Espacio vectorial

Alberto Entero Conde
Maite González Juarrero
MATEMÁTICAS II
Espacio vectorial tridimensional.
VECTORES LIBRES EN EL ESPACIO
INTRODUCCIÓN
Como ya sabes, hay magnitudes que no quedan definidas con un
número, es preciso dar además una dirección y un sentido, tal como
ocurre con la fuerza, la velocidad, etc. Para representar estas
magnitudes recurrimos a los segmentos orientados o vectores. El
curso pasado nos limitábamos a estudiar los vectores del plano, este
año lo haremos con los del espacio tridimensional.
Un vector queda determinado por su módulo, dirección y sentido. Todos los
que aparecen en la figura de la izquierda tienen estas tres características
iguales, por lo que se dice que son vectores equipolentes. Si estuviéramos en
clase de Física, podríamos decir que se trata de la misma fuerza aplicada en
puntos distintos, en clase de matemáticas diremos que se trata del mismo
vector libre, siendo estos el objeto de nuestro estudio. A partir de ahora,
cuando hablemos de un vector v , nos estaremos refiriendo a todos sus
equipolentes, y tomaremos en cada caso el representante que nos convenga.
v
OPERACIONES CON VECTORES
En este apartado vamos a definir dos operaciones con vectores que ya conoces, la suma de dos
vectores, aplicando la “regla del paralelogramo”, y el producto de un número por un vector.
SUMA DE VECTORES
Para sumar dos vectores libres en el espacio se hace coincidir el origen
del segundo con el extremo del primero. El vector suma es el que se
obtiene uniendo el origen del primero con el extremo del segundo.
⊕
V3 × V3 
→V3
a ,b
Propiedades
(
)
(
Asociativa: a ⊕ b ⊕ c = a ⊕ b ⊕ c
Opuesto: ∀ a ∈ V3 ∃ −a ∈ V3
)
→ a ⊕ b
Elemento neutro: ∃ 0 ∈ V3
a ⊕ 0 = a ∀ a ∈ V3
Conmutativa: a ⊕ b = b ⊕ a
a ⊕ −a = 0
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
Dados el vector v y el número real k , k ⋅ v es el vector que tiene por:
•
Módulo: k ⋅ v = k v
•
Dirección: La misma que la de v
Si k > 0 el mismo que v
Sentido: 
Si k < 0 opuesto al de v
•
⋅→ V
ℝ × V3 
3
α ,a 
→α ⋅ a
Propiedades:
(
)
Distributiva: α ⋅ a ⊕ b = α ⋅ a ⊕ α ⋅ b
“Seudodistributiva”:
-1-
(α + β ) ⋅ a = α ⋅ a ⊕ β ⋅ a
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“Seudoasociativa”: (α β ) ⋅ a = α ⋅ ( β ⋅ a )
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Espacio vectorial tridimensional.
1⋅ a = a 1∈ ℝ y ∀a ∈ V3
NOTA: {V3 , ⊕, ⋅} , donde V3 es el conjunto de los vectores libres del espacio, ⊕ y ⋅ las operaciones
que acabamos de definir, es un espacio vectorial, pero no es el único que conoces. En el conjunto
de las matrices, de los polinomios, entre otros, se definen dos operaciones que tienen las ocho
propiedades que acabamos de recordar, pues bien, en todos estos casos se dice que son espacios
vectoriales, o que tienen la estructura algebraica de espacio vectorial.
VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
En el tema de álgebra hemos hablado de dependencia o independencia lineal de ecuaciones. Este
concepto se puede extender a cualquier espacio vectorial, pues si recuerdas, una combinación lineal
no es otra cosa que, aplicando las dos operaciones definidas, obtener un elemento del conjunto a
partir de otros.
Definiciones
Si {V , +, ⋅} es un espacio vectorial, diremos que w ∈ V es combinación lineal de {v1 , v2 ,⋯, vn } ⊂ V
si existen números reales λ1 , λ2 ,⋯, λn tales que w = λ1 ⋅ v1 + λ2 ⋅ v2 + ⋯ + λn ⋅ vn
Un conjunto de vectores {v1 , v2 , ⋯, vn } es linealmente dependiente cuando uno de sus elementos se
puede poner como combinación lineal de los demás.
Un conjunto de vectores {v1 , v2 , ⋯, vn } es linealmente independiente cuando no es posible poner
uno de sus elementos como combinación lineal del resto.
