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7.
Representación de funciones ...................................................................................... 4
8.
Integrales .................................................................................................................. 64
Fin bloque II ............................................................................................................ 112
9.
Combinatoria .......................................................................................................... 118
10. Probabilidad ............................................................................................................ 142
11. Distribuciones de probabilidad ................................................................................ 194
12. Muestreo estadístico ............................................................................................... 244
13. Intervalos de confianza ........................................................................................... 264
Fin bloque III ........................................................................................................... 308
(*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados de ejercicios han sido marcados porque tienen alguna corrección en su
enunciado respecto del que aparece en el libro del alumno.
7 Representación de funciones
EJERCICIOS PROPUESTOS
1 y 2.
3.
Ejercicios resueltos.
En cada caso, obtén el dominio, los cortes con los ejes y el signo.
a) f ( x ) =
x2 + x
2
c) f ( x ) =
x +1
x 2 + 4x
e) f ( x ) = 3 − x − 2
b) f ( x ) =
3−x
x+6
d) f ( x ) =
x −1
x + x +1
f)
2
f ( x )=
x − 1 + 1− x
a) Dominio: D ( f ) = 
Eje X: Resolviendo la ecuación x 2 + x =
0 obtenemos los puntos de corte con el eje de abscisas: A ( 0,0 ) ,
B ( −1,0 ) .
Eje Y : El punto de corte con el eje de ordenadas es A ( 0, f ( 0 ) ) = A ( 0,0 ) .
Para estudiar el signo se resuelve la inecuación
b) Dominio: El denominador se anula en
⇒ D ( f ) = ( −∞, −6 ) ∪ ( −6,3]
Eje X: Resolviendo la ecuación
x2 + x
f > 0,si x ∈ ( −∞, −1) ∪ ( 0, +∞ )
> 0 , obteniéndose que: 
2
f < 0,si x ∈ ( −1,0 )
x = −6
y el radicando no puede ser negativo,
3−x ≥ 0
3−x
= 0 obtenemos el punto de corte con el eje de abscisas A ( 3,0 ) .
x+6

3
Eje Y :El punto de corte con el eje de ordenadas es B ( 0, f ( 0 ) ) = A  0,
.
 6 


Para estudiar el signo se resuelve la inecuación
3−x
 f > 0,si x ∈ ( −6,3 )
> 0 , obteniéndose que: 
x+6
f < 0,si x ∈ ( −∞, −6 )
c) Dominio: El denominador se anula en x = −4 y en x = 0 ⇒ D ( f ) =  − {−4,0}
Eje X: Resolviendo la ecuación
x +1
= 0 obtenemos el punto de corte con el eje de abscisas: A ( −1,0 )
x 2 + 4x
Eje Y : Como 0 ∉ D ( f ) la función no corta al eje de ordenadas.
Para estudiar el signo se resuelve la inecuación
x +1
f > 0,si x ∈ ( −4, −1) ∪ ( 0, +∞ )
> 0 , obteniéndose que: 
x + 4x
f < 0,si x ∈ ( −∞, −4 ) ∪ ( −1,0 )
2
d) Dominio: El denominador no se anula y el radicando no puede ser negativo x − 1 ≥ 0 ⇒ D ( f =
)
Eje X: Resolviendo la ecuación
[1, +∞ ) .
x −1
= 0 obtenemos el punto de corte con el eje de abscisas: A (1,0 )
x2 + x + 1
Eje Y : Como 0 ∉ D ( f ) la función no corta al eje de ordenadas.
Para estudiar el signo se resuelve la inecuación
4
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
x −1
> 0 , obteniéndose que: f > 0,si x ∈ (1, +∞ )
x + x +1
2
e) Dominio: Para que los radicandos sean positivos debe ser 0 ≤ x − 2 ≤ 9 ⇒ D ( f ) =
[ 2,11].
3− x −2 =
0 obtenemos el punto de corte con el eje de abscisas: A (11,0 ) ,.
Eje X: Resolviendo la ecuación
Eje Y : Como 0 ∉ D ( f ) la función no corta al eje de ordenadas.
Para estudiar el signo se resuelve la inecuación
3 − x − 2 > 0 , obteniéndose que: f > 0,si x ∈ [ 2,11)
f) Dominio: Para que los radicandos sean positivos debe ser x − 1 ≥ 0 y 1 − x ≥ 0 ⇒ D ( f ) =
{1}.
x − 1 + 1− x =
0 obtenemos el punto de corte con el eje de abscisas: A (1,0 ) .
Eje X: Resolviendo la ecuación
Eje Y : Como 0 ∉ D ( f ) la función no corta al eje de ordenadas.
Como el D ( f ) = {1} y f (1) = 0 no tiene sentido estudiar el signo de la función.
4.
Indica los puntos de discontinuidad, singulares y críticos para las siguientes funciones.
a) f ( x ) =
x3 − 3x 2
5
b) f ( x ) =
1
x + x2 + 4
3
c) f ( x ) =
x
x −4
2
3 2 6
x − x se anula en x = 0 y x = 2 tiene dos puntos singulares y
5
5
no hay más puntos críticos que los singulares
a) La función es continua en  . Como f ´( x ) =
b) El denominador de la función se anula en x =−2 ⇒ D ( f ) = − {−2} y tiene una discontinuidad en x = −2 .
La función f tiene dos puntos singulares, x = 0 y x = −
−3 x 2 − 2 x
2
ya que f ´( x ) =
3
x3 + x2 + 4
(
)
2
se anula para esos dos
valores. Además como f´ no es continua en x = −2 no hay más puntos críticos que los singulares.
x
≥ 0 ⇒ D (f ) =
x −4
c) Resolvemos
f ´( x ) =
5.
( 2x
2
−x2 − 4
4
2
− 16 x + 32
)
( −2,0] ∪ ( 2, +∞ ) .
La función f no tiene puntos singulares, ya que
x2 − 4
no se anula en el dominio.
x
Estudia las simetrías de las funciones:
a) f ( x )= 1 +
b) f ( x ) =
1+ x 2
x4
c) f ( x )= x +
x2 − x + x
d) f ( x ) =
4
x +2
1
x
2x
x +1
( )
e) f ( x ) = ln x 2
f)
f (x) =
x
1− x
) f ( x ) ⇒ la función es simétrica respecto del eje de ordenadas.
a) Como f ( − x =
b) Como
f ( −x )
=
( − x )2 − − x − x
=
( − x )4 + 2
c) Como f ( − x ) =− x −
x2 − x − x
x4 + 2
no coincide con f ( x ) ni con −f ( x ) la función no presenta simetría.
1
1

=−  x +  =−f ( x ) la función presenta simetría respecto del origen de coordenadas O.
x
x

−2 x
no coincide con f ( x ) ni con −f ( x ) la función no presenta simetría.
d) Como f ( − x ) =
−x + 1
(
e) Como f ( − x ) = ln ( − x )
2
) = ln ( x ) =
2
f ( x ) la función presenta simetría respecto del eje de ordenadas.
−x
−x
f) Como f ( − x ) =
=
=
−f ( x ) la función presenta simetría respecto del origen de coordenadas O.
1− −x 1− x
Representación de funciones | Unidad 7
5
6.
Indica si las siguientes funciones son periódicas y, en caso afirmativo, indica el período.
x
a) f ( x ) = sen  
3
b) f ( x )= 1 +
1
cos2 x
e) f ( x )= x + senx

x

 x + 6π 
) sen  x =
=
a) f ( x=
 sen  + 2π=
 sen 
 f ( x + 6π ) ⇒ la función es periódica con periodo T = 6π .
3
3
 


 3 
b) f ( x + π ) = 1 +
1
1
1
= 1+
= 1+
= f ( x ) ⇒ la función es periódica con periodo T = π .
2
2
x
cos2 ( x + π )
cos
( − cos x )
c) Como f ( x + T ) = x + T + sen ( x + T ) ≠ x + senx = f ( x ) para T ≠ 0 la función no es periódica.
7.
Ejercicio resuelto.
8.
Halla las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas, de las siguientes funciones y úsalas para trazar
aproximadamente sus ramas infinitas.
a) f ( x ) =
x 2 − 16
x + 3x − 4
b) f ( x ) =
2
2x 2 + 1
x −1
c) f ( x ) =
1
x 2 − 2x − 3
a) Asíntotas verticales: La función presenta dos puntos de discontinuidades: x = −4 y x = 1
x 2 − 16
=
2
x →−4−
x →−4− x + 3 x − 4
x 2 − 16
=
lim f ( x )
lim =
2
x →−4+
x →−4+ x + 3 x − 4
=
lim f ( x )
lim
4 )( x − 4 )
( x +=
( x + 4 )( x − 1)
4 )( x − 4 )
( x +=
lim
x →−4+ ( x + 4 )( x − 1)
lim
x →−4−
x−4
=
lim
x −1
x−4
=
lim
x →−4+ x − 1
x →−4−
8

5
⇒
8
5 
La función tiene una discontinuidad evitable.
x 2 − 16
x 2 − 16
 −15 
 −15 
y
lim
lim
f
x
=
=  +  = −∞ , puede asegurarse que
=
=
+∞
(
)

− 
2
2
−
−
+
+
x →1
x →1 x + 3 x − 4
x →1
x →1 x + 3 x − 4
 0 
 0 
f ( x ) tiene una asíntota vertical en x = 1.
lim f ( x ) = lim
Asíntotas
horizontales:
−∞ . lim f ( x ) = lim
x →+∞
x →+∞
lim f ( x ) = lim
x →−∞
x →−∞
x 2 − 16
=1 ⇒ y =1
x + 3x − 4
2
es
asíntota
horizontal
de
f (x)
en
x 2 − 16
=1 ⇒ y =1 es asíntota horizontal de f ( x ) en +∞ .
x 2 + 3x − 4
Asíntotas oblicuas: No tiene por ser función racional y tener asíntotas horizontales.
b) Asíntotas verticales: La función presenta un único punto de discontinuidad: x = 1
2x 2 + 1  3 
2x 2 + 1  3 
=  +  = +∞ , puede asegurarse que f ( x ) tiene
=  −  = −∞ y lim f ( x ) = lim
x →1+
x →1+ x − 1
x →1−
x →1− x − 1
0 
0 
una asíntota vertical en x = 1.
lim f ( x ) = lim
Asíntotas horizontales: no tiene, ya que el grado del numerador es superior al del denominador.

f (x)
 2x 2 + 1 
2x 2 + 1
=
= lim  =
: x  lim=
2
m xlim
2
→∞ x
x →∞
 x −1
 x →∞ x − x
Asíntotas oblicuas: 
 2x 2 + 1

 2x + 1 

=
=
−2
=
=
lim 
f ( x ) − mx
x  lim 
(
)
 2
n xlim
→∞
x →∞
x →∞  x − 1 
−
1
x



Así, la ecuación de la asíntota es =
y 2x + 2 .
6
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
c) Asíntotas verticales: x = −1 y x = 3
lim f ( x ) =
−
x →−1
lim f ( x ) =
x →−1+
lim f ( x ) =
x →3−
lim
1
 1
=  +  = +∞
x − 2x − 3  0 
2
−
x →−1
lim
x →−1−
lim
x →−1−
1
 1
=
= −∞
x 2 − 2 x − 3  0− 
1
1
 1
 1
=  +  = +∞
=
= −∞ ; lim+ f ( x ) = lim+ 2
x →3
x →3 x − 2 x − 3
x 2 − 2 x − 3  0− 
0 
Asíntotas horizontales:
=
lim f ( x )
x →−∞
1
1
=0 ⇒ y =0
=
lim 2
0 y lim f ( x ) = lim 2
x →+∞
x →+∞ x − 2 x − 3
x − 2x − 3
x →−∞
Asíntotas oblicuas: No tiene por ser función racional y tener asíntotas horizontales.
9.
Determina las asíntotas de las funciones:
a) f ( x ) =
x 3 + 2x 2 − 3 x
x 2 − 3x + 2
(x)
b) f =
c) f ( x ) =
x2 + 3
x
x+2
a) Asíntotas verticales: La función presenta dos puntos de discontinuidades: x = 1 y x = 2
lim f ( x ) = lim
x ( x − 1)( x + 3 )
x ( x + 3)
x 3 + 2x 2 − 3x
= lim
= lim
= −4
x →1− ( x − 1)( x − 2 )
x →1− ( x − 2 )
x 2 − 3x + 2
lim f ( x ) = lim
x ( x − 1)( x + 3 )
x ( x + 3)
x 3 + 2x 2 − 3x
= lim
= lim
= −4
x →1+ ( x − 1)( x − 2 )
x →1+ ( x − 2 )
x 2 − 3x + 2
−
−
x →1
x →1
+
+
x →1
x →1
La función tiene una discontinuidad evitable en x = 1.
x 3 + 2 x 2 − 3 x  10 
x 3 + 2 x 2 − 3 x  10 
=  −  = −∞; lim f ( x ) = lim
=  +  = +∞ , puede asegurarse que
2
2
x → 2−
x → 2− x − 3 x + 2
x → 2+
x → 2+ x − 3 x + 2
0 
0 
f ( x ) tiene una asíntota vertical en x = 2.
lim f ( x ) = lim
Asíntotas horizontales: no tiene, ya que el grado del numerador es superior al del denominador.

