5
=
→
=
⇒ y = 15
30
32 ,5 − 27 ,5
30
5
f t = frecuencia relativa
ft =
nt
52
=
= 0.4727
ni 110
n t = 27 + 10 + 15 = 52
Respuesta: El porcentaje de datos que caen en [18,30] es 47,27%
2.
En una empresa pùblica el promedio de los sueldos de los obreros es
40 unidades monetarias (u. m.) y el de los empleados 50 u.m. Si la
empresa decide aumentar 20 u.m. a cada empleados y obrero; hallar
40
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
el promedio general de los sueldos actuales (considerando el aumento)
si el número de obreros es el 10% del numero de empleados.
Solución
Sea n1 número de obreros y su media: x1 = 40
Sea n2 número de empleados y su media: x 2 = 50
El aumento para ambos: y = x + 20 ⇒ y = x + 20
Propiedad:
n x1 + n 2 x 2
x = 1
n1 + n2
Numero de obreros n1 = 0.10 n2
( 0.10 n 2 ) x 1 + n 2 x 2 = 54
x =
0.10n 2 + n 2
1.1
54
Sueldos actuales: y = x + 20 =
+ 20 = 69.09
1.1
Respuesta: sueldos actuales y = 69.09 u.m.
3.
En una empresa en donde los sueldos tienen una media de $ 500 y
una desviación estándar $50, en una reunión de directorio se decide
hacer un aumento mediante la relación lineal y i = 1.5x i ; + 20
El gerente general acoge parcialmente la solución disminuyendo en un
10% los sueldos así propuestos. Calcular la nueva media y desviación
típica
Solución:
Sean los sueldos: x1, x2, …. xn
La media de los sueldos
x = 500
Según las hipótesis: s = 50
y i = 1.5 x i + 20 ⇒ y = 1.5 x + 20 = 770
Sueldos
reajustados
y'i = yi - 0.10 yi = 0.9 yi ⇒ y' = 0.9 y = 693
s
2
y'
= 0.92
s
2
y
⇒ Sy' = 0.90 x 1.5 x 50 = 67.5
Respuesta: los sueldos reajustados
41
y i = $ 693
S y′ = $ 67.5
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
4.
Los salarios de una empresa son, en promedio $ 500, con posteridad
se incorporan a la empresa un grupo de obreros igual al 25% de los
que estaban anteriormente. El nuevo grupo ingresa a la empresa con
un salario promedio igual al 60% del antiguo. dos meses más tarde, la
empresa concede un aumento de salario de $ 30. Se pide:
a) El promedio de salario del total de obreros
b) Si el aumento hubiera sido del 20% de los salarios ¿Cuál habría
sido la media de los salarios así ajustados?
Solución
. Salario promedio de n obreros antiguos: x1 = $ 500
. Salario promedio de n’ = 0.25n obreros incorporados
x 2 = 0.60 x 1 = 300
Salario promedio total
n x1 + n1 x 2
n (500) + 0.25n (300)
x =
=
= 460
n + n'
n + 0.25n
a) Promedio total: y = x + 30 ⇒ y = x + 30 = 460 + 30 = 490
b) Si el aumento hubiera sido del 20%:
Respuesta:
y = x + 0.20 x = 1.2 x , y = 1.2 (460) = 552
a) $ 490 b) $ 552
42
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Semana 4
5.
n estudiantes se matricularon, cada cual, en un numero de créditos
cuya media y varianza son iguales a: $ 19,4 y $ 1,84 respectivamente.
Si cada estudiante pago el costo fijo de 20 dólares, mas 60 dólares por
cada crédito ¿Cuál es la madia y la varianza de los pagos que
realizaron los estudiante?
Solución:
Sean x1, x2,…….. xn créditos de cada uno de los estudiantes
Estudiante 1 = X1 créditos
Estudiante 2 = X2 créditos
Estudiante n = Xn créditos
x = 19.4
S 2 = 1.84
Por cada crédito paga un estudiante $60 más un costo fijo de $20
yi = 60 xi + 20
Por propiedad de la media y varianza:
y = 60 x + 20 = 1184
V ( y ) = (60) 2 Vx = 60 2 × 1.84 = 624
Respuesta: Media de los pagos = 1184 dólares
Varianza de los pagos = 624 dólares
6.
Una serie de mediciones de la temperatura de un cuerpo realizadas
con el termómetro A; tienes media 12,01 y la desviación estándar
0.027; mientras que con otro termómetro B; la media de las
mediaciones fue 11.97 y la desviación estándar 0.014. Suponiendo
que la persona que opera los instrumentos sin sesgo alguno en la
mediciones; ¿Cuál es el termómetro relativamente mas consistente?
43
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Solución:
Para el termómetro A
CA =
0.027
S
→
= 2.2481× 10 −3 → 0.22%
12
.
01
X
Para el termómetro B
CB =
0.014
S
→
= 1.1695 × 10 −3 → 0.12 %
11 .97
X
Respuesta: el termómetro B es más consistente
OBSERVACIONES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
()
La media x es influenciada por los valores extremos de un conjunto
de datos.
La media no es calculable en intervalos de clases abiertos en el primer
intervalo y en el último intervalo de datos clasificados.
La mediana es insensible a valores extremos.
La moda (Mo) puede ser unimodal, la bimodal (dos máximos), trimodal
(tres máximos).
La moda es significativa para un gran número de datos (no hay moda
cuando todo sea uniforme)
El valor de la moda es independiente de los valores extremos, es
inestable si se cambia o varía el intervalo de clase.
El coeficiente de variación se utiliza a menudo para comparar la
variabilidad de dos o más conjuntos de datos.
PERCENTILES
Cuando deseamos describir la posición de un dato en un conjunto de datos
estos, los ordenamos para ver si el dato es o no significativo, dentro del
grupo.
Nos podemos preguntar si 12 es una calificación significativa o no, dentro
de un grupo de 20 calificaciones. Para ello será necesario ordenarlos dentro
de una escala de 0% a 100%. y desarrollar la teoría de percentiles
44
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
DEFINICIÓN: Los percentiles son valores que dividen a la muestra
ordenada en forma ascendente o descendente en 100 partes iguales.
P1
P2
Pi
P1: 1er percentil, deja el 1% de las observaciones menores o iguales a él y el
99% de observaciones superiores a él.
P2: 2do percentil, deja el 2% de las observaciones menores o iguales a él y el
99% de observaciones superiores a él.
Pi : i-ésimo percentil, deja el i% de las observaciones menores o iguales a
él y el
(100-i)% de observaciones superiores a él.
P99: 99avo percentil, deja el 99% de las observaciones menores o iguales a él
y el 1% de observaciones superiores a él.
Los percentiles se subdividen en:
Di: Deciles i = 1, 2,…, 9. Dividen las observaciones en 10 partes iguales.
Qi: Cuartiles i = 1, 2, 3. Dividen las observaciones en 4 partes iguales.
Rango intercuartil Q3 – Q1
45
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
OBSERVACIONES
1
Los percentiles en general se pueden determinar para los casos I y II
de datos no agrupados y agrupados por sus frecuencias ni
⎛ i ⎞
Pi , i = 1,2,..,99 ← Pi : ⎜
Por ejemplo
⎟n
⎝ 100 ⎠
⎛ i ⎞
Di , i = 10, 20, .. 90 ← Di : ⎜
⎟n
⎝ 100 ⎠
⎛ i ⎞
Qi , i = 25, 50,75 ← Qi : ⎜
⎟n
⎝ 100 ⎠
El tamaño de los datos n puede ser par o impar
CASO I.- Datos no agrupados, por ejemplo consideremos el sueldo de 10
personas, cuyos sueldos ya están ordenados
Calcular Q1 , Q2 , Q3
Q1
Q2
Q3
Xi ($)
ni
Ni
200
1
1
300
1
2
400
1
3
500
1
4
600
1
5
700
1
6
750
1
7
800
1
8
850
1
9
900
1
10
⎛ 25 ⎞
Q1 = ⎜
⎟ 10 = 2.5 ← Frec. acumulada
⎝ 100 ⎠
1
Q1 = [300 + 400] = 350
2
⎛ 50 ⎞
Q2 = ⎜
⎟ 10 = 5 ← Frec. acumulada
⎝ 100 ⎠
1
Q2 = [600 + 700] = 650
2
⎛ 75 ⎞
Q3 = ⎜
⎟ 10 = 7.5 ← Frec. Acumulada
⎝ 100 ⎠
1
Q3 = [ 750 + 800] = 775
2
Q1: Indica que el 25% de las personas ganan a lo mas $ 350
Q2: Indica que el 50% de las personas ganan a lo mas $ 650
Q3: Indica que el 75% de las personas ganan a lo mas $ 825
46
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
CASO II.- Consideremos sueldos ya ordenados pro sus frecuencias de 33
personas. Calcular P10, Q1, Q3 P90
P10
Q1
Q3
P90
Xi ($)
ni
Ni
150
3
3
250
4
7
300
5
12
400
6
18
550
7
25
600
4
29
700
3
32
800
1
33
⎛ 10 ⎞
P10 : ⎜
⎟ 33 = 3.3
⎝ 100 ⎠
P10 = 250
⎛ 25 ⎞
Q1 : ⎜
⎟ 33 = 8.25
⎝ 100 ⎠
Q1 = 300
⎛ 75 ⎞
Q3 : ⎜
⎟ 33 = 24.75
⎝ 100 ⎠
Q 3 = 550
⎛ 90 ⎞
P90 : ⎜
⎟ 33 = 29.7
⎝ 100 ⎠
P90 = 700
33
Observamos que P10 = D1 , P25 = Q1 , P75 = Q3 , P90 = D9. Las
respuestas siempre se dan en forma razonada como en el ejemplo anterior
CASO III
EJEMPLO DE APLICACIÓN.- Se han medido las pulsaciones de un equipo
de atletas después de una carrera los datos obtenidos son; clasificados por
intervalos Ii, con sus respectivas frecuencias.
Solución:
Ii
Pulsaciones
[70,75>
[75,80>
[80,85>
[85,90>
[90,95>
[95,100]
Xi
72.5
77.5
82.5
87.5
92.5
97.5
ni
3
3
7
10
12
8
n=43
Ni
3
6
13
23
35
43
47
fi
0.0698
0.0698
0.1628
0.2326
0.2791
0.1860
∑fi=1.0000
Fi
0.0698
0.1396
0.3024
0.5350
0.8141
1.0000
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Calcular los percentiles: P10, P25, P50, P75, P90
⎛ i ⎞
• Dado i, Pi: ⎜
⎟n
⎝ 100 ⎠
Pi ∈ ⎡⎣ Li, Li +1
⎛ ⎛⎜ i ⎞⎟ n − N i −1 ⎞
⎟
Pi = Li + C ⎜ ⎝ 100 ⎠
⎜
⎟
ni
⎝
⎠
•
i = 10,
⎛ 10 ⎞
P10: ⎜
⎟ 43
⎝ 100 ⎠
= 4.3
⎛ 4.3 − 3 ⎞
P10 = 75 + 5 ⎜
⎟
⎝ 3 ⎠
•
i = 25,
P10 ∈ ⎣⎡75,80
= 77.17
⎛ 25 ⎞
Q1= P25: ⎜
⎟ 43
⎝ 100 ⎠
⎛ 10.75 − 6 ⎞
P25 = 80 + 5 ⎜
⎟
7
⎝
⎠
•
Î
= 10.75 Î
P25 ∈ ⎣⎡80,85
= 83.39
⎛ 50 ⎞
i = 50, Me = D5 = Q2 = P50: ⎜
⎟ 43 = 21.5 Î Me ∈ ⎣⎡85,90
⎝ 100 ⎠
⎛ 21.5 − 13 ⎞
P50 = Q2 = D5 = Me = 85 + 5 ⎜
⎟ = 89.25
⎝ 10 ⎠
•
i = 75,
⎛ 75 ⎞
Q3 = P75: ⎜
⎟ 43 = 32.25
⎝ 100 ⎠
Î P75 ∈ ⎣⎡90,95
⎛ 32.25 − 23 ⎞
P75 = Q3 = 90 + 5 ⎜
⎟ = 93.85
12
⎝
⎠
•
i = 90,
⎛ 90 ⎞
D9 = P90: ⎜
⎟ 43 = 38.7 Î P90 ∈ ⎣⎡95,100
⎝ 100 ⎠
⎛ 38.7 − 35 ⎞
P90 =D9 = 95 + 5 ⎜
⎟ = 97.31
8
⎝
⎠
48
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
CÁLCULO DEL RANGO PERCENTIL
Sea el percentil Pi = 87. Determinar el rango percentil i.
Pi = 87 ∈ 85 , 90
⎛ ⎛⎜ i ⎞⎟ 43 − 13 ⎞
⎟
P87 ∈ ⎣⎡85,90
Î
87 = 85 + 5 ⎜ ⎝ 100 ⎠
⎜
⎟
10
⎝
⎠
i = 39.53%
El rango percentil 39.53% de los atletas tienen pulsaciones menores o
iguales a 87 pulsaciones
MEDIDAS DE ASIMETRÍAS
SESGO DE PEARSON
La simetría de los gráficos unimodales indica la dirección de la dispersión
de los datos denominándose sesgo de Pearson. Este índice muestra la
deformación horizontal de los datos o el sesgo de la grafica de los mismos.
1.
Cuanto mas se aparta la moda de la media mayor será la asimetría.
2.
Para asimetrías moderadas la media es muy próxima a la mediana, se
usa la relación empírica
49
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
x - Mo
≈ x - Me ⇒ Mo ≈ x − 3( x − Me)
3
Sustituyendo en la formula anterior obtenemos
SP ≈
3( X − Me)
S
El sesgo de Pearson (SP) como se observa es una medida positiva o
negativa, diríamos es un valor que excede a la simetría
MEDIDA DE CURTOSIS
Es el grado de deformación vertical de una distribución de frecuencias. Con
relación al grado de apuntamiento podemos tener curvas leptocurticas,
mesocurticas y platicurticas, se define como:
1 ⎛ Q − Q1 ⎞
k= ⎜ 3
⎟
2 ⎝ P90 − P10 ⎠
•
P90 – P10 = Q3 – Q1, K-> ½ leptocurtica
•
Q3 – Q1 tiende a ser pequeño respecto a P90 – P10
platicurtica
•
P90 – P10 es aproximadamente el doble de Q3 – Q1
P90 – P10 = 2(Q3 – Q1) K -> ¼ mesocurtica
50
K->0
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Ejemplo de Aplicación.- Podemos suponer una sección de estudiantes
que son evaluados en tres materias diferentes, con una misma media.
Ingles: las calificaciones
(leptocurtiva)
obtenidas
tienen
poquísima
variación
Historia: Las calificaciones tienen poca variabilidad (mesocutica)
Matemática: Las calificaciones tienen una alta variabilidad (platicurtica)
En experimento estadísticos ocurren los casos de asimetría y curtosis
con mucha frecuencia las cuales están asociadas a distribuciones que la
inferencia estadística usa para estimar o tomar decisiones respecto a los
parámetros de las distribuciones.
51
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
EJERCICIOS PROPUESTOS
I.
UTILIZACIÓN
DE
DEFINICIONES
IMPORTANTES EN ESTADÍSTICA
1.
TÉRMINOS
MAS
En cada uno de los siguientes experimentos, especifique (1) la
variable independiente, (2) la variable dependiente, (3) la
muestra, (4) la población, (5) los datos y (6) es estadístico.
a) Un fisiólogo quiere sabe si una región particular del cerebro
(el hipotálamo) está implicada en la regulación del consumo
de comida. Se realiza un experimento en el cual se elige 30
ratas de un vivero universitario, las cuales se separan en dos
grupos.
Uno de estos grupos recibe lesiones en el
hipotálamo, mientras que el otro grupo es lesionado en un
área neutral. Después de recuperarse de las operaciones,
todos lo animales tienen acceso libre de alimento durante
dos semanas y se lleva un registro del consumo diario de
alimento de cada animal. Al final del período de dos
semanas, se determina el promedio de consumo diario de
alimento de cada grupo. Por último, se comparan estos
promedios para ver si las lesiones en el hipotálamo han
afectado la cantidad de alimento consumido.
b)
2.
Y
Un profesor de mecanografía piensa que un orden diferente
de las teclas de una máquina promoverá una escritura más
rápida. Se elige a veinte estudiantes de secretariado en una
escuela de comercio de gran tamaño para participar en un
experimento diseñado para probar esta creencia. Diez de
estas estudiantes aprenden a escribir con el teclado
convencional. Las otras diez reciben su entrenamiento con
el nuevo teclado. Al final del periodo de entrenamiento, se
mide la velocidad de escrituras de cada estudiante en
palabras por minuto. Luego se calcula el promedio de
velocidad de escritura para ambos grupos y se comparan
estos promedios para determinar si el nuevo orden ha
tenido algún efecto.
La compañía “Central Eléctrica” incluye una tarjeta de garantía
para el comprador con cada aparato que produce. Además de
validar la garantía y suministrar a la compañía el nombre y la
52
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
dirección del comprador, la tarjeta también solía tener otra
información que se utiliza en estudios de mercado.
Nombre……………………………………..Estado Civil……….(3)…………....
Dirección……………..…… ¿Dónde compró el aparato?......... (4)………...
Ciudad…………………………………………………………………………....…..
Indicativo de la zona……………..……… ¿Por qué compró el aparato? (5)
Edad…………… (1)…………………..Ingresos anuales……… (2)…………....
Para cada uno de los espacios numerados de la tarjeta, determine
las características más probables de las categorías que serán
usadas por la compañía para registrar la información. En
particular, ello sería:
a) ¿Cualitativas o cuantitativas?
b) ¿Continuas o discretas?
Brevemente de las razones que sustentan las personas.
3.
Se ha indicado que el porcentaje de varones mayores de 20 años
que no tienen empleo en una ciudad de 5 millones de habitantes
es 6%.
Los resultados fueron obtenidos a partir de un
cuestionario aplicado a 200 personas de la ciudad elegidas de
entre las personas mayores de 20 años.
a) ¿Sobre que población se ha realizado la encuesta? ¿Cuáles
son las unidades estadísticas?
b) ¿Cuál ha sido la muestra utilizada?
4.
El gerente de venta de una tienda de prendas de vestir desea
saber cuál será la demanda de pantalones en el próximo mes, así
como las tallas que mas demanda tendrán. Si el gerente dispone
de un registro del total de las ventas realizadas por la tienda
durante los 10 meses anteriores y usa esta información como
una muestra para predecir las ventas del próximo mes. ¿Cuál es
la población?
5.
En los siguientes casos, indicar la población, las unidades
estadísticas.
a) Asignar a los distritos de la capital su código postal
b) Asignar a las personas de una ciudad, el número de teléfono
que poseen.
53
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
II.
6.
El censo de alumnos de una universidad considera las siguientes
variables: Facultad, año de ingreso, nacionalidad, tiempo de
residencia en el país, número de semestres que lleva la
universidad, grado en la escala de pensiones, grado de
instrucción del padre, número de hermanos, ingreso mensual
familiar promedio.
Clasifique las variables e indique el tipo de escala en que están
medidas.
7.
Un profesor propone a sus alumnos del curso de Aritmética, una
prueba de 10 ejercicios de cálculo de sumas. Si alguno de los
ejercicios presenta, al resolverlo, algún error de cálculo, el
profesor califica la prueba con 0, de otro modo la califica con 1,
¿Qué tipo de escala empleó?
DISTRIBUCIÓN DE DATOS ORIGINALES, POR FRECUENCIAS Y
CLASIFICACIÓN DE DATOS POR INTERVALOS
1.
Los siguientes datos representan el número de interrupciones por
día de trabajo debidas a fallas mecánicas en una planta
procesadora de alimentos:
3, 4, 1, 3, 6, 5, 6, 3, 2, 3
Calcule la media, la mediana y encuentre el número modal de
interrupciones diarias.
2.
La media mínima para aprobar una asignatura es 11. Su un
estudiante obtiene las notas 13.5, 14, 9.5, 12, 8.5, 8, 11.5, 10 en
los trabajos mensuales de la asignatura en cuestión, ¿el estudiante
fue aprobado?
3.
Diga usted que medidas de tendencia central sería mas útiles en
cada uno de los siguientes casos:
a) El gerente de producción de una fábrica de vasos de vidrio
quiere saber ¿Cuál es el tamaño de vaso que debe fabricar
de vasos ordenados por los clientes? El tiene a la mano un
buen número de datos de los tamaños de los vasos
ordenados por los clientes.
b) El gerente de ventas de una compañía que produce muebles
de lujo desea seleccionar regiones para establecer salas de
exhibición. ¿en que medida de ingreso familiar por región
estará mas interesado, en la media o la mediana?
54
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
c)
4.
Un analista de bolsa de valores está interesado en describir
el cambio diario en el precio en el mercado de una acción
de Banco de Vivienda. Rara vez al precio cambia más de
un punto, pero hay ocasiones en que el precio cambia hasta
cinco puntos. ¿Qué medida debe usar el analista para
describir el cambio de precio de la acción en cuestión, la
media, la mediana o la moda de los cambios de precio en el
mercado?
A continuación se dan las notas de 50 alumnos
60
85
33
52
63
77
84
71
35
81
50
35
64
74
80
61
41
91
55
73
59
41
55
78
48
69
85
67
94
98
66
66
73
42
65
65
47
53
39
94
74
54
77
60
88
57
68
45
76
89
Se pide:
a) Número de clase por la fórmula de Sturges y la amplitud de
las clases
b) ¿Cuáles son los intervalos de clase? (inicie en 30)
c) Trazar el histograma y el polígono de frecuencias
d) Determinar la media, mediana y la moda
e) Determinar el 3er cuatil, 7mo decil, 55vo percentil
f) Calcular el rango percentil de la calificación 80
g) Calcular el sesgo de Pearson y curtosis e indicar el tipo en
ambos casos.
5.
Los siguientes resultados representan las
un curso de estadística elemental:
23
60
79
32
57
74
80
77
81
95
41
65
52
10
64
75
78
25
41
71
83
54
64
72
60
78
89
76
84
48
34
67
17
82
69
74
a)
b)
calificaciones finales en
52
92
80
88
84
63
70
85
98
62
90
80
82
55
81
74
15
85
36
76
67
43
79
61
Determinar los intervalos de clase y la tabla de distribución
de frecuencias de las calificaciones
Calcular la media, mediana, moda, varianza desviación
estándar o típica y el coeficiente de determinación e
interpretar su resultado.
55
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
III. TABLA INCOMPLETA, CALCULO DE
TENDENCIAS CENTRAL Y DISPERSIÓN
1.
ESTADÍSTICOS
DE
El consumo de agua, en metros cúbicos, de 30 viviendas en el
mes de Julio fue como sigue:
4.3 7.8 6.1 15.7 12.8 17.2 3.5 16.1 12.4 6.9 18.0 11.5 13.4 6.5 14.3
8.7 13.0 9.2 12.8 3.0 4.2 11.2 16.2 7 4.5 7.8 15.9 16.5 8.4 5.9
a)
b)
c)
2.
Construir un tabla de distribución de frecuentas usando 5
intervalos de clase y graficar el histograma de frecuencia
relativas, el polígono de frecuencia relativas y la ojiva.
Indicar de manera aproximada el porcentaje de viviendas
que consumieron entre 10 y 15 metros cúbicos.
Graficar la ojiva y usando ésta, indicar de manera
aproximada, el porcentaje de viviendas que consumieron
entre 12 y 15 metros cúbicos.
El número de periodos que un canillita vendió durante los
últimos 24 días fue como sigue:
13 21
16 30 42 5
33 26 28 45 17 28
39 32
8
34 27 33 27 26 24 28 16 21
¿Cuál es el porcentaje de días en los que el canillita vendió más
de 20 periódicos?. Usar el método de los intervalos de clase
indicado para variables continuas, para obtener una tabla de
distribución de frecuencias, con cuatro intervalos de clase y
responder la pregunta anterior. Comentar los resultados, con
respecto a los métodos usados.
3.
Los salarios que una empresa ofrece a los practicantes oscilan
entre $150 y $270 y se encuentran divididos en cuatro intervalos
de clase de igual longitud. Si se supone que los salarios se
distribuyen de manera uniforme, que el 40% de los practicantes
ganan no más de $195, el 80% ganan $225 o menos y el 15%
gana más de $232.5.
a) ¿Cuál es el porcentaje de practicantes en cada categoría o
intervalo de clase?
b) ¿Cuánto debe aumentar la compañía a cada practicante para
que el 20% de ellos supere los $240 de salario?
4.
Completar la siguiente tabla.
intervalo de clase
56
Indicar los extremos de cada
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
5.
Intervalos de
clase
Marcas de
clase
Frecuencia
relativa
Frecuencia acumulada,
relativa
A
B
C
D
E
...
6
...
14
…
0.10
…
0.55
…
0.10
…
0.25
…
0.9
…
Los elementos datos son los haberes básicos del mes de abril de
20 empleados de un Ministerio:
210
150
a)
b)
c)
6.
200
180
220
230
150
210
190
160
100
140
160
180
150
120
170 190
200 190
Calcular la media, mediana y moda de los datos anteriores.
Clasifique en 5 intervalos de clase de igual tamaño y calcule
la media y la mediana de los datos así agrupados.
Para el mes de mayo se decreta un aumento del 10% sobre
los haberes básicos del mes de abril y un descuento del 2%
de los haberes básicos del mes de mayo pro fondos de
reconstrucción. Se pide calcular la media y la mediana de
los nuevos haberes.
Dada la tabla siguiente:
Intervalos de Clase
[0.20,0.40 >
[0.40,0.60 >
[0.60,0.80 >
[0.80,1.00 >
Frecuencias Relativas
0.10
f2
f3
0.10
Determinar:
a) Los datos que faltan sabiendo que la media aritmética es
0.61
b) La mediana y moda
7.
Se han medido mediante pruebas adecuadas los coeficientes
intelectuales de un grupo de 20 alumnos, viniendo los resultados
57
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
agrupados en 6 intervalos de amplitud variable. Estas amplitudes
son:
C1=12, C2=12, C3=4, C4=4, C5=12, C6=20. Si las frecuencias
relativas acumuladas correspondientes a cada uno de los
intervalos son: F1=0.15, F2=0.25, F3=0.55, F4=0.8, F5=0.95,
F6=1
Se pide:
a) Formar la tabla de distribución de frecuencias, (frecuencias
relativas, frecuencias acumuladas) sabiendo que el extremo
inferior del primer intervalo es 70.
b) Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias
absolutas. Calcular la moda.
c) ¿Entre qué dos percentiles esta comprometido un
coeficiente intelectual de 98.4?. Encontrar el valor de
ambos percentiles.
Al mismo grupo de alumnos se le hace una prueba de
rendimiento, los resultados nos viene dados en el gráfico
siguiente:
F
20
16
10
5
1
4
6
58
8
10
X
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
d)
e)
8.
Formar la tabla de distribución de frecuencias y calcular la
mediana.
¿Qué medidas están mas dispersas, los coeficientes
intelectuales o las puntuaciones del rendimiento?
Se tiene la siguiente información, sobre una distribución de
frecuencias de 50 elementos de un material sometido a prueba
de rotura (en Kg/cm2), la longitud de los intervalos de clase es
constante e igual a 20.
Intervalo
Marca de clase
Xi
ni
fi
Ni
niXi
23
300
400
350
10
17
110
a)
b)
9.
1,100
Determinar la media y mediana
Determinar el Nº de datos que se estima que pertenezcan al
~
intervalo X , X
[
]
Una distribución de frecuencias consta de 5 intervalos de clase
de igual longitud y de ella se conocen los siguientes datos:
n=110; n4-n5=10; n4-n3-n1=0
n1=n5; n2=n4 límite inferior de la primera clase 12.5 y
L5n4=975, donde L5 es el límite superior de la cuarta clase.
a) Dibujar histograma y polígono de frecuencias
b) Hallar el valor de media, mediana, moda, los percentiles 25
y 75
10. Se tiene la siguiente información sobre una distribución de
frecuencias de 50 elementos de un material sometido a prueba
de rotura (en Kgr/cm2). Los intervalos tienen la misma amplitud
igual a 20.
59
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Xi
ni
Ni
niXi
18
23
300
400
350
10
[
17
4
,120>
440
50
Total
Determinar la media, desviación típica y el coeficiente de
variación y tipo de curva que definen el sesgo de Pearson y
Kurtosis que definen.
IV. PROBLEMAS USANDO LAS PROPIEDADES DE MEDIA Y VARIANZA
1.
La fábrica A produce n artículos, la fábrica B produce el doble
número de artículos que la fábrica A y la fábrica C produce 20%
más que la fábrica B. Si los costos unitarios son respectivamente
100, 120, 140 soles, calcular el precio promedio de venta, si los
productores desean ganar el 30% de los correspondientes precios
unitarios de costo.
2.
En una sección de Estadística General, 24 estudiantes llevan el
curso por primera vez, 6 llevan por segunda vez y 2 por tercera
vez. Se sabe que 12 es el promedio de notas de los que llevan
por primera vez y que las notas de los que llevan por segunda
vez en promedio son superiores en un 10% de los que llevan
por primera vez.
Calcule el promedio de la notas de los que llevan el curso por
tercera vez si la suma total de las notas es de 390.
3.
Los salarios de una empresa son, en promedio S/. 500, con
posterioridad se incorporan a la empresa un grupo de obreros
igual al 25% de los que estaban anteriormente. El nuevo grupo
ingresa a la empresa con un salario medio igual al 60% de los
antiguos. Dos meses mas tarde, la empresa concede un aumento
de S/. 30. se pide:
a) El promedio de salario del total de obreros
b) Si el aumento hubiera sido del 20% de los salarios ¿Cuál
habría sido la media de los salarios así ajustados?
60
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
4.
En un examen final dado por tres secciones de una clase de
Estadística de 91 alumnos, la nota promedio de todos los
estudiantes fue de 14.5. El promedio de la sección A fue de 15.5
y el de la sección B fue de 9.2 los datos sobre el número de
alumnos de cada sección y el promedio de las notas de la
sección C se perdieron, pero los profesores de la sección Ay B
recuerdan que ellos tenían exactamente el mismo número de
estudiantes; mientras que el profesor de la sección C recuerda
que tenía 5 estudiantes menos que el de la sección A. ¿Cuál es el
promedio de los alumnos de la sección C?
5.
En la siguiente tabla se presenta la distribución de salarios de 50
trabajadores de la universidad del mes de Abril del presente año.
Haberes (en miles de soles)
[60,100 >
[100,150 >
[150,210 >
[210,250 >
[250,260 >
Nº de trabajadores
5
10
20
8
7
Por incremento del costo de vida se plantean dos alternativas de
aumento para el mes de Mayo.
La primera propuesta consiste en un aumento general de 35,000
soles mensuales.
La segunda propuesta consiste en un aumento del 30% de los
salarios de Abril a los obreros que ganan de 210,000 soles y del
5% a los obreros que ganan mas de 210,000 soles y un aumento
adicional de 20,000 soles para todos los trabajadores.
a) ¿Cuál de las propuestas convendría a los trabajadores?
b) Para los trabajadores que ganan menos de 210,000 soles
¿Qué propuesta convendría?
6.
Se tiene una población dividida en dos grupos de diferentes
tamaños el primer grupo tiene un ingreso medio de 8,000 soles y
el segundo grupo tiene un ingreso medio de 4,000 soles.
Si el ingreso medio total es de 5,200 soles. ¿Qué porcentaje de
la población está en cada grupo?
61
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
V.
7.
El servicio de salud pública de Lima calculó que los costos de
servicio de salud han aumentado desde S/.43 a S/.46.50 a
S/.49.80 a S/.53.65 por paciente durante los últimos cuatro años;
sin embargo, el presupuesto para el servicio se ha mantenido el
mismo durante cada uno de estos años. ¿Cuál ha sido el costo
promedio por paciente sobre el periodo de 4 años?
8.
Una muestra de 130 alumnos se subdivide en dos subgrupos A y
B.
el profesor del subgrupo A encontró una media de
calificaciones de 14 con una desviación típica de 3 y el profesor
del subgrupo B encontró una media de 12 pero se olvidó calcular
la varianza correspondiente. El coordinador del curso afirma que
en grupo B hay 70 estudiantes y la varianza global es de 8. ¿Se
puede determinar la varianza del subgrupo B con la información
dada? ¿y de ser posible, cuánto vale?
CALCULO DE PERCENTILES, SESGO Y CURTOSIS
1.
Los datos siguientes corresponden al tiempo, en minutos, que
demora una oficina “en darle trámite” a 50 documentos que ha
recibido.
400 392 358 304 108 156 483 60 360 168 448 224 576 384 194 216 120
280 232 72 264 168 128 256 72 136 168 308 340 64 480 114 80 246
224 184 104 112 184 152 536 224 464 72 154 152 168 288 264 208 168
a)
b)
c)
d)
2.
A partir de la tabla de frecuencias, construir el histograma
de frecuencias relativas. Graficar el polígono de frecuencias
relativas. Indicar las características de la distribución.
Calcular la media, varianza, desviación estándar y el
coeficiente de variación de datos.
Calcular la mediana, utilizando directamente los datos y
utilizando la ojiva de la frecuencia acumulada relativa.
Calcular los percentiles P10,P20,P75 y P90. y calcular la curtosis
e interpretar su significado.
Una universidad tiene 100 empleados. Para los nombrados el
haber básico máximo es de 4,500 soles mensuales y el mínimo
es de 600 soles mensuales. Hay un 5% de eventuales que
trabajan ad-honoren o perciben compensaciones inferiores a 600
soles; 15 trabajadores nombrados reciben haberes inferiores a
62
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
2,500 soles; el 85% de los trabajadores tienen haberes inferiores
a 4,000 soles. Con esta información calcular.
a) Cuartil 3, percentil 20
b) ¿Cuántos trabajadores ganan más de 2,000 soles mensuales?
c) La media, mediana y moda de los haberes
3.
Si tiene una distribución de frecuencias simétricas, con 6
intervalos de amplitud constante, y los siguientes datos.
n=150, límite superior del quinto intervalo de clase = 60
n3=30, Q1=43.5, n2=n1+5
Calcule el sexto decil
4.
Si tiene una distribución de frecuencias simétricas, con 9
intervalos de amplitud constante, y los siguientes datos:
f5=0.50, límite superior de la quinta clase =110, f1+f6=0.13
f8-f1=0.002, P77=112, f7=f1+0.04
Calcule el 22 percentil
5.
En una prueba de Probabilidad y Estadística aplicada a 20
alumnos, se obtuvo la siguiente distribución de puntos:
Puntos [35,45 >
Nº de
alumnos
1
a)
b)
c)
d)
e)
6.
Peso
en Kgr.
Nº de
Alumnos
[45,55 > [55,65 > [65,75 > [75,85 > [85,95 >
3
8
3
3
2
Calcular la desviación media respecto al promedio
Determinar la desviación estándar
Calcular el coeficiente de variación
Determinar el primer coeficiente de asimetría de Pearson
Calcular el coeficiente de curtosis
En la siguiente distribución de frecuencias se dan los pesos de
una muestra de 45 alumnos.
[40,45 > [45,50 > [50,55 > [55,60 > [60,65 > [65,70 >
4
10
15
63
8
5
3
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
a)
b)
c)
d)
7.
Determine la varianza por el método abreviado
¿Cuál es el valor del coeficiente de variación?
¿La distribución es simétrica?
¿La distribución es mesocúrtica?
Un encargado de compras ha obtenido muestras de focos de luz
de los proveedores. En su propio laboratorio, ha probado ambas,
muestras con respecto a la duración de su vida útil, con los
siguientes resultados.
Duración de la vida útil,
en horas
[700,900 >
[900,1.100 >
Muestras de
Empresa A
Empresa B
10
3
16
42
26
12
8
3
[1.100,1.300 >
[1.300,1.500 >
TOTAL
a)
b)
60
60
¿Los focos de qué empresa tienen el mayor promedio en la
duración de vida útil?
¿Los focos de cuál de las empresas tienen mayor
uniformidad?
8.
Una publicidad sobre camiones enumera la siguiente distribución
de kilómetros recorridos por galón de gasolina según reportes de
los propietarios de esos vehículos:
a) Calcule la desviación estándar. Explique su significado
b) Si usted obtiene 14 kilómetros por galón uno de los
camiones, ¿a cuántas unidades de desviación estándar se
encuentra por debajo de la media de 18.82 kilómetros por
galón?
9.
La edad media de los candidatos a un determinado curso de
segunda especialización fue baja, del orden de 22 años. Como
ese curso fue planificado para atender a personas de todas las
edades, se decidió hacer una campaña de divulgación. Para
verificar si la campaña fue o no eficiente se hizo un
levantamiento de la edad de los candidatos a la última
promoción y los resultados se dan en la siguiente tabla.
64
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Edad
[18,20 >
[20,22 >
[22,26 >
[26,30 >
[30,36 >
TOTAL
a)
b)
Frecuencia
18
Porcentaje
36
12
10
8
24
20
16
2
50
4
100
En base a estos resultados, ¿Ud. Diría que la campaña ha
sido efectiva? (Esto es, ¿aumentó la edad media?)
Otro investigador decidió usar la siguiente regla: Si la
diferencia X − 22 es mayor que el valor 25
, entonces la
n
campaña ha sido efectiva. ¿Cuál es la conclusión de él en
base a los datos?
65
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
66
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Semana 5
PROBABILIDAD
INTRODUCCIÓN
•
En la actualidad y cada vez mayor las aplicaciones de la teoría de
probabilidad en una amplia variedad de campos Científicos se da así
por ejemplo en:
o
Los cálculos de la densidad de tráfico telefónico
o
El nivel de calidad de los artículos manufacturados
Transmisión de señales en presencia de ruido (Problema que
o
afrontan los ingenieros en el diseño de sistemas de
comunicaciones y control automático)
o
Los Estudios del ruido térmico en los circuitos eléctricos y del
movimiento Browniano de las partículas sumergidas en un
líquido o gas (física).
•
¿Qué es, entonces lo que estudia la teoría de probabilidad que da
lugar a diversas aplicaciones?