SISTEMA DE GENERADORES DE UN ESPACIO VECTORIAL
En el apartado anterior hemos hablado de que un elemento concreto w ∈ V se podía poner como
combinación lineal de {v1 , v2 , ⋯, vn } ⊂ V . Si cualquier elemento de V se puede poner como
combinación lineal de {v1 , v2 , ⋯, vn } se dice que {vi }i =1,⋯n es un sistema de generadores de V.
Definición
{v1 , v2 ,⋯, vn } ⊂ V es sistema de generadores de V si y solo si:
∀x ∈ V ∃λ1 , λ2 ,⋯, λn ∈ ℝ
x = λ1 ⋅ v1 + λ2 ⋅ v2 + ⋯ + λn ⋅ vn
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL. DIMENSIÓN
Disponer de un sistema de generadores de un espacio vectorial resulta muy útil, pues a partir de él
se puede generar todo el espacio, pero todavía esta no es la situación ideal, entre otras cosas, porque
no está garantizado que un mismo vector no pueda ser obtenido con dos o más combinaciones
lineales distintas.
Si a un sistema de generadores le “quitamos” los elementos que dependen linealmente de los demás,
y en consecuencia no son imprescindibles para generar todo el espacio, obtenemos una base.
{v1 , v2 ,⋯, vn } ⊂ V es base de V si y solo si cumple las siguientes condiciones:
{v1 , v2 ,⋯, vn } es sistema de generadores de V.
{v1 , v2 ,⋯, vn } es linealmente independiente.
Definición
•
•
-2-
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Propiedades de las bases de un espacio vectorial
• Un espacio vectorial puede tener más de una base, pero todas tienen el mismo número de
elementos. El número de elementos de una base del V se llama dimensión del espacio
vectorial. V3 , que es el espacio vectorial que vamos a estudiar este curso, tiene infinitas
bases, pero todas tienen tres elementos, por lo que diremos que el espacio vectorial de los
vectores libres del espacio tiene dimensión tres.
• Fijada una base, cada elemento del espacio vectorial se pude poner como combinación
lineal única de sus elementos. Los coeficientes de esta combinación lineal reciben el
nombre de coordenadas del vector respecto de dicha base.
Con la figura de la izquierda se quiere representar que en el espacio
de los vectores libres V3 hemos fijado la base {u1 , u2 , u3 } , y que el
vector w es w = −2u1 + u2 − u3 . Como esta combinación lineal es
{u1 , u2 , u3} ,
w ↔ ( −2,1, −1) . Esto
única, no hay otra forma de generar w a partir de
podemos identificar w con sus coordenadas
mismo podemos hacer con cualquier otro vector x ∈ V3 .
Fijada una base {u1 , u2 , u3 } en el conjunto de los vectores libres del espacio, para cualquier x ∈ V3
existe una única terna ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℝ 3 tal que x = x1 ⋅ u1 + x2 ⋅ u2 + x3 ⋅ u3 . Se establece una relación
biunívoca x ↔ ( x1 , x2 , x3 ) , de forma que a cada vector le corresponde una única terna y a cada
terna un único vector.
Esta “identificación” del conjunto de las “flechas” V3 con el de las “ternas” ℝ 3 , nos resultará muy
útil, pues a partir de ahora, en lugar de “sumar flechas” o “multiplicar un escalar por una flecha”,
haremos las mismas operaciones, pero sustituyendo las “flechas” por ternas.
En lo que sigue, se dará por hecho que en el espacio V3 se ha fijado una base y los vectores vienen
dados por sus coordenadas respecto de esa base.
Ejercicio resuelto
Estudia la dependencia o independencia lineal de los siguientes grupos de vectores. En caso de ser
linealmente dependiente, halla los coeficientes de una combinación lineal que los relacione.
a) u = (1,2,1) v = (2,0,1) y w = (0,1,2)
b) u = (1,2,3) v = (2,3,4) y w = (3,4,5)
Solución
El hecho de tener identificado los vectores con ternas nos permite utilizar todos nuestros
conocimientos sobre matrices.
Dadas las coordenadas, construimos la matriz que tiene por filas, o columnas, las coordenadas de
1 2 1 ← u


