Límites y continuidad en varias variables

Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE
FUNCIONES
X.4. Límites y continuidad en varias variables
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables
1. Definiciones
DEF. Se dice que f : A ⊂ Rn → Rm es una función de Rn en
Rm si a cada ~x ∈ Rn le corresponde un único f (~x ) ∈ Rm
Casos Particulares:
Si n = m = 1, f : A ⊂ R → R es una función real de
variable real.
Si n > 1, m = 1, f : A ⊂ Rn → R es una función real de n
variables o de variable vectorial.
Si n = 1, m > 1, f : A ⊂ R → Rm es una función vectorial
de variable real.
Si n > 1, m > 1, f : A ⊂ Rn → Rm es una función vectorial
de variable vectorial.
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables
2. Gráficas
Si n = m = 1,f : A ⊂ R → R
Gráfica de f : (x, y) ∈ R2 /y = f (x)
Si n > 1, m = 1, f : A ⊂ Rn → R
Gráfica
de f :
(x1 , x2, · · · , xn , y) ∈ Rn+1 /y = f (x
,
x
,
·
·
·
,
x
)
n
1
2
n = 2: (x, y, z) ∈ R3 /z = f (x, y)
Trazas: curvas resultantes de intersecar z = f (x, y) con
los planos x = c, y = c y z = c, c constante
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables
2. Gráficas (II)
Curvas de nivel: proyección perpendicular sobre el plano XY
de la traza de la superficie z = f (x, y) sobre el plano z = c
Si n = 1, m = 2 ó 3, f : A ⊂ R → Rm
Se representa la imagen de f (curva en el plano o en el
espacio) en lugar de la gráfica:
{(f1 (x), f2 (x))} ó {(f1 (x), f2 (x), f3 (x))}
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables
3. Límites
DEF. Sea f : A ⊂ Rn → Rm y a ∈ A′
Se dice que ~l ∈ Rm es el límite de f cuando ~x tiende a ~a,
si para todo entorno V de ~l, existe un entorno U de ~a de modo
que todos los puntos de U pertenecientes a A (excluido a)
tienen su imagen en V .
lim f (~x ) = ~l :⇔
~x →~a
∀ε > 0, ∃δ > 0/ Si ~x ∈ B(~a, δ), ~x 6= ~a, ~x ∈ A ⇒ f (~x ) ∈ B(~l, ε)
⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0/ Si k~x − ~ak < δ, ~x 6= ~a, ~x ∈ A ⇒ kf (~x ) − ~lk < ε
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables
3. Límites (II)
Límites por subconjuntos
Sea f : A ⊂ Rn → R y a ∈ A′
Si existe lim f (~x ) = l, entonces existe lim f |B (~x ) = l
~x →~a
siendo B ⊂ A tal que a ∈
~x →~a
B′
Dado que el límite si existe es único, si nos acercamos a ~a por
distintos caminos y el valor del límite varía entonces el límite no
existe.
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables
3. Límites (III)
Paso a coordenadas polares
1
2
Cambio de variable:x̄ = x − a, ȳ = y − b
x̄ = r cos θ
Cambio de variable:
con
ȳ = r sen θ

p
 r = + x̄ 2 + ȳ 2
x̄
ȳ
 cos θ = , sen θ =
r
r
f̄ (x̄, ȳ ) = lim f̂ (r , θ)
lim
f (x, y) =
lim
(x,y )→(a,b)
(x̄ ,ȳ )→(0,0)
r →0
∀ε > 0, ∃δ > 0/ Si r < δ ⇒ |f̂ (r , θ) − l| < ε
)
lim F1 (r ) = 0
Si r →0
⇒ lim F1 (r ) · F2 (θ) = 0
r →0
F2 (θ) está acotada
∀θ
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables
3. Límites (XI)
Propiedades
1
Unicidad del límite
2
Acotación en un entorno
3
Límite de la función suma, producto, cociente
4
Límites potenciales-exponenciales
5
Conservación del signo en un entorno
6
Existencia del límite por monotonía y acotación
7
Conservación de desigualdades por paso al límite
8
Regla del Sandwich
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables
4. Continuidad
DEF. Se dice que f : A ⊂ Rn → Rm es continua en ~a ∈ A si:
1
~a ∈ Ais(A) ⊂ A
o
2
~a ∈ A′ tal que:
2.i) existe lim f (~x ) = ~l
~
x →~a
2.ii) ~l = f (~a)
PROP. Se dice que f : A ⊂ Rn → Rm es continua en ~a ∈ A si
sus m funciones componentes lo son
Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.4. Límites y continuidad en varias variables
4. Continuidad (II)
Propiedades
1
Los polinomios de varias variables son continuos en Rn
2
La suma, producto y cociente de funciones continuas es
continua
3
La composición y la restricción de funciones continuas es
otra función continua
4
La imagen continua de un conjunto compacto es otro
conjunto compacto