f (x)
 x 3 + 2x 2 − 3 x 
x 2 + 2x − 3
=
=
lim
lim  2
: x  lim 2= 1
m x=
→+∞ x
x →+∞
 x − 3x + 2
 x →+∞ x − 3 x + 2
Asíntotas oblicuas: 
⇒ y =x+5
3
2
 x + 2x − 3x

5x 2 − 5x
n lim f x =
=
−
=
−
=
lim
lim
5
mx
x
(
)
(
)
 2
 x →+∞ 2

x →+∞
x →+∞
x − 3x + 2
 x − 3x + 2


b) Asíntotas verticales: No tiene porque el dominio de la función son todos los números reales.
Asíntotas horizontales: no tiene, ya que lim f (x) = lim f (x) = +∞ .
x →+∞
f (x)
=
lim
x →+∞ x
=
m
Asíntotas oblicuas:
=
n
− mx )
lim ( f ( x )=
x →+∞
lim
x →+∞
(
x →−∞
 x2 + 3 
 1
lim  =
x →+∞ 

x


)
x 2 +=
3 −x
lim
x →+∞
3
= 0
x +3 + x
2
Así, la recta y = x es asíntota oblicua de f en +∞ y, al ser par, y = − x será su asíntota oblicua en −∞ .
c) Asíntotas verticales: x = −2 ; lim
−
x →−2
x
 2
 2
=  +  = +∞
=  −  = −∞ ; lim +
x + 2 0 
x →−2 x + 2
0 
x
x
−x
=−1 ⇒ y =−1 es una
x+2
x
x
asíntota horizontal en −∞ y lim
=
f ( x ) lim= lim= =
1 ⇒ y 1 es una
x →+∞
x →+∞ x + 2
x →+∞ x + 2
asíntota horizontal en +∞ .
Asíntotas horizontales:
lim f ( x ) = lim
x →−∞
x →−∞
x+2
= lim
x →−∞
Representación de funciones | Unidad 7
7
10. Ejercicio interactivo.
11. Ejercicio resuelto.
12. Estudia los intervalos de crecimiento y los extremos relativos de las funciones siguientes y esboza su
gráfica.
a) f ( x ) =
6x 2 − x 4
8
c) f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 2
b) f ( x ) =x 3 − 7 x 3 + 16 x − 13
d) f (=
x ) 3x5 − 5x3
3x − x3
a) Calculamos los puntos que anulan f ´ : f ´( x ) =
=
− 3
0⇒x =
0, x = 3, x =
2
−∞
0
− 3
+∞
3
f ´( x )
+
−
+
−
f (x)




Así, f ( x ) crece en
( −∞, − 3 ) ∪ (0, 3 ) , decrece en ( −
) (
3,0 ∪
relativos y ( 0,0 ) es un mínimo relativo.
)
9
9


3, +∞ ,  − 3,  y  3,  son máximos
8
8


8
b) Calculamos los puntos que anulan f ´ : f ´( x ) = 3 x 2 − 14 x + 16 = 0 ⇒ x = 2, x =
3
8
−∞
+∞
2
3
f ´( x )
+
−
+
f (x)



8

Así, f crece en ( −∞,2 ) ∪  , +∞  , decrece en
3

 8
 8 31 
 2,  , ( 2, −1) es el máximo relativo y  , −
 mínimo relativo.
 3
 3 27 
c) Calculamos los puntos que anulan f ´ : f ´( x ) = 3 x 2 − 12 x + 9 = 0 ⇒ x = 1, x = 3
−∞
1
+∞
3
f ´( x )
+
−
+
f (x)



Así, f ( x ) crece en ( −∞,1) ∪ ( 3, +∞ ) , decrece en (1,3 ) , (1,6 ) es el máximo relativo y ( 3,2 ) el mínimo relativo.
d) Calculamos los puntos que anulan f ´ : f ´( x ) =
15 x 4 − 15 x 2 =
0⇒x =
−1, x =
0, x =
1
−∞
f ´( x )
+
f (x)

Así, f ( x ) crece en
−1
( −∞,1) ∪ (1, +∞ ) ,
−


1
+∞
+

decrece en ( −1,1) , presenta un máximo relativo en ( −1,2 ) y un mínimo
relativo en (1, −2 ) .
8
0
−
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
13. Si f ( x ) = ax 3 + bx 2 + c pasa por ( 0,0 ) y tiene un máximo local en ( 1,2 ) ; calcula y representa f.
Pasa por ( 0,0 ) ⇒ f ( 0 ) = 0 ⇒ c = 0
f (1) = 2 ⇒ a + b = 2
Tiene un máximo en (1,2 ) ⇒ 
⇒a=
−4, b =
6
f ´(1) =0 ⇒ 3a + 2b =0
−4 x 3 + 6 x 2 .
La función es f ( x ) =
14. Calcula los valores de a .y b para que f ( x ) =x 4 + ax 3 + bx 2 − 6 x tenga un punto de inflexión en el punto
( 1, −3 ) .
Presenta un punto de inflexión en
f (1) =−3 ⇒ 1 + a + b − 6 =3 ⇒ a + b =8
(1, −3 ) ⇒ 
f ´´(1) =0 ⇒ 12 + 6a + 2b =0 ⇒ 6a + 2b =−12
⇒a=
−7, b =
15 ⇒
La función es f ( x ) =x 4 − 7 x 3 + 15 x 2 − 6 x .
15. Ejercicio resuelto.
16. Estudia y representa las siguientes funciones.
a) f ( x ) =
( x − 3 )2
b) f ( x ) =
x −3
x3
x −1
c) f ( x ) =
2
x2
x +1
2
a) 1.º Dominio y continuidad: x − 3 = 0 ⇒ x = 3 ⇒ D ( f ) =  − {3}
( −x )
2.º Simetría. f =
2
3)
( x + 3 )2
( − x −=
−x − 3
−x − 3
 f (x)
≠
⇒ No presenta simetría.
−f ( x )
4.º Puntos de corte con los ejes y signo:
Eje X:
( x − 3 )2=
x −3
Eje Y: ( 0, f ( 0 )=
)
0 ⇒ no se anula en su dominio.
( 0, −3 ) . Además,
f < 0 si x ∈ ( −∞,3 ) y f > 0 si x ∈ ( 3, +∞ )
5.º Asíntotas:
Asíntotas
verticales: =
lim f ( x )
x →3−
discontinuidad evitable en x = 3.
2
( x − 3) 0
=
lim
x −3
x →3−
y
lim f ( x )=
x →3+
lim
x →3+
( x − 3 )2=
x −3
0⇒
tiene
una
Asíntotas horizontales: no tiene, ya que el grado del numerador es superior al del denominador.

 ( x − 3 )2

f (x)
( x − 3 )2

=
= lim 
=
: x  lim =
1
m lim
2
x →∞ x
x →∞  x − 3
 x →∞ x − 3 x



Asíntotas oblicuas:
 ⇒ y= x − 3
2
 ( x − 3)


 −3 x + 9 
− x =
=
−3 
lim ( f ( x ) − mx ) =
lim 
lim
n=
x →∞
x →∞  x − 3
 x →∞  x − 3 



6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) =1 > 0 ⇒ f es creciente, no tiene
puntos críticos ni máximos ni mínimos relativos.
7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´( x )= 0 ⇒ f no presenta curvatura.
8.º Con la información encontrada se puede trazar la gráfica de la función:
Representación de funciones | Unidad 7
9
b) 1.º Dominio y continuidad: x 2 − 1 =0 ⇒ x =−1, x =1 ⇒ D ( f ) = − {−1,1}
3
(−x )
x3
2.º Simetría. f ( − x ) = 2
=
− 2
=
−f ( x ) ⇒ f es simétrica respecto del origen de coordenadas.
(−x ) − 1 x − 1
4.º Puntos de corte con los ejes y signo:
Eje X:
x3
=0 ⇒ x =0
x2 − 1
0 ⇒ f (0) =
0
Eje Y: x =
El único punto de corte es el ( 0,0 ) .
El signo de f cambia en las raíces del numerador y del denominador y se muestra en la tabla.
−∞
f (x)
−1
−
+∞
1
0
+
−
+
5.º Asíntotas:
Asíntotas verticales: En x =
−1, x =
1:
lim f ( x ) = −∞
x →−1−
lim f ( x ) = +∞
x →−1+
lim f ( x ) = −∞
lim f ( x ) = +∞
x →1−
x →1+
Asíntotas horizontales: no tiene, ya que el grado del numerador es superior al del denominador.
f (x)
=
lim
x →+∞ x

 x3

x3
x
=
lim  =
:
lim


 x →+∞ x 3 − x 1
x →+∞ x 2 − 1



⇒ y = x
 x3

 x 

=
n lim ( f ( x ) =
− mx ) lim  2 =
− x  lim  =
 0
2
x →+∞
x →+∞ x − 1

 x →+∞  x − 1 

=
m
Asíntotas oblicuas:
x 4 − 3x 2
=0⇒x =
− 3, x =
0, x = 3
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) =
2
x2 − 1
(
−∞
)
−1
− 3
1
0
+∞
3
f ´( x )
+
−
−
−
−
+
f (x)






Así, f ( x ) crece en
( −∞, − 3 ) ∪ (

3 3
relativo en  − 3, −

2

)
3, +∞ , decrece en
−∞
−
f (x)
∩
)
(
)
3, −1 ∪ ( −1,1) ∪ 1, 3 , presenta un máximo


3 3
 y un mínimo relativo en  3,
.
2 


7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´( x ) =
f ´´( x )
(−
−1
2x 3 + 6 x
(x
2
)
−1
3
=0⇒x =0
0
+
−
∪
∩
1
+∞
+
∪
En la tabla se da el resultado y se deduce que el punto ( 0,0 ) es un punto de inflexión.
8.º Con la información encontrada se puede trazar la gráfica de la función:
10
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
c) 1.º Dominio y continuidad: x 2 + 1 ≠ 0 ⇒ D ( f ) =
 . Es continua en su dominio.
3
( −x ) =
x3
2.º Simetría. f ( − x ) = 2
− 2
=
−f ( x ) ⇒ f es simétrica respecto del origen de coordenadas.
x +1
( −x ) + 1
x3
= 0 ⇒ x = 0 Eje Y: ( 0, f ( 0 ) ) = ( 0,0 ) . El signo de f cambia
x −1
en las raíces del numerador y del denominador y se muestra en la tabla
4.º Puntos de corte con los ejes y signo Eje X:
2
−∞
+∞
0
f (x)
+
−
5.º Asíntotas:
Asíntotas verticales: No tiene, ya que su dominio son todos los números reales y no presenta
discontinuidades.
Asíntotas horizontales: no tiene, ya que el grado del numerador es superior al del denominador.

f (x)
 x3

x3
m lim
: x  lim=
1
=
= lim  2=

3
x →∞ x
x →∞ x + 1
x →∞ x + x



Asíntotas oblicuas:
 ⇒ La asíntota oblicua es y = x
3
 x

 −x 

n lim ( f ( x ) −=
mx ) lim  2 =
=
− x  lim  2=
 0
x →∞
x →∞ x + 1
x →∞  x + 1 



=
f ´( x )
6.º Puntos singulares y crecimiento:
x 4 + 3x 2
=
=0⇒x 0
2
x2 + 1
(
)
−∞
+∞
0
f ´( x )
+
+
f (x)


Así, f ( x ) crece en  y no tiene ni máximos ni mínimos relativos, aunque el punto ( 0,0 ) es un punto
singular.
−2 x 3 + 6 x
=0⇒x =
− 3, x =
0, x = 3
7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´( x ) =
3
x2 + 1
(
−∞
)
0
− 3
+∞
3
f ´´( x )
+
−
+
−
f (x)
∪
∩
∪
∩

3 3
En la tabla se da el resultado y se deduce que el punto  − 3, −

4


3 3
y  3,

4


 , ( 0,0 )


 son los puntos de inflexión.