los vectores dados, así, para el apartado a) A =  2 0 1  ← v . Sabemos que el estudio del rango
 0 1 2← w


consiste en averiguar qué filas, o columnas, son linealmente independientes, que es justo lo que nos
pide el problema.
-3-
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Desde el punto de vista gráfico, se trata de dos
1 2
≠ 0 ⇒ {u , v } son linealmente independientes.
vectores no paralelos u v
2 0
(
1 2 1
2 0 1 = −7 ≠ 0 ⇒ {u , v , w} son linealmente independientes.
0 1 2
)
Desde el punto de vista gráfico se
trata de tres vectores no
coplanarios
1 2 3


b) En este caso estudiamos el rango de la matriz B =  2 3 4  .
3 4 5


Desde el punto de vista gráfico, se trata de dos
1 2
≠ 0 ⇒ {u , v } son linealmente independientes.
vectores no paralelos u v
2 3
(
)
1 2 3
2 3 4 = 0 ⇒ {u , v , w} son linealmente dependientes. Desde el punto de vista gráfico se trata de
tres vectores coplanarios
3 4 5
Hay un vector que se puede poner como combinación lineal de los demás, tal y como hemos
trabajado, está garantizado que existen α y β ∈ ℝ tales que w = α u + β v . La segunda parte del
ejercicio nos pide encontrar, para este caso, estos números α y β .
α + 2β = 3

w = α u + β v ⇔ (3, 4,5) = α (1, 2,3) + β ( 2,3, 4 ) ⇔ 2α + 3β = 4
3α + 4β = 5

Nuestro problema se reduce a resolver un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas, que
podemos asegurar es compatible, pues si observas, B es la matriz ampliada de este sistema. Los
determinantes hallados para estudiar la dependencia lineal nos permiten afirmar que el rango de la
matriz de coeficientes y ampliada es dos, por lo que el sistema es compatible determinado.
Resolviendo se obtiene α = −1 y β = 2, con lo que w = −u + 2v
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
En el espacio vectorial de los vectores tridimensionales, el producto
escalar se define igual que en el de los vectores bidimensionales, que
vimos el año pasado:
Dados u , v ∈ V3 , llamamos producto escalar u v al producto de los
módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo que forman.
V3 × V3 
→ℝ
( )
u , v 
→ u v = u v cos u , v
Propiedades:
1.- a b = b a
2.- a
(
3.- (α ⋅ a ) b = α a b
)
(b ⊕ c ) = a
4.- a 0 = 0
-4-
b+a c
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NOTA Hemos utilizado para representar el producto escalar porque en estas propiedades aparece
junto al producto de un número por un vector, ⋅, y el producto de dos números, que en ese caso no
se ha puesto ningún símbolo. A partir de ahora, si no hay confusión, utilizaremos ⋅ para representar
el producto escalar.
Dos resultados especialmente interesantes son los que se obtienen al multiplicar escalarmente un
vector por si mismo y el producto escalar de dos vectores perpendiculares:


2
• a ⋅ a = a a cos  a , a  ⇔ a ⋅ a = a
 0 
Si a ⊥ b ⇒ a ⋅ b = a b cos (π 2 ) = 0
•
EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR
Veremos ahora que si en V3 hemos fijado un base {e1 , e2 , e3 } y conocemos los productos escalares
de sus elementos dos a dos, es decir conocemos los productos escalares ei ⋅ e j ∀i, j , es posible hallar
el producto escalar de dos vectores u y v cualesquiera, conocidas sus coordenadas respecto de
dicha base.
Si
u ( u1 , u2 , u3 ) ⇔ u = u1e1 + u2 e2 + u3e3
y
v ( v1 , v2 , v3 ) ⇔ v = v1e1 + v2 e2 + v3e3 ,
aplicando
las
propiedades obtendremos el producto escalar u ⋅ v .
u ⋅ v = (u1e1 + u2 e2 + u3 e3 ) ⋅ (v1e1 + v2 e2 + v3 e3 ) = u1v1 (e1 ⋅ e1 ) + u1v2 (e1 ⋅ e2 ) + u1v3 (e1 ⋅ e3 ) +
u2 v1 (e2 ⋅ e1 ) + u2 v2 (e2 ⋅ e2 ) + u2 v3 (e2 ⋅ e3 ) + u3 v1 (e3 ⋅ e1 ) + u3 v2 (e3 ⋅ e2 ) + u3 v3 (e3 ⋅ e3 )
Que utilizando notación matricial podemos expresar como:
 e1 ⋅ e1