Para contestar a esta pregunta simplemente se considera en los
ejemplos anteriores sus respectivos fenómenos aleatorios los cuales
generan sus respectivos espacios muéstrales, dentro de los cuales se
definen los eventos aleatorios, para luego calcular su probabilidad la
cual se encuentra entre cero y uno.
Otras preguntas que afrontaremos en probabilidad
o
¿Qué queremos decir al afirmar que la probabilidad de un evento
es 0.50, 0.25, 0.80 en un determinado experimento aleatorio?
¿Cómo se determinan o miden en la práctica los números que
o
llamamos probabilidad?
o
¿Cuáles son las reglas matemáticas que las rigen?
Secuencialmente responderemos a estas preguntas según vayamos
desarrollando el curso.
•
•
La teoría de probabilidades proporciona los modelos para estudiar los
fenómenos que se caracterizan por la variabilidad de sus resultados.
Estos modelos se llaman modelos aleatorios.
En general un modelo describe las propiedades fundamentales de un
fenómeno sin describir todos sus detalles.
67
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Existen diferentes modelos:
modelos físicos
: (máquinas en general)
modelos analógicos : (mediciones de voltaje, continuidad)
modelos abstractos : (en general, ciencia)
Los modelos abstractos se clasifican en:
-
•
determinísticos (es lo que siempre ocurre). Ej: si se suelta una
tiza, ésta cae.
aleatorios ó estocásticos (al azar). Ej.: un terremoto
ALGUNAS DEFINICIONES IMPORTANTES EN PROBABILIDAD
MODELOS ALEATORIOS: Describen experimentos aleatorios, los
resultados ocurren con regularidad estadística; es decir que éstos resultados
están entre 0 y 1 que representa a la frecuencia relativa con que ocurre en
una serie de repeticiones independientes.
FENÓMENO ALEATORIO: Es un fenómeno empírico que se caracteriza por
la propiedad de que al observarlo bajo determinado conjunto de
condiciones no siempre se obtiene el mismo resultado. (Fortuito o al azar)
•
SECUENCIA NATURAL PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN
PROBABILIDAD
P
Exp.
S
E
0
1
0 ≤ P(E ) ≤ 1
Experimento
Aleatorio
Espacio
Muestral
Evento
E⊆ S
Experimento
Espacio Muestral
.
Lanzar 2 monedas: {CS, CC, SC, SS}
Lanzar 1 dado:
{1, 2, 3, 4, 5,6}
68
Evento E
Probabilidad de
Ocurrencia
Probabilidad de
Ocurrencia de E
E = {CC}, P(E) = nE / Ns = ¼
E = {#par}, P (E) = 3 / 6 = 1/2
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
EXPERIMENTO ESTADÍSTICO (EXP)
Es un proceso mediante el cual se obtiene resultados por observación.
a) Aleatorio: cuando los resultados de la observación no se pueden
predecir con exactitud.
b) Determinístico: cuando el resultado de la observación es
determinado en forma precisa por las condiciones bajo las cuales se
realiza dicho experimento.
ESPACIO MUESTRAL (S)
Es el conjunto de puntos correspondientes a todos los posibles resultados de
un experimento aleatorio.
EVENTO O SUCESO (E)
Es cualquier subconjunto del espacio muestral que corresponde al
experimento aleatorio.
EVENTOS ESPECIALES
Es el llamado evento imposible
evento seguro
Ф, P(Ф) = 0
S, P(S) = 1
ALGEBRA DE EVENTOS
Tiene Similitud con el álgebra de conjuntos. Las operaciones posibles en
eventos son:
* Unión ( ∪ )
* Intersección ( ∩ )
* Complementación (‘)
Sean A y B eventos en S:
1.- A ∪ B: evento que ocurre si y solo si y solo si A ocurre ó B ocurre.
2.- A ∩ B: evento que ocurre si y solo si A ocurre y B ocurre.
3.- A’ (Ac): evento que ocurre si A no ocurre.
A-B = A∩ B’ (diferencia de eventos)
Leyes de Morgan: (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
PRINCIPIO DE LA DUALIDAD
Es la relación que tiene el evento imposible con el evento seguro.
S’ = Ф
Ф‘=S
69
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
EJERCICIOS DE APLICACIÓN SOBRE EVENTOS
1.
Sean A1, A2, A3, A4 eventos. Explicar
siguientes enunciados:
a) Por lo menos ocurre un evento.
b) ocurren todos los eventos.
c) ningún evento ocurra
d) no ocurre exactamente un evento
presentar en símbolos los
Solución:
a) A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4
b) A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4
c) A1’ ∩ A2’ ∩ A3’ ∩ A4’
d) (A1’ ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4) ∪ (A1 ∩ A2’ ∩ A3 ∩ A4) ∪ (A1 ∩ A2 ∩
A3’ ∩ A4) ∪ (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4’)
2.
Sean A, B, C tres eventos asociados a un cierto experimento. Exprese
las siguientes proposiciones verbales en notación de conjuntos
a) Al menos uno de los eventos ocurre
b) Exactamente uno de los eventos ocurre
c) Exactamente dos de los eventos ocurren
d) No ocurren, mas de dos eventos simultáneamente
Solución:
a) ( A∩B'∩C') ∪( A'∩B∩C') ∪( A'∩B'∩C) ∪( A∩B∩C') ∪( A'∩B∩C) ∪( A∩B'∩C) ∪( A∩B∩C)
b) ( A ∩ B '∩C ') ∪ ( A'∩ B ∩ C ') ∪ ( A'∩ B '∩C )
c) ( A ∩ B ∩ C ') ∪ ( A ∩ B'∩C ) ∪ ( A'∩ B ∩ C )
d) ( A'∩B'∩C') ∪( A∩B'∩C') ∪( A'∩B∩C') ∪( A'∩B'∩C) ∪( A∩B∩C') ∪( A∩B'∩C) ∪( A'∩B∩C)
3.
Sean A, B y C tres sucesos arbitrarios. Encontrar las expresiones para
los sucesos consistentes en que entre A, B y C.
a) Se ha producido solamente A
b) Se ha producido Ay B, en tanto que C no se ha producido
c) Se han producido los 3 sucesos
d) Se han producido al menos uno de los suceso
e) No se ha producido ninguno de los sucesos.
Solución:
a) ( A ∩ B '∩C ')
b) ( A ∩ B ∩ C ')
c) ( A ∩ B ∩ C )
d) (A ∩ B'∩C' ) ∪ ( A'∩B ∩ C') ∪ ( A'∩B ∩ C) ∪ ( A'∩B ∩ C) ∪ ( A ∩ B'∩C) ∪ (A ∩ B ∩ C' ) ∪ ( A ∩ B ∩ C )
e) ( A'∩ B'∩C ')
70
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
4.
Se escoge dos jurados, entre 4 alternativas posibles, para atender un
juicio por asesinato. Utilice la notación A1 A3 , por ejemplo, para
indicar el evento simple en que se seleccionan las alternativas 1 y 3,
enumere los 6 elementos del espacio muestral.
Solución:
A1 , A2 , A3 , A4
•
Sean los jurados:
•
Se eligen dos jurados
•
Maneras de elegir
a dos jurados
A1 A2 A3 A4
A1 A2
A2 A3
A1 A3
A2 A4
A3 A4
A1 A4
S = {A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 , A1 A3 , A2 A4 , A1 A4 }
5.
Se Seleccionan aleatoriamente cuatro estudiantes de una clase de
química y se clasifican en hombres y mujeres. Escriba los elementos
del espacio muestral S1 utilizando la letra H para hombres y la letra
M para las mujeres. Defina un segundo espacio muestral, S 2 , donde
los elementos representan el número de mujeres seleccionadas.
Solución:
• Cuando se elige un estudiante se tiene dos posibilidades
Cuando se elige dos estudiantes se tiene cuatro posibilidades
Cuando se elige tres estudiantes se tiene ocho posibilidades
Cuando se elige cuatro estudiantes se tiene dieciséis
posibilidades
:
:
:
21
22
23
:
24
• El experimento es del tipo dicotómico. Usemos el diagrama del
árbol (arborecencia) el cual es muy usual en muchos experimentos.
71
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
4to Est
3er Est
H
2do Est
H
1er Est
H
H
M
M
M H
H
M
H
H
M
M
H
H
M
M
H
M H
M
H
M
M
H
M
H
M
S1
HHHH
S2
0
HHHM
1
HHMH
1
HHMM
2
HMHH
1
HMHM
2
HMMH
2
HMMM
3
MHHH
1
MHHM
2
MHMH
2
MHMM
3
MMHH
2
MMHM
3
MMMH
3
MMMM
4
S 2 = {0, 1, 2, 3, 4}
6.
Un experimento consiste en preguntar a 3 mujeres aleatoriamente si
lavan sus platos con detergente marca X.
a) Enumere los elementos de un espacio muestral S utilizando la
letra Y para las respuestas “si” y N para las “No”.
b) Escriba los elementos de S que correspondan al evento E en que
al menos 2 de las mujeres usan la marca X.
c) Defina un evento que tenga como elemento los puntos
{YYY , NYY , YYN , NYN }
Solución
a) Tres mujeres participan y cada una tiene dos posibilidades de
contestar
72
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
3ra
1ra
S
YYY
Y
2da
Y
N Y
YYN
YNY
Y
N
N
Y
N
YNN
Y
NYY
NYN
N
N
Y
NNY
NNN
N
b)
E: al menos dos mujeres usan la marca X, observemos el e.m.S
E = {YYY, YYN, YNY, NYY}
c)
7.
Un evento posible observando el evento dado: “La segunda
mujer entrevistada usa marca X”.
Suponga que una familia sale de vacaciones de verano en su vehículo
de acampar y que M es el evento en que tendrán problemas
mecánicos, T el que reciban una infracción por cometer una violación
de tránsito y V el que lleguen a un campamento totalmente ocupado.
Con ayuda del diagrama de Venn de la figura explique con palabras
los eventos representado por las siguientes regiones
a) Región 5
b) Región 3
c) Regiones 1 y 2 juntas
d) Regiones 4 y 7 juntas
e) Regiones 3, 6, 7 y 8 juntas
73
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
M
T
5
7
4
1
2
3
6
8
V
Solución
M: e. de que tendrán problemas mecánicos
T: e. de que recibirán una infracción por cometer una violación de
tránsito.
V: e. de que lleguen a un campamento totalmente ocupado
a) Región 5: e. de que tendrán problemas mecánicos, pero no
recibirán una infracción por cometer una violación de transito y
tampoco llegará a un campamento totalmente ocupado.
b) Región 3: e. la familia recibirá una infracción por cometer una
violación de tránsito y llegará a un campamento totalmente
ocupado pero no tendrá problemas mecánicos.
c) Regiones 1 y 2 juntas: e. la familia tendrá problemas mecánicos y
llegará a un campamento totalmente ocupado
d) Regiones 4 y 7 juntas: e. la familia no llegará a un campamento
totalmente ocupado pero recibirá una infracción por cometer una
violación de tránsito.
e) Regiones 3, 6, 7 y 8 juntas: e. la familia no experimentará
problemas mecánicos.
8.
Con referencia al ejercicio anterior (7) y al diagrama de Venn de la
figura, haga una lista de los números de las regiones que representan
los siguientes eventos.
a) La familia no tendrá problemas mecánicos y no cometerá
violación alguna de tránsito pero encontrará un campamento
totalmente ocupado.
74
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
b)
c)
d)
La familia tiene problemas mecánicos y dificultades para
encontrar un campamento que no esté ocupado en su totalidad,
pero no cometerán violación alguna de tránsito.
La familia tendrá problemas mecánicos o encontrará un
campamento totalmente ocupado, pero no cometerá violaciones
de tránsito.
La familia no llegará a un campamento totalmente ocupado
Solución
a) 6.
b) 2.
9.
C) 2, 5, 6.
d) 4, 5, 7, 8
Expresar simbólicamente es decir en términos del algebra de eventos
las preguntas a), b), c), d) y e) del ejercicio (7)
Solución
a) M ∩ (V ∪ T ) ' ; b) (V ∩ T ) ∩ M ' ; c) M ∩ V ; d) V ′ ∩ T ; e) M '
10. Expresar simbólicamente es decir en términos del algebra de eventos
las proposiciones a), b), c) y d) que aparecen en el ejercicio 8
a) ( M ' ∩ T ' ) ∩ V ; b) (M ∩ V ) ∩ T ' ; c) ( M ∪ V ) ∩ T ' ; d) (M ∪ T ) ∩ V '
11. Un fabricante tiene cinco terminales de computadoras aparentemente
idénticas listas para enviarlas a su destino. No sabe que dos de las
cincos son defectuosas. Recibe un pedido especial de dos terminales
y lo surte seleccionando al azar dos de las cinco disponibles.
Solución
•
Existen cinco terminales de los cuales dos son defectuosas y tres
buenas; esto indica que podemos hacer una combinatoria
5!
5
C 2 = 2! 3! = 10 existen 10 posibilidades de enviar el pedido.
•
El espacio muestral lo determinamos del modo siguiente.
D1 , D2: terminales defectuosos
Maneras
que
pueden
ocurrir en el envío
B1,B2,B3: terminales buenos
75
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
D1
D2
B1
B2
D1 D2 , D1 B1 , D1 B2 , D1 B3
⎧⎪D1 D2 , D1 B1 , D1 B2 , D1 B3 , D2 B1 ,⎫⎪
S =⎨
⎬
⎪⎩D2 B2 , D2 B3 , B1 B2 , B1 B3 , B2 B3 ⎪⎭
76
D2 B1 D 2 B2 D 2 B3
B1 B2 B1 B3
B2 B3
B3
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Semana 6
PROBABILIDAD DE UN EVENTO
Sea S un espacio muestral asociado a un experimento:
Sea A un subconjunto (evento) de S.
P: A
[0,1]
Se lee: P de A (P(A)) llamada probabilidad del evento A que satisface
los tres axiomas siguientes:
1. la probabilidad 0≤P(A) ≤1 A ⊆ S
2. P(S)=1
3. (aditividad finita) si A1, A2,….. An eventos en S, disjuntos dos a dos (ó
mutuamente excluyentes) Ai ∩ Aj =ǿ
i≠j
La probabilidad de la unión es. P ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = Σni=1 P (A;)
n
P ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( An ) = ∑ P( Ai )
i =1
OBSERVACIÓN:
La frecuencia relativa cumple con éstos tres axiomas:
fA =
nA
nS
nA: número de elementos del evento A en S
nS:: número de elementos del espacio muestral S
1.- 0 ≤ fA ≤ 1
n
2.- f S = S = 1
nS
n +n
3.- f ( A1 ∪ A2 ) = A1 A2 = f A1 + f A2
nS
n A1 n A 2
+
→ f A1∪ A 2 = f A1 + f A 2
nS
nS
f A1 U A2 =
77
nA1 ∪ nA2
ns
=
nA1
ns
+
nA2
ns
= f A1 + f A2
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Esteresultado nos muestra que la frecuencia relativa satisface los tres
axiomas de probabilidad, motivo por el cual se le denomina probabilidad
clásica.
ALGUNOS TEOREMAS IMPORTANTES EN PROBABILIDADES
1.
La probabilidad de un evento imposible es cero P (Ø)=0,
demostración:
Demostración:
Propiedad
(A U Ø) = A
P(A U Ø) = P(A)
Axioma 3
P(A) + P (Ø) = P(A)
P (Ø) =0
2.
Si A ⊂ es complemento de A ⇒ P ( A ⊂ ) = 1-P(A).
Demostración:
Sea A un evento en S
Propiedad:
Ax 3 y Ax2
3.
A ⊂ U A =S
P ( A ⊂ U A) = P(S)
P ( A ⊂ ) +P(A) =1
P ( A ⊂ )=1-P(A)
Si Ay B son 2 eventos cualesquiera en S Ö P (AUB) = P(A) +P (B) –
P(A ∩ B)
Demostración:
Usando propiedades:
A ∪ B = A ∪ (A’ ∩ B)
.
P (A ∪ B) = P (A) + P (A’ ∩ B)
A ‘∩ B = (S - A) ∩ B
=B-A ∩ B
P (A ∪ B) = P (A) + P (B - A ∩ B)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)
78
A′∩ B
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Extensión a tres eventos
• P(A ∪ B ∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A ∩ B)-P(A ∩ C)-P(B ∩ C)+P(A ∩ B ∩ C)
Podemos extender a n eventos; A1 ∪ A2 ∪ ..... ∪ An y calcular la
probabilidad P( A1 ∪ A2 ∪ .... ∪ An )
4.
Si A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P (B)
Si un evento A esta contenido en un evento B indica que la
probabilidad de A es menor o igual a la probabilidad de B
Demostración: (ejercicio)
Como observamos de esta sección definimos la función de
probabilidad con los tres axiomas fundamentales, adicionalmente
enunciamos teoremas los cuales se demuestran haciendo uso de los
axiomas y propiedades que se derivan de la teoría de eventos
definidos en el espacio muestral S.
•
EJERCICIOS
DE
APLICACIÓN
SOBRE
MUESTRAL, EVENTOS Y USO DE TEOREMAS
1.
Entre cinco generadores portátiles producidos en una línea de montaje
en un día, hay dos defectuosos. Si se seleccionan dos generadores
para su venta, determinar la probabilidad de que ninguno de los dos
tenga defecto. Suponer que la selección de los dos generadores para la
venta se hizo de modo que todas las muestras posibles sean del mismo
tamaño tengan la misma probabilidad de ser seleccionado.
ESPACIO
Solución
Según el enunciado existen dos generadores defectuosos y tres buenos
por que en total son cinco: Di: defectuosos; Bi: buenos
D1
D2
B1
B2
B3
Determinamos el espacio muestral del experimento
S = {D1 D 2 , D1 B1 , D1 B 2 , D1 B3 , D 2 B1 , D 2 B 2 , D 2 B3 , B1 B 2 , B1 B3 , B 2 B3}
79
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
A: Evento de que ninguno tenga defecto: B1 B2 , B1 B3 , B2 B3
3
n
P ( A) = A =
ns 10
2.
La probabilidad de que un hombre siga vivo dentro de 25 años es de
3/5 y la de su esposa los esté es de 2/3. Hallar la probabilidad de que
en ese momento.
a) Ambos estén vivos
b) Sólo el hombre viva
c) Sólo viva la esposa
d) Al menos uno esté vivo.
Solución:
Sean los eventos; ambos independientes
H: e. de que el esposo viva dentro de 25 años; H’ el esposo no viva
E: e. de que la esposa viva dentro de 25 años; E’ la esposa no viva
P(H ) = 3 / 5, P(E) = 2/3, P(H' ) = 1 - P(H) = 2/5, P(E' ) = 1 - P(E) = 1/3
3 2 2
a) P(H ∩ E ) = P ( H ) P( E ) = × =
5 3 5
3 2 1
b) P(H ∩ E ') = P( H ) − P( H ∩ E ) = − =
5 5 5
2 2 4
c) P(E ∩ H ') = P( E ) - P ( H ∩ E ) = − =
3 5 15
3 2 2 13
d) P(H ∪ E ) = P( H ) + P( E ) − P( H ∩ E ) = + − =
5 3 5 15
* Es cierto que P ⎡⎣( H ∩ E ') ∪ ( H ′ ∩ E ) ∪ ( H ∩ E ) ⎤⎦ = P( H ∪ E ) ? .
Justificar
3.
La probabilidad de que una industria peruana se ubique en Venezuela
es 0.7; de que se localice en Argentina, de 0.4 y de que se encuentre
en Venezuela o Argentina, de 0.8 ¿Cuál es la probabilidad de que la
industria se localice:
a) En ambos países?
b) En ninguno de ellos?
Solución:
Sean los eventos:
V: e de que la industria se ubique en Venezuela
A: e de que la industria se ubique en Argentina
P(V)=0.7
P(A)=0.4
P(V ∪ A)=0.8
80
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Aplicando las propiedades vistas
{V ∪ A}; P(V ∪ A) = P(V ) + P( A) − P(V ∩ A)
a)
0.8 = 0.7 + 0.4 − P(V ∩ A)
P(V ∩ A) = 0.7 + 0.4 − 0.8 = 0.3
{V '∩ A'}; P(V '∩ A' ) = P(V ∪ A)' = 1 − P(V ∪ A) = 1 − 0.8 = 0.2
b)
4.
De un grupo de 100 estudiantes universitarios del último año, 60
estudiaron biología, 20 geología y 10 astronomía. 15 estudiaron
biología y geología siete biología y astronomía y tres; geología y
astronomía. Tres de los estudiantes cursaron las 3 materias. Si se
selecciona al azar un estudiante del último año; ¿cuál es la
probabilidad de que haya estudiado:
a) Por lo menos una de estas materias?
b) Biología y geología pero no astronomía?
c) Astronomía pero no biología o geología?
d) Ninguno de los tres?
Solución:
Sean los eventos:
B: e. de que el estudiante haya estudiado biología
G: e. de que el estudiante haya estudiado geología
A: e. de que el estudiante haya estudiando astronomía
a)
{B ∪ G ∪ A}
P(B ∪ G ∪ A) = P( B) + P(G ) + P( A) − P( B ∩ G ) − P( B ∩ A )
− P(G ∩ A) + P( B ∩ G ∩ A)
60 20 10
15
7
3
3
68
=
+
−
−
−
+
=
100 + 100 100 100 100 100 100 100
b)
{A'∩( B ∩ G )}
P( A'∩( B ∩ G )) = P( B ∩ G ) − P( A ∩ B ∩ G )
15
3
12
=
−
=
100 100 100
c)
{A ∩ ( B ∪ G )'}
P ( A ∩ ( B ∪ G ) ') = P ( A) − P ( A ∩ ( B ∪ G )) = P ( A) − P( A ∩ B)
− P( A ∩ G ) + P( A ∩ B ∩ G )
10
7
3
3
3
=
−
−
+
=
100 100 100 100 100
81
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
5.
Se somete a un estudiante a un examen del tipo verdadero – falso, el
que contiene 10 preguntas; para aprobar debe responder
correctamente ocho o mas preguntas. Si el estudiante adivina ¿cuál es
la probabilidad de que apruebe el examen?
Solución:
•
El examen contiene 10 preguntas: X i , i = 1,2, …,10
6.
1
2
independientes.
•
Cada pregunta tiene éxito Ei; luego cada Ei; P(Ei ) =
•
Probabilidad
•
Como debe responder ocho o mas preguntas: X ≥ 8
⎛10 ⎞
⎛10 ⎞
⎛10 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
8 ⎠
9 ⎠
10
⎝
⎝
P( X = 8) = 10 , P( X = 9) = 10 , P( X = 10) = ⎝ 10 ⎠
2
2
2
•
Probabilidad de que apruebe el examen:
⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
10
10
9
8
56
P( X i ) = ⎝ 10 ⎠ + ⎝ 10 ⎠ + ⎝ 10 ⎠ =
∑
1024
2
2
2
i =8
total
1
P(E1 , E 2 ,..., E10 ) = 10
2
de
éxitos
Cierto tipo de motor eléctrico falla por obstrucción de cojinetes, por
combustión del embobinado o por desgaste de las escobillas.
Suponga que la probabilidad de una obstrucción es doble que la de la
combustión, la cual es cuatro veces mas probable que la de la
combustión, la cual es cuatro veces mas probable que la inutilización
de las escobillas. ¿Cuál es la probabilidad de que la falla sea por cada
uno de estos mecanismos?
Solución:
•
De acuerdo a las hipótesis definamos los siguientes eventos.
O: e. obstrucción de los cojinetes
C: e. combustión del embobinado
D: e. desgaste de las escobillas
•
Condiciones del enunciado:
P(O ) = 2 P(C )
P(C ) = 4 P( D)
82
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
•
Propiedades, teoremas, etc.
O ∪ C ∪ D = S → P(O ∪ C ∪ D ) = P( S )
P(O) + P(C) + P(D) = 1
•
Por las condiciones establecidas:
2 P(C ) + P(C ) + 0.25P(C ) = 1
1
4
P(C) =
=
3.25 13
⎛4⎞ 8
P(O) = 2⎜ ⎟ =
⎝ 13 ⎠ 13
P(D) =
7.
1⎛ 4 ⎞ 1
⎜ ⎟=
4 ⎝ 13 ⎠ 13
Se ha cargado un dado para que la probabilidad de obtener 1, 2, 3, 4,
5 y 6 sea de 1/3, 1/4, 1/6, 1/12, 1/12 y 1/12, respectivamente.
Suponga que las propiedades usuales de la probabilidad son válidas
todavía en esta situación donde los sucesos no tienen la misma
probabilidad. Busque la probabilidad de obtener:
a) Un número par
b) Un número menor que cinco
c) Un número par o menor que cinco
Solución:
Sean los siguientes eventos según el enunciado
5
a)
A = {2,4,6}; P( A) = P(2) + P (4) + P(6) =
12
b)
B: e. número menor que 5, B = {1,2,3,4}
10
P ( B) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) =
12
c)
A ∪ B : e. de ser número para o menor que cinco
P ( A ∪ B ) = P ( A1 + P( B) − P ( A ∩ B)
( A ∩ B = {2,4,6} ∩ {1,2,3,4} = [2,4]
P( A ∪ B) =
5 10 ⎛ 1 1 ⎞ 11
+ −⎜ + ⎟ =
12 12 ⎝ 4 12 ⎠ 12
83
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
8.
Un dado se construye de tal forma que un 1 o un 2 ocurran dos veces
más frecuentemente que un 5, mismo que se presenta tres veces más
seguido que un 3, un 4 o un 6. Si el dado se lanza una vez, encuentre
la probabilidad de que :
a) El número sea par
b) El número sea un cuadrado perfecto
c) El número sea mayor que cuatro
Solución:
•
Según el enunciado asignemos la probabilidad w cuando
aparecen un 3, un 4 y un 6, cuando aparece 5 será 3w y cuando
aparece 1, 2 (3w), cuando aparece 2, 2(3w); tenemos luego las
asignaciones.
1
2
3
4
5
6
6w
6w
w
w
3w
w
•
a)
b)
c)
9.
La suma de las probabilidades debe ser igual a UNO ( P( S ) = 1)
1
6w + 6w + w + w + 3w + w = 1 ⇒ w =
18
8
P(P{2} ∪ {4} ∪ {6}) = P(2) + P(4) + P(6) =
18
7
P({1} ∪ {4}) = P(1) + P(4) =
18
4
P({5} ∪ {6}) = P(5) + P(6) =
18
Una red de comunicaciones tiene un sistema incorporado de
seguridad contra fallas. Si en este sistema falla la línea I, se utiliza la
línea II como emergencia, se utiliza la línea III como una desviación.
La Probabilidad de que falle cualquiera de las tres líneas es de 0.2, y
las fallas de estas tres líneas son independientes (excluyentes). ¿Cuál
es la probabilidad de que este sistema de tres líneas no falle
totalmente?
Solución:
•
Sean los eventos
F: e. falla en la línea I:
P(F)=0.2
E: e. emergencia la línea II;
P(E)=0.2
D: e. desviación de la línea III; P(D)=0.2
84
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
•
•
Para que el sistema no falle es necesario considerar los eventos
de no falla: F’, E’, D’. Luego se considera que al menos uno no
falle {F '∪ E '∪ D'}
Luego la probabilidad de no falla; P(F '∪ E '∪ D') y por la
propiedad de complementación e independencia de eventos:
P (F '∪ E '∪ D ') = P ( F ∩ E ∩ D)'
= 1 − P( F ∩ E ∩ D)
= 1 − P ( F )P( E ) P( E )
= 1 − (0.2) 3
P (F '∪ E '∪ D') = 0.992
10. La probabilidad de fallar cada una de las 4 piezas de un aparato
electrónico es de 0.001. Si el aparato funciona por lo menos con tres
piezas de las indicadas, hallar la probabilidad de que éste no funcione
si cada pieza se desarrolla en forma independiente.
Solución:
•
Sean los eventos de no falla: A1, A2, A3, A4, los cuales son
independientes.
•
El aparato funciona al menos con 3 piezas, esta hipótesis induce
a pensar que con 4 piezas también funciona luego.
•
Sea el evento el aparato funciona: F y F’ evento de que no
funciona.
A
B
C
D
F = ( A1 A2 A3 A4 ) ∪ (( A1 A2 A3 )A' 4 ) ∪ (( A1 A2 A4 )A'3 ) ∪ (( A1 A3 A4 )A' 2 )
E
∪ (( A2 A3 A4 )A'1 )
P ( F ) = P( A) + P( B) + P(C ) + P( D) + P( E ) = (0.999) + 4(0.999) 0.001
4
3
= 0.999994008
P ( F ' ) = 1 − 0.999994008 = 0.000001
11. Suponga que una promoción de 500 estudiantes, se encuentran
que210 fuman, que 258 toman bebidas alcohólicas que 216 toman
alimentos entre comidas, que 122 fuman y toman bebidas alcohólicas
que 83 toman alimentos entre comidas y también bebidas alcohólicas,
que 97 fuman y toman alimentos entre comidas y que 52 practican
85
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
estas tres dañinos hábitos. Si se escoge aleatoriamente a un miembro
de esta promoción, encuentre la probabilidad de que el estudiante.
a) Tome alimentos entre comidas e ingiera bebidas alcohólicas pero
no fume.
b) No fume y no tome alimentos entre comidas.
c) Realice exactamente uno de estos tres dañinos hábitos.
Solución:
F: e. de que estudiantes fuman
B: e. de que estudiantes toman bebidas alcohólicas
A: e. de que estudiantes toman alimentos entre comidas
S
a)
{( A ∩ B ) ∩ F '}
P(( A ∩ B ) ∩ F ') = P( A ∩ B ) − P( A ∩ B ∩ F )
=
210
F
83
52
31
−
=
500 500 500
97
52
83
216
b)
{F '∩ A'}
P(F '∩ A') = P(F ∪ A)' = 1 − P(F ∪ A)
= 1 − [P ( F ) + P( A) − P( F ∩ A)]
=
c)
B
122
258
A
171
500
Existen tres eventos posibles definidos del modo siguiente
M = ( F ∩ ( B ∪ A)' ), N = ( A ∩ ( F ∪ B )' ), Q = ( B ∩ ( F ∪ A)' )
Son eventos excluyentes mutuamente, luego:
P(M ∪ N ∪ Q ) = P(M ) + P( N ) + P(Q )
P(M ) = P(F )(1 − P( A ∪ B )) = 0.091560
P(Q ) = P(B )(1 − P(F ∪ A)) = 0.176472
P(M ∪ N ∪ Q ) = 0.401088 ≈ 0.4011
Como resumen podemos indicar que hemos presentado ejercicios de
aplicación sobre algebra de eventos, probabilidad de ocurrencia de
eventos y uso de teoremas fundamentales en probabilidad.
A continuación presento un esquema que nos toca desarrollar el cual
presenta el núcleo y la importancia de la probabilidad en sus diversas
aplicaciones prácticas; sin el conocimiento pleno de estos teoremas,
poco podríamos hacer en inferencia estadística en donde las ciencias
86
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
en general se apoyan para realizar inferencias, tomar decisiones y
predicciones de hechos experimentales o tratamiento de información
reales.
87
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
88
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Semana 7
PROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidad de ocurrencia de un evento tiene sentido cuando hemos
definido un espacio muestral específico.
Por ejemplo determinar la probabilidad de que un ingeniero gane al menos
S/.10,000 mensuales no tiene sentido si no hemos especificado el universo
o espacio muestral la que pertenece, tendrá sentido si solamente definimos
el espacio muestral esto es: a todos los ingenieros del Perú que forman parte
de la industria, a los que laboran en una universidad, etc.
•
La probabilidad de ocurrencia de un evento A referido o
acondicionado al espacio muestral S es:
S
P( A ∩ S )
P(S )
P ( A)
=
1
P ( A / S ) = P ( A)
P( A / S ) =
•
A
A∩ S = A
Consideremos el evento A referido o condicionado a otro evento B,
ambos inmersos en el espacio muestral S
S
P( A ∩ B )
P( A / B ) =
, P (B ) > 0
P (B )
A
B
A∩ B ≠ ∅
•
Es lógico que ambas probabilidades P( A ∩ B ) yP(B ) están referidas al
espacio muestral S.
Consideremos los siguientes ejemplos
a) Lancemos un dado y definamos el evento A de que salga 3 y
calculemos en probabilidad de ocurrencia P(A)
89
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Solución:
Espacio muestral S = {1,2,3,4,5,6}
Evento A = {3}
P ( A ∩ S ) P ( A) 1 / 6 1
=
=
=
P( A / S ) =
1
1
6
P(S )
b) Consideremos ahora el evento anterior A referido o condicionado
al evento B el cual está definido por los números impares.
Solución:
S = {1,2,3,4,5,6}
B = {1,3,5}
A ∩ B = {3}
A = {3}
P( A / B ) =
P( A ∩ B ) 1 / 6 1
=
=
3/ 6 3
P (B )
DEFINICIÓN.- Sean A y B eventos en S. La probabilidad condicional de un
evento A dado que ocurrió B, esté dado por
P( A ∩ B )
P( A / B ) =
, P (B ) > 0
P (B )
OBSERVACIÓN
1. La probabilidad condicional cumple con los tres axiomas de
probabilidad.
2. Cómo se muestra en el diagrama anterior utilizando la probabilidad
condicional definimos la probabilidad de un producto de eventos y la
independencia de eventos.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.
Consideremos el lanzamiento de un par de dados y definamos los
siguientes eventos en el espacio muestral S.
A = {( X , Y ) / X + Y ≥ 6}
B = {( X , Y ) / Y = X }
a)
b)
C = {( X , Y ) / 2 ≤ X + Y ≤ 8}
Presentar en un gráfico el conjunto de pares eventos dados.
Calcular las probabilidades: P( A ∩ B ), P( A ∪ C ), P( A / B ), P( A / C )
90
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Solución:
a) Espacio muestral por extensión; S = {(1,1), (1,2),..., (6,5), (6,6 )}
Espacio muestral por comprensión; S = {( X,Y ) / X = 1,2,...,6yY = 1,2,...,6}
como un entendimiento del ejemplo graficar {( X i , Y1 )}i = 1,2,...,6
y luego definir los eventos A, B y C por extensión.
b) Los eventos por extensión
A = {(5,1), (4,2), (3,3), (2,4),..., (6,6)}; n A = 26
B = {(1,1), (2,2),..., (6.6)}; n B = 6
C = {(1,1), (1,2),..., (6,1), (6,2)}; nc = 26
P( A ∩ B ) =
n A∩ B = 4
n A∩C = 16
n A∩ B
4
=
nS
36
P ( A ∩ B ) = P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B )
n
n
n
= A + B − A∩ B
nS nS
nS
26 6
4
+
−
36 36 36
28
=
36
P( A ∩ B ) 4 / 36 4
P( A / B ) =
=
=
P (B )
6 / 36 6
P( A ∩ C ) 16 / 36 16
P( A / C ) =
=
=
P(C )
26 / 36 26
=
2.
En un experimento para estudiar la relación entre la hipertensión y el
hábito de fumar; se recurrieron a los siguientes datos con180
individuos:
91
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Si se selecciona aleatoriamente a uno de estos individuos, encuentre la
probabilidad de que la persona:
a)
b)
c)
Experimente hipertensión, dado que es un fumador
empedernido.
Sea un no fumador, dado que no ha presentado problemas de
hipertensión.
Sea un hipertenso dado que no es fumador empedernido.
Solución:
Sean los eventos:
H: Evento de que el individuo sea hipertenso.
N: Evento de que el individuo sea no hipertenso.
E: Evento de que el individuo sea fumador empedernido.
F: Evento de que el individuo sea un no fumador.
M: Evento de que el individuo sea un fumador moderado.
a) H/E
P (H/E) = P (H∩E) = 30/180 = 30
P (E)
49/180
49
b) F/N
P (F/N) = P (F∩N) = 48/180 = 48
P (N)
93/180 93
c) H/E’
P (H/E’) = P (H∩E’) = P (H) – P (H∩E) = 87/180 – 30/180 = 57
P (E’)
1 – P (E)
1 - 49/180
131
3.
La probabilidad de que un vuelo de programación regular despegue a
tiempo es P (D) = 0.83; la de que llegue a tiempo es P(A) = 0.82 y la
que despegue y llegue a tiempo es P (D∩A) = 0.78. Encuentre la
probabilidad de que un avión:
a) Llegue a tiempo dado que despego a tiempo.
b) Despegue a tiempo dado que llego a tiempo.
c) No despegue a tiempo dado que no llego a tiempo.
Solución:
A: Evento de que el avión llegue a tiempo, P(A)
D: Evento de que el avión despegue a tiempo, P(D)
P (A) = 0.82
P (D) = 0.83
P (D∩A) = 0.78
92
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
a) {A/D}
P (A/D) = P (A∩D) = 0.78 = 78
P (D)
0.83 83
b) {D/A} P (D/A) = P (D∩A) = 0.78 = 78
P (A)
0.82 82
c) {D’/A’} P (D’/A’)= P (D’∩A’) = P (DUA)’ = 1 – (P (DUA)
P (A’)
P (A’)
1 - P (A)
= 1 – [P (D) + P (A) - (A∩D)] = 1 – [0.83 + 0.82 - 0.78]
1 – P (A)
1 – 0.82
= 1 – [0.87] = 0.13 = 13
0.18
0.18 18
4.
La probabilidad de que a un automóvil al que se le llena el tanque de
gasolina necesite también un cambio de aceite es de 0.25, la de que
requiera un Nuevo filtro de aceite es de 0.40 y de que haga falta tanto
un cambio de aceite como un Nuevo filtro es de 0.14
a)
b)
Si debe cambiar el aceite ¿Cual es la probabilidad de que
necesite un nuevo filtro?
Si necesita un filtro nuevo ¿Cuál es la probabilidad de que
requiera un cambio de aceite?
Solución:
Sean los eventos según enunciado del problema
A: e. cambio de aceite
; P(A) = 0.25
B: e. filtro nuevo
; P(F) = 0.40
A ∩ F : e. Cambio de aceite y filtro nueve ; P( A ∩ B ) = 0.14
a) Evento de que requiere filtro nuevo que cambia aceite: {F / A}
P( A ∩ F ) 0.14 14
P (F / A) =
=
=
P ( A)
0.25 25
b) Evento cambio de aceite dadoque requiere filtro nuevo: {A / F }
P( A ∩ F ) 0.14 7
P( A / F ) =
=
=
P (F )
0.40 20
5.