8.º Con la información encontrada se puede trazar la gráfica de la función:
17. Dada la función f ( x ) =
ax − 2
, calcula el valor de a para que f tenga un extremo relativo en x = −1 .
x2 − 9
Para que tenga un extremo relativo en x = −1 se tiene que cumplir que f ' ( −1) = 0 ⇒ f ' ( x ) =
−ax 2 − 9a + 4 x
(x
2
−9
)
2
.
−a − 9a − 4
2
= 0 ⇒ −10a − 4 = 0 ⇒ a = −
f ' ( −1) =
2
5
( −8 )
Representación de funciones | Unidad 7
11
 2x − 3

18. Sea la función definida a trozos f ( x ) = 
x +1
 x 2 + 2 x − 3
represéntala.
si x ≤ 0
si x > 0
. Realiza un estudio completo de la misma y
1.º Dominio y continuidad: x + 1 =0 ⇒ x =−1 ⇒ D ( f ) = − {−1} . Estudiemos la continuidad en x = 0 :

f ( 0 ) = −3

2x − 3

lim
=
−3  ⇒ f es continua en su dominio.
x →0− x + 1

lim x 2 + 2 x − 3 =−3 
+

x →0
2.º Simetría: No presenta ninguna simetría.
2x − 3
3

= 0 ⇒ x=
∉ ( −∞,0]

4.º Puntos de corte con los ejes y signo: Eje X: 
⇒ (1,0 )
x +1
2
2
 x + 2 x − 3 = 0 ⇒ x = −3 ∉ ( 0, +∞ ) , x = 1
Eje Y: x =0 ⇒ f ( 0 ) =−3 ⇒ ( 0, −3 )
El signo de f cambia en las raíces del numerador y del denominador y se muestra en la tabla:
−∞
f (x)
1
−1
+
+∞
+
−
5.º Asíntotas
Asíntotas verticales: En x = −1:
Asíntotas
horizontales:
lim f ( x ) = +∞
x →−1−
lim f ( x ) = lim
x →−∞
x →−∞
lim f ( x ) = −∞
x →−1+
2x − 3
=2⇒ y =2⇒
x +1
es
la
asíntota
horizontal
lim f ( x ) = lim x 2 + 2 x − 3 = +∞ ⇒ no tiene asíntota horizontal en +∞.
x →+∞
x →−∞
f (x)
x 2 + 2x − 3
= lim
= +∞ ⇒ no tiene asíntotas oblicuas.
x →+∞ x
x →+∞
x
Asíntotas oblicuas: m = lim
 5

2
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) =
 ( x + 1)
 2x + 2

−∞
−1
+
+
f ´( x )
f (x)

si x < 0
⇒x=
−1, x =
0
si x > 0
+∞
0
+


Así, f ( x ) crece en ( −∞, −1) ∪ ( −1, +∞ ) , y no presenta ni máximos ni mínimos relativos.
 −10

3
7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´( x ) =
 ( x + 1)
 2

−∞
−1
+
−
f ´´( x )
f (x)
∪
si x < 0
⇒x=
−1, x =
0
si x > 0
+∞
0
∩
+
∪
En la tabla se da el resultado y se deduce que el punto ( 0, −3 ) cambia la curvatura.
8.º Con la información encontrada se puede trazar la gráfica de la función:
12
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
en
−∞.
19. Ejercicio resuelto.
20. Estudia y representa las siguientes funciones.
(x)
a) f =
b) f ( x ) =−
1
3 − 2x − x 2
x2 − 4
( −∞, −2] ∪ [2, +∞ ) . Es
a) 1.º Dominio y continuidad: El radicando no puede ser negativo x 2 − 4 ≥ 0 ⇒ D ( f ) =
continua en su dominio.
2.º Simetría: f ( − x ) =
( − x )2 − 4
=
x 2 − 4 = f ( x ) ⇒ f es simétrica respecto del eje de ordenadas.
4.º Puntos de corte con los ejes y signo:
Eje X:
x 2 − 4 = 0 ⇒ x 2 = 4 ⇒ B ( −2,0 ) ,C ( 2,0 )
Eje Y: No corta al no estar x = 0 en el dominio.
La función f es siempre positiva salvo en los puntos B y C, donde corta al eje de abscisas.
5.º Asíntotas:
Asíntotas verticales: No tiene al no haber puntos en el dominio en el que la función tienda a ±∞.
Asíntotas Horizontales: no tiene, ya que los límites en +∞ y en -∞ son iguales a +∞
Asíntotas oblicuas:
m
=
=
n
f (x)
lim
=
x →+∞ x
x2 − 4
lim = 1
x →+∞
x
− mx )
lim ( f ( x )=
x →+∞
lim
x →+∞
(
x 2 −=
4 − x)
lim
x →+∞
(
x2 − 4 − x )
(
(
x2 − 4 + x )
=
x2 − 4 + x )
lim
x →+∞
1
= 0
x −4 +x
2
La asíntota oblicua de f en +∞ es y = x , y por ser par la asíntota oblicua de f en −∞ es y = − x.
x
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) =
2
x −4
relativos.
−∞
f ´( x )
−
f (x)

que no se anula en D ( f ) por lo que no hay extremos
+∞
2
−2
+

Así, f ( x ) crece en  y no tiene ni máximos ni mínimos relativos, aunque el punto ( 0,0 ) es un punto
singular.
−4
7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´( x ) =
< 0 en su dominio luego es cóncavo hacia abajo.
2
x − 4 x2 − 4
(
)
8.º Con la información encontrada se puede trazar la gráfica de la función
Representación de funciones | Unidad 7
13
b) 1.º Dominio y continuidad: El radicando no puede ser negativo 3 − 2 x − x 2 ≥ 0 ⇒ D ( f ) =[ −3,1] .
 f (x)
⇒ f no presenta simetría respecto del eje de ordenadas ni
2.º Simetría. f ( − x ) =1 − 3 + 2 x − x 2 ≠ 
 −f ( x )
respecto del origen.
4.º Puntos de corte con los ejes y signo:
(
) (
0
x=
− 3 − 1, x =3 − 1 ⇒ B − 3 − 1,0 ,C
Eje X: 1 − 3 − 2 x − x 2 =⇒
−3
− 3 −1
f (x)
3 − 1,0
)
Eje Y: ( 0, f ( 0=
))
1
3 −1
+
(0,1− 3 )
+
−
5.º Asíntotas: Asíntotas verticales: No tiene al no haber puntos en el dominio en el que la función tienda a ±∞
[ −3,1].
Asíntotas horizontales y oblicuas: no tiene, ya que D ( f ) =
x +1
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) =
f ´( x )
−3
3 − 2x − x 2
= 0 ⇒ x = −1
−1
f (x)
1
−
+


Así, f ( x ) crece en ( −1,1) , decrece en ( −3, −1) y tiene un mínimos relativo en el punto ( −1, −1) .
7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´( x ) =
21. Haz un estudio sobre f ( x ) =
x2
x −1
(x
−4
2
+ 2x − 3
)
− x 2 − 2x + 3
> 0 luego es cóncava hacia arriba.
y represéntala.
1.º Dominio y continuidad: El radicando no puede ser negativo x − 1 > 0 ⇒ D ( f =
)
(1, +∞ ) .
4.º Puntos de corte con los ejes y signo: La función f es siempre positiva en su dominio.
Eje X:
x2
x −1
= 0 ⇒ x = 0 ∉ D (f )
Eje Y: No corta al eje Y.
x2
 1
=  +  = +∞ ⇒ x = 1
x −1 0 
5.º Asíntotas. Asíntotas verticales: lim f ( x ) = lim
x →1+
Asíntotas horizontales: lim
x →+∞
x2
x −1
x →1+
= +∞ ⇒ No tiene asíntota horizontal
 x2

f (x)
x2
= lim 
: x  = lim
= +∞ ⇒ No tiene asíntota oblicua.
x →+∞ x
x →+∞
 x − 1  x →+∞ x x − 1
Asíntotas oblicuas: m = lim
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) =
1
3x 2 − 4x
( 2x − 2)
x −1
= 0 ⇒ x = 0 ∉ D (f ), x =
4
3
4
3
f ´( x )
−
+
f (x)


4

 4
Así, f ( x ) decrece en  1,  y crece en  , +∞  y tiene un mínimo relativo en
 3
3

7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´( x ) =
arriba.
14
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
( 4x
3x 2 − 8x + 8
2
− 8x + 4
)
x −1
 4 16 3
 ,
3 9

 .

> 0 en su dominio luego es cóncava hacia
22. Ejercicio resuelto
23. Representa la gráfica de la función f ( x ) =
1
.
sen ( 2 x )
kπ

−
: k ∈ 
1.º Dominio y continuidad: D ( f ) =
 2

1
1
2.º Simetría: f ( − x ) =
=
=
−f ( x ) ⇒ f tiene simetría impar.
sen ( 2 ( − x ) ) −sen ( 2 x )
1
1
1
=
=
= f (x) ⇒ f
sen ( 2 ( x + π ) ) sen ( 2 x + 2π ) sen ( 2 x )
3.º Periodicidad: f ( x +=
π)
es una función periódica con
periodo π. Por tanto sólo es necesario realizar el estudio en el intervalo [0, π] y generalizar los resultados a .
 π
π 
4.º Puntos de corte con los ejes y signo: -, f > 0 si x ∈  0,  y f < 0 si x ∈  , π  La función no corta a los ejes.
 2
2 
5.º Asíntotas verticales:
π
Como lim f ( x ) = +∞ , lim f ( x ) = +∞ , lim f ( x ) = −∞ , lim f ( x ) = −∞ ⇒ x = 0, x = , x = π
−
+
+
−
2
x →0
x →π
π
π
x→
x→
2
2
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) =
−2 cos ( 2 x )
sen2 ( 2 x )
=0 ⇒ x =
 π π   π 3π 
π
3π
,x =
⇒ f crece en  ,  ∪  ,
 y
4
4
4 2 2 4 
 π   3π   π 
 3π

, π  y  ,1 es su mínimo relativo y  , −1 es su máximo relativo.
decrece en  0,  ∪ 
 4  4  4 
 4

π
π 


7.º Puntos de inflexión y concavidad: es cóncava hacia arriba en  0,  y en  , π  cóncava hacia abajo.
2 
 2
24. Haz un estudio representa la gráfica de la función f ( x )= 1 − tg ( 2 x ) .
kπ

−
: k ∈ 
1.º Dominio y continuidad: D ( f ) =
 4

2.º Simetría:
 f (x)
⇒ f no
f ( − x ) = 1 − tg ( 2 ( − x ) ) = 1 − ( − tg ( 2 x ) ) = 1 + tg ( x ) ≠ 
 −f ( x )
presenta simetría.
π

3.º Periodicidad: f  x +  = 1 − tg ( 2 x + π ) = 1 − tg ( 2 x ) = f ( x ) ⇒ f es

2
π
una función periódica con periodo
.
2
 −π π 
Realizaremos el estudio en el intervalo 
,  y generalizaremos los resultados.
 4 4
4.º Puntos de corte con los ejes y signo:
π
π 
 π π
π π
Eje X: 1 − tg ( 2 x ) = 0 ⇒ x = ⇒ B  ,0 
Eje Y: A ( 0, f ( 0 ) ) = ( 0,1) , f > 0 en  − ,  y f < 0 en  , 
8
8
4
8




8 4
π
π
5.º Asíntotas verticales: lim f ( x ) = +∞ , lim f ( x ) = −∞ ⇒ x =
− , x = , son las asíntotas verticales.
4
4
π+
π−
x →−
x→
4
4
(
)
6.º Puntos singulares y crecimiento f ´( x ) = −2 1 + tg2 ( 2 x ) < 0 ⇒ f es decreciente y no tiene ni máximos ni
mínimos.
(
)
7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´( x ) = −8tg ( 2 x ) tg2 ( 2 x ) + 1 ⇒ x = 0
−
f ´´( x )
f (x)
π
4
+
0
+
−
∪
∩
π
4
 π 
 π
Es cóncava hacia arriba en  − ,0  y en  0,  cóncava hacia abajo. En ( 0,1) hay un punto de inflexión.
 4 
 4
Representación de funciones | Unidad 7
15
25. Ejercicio resuelto.
26. Estudia y traza la gráfica de las siguientes funciones exponenciales.
b) f ( x ) = e − x
a) f ( x ) = xe x
2
a) 1.º Dominio y continuidad: D ( f ) =  . Es continua en su dominio.
 f (x)
− xe − x ≠ 
⇒ f no tiene simetría respecto del origen de coordenadas ni respecto del
2.º Simetría: f ( − x ) =
−f ( x )
eje de ordenadas.
4.º Puntos de corte con los ejes y signo:
Eje X: xe x = 0 ⇒ x = 0
Eje Y: A ( 0, f ( 0 ) ) = ( 0,0 )
El signo de f cambia en las raíces y se muestra en la tabla:
−∞
+∞
0
f (x)
+
−
5.º Asíntotas:
Asíntotas verticales: No tiene ya que su dominio son todos los números reales y no presenta
discontinuidades.
Asíntotas horizontales:
lim xe x = −∞e −∞ =
x →−∞
lim xe x = +∞e +∞
x →+∞
−∞
=
e∞
= +∞

0
0 es la asíntota horizontal en −∞.
⇒y =


f (x)
xe x
= lim
= e +∞ = +∞ ⇒ no tiene asíntota oblicua.
x →+∞ x
x →+∞ x
Asíntotas oblicuas: m = lim
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) =
( x + 1) e x = 0 ⇒ x =−1
−∞
f ´( x )
−
f (x)

−1
+∞
+

−1 

Así, f ( x ) decrece en ( −∞, −1) y crece en ( −1, ∞ ) y tiene un mínimo relativo en el punto  −1,  .
e 