u ⋅ v = ( u1 u2 u3 ) ⋅  e2 ⋅ e1
e ⋅e
 3 1
k
j
i
e1 ⋅ e2
e2 ⋅ e2
e3 ⋅ e2
e1 ⋅ e3   v1 
  
e2 ⋅ e3  ⋅  v2 
e3 ⋅ e3   v3 
1
Si se fija una base en la que los tres vectores tienen módulo unidad y son
perpendiculares dos a dos, es decir, ei = 1 ∀i ∧ ei ⊥ e j si i ≠ j , lo que se
conoce como base ortonormal o base métrica2, la expresión anterior se
simplifica considerablemente, pues en ese caso la matriz de productos escalares
de la base es la identidad, ya que:
(
2
)
1 si i = j ei ⋅ ei = ei = 1∀i
ei ⋅ e j = 
0 si i ≠ j ( ei ⊥ e j ⇒ ei ⋅ e j = 0 ∀i ≠ j )
 v1 
 
La expresión del producto escalar se reduce a: u ⋅ v = ( u1 u2 u3 )  v2  = u1v1 + u2 v2 + u3v3 , pero
v 
 3
recuerda que esta expresión solo es válida si la base que se ha fijado es ortonormal.
1
La matriz formada por los productos escalares de los vectores de la base recibe el nombre de matriz de Gran
2
Una base métrica es la
{i , j , k } que habitualmente utilizas en física
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Si en V3 fijamos una base métrica, respecto de la cual es u ( u1 , u2 , u3 ) y v ( v1 , v2 , v3 ) , entonces:
u ⋅ v = u1v1 + u2 v2 + u3 v3
NOTA: También en matemáticas, si no se dice lo contario en el enunciado del problema, se supone
que la base que se ha fijado es métrica.
Ejercicio resuelto
( )
Dados los vectores a = (1,5,0) y b = (−3,0,2) , halla el ángulo que forman α = a , b .
Solución
a ⋅ b = a b cos α ⇒ cos α =
a ⋅b
a b
2
a ⇒ a = a ⋅ a = 12 + 52 + 02 = 26
2
b ⋅b = b ⇒ b = b ⋅b =
( −3)
2
+ 0 + 2 = 13 ⇒
2
2
cos α =
−3
−3
−3 2
=
⇒ α = arccos
26
26 13 13 2
α ≈ 99º 23'29,17 ''
a ⋅ b = (1,5, 0) ⋅ (−3, 0, 2) = −3
Ejercicio
Halla la proyección de v ( 3,1,3) sobre u ( 2, −2, −1)
P
v
P′
α
u
O
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
A diferencia de lo que ocurría en el plano, en el espacio no es suficiente un
vector para determinar una dirección perpendicular a él, pero sí tiene sentido
hablar de dirección perpendicular a dos vectores no paralelos, como se puede
u ∧v
ver en la figura.
v
Dados u ( u1 , u2 , u3 ) y v ( v1 , v2 , v2 ) referidos a una base métrica y u v , se trata
u
de determinar x ( x, y, z ) que sea perpendicular a ambos.
x ⊥ u ⇔ x ⋅ u = 0 ⇔ ( x, y, z ) ⋅ ( u1 , u2 , u3 ) = 0 ⇔ u1 x + u2 y + u3 z = 0
x ⊥ v ⇔ x ⋅ v = 0 ⇔ ( x, y, z ) ⋅ ( v1 , v2 , v2 ) = 0 ⇔ v1 x + v2 y + v3 z = 0
Nuestro problema nos ha conducido a un sistema homogéneo de dos ecuaciones con tres incógnitas,
las coordenadas ( x, y, z ) . Como hemos supuesto que u v , el rango de la matriz de coeficientes es
dos, por lo que el sistema tiene tantas soluciones como elementos tiene ℝ.
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Vamos a suponer que uno de los menores de orden dos no nulos es
u1 u2
, que nos determina
v1 v2
u1 x + u2 y + u3 z = 0 z =λ u1 x + u2 y = −u3λ
como ecuaciones e incógnitas principales: 