La probabilidad de que un vehículo que llega a Arequipa tenga placas
de Lima es de 0.14, de que sea para acampar, de 0.30 y la
probabilidad de que además tenga placas de Lima, de 0.10 ¿Cuál es la
probabilidad de que :
a) Un vehículo para acampar en Arequipa tenga placas de Lima?
b) Un vehículo con placas de Lima que llega a Arequipa sea para
acampar?
93
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
c)
Un vehículo que llega a Arequipa no sea para acampar o no
tenga placas de Lima?
Solución:
Sean los eventos según enunciado del problema
L : e. tenga placa de Lima
A : e. de acampar en Arequipa
L ∩ A : e. tenga placa de Lima y acampe en Arequipa
P(L ∩ A) = 0.10
a)
b)
c)
6.
; P( L) = 0.14
; P ( A) = 0.30
:
Tenga placa de Lima dado que va acampar: {L / A}
P(L ∩ A) 0.10 1
P (L / A) =
=
=
P ( A)
0.30 30
Acampe en Arequipa dado que tiene placa de Lima: {A / L}
P(L ∩ A) 0.10 5
P( A / L ) =
=
=
P (L )
0.14 7
El vehículo no acampa, ó no tiene placa de Lima: A'∪ L'
P( A'∪ L') = P(L ∩ A)' = 1 − P(L ∩ A) = 1 − 0.10 = 0.90
En el último año de la escuela, en un grupo de 100 alumnos se
encontró que 42 cursaron matemática, 68 psicología, 54 historia, 22
matemática e historia, 25 matemática y psicología, 7 historia pero no
matemática ni psicología, 10 las tres materias y 8 ninguna de las tres.
Si se selecciona un estudiante aleatoriamente, encuentre la
probabilidad de que:
Una persona inscrita en psicología haya estudiado las tres
materias.
b) Una persona que no se inscribió en psicología haya tomado
historia y matemática.
c) Una persona que no se inscribió en historia haya tomado
matemática y psicología.
S 100
Solución:
42
a)
Sean los eventos según el enunciado del problema
M: e. de que la persona estudie matemática
P: e. de que la persona estudie psicología
H: e. de que la persona estudie historia
94
M
22
H
P
25
68
10
7
54
8
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
a)
b)
{M ∩ P ∩ H / P}; P(M ∩ P ∩ H / P ) = P(M ∩ P ∩ H ) = 10 / 100 = 10
P (P )
68 / 100 68
{H ∩ M / P'}; P(H ∩ M / P') = P(H ∩ M ∩ P')
P (P ')
P ( H ∩ M ) − P ( H ∩ M ∩ P ')
=
1 − P (P )
22 / 100 − 10 / 100
1 − 68 / 100
12
=
32
P ( M ∩ P ∩ H ')
M ∩P
→ P M ∩P
=
H'
H'
P ( H ')
P( M ∩ P)′ P( M ∩ P ∩ H ) 15
=
=
1 − P( H )
46
=
c)
{
}
(
)
PROBABILIDAD DE MULTIPLICACIÓN DE EVENTOS
Como habíamos presentado en el esquema luego de la probabilidad
condicional se prosigue con la multiplicación de eventos como indicamos
seguidamente
P ( A ∩ B ) = P (B )P ( A / B ).
P( A ∩ B )
ο'
⇒
P( A / B ) =
P (B )
P (B ∩ A) = P ( A)P (B / A)
Por la conmutatividad de eventos: A ∩ B = B ∩ A ⇒ P( A ∩ B ) = P(B ∩ A)
DEFINICIÓN.- Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B
entonces
P( A ∩ B ) = P(B )P( A / B )
Esta definición podemos extenderla a k eventos: A1,A2,…,Ak
P ( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ AK ) = P( A1 )P( A2 / A1 )P( A3 / A1 ∩ A2 )...P( AK / A1 ∩ ... ∩ AK −1 )
95
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.
El supervisor de un grupo de 20 técnicos pide la opinión de dos de
ellos (seleccionados al azar) sobre las nuevas disposiciones de
seguridad en la construcción. Si doce están a favor de las nuevas
disposiciones y los ocho restantes están en contra, ¿cuál es la
probabilidad de que ambos trabajadores elegidos por el supervisor
estén en contra de las nuevas disposiciones?
Solución:
Sean los eventos de acuerdo al enunciado del problema
A: e. de que el primer técnico esté en contra de las nuevas
disposiciones.
B: e. de que el segundo técnico esté en contra de las nuevas
disposiciones.
12 a favor
Opiniones 20
8 en contra
A ∩ B : e. los dos contra
8 7
P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B / A) = ×
20 9
8
P ( A) =
Probabilidad del primer técnico en contra
20
7
P (B / A) =
Probabilidad de que el segundo esté en contra dado que
19
el primero lo estuvo.
2.
La probabilidad de que una persona que visita a su dentista requiera
de una placa de rayos X es 0.6; la de que una persona a la que se le
toma una placa de rayos X también tenga un tapón, de 0.3 y la que
una persona que se toma una placa de rayos X y que tiene un tapón,
tenga también un diente extraído, de 0.1 ¿cuál s la probabilidad de
que a una persona que visita a su dentista se le tome una placa
radiográfica, presente un tapón y se le haya extraído un cliente?
Solución
Sean los eventos de acuerdo al enunciado.
X: e. de que una persona tenga placa de rayos x
T: e. de que la persona tenga tapón
D: e. de que la persona tenga diente extraído
Probabilidades según condiciones
P( X ) = 0.6, P(T / X ) = 0.3, P(D / X ∩ T ) = 0.1
96
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Probabilidad conjunta de ocurrencia de los tres eventos
P( X ∩ T ∩ D ) = P( X )P(T / X )P(D / X ∩ T ) = 0.6 × 0.3 × 0.1 = 0.018
3.
Suponga que un impulso eléctrico debe pasar del punto I al II para
producir una señal. Para llegar al punto II debe pasar por dos
componentes electrónicos E1 y E2. La trayectoria del impulso se
interrumpe si falla cualquiera de los componentes. La probabilidad de
que el componente E1 no falle es de 0.7 y la probabilidad de que el
componente E2 no falle es de 0.8. Además, la probabilidad de que al
menos uno no falle es de 0.94 ¿cuál es la probabilidad de que la señal
se produzca?
Solución
Sean los eventos según el enunciado
E1: e. de que no falle; P(E1)=0.7
E2: e. de que no falle; P(E2)=0.8
E1 ∪ E2: e. de que alumnos uno no falle; P(E1 ∪ E 2 ) = 0.94
P(E1 ∪ E 2 ) = P(E1 ) + P(E 2 ) − P(E1 ∩ E 2 )
0.94 = 0.7 × 0.8 − P(E1 ∩ E 2 )
P(E1 ∩ E 2 ) = 0.7 + 0.8 − 0.94 = 0.56
4.
Supóngase que se tiene una caja de fusibles que contiene 20 piezas de
las cuales 5estan defectuosos. Si se seleccionan 2 al azar y se sacan de
la caja en sucesión sin reemplazo del primero. ¿Cuál es la
probabilidad de que ambas fusibles resulten defectuosos?
Solución:
1ero
Sin reposición
2do
97
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
D1: evento de que el primer fusible sea defectuoso.
D2: evento de que el segundo fusible sea defectuoso.
Dependencia de Eventos:
P ( D1 ∩ D 2 ) = P ( D1 ) P ( D 2 / D1 )
=
5.
5
4
1
=
*
20 19 19
Encuentre la probabilidad de que se seleccionen aleatoriamente, en
sucesión, 4 litros de leche en condiciones de tomarse de un
congelador que tiene 20 litros, de los cuales 5 se han echado a perder.
Solución:
o
Total de litros en el congelador: 20
o
Litros de leche malograda: 5
o
Litros de leche consumible: 20 – 5 = 15
™ Eventos de extracción aleatoria de litros de leche en buenas
condiciones: A1: Evento de extraer el 1er litro
A2: Evento de extraer el 2do litro
A3: Evento de extraer el 3er litro
A4: Evento de extraer el 4to litro
a)
Probabilidad de ocurrencia de extracción de los 4 litros de leche
extraídos uno a uno:
P ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ) = P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P ( A3 / A1 ∩ A2 ) P ( A4 / A1 ∩ A2 ∩ A3 )
15 14 13 12
91
×
×
×
=
20 19 18 17
323
™ El teorema de la multiplicación de eventos podemos
extenderlo a n eventos A |
, luego la
i i = 1,........, n
probabilidad de ocurrencia de estos eventos es:
P ( A1 ∩ A 2 ∩ .......... .. ∩ A n ) > 0 el cual se define por:
P ( A1 ∩ A 2 ∩ .... ∩ A n ) = P ( A1 ) P ( A 2 / A1 ).....
... P ( A n / A1 ∩ A 2 ∩ .... ∩ A n −1 )
98
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
b) Utilizando el análisis combinatorio y la definición clásica de
probabilidad:
• Posibilidades de elección de cuatro litros de leche en
condiciones de tomarse entre 20 litros en donde existen 5 en
20
20!
C
mal estado : 4 =
4! 16!
• Si 5 están en mal estado, buenos habrán 20 - 5 = 15
posibilidades
de
elegir
4
en
condiciones
de
15
!
15
tomarse. C14 =
4! 11!
C415
91
• P (tomar los 4 litros de leche)
=
20
C4
323
99
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
100
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Semana 8
PROBABILIDAD DE INDEPENDENCIA DE EVENTOS
Como habíamos ya presentado en el esquema; en general dos eventos Ay B
son independientes cuando uno no depende del otro por ejemplo
P( A / B) = P( A) o P(B / A) = P(B ) , en consecuencia podemos formular
P( A ∩ B ) = P(B )P( A / B ) = P(B )P( A)
o'
P(B ∩ A) = P( A) P( B / A) = P ( A) P ( B )
DEFINICIÓN.- dos eventos A y B son independientes si y solo si
P( A ∩ B ) = P( A)P(B ) utilizando la probabilidad de multiplicación de K
eventos, podemos obtener la probabilidad para k eventos independientes.
P( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ AK ) = P( A1 ) P( A2 )...P( AK )
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.
Un pueblo tiene dos carros de bomberos que operan
independientemente. La probabilidad de que un vehículo específico
esté disponible cuando se necesite es de 0.96.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno esté disponible en caso
necesario?
b) ¿Cuál la de que alguno lo esté cuando se le necesite?
Solución:
Sean los eventos según enunciado del problema
A1: e. de que el carro 1 esté disponible; P(A1)=0.96
A1: e. de que el carro 2 esté disponible; P(A2)=0.96
A1 y A2 eventos independientes, luego P(A1 ∩ A2)=P(A1) P(A2)
a)
{A'1 ∩ A' 2 }; P( A'1 ∩ A' 2 ) = P( A1 ∪ A2 )' = 1 − P( A1 ∪ A2 )
= 1 − [P( A1 ) + P( A2 ) − P( A1 ∩ A2 )]
= 1 - [0.96 + 0.96 - 0.96 × 0.96]
= 0.0016
101
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
{A1 ∪ A2 }; P( A1 ∪ A2 ) = P( A1 ) + P( A2 ) − P( A1 ∩ A2 )
= 0.63 + 0.96 - 0.96 × 0.96
= 0.9984
b)
2.
La probabilidad de fallar cada una de las 4 piezas de un aparato
electrónico es de 0.001. Si el aparato funciona por lo menos con tres
piezas de las piezas indicadas, hallar la probabilidad de que este no
funcione si cada pieza se desarrolla en forma independiente.
Solución:
Sean los eventos A1, A2, A3, A4, que representan las piezas electrónicas
elegidas al azar e independientes.
•
Las piezas {Ai }i =1,...4 : eventos de que falle P( Ai ) = 0.001
Evento de que no falle P( A'i ) = 0.999
•
•
E: e. de que el aparato funcione por lo menos con 3
piezas E ' : e. de que el aparato no funcione
E ∪ E ' = S , P ( E ') = 1 − P ( E )
E = A'1 A'2 A'3 A'4 ∪A1A'2 A'3 A'4 ∪A'1 A2 A'3 A'4 ∪A'1 A'2 A3A'4 ∪A'1 A'2 A'3 A4
M
N
O
P
Q
P(E ) = P(M ) + P( N ) + P(O) + P(P ) + P(Q) = 0.9994 + 0.9993 × 0.001× 4
P( E ' ) = 1 − 0.000005992003 = 0.000006
3.
Supóngase que en los circuitos de la figura a) y b) la probabilidad de
que cada uno de los interruptores automáticos estén cerrados es p y
que
todos
los
interruptores
automáticos
funcionan
independientemente. ¿cuál es la probabilidad de que pase corriente I
a O?
102
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Solución:
a) Según el circuito podemos b) Según el circuito podemos
definir 5 eventos Ai por donde
definir 6 eventos Ai por donde
pasa corriente I a O
pasa corriente de I a O
4.
{( A4 ∩ A5 ) ∪ A3 ∪ ( A1 ∩ A2 )}
P{( A4 ∩ A5 ) ∪ A3 ∪ ( A1 ∩ A2 }
(( A1 ∩ A2 ) ∪ A3 ) ∪ (( A5 ∩ A6 ) ∪ A4 )
P(( A1 ∩ A2 ) ∪ A3 ) ∪ (( A5 ∩ A6 ) ∪ A4
= P + 2P 2 − 2P 3 − P 4 + P 5
= P + 3P 2 − 4 P 3 − P 4 + 3P 5 − P 6
Tres equipos de radar que trabajan de manera independiente están
disponibles para detectar cualquier avión que vuele sobre cierta área.
Cada equipo tiene una probabilidad de 0.02 de no detectar un avión
que vuele en el área, si un avión entra por casualidad al área
a)
b)
¿Cuál es la probabilidad de que no sea detectado?
¿Cuál es la probabilidad de que sea detectado por los tres
equipos de radar?
Solución:
Sean los tres equipos de radar constituidos por los eventos
A1, A2, A3: e. que detectan a cualquier avión independientemente
P(A1)= P(A2)= P(A3)= 0.02, probabilidad de no detectar
a)
b)
Probabilidad conjunta: P(A1 A2 A3)=(0.02)3 de no detectar.
Probabilidad de detectar: P(A’1 A’2 A’3)=(0.98)3
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
Sean A1 , A2 ,.........., An una partición del espacio muestral S tal que la
probabilidad de Ai sea mayor que cero si la P( Ai ) > 0 entonces para
n
cualquier evento B en S se tiene que: P(B ) = ∑ P( Ai )P(B / Ai )
i =1
103
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
DEMOSTRACIÓN:
P(Ai) →
A1
A2 ………… Ai
……………An
B
P(B/Ai) →
B = ( A1 ∩ B ) ∪ ( A2 ∩ B ) ∪ .........( An ∩ B )
P(B ) = P( A1 ∩ B ) + P( A2 ∩ B ) + ........ + ( An ∩ B )
= P( A1 )P(B / A1 ) + P( A2 )P(B / A2 ) + .................... + P( An )P(B / An )
n
P(B ) = ∑ P( Ai )P(B / Ai )
i =1
EJEMPLO DE APLICACIÓN: Supongamos que una planta de
ensamblado recibe reguladores de voltaje de 3 diferentes proveedores:
60% del proveedor A1, 30% del proveedor A2, 10% del proveedor A3.
Si el 95% de los reguladores de voltaje que provienen de A1, 80% de
los reguladores de voltaje que provienen de A2, 65% de los
reguladores de voltaje que provienen de A3 tienen un rendimiento de
acuerdo a las especificaciones nos agradaría saber la probabilidad de
que cualquier regulador recibido por la planta dé un rendimiento
según las especificaciones:
Solución:
P(Ai) →
A1
A2
A3
0.60
0.30
0.10
B
P(B/Ai) →
0.95
Sean los eventos:
0.80
104
0.65
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
A1: Evento de que el regulador provenga del proveedor 1
A2: Evento de que el regulador provenga del proveedor 2
A3: Evento de que el regulador provenga del proveedor 3
B: Evento de que el regulador recibido cumpla
especificaciones
con
las
3
P(B ) = ∑ P( Ai )P(B / Ai )
i =1
= P( A1 )P(B / A1 ) + P( A2 )P(B / A 2 ) + P( A3 )P(B / A3 )
= 0.60 × 0.95 + 0.30 × 0.80 + 0.10 × 0.65
P(B ) = 0.875
TEOREMA DE BAYES
Si A1, A2, ……. …….. An son eventos mutuamente excluyentes de los
cuales uno debe ocurrir entonces:
P( Ai / B ) =
P( Ai ∩ B )
P( Ai )P(B / Ai )
=
; i = 1,2,....., n
P (B )
∑ P( Ai )P(B / Ai )
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Usando el ejemplo anterior podemos responder a la siguiente inquietud.
Si deseamos saber la probabilidad de que un regulador de voltaje específico
cuyo rendimiento corresponde a las especificaciones este provenga del
proveedor A3, A2, A1
Solución:
P( A3 / B ) =
P( A3 )P(B / A3 ) 0.10 × 0.65
=
= 0.0743
P (B )
0.875
P( A2 / B ) =
P( A2 )P(B / A2 ) 0.30 × 0.80
=
= 0.2743
P (B )
0.875
P( A1 / B ) =
P( A1 )P(B / A1 ) 0.60 × 0.95
=
= 0.6514
P(B )
0.875
¿Cuál de ellos elegiría como proveedor? ¿Y cuál no?
105
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
1.
La policía planea reforzar el respeto a los limites de velocidad
mediante la utilización de sistema de radar en 4 diferentes sitios de la
cuidad. Los sistemas de radar en cada sitio L1, L2, L3, y L4 se ponen a
funcionar respectivamente el 40%, 30%, 20% y 30% del tiempo, y si
una persona que conduce a gran velocidad rumbo a su trabajo tiene,
respectivamente, las probabilidades de 0.2, 0.1, 0.5 y 0.2 de pasar por
alguno de estos sitios, ¿Cuál es la probabilidad de que le levanten una
multa?
• Si una persona que va a gran velocidad rumbo a su trabajo, ¿Cuál es
la probabilidad de que pasa por el radar en L2?
Solución:
L1
0.40
P(Li)
L2
0.30
L3
0.20
L4
0.30
M
0.2
P(M/Li)
0.1
0.5
0.2
Li: Evento de que el vehículo pase por el radar Li.
M: Evento de que le apliquen una multa.
P (M) = ∑ P(Li) P(M/Li)
= P(L1) P(M/L1) + P(L2) P(M/L2) + P(L3) P (M/L3) + P(L4) P(M/L4)
= 0.40 * 0.20 + 0.30 * 0.10 + 0.20 * 0.50 + 0.3 * 0.2
= 0.27
2.
Si en el ejercicio 1 la persona recibe una infracción por conducir a
gran velocidad rumbo a su trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de que
haya pasado el radar que se localiza en el sitio L2?
Solución:
=
=
106
=
= 0.11
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
3.
En una cierta región del país se sabe que por experiencia pasada que
la probabilidad de seleccionar a un adulto mayor de 40 años de edad
con cáncer es de 0.02. Si la probabilidad de que un medico le
diagnostique correctamente a una persona con cáncer que tiene la
enfermedad es de 0.75 y la de que se equivoque de 0.06. ¿Cuál es la
probabilidad de que una persona se le diagnóstica cáncer?
Solución:
C: Evento de que una persona tenga cáncer.
C’: Evento de que una persona no tenga cáncer.
D: Evento del diagnostico.
P(C) = 0.02, P(C’) = 0.98
P(D) = P(C) P(D/C) + P(C’) P(D/C’)
= 0.02 * 0.78 + 0.98 *0.06
= 0.0156 + 0.0588
= 0.0744
4.
En referencia del ejercicio 3 ¿Cuál es la probabilidad de que a una
persona a la que se le diagnostica cáncer, verdaderamente tenga la
enfermedad?
Solución:
P(C) = P(C) P(D/C) = 0.02 * 0.78 = 0.2097
P(D)
0.0744
P(C’/D) = P(C’) P(D/C) = 0.98 * 0.06 = 0.7903
P(D)
0.0744
107
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
EJERCICIOS PROPUESTOS
I. ESPACIOS MUÉSTRALES Y EVENTOS
1. ¿Cuál es el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios?
a) Lanzar un par de dados distinguibles y observar, los números
resultantes.
b) Lanzar un par de dados no distinguibles y observar, los números
resultantes.
c) Se fabrica un tubo de rayos catódicos y se somete a una prueba de
duración hasta que se presenta una falla. Enseguida se registra el
tiempo (en horas) de buen funcionamiento.
d) Dos soldaduras de amarre sobre una tablilla de circuito impreso se
inspeccionan electrónicamente y visualmente y cada una de ellas se
cataloga como buena (G) o defectuosa (D) si quiere soldarse o
desecharse.
e) Se prueban diodos de un lote, de uno en uno, y se marcan como
defectuosos y no defectuosos. Esto prosigue hasta encontrar dos
artículos defectuosos o haber probado cinco artículos.
f) Los pacientes que llegan a una clínica pueden seleccionar una de las
tres secciones donde se les atenderá. Supongamos que los médicos
se asignan al azar a las secciones y que los pacientes no tienen
preferencia especial por ninguna de las secciones. Tres pacientes a
las clínica y se registra la sección que elijan.
2. Supongamos que en un estudio efectuado con 900 profesionales, 25
años después de su graduación, se descubre lo siguiente: 300 de ellos
tuvieron éxito profesional, 300 estudiaron teoría de probabilidades en su
carrera y 100 tuvieron éxito y estudiaron teoría de probabilidades en la
carrera. Encuentre para k=0, 1, 2 el número de personas del grupo que
hayan hecho estas dos cosas:
a) Exactamente k
b) Por lo menos k
c) No más de k
3. En una ciudad se publican tres periódicos: A, B, C. Supongamos que
60% de las familias de la cuidad están suscritas al periódico A; 40% al
periódico B; 30% al periódico C. Supóngase también que 20% de las
familias están suscritas a los periódicos A y B; 10% al A y C; 20% al B y
C; y 5% a los tres periódicos A, B y C ¿Qué porcentaje de las familias de
la ciudad están suscritas a uno de estos tres periódicos?
108
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
4. Un agente visita tres clientes para tratar de venderles un artículo. Sean
A, B y C los siguientes eventos:
A:”el primer cliente compro el articulo”
B:”el segundo cliente compro el articulo”
C:”el tercer cliente compro el articulo”
Indicar el evento: “Al menos dos clientes compraron”
5. Considere el siguiente ensayo. Se realizan tres exámenes de admisión al
ITESM. Si A es el evento “se aprobó el primer examen realizado”, B es el
evento “el segundo examen revisado resulto aprobado”, y C es el evento
“el tercer examen revisado resulto aprobado”, represente el evento “Solo
un examen fue aprobado” en términos de los eventos A, B y C.
6. Sea A, B y C los eventos. Represente en términos de A, B y C los
siguientes eventos:
a) Ocurre solo A
b) Ocurre solo A y B
c) Ocurren los tres eventos
d) Por lo menos ocurre un evento
7. Sean A, B y C tres sucesos arbitrarios. Encontrar las expresiones para los
sucesos consistentes en que entre A, B y C.
a) Se ha producido solamente A
b) Se ha producido A y B, en tanto C no se ha producido
c) Se han producido los tres sucesos.
d) Se han producido al menos uno de los sucesos.
e) No se ha producido ninguno de los sucesos.
8. Encontrar expresiones simples de:
a) ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ B C )
b) ( A ∪ B ) ∩ ( AC ∪ B ) ∩ ( A ∪ B C )
c) ( A ∪ B ) ∩ ( B ∪ C )
9. Demostrar que los eventos A y B son iguales si:
a) A ∪ C = B ∪ C y A ∩ C = B ∩ C
b) A ∪ C = B ∪ C y A ∪ C C = B ∪ C C
109
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
10. Sean A, B, C y D los eventos y sea X = ( A ∩ B ) ∪ ( AC ∩ C ) ,
Y = ( AC ∩ B ) ∪ ( A ∩ D )
C
Z = ⎡( A ∪ B) ∩ C ⎤ ∪ ( A ∩ B ∩ D) .
⎣
⎦
Demostrar que para cualquier evento D.
a) A ∩ X = A ∩ B
b) A ∪ Y = A ∪ B
c) ( A ∩ B ) ∪ Z = ( A ∪ B ) ∩ (B ∪ C )
II. PROBABILIDAD CLÁSICA
1. Se ha cargado un dado para que las probabilidades de obtener 1, 2, 3,
4, 5 y 6 sean de 1/3, 1/4, 1/6, 1/12, 1/12 y 1/12, respectivamente.
Suponga que las propiedades usuales de la probabilidad son validas
todavía en esta situación, donde los sucesos no tienen la misma
probabilidad. Busque la probabilidad de obtener:
a) Un número par.
b) Un número menor que cinco.
c) Un numero par o menor que cinco.
2. Se lanza una moneda cuatro veces. Encuéntrese la probabilidad de que:
a) Jamás obtener cara.
b) Obtener al menos una cruz.
c) Obtener tres caras.
3. Un monedero contiene tres monedas de 5 centavos, una de 10, una de
25 y una de medio dólar. Si se sacan al azar 3 monedas del monedero.
¿Cuál es la probabilidad de que su valor sea:
a) 15 centavos?
b) 40 centavos?
c) Un dólar?
d) Mas de 50 centavos?
4. Si se lanzan juntos 3 dados, ¿Cuál es la probabilidad de que el total sea:
a) 18?
b) 16?
c) Mayor que cuatro?
110
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
5. Se lanza una moneda y un dado. Supóngase que una cara de la moneda
tiene un numero 1 y la otra un 2. Elaborar una lista de los resultados
posibles del experimento. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga:
a) Un total de cuatro?
b) Un total par?
c) Un total impar?
6. Suponga lo siguiente: la probabilidad de que un habitante de la ciudad
de México sea mayor de 40 años o tenga calvicie es de 0.4. Si la
probabilidad de que sea mayor de 40 años es de 0.5 y la probabilidad
de que tenga calvicie es 0.3 ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor
de 40 años y calvo?
7. Las probabilidades de que una compañía de grúas responda a 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, o menos de 7 llamadas de urgencia de conductores durante
una tormenta son: 0.03, 0.10, 0.17, 0.25, 0.19, 0.13, 0.09, y 0.04.
¿Cuáles son las probabilidades que durante una tormenta una compañía
de grúas responda a:
a) Cuando mucho cinco llamadas?
b) Cuando menos tres llamadas?
c) De dos a cuatro llamadas?
8. Un paquete de seis focos tiene dos piezas defectuosas. Si se
seleccionan tres focos para su uso, calcular la probabilidad de que
ninguno tenga defectos.
9. Un ingeniero de una fábrica de microcircuitos inspeccionará un lote de
obleas de silicio para tratar de encontrarles defectos. Suponer que hay 4
circuitos integrados defectuosos en un recipiente que contiene 20
obleas: Para esa inspección se seleccionan 2 obleas al azar. Calcular la
probabilidad de que:
a) Ninguna de ellas tenga defectos.
b) Por lo menos una de las dos no tenga defectos.
10.- La probabilidad de que un inspector de una fabrica de tejidos clasifique
un suéter como imperfecto, de segunda calidad o tercera calidad es
0.04, 0.02 o 0.01, respectivamente. ¿Cual es la probabilidad de que un
suéter reciba una u otra de estas 3 clasificaciones?
111
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
11. Las probabilidades de que un estudiante obtenga una A, una B o una C
en un curso de contabilidad son de 0.08, 014 y 0.045 respectivamente
¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante reciba una clasificación
mas baja que C ? (A>B>C)
12. Un criador de animales mete un novillo y un caballo a un concurso en
la feria del estado, El cree que las probabilidades de que gane una
banda con su novillo, con su caballo o con ambos son 0.25, 0.19 y
0.16 ¿Cuáles son las probabilidades de que gane:
a) Con el novillo o con el caballo?
b) Ni con el novillo ni con el caballo?
c) Con el novillo pero no con el caballo?
13. La probabilidad de que un hombre siga vivo dentro de 25 años es de
3/5 y la de que su esposa los esté es de 2/3. Hallar la probabilidad de
que en ese momento:
a) Ambos estén vivos.
b) Solo el hombre viva.
c) Solo viva la esposa.
d) Al menos uno este vivo.
14.- Supóngase que la probabilidad de que el sistema de control utilizado
en una nave espacial no funcione en un vuelo concreto e de 0.001:
Asimismo, supóngase que la nave también tiene instalado un segundo
sistema de control idéntico, pero completamente independiente del
primero, que toma el control cuando el primero falla. Determine la
probabilidad de que en un vuelo concreto la nave espacial este bajo
control, ya sea por el sistema original o por el sistema duplicado.
15. Cierto tipo de motor eléctrico falla por obstrucción de cojinetes por
combustión del embobinado o por desgaste de las escobillas. Suponga
que la probabilidad de la obstrucción es doble que la de la combustión,
la cual es 4 veces más probable que la inutilización de la escobilla
¿cual es la probabilidad de que la falla sea por cada uno de estos
mecanismos?
16. Suponga que se tienen 2 eventos A y B tal que
P( A) = 2 5 , P( B ) = 2 5 y P( A∪ B ) = 1 2 obtener P( A∩ B )
112
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
17. En el colegio Madrid, los cursos de ingles e historia son obligatorios.
En el primer intento 30 % de estudiantes reprueba ingles, 20 %
reprueba historia y el 8% reprueba ambas asignaturas. Encuentre:
a) La probabilidad de que un estudiante repruebe uno o el otro.
b) La probabilidad de que un estudiante repruebe ingles dado que ya ha
reprobado historia.
18. Con base en experiencias pasadas, un corredor de bolsa considera que
bajo las condiciones económicas actuales un cliente invertirá con una
probabilidad de 0.6 en bonos libre de impuestos, en fondos mutualistas
con una probabilidad de 0.3 y en ambos instrumentos con una
probabilidad de 0.15. En ese momento, encuentra la probabilidad de
que el cliente invierta:
a) Ya sea en bonos libre de impuestos o en fondos mutualistas.
b) En ninguno de los dos instrumentos.
19. La probabilidad de que el señor Jiménez invierta en acciones comunes
A es de 0.20, en acciones comunes B es de 0.30, y en ambas de 0.10
¿cual es la probabilidad de que no invierta ni en A ni en B?
20. Suponga que una bolsa contiene 10 esferas marcadas con los números
1, 2, 3,……, 10. Sea E el evento de extraer una esfera marcada con un
numero par y F el evento de extraer una esfera marcada con un numero
5 o mayor, ¿son E y F mutuamente excluyentes? Calcule P( EUF)
21. Tenemos como datos las probabilidades de los eventos A y A∩B.
Calcular
P A∩ B C
(
)
22. Sean A y B dos eventos. Demuestre que: P AC ∩ BC = 1 − P( A) − P( B ) + P( A∩ B )
(
)
23. Demostrar que para los eventos A y B cualesquiera
P( A ∩ B ) − P( A)P( B) = P (A C )P( B) − P(A C ∩ B ) = P( A) P( B C ) − P(A ∩ B C )
24. Demostrar que P( A∩ B ) ≤ P( A) ≤ P( A∪ B ) ≤ P( A) + P( B )
113
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
25. Demostrar que para cualquiera de los eventos A y B:
P( A∩ B ) ≥ P( A) + P( B ) − 1
La probabilidad de que suceda exactamente uno de los eventos es:
P( A) + P( B ) − 2 P( A∩ B )
III. PROBABILIDAD CONDICIONAL Y EVENTOS INDEPENDIENTES
1. Supóngase que A y B son 2 eventos independientes asociados con un
experimento. Si la probabilidad de que A o B ocurra es igual a 0.6,
mientras que la probabilidad de que A ocurra es igual a 0.4, determine
la probabilidad de que B ocurra.
2. Supóngase que A y B son 2 eventos tales que P(A) = 1/3, P(B) =1/5 y
P(A/B) + P(B/A) = 2/3. Calcular P AC ∪ BC
(
)
3. Se sabe que P(A) = 1/3, P(A/B) = 1/3, P(B/A) = 1/3. Determinar cuales
de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
a) A y B son independientes
b) A ⊂ B
c) A y B son mutuamente excluyentes
d) P AC BC = 2 3
(
)
4. Dados P( A) = 0.4 , P( B A) = 0.3 , P BC
(
AC
)
= 0.2
a) P AC
( )
b) P B
(
AC
)
c) P( B )
d) P( A∩ B )
e) P( A B )
5. La probabilidad de que una compañía emplee una nueva estrategia de
mercado es de 0.54, la probabilidad de que al nueva estrategia de
mercado sea adoptada y que las ventas crezcan a los niveles
proyectados es de 0.39 ¿Cuál es la probabilidad de que si la nueva
compañía emplea la nueva estrategia de ventas y que las venta crezcan
a los niveles proyectados?
114
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
6. Ocho boletos con los números 111, 121, 122, 122, 211, 212, 212, 221
están dentro de un sombrero, revuelto. Si se va a seleccionar uno al
azar, muéstrese que los eventos A: “El primer digito del boleto
seleccionado será 1”; B: “El segundo digito del boleto seleccionado será
12”; C: “El tercer digito del boleto seleccionado será 1”, no son
independientes por parejas aun cuando: P( A∩ B ∩C ) = P( A) P( B ) P( C )
7. Demuéstrese que si A y B son eventos independientes, entonces:
a) A y B C
b) AC y B
c) AC y B C
Son eventos independientes
8. Consideremos una muestra de tamaño tres, extraída de la siguiente
manera. Se empieza con una urna que contiene cinco bolas de color
blanco y siete de color rojo. En cada ensayo se extrae una bola y se
anota su color. La bola extraída se devuelve a la urna junto con una
bola adicional del mismo color. Encuentre la probabilidad de que entre
los colores anotados, la muestra tenga:
a) Cero bolas de color blanco
b) Una bola de color blanco
c) Tres bolas de color blanco
9. Dado
un
experimento,
Ω = {W 1, W 2, W 3, W 4, W 5} ;
cuyo
espacio
con
muestra
es:
P(W1)=1/8,
P(W2)=P(W3)=P(W4)=3/16 y P(W5)=5/16. Consideramos los eventos
A1={ W1, W2, W3}, A2 = { W1, W2, W4}y A3 = { W1, W3,
W4}. Demostrar que los eventos A1, A2 y A3 satisfacen la igualdad
P( A1∩A2∩A3) = P( A1) P( A2) P( A3) , pero no son independientes.
10. Considere el diagrama de un sistema electrónico que muestra las
probabilidades de que los componentes del sistema operen de, modo
apropiado, ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema opere si el
ensamble III, y al menos uno de los componentes en los ensambles I y
II deben operar para que funcione el ensamble? Suponga que los
componentes de cada ensamble operan independientemente que la
operación de cada ensamble también es independiente.
115
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
0.8
0.8
0.9
0.99
0.9
0.9
I
II
III
11. Tres estudiantes A, B y C están inscritos en la misma clase. Supóngase
que A asiste a clase 30% de las veces, B 5% y C 80%. Si estos
estudiantes asisten a clase independientemente uno del otro, ¿Cuál es la
probabilidad de que:
a) Al menos uno de ellos este en clase un día concreto?
b) Exactamente uno de ellos este en clase un día concreto?
12. Considere el segmento de un circuito eléctrico con tres relevadores. La
corriente pasa de (a) a (b) si por lo menos hay una trayectoria cerrada
cuando los relevadores se cierran. Sin embargo, los relevadores podrían
no trabajar bien. Suponer que cierran en forma correcta solo con una
probabilidad de 0.9 cuando se acciona el interruptor, y que trabajan en
forma independiente uno del otro. Sea A el evento que denota que la
corriente pasa de (a) a (b) cuando los relevadores se cierran.
a) Calcular P(A)
b) Calcular la probabilidad de que el relevador 1 cierre en forma
correcta,
dado que se sabe que la corriente pasa de (a) a (b).
1
2
a
b
3
116
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
13. De las personas que llegan a un aeropuerto pequeño, 60% vuela en
aerolíneas grandes, 30% en aeroplanos privados y 10% en aeroplanos
comerciales que no pertenecen a una aerolínea. De las personas que
llegan por las aerolíneas principales, 50% viajan por negocios mientras
que esta cifra es de 60% para los que llegan en aeroplanos privados y
de 90% para, los que llegan en otros aviones comerciales. Para una
persona que se seleccione al azar de entre un grupo de llegadas,
calcular la probabilidad de que:
a) La persona este en viaje de negocios
b) La persona este en viaje de negocios y llegue en un aeroplano
privado
c) La persona este en viaje de negocios y se sabe que llego en un
aeroplano comercial
d) La persona ha llegado en un aeroplano privado, dado que viaja por
negocios
14. La probabilidad de que un hombre casado vea un cierto programa de
televisión es de 0.4 y la de que una mujer del mismo estado civil lo
haga es de 0.5.- La probabilidad de que un hombre ve el programa
dado que su esposa lo hace es de 0.7. Encuentre la probabilidad de
que:
a) Una pareja de casados vea el programa.
b) Una esposa vea el programa dado que su esposo lo hace.
c) Al menos una persona de un matrimonio vea el programa.
15. Para parejas de casados que viven en cierta ciudad de los suburbios, la
probabilidad de que el esposo vote en alguna elección es de 0.21; la de
que la esposa lo haga, de 0.28 y la de que ambos voten, de 0.15. ¿Cuál
es la probabilidad de que:
a) Al menos un miembro de la pareja de casados vote?
b) Vote una esposa, dado que su esposo lo hace?
c) Vote un esposo, dado que su esposa no lo hace?
16. La probabilidad de que una persona que visita a su dentista requiera de
una placa de rayos X es de 0.6; la de que una persona a la que se le
toma una placa de rayos X también tenga un tapón, de 0.3 y la de que
una persona se toma una placa de rayos X y que tiene un tapón, tenga
también un diente extraído, de 0.1 ¿Cuál es la probabilidad de que a
una persona que visita a su dentista se le tome una placa de rayos X,
presente un tapón y se le haya extraído un diente?