7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´( x ) =
( x + 2 ) e x = 0 ⇒ x =−2
−∞
+∞
−2
+
−
f ´´( x )
f (x)
∩
La función es cóncava hacia abajo en
punto de inflexión.
16
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
∪
( −∞, −2 )
y es cóncava hacia arriba en
( −2, +∞ )
−2 

y  −2, 2  es el
e 

b) 1.º Dominio y continuidad: D ( f ) =  . Es continua en su dominio.
2
2
) e −( − x ) = e − x = f ( x ) ⇒ f es simétrica respecto del respecto del eje de ordenadas.
2.º Simetría. f ( − x =
4.º Puntos de corte con los ejes y signo:
2
Eje X: e − x = 0 ⇒ no tiene solución, no corta al eje de abscisas y la función siempre es positiva.
Eje Y: ( 0, f ( 0 ) ) = ( 0,1)
5.º Asíntotas
Asíntotas verticales: No tiene ya que su dominio son todos los números reales y no presenta
discontinuidades.
2
2
1
1
Asíntotas horizontales: lim e − x =
= 0, lim e − x =
= 0 ⇒ y = 0 es la asíntota horizontal en −∞ y
x →−∞
x →+∞
e∞
e∞
en +∞.
Asíntotas oblicuas: no tiene por tener asíntotas horizontales
6.º Puntos singulares y crecimiento:
2
f ´( x ) =
−2 xe − x = 0 ⇒ x =
0
−∞
+∞
0
f ´( x )
+
−
f (x)


Así, f ( x ) crece en ( −∞,0 ) y decrece en ( 0,∞ ) y tiene un máximo relativo en el punto ( 0,1) .
7.º Puntos de inflexión y concavidad:
(
)
2
−
f ´´( x ) =4 x 2 − 2 e − x = 0 ⇒ x =
−∞
2
2
,x =
2
2
−
f ´´( x )
+
f (x)
∪
2
2
2
2
+∞
−
+
∩
∪



2  2
2 2
La función es cóncava hacia arriba en  −∞, −
y
,
, +∞  y es cóncava hacia abajo en  −
 ∪ 
 2 2 


2
2

 




2 e  2 e
y
tiene dos puntos de inflexión  −
,
.
,
 2 e   2 e 


 
8.º Con la información encontrada se puede trazar la gráfica de la función:
Representación de funciones | Unidad 7
17
27. Representa la gráfica de las siguientes funciones:
a) f ( x ) =
4
1+ e− x
 1
b) f ( x ) =  
2
x 2 −1
a) 1.º Dominio y continuidad: D ( f ) =  . Es continua en su dominio.
4
 f (x)
≠
⇒ f no tiene simetría par ni impar.
1 + e x −f ( x )
4
4.º Puntos de corte con los ejes y signo: Eje X:
= 0 ⇒ No tiene solución y f ( x ) > 0 para todo x ∈ .
1+ e− x
Eje Y: A ( 0, f ( 0 ) ) = ( 0,2 )
2.º Simetría. f ( −=
x)
5.º Asíntotas horizontales: lim f ( x ) = lim
x →−∞
lim f ( x ) = lim
x →+∞
x →+∞
x →−∞
4
4
=
= 0 ⇒ y = 0 es la asíntota horizontal en −∞ .
1 + e− x e∞
4
4
= = 4 ⇒ y = 4 es la asíntota horizontal en +∞ .
−x
1
1+ e
f ´( x )
6.º Puntos singulares y crecimiento:=
(e
7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´( x ) =
( −∞,0 )
4e − x
−x
)
+1
2
> 0 ⇒ f es creciente y no tiene ni máximos ni mínimos.
4e −2 x − 4e − x
(e
−x
)
+1
3
= 0 ⇒ x = 0 La función es cóncava hacia arriba en
y es cóncava hacia abajo en ( 0, +∞ ) y ( 0,2 ) es el punto de inflexión.
8.º Con la información encontrada se puede trazar la gráfica de la función:
b) 1.º Dominio y continuidad: D ( f ) =  . Es continua en su dominio.
2
− x −1
x 2 −1
1( )
1
(
)
2.º Simetría. f − x =
=
= f ( x ) ⇒ f es simétrica respecto del respecto del eje de ordenadas.
2
2
4.º Puntos de corte con los ejes y signo: Eje Y: A ( 0, f ( 0 ) ) = A ( 0,2 )
 1
Eje X:  
2
x 2 −1
= 0 ⇒ no tiene solución, no corta al eje de abscisas y la función siempre es positiva.
 1
5.º Asíntotas horizontales: lim  
x →−∞  2 
x 2 −1
= 0,
 1
lim  
x →+∞  2 
x 2 −1
= 0 ⇒ y = 0 es la asíntota horizontal en −∞ y en
+∞.
 1
−2ln ( 2 ) x  
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) =
2
−∞
+
f ´( x )
f (x)
x 2 −1
0
=0⇒x =
+∞
0
−


Así, f ( x ) crece en ( −∞,0 ) y decrece en ( 0,∞ ) y tiene un máximo relativo en el punto ( 0,2 ) .
7.º Puntos
de
inflexión
y
concavidad:
 1
f ´´( x ) = 2ln2 2 x 2 ln2 − 1  
2
(
)
x 2 −1
2ln2
=0⇒.x=
−
 −0,85,
2ln2
2ln2
 0,85. La función es cóncava hacia arriba en ( −∞, −0,85 ) ∪ ( 0,85, +∞ ) y es
2ln2
abajo en ( −0,85; 0,85 ) puntos de inflexión ( −0,85; 1,21) y ( 0,85; 1,21) .
x=
8.º Con la información encontrada se puede trazar la gráfica de la función:
18
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
cóncava
hacia
28. Ejercicio resuelto.
29. Estudia y traza la gráfica de las siguientes funciones.
a) f ( x ) = x ln x
b) f ( x ) =
a) 1.º Dominio y continuidad: D ( f=
)
ln x
ex
( 0, +∞ ) . Es continua en su dominio.
4.º Puntos de corte con los ejes y signo Eje X: x ln x = 0 ⇒ x = 0 ∉ D ( f ) ,ln x = 0 ⇒ x = 1 ⇒ B (1,0 )
f (x)
+∞
1
0
−
+
5.º Asíntotas:
Asíntotas verticales: lim f ( x )=
x →0+
lim x ln x= 0 ⇒ no tiene asíntotas verticales.
x →0+
Asíntotas horizontales: lim f ( x ) = lim x ln x = +∞ ⇒ no tiene asíntotas verticales.
x →+∞
Asíntotas oblicuas: m = lim
x →+∞
x →+∞
f (x)
x ln x
= lim
= ln ( +∞ ) = +∞ ⇒ no tiene asíntota oblicua.
x →+∞
x
x
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) =1 + ln x = 0 ⇒ x =
1
e
1
e
0
+∞
f ´( x )
−
+
f (x)


 1 −1 
 1
1 
Así, f ( x ) decrece en  0,  y crece en  , ∞  y tiene un mínimo absoluto en el punto  ,  .
 e
e e 
e 
1
7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´( x ) =
> 0 ⇒ f es cóncava hacia arriba en ( 0, + ∞ ) .
x
8.º Con la información encontrada se puede trazar la gráfica de la función:
b) 1.º Dominio y continuidad: D ( f=
)
( 0, +∞ ) . Es continua en su dominio.
4.º Puntos de corte con los ejes y signo:
Eje X:
ln x
=0 ⇒ x =1 ⇒ B (1,0 ) . Además f < 0 si x ∈ ( 0,1) y f > 0 si x ∈ (1, +∞ )
ex
5.º Asíntotas:
ln x
Asíntotas verticales: lim f ( x ) = lim x = −∞ ⇒ x = 0 es la asíntota vertical.
x →0+
x →0+ e
ln x
Asíntotas horizontales: lim f ( x ) = lim x = 0 ⇒ y = 0 es la asíntota horizontal.
x →+∞
x →+∞ e
− x ln x + 1
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) =
= 0 ⇒ Esta ecuación daría la posición del máximo de la
xe x
función pero no es fácil de resolver.
7.º Puntos de inflexión y concavidad:
x 2 ln x − 2 x − 1
= 0 ⇒ Esta ecuación daría la posición del punto de
x 2e x
inflexión de la función pero no es fácil de resolver.
f ´´( x )=
8.º Con la información encontrada se puede trazar la gráfica de la función:
Representación de funciones | Unidad 7
19
30. Representa la gráfica de las siguientes funciones.
a) f ( x ) =
 x 
b) f ( x ) = ln 

 x − 1
x
ln x
a) 1.º Dominio y continuidad: D=
(f )
( 0,1) ∪ (1, +∞ ) .
4.º Puntos de corte con los ejes y signo: No corta a los ejes pero su signo viene dado por la siguiente tabla:
+∞
1
0
f (x)
−
+
5.º Asíntotas:
x
x
x
= 0, lim f ( x ) = lim
= −∞, lim f ( x ) = lim
= +∞ ⇒ x = 1
ln x
x →1−
x →1− ln x
x →1+
x →1+ ln x
x
Asíntotas horizontales: lim f ( x ) = lim
= +∞ ⇒ no tiene asíntota horizontal.
x →+∞
x →+∞ ln x
1
f (x)
 x

: x = lim
= lim 
= 0 ⇒ no tiene asíntotas oblicua.
Asíntotas oblicua: m= lim
x →+∞ x
x →+∞  ln x
 x →+∞ ln x
ln x − 1
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) = 2
= 0 ⇒ x = e ⇒ ( e, e ) es un mínimo relativo.
ln x
e
+∞
0
1
+
−
−
f ´( x )
Asíntotas verticales: lim f ( x ) = lim
x →0+
f (x)
x →0+


7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´( x ) =
1
0


e2
− lnx + 2
= 0 ⇒ x = e 2 ⇒  e 2 ,
3
2
x ln x

2
+∞
e
f ´´( x )
−
+
−
f (x)
∩
∪
∩
b) 1.º Dominio y continuidad:
x
> 0 ⇒ D (f ) =
x −1

 es un punto de inflexión.

( −∞,0 ) ∪ (1, +∞ )
x
 x 
0⇒
1 ⇒ no tiene solución, y como 0 ∉ D ( f ) la
=
4.º Puntos de corte con los ejes y signo: ln 
=
x −1
 x − 1
función no corta a los ejes aunque cambia de signo.
−∞
+∞
0
1
+
−
f (x)
5.º Asíntotas:
 x 
 x 
Asíntotas horizontales: lim ln 
ln 
 = ln1 = 0, xlim
 = ln1 = 0 ⇒ y = 0 es la asíntota horizontal.
x →−∞
→+∞
 x − 1
 x − 1
 x 
 x 
Asíntotas verticales: lim ln 
 = −∞, lim+ ln 
 = ln ( +∞ ) = +∞ ⇒ x = 0, x = 1 son asíntotas verticales.
−
x →0
x →1
 x − 1
 x − 1
1
< 0 en el dominio de la función con lo que la función
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) = − 2
x −x
siempre es decreciente y no tiene ni máximos ni mínimos relativos.
2x − 1
=
f ´´( x )
= 0 ⇒ No tiene puntos de inflexión en el dominio.
7.º Puntos de inflexión y concavidad:
x 4 − 2x 3 + x 2
−∞
+∞
0
1
20
f ´´( x )
−
+
f (x)
∩
∪
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
31 y 32.
Ejercicios resueltos.
33. Las funciones de oferta y demanda en función del precio de un producto son, respectivamente:
D ( p) =
O ( p=
) 2 p − 10
2800
p
a) Encuentra el punto de equilibrio y da el precio y el número de unidades correspondientes.
b) Dibuja las gráficas de las funciones de oferta y demanda sobre los mismos ejes de coordenadas.
c) ¿Dónde corta la gráfica de la oferta al eje de abscisas? Explica qué significado económico tiene ese punto.
2800
⇒p=
40, p =
−35 ⇒ el
a) Igualando ambas expresiones y resolviendo la ecuación resultante: 2 p − 10 =
p
último resultado no tiene sentido, luego el punto de equilibrio es (40,70), el precio es de 40 unidades
monetarias y el número de unidades es 70.
b)
c) 2 p − 10 = 0 ⇒ p = 5 si el precio del producto es menor que 5, no hay oferta; si el precio es 5, la oferta es nula,
y si es mayor que 5, la oferta será positiva.
34. El tipo de interés anual, I (t) en %, ofrecido por un banco depende del tiempo, t, en años, que se mantenga la
90t
inversión en la forma I ( t ) = 2
.
t +9
a) Calcula razonadamente cuantos años conviene pactar a un inversor que trate de optimizar el tipo de interés.
b) Si una inversión se mantuviese a muy largo plazo, ¿el tipo e interés podría llegar a ser negativo? Justifica la
respuesta.
−90t 2 + 810
=0 ⇒ t =−3, t =3 ( la
a) Para optimizar el tipo de interés buscaremos el máximo de la función I´( t ) =
2
t2 + 9
(
)
solución negativa no tiene sentido en el problema)
f ´( x )
0
f (x)
+∞
3
+
−