→
.
v1 x + v2 y + v3 z = 0
v1 x + v2 y = −v3λ
Resolvemos aplicando el método de Cramer:
−u3λ u2
u u
u1 −u3λ
u u
λ 2 3
−λ 1 3
−v λ v2
v2 v3
v −v3λ
v1 v3
x= 3
=
;
y= 1
=
;
u1 u2
u1 u2
u1 u2
u1 u2
v1 v2
v1 v2
v1 v2
v1 v2
 u2 u3
λ
v2 v3
Cumplen la doble condición de perpendicularidad los x = 
 u1 u2

 v1 v2
u u
u u
u u u u
En particular para λ = 1 2 , resulta  2 3 , − 1 3 , 1 2
v1 v2
v1 v3 v1 v2
 v2 v3
z=λ
u1 u3 

v1 v3
,
, λ  ∀λ ∈ ℝ.

u1 u2

v1 v2


 , que llamaremos producto

vectorial de u y v y representaremos por u ∧ v , aunque también suele utilizarse u × v .
−λ
Este resultado es fácil de recordar, recurriendo a un pseudodeterminante:
∧
→ V3
V3 × V3 
i
j
k
→ u ∧ v = u1 u2 u3
u , v 
v1 v2 v3
Propiedades:
1.- u ∧ v = −v ∧ u
2.- (α ⋅ u ) ∧ v = u ∧ (α ⋅ v ) = α ⋅ ( u ∧ v )
3.- u ∧ ( v ⊕ w ) = u ∧ v ⊕ u ∧ w
4.- u ∧ v ⊥ u
(
5.- u ∧ v = u · v ·sen u ∧ v
k
j
y u ∧v ⊥v
)
Ejercicio:
Si i , j y k es base ortonormal de V3 , completa los productos
vectoriales de la tabla.
i
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Ejercicio resuelto
Halla un vector que sea perpendicular a u (1, 0, −1) y v ( 0,1,1) y su módulo sea 5 unidades.
Solución
En primer lugar hallaremos el producto vectorial, que sabemos es
perpendicular a ambos, después lo haremos unitario dividiendo
por su módulo y finalmente lo multiplicaremos por 5.
u ∧ v = (1, −1,1) 
→
: u ∧v = 3
i
j
k
u ∧ v = 1 0 −1 = i − j + k .
0 1 1
 3 − 3 3  ⋅5  5 3 −5 3 5 3 
1
,
→ 
,
,
(1, −1,1) =  ,
 

3
3 
3
3 
3
 3
 3
 5 3 −5 3 5 3 
 −5 3 5 3 −5 3 
Hay dos vectores que cumplen la condición: x1 = 
,
,
,
,
 y x2 = 