117
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
17. En cierta ciudad, 40% de los votantes son conservadores y 60%
liberales; 70% de los conservadores y 80% de los liberales están a favor
de una emisión particular de bonos. Al seleccionar al azar un votante de
la ciudad ¿Cuál es la probabilidad de que esté a favor de la emisión de
bonos?
18. Una persona posee dos automóviles, un modelo compacto y uno
estándar. Usa el vehículo compacto para trasladarse a su trabajo las tres
cuartas partes del tiempo, el tiempo restante usa el carro mas grande.
Cuando emplea el auto compacto llega a su casa a las 17:30 el 75% de
las veces; si utiliza el auto de tamaño estándar llega a la misma hora el
60% de las veces. Si llega a su casa después de las 17:30 ¿Cuál es la
probabilidad de que haya usado el auto compacto?
19. Un examen contiene ocho preguntas del tipo verdadero – falso, en el
que se requiere responder un mínimo de seis preguntas para aprobar.
a) En el supuesto de que se este adivinando para contestar cada una,
¿Cuál es la probabilidad de aprobar el examen?
b) En el supuesto de que se conozca la respuesta a la primera pregunta
y que, en consecuencia, solo se debe adivinar de la segunda a la
séptima, y en el supuesto también de que la primera respuesta estuvo
correcta, ¿Cuál es la probabilidad de aprobar el examen?
c) Si se conoce las respuestas de las dos primeras preguntas, ¿Cuál es la
probabilidad de aprobar el examen?
20. Considere el ensamble serie – paralelo que se muestra abajo. Los
valores Ri (i = 1, 2, 3, 4, 5) son las confiabilidades de los cinco
componentes indicados, esto es Ri = probabilidades de que la unidad i
funciones de manera adecuada. Los componentes operan (y fallan) de
manera mutuamente independiente y el ensamble falla solo, cuando se
rompe la trayectoria de A a B. Exprese la confiabilidad del ensamble
como una función R1, R2, R3, R4 y R5.
R2
R5
a
R1
R4
b
R3
118
D
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
21. Un elevador tiene dos sistemas de freno que se activan
automáticamente en caso de una rotura de cable principal. La
probabilidad de que cada uno de ellos frene el elevador después de una
rotura es de 0.99.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el elevador se frene?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el elevador se frene, si en caso de
que falle el primer sistema, siempre funciona el otro?
22.- En un circuito eléctrico sucede una interrupción si falla el elemento K o
los elementos K1 y K2 que trabajan de forma independiente. Si se sabe
que K, K1 y K2 tiene una probabilidad de fallar de 0.3, 0.2 y 0.2
respectivamente, calculen la probabilidad de que ocurra una
interrupción en el circuito.
23. Se construye un sistema electrónico complejo con determinado número
de componentes de respaldo en sus subsistemas. Un subsistema tiene
cuatro componentes idénticos, cada uno de los cuales tiene una
probabilidad de 0.2 de fallar en menos de 1000 horas. El subsistema
trabaja si dos o más de las cuatro componentes trabajan. Si se supone
que los componentes trabajan en forma independiente, calcular la
probabilidad de que:
a) Dos de los cuatro componentes duren más de 1000 horas.
b) El subsistema trabaje más de mil horas
24. De los muchos automóviles que se guardan en el estacionamiento de
empleados de un edificio de oficinas, 75% solo transporta a un
empleado y el resto transporta a dos o mas empleados, 60% de los
automóviles son modelos anteriores a 1984 y el resto son de 1984 o de
dos años mas recientes. De los automóviles de modelos anteriores a
1984, dos tercios solo transportan a un empleado y el resto a dos o más
empleados. Si se selecciona un automóvil al azar de todos los que están
en el estacionamiento, ¿Cuáles son las probabilidad de que estos
automóviles:
a) Sea un modelo anterior a 1984 que transporta a un solo empleado?
b) No transporta a dos o mas empleados ni sea un modelo anterior a
1984?
c) Transporta a dos o más empleados o sea un modelo anterior a
1984?
119
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
d) Transporta a dos o más empleados dado que no se trata de un
modelo anterior a 1984?
Antes de 1984
Después de 1984
Total
Transporta a un
empleado
Transporta a dos o
mas empleados
0.4
0.35
0.75
0.25
0.05
0.25
Total
0.60
0.40
25. Si A, B, C y D dicen la verdad una de cada tres veces (de manera
independiente), y A afirma que B niega que C declara que D es un
mentiroso. ¿Cuál es la probabilidad que D haya dicho la verdad?
IV. PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES
1. Considere dos urnas, uno con tres pelotas de color rojo y siete de color
blanco, la otra con seis pelotas de color rojo y seis de color blanco. Si
se elige una urna al azar y después se saca una pelota ¿Cual es la
probabilidad de que sea color rojo?
2. Fernando López conoce una nueva chica en la mitad de las fiestas a las
que asiste. Tres cuartas partes de las veces que conoce a una nueva
joven, se divierte, pero la probabilidad de que se divierta cuando no
conoce una nueva chica es solamente de 0.10. Fernando López acaba
de decir que se esta divirtiendo ¿Cuál es la probabilidad de que haya
conocido una nueva joven?
3. Se tiene 2 monedas, ambas cargadas, la primera tiene la probabilidad
0.3 de caer cara, la segunda 0.6. Un jugador elige al azar una de las
monedas y la lanza dos veces obteniendo dos caras. ¿Cuál es la
probabilidad de que obtenga una tercera cara?
4. A una rata se le permite seleccionar al azar uno de cinco laberintos
diferentes. Si las probabilidades de que pase por cada uno de los
diferentes laberintos en tres minutos son de 0.6, 0.3, 0,1 y 0.1,
respectivamente y la rata escapa en tres minutos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya escogido el primer laberinto?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya escogido el segundo laberinto?
120
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
5. Un estudiante presenta un examen de selección múltiple en el cual
cada pregunta tiene cinco posibles respuestas, de las cuales una es
correcta. Suponga que el estudiante conoce la respuesta de 70% de las
preguntas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante, sobre una pregunta
dada, conteste la respuesta correcta?
b) si el estudiante contesta correctamente la pregunta, ¿Cuál es la
probabilidad de que el estudiante conozca la respuesta?
6. Se supone que una cierta maquina detecta el cáncer con probabilidad
de 0.8, entre gente que padece de cáncer, y no detecta el 20% restante.
Si una persona no padece cáncer, la prueba indicara este hecho 90% de
las veces e indicara que tiene cáncer 10% de ellas. Supondremos que
5% de las personas de la población de prueba padecen cáncer y la
prueba de una persona determinada, seleccionada al azar, indica que
tiene cáncer. ¿Cuál es la probabilidad de que efectivamente padezca
dicha enfermedad?
7. En una fabrica hay dos maquinas A y B, que realizan 60 y 40% de
población total, respectivamente. De su producción, la maquina
produce 3% de material defectuoso y la B 5%. Encontrar
probabilidad de que dado un material defectuoso, provenga de
maquina B.
la
A
la
la
8. Se supone que 0.95 es la probabilidad de que un jurado seleccionado
para juzgar un caso criminal emita el veredicto adecuado. Esto significa
que si se presenta a juicio un individuo culpable, la probabilidad de
que el jurado lo condene es de 0.95, además, recíprocamente, si el
individuo juzgado es inocente, la probabilidad de que el jurado lo
absuelva es de 0.95. Se supone también que el cuerpo de la policía
local realiza su labor a conciencia, de manera que 99% de las personas
que se presentan en la corte para ser juzgadas son verdaderamente
culpables. Se pide calcular la probabilidad de que el acusado sea
inocente, si el jurado lo encuentra inocente.
9. Suponer que la ciencia medica ha desarrollado una prueba para el
diagnostico del SIDA que tiene 95% de exactitud, tanto en los que
padecen SIDA como entre los que no padecen. Si 0.005 de la
población realmente tiene SIDA, calcular la probabilidad de que
determinado individuo tenga SIDA si la prueba indica que lo tiene.
121
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
10. Cierto artículo es manufacturado por tres fábricas, designadas estas
como 1, 2 y 3. Se sabe que la primera produce el doble de artículos
que la segunda y que esta y la tercera producen el mismo numero de
artículos. Se sabe también que 2% de los artículos producidos por las
dos primeras es defectuoso mientras que 4% de los manufacturados por
la tercera es defectuoso. Se colocan juntos los artículos producidos en
una fila y se elige uno al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que este articulo sea defectuoso?
b) Supongamos que el depósito se elige un artículo y que es
defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se produjo en la primera
fabrica?
11. Tres maquinas tragamonedas se arreglan de modo que, en general,
paguen al jugador una de cada 10 veces y que el jugador pierda nueve
de cada 10 veces. Sin embargo, una de las maquinas esta descompuesta
y paga al jugador tres de cada 10 veces, pero no se sabe cual es la
maquina descompuesta. Si usted elige una maquina, juega una vez y
gana ¿Cuál es la probabilidad de que haya seleccionado la maquina
descompuesta?
12. Un armador de ventiladores eléctricos usa motores de dos vendedores.
La compañía A le surte 90% de los motores, y la compañía B, el 10%
restante, supongamos que se sabe que 5% de los motores que
suministra la compañía A son defectuosos y que el 3% de los que
suministra la compañía B también los son. Se encuentra que un
ventilador ya armado tiene un motor defectuoso ¿Cual es la
probabilidad de que ese motor lo haya suministrado la compañía B?
13. Se dice que una prueba de diagnostico para determinar enfermedad
tiene 90% de exactitud y que, si una persona tiene la enfermedad, la
prueba la detecta con la probabilidad de 0.9. También, si una persona
no tiene la enfermedad, el resultado del diagnostico será que no la
tiene, con una probabilidad de 0.9. Solo 1% de la población tiene la
enfermedad en cuestión. Si selecciona una persona al azar de entre la
población, y la prueba de diagnostico asegura que tiene la enfermedad,
¿Cuál es la probabilidad condicional de que la tenga en realidad? ¿Le
sorprende la respuesta? ¿Diría que esta prueba de diagnostico es
confiable?
122
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
14. Se dispone de dos métodos, el A y el B, para enseñar determinada
destreza en manufactura. El índice de reprobados es de 20% para el
método A y 10% para el B. Sin embargo, el método B es mas caro y,
por lo tanto, solo se usa 30% del tiempo, y el A el 70% restante. A un
trabajador se le capacita con uno de los métodos, pero no puede
aprender en forma correcta, ¿Cuál es la probabilidad de que se la haya
capacitado con el método A?
15. A y B participan en un duelo A. Cuya probabilidad de acertar es de 0.2
si dispara primero; el segundo disparo (de haberlo) puede hacerlo
cualquiera de ellos con igual probabilidad, y por ultimo puede haber
un tercer disparo que hará B si es que aun esta ileso. B tiene una
probabilidad de acertar de 0.3. ¿Cuál es la probabilidad de que:?
a)
b)
c)
d)
B mate a A.
Ambos salgan ilesos?
A salga ileso sabiendo que hubo tres disparos?
A haya disparado dos veces sabiendo que salio ileso?
123
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
124
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Semana 11
VARIABLES ALEATORIAS
SECUENCIA NATURAL DE PROBLEMAS EN VARIABLES ALEATORIA
Experimento
aleatorio
Espacio
muestral
Rango
Probabilidad
[0,1]
IR
S
Exp. Aleat.
w
X
P
X (W) = x
0
IRX
1
0 ≤ P (X (W) = x ) ≤ 1
IR X ⊆ IR
Ρ0 X
(P 0 X ) (w) = P (X (w) = x ) = p (X = x) ∈
0;1
La estadística se ocupa de realizar inferencias a cerca de poblaciones y sus
características. Se realizan experimentos cuyos resultados se encuentran
sujetos al azar, como por ejemplo en control de calidad de artículos los
cuales pueden ser defectuosos o no defectuosos, éstos constituyen un
espacio muestral S, de modo que a cada punto del espacio muestral se le
asignará mediante la función X un valor numérico los cuales se encuentran
en su rango Rx, luego se tiene la necesidad de representar todas las
probabilidades de una variable aleatoria X mediante una fórmula.
La variable X genera una función de distribución y puede ser discreta o
continua. Consideramos las distribuciones frecuentes y usuales en
experimentos aleatorios.
125
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
9 V.A. Discreta: Binomial, Poisson.
Hipergeomètricas; etc
P (x)
X
X
0
9 V.A. Continua: Normal, “t” student, “F” Fisher,
X2 Ji – cuadrado, etc
Aproximación: Binomial ≅ Poisson ≅ Normal
126
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
•
Como observamos las gráficas nos dan una idea de la forma y
característica de las funciones de probabilidad a estudiar, ocurriendo
también algo interesante como es el de aproximar una variable discreta
a una variable continua.
Definición.- La variable aleatoria X es una función de variable real, con
dominio igual a S y rango IRx asigna uno y solamente un elemento del
dominio a su rango.
•
Como indicaremos las funciones de probabilidad de variables aleatorias
discretas o continuas deben cumplir con determinadas condiciones, se
caracterizan por tener una función de distribución acumulada, el poder
calcular el valor esperado o lo que con mayor frecuencia ocurre y la
varianza o variabilidad de la variable aleatoria X en un experimento.
Para los diferentes cálculos usamos la sumatoria en el caso discreto y en
el caso continuo integrales.
Variable Aleatoria Continua
9 f(x): Función de densidad de
Variable Aleatoria Discreta
9 P (x): Función de
Probabilidad ó de cuantía.
probabilidad
9 Condición:
9 Condiciones:
1.- f (x) ≥ 0
1.- P (x) ≥ 0
2.-
∞
∞
∑ P (x )
−∞
i
2.-
=1
∫ f(x) d (x) =1
−∞
3.- P ( a < x < b ) =
3.- P (X = x) ∈[0,1]
b
=
∫ f ( x ) d (x) ∈ [0 ; 1]
a
9 Función
de
Distribución
9 Función de Distribución
Acumulada
F (x) = P (X ≤ x) =
x
∑ P (x i )
F(x) = P(X ≤ x) =
xi ≤ x
∫ f(x) dx
−∞
127
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
9 Esperanza
Matemática
o
9 Esperanza Matemática o
Valor Esperado (es lo que con
valor Esperado
mayor frecuencia se espera
∞
E (X) = ∫ xf (x)d(x) = μ
que ocurra y es un número
-∞
real)
∞
E (X) = ∑ x i p (x i ) = μ
-∞
9 Varianza de una V. A. D. x
9 Varianza de una V.A.C. x
∞
∞
E(X − μ) = ∫ (x − μ) f (x)dx = σ 2
2
E (X - μ ) 2 = ∑ (xi − μ ) P(xi ) = σ 2
2
2
−∞
-8
™ Propiedad para el Cálculo de la Varianza σ 2 : Para ambos
casos de variable aleatoria tiene la misma propiedad.
E (X - μ ) = Ex 2 - μ 2 = σ 2
2
Demostración:
(
E (X - μ ) 2
= E x 2 - 2xμ + μ 2
)
2
= EX - 2 μ EX
{ + Eμ
2
= EX 2 - 2 μμ + μ 2
∴ E (X - μ ) = EX 2 - μ 2
2
Lqqd!
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
La función de Probabilidad o de cuantía la notamos por f(x) ó p(x). La
variable aleatoria toma valores enteros en los reales y la suma de los valores
de la función de probabilidad o de cuantía es igual a 1.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Sea X variable aleatoria que da el número de caras menos el número de
sellos en tres lanzamientos de una moneda. Determine los elementos
del espacio muestral, así mismo los valores de la variable aleatoria.
128
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Calcular su función de cuantía o de probabilidad, su distribución
acumulada y calcular su media y varianza.
Solución:
X: nc - ns
•
;
nc: numero de caras , ns: numero de sellos
Determinación del espacio muestral:
Primera
Moneda
Segunda
Moneda
Tercera
Moneda
S
CCC
C
C
CCS
S
C
C
S
CSS
S
Exp. Aleatoria X
SCC
C
C
S
CSC
SCS
S
C
S
SSC
SSS
S
21
22
X (ccc) = 3 - 0 = 3
X (ccs) = X (csc) = X (scc) = 2 - 1 = 1
X (css) = X (scs) = X (ssc) = 1 - 2 = -1
X (sss) = 0 – 3 = -3
•
Rango de la Variable Aleatoria X: Rx = {-3, -1 , 1 , 3}
129
23
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
•
Distribución de probabilidades de X:
X (w i ) = x i
x1
-3
P(x(xi) = xi P(x))
•
1
8
P(x1)
x2
-1
x3
1
x4
3
3
8
P(x2)
3
8
P(x3)
1
8
P(x4)
¿Cumple con las condiciones de una función de cuantía?
⎛1 3 3 1
⎞
1. P(x i ) ≥ 0 ⇒ ⎜ , , , > 0 ⎟
⎝8 8 8 8
⎠
2.
1
3
1
3
8
∑ P( x ) = 8 + 8 + 8 + 8 = 8 = 1 // Si no cumple con esta propiedad.
i
Quiere decir que no es de cuantía
3. P( x = −3) =
•
1 3 3 1
; ; ;
∈ [ 0 :1]
8 8 8 8
Grafica de la función de cuantía:
P (xi )
f (x)
3/8
n →∞
1/8
‐3
‐2
‐1
1
2
3
x
130
x
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
•
Determinación de la distribución acumulada
⎧ 0
⎪1
⎪ 8
⎪⎪
F (x) ⎨ 4
8
⎪
⎪7 8
⎪
⎩⎪ 1
•
:
x < -3
:
-3 ≤ x < 1
:
-1 ≤ x < 1
:
1 ≤ x < 3
:
x ≥ 3
Calculo de la media y la varianza
Xi
P(xi)
xiP(xi)
xi2 P (xi)
-3
1/8
(-3)(1/8) = -3/8
(-3)2 1/8
-1
3/8
(-1)(3/8 = -3/8
(-1)23/8
1
378
(1) (3/8) = 3/8
(1)2 3/8
3
1/8
(3) (1/8) = 3/8
(3)2 1/8
∑x
131
i
P (x i ) = 0
∑x
2
i
P(x i ) = 24/8
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
μ=
∞
⎛1⎞
4
⎛3⎞
⎛3⎞
⎛1⎞
∑ x P(x ) = ∑ x P(x ) = (- 3) ⎜⎝ 8 ⎟⎠ + (- 1) ⎜⎝ 8 ⎟⎠ + (1) ⎜⎝ 8 ⎟⎠ + (3) ⎜⎝ 8 ⎟⎠ = 0
-∞
i
i
I =1
i
i
σ 2 = EX 2 - μ 2
= EX i2 P(x i ) - μ 2
∴σ 2 = 3
= (-3)2 (1/8) + (-1)2 (3/8) + (1) 2 (3/8) + (3) 2 (1/8)
=
•
2.
9
3
3 9
24
+
+
+ =
8
8
8 8
8
Desviación Estándar o Típica:
σ = σ2
σ =
3
Determine el valor c de tal forma que la siguiente función sirva como
una distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta x.
f (x) = c (x2 + 4)
: x = 0, 1, 2, 3
Solución:
Usamos las condiciones de una función de cuantía
1.
2.
P(x) = f(x) ≥ 0 ⇒ c(x 2 + 4) ≥ 0 ⇒ C ≥ 0
∑ P(x )
1
[(
2
) (
) (
2
) (
2
)]
2
= 1 ⇒ c x i `+ 4 + x 2 + 4 + x 3 + 4 + x 4 + 4 = 1
0
= c[4 + 5 + 8 + 13] = 1
c (30) = 1
∴c =
1
30
132
1
2
3
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
(
1 2
0 +4
30
1 2
x = 1 : ¨f(1) =
1 + 4
30
1 2
2 +x4
x = 2 : f (2) =
30
1 2
x = 3 : f(3) =
3 + 4
30
x = 0 : f(0) =
(
3.
•
•
)=
)
(
)
(
)
4
30
5
=
30
8
=
30
13
=
20
Determinación de la distribución de probabilidad
xi
0
1
2
3
f(xi)
4
30
5
30
8
30
13
30
Calcular la media y la varianza
xi
f(xi)
xif(xi)
x12f(xi)
0
4/30
0
0
1
5/30
5/30
5/30
2
8/30
16/30
32/30
3
13/30
39/30
117/30
∑ f(x ) = 1
∑ xif(xi) = 60/30
i
∴ μ = ∑ xi f(xi) =
∴σ2 =
3.
{(xi , fi )}
∑x
2
i
∑x
2
i
f(x i ) = 154/30
60
= 2
30
f(x i ) - μ 2 =
154
34
- 22 =
30
30
Encuentre la distribución de probabilidad para el número de discos de
jazz cuando 4 discos se seleccionan al azar de una colección que
contiene de 5 discos de jazz, 2 de música clásica y 3 de polka
133
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
a) Exprese el resultado por medio de una formula
b) Determine su distribución acumulada F(x) y graficarla
c) Calcular su media y varianza
Solución:
• x: V.A. discos de jazz
• valores de la V. A: x = 0, 1, 2, 3, 4
• Determinación de la función de cuantía
X : V.A. discos de jazz
a)
¿Cómo elegir al zar?
5 jazz
10
4
2 clasic
3 polkas
⎛10 ⎞
Total de maneras de elegir ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 4⎠
⎛5 ⎞ ⎛ 5
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜
x 4-x
f (x) = ⎝ ⎠ ⎝
⎛10 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝4 ⎠
. Maneras de elegir los disco de jazz
⎛5 ⎞
cuando lo son ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ x⎠
. Maneras de elegir los discos de jazz
⎛ 5 ⎞
⎟⎟
cuando no lo son ⎜⎜
⎝4 − x⎠
⎞
⎟⎟
⎠ : x = 0 , 1, 2, 3, 4
⎛5⎞ ⎛ 5 ⎞
5!
5!
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
x
0 4 − 0⎠
1
0! x (5 - 0)! 4! x(5 - 4)!
f (0) = ⎝ ⎠ ⎝
=
= 0.0238 =
10!
42
⎛10 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
4! x(10 - 4)!
⎝ 4⎠
⎛5⎞ ⎛ 5 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 1 ⎠ ⎝ 4 − 1⎠
f(1) =
⎛10 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 4⎠
5!
5!
x
1! x (5 - 1)! 3! x(5 - 3)!
10
=
= 0.2381 =
10!
42
4! x(10 - 4)!
134
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
⎛5⎞ ⎛ 5 ⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟
2⎠ ⎝ 4 - 2 ⎠
⎝
=
f(2) =
⎛10 ⎞
⎜ ⎟
⎝4 ⎠
5!
5!
x
2!x(5 - 2)!
2!x(5 -2)!
10!
4! x(10 − 4)!
= 0.42762 =
20
42
⎛ 5⎞ ⎛ 5 ⎞
5!
5!
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
x
3 4 − 3⎠
10
3! x(5 - 3)! 1! x(5 - 1)!
f(3) = ⎝ ⎠ ⎝
=
= 0.2381 =
10!
42
⎛10 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
4! x(10 - 4)!
⎝ 4⎠
⎛5⎞ ⎛ 5 ⎞
5!
5!
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
x
4 4 − 4 ⎠ 4! x(5 - 4)
0! x(5 - 0)!
f(4) = ⎝ ⎠ ⎝
=
10!
⎛10 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
4! x(10 - 4)!
⎝ 4⎠
b)
c)
1
42
x < 0
⎧ 0
⎪1
⎪ 42
⎪
⎪⎪1142
F (x) = ⎨
⎪3142
⎪
⎪41
⎪ 42
⎪⎩ 1
μ = E (X) =
= 0.0238 =
0 ≤ x< 1
1≤ x < 2
2 ≤ x < 3
3≤ x < 4
x ≥ 4
4
∑xi f(xi) = (0) 142 + (1)1042 + (2)2042 + (3)1042 + (4) 142 = 2
i=0
μ = 2 se espera tener en el experimento 2 discos de jazz.
σ 2 = EX2 - μ 2 =
4
∑ x f(x ) - μ
2
1
i
2
= (0)2 1
1- 0
42
+ (1)2 .10
+ (4)2 1
+ (2)2 20
42
+ (3) 2 10
42
- (2)2
14
-4
3
2
= indicaque la dispercionde discoses pequeña
3
=
σ2
42
42
135
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
4.
Un ingeniero de la planta manufacturera tiene 5 hombres y 3 mujeres
trabajando con él. El ingeniero desea seleccionar 4 trabajadores para
un trabajo especial deseando no tener influencia en la selección de los
trabajadores. El decide al azar 4 trabajadores. Sea X el número de
hombres en el grupo: Hallar la tabla de distribución de Probabilidad
de X, así mismo calcular la media o el valor esperado.
Solución:
• X: V.A. hombres seleccionados
• Valores que toma la V.A.X.
5H
•
Exp. Aleat. 8
Selecc. de trab.
Selección
4Trab. hombres •
⎛5 ⎞
Elección de 4 hombres ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ x⎠
⎛ 3 ⎞
⎟⎟
Elección de mujeres ⎜⎜
−
4
x
⎝
⎠
3M
⎛8 ⎞
Elección total ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 4⎠
⎛5 ⎞ ⎛ 3 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜
⎟
x ⎠ ⎝ 4 - x ⎟⎠
⎝
; x = 1, 2, 3, 4
Función de Probabilidad: f (x) =
⎛8 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 4⎠
•
Distribución de probabilidad:
xi
f (x i )
μ
σ
1
2
1/14
6/14
4
x
2
x
= EX = ∑ x i f(x i ) = 1 *
i =1
= E (X
2
)
3
4
6/14
1/14
1
6
6
1
35
+ 2 * + 3* + 4 *
=
14
14
14
14 14
⎛ 35 ⎞
- μ = ∑ X f (x i ) - ⎜ ⎟
⎝ 14 ⎠
2
x
2
i
136
2
95 ⎛ 35 ⎞
=
-⎜ ⎟
14 ⎝ 14 ⎠
2
=
105
196
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
•
En el ejemplo siguiente la esperanza matemática o valor esperado se
puede aplicar no solamente a la V.A.X, si no también a una función
aleatoria g(x) definimos luego la media y la varianza
μ g ( x) = E (g (x)); σ 2g ( x) = E (g (x)2 ) - μg2 (x)
5.
Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución de
probabilidad:
xi
-3
6
9
f (x i )
1/6
3/6
2/6
Determine
⎧⎪g(xi ) = (2xi + 1)2
2
2
μ
y
, dondeg(x) = (2x + 1) = ⎨
g(x) σ g ( x))
⎪⎩g(xi) = 4x i2 + 4xi + 1
Solución:
2
3
1
6
3
6
μ g(x) = ∑g (xi ) f(xi ) = ∑(2xi +1) f(xi ) = (2 (-3)+1)2 + (2 (6)+1)2 + (2 (9)+1)2
i =1
3
2
= 209
6
3
μ g(x) = ∑ (4 xi2 + 4x i + 1) f(x i ) = 209
i =1
μ
g(x)
μ
g(x)
[
]
[
]
[
]
1
3
2
2
= 4(- 3) + 4 (-3) + 1 * + + 4(6) 2 + 4(6) + 1 * + 4(9) 2 + 4(9) + 1 *
6
6
6
=
25
3
2 25 507 722 1254
+ 169 * + 361 * =
+
+
=
= 209
6
6
6
6
6
6
6
2
2
= ∑ (2xi + 1)4 f(xi) - (209) 2 = 14144
σ 2g ( x) = E (g (x)) - μ g(x)
137
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA
EX = μ
E( X − μ)2 = σ 2
E ( aΧ + b) = aEΧ + b = aμ + b
V ( aΧ − b) = a 2V ( x ) = a 2σ 2
V ( aΧ + b) = E [( aΧ + b) − aΧ − b]2 = a 2V ( x ) = a 2σ 2
EJEMPLOS DE APLICACIÓN SOBRE ESPERANZA MATEMÁTICA
1.
Una gran empresa industrial compra varias computadoras nuevas cada
año, cuya cantidad depende de la frecuencia de reparaciones en el
año anterior. Suponga que el número de computadoras X que se
compran cada año tiene la siguiente distribución de probabilidad.
xi
f (x i )
0
1
1
10
3
2
3
10
4
10
2
10
Si el costo del modelo que se desea adquirir permanece sin cambio en
$1200 durante un año y se ofrece un descuento de 50X2 de cualquier
compra ¿Cuánto dinero espera esta firma invertir en computadoras
para el fin de año?
Solución:
Inversión Esperada = Precio de Venta esperada – Descuento esperado
Precio de venta esperada
(
⎛ 3
⎞
= 1200 ⎜ ∑ xi f(x i ) ⎟ = 1200 0 x 1 + 1 x 3
+ 2x 4 + 3 x 2
10
10
10
10
i
0
=
⎝
⎠
=
17
• 1200 = 2040
10
138
)
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Descuento esperado:
3
= ∑ ( 50x 2i ) f (x i ) = 50
i= 0
(0
2
+ 12 x 3
+ 22 x 4
+ 32 x 2
x 1
10
10
10
10
= 185
Inversión esperada = 2030 – 185 = $ 1855
Rta: Inversión esperada = $ 1855
2.
Supongamos que un distribuidor de joyas antiguas esta interesado en
comprar un collar de oro para el cual las probabilidades son 0.22,
0.36. 0.28 y 0.14 respectivamente, de que la poseedora estaría
dispuesta a vender la en $ 250, en $ 150, al costo o con una perdida
de $ 150. ¿Cuál es la utilidad queda espera?
Solución:
La utilidad esperada seria = P venta – P costo
P = precio
E (X) =
∑x
i
f (x i ).
xi
250
150
0
f (x i )
0.22
0.36
0.28
Pventa
Pcost
-
P perdida;
-150
0.14
Ppérdida
E(X) = (250) * 0.22 + (150) * 0.36 + (0) * 0.28 + (-150) * 0.14 = $ 88
139
)
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
140
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Semana 12
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
f(x): función de función densidad de probabilidad (fddp)
EJERCICIO DE APLICACIÓN
1.
Considere la función de densidad, el área bajo la curva que describe
es igual a 1 y generalmente es asintótica al eje x.
⎧⎪k x ; 0 < x < 1
f ( x) : ⎨
; en cualquier otro caso
⎪⎩0
a) Evalué k
b) Encuentre F(x) y utilice para evaluar P (0.3 < Χ < 0.6)
c) Calcular la media y varianza
Solución:
a) Usamos las propiedades
1.
f ( x) ≥ 0 ⇒ f ( x) = k x ≥ 0 ⇒ k ≥ 0
1
2.
0
1
∞
∫0 f ( x)dx = −∫∞dx + ∫0 k
x dx + ∫ 0dx = 1
1
⎞
⎟ =1
⎟
⎠ο
⎛ x3/ 2
∫0 k xdx = 1 ⇒ k ⎜⎜ 3 / 2
⎝
1
1
⎛2⎞
k ⎜ ⎟(1) = 1
⎝3⎠
⎛3⎞
k =⎜ ⎟
⎝2⎠
141
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
⎧(3 / 2) x
∴f(x)= ⎨
, 0 < x < 1; en otro caso
⎩0
b
3. P(a < x < b)=
b)
∫a f ( x)dx ∈ [0,1]
Determinación de la función de distribución F(x). Usemos la
definición
x
F(x)=
∫ f ( x)dx
−∞
3 x
= ∫ x dx
2 −∞
x
3⎞
⎛
3⎜ x 2 ⎟
= x3/ 2
= ⎜
⎟
2 ⎜ 3/ 2 ⎟
⎠ο
⎝
⎧0
⎪
F ( x) = ⎨ x 3 / 2
⎪1
⎩
; x≤ 0
; 0<x<1
; x≥1
Observemos que es creciente y se puede graficar fácilmente
xi
F ( xi ) = xi3/ 2
0.2
F(0.2)= 0.0894
0.4
F(0.4)= 0.2530
0.8
F(0.8) = 0.7155
142
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
•
Usemos la definición
F(x)=P(x ≤ x)
0.6
P(0.3 < x < 0.6)=
∫ f ( x)dx
0.3
0.6
⎛ x3/ 2 ⎞
3/ 2
3/ 2
∫0.3 3 / 2 xdx = 3 / 2⎜⎜ 3 / 2 ⎟⎟ = (0.6) − (0.3)
⎠0.3
⎝
0.6
•
=F(0.6) - F(0.3) = 0.3004
Utilizando la función de distribución F(x) directamente el resultado es
el mismo.
P(0.3 <x < 0.6) = F(0.6) – F(0.3)
= (0.6)
3/ 2
- (0.3)
3/ 2
= 0.4647 – 0.1643
= 0.3004
c)
Calculo de la media y varianza
Calculo de la media μ
∞
μ = EX = ∫ xf ( x)dx
−∞
0
=
1
∞
0
1
∫ x(0)dx + ∫ x * 3 / 2 x + ∫ x0dx
−∞
1
= 3 / 2 ∫ x x dx
0
1
= 3 / 2∫ x
3/ 2
dx
0
1
⎛ x5/ 2 ⎞
= 3/ 2⎜
⎟
⎝ 5 / 2 ⎠0
μ = E(X) =
μ =
3 5/ 2 1
3
(
x )0 = (15 / 2 − 05 / 2 )
5
5
3 5/ 2
(
1 − 05 / 2 )
5
μ = EX = 3/5
143
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Calculo de la Varianza
σ
2
=
2
2
1
σ2
)
(
Ex − μ = ∫ x 2 3 / 2 x 3 / 2 dx − (3 / 5)
2
0
1
3 1 5/ 2
3 ⎛ x 7 / 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞2
2
⎟ −⎜ ⎟
= ∫ x dx − (3 / 5) = ⎜
20
2⎜ 7/2 ⎟ ⎝5⎠
⎝
⎠0
2
=
3 ⎛3⎞
12
−⎜ ⎟ =
7 ⎝5⎠
7 * 25
σ=
12
175
FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD UNIFORME
f(x)
1
;a ≤ x ≤ b
b−a
f(x)=
0; en otro caso
x
0
a) Determinar su función de distribución F(x).
b) Calcular su media y varianza.
Solución:
x
a)
x
F ( x) =
1
1
1
∫a b − a dx = b − a ∫a dx = b − a x
F ( x) =
x−a
b−a
x
a
0; x < a
F(x)=
x−a
;a ≤ x ≤ b
b−a
F ( x) =
1; x > b
144
x
a
−
b−a b−a
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
F(x)
x
0
•
Calculo de la media:
b
1
μ = EX = ∫ xf ( x ) dx
⎛ 1 ⎞
⎟ dx
⎝b−a⎠
μ = ∫ x⎜
a
0
b
b
1
1 ⎛ x2 ⎞
1
1
⎜⎜ ⎟⎟ = *
xdx
b2 − a2
=
=
∫
b−a a
b − a ⎝ 2 ⎠a 2 b − a
•
(
)
μ=
a+b
2
Calculo de la varianza:
σ 2 = EX 2 − μ 2
b
3
x
1
⎛ 1 ⎞
2
*
= ∫x ⎜
⎟ dx − μ =
b−a 3
⎝b−a⎠
a
2
b
a
2
⎛a+b⎞
−⎜
⎟ =
⎝ 2 ⎠
(
)
=
(
1 ⎛ b3 − a 3 ⎞ ⎛ a + b ⎞
b − a ) a 2 + ab + b 2 ⎛ a + b ⎞
⎟−⎜
⎜
−⎜
⎟ =
⎟
(b − a )
3
b − a ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
=
4 a 2 + ab + b 2 − 3 a 2 + 2ab + b 2
4 a 2 + 4 ab + 4b 2 − 3a 2 − 6 ab − 3b 2
=
12
12
2
(
) (
a 2 − 2ab + b 2 ( b − a )
=
=
12
12
)
2
145
2
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL
f(x)
λe − λx ; x > 0; λ > 0
f(x)=
0; enotrocaso
x
0
a) Determinar su función de distribución acumulada F(X).
b) Calcular su media y varianza.
Solución:
x
a)
x
x
⎛ e − λx ⎞
−λ x
− λx
F ( x ) = ∫ λ e dx = λ e dx = λ ⎜
∫0
⎜ − λ ⎟⎟
0
⎠0
⎝
(
F ( x ) = − e − λx
(
)
x
)
F ( x ) = − e − λ x − − e λ 0 = 1 − e − λx
0
0; x ≤ 0
F(x)=
1 − e −λx ;0 < x < ∞
1; x → ∞ teoricamen te
b)
El cálculo de la media y varianza se realiza por medio de la
integración por partes.
E(X) =
∫
∞
0
∞
xλe − λ x dx = λ ∫ xe− λ x dx = 1 λ ⇒ μ = 1 λ
0
E(X- μ)2 = λ ∫
∞
0
(x − μ)
2
e − λ x dx = 1 λ ⇒ σ 2 = 1 λ
2
146
2
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
2.
El tiempo de espera en horas que tarda un radar en detectar dos
conductores sucesivas a alta velocidad es una variable aleatoria
continúa con una distribución acumulada.
⎧0, x ≤ 0
F ( x) = ⎨
−8 x
⎩1 − e , x > 0
a)
Encuentre la probabilidad de esperar menos de 12 minutos entre
dos conductores sucesivos:
I. Utilizando la distribución acumulada de x
II. Utilizando la función de densidad de probabilidad de x
b) Calcular su media y varianza
Solución:
a) X: V.A tiempo de espera 0 < x < 12 → 0 < x ≤ 0.2
→ (1hr = 60min;
I.
P ( 0 < x < 0 .2 ) =
12
= 0.2)
60
0 .2
∫0 f ( x)dx = F (0.2) − F (0) → Teorema fundamenta l
del Cálculo
[(1 − e
TEOREMA FUNDAMENTAL
DEL CÁLCULO:
−8 ( 0.2 )
) − (1 − e
−8 ( 0 )
)] = 1 − e
−1.6
= 0.7981
b
∫a f ( x)dx = G (b) − G (a)
x
TEOREMA FUNDAMENTAL F ' ( x ) = f ( x ) ↔ F ( x ) = ∫ f ( x ) dx
−∞
DEL CÁLCULO:
II.
