Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables 1. Definiciones DEF. Se dice que f : A ⊂ Rn → Rm es una función de Rn en Rm si a cada ~x ∈ Rn le corresponde un único f (~x ) ∈ Rm Casos Particulares: Si n = m = 1, f : A ⊂ R → R es una función real de variable real. Si n > 1, m = 1, f : A ⊂ Rn → R es una función real de n variables o de variable vectorial. Si n = 1, m > 1, f : A ⊂ R → Rm es una función vectorial de variable real. Si n > 1, m > 1, f : A ⊂ Rn → Rm es una función vectorial de variable vectorial. Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables 2. Gráficas Si n = m = 1,f : A ⊂ R → R Gráfica de f : (x, y) ∈ R2 /y = f (x) Si n > 1, m = 1, f : A ⊂ Rn → R Gráfica de f : (x1 , x2, · · · , xn , y) ∈ Rn+1 /y = f (x , x , · · · , x ) n 1 2 n = 2: (x, y, z) ∈ R3 /z = f (x, y) Trazas: curvas resultantes de intersecar z = f (x, y) con los planos x = c, y = c y z = c, c constante Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables 2. Gráficas (II) Curvas de nivel: proyección perpendicular sobre el plano XY de la traza de la superficie z = f (x, y) sobre el plano z = c Si n = 1, m = 2 ó 3, f : A ⊂ R → Rm Se representa la imagen de f (curva en el plano o en el espacio) en lugar de la gráfica: {(f1 (x), f2 (x))} ó {(f1 (x), f2 (x), f3 (x))} Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables 3. Límites DEF. Sea f : A ⊂ Rn → Rm y a ∈ A′ Se dice que ~l ∈ Rm es el límite de f cuando ~x tiende a ~a, si para todo entorno V de ~l, existe un entorno U de ~a de modo que todos los puntos de U pertenecientes a A (excluido a) tienen su imagen en V . lim f (~x ) = ~l :⇔ ~x →~a ∀ε > 0, ∃δ > 0/ Si ~x ∈ B(~a, δ), ~x 6= ~a, ~x ∈ A ⇒ f (~x ) ∈ B(~l, ε) ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0/ Si k~x − ~ak < δ, ~x 6= ~a, ~x ∈ A ⇒ kf (~x ) − ~lk < ε Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables 3. Límites (II) Límites por subconjuntos Sea f : A ⊂ Rn → R y a ∈ A′ Si existe lim f (~x ) = l, entonces existe lim f |B (~x ) = l ~x →~a siendo B ⊂ A tal que a ∈ ~x →~a B′ Dado que el límite si existe es único, si nos acercamos a ~a por distintos caminos y el valor del límite varía entonces el límite no existe. Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables 3. Límites (III) Paso a coordenadas polares 1 2 Cambio de variable:x̄ = x − a, ȳ = y − b x̄ = r cos θ Cambio de variable: con ȳ = r sen θ p r = + x̄ 2 + ȳ 2 x̄ ȳ cos θ = , sen θ = r r f̄ (x̄, ȳ ) = lim f̂ (r , θ) lim f (x, y) = lim (x,y )→(a,b) (x̄ ,ȳ )→(0,0) r →0 ∀ε > 0, ∃δ > 0/ Si r < δ ⇒ |f̂ (r , θ) − l| < ε ) lim F1 (r ) = 0 Si r →0 ⇒ lim F1 (r ) · F2 (θ) = 0 r →0 F2 (θ) está acotada ∀θ Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables 3. Límites (XI) Propiedades 1 Unicidad del límite 2 Acotación en un entorno 3 Límite de la función suma, producto, cociente 4 Límites potenciales-exponenciales 5 Conservación del signo en un entorno 6 Existencia del límite por monotonía y acotación 7 Conservación de desigualdades por paso al límite 8 Regla del Sandwich Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables 4. Continuidad DEF. Se dice que f : A ⊂ Rn → Rm es continua en ~a ∈ A si: 1 ~a ∈ Ais(A) ⊂ A o 2 ~a ∈ A′ tal que: 2.i) existe lim f (~x ) = ~l ~ x →~a 2.ii) ~l = f (~a) PROP. Se dice que f : A ⊂ Rn → Rm es continua en ~a ∈ A si sus m funciones componentes lo son Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables 4. Continuidad (II) Propiedades 1 Los polinomios de varias variables son continuos en Rn 2 La suma, producto y cociente de funciones continuas es continua 3 La composición y la restricción de funciones continuas es otra función continua 4 La imagen continua de un conjunto compacto es otro conjunto compacto