3
3 
3
3 
 3
 3
Ejercicio resuelto
Si u y v son dos vectores tales que u = 10 , v = 2 y u ⋅ v = 12 , calcula u × v .
Solución
( )
permiten calcular cos ( u , v ) .
( )
Como u ∧ v = u v sen u , v , solo nos falta calcular sen u , v . Los datos del enunciado
2
u ⋅v
3
4
 3
cos u , v =
= ⇒ sen u , v = 1 −   ⇒ sen u , v =
5
5
u v
5
( )
( )
( )
u ∧ v = u v sen u , v = 2 ⋅12 ⋅
( )
4
96
⇔ u ∧v =
5
5
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO VECTORIAL
S = u ∧v
El módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del
paralelogramo que determinan.
Efectivamente, en la figura vemos que S = u h = u v sen α , que por
la propiedad 5 es el módulo del producto vectorial.
PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES
Dados tres vectores a , b y c de V3 , llamaremos producto mixto al producto escalar del primero
(
por el producto vectorial de los dos segundos: ⟨ a , b , c ⟩ = a ⋅ b ∧ c
Si a ( a1 , a2 , a3 ) , b ( b1 , b2 , b3 ) y c ( c1 , c2 , c3 ) :
-8-
)
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b2 b3
b b
b b
 b2 b3
b1 b3 b1 b2 
− a2 1 3 + a3 1 2
b ∧c 
,−
,
 ⇒ ⟨ a , b , c ⟩ = a ⋅ b ∧ c = a1
c1 c3 c1 c2 
c2 c3
c1 c3
c1 c2
 c2 c3
Expresión que puedes comprobar coincide con el desarrollo de un determinante cuyas filas
coinciden con las coordenadas de los tres vectores.
(
)
⟨⟩
V3 × V3 × V3 
→ℜ
(
)
a1 a2 a3
a , b , c 
→⟨ a , b , c ⟩ = a ⋅ b ∧ c = b1 b2 b3
c1 c2 c3
Propiedades:
1.- ⟨ a , b , c ⟩ = −⟨b , a , c ⟩ (en general las propiedades de la trasposición de líneas en un
determinante)
2.- ⟨α ⋅ a , b , c ⟩ = ⟨ a ,α ⋅ b , c ⟩ = ⟨ a , b ,α ⋅ c ⟩ = α ⟨ a , b , c ⟩
3.- ⟨ a , b , c ⊕ d ⟩ = ⟨ a , b , c ⟩ + ⟨ a , b , d ⟩
{
}
⟨ a , b , c ⟩ = 0 ⇔ a , b , c son linealmente dependiente.
4.-
Las demostraciones de estas propiedades son muy sencillas, basta aplicar las propiedades de los
determinantes, ya conocidas.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES.
El valor absoluto del producto mixto de tres vectores del espacio tridimensional es igual al volumen
del paralelepípedo que determinan.
Demostración
Si los vectores a , b y c no son coplanarios, determinan
un paralelepípedo. Probaremos que
b ∧c
α
a
α
⟨ a , b , c ⟩ = Sb h,
siendo Sb la superficie de su base y h su altura.
(
h
c
)
Por definición, ⟨ a , b , c ⟩ = a ⋅ b ∧ c = a b ∧ c cos α ,
Sb
siendo α = a , b ∧ c . Como b ∧ c es perpendicular a b
y a c , es perpendicular al plano que contiene a la base
b
del paralelepípedo, y en consecuencia paralelo a su altura, por lo que h = a cos α
b ∧ c = Sb
h = a cos α
⇒ ⟨ a , b , c ⟩ = b ∧ c a cos α = Sb h = VParalelepípedo
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Espacio vectorial tridimensional.
EJERCICIOS
1. Dados los vectores a = ( 7,− 12,23) ; b = ( 3,− 2,5) y c = (1,3,− 4) , demostrar que son
linealmente dependiente y encontrar m y n para que c = m ⋅ a + n ⋅ b .
2. En el espacio tridimensional, podemos asegurar que cuatro vectores siempre son linealmente
dependientes. Razona la respuesta.
3. Dados los vectores a = (1,−6,1) , b = (3,7,8) y c = (2,3,5) , determina h para que d = (7,−2, h)
sea combinación lineal de los anteriores.
4. Estudia la dependencia lineal de los vectores: u1 = (− 2, a, a ) ; u2 = (a,−2, a ) y u3 = (a, a,−2)
según los distintos valores del parámetro a.
5. Halla u ⋅ v si u = −2v y v = 3.
6. Sean los vectores u y v tales que u = 1 , v = 2 y que forman un ángulo de 45 . Calcula:
a) u ⋅ v
b) ( u + 2 v ) ⋅ v c) u + v
d) u − v e) ángulo formado por u + v y u − v
7. Sean a y b dos vectores cuyos módulos valen a = 3 y b = 5 . Razonar si puede ser cierta
alguna de las siguientes igualdades:
a) a − b = 1
b) a + b = 7
8. Sabiendo que u = 2 v y que (u , v ) = 60º , determina el ángulo formado por a y b , siendo
a = u + 2v y b = 2u − v