Por teorema fundamental del cálculo
d
F ' ( x) =
(1 − e −8 x ) = 8e −8 x = f ( x )
dx
P ( 0 < x < 0 .2 ) =
0.2
∫0 8e
−8 x
⎛ e −8 x
dx = 8⎜⎜
⎝ −8
0.2
⎞
⎟ = 1 − e −1.6 = 0.7981
⎟
⎠0
147
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
b. Se utilizará el método integración por partes el calculo de μ y δ2
E(X) =
∫ x (8e )dx = 8∫
∞
−8 x
0
∞
xe − λ x dx = 1 8 ⇒ μ = 1 8 hrs
0
E(X - μ2)= E(X2) -μ2
= ∫ x2 (8e−8x )dx −μ2 =8∫ x2e−8xdx −μ2 =18 ⇒σ2 =1 64hrs2
3.
∞
∞
0
0
2
La demanda diaria de arroz en “Metro”, en centenas de kilos es una
variable aleatoria X con función densidad en la probabilidad.
⎧2
⎪3 x ; 0 ≤ x <1
⎪
F ( x ) ⎨ −1/ 3 x + 1;1 ≤ x ≤ 3
⎪0;
si, x < 0 ó x > 3
⎪
⎩
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día escogido al azar, se
venden más de 150kgrs?
b) En 30 días ¿el gerente de ventas de “Metro” cuanto espera vender?
c) ¿Cuál es la cantidad de arroz que debe ser dejado a disposición
del público diariamente para que no falte arroz en 95% de días?
Solución:
X: V.A de demanda diaria de arroz en centenas de kg.
a)
{x > 150kg } → {x > 1.5}
3
P ( x > 1.5) = ∫ (−1 / 3 x + 1) dx = ( −1 / 6 x 2 + x )13.5 = 0.375
1 .5
3
b)
1
3
0
1
E ( Χ ) = ∫ xf ( x ) = ∫ x (2 / 3 x ) dx + ∫ x( −1/ 3 x + 1) dx = 1.33
dx
0
El valor esperado en 30 días es: 30(1.33)=39.9 cientos de kg.
c)
Sea Xo la cantidad de arroz dejado diariamente a disposición del
público de modo que:
P ( X ≤ x 0 ) = 0.95 ⇒
xο
∫ f ( x)dx = 0.95
−∞
148
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
xο
∫ο
1
x
ο
2
⎛ x ⎞
f ( x)dx = ∫ x dx + ∫ ⎜ − + 1⎟dx = 0.95
3 ⎠
ο 3
1⎝
⇒ xο2 − 6 xο + 8.70 = 0 ⇒ xο = 2.4523
Respuesta: Debe dejarse a disposición del público 245.23 kg. de
arroz el 95% de los días.
EJERCICIOS PROPUESTOS
I. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
1.
Clasifique las siguientes variables aleatorias como discretas o
continuas:
X
:
El numero de accidentes de automóvil por año en el estado
de Virginia.
Y
:
El tiempo que toma jugar 18 hoyos de golf.
M :
La cantidad de leche producida anualmente por una vaca
en particular.
N :
El numero de huevos que pone mensualmente una gallina.
P
El numero de permisos para la construcción de edificios
que otorga mensualmente una ciudad.
:
Q :
2.
3.
La cantidad de grano producido por acre.
Un embarque de 5 automóviles extranjeros incluye 2 que tienen
unas ligeras manchas de pintura. Si una agencia recibe 3 de estos
vehículos aleatoriamente, indique los elementos del espacio
muestral S utilizando las letras B y N para “manchado” y “no
manchado”, respectivamente; asigne entonces para cada punto
muestral un valor x de la variable aleatoria X que representa el
numero de automóviles de pintura comprados por la agencia.
Sea W una variable aleatoria que da el número de caras menos el
de cruces en tres lanzamientos de una moneda. Indique los
elementos del espacio muestral S para los tres lanzamientos de la
149
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
moneda y asigne un valor de w de la variable W a cada punto
muestral.
4.
Una moneda se lanza al aire hasta que ocurren 3 caras en
sucesión. Escriba solo aquellos elementos del espacio muestral
que requieren 6 o menos lanzamientos. ¿Este es un espacio
muestral discreto? Explique.
5.
Determine el valor c de tal forma que cada una de las siguientes
funciones sirva como una distribución de probabilidad de la
variable aleatoria discreta x.
a) f(x)=c(x2+4) para x=0, 1, 2, 3
⎛ 2 ⎞⎛ 3 ⎞
b) f(x)=c ⎜ ⎟ ⎜
⎟ para x=0,1,2
⎝ x ⎠⎝ 3− x ⎠
6.
De una caja que contiene 4 monedas de 1000 pesos y 2 de 500
pesos, se seleccionan 3 de ellas al azar sin reemplazo. Determine
la distribución de probabilidad para el total T de las 3 monedas.
Exprese gráficamente la distribución de probabilidad como un
histograma.
7.
De una caja que contiene 4 pelotas negras y 2 verdes, se
seleccionan 3 de ellas en sucesión con reemplazo. Encuentre la
distribución de probabilidad para el número de pelotas verdes.
8.
Encuentre la distribución de probabilidad de la variable aleatoria
W en el ejercicio 3, suponiendo que la moneda esta cargada de tal
forma que una cara tiene dos veces más la posibilidad de ocurrir
con respecto a la cruz.
9.
Encuentre la distribución de probabilidad para el número de discos
de Jazz cuando 4 discos se seleccionan al azar de una colección
que consiste de 5 discos de Jazz, 2 de música clásica y 3 de polka.
Exprese el resultado por medio de una fórmula.
10. Encuentre una fórmula para la distribución de probabilidad de la
variable aleatoria X que representa el resultado de un solo
lanzamiento de un dado.
11. Un embarque de 7 televisores contiene 2 aparatos defectuosos. Un
hotel realiza una compra aleatoria de 3 de ellos. Si X es el número
150
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
de unidades defectuosas que se compran, encuentre la distribución
de probabilidad de X. Exprese los resultados gráficamente como un
histograma de probabilidad.
12. De un paquete de cartas se sacan tres en sucesión sin reemplazo.
Encuentre la distribución de probabilidad para el número de cartas
espadas.
13. Encuentre la distribución acumulada de la variable aleatoria W en
el ejercicio 8. Utilizando F(w), encuentre:
P (W > 0 )
a)
b)
P(− 1 ≤ W ≤ 3)
14. Dibuje una gráfica de la distribución acumulada del ejercicio 13.
15. Encuentre la distribución acumulada de la variable aleatoria X que
representa el número de televisores defectuosos en el ejercicio 11.
utilizando F(x), encuentre:
a)
P(W = 1)
P(0 < W ≤ 2 )
b)
16. Dibuje una gráfica de la distribución acumulada del ejercicio 15.
17. La distribución de probabilidad de X, el numero de defectos por
cada 10
metros de una tela sintética en rollos continuos de
ancho uniforme es:
x
0
1
2
3
4
f(x)
0.41
0.37
0.16
0.05
0.01
Dibuje la distribución acumulada de X.
18. Una firma de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales
que vencen después de diferente número de años. Dada la
distribución acumulada T, el número de años para el vencimiento
de un bono seleccionado aleatoriamente es:
151
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
⎧0
⎪1
⎪
⎪4
⎪⎪ 1
F(x) = ⎨
⎪2
⎪2
⎪3
⎪
⎪⎩ 1
;
t <1
;
1≤ t < 3
;
3≤ t <5
;
5≤t<7
;
t≥7
Encuentre:
a) P(T = 5)
b) P(T > 3)
c) P(1.4 < T < 6 )
19. Una variable aleatoria continua X que puede tomar valores entre
x=1 y x=3 tiene una función de densidad f (x ) =
1
2
.
a) Demuestre que el área bajo la curva es igual a 1.
b) Encuentre P(2 < X < 2.5) .
c) Encuentre P(X ≤ 1.6 ) .
20. Una variable aleatoria continua X que puede tomar valores entre
x=2 y x=5 tiene
una
función
de
densidad
f (x ) =
2(1 + x )
27
.
Encuentre:
a) P(X < 4 )
b) P(3 < X < 4 )
21. La proporción de personas que constan una cierta encuesta
enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la
función de densidad:
⎧ 2(x + 2 )
⎪ 5
⎪
f (x ) = ⎨
⎪ 0
⎪
⎩
;
0 < x <1
;
en cualquier otro caso
152
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
a) Demuestre que P(0 < X < 1) = 1
b) Encuentre la probabilidad de que más de ¼ pero menos de ½
de las personas en contacto responderán a este tipo de
encuesta.
22. El numero total de horas, que se miden en unidades de 100 horas,
que una
familia utiliza una aspiradora durante un año es una
variable aleatoria continua X, que tiene la función de densidad:
⎧ x
⎪
f (x ) = ⎨ 2 - x
⎪ 0
⎩
;
0 < x <1
;
1< x < 2
;
en cualquier otro caso
Encuentre la probabilidad de que una familia utilice la aspiradora
durante un año:
a) Menos de 120 horas.
b) Entre 50 y 100 horas.
23. Para la función de densidad del ejercicio 19, encuentre F(x) y
utilícela para evaluar P(2 < X < 2.5) .
24. Para la función de densidad del ejercicio 20, encuentre F(x) y
utilícela para evaluar P(3 ≤ X < 4 ) .
25. Considere la función de densidad:
⎧k x
⎪
f (x ) = ⎨
⎪ 0
⎩
;
0 < x <1
;
en cualquier otro caso
a) Evalúe k
b) Encuentre F(x) y utilícela para evaluar P(0.3 < X < 0.6 )
26. El tiempo de vida útil, en días, de frascos de una cierta medicina es
una variable aleatoria que tiene la función de densidad:
153
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
⎧ 20.000
⎪ (x + 100 )3
⎪⎪
f (x ) = ⎨
⎪
0
⎪
⎪⎩
;
;
x>0
en cualquier otro caso
Encuentre la probabilidad de que un frasco de este medicamento
tenga una vida útil de:
a) Al menos 200 días.
b) Cualquier duración entre 80 y 120 días
27.
El tiempo de espera, en horas, que tarda un radar en detectar dos
conductores sucesivos a alta velocidad es una variable aleatoria
continua con una distribución acumulada.
; x≤0
⎧0
F ( x) = ⎨
−8 x
; x>0
⎩1 − e
Encuentre la probabilidad de esperar menos de 12 minutos entre
dos conductores sucesivos:
a) utilizando la distribución acumulada de X
b) utilizando la función de densidad de probabilidad de X.
II. ESPERANZA MATEMÁTICA
1.
Un embarque de 7 televisores incluye dos defectuosos. Un hotel
realiza una compra de manera aleatoria de tres de estos aparatos.
Si X es el número de televisores defectuosos adquiridos por el
hotel, encuentre la media de X.
2.
La distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X
es:
x
⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞
f (x ) = ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ x ⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠
3− x
;
x = 0, 1, 2, 3
Encuentre la media de X
3.
Encuentre la media de la variable aleatoria T que representa el total
de las tres monedas en el ejercicio 6 del conjunto de problemas
del tema variables aleatorias y distribuciones de probabilidad.
154
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
4.
Una moneda se “carga” de tal manera que una cara es tres veces
mas probable de ocurrir que una cruz. Encuentre el número
esperado de cruces cuando esta moneda se lanza dos veces.
5.
La distribución de probabilidad de X, el número de faltas por cada
10 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho
uniforme, que se dio en el ejercicio 17 del conjunto de problemas
del tema variables aleatorias y distribuciones de probabilidad.
x
0
1
2
3
4
f(x)
0.41
0.37
0.16
0.05
0.01
Encuentre el número promedio de fallas por cada 10 metros de esta
tela.
6.
Al encargado de un servicio de lavado de automóviles se le paga
de acuerdo al número de automóviles que se atienden. Suponga
que las probabilidades son 1 , 1 , 1 , 1 , 1 y 1 respectivamente,
12 12 4 4 6 6
de que el encargado reciba $7, $9, $11, $13, $15, o $17 entre las
4:00pm y las 5:00pm de cualquier viernes. Encuentre las ganancias
que espera el encargado durante este periodo en particular.
7.
Por intervenir en unas acciones en particular, una persona puede
obtener ganancias de $4000 con una probabilidad de 0.3, o una
pérdida de $1000 con una probabilidad de 0.7. ¿Cuál es la
ganancia que espera la persona?
8.
Suponga que un distribuidor de joyas antiguas esta interesado en
comprar un collar de oro para el cual las probabilidades son 0.22,
0.36, 0.28 y 0.14 respectivamente, de que la poseedora estaría
dispuesta a venderla en $250, $150, al costo con una perdida de
$150. ¿Cuál es la utilidad que ella espera?
9.
En un juego de azar una mujer ganará $3 si saca una sota o una
reina y $5 si saca un rey o un as de un paquete común de 52
cartas. Si saca cualquiera otra carta, pierde. ¿Cuánto deberá pagar
si el juego queda empatado?
155
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
10. Un tazón contiene 5 fichas que no pueden distinguirse una de la
otra. Tres de las fichas están marcadas con $2 y las restantes 2 con
$4. un jugador saca del tazón 2 fichas al azar sin reemplazo, y se le
paga una cantidad igual a la suma de los valores indicados en las
dos fichas. Si el costo por jugar es de $5.60. ¿Es justo el juego?
11. Un piloto privado desea asegurar su avión por $50 000. la
compañía aseguradora estima que una pérdida total puede ocurrir
con una probabilidad de 0.002, un 50% de pérdida con una
probabilidad de 0.01 y un 25% de pérdida con una probabilidad
de 0.1. Ignorando todas las otras pérdidas parciales, ¿Qué prima
deberá cobrar anualmente la compañía aseguradora para tener una
utilidad promedio de $500?
12. Si la utilidad de un distribuidor, en unidades de $1000, en un
nuevo automóvil puede considerarse como una variable aleatoria
X con una función de densidad:
⎧2(1 − x )
⎪
f (x ) = ⎨
⎪ 0
⎩
;
0 < x <1
;
en cualquier otro caso
Encuentre la utilidad promedio por automovil.
13. La función de densidad de las mediciones codificadas del diámetro
del hilo de un encaje es:
⎧ 4
⎪ π(1+x 2 )
⎪⎪
f (x) = ⎨
⎪
0
⎪
⎪⎩
;
0 < x <1
;
en cualquier otro caso
Encuentre el valor esperado de X
14. ¿Qué proporción de personas puede esperarse que respondan a un
cierto requerimiento por correo, si la proporción X tiene la función
de densidad:
156
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
⎧ 2(x+2)
⎪ 5
⎪
f (x) = ⎨
⎪
0
⎪
⎩
0 < x <1
;
;
en cualquier otro caso?
15. La función de densidad de la variable aleatoria continua X, el
número total de horas, en unidades de 100 horas de que una
familia utilice una aspiradora durante un año se dio en el ejercicio
22 del conjunto de problemas del tema variables aleatorias y
distribuciones de probabilidad, como:
⎧ x
⎪
f ( x ) = ⎨ 2-x
⎪ 0
⎩
;
0 < x <1
;
1≤ x < 2
;
en cualquier otro caso
Encuentre el numero promedio de horas por año que la familia
utiliza la aspiradora.
16. Si X representa el resultado cuando se lanza un dado balanceado.
Encuentre μ g (X ) , donde g(X) = 3X2 + 4.
17. Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución de
probabilidad:
x
f(x)
-3
6
9
1
1
1
6
2
3
Encuentre μ g (X ) , donde g(X) = (2X + 1)2.
18. Encuentre el valor esperado de la variable aleatoria g(X) = X2,
donde X tiene la distribución de probabilidad del ejercicio 2.
19. Una gran empresa industrial compra varias máquinas de escribir
nuevas cada año, cuya cantidad depende de la frecuencia de
reparaciones en el año anterior. Suponga que el número de
157
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
maquinas de escribir, X, que se compran cada año tiene la
siguiente distribución de probabilidad:
x
f(x)
0
1
2
3
1
3
10
4
10
2
10
10
Si el costo del modelo que se desea adquirir permanece sin cambio
en $1200 durante un año y se ofrece un descuento de 50 X2 en
cualquier compra, ¿Cuánto dinero espera esta firma invertir en
máquinas de escribir para fin de año?
20. Una variable aleatoria continua X tiene una función de densidad:
⎧e − x ; x > 0
F ( x) = ⎨
; en otro caso
⎩0
Encuentre el valor esperado de g(x)=e2x/3
21. ¿Cuál en la utilidad promedio por automóvil para el distribuido si
la ganancia por cada vehículo es g(X) = X2, donde X es una
variable aleatoria que tiene la función de densidad del ejercicio
12?
22. El periodo de hospitalización, en días, para pacientes que sigue un
tratamiento para un cierto tipo de desorden renal es una variable
aleatoria Y = X + 4; donde X tiene la función de densidad:
⎧ 32
⎪
3
⎪ (x + 4)
⎪
f (x ) = ⎨
⎪ 0
⎪
⎪⎩
;
;
x>0
en cualquier otro caso
Encuentre el número promedio de días que una persona esta
hospitalizada para seguir el tratamiento contra este desorden.
158
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
III. VARIANCIA
1.
Calcular la varianza de la variablealeatoria X del ejercicio 1 de la
sección anterior esperanza matemática.
2.
Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución de
probabilidad:
x
-2
3
5
f(x)
0.3
0.2
0.5
Encuentre la desviación de X.
3.
La variable aleatoria X, que representa el numero de pedacitos de
chocolate en un pastel, tiene la siguiente distribución de
probabilidad:
x
2
3
4
5
6
f(x)
0.01
0.25
0.4
0.3
0.04
Utilizando el teorema 3.2, encuentre la variancia de X.
4.
5.
6.
Suponga las probabilidades 0.4, 0.3, 0.2 y 0.1, respectivamente, de
que 0, 1, 2 o 3 fallas de energía eléctrica afecten una cierta
subdivisión en un año cualquiera. Encuentre la media y la variancia
de la variable aleatoria X que representa el numero de fallas de
energía eléctrica que afectan esta subdivisión.
Las ganancias de un distribuidor, en unidades de $1000, en un
nuevo automóvil es una variable aleatoria X que tiene la función de
densidad que se dio en el ejercicio 12 del conjunto de problemas
del tema esperanza matemática. Encuentre la variancia de X.
La proporción de personas que responden a un cierto requerimiento
enviado por correo es una variable aleatoria X que tiene la función
de densidad que se dio en el ejercicio 14 del conjunto de problemas
del tema esperanza matemática. Encuentre la variancia de X.
159
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
7.
El número total de horas, en unidades de 100 horas, que una familia
utiliza una aspiradora durante un año es una variable aleatoria X que
tiene la función de densidad que se dio en el ejercicio 15 del
conjunto de problemas del tema esperanza matemática. Encuentre la
variancia de X.
8.
Con los datos del ejercicio 16 del conjunto de problemas del tema
esperanza matemática. Encuentre σ2g( X ) para la función g(X) = 3X2
+ 4.
9.
Encuentre la desviación estándar de la variable aleatoria g(X) = (2X
+ 1)2 en el ejercicio 17 del conjunto de problemas del tema
esperanza matemática.
10.
Con los resultados del ejercicio 21 del conjunto de problemas del
tema esperanza matemática, encuentre la variancia de g(X) = X2,
donde X en una variable aleatoria que tiene la función de densidad
que se dio en el ejercicio 12 del conjunto de problemas del tema
esperanza matemática.
11.
El periodo de tiempo, en minutos, que un aeroplano espera vía libre
para aterrizar en un cierto aeropuerto es una variable aleatoria
Y = 3X – 2, donde X tiene la función de densidad:
x
⎧
⎪1 − 4
;
x>0
⎪2 e
⎪
f (x ) = ⎨
⎪
0
;
en cualquier otro caso
⎪
⎪
⎩
Encuentre la media y la variancia de la variable aleatoria Y.
160
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
RESPUESTAS
VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
1.
Discreta, Continua; Continua; Discreta; Discreta; Continua
2.
3.
Espacio Muestral
x
Espacio Muestral
x
NNN
NNB
NBN
BNN
NBB
BNB
BBN
BBB
0
1
1
1
2
2
2
3
HHH
HHT
HTH
THH
HTT
THT
TTH
TTT
3
1
1
1
-1
-1
-1
-3
4.
S = {HHH, THHH, HTHHH, TTHHH, TTTHHH, HTTHHH,
THTHHH, HHTHHH,……}
Discreta
5.
a.- 1
b.- 1
30
10
6.
t
20
25
1
3
1
5
5
5
P(T = t)
30
7.
x
f(x)
0
1
2
3
8
4
2
27
9
9
1
27
161
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
8.
w
P(W = w)
-3
-1
1
3
1
2
4
8
27
9
9
27
9.
⎛ 5 ⎞⎛ 5 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜
⎟
x ⎠⎝ 4 − x ⎟⎠
⎝
f( x ) =
; para x = 0, 1, 2, 3, 4.
⎛10 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 4⎠
10.
f (x ) =
1
6
;
x = 1, 2, ...., 6.
11.
x
0
f(x)
1
2
2
4
1
7
7
7
12.
x
f(x)
0
1
2
703
741
117
11
1700
1700
850
850
162
3
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
13.
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
F(w ) = ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
;
para w < -3
;
para - 3 ≤ w ≤ -1
;
para - 1 ≤ w < 1
;
para 1 ≤ w < 3
;
para w ≥ 3
;
para x < 0
;
para 0 ≤ x ≤ 1
0
1
27
7
27
19
27
1
a.- 20
27
b.- 2
3
b.- 5
7
15.
⎧ 0
⎪ 2
⎪
⎪ 7
F( x ) = ⎨
⎪ 6
⎪ 7
⎪ 1
⎩
a.- 4
;
para 1 ≤ x < 2
;
para w ≥ 2
0
;
para x < 0
0.41
;
para 0 ≤ x < 1
0.78
;
para 1 ≤ x < 2
0.94
;
para 2 ≤ x < 3
0.99
;
para 3 ≤ x < 4
1
;
para x ≥ 4
17.
⎧
⎪
⎪
⎪
F( x ) = ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
18.
a.- 1
19.
4
1
b.4
20.
a.- 16
27
b.- 1
c.- 1
2
2
c.- 0.3
b.- 1
3
163
7
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
21.b.- 19
80
22.a.- 0.68
23. F( x ) =
24. F( x ) =
25.a.- 3
b.- 0.375
( x − 1)
2
;
1
4.
( x + 4)(x - 2)
27
;
1
3.
3
2
b.- F(x) = x
26. a.- 1/9
b.- 0.1020
27. a.- 0.7981
b.- 0.7981
2
; 0.3004
ESPERANZA MATEMÁTICA
1.
6
2.
3
3.
25 centavos
7
4
4.
1
2
5.
0.88
6.
$12.67
7.
$500
8.
$88
9.
$1.23
164
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
10.
Juego empatado
11.
$2100
12.
$333
13.
(ln 4 )
π
14.
8
15.
100 horas
16.
49.5
17.
209
18.
9
19.
$1855
20.
3
21.
$167
22.
8
15
8
VARIANCIA
1.
20/49
2.
3.041
3.
0.74
4.
μ=1 ;
5.
1
18
σ2 = 1
165
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
6.
37
7.
1
6
450
8.
1342.25
9.
118.9
10.
7
11.
μ = 10
180
y
;
σ
2
y
= 144
166
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Semana 13
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
INTRODUCCIÓN
Con frecuencia las observaciones que se generan en diferentes
experimentos estadísticos tienen el mismo tipo de comportamiento en
términos generales. En consecuencia la V.A. Discretas que se asocian, con
estos experimentos puede describirse esencialmente por la misma
distribución de probabilidad y por lo tanto se representa de una sola forma,
De hecho se necesita las distribuciones de probabilidad más importantes
para describir diferentes V.A. Discretas que se encuentran en la práctica. Así
tenemos la distribución: Binomial, Poisson, Hipergeométrica, Pascal
Multinomial.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL:
• Consideremos un experimento de Bernoulli: Éxito: p
Fracasa : 1 – P = q
•
Podemos calcular su media y varianza según el siguiente esquema:
Xi
P(Xi) = p(xi)
μ = EX =
0
1
q
p
∑ x p(x ) = 0 * q + 1 * p = p ⇒ μ = p
i
i
σ = ∑ x p(xi) - μ = 0 2 * q + 12 * p - p 2
2
2
i
2
σ 2 = p - p 2 = p(1 - p) = pq ⇒ σ 2 = pq
o n Bernoulli ↔ Binomial
•
p+q = 1
Luego, la media y varianza de la Binomial es:
μ = np
σ 2 = npq
167
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
o La distribución binomial se basa en la repetición de n veces el
experimento de Bernoulli.
o Condiciones que deben cumplir un experimento binómico.
1. La V. A. tiene 2 posibilidades: éxito o fracaso en cada ensayo.
2. Los n ensayos son independientes.
3. La probabilidad de éxito se mantienen constante.
4. Existen n ensayos donde n es constante.
DEDUCCIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Consideremos n V.A.I. X1 , X2, X3, ………Xn
Cada una de ellas en un experimento de Bernoulli.
⎧p; x èxito
p(x i ) = ⎨
⎩1 − p = q; fracaso
P {X1, X2, X3,.........., Xn} = p(X1 (w) ) p(X 2 (w) ).....p(X n (w) )
o Una posibilidad de ocurrencia de un éxito
p………………..p q………………..q
x éxito
n – x fracaso
n
x
P
(1-p)n-x
o Existen x posibilidades de éxito
⎛n⎞ x
⎜⎜ ⎟⎟ p (x - p) n - x
⎝ x⎠
⎛n⎞
P (X = x) = ⎜⎜ ⎟⎟ p x (1 - p) n - x , x = 0,1,.............., k ; k ≤ n
⎝ x⎠
La distribución binomial tiene media μ = np y varianza σ 2 = npq
parámetros en esta distribución, su deducción se realiza haciendo
uso de la definición.
168
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.
Determinar la probabilidad de obtener sellos cuando se lanza una
moneda 3 veces.
Solución
• X: V.A. de obtener como éxito sello
• Valores que toma la V.A. 0, 1, 2, 3
• P = ½; n = 3
x
⎛ 3 ⎞ ⎛1 ⎞
P(X = x) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ (1 - 1/2)3- x
⎝ x ⎠ ⎝ 2⎠
⎛3⎞
x = 0 : P(x = 0) = ⎜⎜ ⎟⎟ (1/2 )º (1 − 1 / 2)3− 0 = 1
8
⎝ 0⎠
⎛ 3⎞
x = 1 : P(x = 1) ⎜⎜ ⎟⎟ (1/2)1 (1 - 1/2)3-1 = 3/8
⎝1 ⎠
⎛3⎞
x = 2 : P(x = 2) = ⎜⎜ ⎟⎟ (1/2) 2 (1 - 1/2)3- 2 = 3/8
⎝ 2⎠
⎛ 3⎞
3
3−3
x = 3 : P(x = 3) = ⎜⎜ ⎟⎟ (1/2 ) (1 − 1 / 2 ) = 1 / 8
⎝ 3⎠
2.
Supongamos se trata de elegir aleatoriamente componentes
electrónicos de unas líneas de producción de los cuales, estamos
interesados en los defectuosos D y no defectuosos N se pide:
a) Determinar el espacio muestral S
b) Utilizando la distribución binomial, calcular la probabilidad de
extraer componentes defectuosos
c) Calcular su media y varianza
Solución:
169
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
a) Determinar el espacio muestral S:
S
DDD
D
DDN
D
D
N
D
N
DND
DNN
N
NDD
D
D
N
N
N
NDN
D
NND
N
NNN
b) Usando Binomial:
X: V.A. que el elemento sea defectuoso
X (w) = X: 0, 1, 2, 3
P=½ n=3
( )(
)
0
3− 0
⎛3⎞
=1
P(x = 0) = ⎜ ⎟ 1
1− 1
2
2
8
0
⎝ ⎠
1
3−1
⎛ 3⎞
=3
P(x = 1) = ⎜ ⎟ 1
1− 1
2
8
⎝1 ⎠ 2
( )(
(
)
)
3− 2
⎛3⎞⎛ 1 ⎞
=3
P(X = 2) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 1 - 1
2
8
2
2
⎝
⎠
⎝ ⎠
3
3−3
⎛ 3⎞
=1
P(X = 3) = ⎜ ⎟ 1
1-1
2
8
⎝ 3⎠ 2
( ) (
170
)
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
c)
Calculo de la media:
0
X(wi) = Xi
3
1
8
P(Xi) = p(xi)
∑ x p(x )
μ = EX =
1
i
i
=
3
8
2
3
8
1
8
12
3
=
8
2
Calculo de la varianza
2
24 ⎛ 3 ⎞
3
σ = ∑ x p(x ) - μ =
-⎜ ⎟ =
i
8 ⎝2⎠
4
2
2
i
2
Se verifica usando las formulas:
μ = Ex = np
σ 2 = E(x - μ ) 2 = Ex 2 - μ 2 = npq
En el problema resuelto:
μ = 3(1/2) = 3/2
σ 2 = 3(1/2) (1/2) = 3/4
3.
Supongamos que 10 aparatos de radar están operando
independientemente uno del otro y que la probabilidad de que solo
uno de los aparatos detecte un cohete enemigo es de 0.80. ¿Cuál es la
probabilidad de que nueve aparatos de radar detecten el cohete?
Solución:
X: V.A. de que el radar detecte un cohete
p= 0.80
n = 10
⎛10 ⎞
{x = 9} → p (x = 9) = ⎜ ⎟ 0.89 x 0.21 = 10 × 0.89 × 0.21 = 0.2684
⎝ 9⎠
4.
Un complejo sistema electrónico esta construido con cierto número
de componentes de apoyo en sus subsistemas. Un subsistema
contiene cuatro componentes idénticos cada uno con una
probabilidad de 0.2 de fallar en menos de mil horas. El sistema
funciona si dos o mas componentes cuales quiera de los cuatro que
171
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
trabajan en forma adecuada. Además se supone que los componentes
operan en forma independiente.
c) Encuentre la probabilidad de que exactamente dos de cuatro
componentes resistan más de mil horas.
d) Encuentre la probabilidad de que el sistema funcione por más de
mil horas.
Solución:
X: V.A. componentes que resistan mas de mil horas
Probabilidad de fallas en menos de 1000, horas P(Ei) = 0.2; i= 1, 2,
3, 4.
Probabilidad de no fallar en menos de 1000, horas P (Ei) = 0.8
n=4
p = 0.8
⎛ 4⎞
2
2
a) {x = 2} → P(x = 2) = ⎜⎜ ⎟⎟ (0.8) (0.2 ) = 0.1536
⎝ 2⎠
b)
{x ≥ 2} → P(x ≥ 2) = 1 - P (x < 2 ) = 1 - [P (0) + P(1)]
⎡⎛ 4 ⎞
⎤
⎛ 4⎞
= 1 - ⎢⎜⎜ ⎟⎟ 0.8 0. 0.2 4 + ⎜⎜ ⎟⎟ 0.81 x 0.2 3 ⎥
⎝1 ⎠
⎣⎝ 0 ⎠
⎦
= 1 - 0.0272
P(x ≥ 2) = 0.9728
5.
Un estudiante de ingeniería de sistemas tiene la certeza de aprobar
una signatura cualquiera con probabilidad 0.8. Si lleva 6 asignaturas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que salga mal en todas las asignaturas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben menos dos o mas de
cuatro cursos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe exactamente dos curso
sabiendo que al menos aprueba un curso?
Solución:
• X: V.A. cursos que el estudiante apruebe
• Valores de x: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
• p = 0.8 , n = 6
⎛6 ⎞
a) P (X = x) = ⎜⎜ ⎟⎟ 0.8 x (1 - 0.8) 6 - x ; x = 0 , 1, ..., 6
⎝x⎠
⎛6⎞
P (x = 0) = ⎜⎜ ⎟⎟ 0.8 0 (1 - 0.8) 6 = 0 .0000 64
⎝0⎠
172
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
b)
{x < 2 ∪ x > 4} → P((x < 2) ∪ (x > 4)) = P(x < 2) + P(x > 4) = 0.65696
P(0) + P(1) + p(5) + p(6) = 0.65696
P ( x > 4) = 0.65536
P ( x < 2) = P( x = 0) + P( x = 1) = 0.0016
⎛6⎞
6!
(1)(0.2)6 = 0.000064
P(x = 0) = ⎜⎜ ⎟⎟ (0.8)0 (1 - 0 - 8)6 - 0 =
0
0!*6!
⎝ ⎠
⎛ 6⎞
6!
(0.8)1 (0.2)5 = 0.001536
P(x = 1) = ⎜⎜ ⎟⎟ (0.8)1 (1 - 0 - 8)6 -1 =
1!*5!
⎝1 ⎠
⎛6⎞
6!
(0.8)2 (0.2)4 = 0.01536
P(x = 2) = ⎜⎜ ⎟⎟ (0.8)2 (1 - 0 - 8)6 - 2 =
2!*4!
⎝ 2⎠
⎛ 6⎞
6!
(0.08)3 (0.2)3 = 0.08192
P(x = 3) = ⎜⎜ ⎟⎟ (0.8)3 (1 - 0 - 8)6 - 3 =
3!*3!
⎝3⎠
⎛6⎞
6!
(0.8)4 (0.2)2 = 0.24576
P(x = 4) = ⎜⎜ ⎟⎟ (0.8) 4 (1 - 0 - 8)6 - 4 =
4!*2!
⎝ 4⎠
⎛6⎞
6!
5
1
P(x = 5) = ⎜ ⎟ (0.8)5 (1-0-8)6-5 =
( 0.8) ( 0.2 ) = 0.293216
5!*1!
⎝5⎠
⎛6⎞
6!
6
P(x = 6) = ⎜ ⎟ (0.8)6 (1-0-8)6-6 =
( 0.8) ( 0.2 ) 0 = 0.362144
6!*0!
⎝6⎠
Se puede usar la propiedad complementaria
P(x > 4) = 1- P(x ≤ 4) = 1- 0.34464 = 0.65536
c) P (x = 2 / x ≥ 1) =
p
({ x
= 2} ∩ {x ≥ 1} )
P (x ≥ 1)
173
=
P (x = 2)
= 0.0153609831
1 - P (x < 1)
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
X → P (X, λt) = p (x, λt)
Los experimentos que resultan en valores numéricos de una variable
aleatoria X la misma, que representa el numero de resultado que ocurre en
un intervalo de tiempo dado o en una región especifica por t,
frecuentemente se llaman experimentos de Poisson y se define por:
⎧ e - λt (λt) x
; x = 0, 1, 2...k, k ≤ n
⎪
p(x, λt) = P(X = x) = ⎨
x!
⎪
⎩
Donde λ es el numero promedio de resultado por unidad de tiempo o
región y e = 2.7182
λ :
( ) ≠ de llamadas telefonicas
λ :
( ) bactarias
3
t = 1cm 3
λ :
(
t = 1 hectàrea
1 hora
1cm
) roedores
1 hectàrea
t = 1 hora
Región: segmento de línea, área, volumen, tiempo: segundo, minutos,
horas, etc.
Un experimento de Poisson que surge de un proceso de Poisson y tiene las
siguientes propiedades.
1.
2.
El numero de resultados que ocurre en un intervalo de tiempo, región,
volumen específicos es independiente del numero que ocurre en
cualquier otro intervalo disjunto de tiempo o región del espacio
disjunto. De esta manera se dice que el proceso de Poisson no tiene
memoria o que son estocásticamente independientes ya que las
ocurrencias en intervalos no se superponen.
La probabilidad de que un resultado sencillo ocurra en un intervalo de
tiempo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la
longitud del intervalo de tiempo o el tamaño de la región y no
depende del número de resultados que ocurre fuera del intervalo o
región.
174
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
3.
La probabilidad de que más de un resultado ocurra en ese intervalo
tan corto o en esa región tan pequeña es despreciable.
λ : Promedio de ocurrencia por la unidad de tiempo o región
t : tiempo en segundo, minutos, horas.
La media y varianza de la distribución de Poisson p(x, λt) tienen
ambas el valor λt
EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
1.
El tiempo promedio de partículas radioactivas que pasan a través de
un contador durante un milisegundo en un experimento de laboratorio
es 4. ¿Cuál es la probabilidad de que entren 6 particular al contador
en un milisegundo determinado?
Solución:
X: variable aleatoria particular que llegan al contador
λ : 4 partículas / milisegundo
4 part
t : 1 milisegundo
λt =
* 1 miliseg. = 4 part ;
miliseg
{x
2.
= 6} ⇒ p (x = 6) =
e-4 (4)6
6!
= 0.1042
Se ha observado en forma empírica que las muertes ocasionadas por
accidentes de tráfico ocurren a razón de ocho por hora en los largos
fines de semana feriados. En el supuesto que estas muertes ocurren en
forma independiente, calcular la probabilidad de que:
a) Transcurra una hora sin que haya muertes
b) Transcurra un periodo de 15 minutos sin muertes
c) Transcurra cuatro periodos consecutivos, que no se traslapen, sin
que haya muertos
Solución:
X : V.A. accidentes que causan la muerte
acc
λ =8
hora
λ t = 8 accidentes
t = 1 hora
175
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
−8
(8) 0
= e -8 = 0.003355 ≈ 0.0034
0!
15 1
1
t=
= hora , λ t = 8 x = 2 accidentes
60 4
4
b)
-2 0
{x = 0} → P (x = 0) = e 2 = e- 2 = 0,1353
0!
c) 4 periodos
a)
{x = 0} → P( x = 0) = e
( )
→ { X1 , X 2 , X3 , X3 ,} → P( X 1 X 2 X 3 X 4 ) = e −2 = e −8 = 0.0034
V.A. Independientes, donde:
P(X1 ) = P(X 2 ) = P(X 3 ) = P(X 4 ) = e-2
4
3.
En una determinada planta manufacturera han ocurrido accidentes a
razón de uno cada dos meses. En el supuesto de que ocurren en forma
independiente.
a) ¿Cual es el número esperado de accidentes al año?
b) ¿Cual es la desviación estándar del número de accidentes al año?
c) ¿Cual es la probabilidad de que no haya accidentes en un mes
determinado?
Solución:
X : V.A. accidentes
λ = 1 accd / 2 meses)
t = 1 mes
1
2
λ t = accident.
a)
⎛ 1 accident ⎞
Ex = λ t = ⎜
⎟ (12 meses) = 6 accident.
⎝ 2 mes ⎠
b)
σ 2 = λ t = 6 ⇒ σ = 6 = 2. 4495 accident.
c)
λ = accidentes
1
2
t = 1 mes
λt =
1
accident.
