Semana 4 - Universidad de Chile

Ingenierı́a Matemática
Semana 4
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Cálculo 07-1
Pauta Guı́a Básica
Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones:
1. F Toda cónica C cumple que C ∈ R2 .
2. Para determinar una cónica nos basta conocer su excentricidad, directriz y foco.
3. F Si una parábola tiene foco F = (0, p) su excentricidad es e = p.
4. Se puede determinar el vértice de una parábola, conociendo el foco y la directriz.
5. V El eje de simetrı́a de una parábola pasa por el vértice y el foco.
6. Una parábola cuya recta directriz es el eje OY es una parábola horizontal.
7. F El foco es un punto que pertenece a la parábola.
8. Sea P una parábola y D su directriz. Se cumple que P
T
D = φ.
9. F Toda parábola cuyo vértice se ubica en (xv , yv ), tiene como eje de simetrı́a a la recta y = yv .
10. Toda parábola tiene un eje de simetrı́a.
11. V Una recta directriz vertical genera una parábola cuya ecuación es de la forma y 2 = 4px.
12. La recta directriz de y =
1 2
4p x
es perpendicular a la recta directriz de y = 4px2 .
13. V La ecuación 2y + 2x − x2 = 0 representa una parábola.
14. La ecuación 2y + 2x − x2 = 0 representa una parábola con vértice en (1, −1
2 ).
15. F La ecuación y + 3x = x2 representa una parábola con vértice en (1, −1
2 ).
16. La ecuación 2y + 2x = x2 − 1 representa una parábola con vértice en (1, −1
2 ).
17. V Si y0 6= 0, x0 6= 0, las parábolas P1 : (y − y0 ) = (x − x0 )2 y P2 : (y − y0 ) = x2 tienen la misma
recta directriz.
18. Si y0 6= 0, x0 6= 0, las parábolas P1 : (y − y0 ) = (x − x0 )2 y P2 : y = (x − x0 )2 tienen la misma
recta directriz.
19. V Las parábolas P1 : (y − y0 ) = (x − x0 )2 y P2 : y = (x − x0 )2 tienen el mismo eje de simetrı́a.
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20. La ecuación y = x2 + x + 1 representa una parábola de foco ( −1
2 , 1).
21. F En una elipse la excentridad es siempre mayor que 1.
22. La ecuación x + 2y 2 = 2 corresponde a la ecuación de una elipse.
23. V Toda elipse tiene dos ejes de simetrı́a.
24. La ecuación
x2
4
+
25. V La ecuación
26. La ecuación
x2
2
y2
9
x2
9
+
= 1 representa una elipse con excentricidad
+
y2
8
y2
4
√
5
3 .
= 1 representa una elipse con excentricidad
√
5
3 .
= −1 representa una elipse.
27. F Toda elipse intersecta al eje OY en dos puntos distintos.
28. La intersección entre una elipse y su recta directriz siempre son dos puntos distintos.
29. F Para todo a, b ∈
R la ecuación xa
+
y2
b
= 1 representa una elipse.
−
y2
b
= 1 representa una elipse.
2
30. Para todo a > 0, b < 0 la ecuación
x2
a
31. F Para todo a < 0, b < 0 la ecuación
x2
a
+
y2
b
= a + b representa una elipse.
32. Una hipérbola siempre tiene una excentricidad mayor a la de una parábola.
33. F Una hipérbola siempre tiene una excentricidad menor a la de una elipse.
34. Toda hipérbola tiene dos ejes de simetrı́a.
35. V Toda hipérbola tiene dos rectas ası́ntotas.
36. La intersección entre una hipérbola y sus ası́ntotas es un conjunto de cuatro elementos.
37. V La ecuación x2 = 1 + y 2 representa la ecuación de una hipérbola.
38. Para todo a, b ∈
R la ecuación xa
2
+
y2
b
39. V Para todo a > 0, b < 0 la ecuación
40. Para todo a < 0, b < 0 la ecuación
x2
a
= 1 representa una hipérbola.
x2
a
−
+
y2
b
y2
b
= 1 representa una hipérbola.
= a + b representa una hipérbola.
41. F La ecuación x2 = 1 − y 2 representa a una hipérbola.
42. La recta y = x es ası́ntota de la hipérbola 2x2 − y 2 = 1.
43. V La excentricidad de la hipérbola x2 − 2y 2 = 1 es e =
44. La recta directriz de la hipérbola x2 − 2y 2 = 1 es y =
q
q
3
2.
2
3.
45. F La recta directriz de la hipérbola x2 − 2y 2 = 1 es x = 0.
2
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46. La recta directriz de la hipérbola x2 − 2y 2 = 1 es x =
q
2
3.
√
47. F La ecuación y = x2 − 1 representa una parábola.
√
48. La ecuación y = x2 − 1 representa una elipse.
√
49. F La ecuación y = x2 − 1 representa una hipérbola.
50. Toda parbola tiene dos rectas ası́ntotas.
51. V El conjunto C = {(x, y) ∈
R2 : 2x2 + y2 = 1} es una cónica.
R2 : 2x2 + y = 1, |x| ≤ 10} es una cónica.
53. V El conjunto C = {(x, y) ∈ R2 : 2x2 + y 2 = 1, |x| ≤ 10} es una cónica.
54. El conjunto C = {(x, y) ∈ R2 : 2x2 − y 2 = 1, |x| ≤ 10} es una cónica.
52. El conjunto C = {(x, y) ∈
55. F Si dos cónicas tienen la misma excentricidad, entonces son la misma cónica.
56. Si dos cónicas tienen la misma directriz, entonces son la misma cónica.
57. F Si dos cónicas tienen el mismo foco, entonces son la misma cónica.
58. Si dos cónicas tienen el mismo foco y directriz, entonces son la misma cónica.
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