9. Sean u y v dos vectores tales que u = 9 y (u + v ) ⋅ (u − v ) = 17 . Calcula el módulo de v .
10. Halla el ángulo que forma la diagonal de un cubo con la diagonal de una de sus caras, ambas
concurrentes en el mismo vértice.
11. Halla un vector en la dirección de la bisectriz de los vectores u (1,4,−1) y v (0,1,−1)
12. Determina x e y para que el vector ( x , y ,1) sea perpendicular a ( 3,2 ,0) y a ( 2 ,1,−1) .
13. Encuentra un vector que sea perpendicular a u = ( 3 − 2,5) y dependa linealmente de
v = (1,−1,3) y w = (−2 ,2 ,1) .
14. Dados los vectores a (2,1,−2) , b (1,2,−3) y c (3,1,−1) , halla un vector coplanario con a y b y que
sea perpendicular a c .
15. Dados u (2,3,1) y v (5,4,−1) , poner v como suma de a y b , siendo a u y b ⊥u .
- 10 -
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Espacio vectorial tridimensional.
16. En el espacio vectorial V3 fijamos la base {e1 , e2 , e3 } siendo e1 = 2 , e2 = 1 , e3 = 2 , e1 ⋅ e2 = 4 ,
e1 ⋅ e3 = −1 y e2 ⋅ e3 = −2 . Determina m para que los vectores que respecto a dicha base tienen por
coordenadas: x = (1, m,3) e y = (1,2 ,1) sean ortogonales.
17. Un vector de módulo 10 se descompone en suma de otros dos de módulos iguales y que forman
un ángulo 45º. Halla el módulo de cada uno de los vectores sumandos.
18. Si u , v y w son vectores no nulos de V3 que satisfacen la igualdad u ⋅ v = u ⋅ w , ¿se puede
afirmar que v = w ? En caso afirmativo demuéstrese, en caso contrario dar un contraejemplo.
19. ¿Puede haber dos vectores u y v tales que u ⋅ v = −3 , u = 1 y v = 2 ? ¿Qué se puede decir
de dos vectores que verifican u ⋅ v = u v ?
NOTA: En este ejercicio representa el valor absoluto y
el módulo de un vector.
20. Si es u = 1 y v = 2 , ¿puede ser u ⋅ v = 7 ?, ¿entre qué valores puede estar en este caso u ⋅ v ?
21. Probar que si ( u + v ) ⋅ ( u − v ) = 0, entonces u = v
22. Prueba que u y v son perpendiculares ⇔ u + v = u − v .
23. Si a , b y c son vectores unitarios que satisfacen la igualdad: a + b + c = 0 , calcula el valor de
a ⋅b + b ⋅ c + a ⋅ c .
24. Sean los vectores u = (1,1,0) , v = (1,0,1) y w = ( 0,1,1) . Realiza las siguientes operaciones:
a) ( u ⋅ v ) w
b) ( u × v ) ⋅ w
c) ( u × v ) × w
d) ( u × v ) ⋅ ( u × w)
e) ( u × v ) × ( u × w)
25. Determina t para que el producto vectorial (1,2, t ) × (1, t ,0) sea paralelo al vector ( 0,0,1) .
26. Encuentra un vector que sea perpendicular a u = (1,2 ,−1) y a v = (1,−1,0) y tenga módulo 3.
27. Encuentra un vector que sea perpendicular a ( 0,0,1) y a (sen t ,cos t ,0) y tenga de módulo 1.
28. Dados los vectores u = (1,2 ,−1) , v = (−2 ,1,4 ) y w = (1, −3, a ) se pide:
a) Resuelve la ecuación u × x = v
b) Determina a para que u × x = w tenga solución y resolver para ese caso.
29. Demuestra que si u y v son dos vectores de V3 , u × v es perpendicular a u ⊕ v .
30. Sean u , v y w tres vectores tales que u + v + w = 0 , demuestra que u × v = v × w = w × u
31. a) Si w es combinación lineal de u y v ( w = α u + β v ) , calcula u × w y v × w .
b) Si w depende linealmente de u y v , simplifica la expresión ( u + v + w) × ( u − v − w)
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Alberto Entero Conde
Maite González Juarrero
MATEMÁTICAS II
Espacio vectorial tridimensional.
EJERCICIOS PROPUESTOS EN SELECTIVIDAD
1. De las siguientes propiedades de la dependencia lineal, indicar si son ciertas o falsas,
justificando la respuesta.
a) Un conjunto de vectores con dos o más vectores iguales no es linealmente dependiente.
b) En ℝ 3 , si tres vectores son linealmente dependientes, entonces son coplanarios.
c) Si en un conjunto de vectores está el vector 0 entonces el conjunto es linealmente
dependiente.
2. a) Discute en función de los valores de k y resuelve cuando tenga más de una solución, el
sistema
 x + y + 2z = 3

