EcDifOrdPrOrdEcExact..

Determina los valores, si existen, de las constantes a y b para los cuales las
siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden son exactas. En
caso de que sí existan esos valores, determina la solución.
a) (x + my) dx + (ax + by) dy = 0
b) y 2 dx + (yx + a sin x + b cos x) dy = 0
c) y 2 cos xy 2 + a dx + bx cos xy 2 + 3y ydy
Solución:
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma
M (x; y) dx + N (x; y) dy = 0
es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden exacta, si la expresión
del lado izquiero es una diferencial exacta.
Si las funciones M (x; y) y N (x; y) son funciones continuas con derivadas
parciales continuas en una región rectangular R, de…nida por a < x < b; c <
y < d. Entonces, la condición necesaria y su…ciente para que M (x; y) dx +
N (x; y) dy sea una diferencial exacta es que
@N (x; y)
@M (x; y)
=
@y
@x
Si la ecuación es exacta, existe una función g (x; y) para la cual
@g (x; y)
= M (x; y)
@x
De esta ecuación podemos determinar g (x; y) si integramos M (x; y) con
respecto a x, Rmanteniendo y constante:
g (x; y) = M (x; y) dx + (y)
en donde la función arbotraria (y) es la "constante" de integración que
depende únicamente de y.
Si ahora derivamos la expresión obtenida para g (x; y) respecto a y, y además
@g (x; y)
usamos el hecho que
= N (x; y), ya que es una diferencial exacta,
@y
tenemos
@ R
d (y)
@g (x; y)
=
M (x; y) dx +
= N (x; y)
@y
@y
dy
o despejando
d (y)
@ R
= N (x; y)
M (x; y) dx
dy
@y
R
Resolviendo esta ecuación nos da (y) ; que se sustituye en g (x; y) = M (x; y) dx+
(y) :
Finalmente la solución de la ecuacion diferencial es f (x; y) = c donde c es
ua constante arbitraria.
Apliquemos ahora esta teoría a las ecuaciones de este problema.
a) (x + my) dx + (ax + by) dy = 0
Tenemos
@
(ax + by) = a
@x
y
@
(x + my) = m
@y
1
Así que para que la ecuación sea exacta se debe tener a = m: No importa
que valor tome b.
En ese caso la ecuación queda como
(x + my) dx + (mx + by) dy = 0
Para encontrar la solución tenemos
@
g (x; y) = x + my
@x
que al integrar da
R
1
g (x; y) = (x + my) dx = mxy + x2 + (y)
2
Ahora sacamos la derivada de g respecto a y de la expresión obtenida y la
igualamos al coe…ciente de dy de la ecuación
@
g (x; y) = mx + (y) = mx + by
@y
entonces
(y) = by
que se integra como
R
1
(y) = b ydy = by 2 + c1
2
Sustituyendo en la expresión de g,
1
1
g (x; y) = mxy + x2 + by 2 + c1
2
2
que nos lleva …nalmente a la expresión implicita
x2 + by 2 + 2mxy = c
b) y 2 dx + (yx + a sin x + b cos x) dy = 0
Tenemos
@
(yx + a sin x + b cos x) = y + a cos x b sin x
@x
y
@ 2
y = 2y
@y
Es imposible hacer que estas dos ecuaciones sean iguales, independientemente del valor de a y b.
La ecuación no es exacta, para ningún valor de a y b.
c) y 2 cos xy 2 + a dx + bx cos xy 2 + 3y ydy
Tenemos
@
bx cos xy 2 + 3y y = yb cos xy 2 xy 2 sin xy 2
@x
y
@
y 2 cos xy 2 + a = 2y cos xy 2 xy 2 sin xy 2
@y
Para que la ecuación sea exacta se debe tener b = 2 y a puede tener cualquier
valor.
La ecuación exacta es
y 2 cos xy 2 + a dx + 2x cos xy 2 + 3y ydy
y para resolverla hacemos
@
g (x; y) = y 2 cos xy 2 + a
@x
Integrando
2
R 2
g (x; y) =
y cos xy 2 + a dx = ax + sin xy 2 + (y)
Viendo ahora el coe…ciente de dy,
@
g (x; y) = 2xy cos xy 2 + (y) = 2xy cos xy 2 + 3y 2
@y
que nos lleva a que
(y) = 3y 2
e integrando
R
(y) = 3 y 2 dy = y 3 + c1
Así que
g (x; y) = ax + sin xy 2 + y 3 + c1
o bien la expresión implicita …nal
ax + sin xy 2 + y 3 = c
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