Luego el máximo interés lo obtiene si pacta por tres años.
b) Como lim
90t
= 0 ⇒ el tipo de interés no podría llegar a ser nunca negativo.
+9
t →+∞ t 2
35. Ejercicios interactivos.
36 a 44.
Ejercicios resueltos.
Representación de funciones | Unidad 7
21
Propiedades globales de las funciones
45. Calcula el dominio de las siguientes funciones.
x +1
a) f ( x ) = 3
x +x
b) f ( x ) =x − 3 − 2 x
c) f ( x ) =
d) f ( x ) =
e) f ( x ) =
f)
x
3
(
) ln x 2 − 2 x − 8
f ( x=
g) f ( x ) =
x −2
x +3
x −2
x3 + x 2 − 6x
x2 − 1
h) f ( x ) =
)
x +1
e x −1
x
senx
a) x 3 + x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ D ( f ) =  − {0}
b) 3 − 2 x ≥ 0 ⇒ x ≤
3
3

⇒ D ( f ) =  −∞, 
2
2

c) x − 2 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ D ( f ) =  − {2}
d)
x +3
≥ 0 ⇒ D (f ) =
x −2
( −∞, −3] ∪ ( 2, +∞ )
e) x 3 + x 2 − 6 x ≥ 0, x 2 − 1 ≠ 0 ⇒ D ( f ) =
f)
x 2 − 2x − 8 > 0 ⇒ D ( f ) =
( −3, −1) ∪ ( −1,0 ) ∪ ( 2, +∞ )
( −∞, −2 ) ∪ ( 4, +∞ )
g) x − 1 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ D ( f ) =  − {1}
h) senx = 0 ⇒ x = k π, k ∈  ⇒ D ( f ) =  − {k π / k ∈ }
46. Para las siguientes funciones, calcula sus puntos de corte con los ejes y estudia las zonas donde su
imagen es positiva y donde su imagen es negativa.
(
a) f ( x ) =( 2 x − 6 )( x + 1) x 2 + 3
)
x −1
x+2
1
(
)
f x =
1− ex
e) f ( x ) =
b) f ( x ) = x 3 − x 2 − 4 x + 4
f)
c) f ( x ) = x 3 + x 2 − 16 x + 20
g) =
f ( x ) ln x 2 − 8
d) f ( x ) =
(
2
x +2
x2 − 4
)
h) f ( x ) = 2 x − 10 − 2 − x
(
)
Eje Y : C ( 0, f (=
0 ) ) C ( 0, − 18 )
a) Eje X: ( 2 x − 6 )( x + 1) x 2 + 3 = 0 ⇒ x = −1, x = 3 ⇒ A ( −1,0 ) , B ( 3,0 )
(
)
Para estudiar el signo se resuelve la inecuación ( 2 x − 6 )( x + 1) x 2 + 3 > 0 , obteniéndose que:
f > 0,si x ∈ ( −∞, −1) ∪ ( 3, +∞ )

f < 0,si x ∈ ( −1,3 )

b) Eje X: x 3 − x 2 − 4 x + 4 = 0 ⇒ x = −2, x = 1, x = 2 ⇒ A ( −2,0 ) , B (1,0 ) ,C ( 2,0 )
Eje Y : D ( 0, f ( 0 ) ) = D ( 0, 4 )
f > 0,si x ∈ ( −2,1) ∪ ( 2, +∞ )
Resolvemos la inecuación x 3 − x 2 − 4 x + 4 > 0 , obteniéndose que: 
f < 0,si x ∈ ( −∞, −2 ) ∪ (1,2 )
c) Eje X: x 3 + x 2 − 16 x + 20 =
0⇒x =
−5, x =
2, ⇒ A ( −5,0 ) , B ( 2,0 )
Eje Y : C ( 0, f ( 0 ) ) = C ( 0,20 )
f > 0,si x ∈ ( −5,2 ) ∪ ( 2, +∞ )
Resolvemos la inecuación x 3 + x 2 − 16 x + 20 > 0 , obteniéndose que: 
f < 0,si x ∈ ( −∞, −5 )

22
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
d) x 2 − 4 = 0 ⇒ D ( f ) =  − {−2,2}
Eje X:
x2 + 2
= 0 ⇒ no tiene solución en 
x2 − 4
Resolvemos la inecuación
e)
x −1
≥ 0 ⇒ D (f ) =
x+2
Eje X:
1

0 ) ) A  0, − 
Eje Y : A ( 0, f (=
2

x2 + 2
f > 0,si x ∈ ( −∞, −2 ) ∪ ( 2, +∞ )
> 0 , obteniéndose que: 
f < 0,si x ∈ ( −2,2 )
x2 − 4

( −∞, −2 ) ∪ [1, +∞ )
x −1
=0 ⇒ x =1 ⇒ A (1,0 )
x+2
Eje Y : 0 ∉ D ( f ) ⇒ no corta al eje de ordenadas.
f ≥ 0 en su dominio.
f)
1 − e x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ D ( f ) =  − {0}
Eje X:
1
= 0 ⇒ no tiene solución.
1− ex
Resolvemos la inecuación
g) x 2 − 8 > 0 ⇒ D ( f ) =
(
Eje Y : 0 ∉ D ( f ) ⇒ no corta al eje de ordenadas
1
f > 0,si x ∈ ( −∞,0 )
> 0 , obteniéndose que: 
1− ex
f < 0,si x ∈ ( 0, +∞ )
( −∞, −2 2 ) ∪ ( 2
2, +∞
)
)
Eje X: ln x 2 − 8 = 0 ⇒ x = −3, x = 3 ⇒ A ( −3,0 ) , B ( 3,0 ) Eje Y : 0 ∉ D ( f ) ⇒ no corta al eje de ordenadas.
 f > 0,si x ∈ ( −∞, −3 ) ∪ ( 3, +∞ )
Resolvemos la inecuación ln x 2 − 8 > 0 , obteniéndose que: 
f < 0,si x ∈ −3, −2 2 ∪ 2 2,3
(
 − x + 8
h) f ( x ) = 2 x − 10 − 2 − x =−3 x + 12
 x − 8
)
(
si
si
si
) (
)
x<2
2≤x≤5
5<x
 − x + 8= 0 ⇒ x= 8 ∉ ( −∞,2 )

Eje X: f ( x ) = 0 ⇒ −3 x + 12 = 0 ⇒ x = 4 ∈ [ 2,5] ⇒ x = 4, x = 8 ⇒ A ( 4,0 ) , B ( 8,0 )
 x − 8= 0 ⇒ x= 8 ∈ ( 5, +∞ )
Eje Y : C ( 0, f ( 0 ) ) = C ( 0,8 )
Como es una función definida a trozos estudiaremos el signo de la función en cada uno de ellos, obteniéndose

f >0
si
x<2

f < 0, x ∈ ( 2,5] ⇒ y así concluimos que f < 0 si x ∈ ( 2,8 ) y f > 0 si
que: f > 0, x ∈ [ 2, 4 ) y
f < 0, x ∈ ( 5,8 ) y f > 0, x ∈ ( 8, +∞ )
x ∈ ( −∞,4 ) ∪ ( 8, +∞ ) .
Representación de funciones | Unidad 7
23
47. Estudia las simetrías de estas funciones.
a) f ( x ) =
x6
x4 −1
e) f ( x ) =
b) f ( x ) =
x6 + 1
x3 − x
f)
c) f ( x ) = x2 + 2
senx + tgx
cos x
g)
=
f ( x ) sen ( 3 x ) + cos ( 5 x )
x +4
)
a) f ( − x =
f (x) =
e x − e− x
2
( − x )6
=
( −x ) − 1
4
x6
= f ( x ) ⇒ es simétrica respecto del eje de ordenadas.
x −1
4
6
( −x ) + 1
x6 + 1
x6 + 1
b) f ( − x ) = 3
= 3
=
− 3
=
−f ( x ) ⇒ es simétrica respecto del origen de coordenadas.
( −x ) − ( −x ) −x + x
x −x
c) f ( −=
x)
−x + 2
−x + 2  f ( x )
=
≠
⇒ la función no presenta simetría respecto del origen ni respecto de eje de
2
( − x ) + 4 x 2 + 4 −f ( x )
ordenadas.
e − x − e −( − x ) e − x − e x
e x − e− x
e) f ( − x ) =
=
=
−
=
−f ( x ) ⇒ es simétrica respecto del origen de coordenadas.
2
2
2
f)
sen ( − x ) + tg ( − x ) -senx + ( -tgx )
senx + tgx
f ( −x ) =
=
=
−
=
−f ( x ) ⇒
cos ( − x )
cos x
cos x
es
simétrica
respecto
del
origen
de
coordenadas.
 f (x)
g) f ( − x ) =
sen ( 3 ( − x ) ) + cos ( 5 ( − x ) ) =
−sen ( 3 x ) + cos ( 5 x ) ≠ 
⇒ la función no presenta simetría respecto
−f ( x )
del origen ni respecto de eje de ordenadas.
48. Señala el periodo de cada una de estas funciones.
a) f ( x ) = sec x
e) f=
( x ) senx + tgx
) tg ( πx )
b) f ( x=
f)=
f ( x ) sen ( 2 x ) + tg ( 2 x )
c) f ( x ) = sen ( 4 x )
g)
=
f ( x ) sen ( 3 x ) + tg ( 3 x )
d) f ( x ) = sen x
h) =
f ( x ) sen2 x + cos2 x
4
a) f ( x + 2π) sec( x=
=
+ 2π) s=
ec ( x ) f ( x ) ⇒ la función es periódica con período 2π.
) tg ( π ( x + 1)=
b) f ( x + 1=
) tg ( πx + π=) tg ( πx=) f ( x ) ⇒ la función es periódica con período 1.
π
π
π 
 

c) f  x + =
x ) f ( x ) ⇒ la función es periódica con período .
π ) sen ( 4=
 sen  4  x + =
  sen ( 4 x + 2=

2
2
2 
 
4
d) f ( x + π ) = sen4 ( x + π ) = ( −senx ) = f ( x ) ⇒ la función es periódica con período π.
e) f ( x + 2π=
x f ( x ) ⇒ la función es periódica con período 2π.
) sen ( x + 2π ) + tg ( x + 2π=) senx + tg=
f)
f ( 2 ( x + π=
) ) sen ( 2 x + 2π ) + tg ( 2 x + 2π=) sen ( 2 x ) + tg ( 2 x=) f ( x ) ⇒ la función es periódica con período π.
2π  
 
g) f  3  x +
) sen ( 3 x ) + tg ( 3 x=) f ( x ) ⇒ la función es periódica con periodo
=
 sen ( 3 x + 2π ) + tg ( 3 x + 2π=
3 


2π
.
3
h) f ( x ) =
sen2 x + cos2 x =
1 ⇒ La función es constante.
24
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
Asíntotas
49. Dada la función f ( x ) =
x2 − x
:
x 2 − 3x + 2
a) Especifica su dominio de definición.
b) Estudia su continuidad.
c) Calcula sus asíntotas si las hubiera.
a) x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇒ D ( f ) =  − {1,2}
b) La función es continua en su dominio por ser cociente de funciones continuas. Estudiemos los puntos x = 1 y
x = 2.