2 x − y + kz = 6
 x − y − 6z = 5

2 3
1 1


b) Si el rango de la matriz M =  2 − 1
k 9  es 2, determina una combinación lineal nula
 1 − 1 − 6 5


de los vectores fila F1 , F2 y F3 ; así como una combinación lineal nula de los vectores
columna C1 , C2 , C3 y C4
3. En un vértice de un cubo se aplican tres fuerzas dirigidas según las diagonales de las tres caras
que pasan por dicho vértice. Los módulos de estas fuerzas son 1, 2 y 3. Hallar el módulo de la
fuerza resultante de aquellas tres.
4. Encuentra los vectores unitarios de ℝ 3 que son perpendiculares a v = (1,0,1) y forman un ángulo
1 2 1
de 60º con w =  ,
,  .
2
2
2

5. Dados los vectores a , b y c tales que a = 3 , b = 1 , c = 4 y a + b + c = 0 , calcular la suma
de los siguientes productos escalares: a ⋅ b + a ⋅ c + b ⋅ c
6. Siendo a , b y c vectores del espacio, analícese si las siguientes operaciones están bien
definidas, indicándose en su caso el conjunto al que pertenece el resultado:
a⋅ b c ;
a× b ×c ;
a b + c;
a ⋅ b − c;
a b × c;
a − b × (c − a )
(
NOTA:
)
(
)
(
⋅ representa producto de un número por un vector,
)
(
)
producto escalar y × producto vectorial.
7. Resuelve la siguiente ecuación vectorial: x ∧ (2,1,−1) = (1,3,5) , sabiendo que x = 6 , donde el
símbolo ∧ significa “producto vectorial”.
8. Dado el vector v = (1, 0, −2 ) , se pide:
a) Obtener todos los vectores de módulo
guna coordenada nula.
5 que son perpendiculares al vector v y tienen al-
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Alberto Entero Conde
Maite González Juarrero
MATEMÁTICAS II
b) Obtener los vectores w tales que v × w = ( 2, −3,1) y tienen módulo
Espacio vectorial tridimensional.
6.
9. Dados los vectores u = (a,1 + a,2a ) , v = (a,1, a ) y w = (1, a,1) , se pide:
a) Determinar los valores de a para los que los vectores u , v y w son linealmente
dependientes
b) Estudiar si el vector c = (3,3,0) depende linealmente de los vectores u , v y w para el caso
a = 2 . Justifica la respuesta.
c) Justificar razonadamente si para a = 0 se cumple la igualdad u ⋅ (v ∧ w) = 0 , siendo ∧ el
producto vectorial.
(
)(
) (
)
10. ¿Es cierto que a − b × a + b = 2 a × b , donde "× " representa el producto vectorial? Si es
cierto justifíquese, en caso contrario póngase un contraejemplo.
11. Indicar si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas. En caso de ser ciertas, justifíquese; si
son falsas, póngase un contraejemplo.
a) El producto mixto de tres vectores no nulos cualesquiera es siempre distinto de cero.
b) Si a , b y c son tres vectores del espacio tridimensional que verifican la relación a ⋅ b = a ⋅ c ,
entonces b = c .
12. Si a , b y c son tres vectores linealmente independientes del espacio, indicar cuál o cuáles de
los siguientes productos mixtos son nulos.
a)  a + c , a − c , a + b + c 
b)  a + c , b , a + b 
c)  a − c , b − c , c − a 
13. En V3 se consideran los vectores: a = (− 1,−3,1) , b = (1,−2,1) , c = (2,1,0) y d = (2,−4,−10 ) .
a) Demostrar que los vectores a , b y c son coplanarios.
b) Demostrar que b , c y d son perpendiculares dos a dos y encontrar el volumen del
paralelepípedo que determinan.
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