2
{x = 0} → P(x = 0) = e-0.5 (0.5)0 0! = e -0.5 = 0.6065
4.
En promedio en una cierta intersección ocurre en 3 accidentes viales
por mes, ¿Cuál es la probabilidad de que un determinado mes en este
intersección?
176
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
a) Ocurran exactamente 5 accidentes?
b) Ocurran menos de 3 accidentes?
c) Calcular su media y varianza
Solución:
X: Variable aleatoria accidentes que ocurran en un mes
λ : 3 accidentes/mes
3 accidentes
× mes = 3 accidentes
λt
t : 1 mes
mes
e -3 (3) 5
= 0.1008
5!
a)
X (w) = x = 5 accidentes; p (x = 5) =
b)
{x < 3} → P(x < 3) = ∑ P(x , 3) = P(0,3) + P (1,3) + P(2,3)
c)
⎡ 31 3 2 ⎤
= e ⎢1 + + ⎥ = 0.4230
⎣ 1! 2! ⎦
2
media μ = λ t = 3 accidentes; σ = λ t = 3
2
x =0
-3
5.
El número promedio de ratas de campo por acre en un campo de trigo
de cinco acres se estima que es de 12. Encuentre la probabilidad de
que menos de 7 ratas de campo se encuentre:
a) En un acre de terreno determinado
b) En dos de los siguientes tres acres
Solución:
X: variable aleatoria de ratas en el campo
λ : 12 ratas / acres
ratas
λt = 12
× 1 acre = 12 ratas
t : 1 acre
acre
6
a)
{x < 7} → P(x < 7) = ∑ p(x, λ t) = p(0)+ p(1)+ p(2)+ p(3)+ p(4)+ p(5) p(6)
x=0
⎡ 1 121 122 123 124 125 126 ⎤
= e-12 ⎢ +
+
+
+
+
+
⎥
0
!
1
!
2
!
3
!
4
!
5
!
6! ⎦
⎣
= e-12 [7457.8] = 0.04582230
6
P (x < 7) = 0.0458
⎛3 ⎞
2
b) P (x = 2) = ⎜⎜ ⎟⎟ (0.0458) (1 − 0.0458)3− 2 = 0.0060
⎝ 2⎠
177
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
6.
En un sistema de cómputo de tiempo compartido, el número de
peticiones de tele puerto es de 0.2 por milisegundo, en promedio y
sigue una distribución de Poisson.
a) Calcular la probabilidad de que no lleguen peticiones durante el
siguiente milisegundo.
b) Calcular la probabilidad de que no lleguen peticiones durante los
tres siguientes milisegundos.
Solución
X: V.A. de que no lleguen peticiones
peticiones
λ : 0.2
λ t = 0.2 peticiones
milisegundo
t: 1 milisegundo
a)
P(x = 0 ) =
e -0.2 0.2 0
= e -0.2 = 0.8187
0!
b) Los eventos son independientes por cada milisegundo
P (X1 , X 2 , X 3 ) = e-0.2 x e-0.2 x e-0.2 = e -0.6 = 0.5488
7.
En un conmutador telefónico se reciben llamadas de acuerdo con un
proceso de Poisson con parámetros λ = 5 llamadas por hora. Si hay
una persona en el conmutador. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) transcurran al menos 15 minutos ante de la siguiente llamada?
b) no pasen más de 10 minutos antes de la siguiente llamada
c) De que trascurran exactamente cinco minutos antes de la
siguiente llamada?
Solución:
X : V.A. llamadas
λ : 5 llamadas/ hora
t : 1 hora
a)
t =
{x
15
1
1
5
hr → λ t = 5 x
=
=
60
4
4
4
≥ 1} → P( x ≥ 1) = 1 - e
-5
4
178
= 0.7135
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
b)
t =
{x
c)
10
1
1
5
= hr → λ t = 5 ×
=
60
6
6
6
≤ 1} → P(x ≤ 1) = P(0) + P(1) = e
-5
6
+
e
-5
6
( 6))
5
1
1!
= 0.7968
5
1
1
5
hr → λ t = 5 *
=
=
60
2
12
12
1
-5
e 12 5
12
= 0.2747
{x = 1} → P(x = 1) =
1!
λ =
( )
8.
Se certifica la calidad de los discos para computadoras pasándolos por
un certificador que cuenta el número de pulsos faltantes. Una
determinada marca de discos para computadoras tiene en promedio
0.1 pulsos faltantes por disco.
a) Calcular la probabilidad de que el siguiente disco que se
inspeccione no le falten pulsos.
b) Calcular la probabilidad de que al siguiente disco que se
inspeccione le falte un pulso.
c) Calcular la probabilidad de que a ninguno de los dos discos
inspeccionados le falten pulsos
Solución:
X: V.A. Pulsos faltantes en el disco
λ : 0.1 Pulsos/disco
t: 1 disco
a)
e-0.1 x 0.10
{x = 0} → P(x = 0) =
= e- 0.1 = 0.9048
0!
b)
{x ≥ 1} → p(x ≥ 1) = 1 - P(x < 1) = 1 - P(x = 0) = 1 - 0.9048 = 0.0952
c)
{X 1
y X 2 } → P(X1 X 2 ) = P (X1 ) P(X 2 ) = e -0.1 x e -0.1 = 0.8187
179
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
• V.A. independientes: X1, X2
⎛n⎞
Binomial : P (X = x) = ⎜⎜ ⎟⎟ P x (1 - P)
⎝x⎠
μ = np; σ 2 = npq
Poisson : P(x = x) =
e
-λ t
n -x
; x = 0,1,2,...
(λ t )x ; x = 0,1,2,3...
x!
μ = λ t ; σ = λt ⇒ σ = μ
2
2
TEOREMA APROXIMACIÓN ENTRE LA DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL Y POISSON
Sea X una variable aleatoria Binomial con distribución de probabilidad
β ( x , n, p )
Cuando n → ∞, p → 0, μ = np permanece constante
⎧ e −μ μ x
, x = 0,1, ..,
⎪
β (x, n, p ) → p(x, μ ) → Poisson( x, λ t ) = ⎨ x!
⎪0
en otro caso
⎩
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.
En un proceso de manufactura en el cual se producen piezas de
vidrio, ocurren defectos o burbujas, ocasionando que la pieza se no
deseable para la venta.
Se sabe que en promedio uno de casa mil piezas tiene una o más
burbujas ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de
8000 piezas, menos de 7 de ellas tengan burbujas?
Solución:
X : variable aleatoria numero de burbujas
n= 8000 grande
P= 1/1000 = 0.001 pequeña
180
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
⎛ 8000 ⎞
x
n− x
⎟ ( 0.001) (1 - 0.001) , no
x = 0⎝
⎠
conveniente usar la distribución binomial.
{x
6
∑⎜x
< 7} → P(x < 7) =
Como observamos n → ∞ y μ → 0 , usamos
aproximación de la binomial a la Poisson.
Luego:
μ = np = 8000 x 0.001 = 8
el
teorema
sería
de
μ = 8.
Apliquemos Poisson
6
{x < 7} → P(x < 7) = ∑ P (x , μ )
x=0
e - μ (μ )
P (x , μ ) =
x!
x
6
P(x < 7) = ∑ P(x ; 8) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)
x=0
+ P(5) + P(6) ≈ β (x, 8000, 0.001)
⎡ 8 82 83 84 85 86 ⎤
= e-8 ⎢1 + + + + + + ⎥
⎣ 1! 2! 3! 4! 5! 6! ⎦
= e −8 [1 + 8 + 32 + 85.33 + 160.66 + 273.06 + 364.08]
= e-8 [934.13] = 0.3134
Luego P(x < 7) = ∑ b(x; 8000,0.001) ≈ 0.3134
2.
La probabilidad de que un estudiante presente problema de escoliosis
(desviación lateral sufrida por la columna vertebral) en una escuela de
la localidad es de 0.004. De los siguientes 1875 estudiantes revisados,
encuentre la probabilidad de que:
a) Menos de 5 presenten este problema
b) 8, 9 ó 10 presenten este problema
Solución:
X = Variable aleatoria de que un estudiante presente problemas
de escoliosis
n= 1875 grande
P= 0.004 pequeñas
Usando luego β (x; 1875, 0.004) ≈ P (x, 7.5)
181
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
μ = np = 1875 x 0.004 = 7.5
a)
4
4
{x < 5} ∑ = P(x, 7,5) → P(x < 5) = ∑ P(x; 7.5)
x=0
x =0
⎡ 7.5
7.5
7.5
7.5 4 ⎤
= e ⎢1 +
+
+
+
⎥
1!
2!
3!
4! ⎦
⎣
= e −7.5 [1 + 7.5 + 28.125 + 70.313 + 131.8359] ≈ 0.1321 = 0.13206
-7.5
b)
2
3
10
10
x =8
x =8
{8 ≤ x ≤ 10} → P (8 ≤ x ≤ 10) = ∑ β (x;1875,0.004) ≈ ∑ P( x,7.5)
10
≈ ∑ P( x,7.5)
x =8
≈e
-7.5
≈ e -7.5
⎡ 7.58
7.5 9 7.510 ⎤
+
+
⎢
⎥
9!
10! ⎦
⎣ 8!
x [610.3941]
≈ 0.3376
182
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Semana 14
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución continúa de probabilidad mas importantes en todo el campo
de la estadística es la distribución normal. Su gráfica recibe el nombre de
curva normal, teniendo forma de campana (como en la figura), la cual
describe aproximadamente muchos fenómenos que ocurren en la
naturaleza, la industria y la investigación. Fue estudiada por primera vez en
el siglo XVIII cuando científicos observaron con sorpresa el grado de
regularidad en los errores de medición descubrieron que los patrones
(distribuciones) eran aproximados a una distribución continua que
denominaran “curva normal de errores” y le atribuyeron reglas de
probabilidad. En 1733 Abraham De Moivre desarrollo la ecuación
matemática de la curva normal, también se llama distribución Gaussiana en
honor a Karl Friedrich Gauss (1777-1855) quien también derivo su ecuación
en un estudio de errores en mediciones repetidas de la misma cantidad. La
ecuación matemática depende de los parámetros μ y σ 2 y notandosela
por N ( x; μ ; σ 2 ) .
f(x)
σ
μ -σ
μ +σ
x
μ
1 ⎛ x−μ ⎞
σ ⎟⎠
− ⎜
1
X → f ( x) =
e 2⎝
2πσ
2
−∞< x <∞
183
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Particularidades:
1. La media, mediana y moda x, Me, Mo coinciden, definiendo la
simetría de f (x) .
2. Es simétrico respecto a su media μ
3. La curva tiene punto de inflexión μ ± σ → (desviación estándar)
4. Es asintótica con el eje x
⎛∞
⎞
5. La gráfica de la curva y el eje x encierra un área 1⎜⎜ ∫ f ( x)dx = 1⎟⎟
⎝ −∞
⎠
(
∞
Media: EX =
∫ xf ( x)dx = μ
−∞
6.
)
∞
Varianza: E( X − μ ) = ∫ (x − μ) 2 f (x)dx = σ 2
2
−∞
Comportamientos más frecuentes en experimentos.
184
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Áreas bajo la curva normal:
Experimento: X → N ( x, μ , σ 2 )
z=
X −μ
σ
En cualquier experimento que hagamos estaremos interesados en calcular la
probabilidad de ocurrencia en el intervalo dado <a,b>:
b
b
P(a < X < b ) = ∫ f ( X )dX = ∫
a
a
1
2πσ
e
1 ⎛ X −μ ⎞
− ⎜
⎟
2⎝ σ ⎠
2
dX, para cada a y b tendríamos
que integrar para evitar, se utiliza la transformación Z =
(
)
x−μ
σ
y se logra
estandarizar N x, μ , σ 2
⎛a−μ X −μ b−μ⎞
P(a < X < b ) = P⎜
<
<
⎟ = P (Z 1 < Z < Z 2 )
σ
σ ⎠
⎝ σ
Definimos finalmente:
P(a < x < b ) = P(Z < Z 2 ) − P(Z < Z 1 )
La normal estándar N ( z;0,1) es la que mediante los métodos numéricos en
integración se determinan los diferentes valores de Z y sus respectivas
probabilidades que se presentan en una tabla. A continuación mostramos
que su media es cero y varianza 1.
1
1
⎛ X −μ⎞ 1
E (Z ) = E⎜
⎟ = E ( X − μ ) = (EX − μ ) = (μ − μ ) = 0
σ
σ
⎝ σ ⎠ σ
2
1
σ2
⎛ X −μ⎞
⎛ X −μ⎞
2
V (Z ) = V ⎜
⎟ = E⎜
⎟ = 2 E(X − μ ) = 2 = 1
σ
σ
⎝ σ ⎠
⎝ σ ⎠
185
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
LECTURA DE LA TABLA
Casos que se presentan en solución de problemas relacionados con la
distribución normal.
Caso 1. Cuando la probabilidad se encuentra en la tabla
Caso 2. Cuando la probabilidad no se encuentra en la tabla es necesario
realizar una interpolación lineal.
Caso 3. Cuando se nos pide determinar un número k dada una
probabilidad la cual se puede o no encontrar en la tabla. Usando
la normal estándar con media 0 y varianza 1: N (z,0,1) , se
determina la probabilidad deseada. La lectura de la tabla se realiza
de izquierda a derecha.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Determinar las siguientes probabilidades:
1.
Utilizando la definición calcular las siguientes probabilidades:
a)
P(Z < 1.48)
0.9306
0
b)
1.48
P(Z < −0.53)
186
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
c)
P(2.45 < Z < 3.2)
d)
P(− 2.01 < Z < −1.05)
e)
P(− 1.96 < Z < 1.25)
Solución:
a) 0.9306
b) 0.2981
c) P(Z < 3.2) − P ( Z < 2.45) = 0.9993 − 0.9929 = 0.0064
d) P(− 2.01< Z < −1.05) = P(Z < −1.05) − P(Z − 2.01) = 0.1469− 0.0222= 0.1247
e)
2.
P ( −1.96 < Z < 1.25) = P(Z < 1.25) − P(Z < −1.96) = 0.8944 − 0.0250 = 0.8694
Dada la variable x distribuida normalmente con media 8 y desviación
estándar 2.5 encuentre:
P ( X < 15)
a)
b) El valor de k tal que P( X < k ) = 0.2236
c) El valor de k tal que P ( X > k ) = 0.1814
d)
P(17 < x < 21)
187
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Solución:
a)
b)
X → N ( X ; 18; 2.5 2 )
⎛ X − 18 15 − 18 ⎞
P ( X < 15) = P⎜
<
⎟
2.5 ⎠
⎝ 2.5
= P(Z < −1.2) = 0.1151
Calcular k tal que P( X < k ) = 0.2236
⎛ X − 18 k − 18 ⎞
<
P⎜
⎟ = 0.2236
2.5 ⎠
⎝ 2.5
k − 18 ⎞
⎛
P⎜Z <
⎟ = 0.2236
2.5 ⎠
⎝
z=0.75
k − 18
= 0.2236
2.5
k = 18+2.5(-0.75) = 16.12
c)
Calcular k tal que P( X > k ) = 0.1814
P( X > k ) = 1 − P( X ≤ k ) = 0.1814
P( X ≤ k ) = 1 − 0.1814
k − 18 ⎞
⎛
P⎜ z <
⎟ = 0.8186
2.5 ⎠
⎝
k - 18
= 0.91
2.5
k = 18 + 2.5(0.91) = 20.28
d)
21 − 18 ⎞
⎛ 17 − 18
P(17 < X < 21) = P⎜
<z<
⎟
2.5 ⎠
⎝ 2.5
= P(− 0.4 < z < 1.2)
= P( z < 1.2) − P( z < −0.4)
= 0.8849 − 0.3446
= 0.5403
188
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
•
3.
Supongamos que una población estudiantil de tamaño
N=3000 tiene una media de 18 años de edad, y una
desviación estándar de 2.5 años. ¿Cuántos estudiantes
tienen edades entre 18 y 21 años?
Tenemos la probabilidad P(17 < X < 21) = 0.5403
Número de estudiantes = 3000(0.5403)
= 1620.9
Rpta: número de estudiantes = 1621
Una maquina despachadora de refrescos esta ajustada para servir un
promedio de 200 ml. Por vaso. Si la cantidad de refrescos es
normalmente distribuida con una desviación estándar igual a 15 ml.
a) ¿Qué fracción de los vasos contendrá más de 224ml.?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una vaso contenga entre 191 y
209 ml.?
c) ¿Cuantos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos
de 230 ml. En los siguientes 1000 refrescos?
d) ¿Por debajo de que valor se obtiene el 25% mas pequeño de los
refrescos?
Solución:
X: V.A capacidad del vaso
μ : 200 ml/vaso
σ : 15 ml.
a)
{X
> 224} ⇒ P ( X > 224 ) = 1 − P ( X ≤ 224 )
224 − 200 ⎞
⎛
= 1 − P⎜ z <
⎟
15
⎝
⎠
= 1 − P( z < 1.6) = 1 − 0.9452
P( X > 224) = 0.0548
b)
{191 < X
209 − 200 ⎞
⎛ 191 − 200
< 209} ⇒ P(191 < X < 209 ) = P⎜
<z<
⎟
15
15
⎝
⎠
= P(− 0.6 < z < 0.6 )
= P (z < 0.6 ) − P( z < −0.6 )
= 0.7257 − 0.2743
= 0.4514
189
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
c)
{X
> 230} ⇒ P ( X > 230 ) = 1 − P ( X ≤ 230 )
230 − 200 ⎞
⎛
= 1 − P⎜ z <
⎟
15
⎠
⎝
= 1 − P(z < 2)
= 0.0228
Número de vasos = 1000 × 0.0228 = 22.8 ≈ 23
d)
Caso en que la probabilidad no se encuentra en la tabla, para ello
es necesario realizar una interpolación lineal.
0.25
x
k
x
μ = 200
{x < k } ⇒ P(x < k ) = 0.25 ⇒ P⎛⎜ z < k − 200 ⎞⎟ = 0.25
15 ⎠
⎝
0.25 probabilidad que no se encuentra en la tabla.
-0.67
Z
-0.68
0.2514
0.25
0.2483
0.2483 − 0.25
− 0.68 − z
=
− 0.68 − (− 0.67 ) 0.2483 − 0.2514
− 0.68 − z − 0.0017
=
− 0.01
− 0.0031
⎛ 17 ⎞
− 0.68 − z = −0.01⎜ ⎟
⎝ 31 ⎠
z = −0.6745
190
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
k − 200 ⎞
⎛
P⎜ z <
⎟ = 0.25
15 ⎠
⎝
z=-0.6745
k − 200
= −0.6745
15
k = 15 × −0.6745 + 200
k = 189.88 ≈ 190ml.
4.
El diámetro interno ya terminado de un anillo de pistón está
normalmente distribuido con una media de 10 centímetros y una
desviación estándar de 0.03 centímetros.
a) ¿Qué proporción de anillos tendrá un diámetro interno que
excede de 10.075 centímetros.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un anillo de pistón tenga en
diámetro interno entre 9.97 y 10.03 centímetros?
c) ¿Por debajo de que valor de diámetro interno caerá el 18.5% de
los anillos de pistón?
Solución:
X : V.A. diámetro interno del pistón
μ =10cm.
σ =0.03 cm.
a)
{X
> 10.075} → P( X > 10.075) = 1 − P( X ≤ 10.075)
= 1 − P(Z < 2.5)
= 1 − 0.9938
= 0.0062
b)
{9.97 < X
< 10.03} → P(9.97 < X < 10.03) = P(−1 < z < 1)
= 0.8413 − 0.1587
= 0.6826
c)
La probabilidad dada 0.185 no se encuentra en la tabla hagamos
una interpolación lineal para encontrar el valor k buscado.
k − 10 ⎞
⎛
P( X < k ) = 0.185 ⇒ P⎜ z <
⎟ = 0.185
0.03 ⎠
⎝
191
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
-0.88
Z
-0.89
0.1894
0.0185
0.1867
0.185
0
x
k
μ = 10
x
− 0.89 − z
0.1867 − 0.185
=
− 0.89 − (− 0.88) 0.1867 − 0.1894
17
= −0.8963
27
k − 10 ⎞
k − 10
⎛
P⎜ z <
= −0.8963 → k = 9.973111 ≅ 9.9731
⎟ = 0.185 ⇒
0.03 ⎠
0.03
⎝
z = −0.89 − 0.01×
z=0.8963
Rpta. P ( X < 9.9731) ≅ 0.185
192
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Semana 15
ERRORES DE APROXIMACIÓN EN MEDICIONES
USANDO LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
En la solución de problemas también se puede presentar error de
aproximación en las mediciones.
Así por ejemplo: si aproximamos a las
error
Centenas
± 50
Decenas
±5
Unidades
± 0.5
Décimas
± 0.05
Centésimas
± 0.005
Milésimas
± 0.0005
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
5.
Una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $9.25
por hora con una desviación estándar de 60 centavos. Si los salarios
están distribuidos aproximadamente en forma normal y los montos se
cierran a centavos.
a) ¿Qué porcentaje de los trabajadores reciben salarios entre $8.75
y $9.69 por hora inclusive?
b) ¿el 5% por ciento más alto de los salarios por hora de empleado
es mayor a que cantidad?
Solución:
X : V.A. salarios por hora que perciben los empleados
μ =$9.25
σ =$0.60
e = ± 0.005
193
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
a)
{8.75 ≤ X ≤ 9.69} → P(8.75 ≤ X ≤ 9.69) ≅ P⎛⎜ 8.75− 0.005− 9.25 < z < 9.69+ 0.005− 9.25⎞⎟
⎝
0.60
0.60
⎠
≅ P(− 0.84 < z < 0.74) = 0.7704 − 0.2005
≅ 0.5699 → 56.99%
b)
P( X > k ) = 0.05
P( X > k ) = 1 − P( X ≤ k ) = 0.05
P( X ≤ k ) = 0.95
0.05
0.95
k
xx
k + 0.005 − 9.25 ⎞
k + 0.005 − 9.25
⎛
= 1.645
P⎜ z <
⎟ = 0.95 ⇒
0.60
0.60
⎝
⎠
1.64 + 1.65
z=
= 1.645
k = $10.232
2
∴ P( x > 10.232 ) = 0.05 , es el salario mas alto por hora es k=10.232
6.
Si un conjunto de observaciones están normalmente distribuidas, ¿Qué
porcentaje de estas difiere de la media en
a) Mas de 1.3 σ ?
b) Menos de 0.52 σ ?
Solución:
X: V.A. tiene una distribución N ( x, μ , σ 2 )
a)
La diferencia en valor absoluto
X − μ ; P( X − μ > 1.3σ ); P( X − μ < 0.52σ )
P( X − μ > 1.3σ ) = 1 − P( X − μ < 1.3σ )
z−μ
⎛
⎞
= 1 − P⎜ − 1.3 <
< 1.3 ⎟
σ
⎝
⎠
= 1 − P(− 1.3 < z < 1.3)
= 1 − (0.9032 − 0.0968)
= 0.1936
∴ P( x − μ > 1.3σ ) = 19.36%
194
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
b)
P ( X − μ < 0.52σ ) = P (− 0.52 < z < 0.52 )
= 0.6985 − 0.3015
= 0.3970
P ( X − μ < 0.52σ ) = 39.70%
7.
La resistencia a la tensión de cierto componente metálico está
normalmente distribuida con una media de 10000 kilogramo por
centímetro cuadrado y una desviación estándar de 100 kilogramos por
centímetro cuadrado. Las mediciones se registran y se redondean a 50
kilogramos.
a) ¿Cuál es la proporción de estos componentes que exceden de
10150 kilogramos por centímetro cuadrado de resistencia a la
fusión?
b) Si las especificaciones requieren que todos los componentes
tengan una resistencia a la tensión entre 9800 y 10200
kilogramos por centímetro cuadrado inclusive, ¿qué proporción
de piezas se esperaría que se desecharan?
Solución:
X: V.A. resistencia a la tensión
μ = 10000 Kg/cm2
σ =100 kg/cm2
Como las mediciones se redondean a los 50 kg/cm2 el error
50
e=±
= ±25
2
{X > 1050} → P( X > 1050) = 1 − P( X ≤ 1050)
a)
1050 + 25 − 10000 ⎞
⎛
≅ −1 − P⎜ z <
⎟
100
⎝
⎠
≅ 1 − P ( z < 1.75)
≅ 1 − 0.9599
P ( X > 1050 ) ≅ 0.0401
195
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
b)
{9800≤ X ≤ 10200} → P(9800≤ X ≤ 10200) ≅ P⎛⎜ 9800− 25−1000< z < 10200+ 25−10000⎞⎟
100
⎝
100
≅ P(− 2.25 < z < 2.25)
≅ 0.9878 − 0.0122
≅ 0.9756
Se espera que desechen: 1 − 0.9756 = 0.0244 → 2.44%
PROPIEDADES IMPORTANTES:
1.
2.
(
)
Por ser continua la distribución normal: N X , μ , σ 2 se cumple que:
P(a < X < b ) = P(a ≤ X ≤ b ) = P(a < X ≤ b ) = P(a ≤ X ≤ b )
Se justifica por que la probabilidad en
punto es cero, NO
OCURRIENDO así en el caso discreto.
P( X − μ < σ ) = 0.6826 indica que los datos se alejan de la media una
desviación estándar.
P( X − μ < 2σ ) = 0.9544 indica que los datos se alejan de la media dos
desv. est.
P ( X − μ < 3σ ) = 0.9974 indica que los datos se alejan de la media tres
3.
4.
dev. est.
Es poco común observar un valor de una población normal que se
encuentre mas lejos de 2 desviaciones estándar de μ . Estos resultados
serán importantes en el desarrollo de procedimientos de prueba de
hipótesis.
Los resultados que observamos en 2 con frecuencia se reporta en
forma de porcentaje y se conocen como la regla empírica (la evidencia
empírica ha mostrado que varios histogramas de datos reales pueden
ser aproximados por curvas normales)
Si la distribución en la población de una variable es
(aproximadamente) normal, entonces.
a) Alrededor de 68% de los valores están dentro de 1 desv. est. De
la media.
b) Alrededor de 95% de los valores están dentro de 2 desv. est. De
la media.
c) Alrededor de 99.7% de los valores están dentro de 3 desv. est.
De la media.
196
⎠
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL A LA
BINOMIAL
Las probabilidades que se asocian con experimentos binomiales pueden
obtenerse fácilmente cuando n es pequeña de la fórmula b(x, n, p). Si n es
grande, es conveniente calcular las probabilidades binomiales por
procedimientos de aproximación.
La distribución binomial se aproxima bastante bien con la normal en
problemas prácticos cuando la distribución discreta tiene forma de
campana. Planteamos luego un teorema que permite utilizar áreas bajo la
curva normal para aproximar propiedades binomiales cuando n es
suficientemente grande.
TEOREMA.- si X es una variable aleatoria binomial con media μ = np ,
varianza σ 2 = nqp, entonces la forma límite de la distribución de:
x − np
z=
cuando n → ∞ es la normal estándar N (z ,0,1)
npq
•
La aproximación a la normal es buena para resolver probabilidades
binomiales siempre que p no este cercano a 0 o 1. La aproximación
es excelente cuando n es grande y bastante buena para valores
pequeños de n, si p esta razonablemente cercana a ½. Una guía para
aplicar cuando puede utilizarse la aproximación normal es tener en
cuenta que np o nq sean mayores o iguales a 5.
•
Para realizar la aproximación es necesario usar el factor corrección
± 0 .5 .
197
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Los puntos medios son las marcas de clase del histograma, pasando la curva
aproximadamente por los puntos medios de la parte superior de los
rectángulos.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.
Supongamos que tenemos β (x,15,0.4) es decir es un experimento en
donde n=15 y p=0.4 y consideremos que el número de éxitos varia
entre 7 y 9 inclusive, se pide calcular la probabilidad.
a) En forma exacta
b) En forma aproximada
Solución:
X: V.A. sique una distribución binomial.
μ =np=15(0.4)=6
σ = 15 × 0.4 × 0.6 = 1.897
a)
9
Valor exacto P(7 ≤ x ≤ 9) = ∑ β ( x,15,0.4 ) = P(7 ) + P(8) + P(9)
x =7
⎛15 ⎞
P(7 ) = ⎜⎜ ⎟⎟0.4 7 × 0.6 8 = 0.1771
⎝7 ⎠
⎛15 ⎞
P(8) = ⎜⎜ ⎟⎟0.48 × 0.67 = 0.1181
⎝8 ⎠
198
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
⎛15 ⎞
P ( 9 ) = ⎜ ⎟ 0.49 × 0.66 = 0.0612
⎝9 ⎠
P ( 7 ≤ x ≤ 9 ) = 0.3564
b)
Valor aproximado,
continuidad 0.5
{7 ≤ X
usamos
el factor
de
corrección
por
9 + 0.5 − 6 ⎞
⎛ 7 − 0.5 − 6
≤ 9} → P(7 ≤ X ≤ 9) = P⎜
<z<
⎟
1.897 ⎠
⎝ 1.897
9.5 − 6 ⎞
⎛ 6.5 − 6
≅ P⎜
<z<
⎟
1.897 ⎠
⎝ 1.897
≅ P(0.26 < z < 1.85)
P (7 ≤ X ≤ 9) ≅ 0.3652
Como observamos, la aproximación de la curva normal proporciona un
valor muy cercano al valor exacto de 0.3564. El grado de precisión, el cual
depende también de que la curva concuerde con el histograma, se
incrementará conforme n aumenta.
2.
Una moneda se lanza 400 veces. Utilice la aproximación de la curva
normal para encontrar la probabilidad de obtener:
a) Entre 185 y 210 caras inclusive;
b) Exactamente 205 caras;
c) Menos de 176 o más de 227 caras.
199
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Solución:
X: V.A. de que salga cara
p = 1/ 2
n = 400
μ = np = 400(1 / 2) = 200
σ = 400 × 1 / 2 × 1 / 2 = 10
210 − 200 + 0.5 ⎞
⎛ 185 − 200 − 0.5
≤ 210} ⇒ p⎜
<Z<
⎟
10
10
⎝
⎠
P(− 1.55 < z < 1.05) = P( z < 1.05) − P( z < −1.55) = 0.8531 − 0.0606
P(− 1.55 < z < 1.05) = 0.7925
a)
{185 ≤ X
b)
{ X = 205} ⇒ P ( X = 205) = P ⎛⎜
c)
{ X < 176} ó { X > 227} ⇒ {P ( X < 176 ) ∪ ( X > 227 )} ⇒ P ( X < 176 ) + P ( X > 227 )
205 − 0.5 − 200
205 + 0.5 − 200 ⎞
<z<
⎟
10
10
⎝
⎠
P(0.45 < z < 0.55) = P( z < 0.55) − P( z < 0.45) = 0.7088 − 0.6736
P(0.45 < z < 0.55) = 0.0352
176 − 200 − 0.5 ⎞
⎛
P( X < 176) = P⎜ z <
⎟ = P( z < −2.45)
10
⎝
⎠
P( X < 176) = 0.0071
227 − 200 + 0.5 ⎞
⎛
P( X > 227 ) = 1 − P⎜ z <
⎟ = 1 − P( z < 2.75) = 1 − 0.9970
10
⎠
⎝
P( X > 227 ) = 0.0030
⇒ P( X < 176) + P( X > 227 ) = 0.0071 + 0.0030 = 0.0101
3.
Un sexto de los estudiantes que entran a una gran escuela del estado
proviene de otros estados. Si los estudiantes se asignan aleatoriamente
a los dormitorios, 180 en un edificio, ¿cuál es la probabilidad de que
en un dormitorio determinado al menos una quinta parte de los
estudiantes sea de otros estados?
Solución:
• X: V.A que los estudiantes sean de otro estado
1
• P=
estudiantes de otros estados
6
• n = 180 dormitorios
200
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
•
•
1
= 30
6
1 5
σ = npq = 180 × × = 5
6 6
μ = np = 180 ×
Al menos la quinta parte son de otros estados:
{X
≥ 36} → P( X ≥ 36) = 1 − P( X < 36)
1
× 180 = 36, luego
5
36 − 0.5 − 30 ⎞
⎛
≅ 1 - P⎜ z <
⎟
5
⎝
⎠
≅ 1 − P( z < 1.1)
≅ 1 − 0.08643
P( X ≥ 36 ) = 0.1357
4.
Un fabricante de medicamentos sostiene que cierta medicina cura una
enfermedad de la sangre en el 80% de los casos. Para verificarlo los
inspectores del gobierno utilizan el medicamento en una muestra de
100 individuos y deciden aceptar dicha afirmación si se curan 75 o
más.
a) ¿Cuál es la probabilidad de lo que se dice sea rechazado cuando
la probabilidad de curación sea en efecto 0.80?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la afirmación, sea aceptada por el
gobierno cuando la probabilidad de curación sea menor cuando
la probabilidad es 0.7?
Solución:
X: V.A curación de la medicina a una enfermedad
p=0.8
n=100
a)
μ = np = 100(0.8) = 80
σ = 100 × 0.8 × 0.2 = 4
Por uso del enunciado evento que sea rechazada
{X < 75} → P( X < 75) = P⎛⎜ z < 75 − 0.5 − 80 ⎞⎟
4
⎝
⎠
≅ P(z < −1.38)
≅ 0.0838
201
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
b)
P=0.7
n=100
μ = np = 100(0.70) = 70
σ = 100 × 0.70 × 0.30 = 4.58
Según enunciado sea aceptada la medicina con p=0.7
{X < 75} ∪ {z ≥ 75} → P(( X < 75) ∪ ( X ≥ 75))P(s )
P( X < 75) + P( X ≥ 75) = 1
P( X ≥ 75) = 1 − P( X < 75)
⎛ z < 75 - 0.5 - 70 ⎞
≅ 1 - P⎜
⎟
4.58
⎠
⎝
≅ 1 - P(z < 0.98)
≅ 1 − 0.8365
P( X ≥ 75) ≅ 0.1635
DISTRIBUCIÓN WEIBULL
INTRODUCCIÓN
Como acabamos de estudiar la distribución normal puede utilizarse para
resolver muchos problemas de ingeniería y ciencia, pero existen numerosas
situaciones que requieren diferentes tipos de funciones de densidad entre
ellas las distribuciones gamma y exponencial. La distribución exponencial
es un caso especial de distribución gamma. Ambas tienen un sin número de
aplicaciones por ejemplo ambas juegan un papel importante en la teoría de
colas, problemas de confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en las
instalaciones de servicio, el tiempo de falla de los componentes y sistemas
eléctricos frecuentemente involucra la distribución exponencial. Como
vemos la relación entre ellas es muy importante.
En la actualidad con el avance tecnológico se permite diseñar muchos
sistemas complicadas cuya operación, o tal vez seguridad depende de la
confiabilidad de los diversos componentes que conforman el sistema. Por
ejemplo un fusible puede dañarse, una columna de acero puede doblarse o
un dispositivo sensor de calor puede fallar. Idénticos componentes sujetos a
idénticas condiciones ambientales fallan en diferentes e impredecibles
tiempos.
Se ha comentado la importancia de las distribuciones gamma y exponencial
que tienen en la estadística como herramientas a solucionar, tipos más
específicos de problemas en ingeniería.
202
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Otra distribución que se ha utilizado extensamente en años recientes para
tratar tales problemas es la DISTRIBUCIÓN WEIBULL introducida por el
físico sueco Waloddi Weibull en 1939.
Distribución Weibull.- La variable aleatoria continua X tiene una
distribución Weibull con parámetros α y β, si su función de densidad es:
⎧⎪αβ x β −1e −α x
f ( x) = ⎨
⎪⎩0
β
x>0
,
cualquier
otro caso
Donde α > 0 y β>0
Si consideramos α=1 y β = 1, 2, 3 logramos diferentes gráficos (β puede
tomar otros valores) con β = 1, f(x) es una exponecial.
β = 2 y β = 3 las figuras requieren una forma acampanada mostrando
cierta asimetría.
Como a toda función de densidad de probabilidad la caracteriza su media
varianza. Determinemos su media por ejemplo:
00
μ = E ( X ) = ∫ xαβ x β −1e −α x
0
203
β
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Hagamos un cambio de variable U = αxβ, obtenemos:
∞
⎛
0
⎝
μ = α −1/ β × ∫ U 1/ β e −U dU = α −1/ β Γ ⎜1 +
1⎞
β ⎟⎠
∞
⎛
1⎞
Γ⎜⎜1 + ⎟⎟ = ∫ U −1 / β e −U du es la función gamma.
0
⎝ β⎠
Luego,
μ=α-1/β Γ (1 + 1/β)
Empleando un método similar podemos la varianza que está por:
σ =α
2
−2 / β
2
⎧⎪ ⎛
2⎞ ⎡ ⎛
1 ⎞⎤ ⎫⎪
⎨Γ⎜⎜1 + ⎟⎟ − ⎢Γ⎜⎜1 + ⎟⎟⎥ ⎬
⎪⎩ ⎝ β ⎠ ⎣ ⎝ β ⎠⎦ ⎪⎭
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
•
Supóngase que la vida útil de cierta clase de batería (en horas) es una
variable aleatoria que tiene distribución de Weibull con α = 0.1 y
β = 0.5. Calcúlese.
a) La vida útil promedio de esta batería.
b) La probabilidad de que la batería dure más de 300 horas.
Solución:
X : V.A. tiempo de vida
a)
Sustituyendo en la fórmula de la media, obtenemos:
μ= (0,1)-2 Γ(3) = 200 horas
b) P(X > 300) =
•
∞
∫ (0.05)x
300
− 0.5 − 0.1 x 0.5
e
0.5
dx = e −0.1( 300 ) = 0.177
Se demuestra que la función de la tasa de fallas está dada por
Z(t) = αβtβ - 1 , t > 0
Si y solo si la distribución del tiempo para la falla es la distribución de
Weibull.
β
f(t) = αβ t β -1e −α t , t > 0
204
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Si consideramos β = 1
Z(t) constante
Si β = 2
Si β = 3
si β > 1
Z creciente
si 0 < β < 1
Z decreciente
Z(t) es una lineal
Z(t) es una cuadrática
OBSERVACIÓN.- La distribución de Weibull representa un modelo
apropiado para una ley de falla siempre que el sistema esté compuesto por
cierto número de componentes y la falla se deba principalmente al defecto
“mas grave” en un gran número de defectos del sistema. También utilizando
la distribución de Weibull, podemos obtener una tasa de falla creciente y
decreciente al hacer simplemente una elección apropiada del parámetro β.