x ( x − 1)
x2 − x
x
= lim
= lim
= −1
 lim− 2
 x →1 x − 3 x + 2 x →1− ( x − 1)( x − 2 ) x →1− x − 2
x=
1⇒ 
⇒ f tiene una discontinuidad evitable en x = 1.
x ( x − 1)
x2 − x
x
 lim
=
lim
=
lim
=
−
1
 x →1+ x 2 − 3 x + 2 x →1+ ( x − 1)( x − 2 ) x →1+ x − 2
x2 − x
2
=
= −∞
x − 3 x + 2 0−
x = 2 ⇒ lim
x →2
2
−
x = 2.
lim
x →2
+
x2 − x
2
=
= +∞ ⇒ f tiene una discontinuidad de salto infinito en
x − 3 x + 2 0+
2
c) En el apartado anterior hemos probado que hay una asíntota vertical en x = 2.
Asíntotas horizontales: lim
x →−∞
x2 − x
x2 − x
= 1 lim 2
=1 ⇒ y =1 .
x →+∞ x − 3 x + 2
x − 3x + 2
2
Asíntotas oblicuas: no tiene por tener asíntotas horizontales.
50. Halla todas las asíntotas de las siguientes funciones, estudia el comportamiento de la función con
respecto a sus asíntotas e interprétalas gráficamente.
x2
x −1
a) f ( x ) =
−3
x +4
h) f ( x ) =
b) f ( x ) =
−3
x −4
i)
f (x) =
2
j)
f (x) =
2x 3 − 3 x 2 + 2
2x 2 − 3
2
k) f ( x ) =
x2 − x − 6
x − 2x 2 − 3 x
c) f ( x ) =
d) f ( x ) =
e) f ( x ) =
2
2
x
( x − 1)
x2
( x − 1)
x3
x −1
f (x) =
( x − 2 )2
x2 + 4
3
f (x) =
2x 2 + x + 2
2x 2 − x + 2
g) f ( x ) =
x 2 + 2x + 1
x +1
h) f ( x ) =
x3 − 3x − 2
x2 − 4
f)
2x 2 − 3 x
x3 + 1
4x 2 − 3x
g) f ( x ) =
x2 + 1
f)
3
a) Asíntotas verticales: no tiene porque D(f) = .
Asíntotas horizontales: =
lim f ( x )
x →−∞
−3
lim f ( x )
=
lim 2
0 y=
x →+∞
x +4
x →−∞
−3
=
lim 2
0
x +4
x →+∞
y = 0 es la asíntota horizontal en -∞ y en +∞ , y como la función es siempre negativa,
su gráfica está por debajo de la asíntota.
Asíntotas oblicuas: no tiene asíntotas oblicuas por tener asíntotas horizontales.
Representación de funciones | Unidad 7
25
b) Asíntotas verticales:
lim f ( x ) = lim
x →2
−
x →2
−
lim f ( x ) =
−3
−3
=
= −∞
x 2 − 4 0+
lim
x →−2−
x →−2−
−3
−3
= − = +∞
x −4 0
lim f ( x ) = lim
2
x →2
+
x →2
+
lim f ( x ) =
x →−2+
−3
−3
=
= +∞ ⇒ x = −2
x 2 − 4 0−
lim
x →−2+
−3
−3
= + = −∞ ⇒ x = 2
x −4 0
2
Asíntotas horizontales:
−3
−3
es la asíntota
lim=
0 lim
=
f ( x ) lim=
=
0⇒y 0
2
2
x
→−∞
x
→−∞
x −4
x −4
horizontal en −∞ y en +∞ , y como la función no corta a la asíntota y si x < −2 o x > 2, f(x) < 0 por lo que la
curva queda por debajo de la asíntota.
lim
=
f (x)
x →+∞
x →+∞
No tiene asíntotas oblicuas por tener asíntotas horizontales.
x
c) Asíntotas verticales: lim f ( x ) = lim
−
−
x →1
x →1
( x − 1)
2
=
1
= +∞
0+
lim f ( x ) = lim
+
+
x →1
x →1
x
( x − 1)
2
=
1
= +∞ ⇒ x = 1
0+
Asíntotas horizontales:
=
lim f ( x )
x →+∞
x
lim=
0
( x − 1)2
x
lim=
=
0⇒y 0
( x − 1)2
=
lim f ( x )
x →+∞
x →−∞
x →−∞
La función corta a la asíntota en O (0, 0). Si x < 0 la función es negativa, por lo que a la
izquierda la curva queda por debajo de la asíntota. Si x >0 la función es positiva, por lo
que a la derecha la curva queda por encima de la asíntota.
No tiene asíntotas oblicuas por tener asíntotas horizontales.
d) Asíntotas verticales:
x2
1
= + = +∞
lim f ( x ) = lim
2
x →1−
x →1− ( x − 1)
0
lim f ( x ) = lim
x →1+
Asíntotas horizontales:
x2
=
lim f ( x ) lim=
1 =
lim f ( x )
x →+∞
x →+∞ x − 1 2
x →−∞
( )
Como f ( x )= 1 +
2x − 1
( x − 1)2
x2
x →1+
( x − 1)
2
=
1
= +∞ ⇒ x = 1
0+
x2
=
lim=
1⇒ y 1.
x →−∞ x − 1 2
( )
, si x < 0 entonces f(x) < 1 por lo que a la izquierda la curva queda por debajo de la
asíntota. Si x >1 entonces f(x) > 1, por lo que a la derecha la curva queda por encima de la asíntota.
No tiene asíntotas oblicuas por tener asíntotas horizontales.
e) Asíntotas verticales:
x3
1
= − = −∞
lim f ( x ) = lim
−
− x −1
x →1
x →1
0
lim f ( x ) = lim
x →1+
x →1+
x3
1
= + = +∞ ⇒ x = 1
x −1 0
Asíntotas horizontales:
lim f ( x ) = lim
x →+∞
x →+∞
x3
= +∞
x −1
lim f ( x ) = lim
x →−∞
x →−∞
x3
= −∞ ⇒ no tiene.
x −1
Asíntotas oblicuas:
 x3

f (x)
x3
= lim 
= +∞ ⇒ no tiene.
: x  = lim 2
x →+∞ x
x →+∞ x − 1

 x →+∞ x − x
m = lim
f) Asíntotas verticales:
2x 2 − 3x
5
= − = −∞
lim f ( x ) = lim
3
−
−
x →−1
x →−1
x +1
0
lim f ( x ) = lim
x →−1+
x →−1+
2x 2 − 3x
5
= + = +∞ ⇒ x = −1
3
x +1
0
Asíntotas horizontales:
2x 2 − 3 x
=
lim=
0⇒y 0.
x →+∞
x →−∞ x 3 + 1
3 
La función corta a la asíntota en A (0, 0) y en B  ,0  . Si x < −1 la función es negativa por lo que a la izquierda
2 
3
entonces f(x) > 0, por lo que a la derecha la curva queda por
la curva queda por debajo de la asíntota. Si x >
2
encima de la asíntota. No tiene asíntotas oblicuas por tener asíntotas horizontales.
=
lim f ( x )
26
2x 2 − 3 x
lim=
0 =
lim f ( x )
x →+∞ x 3 + 1
x →−∞
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
g) Asíntotas verticales: no tiene porque D(f) = .
Asíntotas horizontales:
=
lim f ( x )
x →+∞
4x 2 − 3x
lim=
4 =
lim f ( x )
x →+∞ x 2 + 1
x →−∞
4x 2 − 3x
lim=
=
4⇒y 4
x →−∞ x 2 + 1
4x 2 − 3x
4
 4 
=
4⇒x =
− ⇒ A =−
, 4  es el punto de corte con la asíntota. Como

x2 + 1
3
 3 
3x + 2
4
, si x < − ⇒ f ( x ) > 4 por lo que a la izquierda la curva queda por encima de la asíntota. Si
f ( x )= 4 − 2
x +1
3
4
x > − ⇒ f ( x ) < 4 por lo que a la derecha la curva queda por debajo de la asíntota.
3
Resolviendo
h) Asíntotas verticales: lim f ( x ) = lim
x →1−
x →1−
x2
1
= − = −∞
3
x −1 0
lim f ( x ) = lim
x →1+
x →1+
x2
1
= + = +∞ ⇒ x = 1
3
x −1 0
Asíntotas horizontales:
lim
=
f (x)
x →+∞
x2
lim=
0
3
x →+∞ x − 1
lim
=
f (x)
x →−∞
x2
lim=
0 ⇒ y 0.
=
3
x →−∞ x − 1
La función corta a la asíntota en A (0, 0). Si x < 0 la función es negativa por lo que a la
izquierda la curva queda por debajo de la asíntota. Si x >1 entonces f(x) > 0 por lo que
a la derecha la curva queda por encima de la asíntota.
No tiene asíntotas oblicuas por tener asíntotas horizontales.
i) Asíntotas verticales: no tiene porque D(f) = .
Asíntotas horizontales:
=
lim f ( x )
x →−∞
2
( x − 2 ) 1=
y lim f ( x )
=
lim
x →−∞ x 2 + 4
x →+∞
2
( x − 2) 1
=
lim
x →+∞ x 2 + 4
y = 1 es la asíntota horizontal
( x − 2)
2
=1 ⇒ x =0 ⇒ A =( 0,1) es el punto de corte con la asíntota.
x2 + 4
4x
Como f ( x )= 1 − 2
, si x < 0 entonces f(x) >1, por lo que a la izquierda la curva queda por encima de la
x +4
asíntota. Si x > 0 entonces f(x) <1, por lo que a la derecha la curva queda por debajo de la asíntota.
Resolviendo
j) Asíntotas verticales:
lim
x →−
6
2
−
f (x) =
lim f ( x ) =
x→
6
2
−
lim
x →−
lim
x→
6
2
6
2
−
−
2x 3 − 3 x 2 + 2
= −∞
2x 2 − 3
2x 3 − 3 x 2 + 2
= −∞
2x 2 − 3
lim
x →−
6
2
+
f (x) =
lim f ( x ) =
x→
6
2
+
lim
x →−
lim
x→
6
2
+
6
2
+
2x 3 − 3 x 2 + 2
6
= +∞ ⇒ x = −
2
2x 2 − 3
2x 3 − 3 x 2 + 2
= +∞ ⇒ x =
2x 2 − 3
6
2
Asíntotas horizontales: No tiene porque el grado del numerador es mayor que el denominador.
Asíntota oblicua:
m
=
f (x)
lim
=
x →+∞ x
la asíntota oblicua es y= x −
x>
 2x 3 − 3 x 2 + 2

 2x 3 − 3x 2 + 2 
3
lim 
: x  1, n =
− x  =
−
=
lim f ( x ) − mx =
lim 
2
2
x →+∞
x →+∞
x →+∞
2
x
−
2
3
x
2
3
−




6
3
3
. Si x < −
⇒ f ( x ) < x − y la curva queda por debajo de la asíntota. Si
2
2
2
6
3
⇒ f ( x ) > x − y la curva queda por encima de la asíntota.
2
2
Representación de funciones | Unidad 7
27
k) Asíntotas verticales:
lim f ( x ) =
lim
x →−1−
x →−1−
x2 − x − 6
= +∞
x − 2x 2 − 3 x
lim f ( x ) = lim
x2 − x − 6
= −∞
x − 2x 2 − 3 x
lim f ( x ) =
x2 − x − 6
5
=
x − 2 x 2 − 3 x 12
x →0−
x →0−
x →3−
lim
x →3−
lim f ( x ) =
3
3
3
x →−1+
x →−1+
x2 − x − 6
= −∞ ⇒ x = −1
x − 2x 2 − 3 x
3
lim f ( x ) = lim
x2 − x − 6
= +∞ ⇒ x = 0
x − 2x 2 − 3 x
lim f ( x ) =
x2 − x − 6
5
=
⇒ x = 3 es una discontinuidad evitable.
x − 2 x 2 − 3 x 12
x →0+
x →0+
lim
x →3+
Asíntotas horizontales: lim f ( x ) = lim
x →−∞
lim
x →−∞
x →3+
3
3
x2 − x − 6
=0
x − 2x 2 − 3 x
3
lim f ( x ) = lim
x →∞
x →∞
x2 − x − 6
=0 ⇒ y =0
x − 2x 2 − 3 x
3
La función corta a la asíntota en A (-2, 0). Si x < -2 entonces f(x) < 0 por lo que a la izquierda la curva queda
por debajo de la asíntota. Si x >3 entonces f(x) > 0, por lo que a la derecha la curva queda por encima de la
asíntota.
l) Asíntotas verticales: no tiene porque D ( f ) = .
Asíntotas horizontales:
=
lim f ( x )
x →−∞
2x 2 + x + 2
=
=
lim
1 y lim f ( x )
x →−∞ 2 x 2 − x + 2
x →+∞
2x 2 + x + 2
=
lim
1
x →+∞ 2 x 2 − x + 2
y = 1 es la asíntota horizontal.
2x 2 + x + 2
=1 ⇒ x =0 ⇒ A =( 0,1) es el punto de corte con la asíntota.
2x 2 − x + 2
2x
Como f ( x )= 1 − 2
, si x < 0 entonces f (x) <1, por lo que a la izquierda la
2x − x + 2
curva queda por debajo de la asíntota. Si x > 0 entonces f (x) >1, por lo que a la
derecha la curva queda por encima de la asíntota
Resolviendo
m)
f (x)
=
+1
{noxexiste
( x + 1)2
=
x +1
si
si
x ≠ −1
x = −1
n) Asíntotas verticales:
lim f ( x ) =
x →−2−
lim
x →−2−
lim f ( x ) = lim
x → 2−
x → 2−
x3 − 3x − 2
= −∞
x2 − 4
x3 − 3x − 2 9
=
4
x2 − 4
lim f ( x ) =
x →−2+
lim
x →−2+
lim f ( x ) = lim
x → 2+
x →−2+
x3 − 3x − 2
= +∞ ⇒ x = −2
x2 − 4
x3 − 3x − 2 9
=
⇒ x = 2 es una discontinuidad evitable.
4
x2 − 4
Asíntotas horizontales: no tiene porque el grado del numerador es mayor que el del denominador.
 x3 − 3x − 2

 x3 − 3x − 2

f (x)
y n lim f ( x ) −=
Asíntotas oblicuas
=
= lim 
=
−
=
mx lim 
x  0 la recta
: x  1 =
m lim
2
2
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x
−
−
x
4
4
x




y = x es asíntota oblicua. La función no corta a la asíntota.
Si x < –2 entonces f(x) < x, por lo que a la izquierda la curva queda por debajo de la asíntota. Si x > 2 entonces
f(x) > x, por lo que a la derecha la curva queda por encima de la asíntota.
28
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
51. Estudia las asíntotas y su posición respecto de la curva, en las siguientes funciones.
3
4
(2 + x ) e
h) f ( x=
)
x
2
)
a) f ( x=
x+
b) f ( x ) =
x4 + 1
x2
i)
f (x) =
c) f ( x ) =
x 4 − 16
x
j)
f ( x ) ln ( 2 x − 3 )
=
(x)
d) f =
x2 − 1
k) f=
( x ) ln x + 1
2
x2 + 1
ex
3
a) Asíntotas verticales: no tiene porque D ( f ) =  − , +∞  .
 4

Asíntotas horizontales: lim f ( x ) = lim
x →∞
f (x)
Asíntotas oblicuas: lim
x
x →∞
x →∞
3
= +∞ no tiene.
4


3
= lim  x + : x = 0 no tiene.
x →∞ 
4

x4 + 1
1
= + = +∞
0
x2
b) Asíntotas verticales: lim f ( x ) = lim
−
−
x →0
x+
x →0
x4 + 1
1
= + = +∞ ⇒ x = 0
0
x2
lim f ( x ) = lim
x →0+
x →0+
Asíntotas horizontales:
lim f ( x ) = lim
x →+∞
x →+∞
x4 + 1
=1
x2
x)
+∞ , y como f (=
x →−∞
4
x +1
=
x2
x →−∞
4
x +1
=
x4
1+
c) Asíntotas verticales: No tiene ya que D ( f ) =
Asíntotas horizontales: lim f ( x ) = lim
x →+∞
Asíntotas oblicuas:
m1
=
=
n1
lim ( f ( x ) −=
m1x )
x →+∞
x4 + 1
=1 ⇒ y =1 es la asíntota horizontal en -∞ y en
x2
lim f ( x ) = lim f ( x ) =
x →+∞
f (x)
lim
=
x →+∞ x
1
> 1 la curva queda por encima de la asíntota.
x4
( −∞, −2] ∪ [ 2, +∞ ) .
x 4 − 16
= +∞
x
x →−∞
x →−∞
 x 4 − 16

lim 
: x =
1 m2
=
x →+∞ 

x
 x 4 − 16

lim 
=
− x  0=
n2
x →+∞ 

x
x 4 − 16
= −∞ ⇒ No tiene.
x
lim f ( x ) = lim
lim ( f ( x ) −=
m2 x )
x →−∞
asíntota oblicua a izquierda y a derecha y como f ( x )= x −
x
(
 x 4 − 16

lim 
: x 1
=
x →−∞ 

x
f (x)
lim
=
x →−∞ x
 x 4 − 16

lim 
=
− x  0=
⇒y x
x →−∞ 

x
16
4
x − 16 + x 2
)
es la
es mayor que x si x < 0 y menor
que x si x > 0. La curva queda por encima de la asíntota en –∞ y por debajo en +∞.
d) Asíntotas verticales: No tiene ya que D ( f ) =
Asíntotas horizontales: lim f ( x ) = lim
x →+∞
Asíntotas oblicuas:=
m1
=
n1
lim ( f ( x )=
− m1x )
x →+∞
x →+∞
lim
x →+∞
lim
x →+∞
(
f (x)
=
x
lim
x →+∞
( −∞, −1] ∪ [1, +∞ ) .
x 2 − 1 = +∞
(
lim f ( x ) = lim
x →−∞
x 2 − 1 :=
x) 1 =
m2
x 2 −=
1 − x) =
0 n2
x →−∞
lim
x →−∞
f (x)
=
x
lim ( f ( x ) =
− m2 x )
x →−∞
x 2 − 1 = +∞ ⇒ No tiene.
lim
x →−∞
lim
x →−∞
(
(
x 2 − 1 :=
x ) −1
x 2 −=
1 + x) 0 ⇒ y
=
–x
es
la
asíntota oblicua a izquierda y como f(x) – (–x) es negativo, la curva queda por debajo de la asíntota e y = x es
la asíntota a la derecha y como f(x) – (x) es negativo, la curva queda por debajo de la asíntota.
Representación de funciones | Unidad 7
29
e) Asíntotas verticales: no tiene porque D(f) = .
(
)
x
(
)
x
Asíntotas horizontales: lim f ( x ) = lim 2 + x 2 e 2 = +∞ , lim f ( x ) =
lim 2 + x 2 e 2 =
0 ⇒ La recta y = 0 es
x →∞
x →∞
x →−∞
x →−∞
asíntota horizontal por la izquierda y como f(x) >0, la curva queda por encima de la asíntota.
f (x)
= lim 2 + x 2 e 2 : x = +∞ ⇒ no tiene asíntotas oblicuas.
x →∞ x
x →∞
(
Asíntotas oblicuas: lim
)
x
f) Asíntotas verticales: no tiene porque D (f) = .
x2 + 1
x2 + 1
= +∞ lim f ( x )= lim
= 0 ⇒ , La recta y = 0 es asíntota
x
x →−∞
x →−∞ e
x →∞
x →∞ e x
horizontal por la derecha y como f(x) >0, la curva queda por encima de la asíntota.
Asíntotas horizontales: lim f ( x ) = lim
Asíntotas oblicuas:
f (x)
=
x →−∞ x
 x2 + 1 
lim  x : x = 0 ⇒ no tiene asíntotas oblicuas.
x →−∞
 e

lim
3

g) Asíntotas verticales: no tiene porque D (=
f )  , +∞  .
2

Asíntotas horizontales: lim ln ( 2 x − 3 ) = +∞ ⇒ .No tiene asíntotas horizontales.
x →+∞
Asíntotas oblicuas: lim
x →∞
f (x)
=
x
lim
x →+∞
ln ( 2 x − 3 )
= 0 ⇒ .No tiene asíntotas oblicuas.
x
h) Asíntotas verticales: no tiene porque D ( f ) =
( −1, +∞ )
Asíntotas horizontales: lim ln x + 1 = +∞ ⇒ No tiene asíntotas horizontales.
x →+∞
f (x)
=
x →∞ x
Asíntotas oblicuas: lim
lim
x →+∞
ln x + 1
= 0 ⇒ No tiene asíntotas oblicuas.
x
52. Estudia las asíntotas y su posición respecto de la curva, en las siguientes funciones.
a) f ( x ) = 2 x − 3 + x x − 1
c) f ( x ) =
1
b) f ( x ) =
x
i)
−x 2 − x + 3



a) f ( x )=  x 2 − 3x + 3

 2
x + x −3


si
x +2
x+2
x
f (x) =
x +1
x <1
si 1 ≤ x ≤
3
<x
2
si
3
2
Asíntotas verticales: D ( f ) = 
Asíntotas horizontales: lim f ( x ) = lim − x 2 − x + 3 = −∞
x →−∞
x →−∞
lim f ( x ) = lim x 2 + x − 3 = +∞ ⇒ no tiene asíntotas
x →+∞
x →+∞
horizontales.
Asíntotas oblicuas: lim
x →−∞
oblicuas.
30
−x2 − x + 3
f (x)
= lim
= +∞
x
→−∞
x
x
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
lim
x →+∞
f (x)
x2 + x − 3
= lim
= +∞ ⇒ no tiene asíntotas
x
→+∞
x
x
 1
−


b) f ( x ) =  x
 1

 x
si
x<0
si
x >0
1
= +∞
x
Asíntotas verticales: lim f ( x ) = lim −
x →0
−
x →0
−
Asíntotas horizontales: lim f ( x ) = lim −
x →−∞
x →−∞
1
=0
x
1
= +∞ ⇒ x = 0
x
lim f ( x ) = lim −
x →0
+
x →0
+
lim f ( x ) = lim
x →+∞
x →+∞
1
=0 ⇒ y =0
x
Como f(x) >0 en ( −∞,0 ) ∪ ( 0, +∞ ) , la curva queda por encima de la asíntota.
No tiene asíntotas oblicuas porque tiene asíntotas horizontales.
 −x + 2

c) f ( x ) =  x + 2
 1

si
x<0
si
x≥0
Asíntotas verticales: lim f ( x ) =
x →−2−
4
−x + 2
= − = −∞
x+2
0
lim
x →−2−
Asíntotas horizontales: lim f ( x ) =lim
x →−∞
x →−∞
lim f ( x ) =
x →−2+
−x + 2
=
−1 ⇒ y =
−1
x+2
lim
x →−2+
4
−x + 2
= + = +∞ ⇒ x = −2
x+2
0
lim f ( x ) =lim 1 =⇒
1 y=
1
x →+∞
x →+∞
La curva queda por debajo de la asíntota por la izquierda.
No tiene asíntotas oblicuas porque tiene asíntotas horizontales.
 x
 x +1

x

d) f ( x ) = −
+1
x

 x
 x +1

si
x < −1
si
−1 < x ≤ 0
si
0<x
Asíntotas verticales: lim f ( x ) = lim
x →−1−
Asíntotas horizontales: lim=
f (x)
x →−∞
x →−1−
−1
x
=
= +∞
x + 1 0−
x
lim= 1
x +1
x →−∞
lim f ( x ) = lim
x →−1+
lim=
f (x)
x →+∞
x →−1+
−x
1
=
= +∞ ⇒ x = −1
x + 1 0+
x
lim= =
1 ⇒ y 1 es la asíntota horizontal.
x +1
x →+∞
La curva queda por encima de la asíntota por la izquierda y por debajo por la derecha.
No tiene asíntotas oblicuas porque tiene asíntotas horizontales.
Representación de funciones | Unidad 7
31
Esquema general del estudio de una función
53. La función y = f(x) de la figura tiene como dominio el conjunto de todos los números reales.
a) Determina los puntos donde la función vale 0. Determina los valores de x para los que la función es positiva.
b) Di en qué puntos se anula la derivada y en qué puntos f´(x) < 0.
c) Halla la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = 2.
d) Halla la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = -1.
e) Determina a sabiendo que f(x) = a(x + 1)(x – 2)2.
a) En x = –1 y en x = 2, la función vale cero: f(–1) = f(2) = 0. La función es positiva en (− ∞, − 1) .
b) La derivada se anula en los puntos con tangente horizontal, x = 0 y x = 2: f=
' (0)
f=
' ( 2)
0 . La derivada es
negativa si la función decrece, es decir, en ( −∞,0 ) ∪ ( 2, + ∞ ) .
c) En x = 2, la tangente es horizontal y pasa por el punto A(2, f(2)) = A(2, 0). La recta tangente es y = 0.
d) En x = –1, la pendiente de la recta tangente es -3 y como la ordenada en el origen es - 3, la ecuación de la
tangente es y = –3x – 3.
e) Como en la gráfica no se aprecia con exactitud la ordenada de los puntos utilizaremos la derivada en x = –1.
f'(x) = a ((x – 2)2 +2(x + 1)(x – 2)). Como f ′(–1) = –3, entonces: –3 = f '(–1) = 9a, de donde a = −
54. Representa una función que cumpla lo siguiente.
• Las rectas x = –2, x = 4 e y = –2 son sus únicas asíntotas.
• Su derivada no se anula nunca y es negativa en todos los puntos en que está definida.
a) ¿Cuántas veces se anula una función con esas propiedades?
b) ¿Puede la derivada segunda no anularse nunca?
a) La función se anula una sola vez, entre x = –2 y x = 4 y también puede anularse en ( 4, +∞ ) .
b) La derivada segunda se anula una vez, entre x = –2 y x = 4.
Funciones polinómicas
55. Se considera la función f(x) = 2x3 – 21x2 + 60x – 32.
a)
Halla sus máximos y mínimos.
b) Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
a) Estudiamos en qué puntos se anula la derivada f ´( x ) = 6 x 2 − 42 x + 60 = 0 ⇒ x = 2, x = 5.
f ´( x )
f (x)
−∞
+
2

−
5

+

La función tiene un máximo relativo en (2, 208) y un mínimo relativo en (5, 100).
b) La función es creciente en ( −∞,2 ) ∪ ( 5, +∞ ) y decrece en (2, 5).
32
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
+∞
1
.
3
56. Se considera la función f(x) = 8x3 – 84x2 + 240x.
a)
Determina su crecimiento y sus extremos relativos.
b) Determinar su curvatura y sus puntos de inflexión.
c)
Representa gráficamente.
a)
Estudiamos en qué puntos se anula la derivada f ´( x ) = 24 x 2 − 168 x + 240 = 0 ⇒ x = 2, x = 5
f ´( x )
f (x)
2
−∞
+

−
5

+∞
+

La función tiene un máximo relativo en (2, 60) y un mínimo relativo en (5, –21) y es creciente en
( −∞,2 ) ∪ ( 5, +∞ ) y decreciente en (2, 5).
b) Estudiamos en qué puntos se anula la segunda derivada f ´´( x ) = 48 x − 168 = 0 ⇒ x =
−∞
7
2
7
.
2
+∞
f ´´( x )
−
+
f (x)
∩
∪
7