EJERCICIOS PROPUESTOS
I. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
1.
En un problema de una prueba aplicada a niños pequeños, se les pide
que hagan corresponder cada uno de los tres dibujos de animales con
la palabra que identifica al animal respectivo. Si un niño asigna
aleatoriamente las tres palabras a los tres dibujos, encuentre la
distribución de probabilidad para X el número de correspondencias
correctas.
2.
Suponga que se ha cargado un dado de modo que la probabilidad de
que salga un número determinado es proporcional al mismo. Calcular
las probabilidades de los eventos de un solo elemento y usarlas para
calcular la probabilidad de ocurrencia de
a) Un número par
b) Un número mayor que cuatro
3.
Los registros de una compañía de seguros de automóviles dan la
siguiente información sobre accidentes; la probabilidad de que un
205
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
conductor asegurado tenga un accidente automovilístico es de 0.15. Si
ocurre un accidente, el daño al vehículo es 20% de su valor en el
mercado con probabilidad 0.80; 60% de su valor con probabilidad
0.12 y una perdida total con probabilidad 0.08. ¿Qué prima debe
cobrar la compañía por un automovil de cuatro mil nuevos soles para
que la ganancia esperada de la compañía sea cero?
4.
¿Cuáles de las funciones siguientes son distribuciones de probabilidad
discretas?
⎧1
⎪3 , X = 0
⎪
⎪2
a) p( X ) = ⎨
, X =1
3
⎪
⎪0 , para las demas X
⎪
⎩
⎧⎛ 5 ⎞⎛ 2 ⎞ X ⎛ 1 ⎞ 5− X
⎪⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ X = 0,1,2,3,4,5
b) p( X ) = ⎨⎜⎝ X ⎟⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
⎪
Para las demas X
⎩0
5.
Si llueve, un vendedor de paraguas gana $30 al día, sino no llueve,
pierde $6 al día. ¿Cuál es su esperanza matemática si la probabilidad
de lluvia es de 0.3?
6.
Supóngase que se realiza una sucesión de lanzamiento
independientes con una moneda para la cual la probabilidad de
obtener una cara en cualquiera de los lanzamientos es de 1/30
a) ¿Cuál es el número esperado de lanzamiento que se necesitaran
para obtener 5 caras?
b) ¿Cuál es la varianza del número de lanzamientos que se
necesitaran para obtener 5 caras?
7.
El gerente de un almacén de ropa para caballeros está interesado en el
inventario de trajes, que en ese momento es de 30. El número de
trajes vendidos a partir de este momento hasta el final de la temporada
se distribuye como:
⎧ e −20 20 X
⎪
x = 0, 1,2,…,30
p( X ) = ⎨ x!
⎪ 0
Para todas las demás
⎩
206
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Encuentre la probabilidad de que le queden trajes sin vender al final
de la temporada.
8.
De una urna contiene 9 canicas de color azul y 3 de color negro, se
extraen 8 sin reemplazo. Encontrar la probabilidad de obtener x
canicas de color azul.
9.
Supóngase que una urna contiene 7 bolas de color rojo y 3 de color
azul. Si se selecciona 5 bolas aleatoriamente y sin reemplazo
determine la función de la densidad del número de bolas de color
rojo, que se obtienen.
10. Una variable aleatoria X puede tomar 4 valores con probabilidades
⎛⎜
1 + 3x ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝1 − x ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝1 + 2x ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝1 − 4x ⎞⎟⎠
⎝
¿Para qué valores de X es esta una
;
;
;
4
4
4
4
distribución de probabilidades?
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
11. Un ingeniero de control de tráfico informa que 75% de los vehículos
que pasan por un punto de verificación tienen matrículas del estado.
¿Cuál es la probabilidad de que más de cuatro de los siguientes nueve
vehículos no sean del estado?
12. Supóngase que la probabilidad de que una partícula emitida por un
material radioactivo penetre en cierto campo es de 0.01. Si se emiten
10 partículas, ¿Cuál es la probabilidad de que sólo una de ellas
penetre en el campo?
13. Entre personas que donan sangre a una clínica, 80% tiene Rh+; es
decir tienen el factor Rhesus en la sangre. Cinco personas donan
sangre en la clínica un día determinado.
a) Calcular la probabilidad de que al menos una de las cinco no
tenga el factor Rh.
b) Calcular la probabilidad de que cuando mucho cuatro de las
cinco tengan sangre Rh+.
14. Un complejo sistema electrónico está construido con cierto número
de componentes de apoyo en sus subsistencias. Un subsistema
contiene cuatro componentes idénticos, cada uno con una
probabilidad de 0.2 de fallar en menos de mil horas. El subsistema
207
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
funciona si dos o más componentes cualesquiera de los cuatro
trabajan en forma adecuada. Además, se supone que los componentes
operan de forma independiente.
a) Encuentre la probabilidad de que exactamente dos de cuatro
componentes resistan más de mil hora.
b) Encuentre la probabilidad de que el sistema funcione por más de
mil horas.
15. Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra aleatoria
de tres acumuladores de cada lote de 24 que están listos para ser
embarcados. Si un lote contiene seis acumuladores con pequeños
defectos. ¿Cuáles son las probabilidades de que la muestra del
inspector:
a) No contenga ninguna batería con defectos?
b) Contenga sólo una batería defectuosa?
c) Contenga al menos dos de las baterías con defectos leves?
16. Considérese que 50% de los empleados de una gran compañía están
casados. Sea X el # de empleados casados. En una muestra aleatoria
de 100 empleados, obténgase la media y la desviación típica de X.
17. Un empresa vende 4 artículos seleccionados al azar entre un lote
grande del que se sabe que contiene 10% de piezas defectuosas. Sea
X el # de piezas defectuosas de entre las 4 que se vendieron. El
comprador del articulo regresa las piezas defectuosas para su
reparación y el costo de la reparación es C=3X2+X+2 Calcular el
costo de reparación esperado.
18. En un gran lote de bombas usadas, 20% no sirven y necesitan ser
reparadas. Se manda a un mecánico con tres juegos, de refacciones,
quien selecciona bombas al azar y las prueba una tras otra. Si funciona
una bomba, prosigue con la siguiente; si no funciona, le instala uno de
sus juegos de refacciones. Supóngase que tarda 10 minutos en probar
si una bomba funciona o no, y 30 en probar una que no funciona.
Calcular el valor esperado y la varianza del tiempo total que le llevara
terminar con sus tres juegos.
19. Un vendedor de radios y televisores otorga créditos a sus clientes.
Suponer que con anterioridad 10% de todos los deudores no pagaron
y que el vendedor tuvo que absorber la perdida de cada venta; el 90%
restante paga todos sus créditos y el vendedor tuvo una utilidad en
208
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
esas ventas. Suponer que ese vendedor tiene 10 televisores idénticos
que va a vender individuadme e independientemente a crédito a 10
personas. Si el comprador no paga, la perdida es de $200; si el
comprador paga, entonces su utilidad es de $100.
a) ¿Cuál es la distribución del monto de la ganancia obtenida en esas
10 ventas?
b) Cual es su ganancia esperada en esas 10 ventas?
20. Suponga que el gerente de una compañía manufacturera considera
que tres de cada 10 personas que lean su folleto de los nuevos
automóviles compraran uno en una de las distribuidoras. Si se
selecciona aleatoriamente cinco personas que hayan leído el folleto,
¿cual es la probabilidad de que:
a) Ninguna compre un auto?
b) Las 5 compren un auto?
c) Cuando mucho 3 compren uno?
d) Al menos 3 compren uno?
DISTRIBUCIONES DE POISSON
21. Un distribuidor vende semillas de cierta clase de tulipán rojo en
paquetes de mil y sabe, por experiencia, que casi 1% de un gran
número de semillas no serán de la clase deseada. ¿Cuál es la
probabilidad de que un paquete dado contenga más de 1% de
semillas de otra clase?
22. Un estacionamiento tiene dos entradas. Los automóviles llegan a la
entrada I de acuerdo con una distribución de Poisson de tres por hora,
y a la entrada II de acuerdo con una distribución de Poisson con una
media de cuatro por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que tres
automóviles lleguen al estacionamiento durante una hora dada? (Se
supone que el número de autos que llegan a las dos entradas son
independientes)
23. Suponga que en promedio una de cada mil personas comete un error
numérico al preparar su declaración de impuestos. Si se seleccionan
al azar 10000 formas, encuentre la probabilidad de que seis, siete u
ocho tengan error.
209
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
24. El número de rayos gamma que emite por segundo cierta sustancia
radiactiva es una variable aleatoria que tiene distribución de Poisson
con λ = 5.8 . Si un detector deja de operar cuando hay mas de 12
rayos por segundo, cuál es la probabilidad de que este instrumento
deje de funcionar durante un segundo cualquiera?
25. El arribo de camiones de carga a un muelle es un proceso de Poisson,
con una tasa promedio de llegadas de dos por hora. Los camiones se
descargan con un tasa promedio de tres por hora y el servicio de
descarga continua ininterrumpidamente hasta que todos los camiones
han sido descargados.
a) ¿Cuál es el número promedio de camiones a los que se está
descargando o que esperan ser descargados?
b) ¿Cuál es el número promedio de camiones en la fila?
c) ¿Cuál es el tiempo promedio que un camión debe esperar en la fila?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya camiones en espera de ser
descargados?
26. El número de llamadas telefónicas que entra a una central de edificio
de oficinas es de cuatro por minuto en promedio.
a) Calcular la probabilidad de que no lleguen llamadas en un
determinado periodo de un minuto.
b) Calcular la probabilidad de que por lo menos lleguen cuatro
llamadas en un periodo de un minuto.
c) Calcular la probabilidad de que por lo menos lleguen dos
llamadas en un periodo determinado de dos minutos.
27. Se certifica la calidad de los discos para computadora pasándose por
un certificador que cuenta el número de pulsos faltantes. Una
determinada marca de discos para computadora tiene en promedio
0,1 pulsos faltantes por disco.
a) Calcular la probabilidad de que al siguiente disco que se
inspeccione no le falten pulsos.
b) Calcular la probabilidad de que al siguiente disco que se
inspeccione le falte más de un pulso.
c) Calcular la probabilidad de que a ninguno de los discos
inspeccionados le falten pulsos.
28. En un sistema de cómputo de tiempo compartido, el número de
peticiones de telepuerto es de 0.2 por milisegundo, en promedio, y
sigue una distribución de Poisson.
210
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
a)
Calcular la probabilidad de que no lleguen peticiones durante el
siguiente milisegundo.
b) Calcular la probabilidad de que no lleguen peticiones durante los
tres siguientes milisegundos.
29. Se ha observado en forma empírica que las muertes ocasionadas por
accidentes de tráfico ocurren a razón de ocho por hora en los largos
fines de semana feriados. En el supuesto de que estas muertes ocurren
en forma independiente, calcular la probabilidad de que:
a) Transcurra una hora sin que haya muertes.
b) Transcurra un período de 15 minutos sin muertes.
c) Transcurran cuatro períodos consecutivos, que no se traslapen, sin
que hayan muertes.
30. Una panadería hace galletas con pedacitos de chocolate; un lote tiene
mil galletas. Se agregan tres mil pedacitos de chocolate a la masa para
un lote y se mezcla bien toda la masa. Si se elige al azar una galleta de
un lote,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no contenga ningún pedacito de
chocolate?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga tres pedacitos?
c) ¿Cuántas galletas con un solo pedacito de chocolate podría haber
en un lote?
31. En un restaurante preparan una ensalada que contiene en promedio
cinco verduras diferentes. Encuentre la probabilidad de que la
ensalada contenga más de cinco verduras.
a) En un día determinado.
b) En tres de los siguientes cuatro días.
c) Por primera vez el cinco de abril.
32. Suponga que en promedio una de cada mil personas comete un error
numérico al preparar su declaración de impuestos. Si se seleccionan al
azar 10 mil formas y se examinan, encuentre la media y la varianza de
la variable aleatoria x que representa el número de personas de entre
10 mil que comenten un error al preparar su declaración de
impuestos.
33. La probabilidad de que un estudiante presente problemas de escoliosis
(desviación lateral sufrida por la columna vertebral) en una escuela de
211
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
la localidad es de 0.004. De los siguientes 1875 estudiantes revisados,
encuentre la probabilidad de que
a) menos de 5 presenten este problema
b) 8 , 9 o 10 presenten este problema
34. Suponga que 3% de los pernos hechos por una maquina son
defectuosos y que aparece al azar durante la producción. Si se
empaquetan 50 pernos por caja ¿cual es la aproximación de Poisson
para la probabilidad de que cierta caja contenga k pernos defectuosos?
35. Se estima que el · de automóviles que pasa por un cruce particular
por hora es de 25. Obtenga la probabilidad de que menos de 10
vehículos crucen durante cualquier intervalo de una hora suponga que
el número de vehículos sigue una distribución de Poisson.
II. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
1.
¿Qué valor debe tomar la constante k para que?
0≤ X ≤2
⎧kX
f (X ) = ⎨
para las demas X
⎩0
sea una función de densidad
2.
Supóngase que la función de densidad de una variable aleatoria X es
la siguiente:
⎧1
0≤ X ≤4
⎪ X
f ( X ) = ⎨8
⎪⎩0
para las demas X
a) Calcular el valor t tal que p( X ≤ t ) = 0.25
b) Calcular el valor t tal que p( X ≥ t ) = 0.25
3.
Sea f(X) la función de densidad de una variable aleatoria X dada por:
⎧1
2
−3≤ X ≤ 3
⎪ 9− X
f ( X ) = ⎨ 36
⎪⎩0
para las demas X
(
a)
b)
c)
)
P( X < 0)
P(− 1 ≤ X ≤ 1)
P( X > 2)
212
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
4.
El tiempo de vida útil, en días, de los frascos de cierto medicamento es
una variable aleatoria que tiene la densidad:
⎧ 20000
X >0
⎪
f ( X ) = ⎨ ( x + 100 )3
⎪0
para las demas X
⎩
Encuentre la probabilidad de que un frasco de este medicamento
tenga una vida útil de:
a) Al menos 200 días.
b) Cualquier duración entre 80 y 120 días.
5.
La humedad relativa X, medida en cierto lugar, tiene una función de
densidad de probabilidad dada por:
⎧cX 3 (1 - X )
0 ≤ X ≤1
f (X ) = ⎨
para las demas X
⎩0
2
Encontrar el valor c que hace de f(X) una función de densidad.
6.
Suponga que la variable aleatoria X tiene una función de densidad de
probabilidad dada por:
⎧cxe − x / 2 , x>0
f (X ) = ⎨
para las demas X
⎩0
Encuentre el valor de c que hace de f(x) una función de densidad.
7.
Supóngase que el error de fase de un dispositivo de rastreo tenga la
siguiente densidad de probabilidad.
π
⎧
0< X <
⎪cos X
f (X ) = ⎨
2
⎪⎩0
para las demas X
Calcúlese la probabilidad de que el error de esta fase esté:
a) Entre 0 y π
4
b) Mayor que π
3
213
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
8.
En cierta ciudad el consumo diario de energía eléctrica (millones de
kilowatts-hora) es una variable aleatoria con densidad de probabilidad
⎧ 1 3 - 20x
X >0
⎪ X e
f ( X ) = ⎨9
⎪0
para las demas X
⎩
Si planta de energía de ciudad tiene una capacidad de 12 millones de
kilowatts-hora, ¿cuál es la probabilidad de que el abastecimiento de
energía sea inadecuado en un día cualquiera?
9.
Por experiencia, el señor Arenas sabe que el precio más bajo de una
obra de construcción puede considerarse como una variable aleatoria
que tiene densidad uniforme:
2c
⎧3
< X < 2c
⎪
f ( X ) = ⎨ 4c
3
⎪⎩0
para las demas X
Donde c es su propia estimación del costo de la obra. ¿Qué
porcentaje debe agregar el señor Arenas a su costo cuando presente
ofertas a fin de maximizar su utilidad esperada?
1
se llama distribución de
π 1+ x 2
Cauchy, la que fue introducida por Cauchy en 1853. Probar que esta
distribución no tiene media.
10. La distribución de densidad f (x) =
(
)
11. Se X una variable con la siguiente función de distribución acumulativa
⎧0
⎪X
⎪
⎪8
F(X ) = ⎨ 2
⎪X
⎪ 16
⎪1
⎩
X ≤0
0<X<2
2< X ≤4
X >4
a) obtener la función de densidad para x
b) calcular p(1≤x≤3)
c) calcular p(x≤1.5)
214
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
12. Calcular a de modo que la función
X ≤1
⎧0
⎪
1⎞
⎪ ⎛
F ( X ) = ⎨2 ⎜1 − ⎟ 1 < X ≤ a
⎪ ⎝ X⎠
⎪⎩1
X >a
Es una función de densidad acumulativa. Calcular p (− 1 ≤ X ≤ 1.5)
13. El tiempo de espera en horas, que tarda un radar en detectar 2
conductores sucesivos a alta velocidad es una variable aleatoria
continua con una distribución acumulativa
X <0
⎧0
F(X ) = ⎨
−8 X
X ≥0
⎩1 − e
Encuentre la probabilidad de esperar menos de 12 minutos entre dos
conductores sucesivos.
14. Un autómata produce balines con diámetro X (en centímetros9. El
diámetro X es una variable aleatoria con función de densidad
0.4 ≤ X ≤ 0.6
⎧5
f (X ) = ⎨
Para las demas X
⎩0
Calcular el valor esperado del volumen de los balines.
15. El contenido de magnesio de una aleación es una variable aleatoria,
dado por la siguiente función de densidad de probabilidad
⎧1
0≤ X ≤6
⎪
f ( X ) = ⎨18
⎪⎩0
Para las demas X
La utilidad que se obtiene de esta aleación es p = 10 + 2 X
a) Determine la distribución de probabilidades de p.
b) ¿Cuál es la utilidad esperada?
DISTRIBUCIÓN UNIFORME
16. El precio por inauguración de determinado tipo de mercancías se
1⎤
⎡ 3
distribuye de manera uniforme en el intervalo ⎢35 ,44 ⎥ .
4⎦
⎣ 4
215
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
a)
¿Cuál es la probabilidad de que algún día este precio sea menor
que 40?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que algún día este precio sea entre 40
y 42?
17. La variable aleatoria X se distribuye uniformemente en (0,2). Obtenga
la distribución de la variable aleatoria Y = 5 + 2 X
18. La variable aleatoria X esta distribuida uniformemente en (0,2) y la
variable aleatoria Y tiene distribución exponencial con parámetro λ.
Encontrar λ tal que P(X<1) = P(Y<1).
19. La cantidad diaria en litros de café despachada por una maquina
ubicada en la sala de espera de un aeropuerto es una variable aleatoria
X, la que tiene una distribución uniforme continua con a = 7 y
b = 10. Encuentre la probabilidad de que en un determinado día la
cantidad de café despachada por esta maquina sea:
a) Cuando mucho 8.8 litros
b) Mas de 7.4 litros, pero menos de 9.5
c) Al menos 8.5 litros
20. Una corriente eléctrica I fluctuante puede considerarse como una
variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo (9,11). Si
esta corriente pasa por una resistencia de 2 ohm, encontrar la función
de densidad de la potencia: P = 2I2.
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
21. Se estima que el tiempo transcurrido hasta la falla del cinescopio de
un televisor se distribuye exponencialmente con media de tres años.
Una compañía ofrece garantía por el primer año en uso. ¿Qué
porcentaje de las pólizas tendrá que pagar una reclamación?
22. En una investigación sismológica se observo que hay una relación
Y=cex entre la intensidad de las vibraciones en un lugar de la tierra y
la intensidad de los terremotos x en un epicentro, donde c depende de
la distancia entre dicho lugar y el epicentro. Supongamos que x es una
variable aleatoria con distribución exponencial por
⎧λe − λX
X > 0.
f (X ) = ⎨
Para las demas X
⎩0
216
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Calcular la función de distribución acumulativa de variable Y.
23. La duración ( en horas) x de cierto componente electrónico es una
variable aleatoria con la unción de densidad
X
⎧ 1 -100
e
X >0
⎪
f ( X ) = ⎨100
⎪0
Para las demas X
⎩
Tres de estos componentes trabajan independientes en una pieza de
un equipo. El equipo falla si al menos 2 de los componentes fallan.
Encuentre la probabilidad de que el equipo funcione al menos durante
200 horas sin fallar.
24. Un fabricante de un monitor de televisión comercial garantiza el
cinescopio o tubo de imagen por un año (8760 horas).los monitores
empleados en terminales de aeropuerto para programas de vuelo,
están encendidos continuamente. La vida media de los tubos es de
20000 horas y siguen una densidad de tiempo exponencial. El costo
de fabricación, venta y entrega para el fabricante es de $300 y el
monitor se vende en el mercado en $400. Reemplazar un tubo que
falla cuesta $150, incluyendo materiales y mano de obra.
El fabricante no tiene obligación de sustituir el tubo si ya hubo una
primera sustitución.
¿Cuál es la utilidad esperada del fabricante?
25. El kilometraje (en miles de kilómetros)
que alcanzan los
automovilistas con cierto tipo de neumático es una variable aleatoria
con densidad de probabilidad.
X
⎧ 1 - 20
X >0
⎪ e
f ( X ) = ⎨ 20
⎪0
Para las demas X
⎩
Calcule las probabilidades de que uno de los neumáticos dure:
a) A lo sumo 10 mil kilómetros
b) Entre 16 mil y 24 mil kilómetros
c) Al menos 30 mil kilómetros
DISTRIBUCIÓN NORMAL
26. Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un
promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco es
217
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
normalmente distribuida con una desviación estándar igual a 15
mililitros:
a) ¿Qué fracción de los vasos contendrá más de 224 mililitros?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209
mililitros?
c) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos
de 230 mililitros en los siguientes mil refrescos?
d) ¿Debajo de que valor se obtiene el refresco 25% mas pequeño?
(
)
27. Supóngase que X tiene una distribución N μ , σ 2 . Determine c (como
una función de μ , σ ), tal que p( X ≤ c ) = 2 p( X > c ) .
28. Una universidad espera recibir para el siguiente ciclo escolar 16 mil
solicitudes de ingreso al primer semestre de licenciatura. Se supone
que las calificaciones obtenidas para los aspirantes en la prueba
pueden calcularse de manera adecuada por una distribución normal
con la media 950 y varianza 10 mil si la universidad decide admitir
25% de todos los aspirantes que obtengan las calificaciones mas altas
en la prueba. Seleccione la opción que da la calificación mínima que
es necesario obtener en la prueba para ser admitido en la universidad.
29. La cantidad semanal que una compañía gasta en mantenimiento y
reparaciones tiene una distribución normal N (400;20) . Si el
presupuesto para cubrir los gastos de reparación para la semana
siguiente es de $450;
a) ¿Cuál es la probabilidad de que los costos reales sean mayores
que la cantidad supuesta?
b) ¿De cuánto debe ser el presupuesto semanal para mantenimiento
y reparaciones para que tan solo se rebase con una probabilidad
de 0.1?
30. Los conductores que se fabrican para realizarse en determinado
sistema de cómputo necesitan resistencias que varíen entre 0.12 y
0.14 ohm. Las resistencias reales medidas de los conductores que
produce la compañía A tienen una distribución normal
N (0.13;0.005) ohm.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un conductor seleccionado al azar
de la producción de la compañía A cumpla con las
especificaciones?
218
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
b) Si se usan cuatro de estos conductores en el sistema y son de la
compañía A, ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro cumpla
con las especificaciones?
31. Las ausencias por enfermedad de los empleados de una empresa en
un mes tienen una distribución norma N (200,20) horas.
a) Calcular la probabilidad de que el mes próximo el ausentismo
total por enfermedad sea menor que 150 horas.
b) Para planear el programa del mes próximo, ¿Cuánto tiempo debe
suponer darse el ausentismo por enfermedad, si aquella cantidad
sólo se debe superar con una probabilidad de tan sólo 0.10?
32. La producción por hora de los trabajadores en una fábrica se
considera distribuida normalmente con media de 240 unidades y
desviación típica de 20 unidades. Considérese que en esta fábrica
trabajan en la producción 10 mil trabajadores.
a) ¿Cuántos trabajadores tienen una producción de más de 250
unidades por hora?
b) Si cualquier trabajador que produzca menos de 200 unidades por
hora debe recibir entrenamiento posterior, ¿Cuántos recibirán
entrenamiento?
33. Una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $9.25
por hora con una desviación estándar de 60 centavos. Si los salarios
están distribuidos casi en forma normal y los montos se cierran a
centavos:
a) ¿Qué porcentaje de los trabajadores recibe salarios entre $8.75 y
$9.69 por hora inclusive?
b) ¿El 5% más alto de los salarios por hora de empleado es mayor a
qué cantidad?
34. El diámetro interior de un anillo de pistón se distribuye normalmente
con media de 12cm. Y desviación estándar de 0.02cm.
a) ¿Qué fracción de los anillos de pistón tendrá diámetros que
excederá de 12.05cm?
b) ¿Qué valor de diámetro interior c tiene una probabilidad de ser
excedido de 0.90cm?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro interior se encuentre
entre 11.95 y 12.05cm?
219
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
35. Si la temperatura en grados Fahrenheit de cierta localidad se distribuye
normalmente con una media de 68 grados y una desviación típica de
4 grados? ¿Cual es la distribución de la temperatura en grados en
grados centígrados en la misma localidad?
APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL A LA BINOMIAL
1.
Un proceso para fabricar un componente electrónico tiene 1% de
defectuosos. Un plan de control de calidad es seleccionar 100
artículos del proceso, y si ninguno está defectuoso el proceso
continúa. Use la aproximación normal a la binomial para encontrar.
a) La probabilidad de que el proceso continúe con el plan de
muestreo que se describe;
b) La probabilidad de que el proceso continúe aun si éste está mal
(es decir, si la frecuencia de componentes defectuosos cambia a
5.0% de defectuosos).
2.
Un proceso produce 10% de artículos defectuosos. Si se seleccionan
al azar 100 artículos del proceso, ¿cuál es la probabilidad de que el
número de defectuosos
a) excede de 13?
b) sea menor que 8?
3.
La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada
operación de corazón es 0.9. de los siguientes 100 pacientes que
tienen esta operación, ¿cuál es la probabilidad de que
a) sobrevivan entre 84 y 95 inclusive?
b) sobrevivan menos de 86?
4.
Investigadores de la Universidad George Washinton y del Instituto
Nacional de Salud reportan que aproximadamente 75% de las
personas creen que “los tranquilizantes funcionan muy bien para
hacer que una persona esté más tranquila y relajada”. De las
siguientes 80 personas entrevistadas, ¿cuál es la probabilidad de que
a) al menos 50 sean de esta opinión?
b) a lo más 56 tengan esta opinión?
5.
Si 20% de los residentes de una ciudad de Estados Unidos prefiere un
teléfono blanco sobre cualquier otro color disponible, ¿cuál es la
probabilidad de que entre los siguientes 1000 teléfonos que se
instalen en esta ciudad
220
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
a) entre 170 y 185 inclusive sean blancos?
b) al menos 210 pero no más de 225 sean blancos?
6.
Un fabricante de medicamentos sostiene que cierto medicamento cura
una enfermedad de la sangre en promedio en 80% de los casos. Para
verificar la aseveración, inspectores gubernamentales utilizan el
medicamento en una muestra de 100 individuos y deciden aceptar la
afirmación si 75 o más se curan.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la afirmación se rehace cuando la
probabilidad de curación es, de hecho, 0.8?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el gobierno acepte la afirmación
cuando la probabilidad de curación sea tan baja como 0.7?
7.
Un sexto de los estudiantes hombres de primer ingreso que entran a
una escuela estatal grande son de otros estados. Si los estudiantes se
asignan al azar a los dormitorios, 180 en un edificio, ¿cuál es la
probabilidad de que en un dormitorio dado al menos un quinto de los
estudiantes sea de otro estado?
8.
Una compañía farmacéutica sabe que aproximadamente 5% de sus
píldoras anticonceptivas tienen un ingrediente que está por debajo de
la dosis mínima, lo que vuelve ineficaz a la píldora. ¿Cuál es la
probabilidad de que menos de 10 en una muestra de 200 píldoras
sean ineficaces?
9.
Estadísticas publicadas por la Administración Nacional de seguridad
de Tránsito en Carreteras y el Consejo de Seguridad Nacional
muestran que en una noche promedio de fin de semana, uno de cada
10 conductores está ebrio. Si se verifican 400 conductores al azar la
siguiente noche de sábado, ¿cuál es la probabilidad de que el número
de conductores ebrios sea
a) menor que 32?
b) más de 49?
c) al menos 35 pero menos de 47?
10. Se lanza 180 veces un par de dados. ¿Cuál es la probabilidad de que
ocurra en total de siete
a) al menos 25 veces?
b) entre 33 y 41 veces inclusive?
c) exactamente 30 veces?
221
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
11. Una compañía produce componentes para un motor. Las
especificaciones de las partes sugieren que 95% de los artículos
cumplen con las especificaciones. Las partes se embarcan en lotes de
100 a los clientes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 artículos estén
defectuosos en un lote dado?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 artículos estén
defectuosos en un lote?
DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
1.
Supóngase que el tiempo de falla (en minutos) en ciertos componentes
electrónicos, sujetos a vibraciones que tiene las distribución de
Weibull con α = 1/5 y β = 1/3.
a) ¿Cuánto puede esperarse que dure un componente?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ese componente falle en menos
de 5 horas?
2.
Supóngase que la vida útil (en horas) de un semiconductor es un
variable aleatoria que tiene distribución de Weibull con α = 0.025 y
β = 0.500. ¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor aún
funcionando después de 4 000 horas?
Rta: 0.2057
3.
Suponga que la vida útil, en años, de una batería para audífonos es
una variable aleatoria que tiene una distribución Weibull con α = ½ y
β = 2.
a) ¿Cuánto tiempo se espera que dure esa batería?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que dicha batería siga funcionando
después de 2 años?
Rta: a) π 2 = 1.2533 , b) e-2 = 0.1353
4.
La duración de un cierto sello para automóvil tiene la distribución
Weibull con una taza de falla Z(t) = 1 . Encuentre la probabilidad
t
de que tal sello siga en uso después de 4 años.
Rta: e-4 = 0.0183
222
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Semana 16
DISTRIBUCIONES MUESTRALES
Nos hemos ocupado de estudiar distribuciones específicas tanto discretas
como continuas, se trata de distribuciones que se utilizan mucho en
diversas aplicaciones que incluyen confiabilidad, control de calidad y
muestreo.
El tema es amplio nos concentraremos en muestras
poblacionales y se estudian cantidades tan importantes como son la media
muestral y la varianza muestral que son de vital importancia en inferencia
estadística. A continuación damos algunas definiciones o significados muy
comunes en esta parte del curso.
Población.- Consiste en la totalidad de observaciones en las cuales se está
interesado.
Muestra.- Es un subconjunto de una población.
Muestreo Aleatorio simple (MAS).- Denominado también muestreo
irrestricto aleatorio, porque todos los elementos de la población tienen la
misma posibilidad de ser elegidos. Muy usado por los investigadores, es
importante destacar que forma la base de la mayor parte de los diseños de
muestreo, así como de encuestas científicas que se llevan a cabo en la
práctica.
Muestreo probabilístico.- Los muestreo probabilísticos no indican como se
extrae una muestra de cada caso. En el marco teórico del muestreo existen
estimadores de punto y los de intervalo.
A continuación se representa un esquema muy intuitivo de cómo se realiza
un muestreo, para que sirve y los elementos, mas saltantes en la estimación
de parámetros poblacionales e inferencia,
Población (N)
Técnica de muestreo
Muestra (n)
X1
X1
Inferencia
Xn
XN
223
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Parámetros
Estimación
μ
σ
2
(
μ≅X
X → f x, μ , σ 2
σ 2 ≅ s2
s2
pˆ
p ≅ pˆ
p
Estadísticos
e≅ x−μ <
)
Se determina conocida la
distribución normal ó “t”.
•
•
Extraemos una muestra para estimar lo parámetros poblacionales
μ , σ 2 y p mediante los estimadores X , S 2 y p̂ respectivamente. Al
estimar los parámetros poblacionales cometemos errores los cuales se
determinan, conocida la distribución de la muestra.
Las poblaciones pueden ser grandes o pequeñas.
DEFINICIÓN.- La distribución de probabilidad de un estadístico recibe el
nombre de distribución muestral. La distribución de probabilidad de X se
llama distribución muestral de la media.
La distribución muestral de un estadístico depende: del tamaño de la
población del tamaño de las muestras y del método de selección.
Supongamos que extraemos una muestra de una población normal; la
distribución muestral de la media seguirá la misma distribución normal.
Población (N)
Muestra (n)
X1
X1
XN
Xn
Métodos de Muestreo
X → N ( X ,.μ X , σ X2 )
224
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
(
)
X → N x, μ , σ 2 : EX = μ
E(X − μ ) = σ 2
2
⎛ X 1 + X 2 + .......... + X n ⎞
⎟
n
⎝
⎠
EX 1 + EX 2 + ............. + EX n
=
n
μ + μ + ............... + μ
=
n
μX = μ
μ X = E( X ) = E⎜
⎛ X 1 + X 2 + .......... + X n ⎞
⎟
n
⎝
⎠
V ( X 1 ) + V ( X 2 ) + ............. + V ( X n )
=
n2
σ 2 + σ 2 + ..................... + σ 2 nσ 2 σ 2
=
= 2 =
n
n2
n
σ X2 = V ( X ) = V ⎜
σ X2 =
•
σ2
n
En caso que la muestra aleatoria proceda de una población con
distribución desconocida ya sea de una población infinita o finita. La
distribución muestral de X sigue aproximadamente una distribución
normal.
(
X →≅ N X , μ X , σ X2
)
Este sorprendente resultado es una consecuencia inmediata del
siguiente teorema que recibe el nombre de teorema del límite central.
TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL (TLC).- Si X es la media de una muestra
aleatoria de tamaño n que se toma de una población con media μ y
varianza finita σ 2 , entonces la forma de la distribución de:
X −μ
→∞
Z=
⎯n⎯
⎯→ N ( z;0;1)
σ/ n
conforme n→∞, es la distribución normal estandar N(Z;0;1)
225
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
OBSERVACIÓN:
1) si n ≥ 30 (muestra grande) la aproximación normal para X ,
generalmente será buena sin importar la forma de la población:
2) si n < 30 (muestra pequeña) la aproximación es buena solo si la
población difiere mucho de una distribución normal.
3) Si se sabe que la población es normal la distribución muestral de X
seguirá exactamente una distribución normal sin importar que tan
pequeña sea la muestra.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.
Las alturas de 1000 estudiantes están distribuidas en forma normal con
una media de 174.5cm. Y una varianza de 6.9cm. Si se sacan de esta
población 200 muestras aleatorias de tamaño 25 y se registran las
medias redondeándolas a décimas, determine:
a) La media y el error estándar de la distribución muestral de X .
b) El número de medias muestral que caen entre 172.5 y 175.8cm.
inclusive.
c) El número de media muestral que cae debajo de 172.0cm.
Solución:
• X: V.A. altura de estudiantes
•
Población: μ : 174.5cm.
σ : 6.9cm
•
Muestra : n = 25
μ X = μ = 174.5
σX =
•
a)
Error: e = ±
σ
n
0.1
= ±0.05
2
μ X = μ = 174.5cm.
6.9
σ
σX =
=
= 1.38cm. Error estándar
n
25
226
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
b)
{172.5 ≤ X ≤ 175.8}⇒ P(172.5 ≤ X ≤ 175.8)
175.8 − 174.5 + 0.05 ⎞
⎛ 172.5 − 174.5 − 0.05
= P⎜
<z<
⎟
1.38
1.38
⎝
⎠
c)
(
)
172.0 − 174.5 − 0.05 ⎞
⎛
p X < 172.0 = P⎜ Z <
⎟
1.38
⎝
⎠
= P(Z < −1.85) = 0.0322
Número de medias = 200 x 0.0322=6.44 ≈ 6
2.
Dada una población uniforme discreta.
⎧1
X = 2, 4,6
⎪
f (x) = ⎨ 3
⎪⎩0
en otro caso
Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 54
seleccionada con reemplazo, de una media muestral mayor que 4.1
pero menor que 4.4 Asuma de que las medias se redondean hasta la
décimas.
Solución:
• X: V.A uniforme discreta
•
3
μ = E ( X ) = ∑ xi f ( x i ) =
Población:
i =1
σ 2 = EX 2 − μ 2 = ∑ xi2 f ( xi ) − μ 2 =
•
Muestra:
X = ??
σX =
n = 54
•
Error:; e = ±
0.1
= ±0.05
2
227
1
(2 + 4 + 6) = 4
3
(
)
1 2
56
8
− 16 =
2 + 42 + 62 − 42 =
3
3
3
8/3
54
= 0.222
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
.05 − 4
4.4 − 0.05 − 4 ⎞
{4.1 < X < 4.4}→ P(4.1 < X < 4.4) = P⎛⎜ 4.1 +0.0222
<z<
⎟
0.222
⎝
= P(0.225 < z < 1.58)
⎠
= P(0.68 < z < 1.58)
= 0.9429 − 0.7517
= 0.1912
3.
Un cierto tipo de tornillo se fabrica con una resistencia de tensión
promedio de 78.3 kilogramos y una desviación estándar de 5.6
kilogramos. ¿ como cambia la varianza de la media muestral cuando el
tamaño de la muestra
a) Aumenta de 64 a 196?
b) Disminuye de 784 a 49?
Solución:
• X: V.A. tornillo con una determinada resistencia
μ =78.3kg
• Población: σ =5.6kg
• Muestra: μ X = μ = 78.3
σ
σX =
n
=
5.6
n
n= 64 aumenta a n=196: σ X =
a)
5.6
64
= 0.7; σ X =
5.6
196
= 0.4
disminuye
n= 7.84 disminuye an=49: σ X =
b)
5.6
784
= 0.2; σ X =
5.6
49
= 0.8
aumenta
En conclusión el tamaño de la desviación estándar es inversamente
proporcional a la muestra.
4.
La variable aleatoria X que representa el número de cerezas en una
empanada, tiene la siguiente distribución de probabilidad
X
P(x=x)
4
5
6
7
0.2
0.4
0.3
0.1
228
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
a)
Encuentre la media μ y la varianza σ 2 de x.
b)
Encuentre la media
c)
muestras aleatorias de 36 empanadas de cereza
Encuentre la probabilidad de que el número promedio de cerezas
en 36 empanadas se menor que 5.5
μ X y la varianza σ X2 de la media X para
Solución:
• X: V.A. número de cereza en una empanada
• Población:
μ = EX = ∑ xi p( xi ) = 4(0.2) + 5(0.4) + 6(0.3) + 7(0.1) = 5.3
σ 2 = EX 2 − μ 2 = 4 2 (0.2) + 5 2 (0.4) + 6 2 (0.3) + 7 2 (0.1) − 5.3 2
•
= 28.9 − 28.09
Muestra: n = 36
= 0.81
μ X = μ = 5.3
σ X2 =
a)
σ2
n
=
0.81
= 0.0225
36
{X < 5.5}→ P(X < 5.5) = P⎛⎜ z < 5.50.−155.3 ⎞⎟
(
)
⎝
= P( z < 1.33)
⎠
P X < 5.5 = 0.9082
ESTIMACIÓN
•
•
En el desarrollo anterior hemos resaltado las propiedades de la media
muestral y varianza muestral, utilizando los datos extraídos de la
población.
La estimación estadística consiste en utilizar los datos muestrales para
determinar la media muestral, varianza muestral y proporción
muestral, los cuales estiman respectivamente, la media, varianza y
proporción poblacional permitiendo sacar conclusiones acerca de los
parámetros de la población a partir de los estados experimentales, a
esto se le denomina inferencia.
229
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Población (N)
Técnicas de muestreo
Muestra (n)
X1
X1
Xn
XN
Parámetros
μ≅X
μ
σ
σ ≅s
2
2
p
Estadísticos
Inferencia Estimación
2
p ≅ pˆ
e≅ x−μ
(
X → f x, μ , σ 2
)
2
s
pˆ
INFERENCIA ESTADÍSTICA.- Son métodos en los cuales se pueden realizar
inferencias o generalizaciones acerca de una población. Consideraremos el
método clásico para estimar un parámetro poblacional. Existe otro método
que no consideramos en esta sección es el método Bayesiano.
Puntual
Estimación
Por Intervalos
Inferencia
Estadística
Prueba de
Hipótesis
Predicción
230
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Semana 17
MÉTODOS CLÁSICOS DE ESTIMACIÓN
Hemos estudiado la importancia de la media muestral y varianza muestral
el propósito es crear un fundamento que permita sacar conclusiones acerca
de los parámetros poblacionales utilizando los datos experimentales. Por
ejemplo el teorema del límite central proporciona información acerca de la
distribución de la media muestra X .
LA ESTIMACIÓN PUNTUAL.- Se refiere a la elección de un estadístico es
decir un número calculado a partir de datos muestrales (y quizás de mas
información) respecto del cual tenemos alguna esperanza o seguridad de
que esté “razonablemente cerca” del parámetro que ha de estimar esto no
es fácil pues no se conoce el parámetro y el valor del estadístico no es
conocido hasta después de que la muestra se ha obtenido. Por ello solo
podemos preguntar si en muestras repetidas, La distribución de los
estadísticos tiene ciertas propiedades deseables parecidas a la de la
cercanía”. Por ejemplo sabemos que μ X = μ luego podemos esperar que
las medias de repetidas muestras aleatorias de una población determinada
tengan como centro la media (μ ) de esta población y no estén alrededor de
otro valor.
Una estimación puntual de algún parámetro poblacional θ es un valor
único θˆ del estadístico.
PARÁMETROS
POBLACIONALES ( θ )
μ
σ
V.A. ESTADÍSTICA
)
(ESTIMADORES) H
VALORES DE LA V.A.
θˆ
X
S2
P̂
x
s2
p̂
2
P
•
•
El estadístico que se usa para obtener la estimación puntual, recibe el
nombre de estimador o función de decisión.
Cuando usamos estimadores estamos sujetos a cometer errores. Así
por ejemplo e = X − μ , cuanto mas pequeño es el error mejor
estimación de μ mediante X .
231
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
•
Debemos recordar que los parámetros poblacionales se consideran
exentos de error.
CUALIDADES QUE DEBE TENER UN BUEN ESTIMADOR PUNTUAL
1.
2.
3.
4.
Insesgado
Eficiente
Consistente
Asintótico
1.
INSESGADO.- Se dice que un estimador estadístico Ĥ es un
estimador insesgado del parámetro θ , si E Hˆ = θ
De esta manera llamamos insesgado a un estadístico si “en promedio”
sus valores son iguales a los del parámetro que supuestamente estima.
( )
Ejemplo: Los estimadores X , S 2 , Pˆ son insesgados respecto a los
parámetros poblacionales.
( )
E X =μ
E S2 =σ 2
E Pˆ = P
1.
( )
2.
()
3.
( )
Demostrar que E S 2 = σ 2
(
)
S2 =
1 n
∑ Xi − X
n − 1 i =1
S2 =
1 n
∑ (X i − μ ) − X − μ
n − 1 i =1
[
2
(
)]
2
[
(
) (
)]
=
1 n
( X i − μ )2 − 2( X i − μ ) X − μ + X − μ
∑
n − 1 i =1
=
1 ⎡n
( X 1 − μ )2 − 2 X − μ
∑
⎢
n − 1 ⎣ i =1
=
1
( X i − μ )2 − 2n X − μ X − μ + n X − μ
∑
n −1
[
(
)∑ ( X
(
)(
i
232
i
2 2
(
)
⎤
− μ )+ n X − μ ⎥
⎦
) (
)]
2
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
[
(
1
( X i − μ )2 − n X − μ
∑
n −1
=
)]
(
2
)
2⎤
1 ⎡n
2
E ( X i − μ ) − nE X − μ ⎥
∑
⎢
n − 1 ⎣ i =1
⎦
( )
E S2 =
=
1 ⎡ 2
σ2⎤
σ
n
−
n
⎢
⎥
n −1 ⎣
n ⎦
=
1
[n − 1]σ 2
n −1
( )
∴E S2 =σ 2
Hemos mostrado que el estimador S2 así definido es un estimador
insesgado de σ 2 .
Como ejercicio demostrar las otras dos
proporciones.
ESTIMADOR EFICIENTE: Si se consideran a todos los estimadores
insesgados posibles de algún parámetro θ (parámetro poblacional)
aquel con la varianza mas pequeña recibe el nombre de estimador
mas eficiente de θ .
Ejemplo:
Consideremos dos estimadores insesgados
~
(Media): X , X : (mediana)
~
E X =μ
,
E X =μ
f(x)
( )
σ =
2
X
( )
σ2
n
,
σ =
2
~
X
π σ2
σ
2 n
2
X
σ
σ X2 < σ X2~
0
233
2
~
X
x
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
(La varianza de la media es menor que la varianza de la mediana)
~
Al ser la varianza de X menor que la varianza de X (mediana)
tomamos como estimador eficiente a la media X .
( )
ESTIMADOR SUFICIENTE: Se dice que un estimador es suficiente con
relación a un parámetro si utiliza toda la información relevante de la
muestra para calcularlo.
ESTIMADOR CONSISTENTE: Cuando la probabilidad de que un
estimador difiera del valor del parámetro, permanezca constante o sea
muy pequeña a medida que el tamaño de la muestra se incremente, se
dice que el estimador es consistente.
ESTIMACIÓN POR INTERVALO
Es probable que incluso el estimador insesgado más eficiente no
estime el parámetro poblacional con exactitud. Es cierto que la
población se incrementa con muestras grandes, pero no hay razón por
la cual esperar que la estimación puntual de una muestra dada deba
ser exactamente igual que el parámetro poblacional que se supone
estima.
Existen muchas situaciones por las cuales es preferible determinar un
intervalo dentro del cual se esperaría encontrar el parámetro
poblacional. Tal intervalo se conoce como una estimación por
intervalo.
•
Consideremos una muestra de tamaño n ≥ 30 extraída de una
población con varianza conocida σ 2 y deseamos estimar la
media poblacional μ con una probabilidad 1-α de que μ sea
estimada por X esto es X − μ que será a lo sumo Z α
decir:
X − μ ≤ Zα
σ
2
n
↔ −Zα <
2
X −μ
σ
n
La confianza 1 − α : 90%,95%,99%
La desconfianza α : 10%,5%,1%
234
< Zα
2
σ
2
n
es
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
P⎛⎜ − Z α < Z < Z α ⎞⎟ = 1 − α
2
2 ⎠
⎝
•
•
La confianza o nivel de confianza 1- α es la probabilidad
asumida de que la media μ este contenida en el intervalo de
confianza buscado en el experimento.
La desconfianza α ó límite de confianza es lo raro que puede
ocurrir en su experimento es decir hechos fortuitos o extraños.
m100
95%
m3
Población
X
m2
X
X
m1
Supongamos que extraemos una
Muestra de tamaño n de una
Población, con una confianza
Del 95%.
•
•
X
θ =μ
Estimaciones por intervalos de μ para
diferentes muestras de tamaño n.
De 100 intervalos 95 intervalos contienen a la media poblacional
y 5 no la contienen.
Las mi son las muestras de tamaño n y definen intervalos
diferentes para μ .
235
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
INTERVALO DE CONFIANZA PARA
CONOCIDA
LA MEDIA CON VARIANZA
ESTIMACIÓN MEDIA:
Para estimar la media poblacional μ utilizaremos la distribución normal y
la “t· de student
I.
normal
II.
“t” de student
Estimación de la media poblacional μ utilizando la distribución
normal.
I.
Z=
X −μ
σ
N(Z,0,1)
→∞
⎯n⎯
⎯→ N (Z ,0,1)
n
P⎛⎜ − Z α < Z 1 < Z α 2 ⎞⎟ = − α
2
⎠
⎝
− Z α < Z1 < Z α
2
α
1−α
2
2
2
X −μ
− Zα <
σ
2
IC : X − Z α
< Zα
n
σ
n
2
X − Zα
σ
2
n
2
< μ < X + Zα
1) e = X − μ ≤ Z α
2) e ≤ Zα
α
σ
n
2
− Zα
x
2
e
μ
X
n
⇒
μ
2
n
, error
σ
2
σ
2
Zα
0
⎛ Zα σ
n≥⎜ 2
⎜ e
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
X + Zα
2
236
, tamaño de muestra
σ
2
n
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
3)
L = X + Zε
σ
2
⎛
σ ⎞
σ
⎟⎟ ∴ L = 2Z α
, longitud del intervalo
− ⎜⎜ X − Z α
2
2
n
n ⎝
n⎠
( )
4) Error estándar de X ; e X =
σ
n
EJEMPLO DE APLICACIÓN
1.
Un fabricante produce focos que tienen un promedio de vida de
distribución aproximadamente normal y una desviación estándar de
40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una vida promedio de 780
horas.
a) Encuentre el intervalo de confianza del 95%, 96%, 98% para la
media población de todos los focos que produce la empresa.
b) Que tan grande se requiere que sea una muestra. Si se desea
tener una confianza del 94% de la media poblacional, esté
dentro de las 10 horas del promedio real.
Solución:
• X: variable aleatoria tiempo de vida de focos fabricados
• X → N(X, μ , σ 2 )
• Población:
μ =?
σ =40 horas
• Muestra:
n=30
X =780 horas
• Confianza: 1 − α = 0.95 ⇒ α = 0.05
α = 0.025 ⇒ Z 0.025 = −1.96
2
IC : X − Zα
780 − 1.96 ×
α
2
n
< μ < X + Zα
σ
2
n
40
40
< μ < 780 + 1.96 ×
30
30
∴ 765,69 < μ < 794.31
237
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Adicionalmente podemos calcular el error y el tamaño de muestra que
aproximadamente será la misma.
Error: e =
Zα σ
2
n
→e
1.96 × 40
30
= 14.3138
Tamaño muestra
e=
Zα σ
⎛ Zα σ
2
→n≥⎜ 2
⎜ e
n
⎝
2
⎞
⎟ = (5 − 48)2 = 30
⎟
⎠
Adicionalmente determinar el IC (intervalo de confianza) para la
media con el 96%, 98% 94% y error respectivo.
b) Consideremos la confianza del 94%
1 − α = 0.94 → α = 0.06
Datos: α
= 0.03 → Z = 0.03
2
−1.89 − X
0.0294 − 0.03
−1.89 − X −0.0006
=
⇒
=
−1.89 − (−1.88) 0.0294 − 0.0301
−0.01
−0.0007
⎛6⎞
−1.89 − X = −0.01⎜ ⎟ ⇒ X = −1.88143
⎝7⎠
e = 10 = Z 0.03 ×
σ
n
, Z 0.03 = −1.88143
2
⎛ −1.88143 × 40 ⎞
n=⎜
⎟ = 56.6364 ≈ 57
10
⎝
⎠
∴ n = 57
238
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
2.
Un supervisor intenta utilizar la media de una muestra aleatoria de
tamaño n=150 para estimar la aptitud mecánica promedio (la cual se
mide cierta prueba) de los obreros de la línea de ensamblado en una
gran industria. Si por su experiencia puede suponer que σ = 6.2 para
tales datos, ¿Qué podemos asegurar con una probabilidad de 0.99
sobre la medida máxima de este error?
Solución:
• X: V.A. aptitud en la prueba
• n = 150
• σ = 6.2
• confianza
1 − α = 0.99 → α = 0.01, α = 0.005,
2
e ≤ Zα
σ
6.2
= 1.30
n
150
En consecuencia el supervisor puede asegurar con una probabilidad
de 0.99 de que su error será a lo sumo 1.30
3.
2
⇒ e = 2575 ×
Z 0.005 = −2.575 → simetriaZ0.995 = 2.575
Para estimar el tiempo promedio que lleve ensamblar cierto
componente de una computadora, el supervisor de una empresa
electrónica tomó el tiempo que 40 técnicos tardan en ejecutar esta
tarea, obteniendo su media de 12.73 minutos y una desviación
estándar de 2.06 minutos.
a) ¿Qué podemos decir con una confianza del 99%, acerca del
error máximo si X = 12.73 se utiliza como estimación puntual
del tiempo medio que se requiere para realizar la tarea?
b) Utilice los datos para construir un intervalo de confianza del 98%
para el tiempo medio que lleva ensamblar el componente de la
computadora?
c) ¿con que confianza podemos asegurar que la media muestral no
difiere de la media real por mas de 30 segundos?
d) Calcular el error estándar
Solución:
• X: V.A. tiempo en ensamblar
• n = 40
•
X = 12.73 minutos
• σ = 2.06 minutos
239
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
a)
1 − α = 0.99 →= 0.01, α
= 0.005, Z 0.005 = 2.575
e = X − μ ≤ 2.575 ×
⇒ e = 0.8387 de min uto = 50.3segundos
2
2.06
40
El error seria de aproximadamente de 50.3 segundos.
b)
IC: X − Z 0.01
σ
n
< μ < X + Z 0.01
σ
n
1 − α = 098 → α = 0.02, α = 0.01, Z 0.01 no se encuentra en la
2
tabla, tenemos que interpolar.
− 2.32 − 0.0102
← X − 0.01 →
− 2.33 − 0.0099
− 2.33 − X 0.0001
1
=
⇒ X = −2.33 + 0.01 ×
− 0.01
0.0006
6
= -2.3283
Z 0.01 = −2.3283 Simetría Z 0.99 = 2.3283
12.73 − 2.3283 ×
2.06
40
< μ < 12.73 + 2.3283 ×
2.06
40
11.972 < μ < 13.488
Tenemos la confianza del 98% que la media real se encuentra en
el intervalo 12.73 minutos que lleva ensamblar el componente
de la computadora.
c)
Se
nos
minutos ⇒
pide 1 − α , usemos
Zα σ
2
n
e = X − μ = Zα
σ 30
2
= 0.5
Zα =
0.5 × 40
= 1.53508 = 1.54; P(Z < 1.54 ) = 0.9382
2.06
1−α
= 0.9382 ⇒ α
2
2
2
= 0.0618, α = 0.1236
240
, = 0.5
n 60
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
La confianza es 1 − α = 87.64%
0.0618
0.0618
0.8764
0
d)
4.
σX =
σ
n
= 2.06
40
= 0.3257 de minuto =19.54 seg.
Una maquina despachadora de refrescos esta ajustada de tal manera
que la cantidad de líquido despachada se distribuye aproximadamente
en forma normal con una desviación estándar igual que 0.15
decilitros.
a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de
todos los refrescos que sirve esta máquina si una muestra
aleatoria de 36 refrescos tiene un contenido promedio de 2.25
decilitro.
b) ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra si se desea
tener una confianza del 95% de que la media muestral estará
dentro de 0.09 decilitros del promedio real?
Solución:
• X.V.A. refrescos despachados
• Población: μ =??
σ =0.15 dcl
• Muestra: n =36
X =2.25
• Confianza: 1 − α = 0.05 ⇒ Z 0.025 = −1.96 → simetriaZ 0.975 = 1.96
a)
X − Z 0.975 ×
σ
n
⇒ 2.25 − 1.96 ×
b)
e = Zα
σ
n
0.15
0.15
< μ < 2.25 + 1.96 ×
⇒ 2.20 < μ < 2.30
36
36
⎛ Zα σ
⇒n=⎜ 2
⎜ e
n
⎝
σ
2
< μ < X + Z 0.0975
2
2
⎞
⎟ = ⎛⎜ 1.96 × 0.15 ⎞⎟ = 10.67 ≅ 11
⎟
⎝ 0.09 ⎠
⎠
241
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
242
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
Semana 18
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA CON
VARIANZA NO CONOCIDA
INTRODUCCIÓN:
Cuando la varianza poblacional no es conocida utilizamos la distribución
de “t” de “student” (W.S. Gosset, 1908), para tamaños de muestra n<30. El
estadístico T definido por X − μ / S / n genera una función de densidad
de probabilidad h(t). Como σ 2 no se conoce se estima mediante S2,
entonces:
(
)
Γ[(v + 1) / 2] ⎛ t 2
X −μ
⎜1 +
→ h(t ) =
T=
S
v
Γ(v / 2 ) πv ⎜⎝
n
⎞
⎟⎟
⎠
− (v +1) / 2
−∞ <t < ∞
La distribución h(t) se desvia en forma apreciable cuando los grados de
libertad v =n-1 son pequeños.
•
•
El estadístico t definido resulta de una muestra aleatoria seleccionada
de una población normal, con varianza σ 2 no conocida, siendo
estimada por S2.
X −μ
Z
Normal estándar: Z =
T=
σ
V / n −1
n
Ji- cuadrado con v = n − 1 grados de libertad;
(n − 1)S 2
V =
2
σ
•
•
Al muestrear poblaciones normales, puede mostrarse que X y S2 son
independientes y en consecuencia lo son Z y V.
Esperanza matemática o valor esperado E(T)=0
•
Varianza Var (T ) =
•
•
ν
, ∀ν > 2
ν ′2
⎛ ν ⎞
lim Var (T ) = lim ⎜
=1
ν →∞
ν →∞ ν − 2 ⎟
⎝
⎠
Distribución t ≅ N(Z; 0,1)
243
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
v=∞
h(t)
v=9
v=5
v=3
t
0
Curvas de desviación para v=3, v =5, v =9, v = ∞ (Normal)
Determinación del intervalo de confianza
h(t)
α
− tα
α
1−α
2
0
2
t < tα ⇒ P⎛⎜ − tα < t < tα ⎞⎟ = 1 − α
2
2
2 ⎠
⎝
p⎛⎜ − tα < t < tα ⎞⎟ = 1 − α
2
2⎠
⎝
⎛
⎞
⎜
⎟
X −μ
< t(α ) ⎟ = 1 − α
P⎜ − t (α ) <
S
2
2
⎜
⎟
n
⎝
⎠
244
tα
2
t
2
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
X −μ
IC : −t (α ) <
< t (α ) ⇒
2
2
s n
x − tα
S
2
n
< μ < X + tα
S
2
n
Error:
Tamaño de muestra:
2
tα S
tα S
⎛ tα S ⎞
e≤ 2 ⇒n≥⎜ 2 ⎟
e= X −μ ≤ 2 ;
⎜ e ⎟
n
n
⎝
⎠
Longitud de intervalo
Error estándar estimado
∧
S
S
L = 2tα
s.e. X =
2
n
n
OBSERVACIÓN: Si no se nos fija la confianza el investigador tendría que
asumirla.
( )
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.
Una compañía manufacturera asegura que las baterías utilizadas en sus
juegos electrónicos duran un promedio de 30 horas, Para conservar
este promedio se prueban 16 baterías mensualmente. Si el valor
calculado de t cae entre –t0.025 y t0.025, la compañía esta satisfecha con
su afirmación. ¿Qué conclusión sacaría la empresa de una muestra
que tiene una media X = 27.5 horas y una desviación estándar S=5
horas? Suponga que la distribución de las duraciones de las baterías es
aproximadamente normal.
Solución:
• X: V.A. duración de batería
• Población:
μ = 30
σ 2 = ??
•
Muestra:
•
X = 27.5
S =5
Confianza 1 − α = 0.95 ⇒ α
n = 16
2
= 0.025 ⇒ t 0.025 = +2.131 , por simetría
t 0.975 = −2.131
v = 16 − 1 = 15
t ∈ − t 0.025 , t 0.025 = − 2.131,2.131
t=
2.5
X − μ 27.5 − 30
=
=−
= −2, estadístico de prueba.
5
S
S
4
16
n
245
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
0.025 t = −2 ∈ − 2.131,2.131
0.025
-2.131
0
2.131
t
Conclusión.- La empresa esta satisfecha con su afirmación, por que el
estadístico de prueba se encuentra dentro del intervalo.
2.
Un instituto de investigación nutricional indica que el consumo
regular de cereales pre endulzado contribuye a la caída de los dientes,
enfermedades del corazón y otros procesos degenerativos. En una
muestra aleatoria de 20 porciones sencillas de un cereal el contenido
promedio de azúcar fue de 11.3 gramos con desviación estándar de
2.45 gramos. Suponiendo que los contenidos de azúcar están
distribuidos normalmente, determine el intervalo de confianza del
95% para el contenido promedio de azúcar de porciones sencillas de
dicho cereal.
Solución:
• X: V.A. consumo de cereal pre endulzado
• Población: μ = ?
σ =?
• Muestra: n = 20
X = 11.3
S = 2.45
• Confianza: 1 − α = 0.95 → t0.025 = 2.093
v = 20 − 1 = 19
Intervalo:
X − t 0.025
S
n
< μ < X + t 0.025
S
n
⇒ 11.3 − 2.093 ×
10.15 < μ < 12.45
246
2.45
20
< μ < 11.3 + 2.093 ×
2.45
20
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
3.
Una maquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica, Se toma
una muestra de piezas cuyos diámetro son: 1.01, 0.97, 1.03, 1.04,
0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centímetros. Encuentre un intervalo de
confianza del 99% para el diámetro promedio de piezas de esta
máquina, si se supone una distribución aproximadamente normal.
Solución:
• X: V.A. diámetro de piezas en centímetros
• Población: μ = ?
σ =?
• Muestra: n = 9
X = ??
S = ??
• Confianza: 1 − α = 0.99 → α = 0.005 t 0.005 = 3.355
2
v = 9 −1 = 8
Utilizando datos calculamos la media muestral y varianza muestral.
∑ X i = 9.05 = 1.0056
X =
n
9
S
2
∑X
=
2
i
− (∑ X i ) / 9
2
9 −1
9.1051 − (9.05) / 9
=
= 0.0006028
8
2
S = 0.0246
IC : X − t 0.005
S
n
1.0056 − 3.355 ×
< μ < X + t 0.005
0.0246
S
n
< μ < 1.0056 + 3.355 ×
0.0246
9
0.978 < μ < 1.033
9
Tenemos el 99% de confianza que el intervalo <0.978, 1.033>
contiene el diámetro promedio real.
t
×S
•
Podemos calcular el error e = X − μ ≤ 0.005
⇒ e = 0.0275
n
∧
S
0.0246
•
El error estándar estimado de X = e.s X =
=
= 0.0082
n
9
( )
247
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA μ
Se trata de pruebas para decidir a partir de la información que proporciona
una muestra aleatoria, si lo que se afirma respecto de la distribución de una
variable es verdadera o falsa.
Elementos que intervienen en la hipótesis:
H0: Hipótesis nula, lo cual generalmente se asume como verdadera y se
relacional con la población.
H1: Hipótesis alternativa, surge como una contraposición a la Hipótesis nula
para ello se extrae una muestra de la población.
α : Nivel de significancia, pequeño que se relaciona con lo raro que podría
ocurrir en un experimento estadístico.
ERRORES DE TIPO I Y II.- Como las pruebas de hipótesis se basan en la
información obtenida en una muestra aleatoria, es posible que se cometan
errores. Estos errores pueden ser de los tipos.
El error de tipo I.- Que se comete al rechazar la hipótesis nula siendo esta
verdadera.
El error de tipo II.- Que se comete al aceptar la hipótesis nula siendo esta
falsa.
Estado real de la prueba
Decisión
H0 verdadera
H1 falsa
Rechazar H0
Error de tipo I
Aceptar H0
Error de tipo II
Como no se sabe a ciencia cierta el estado real, es imposible medir
exactamente los errores que se puedan cometer, sin embargo la
probabilidad proporciona cierta información acerca de estos posibles
errores. A la probabilidad de cometer el tipo I se denotan con α mientras
que la probabilidad de cometer el error de tipo II se denota con β .
α = P [ rechazar
H
0
H
0
es verdadera
β = P[ aceptar H 0 H 0 es falsa ]
248
]
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
•
NIVEL DE SIGNIFICACIÓN DE LA PRUEBA.- A la probabilidad α ,
de cometer el error de tipo I, se le llama nivel de dignificación de la
prueba. Vemos que es posiblemente controlar el nivel de significación
α , lo que significará de alguna manera una medida de la confiabilidad
de la decisión de rechazar la hipótesis nula y aceptar la alternativa
(ello justificará la elección de hipótesis como aquella que se desea
probar). Por ello cuando no sea posible rechazar la hipótesis nula será
preferible indicar que “no existe suficiente información como para
rechazar la hipótesis nula”. De igual manera β es una medida de
confiabilidad de la decisión de aceptar la hipótesis nula; sin embargo,
no es posible en general controlar este valor.
•
ESTADÍSTICO DE PRUEBA.- Indica de alguna manera el grado de
discrepancia entre la hipótesis nula y los datos observados. Cuando el
grado de discrepancia sea grande se rechazará la hipótesis nula de
otra manera no se rechazará.
X −μ
X −μ
Z=
, n ≥ 30
ó
t=
, n < 30
σ
S
n
n
EJERCICIOS DE PROPUESTOS
TEOREMA DE LÍMITE CENTRAL:
Se tiene 99 instrumentos electrónicos idénticos I1, …, I99, que se usan
1.
en una maquina de la manera siguiente: tan pronto como I1 falla
comienza a funcionar I2, y así sucesivamente. Si Tk es la duración, en
horas, de Ik, k = 1,…, 99 y se considera que la esperanza y la
desviación estándar son: 100 y 2, respectivamente, hallar la
probabilidad de que el tiempo total de duración T de la maquina sea
mayor que 10,000 horas cuando se han sustituido los 99 instrumentos
electrónicos.
2.
Una maquina automática envasa arroz en bolsas en una cantidad cuyo
peso tiene una esperanza igual a 1 Kg. y una desviación estándar de
0.01 kg. Una segunda maquina empaca las bolsas en paquetes de 50
cada uno. Con el fin de verificar si el numero de bolsas en cada
paquete es exacto, se decide que si el peso de cada uno de estos esta
entre 49.8 y 50.2 Kg., se acepta que el paquete tiene 50 bolsas, de
otro modo se rechaza.
249
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
3.
Se desea fabricar cuerdas de fibras de nylon de tal manera que puedan
soportar sin romperse 1000 Kg. Como mínimo cada fibra tiene una
resistencia media de 10 kg. Y una desviación estándar de 0.1 kg.¿Con
cuántas fibras se debe formar cada cuerda de tal manera que se
cumplan las exigencias con una probabilidad igual a 0.99?
4.
Cien clientes harán uso de los terminales de una gran computadora.
Se ha determinado que en promedio cada cliente usara la
computadora 30 minutos por cada hora. Hallar el número k de
terminales que deberán colocarse de tal modo que en cualquier
instante t el número de terminales sea insuficiente con probabilidad
0.05.
5.
La oficina de trabajo indica que en promedio los obreros estatales
ganan 500 nuevos soles con una desviación estándar de 20 nuevos
soles. Al tomar 81 obreros al azar, ¿qué probabilidad hay de que la
media de los 81 salarios sea menor que 450 nuevos soles?
Rpta. 0.
6.
Se desea estimar el salario promedio de los padres de familia de un
cierto colegio. Si se supone que la desviación estándar de los salarios
es 10 nuevos soles y se seleccionan al azar 64 padres de familia,
a) hallar la probabilidad de que la diferencia en valor absoluto entre
la media del grupo tomado al azar y la verdadera media no
exceda a 3 nuevos soles.
b) ¿Cuántos padres de familia deberán seleccionarse para que con
probabilidad 0.95 la media en el grupo escogido difiera en valor
absoluto de la verdadera media en a lo más 3.3 nuevos soles?
Rpta. a) 0.9836. b) 36, aproximadamente.
7.
En una fábrica se hacen resistencia las cuales se usan dos a la vez en
la construcción de ciertos aparatos. Cada resistencia es defectuosa con
probabilidad 0.1 y no defectuosa con probabilidad 0.9. Cada aparto
proporciona una ganancia de $1 si ambas resistencias son buenas, $0
si solo una resistencia es defectuosa y - $10 si ambas resistencias son
defectuosas. Hallar aproximadamente la probabilidad de que 1,000
aparatos vendidos produzcan por lo menos $800 de ganancia.
Sug. Hallar la media y la varianza de la ganancia y luego aplicar el
TLC.
250
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
8.
Una compañía de seguros se dispone asegurar 36 personas contra un
determinado riesgo. Si llamamos con Xi a la suma que la compañía
tendrá que pagar al cliente i, ( Xi puede ser 0) y si el promedio que se
paga al producirse una contingencia es E(Xi) = 1000 y la varianza es
V(X) = 2500 para todo i; hallar el valor C que debe cobrarse como
prima a cada cliente si se desea ganar por lo menos $10,000 con
probabilidad igual a 0.95.
Rpta. C ≥ 1291.49
9.
En cada operación que realiza una computadora, aproxima el
resultado al entero mas próximo cometiendo un error que es una
variable aleatoria con distribución uniforme de media 0 y de rango 4.
Si se ejecutan 50 operaciones, ¿Cuál es la probabilidad de que la
suma de los errores esté entre -4 y 4?
Rpta. Si Xi indica cada error, calcular, usando el teorema del límite
50
central P ( −4 ≤ y ≤ 4 ) , en donde Y es ∑ X i
i =1
10. El tiempo que demora una persona en hablar por teléfono es una
variable aleatoria con media 3 minutos y desviación estándar 0.50
minutos. Hallar la probabilidad de que
• El tiempo total que demoran 49 personas sea mayor que 150
minutos
• El promedio del tiempo que demoran 64 personas sea mayor que
3.5 minutos.
• Si por cada minuto se paga $0.50 y el costo fijo por llamada es
igual a $0.80, calcular la probabilidad de que el costo al realizar
36 llamadas sea mayor que $45.
11. Si X1,…, X100 son variables aleatoria independientes e idénticamente
distribuidas, con función de densidad: f(x) = e-x, x ≥ 0
⎡ 100
⎤
Hallar aproximadamente P ⎢ ∑ X i > 115⎥
⎣ i =1
⎦
Rpta. 0.0668
12. La función de densidad de una variable aleatoria X es
⎧ x + 1 si − 1 ≤ x ≤ 0
f ( x) = ⎨
⎩− x + 1 si 0 ≤ x ≤ 1
251
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
a)
Hallar P ( 3 ≤ T ≤ 5 ) , en donde T corresponde a la suma de las
variables aleatorias independientemente: X1,…………X36, todas
ellas con la misma distribución que X.
b) Hallar P − 0.1 < T < 0.1 , en donde T es el promedio de las
variables aleatorias, X1 , X2 ,…, X36
(
)
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA USANDO LAS
DISTRIBUCIONES NORMAL Y t DE STUDENT
1.
Se ha determinado que la cantidad de nicotina que tiene los cigarrillos
de cierta marca tiene distribución normal con desviación estándar
igual a 1 miligramo. Para estimar a la media de la cantidad de nicotina
por cigarrillo de toda la producción, se tomó una muestra de tamaño
25 y se construyo el intervalo de confianza [9.6080, 10.3920]. ¿Con
que nivel de confianza se ha construido el intervalo?
Rpta.95%
2.
Algunos vecinos de un distrito se quejan de que el paquete de “un
kilo” de café que se vende en los mercados del lugar no concuerda
con el peso indicado. Los vendedores de este producto dicen que es
posible que esto suceda pero que la media de todos los paquetes de 1
kg. La municipalidad del distrito para dilucidar este problema, tomó
una muestra de 100 paquetes registrándose una media de 990 gr. y
una desviación estándar de 40 gr. Usando un intervalo de confianza al
nivel del 95%, ¿Qué puede concluir la municipalidad?
3.
Una muestra de 200 cuentas de ahorro en cierto distrito mostró que
había un incremento medio del 7.2% en los montos de las cuentas del
ahorro en los últimos doce meses con una desviación estándar de
5.6%. Usando un intervalo de confianza al 95%, estimar la media del
incremento porcentual en el monto de las cuentas de ahorro en los
últimos doce meses para todos los ahorristas en el distrito. Establecer
un límite para el error de estimación al 95%.
Rpta. Intervalo para el incremento: [6.4239, 7.9761], limite para el
error = 0.7761.
4.
Con la finalidad de estimar el promedio de los sueldos de un sector de
trabajadores se tomo una muestra de tamaño 100 y se obtuvo una
media muestral igual a 400. Hallar el intervalo de confianza al nivel
95% para la media de todos los sueldos si se supone que la
252
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
distribución de estos es normal con desviación estándar 30. ¿Cuál es
el máximo error que se comete al nivel de confianza del 99% si la
media de los sueldos se estima con la media muestral?
5.
Un grupo de control de calidad de una industria muestra diariamente
la línea de producción de un determinado artículo y calcula un
intervalo al nivel de confianza del 95% para la longitud media de las
piezas producidas en el día. Se han calculado 15 de tales intervalos.
a) Sea X el número (desconocido) de los intervalos que en efecto
cubren la longitud media desconocida de las piezas producidas en
el día. ¿Cuál es la distribución para X?
b) Calcular la probabilidad aproximada de que 12 de los quince
intervalos cubran la media verdadera.
Rpta. b) 0.03073.
6.
Cinco determinaciones del PH de una solución dieron los siguientes
resultados:
7.29, 7.95, 7.95, 7.50 y 7.94.
Hallar un intervalo de confianza al 99% de la media de todas las
determinaciones del PH de la misma solución, si se supone que la
variable de las determinaciones del PH es normal.
Sug. Usar el intervalo de confianza para la media de una población
normal con varianza desconocida.
7.
Una fabrica trabaja con dos maquinas de tipo A y con una maquina de
tipo B. el tiempo que se utiliza para reparar la maquina A por semana
tiene distribución normal con media μ, desconocida y varianza
σ2 conocida, mientras que para la maquina B la distribución es normal
con media μ2, desconocida, y varianza 2 σ12. Luego, el tiempo total
semanal esperado de reparación es 2μ1 + μ2. Si se consideran una
muestra aleatoria de m tiempos de reparación para cada maquina de
tipo A y una muestra aleatoria de n tiempos de reparación para la
maquina B, construir un intervalo al nivel de confianza del 95 % para
el tiempo total esperado de reparación.
8.
Para estimar la resistencia media de las barras de hierro que se utilizan
en cierta construcción, una compañía desea conocer el número n de
barras que debe escoger de tal modo que se garantice que existirá un
riesgo de 0.01 de sobrepasar el error de 5 kg. Al estimar la media de
todas las barras mediante la media muestral. Si la desviación estándar
es 20 kg., hallar n.
Rpta. 107
253
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
9.
Hallar el tamaño de muestra que se debe tener tomar para estimar la
media de una poblacional normal de modo que la media poblacional
no difiera de la media en más del 20% de la desviación estándar, con
probabilidad 0.95.
Rpta. 96.
10. Se planea una encuesta para conocer el tiempo que los niños ven
televisión. Un estudio previo mostró que el tiempo promedio por
semana es cerca de 15 horas con una desviación estándar de 5 horas.
Se desea estimar el tiempo promedio por semana con una precisión
de 0.5 horas, al nivel de confianza del 99%. Si el costo de
administración de la encuesta es de $ 500, más $3 por entrevista,
¿Cuál es el costo total que se debe presupuestar para la encuesta?
Rpta. 2498
11. Una muestra aleatoria de 81 personas tomadas del total de 225
egresados de la carrera de administración recibe un sueldo promedio
inicial de $900 mensuales con una desviación estándar de $ 100.
Calcule un intervalo al 95% de nivel de confianza para el sueldo
promedio inicial de los 225 graduados.
12. Hallar un intervalo de confianza al nivel del 95% para el ingreso total
mensual de una comunidad que tiene 500 familias si en una muestra
de 100 familias se obtuvo un ingreso mensual promedio de 30000
nuevos soles. Suponer que los ingresos tienen aproximadamente
distribución normal con desviación estándar igual a 5000 nuevos
soles.
Rpta. [14510000, 15490000]
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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES I
TABLAS ESTADÍSTICAS
TABLA 1.- Distribución Normal Estandar
TABLA 2.- Distribución t de Student
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TABLA 1.- Distribución Normal Estandar
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TABLA 2.- Distribución t de Student
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