7

La función es cóncava hacia abajo en  −∞,  y cóncava hacia arriba en  , + ∞  .
2

2

7


El punto C  , 154  es un punto de inflexión.
2

c)
Representación de funciones | Unidad 7
33
 2x + 2
57. Dada la función f ( x ) =  2
 x − 3x + 2
si
si
x≤0
:
x>0
a) Dibuja su gráfica.
b) Estudia su continuidad.
c) Determina sus extremos relativos.
a) El primer tramo es una semirrecta creciente que pasa por los puntos A(–1, 0) y B(0, 2).
El segundo tramo corresponde a una parábola cóncava hacia arriba, que corta al eje X en los puntos C(1, 0) y
D(2, 0).
3 1
Su vértice es el punto V  , −  .
2 4
Además, lim f ( x ) = lim ( x 2 − 3 x + 2) = 2 .
x →0 +
x →0 +
b) Observando la gráfica podemos asegurar que la función es continua. Como intervienen una semirrecta y un
trozo de parábola, solo queda estudiar qué ocurre en el punto de solapamiento, x = 0.

f (0) = 2


x ) lim 2 x +=
lim f (=
2 2  ⇒ f es continua en x = 0 y por tanto es continua en todo .
x →0−
x →0−

+ 2 2
lim f=
( x ) lim+ x 2 − 3 x=

x →0+
x →0
c) Tiene dos extremos relativos, un máximo relativo en el punto de solapamiento B(0, 2) y un mínimo relativo en
3 1
el vértice de la parábola V  , −  .
2 4
58. *Dada la función f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x − 5 :
a)
Traza su gráfica estudiando previamente el crecimiento y la existencia de extremos relativos.
b) ¿Hay puntos de corte con los ejes de coordenadas?
a)
Estudiamos en qué puntos se anula la derivada f ´( x ) = 3 x 2 − 6 x − 9 =
0⇒x =
−1, x =
3:
f ´( x )
−∞
f (x)
+
-1

−
3

+∞
+

La función tiene un máximo relativo en A(–1, 0) y un mínimo relativo en B(3, –32) y es creciente en
( −∞, −1) ∪ ( 3, +∞ ) y decreciente en (–1, 3)
b) Eje X: f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x − 5 = 0 ⇒ x = −1, x = 5 ⇒ A ( −1,0 ) , B ( 5,0 )
Eje Y: C ( 0, f ( 0 )=
)
34
( 0, −5 )
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
59. Dada la función f ( x ) =x 4 + 4 x 3 − 2 x 2 − 12 x + 9 :
a)
Traza su gráfica estudiando previamente sus puntos de corte con los ejes, su signo, el crecimiento y la
existencia de extremos relativos.
b)
¿Cuántos puntos de inflexión tiene la función?
a)
Eje X: f ( x ) = x 4 + 4 x 3 − 2 x 2 − 12 x + 9 =0 ⇒ x =−3, x =
1 ⇒ A ( −3,0 ) , B (1,0 )
Eje Y: C ( 0, f ( 0 ) ) = ( 0,9 )
f (x)
–3
−∞
1
+
+
+∞
+
Así, f es positiva en su dominio.
f ´( x ) = 4 x 3 + 12 x 2 − 4 x − 12 = 0 ⇒ x =
−3, x = −1, x =
1
–3
−∞
–1
f ´( x )
−
+
−
f (x)



1
+∞
+

Así, f ( x ) crece en ( −3, −1) ∪ (1, +∞ ) , decrece en ( −∞, −3 ) ∪ ( −1,1) , ( −1,16 ) es el
máximo relativo y (1,0 ) y ( −3,0 ) son los mínimos relativos.
b) Puntos de inflexión y concavidad:
f ´´( x )= 12 x 2 + 24 x − 4= 0 ⇒ x =
 −3 + 2 3 64 
2 3
2 3
− 1, x =
−
−1 y P 
, 

3
9 
3
3

 −3 − 2 3 64 
y Q
, 

3
9 

son los
puntos de inflexión.
0
−
f ´´( x )
+
f (x)
∪
2 3
−1
3
2 3
−1
3
+∞
−
+
∩
∪
Funciones racionales
60. Dada la función f ( x ) =
a)
x
.
x +1
Calcula el dominio y asíntotas.
b) Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c)
Haz su representación gráfica aproximada.
a) Dominio: D ( f ) =  − {−1}
x
−1
x
−1
=
= +∞, lim f ( x ) = lim
= + = −∞ ⇒ x = −1
x + 1 0−
x →−1+
x →−1+ x + 1
0
x
x
Asíntotas horizontales: lim=
lim= 1, lim=
lim= =
1⇒ y 1
f (x)
f (x)
x →−∞
x →−∞ x + 1
x →+∞
x →+∞ x + 1
1
b) Como
f ´( x )
> 0 ⇒ f es creciente en su dominio.
=
( x + 1)2
c) Con los datos anteriores esbozamos la gráfica:
Asíntotas verticales: lim f ( x ) =
x →−1−
lim
x →−1−
Representación de funciones | Unidad 7
35
61. Estudia y representa la función f ( x ) =
x2
( x − 2)2
.
1.º Dominio: x − 2 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ D ( f ) =  − {2}
x2
4.º Puntos de corte con los ejes: Eje X:
( x − 2 )2
5.º Asíntotas verticales: lim f ( x ) = lim
x → 2−
x2
x → 2−
( x − 2)
Asíntotas horizontales: lim f ( x ) = lim
x →−∞
x →−∞
f ´( x )
=
6.º Puntos singulares y crecimiento:
f ´( x )
f (x)
−∞
−
=0 ⇒ x =0
0

2
=
Eje Y: A ( 0, f ( 0 ) ) = ( 0,0 ) . El signo de f es positivo.
4
x2
4
= +∞, lim f ( x ) = lim
= + = +∞ ⇒ x = 2
+
2
x → 2+
x → 2+ ( x − 2 )
0
0
x2
=1, lim f ( x ) lim
( x − 2 )2
x →+∞
−4 x
( x − 2 )3
x →+∞
x2
( x − 2 )2
=1 ⇒ y =1
=
=0⇒x 0
+
2

+∞
−

La función es decreciente en ( −∞,0 ) ∪ ( 2, + ∞ ) y creciente en (0, 2). Tiene un mínimo relativo en A(0, 0).
8x + 8
=0⇒x =
−1
7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´( x ) =
( x − 2 )4
-1
2
−∞
+
−
f ´´( x )
f (x)
∩
∪
+∞
+
∪
La función es cóncava hacia abajo en (− ∞, − 1) y cóncava hacia arriba en ( −1, 2) ∪ (2, + ∞ ) .
1

El punto A(–1, f(–1)) =  −1,  es un punto de inflexión.
9

36
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
62. Dada la función f ( x ) =
x
.
x2 − 4
a) Dominio de la función, puntos de corte con los ejes y simetrías.
b) Asíntotas y regiones de existencia de la gráfica.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Extremos relativos.
e) Representación gráfica aproximada.
a) Dominio: x 2 − 4 =0 ⇒ x =2, x =−2 ⇒ D ( f ) = − {2, −2} .
Puntos de corte con los ejes: Eje X:
x
=0 ⇒ x =0
x2 − 4
Eje Y: A ( 0, f ( 0 ) ) = A ( 0,0 )
−x
x
Simetría: f ( − x ) = 2
=
− 2
=
−f ( x ) es simétrica respecto del origen de coordenadas.
x
−4
( −x ) − 4
b) Asíntotas verticales: lim f ( x ) =
x →−2−
lim f ( x ) = lim
x → 2−
x → 2−
lim
x →−2−
x →−∞
y
lim
x →−2+
x
−2
=
= +∞ ⇒ x = −2
x 2 − 4 0−
x
2
x
2
=
= −∞, lim f ( x ) = lim 2
= + = +∞ ⇒ x = 2
x → 2+
x → 2+ x − 4
x 2 − 4 0−
0
=
f (x)
Asíntotas horizontales: lim
c) Crecimiento
x
−2
=
= −∞, lim f ( x ) =
x →−2+
x 2 − 4 0+
x
lim=
0, lim
=
f (x)
x →+∞
x2 − 4
x →−∞
=
f ´( x )
decrecimiento:
(
− x2 + 4
(x
2
−4
)
) < 0 ⇒ la
2
x
lim=
0⇒y 0
=
x2 − 4
x →+∞
función
es
decreciente en su dominio.
d) La función no tiene extremos relativos.
e) Con lo anterior podemos esbozar la gráfica de la función.
x2 + 4x + 4
. Halla el dominio de definición, los puntos de corte con los ejes,
x2 + 1
las asíntotas, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos. Esboza la gráfica.
63. Considera la función f ( x ) =
Dominio: D ( f ) = 
Puntos de corte con los ejes: Eje X:
x 2 + 4x + 4
=0 ⇒ x =−2 ⇒ A ( −2,0 )
x2 + 1
Eje Y: B ( 0, f ( 0 ) ) = B ( 0, 4 )
Asíntotas verticales: no tiene porque su dominio son todos los números reales.
=
lim f ( x )
Asíntotas horizontales:
x →−∞
x 2 + 4x + 4
=
lim=
1, lim f ( x )
x →−∞
x →+∞
x2 + 1
x 2 + 4x + 4
=
lim=
1⇒ y 1
x →+∞
x2 + 1
−4 x 2 − 6 x + 4
1
=0⇒x =
−2, x = , estudiando el signo de la derivada
Crecimiento y decrecimiento: f ´( x ) =
2
2
2
x +1
(
)
1

1
obtenemos que la función es decreciente en (− ∞, − 2) ∪  , + ∞  y creciente en (–2,
). Tiene un mínimo relativo
2
2


 1  1 
1 
(que es absoluto) en el punto A(–2, 0) y un máximo relativo (que también es absoluto) en C  , f    =  ,5  .
2 
 2  2 
Representación de funciones | Unidad 7
37
x4 + 3
.
x
64. Dada la función f ( x ) =
a)
Halla, si existen, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de f.
b) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f.
c)
Estudia su curvatura y sus puntos de inflexión.
a)
Puntos de corte con los ejes: Eje X:
x4 + 3
= 0 ⇒ no tiene solución.
x
Asíntotas verticales: lim f ( x ) = lim
x →0
−
x →0
−
Eje Y: 0 ∉ D ( f ) .No corta a los ejes.
x4 + 3
3
x4 + 3
3
= − = −∞, lim f ( x ) = lim
= + = +∞ ⇒ x = 0
+
+
x
x
x →0
x →0
0
0
Asíntotas horizontales: no tiene porque el grado del numerador es mayor que el denominador.
f (x)
f (x)
x4 + 3
x4 + 3
= lim
: x = +∞, lim
= lim
: x = +∞ ⇒ No tiene.
x →−∞ x
x →−∞
x →+∞ x
x →+∞
x
x
Asíntotas oblicuas: lim
3x 4 − 3
−1, x =
1
b) Crecimiento y decrecimiento: f ´( x ) = 2 = 0 ⇒ x =
x
−∞
f ´( x )
+
f (x)

-1
0
−
−


La función es creciente en ( −∞, − 1) ∪ (1, + ∞ ) y decreciente en
punto A(1, 4) y un máximo relativo en B(-1, -4).
c)
6x 4 + 6
= 0 ⇒ La función es cóncava hacía abajo en
x3
( 0, +∞ ) . No tiene puntos de inflexión.
+

( −1,0 ) ∪ ( 0,1) .
f ´´( x )
=
Curvatura:
+∞
1
Tiene un mínimo relativo en el
( −∞,0 )
y cóncava hacía arriba en
65. Estudia y representa las siguientes funciones.
a) f ( x ) =
3x − 1
x+4
b) f ( x ) =
5x
x2 + 1
c) f ( x ) =
5x3
x 2 − 25
a) 1.º Dominio y continuidad: x + 4 =0 ⇒ x =−4 ⇒ D ( f ) = − {−4}
3x − 1
1
1 
= 0 ⇒ x = ⇒ A  ,0  ; Eje Y:
3
x+4
3 
1

1

Además, f < 0 si x ∈  −4,  y f > 0 si x ∈ ( −∞, −4 ) ∪  , +∞ 
3

3

4.º Puntos de corte con los ejes y signo: Eje X:
5.º Asíntotas: Asíntotas verticales: lim f ( x ) =
x →−4−
Asíntotas horizontales=
lim f ( x )
x →−∞
lim
x →−4−
3x − 1
= +∞ y
x+4
lim f ( x ) =
x →−4+
lim
x →−4+
3x − 1
= −∞ ⇒ x = −4
x+4
3x − 1
3x − 1
lim
3 , lim f ( x ) = lim
=
=3 ⇒ y =3
x
→+∞
x
→+∞
x+4
x+4
13
( x + 4 )2
> 0 ⇒ f es creciente, no tiene puntos críticos ni máximos
ni mínimos relativos.
f ´´( x )
7.º Puntos de inflexión y concavidad:=
−26
( x + 4 )3
⇒ es cóncava hacia arriba en
y cóncava hacia abajo en ( −4, +∞ ) .
8.º Con la información encontrada se puede trazar la gráfica de la función:
38
1

 0, − 
4


x →−∞
f ´( x )
6.º Puntos singulares y crecimiento: =
( −∞, −4 )
))
( 0, f ( 0=
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
b) 1.º Dominio: D(f) = 
5 ( −x )
−5 x
2.º Simetría. f ( − x ) = 2
=
− 2
=
−f ( x ) ⇒ f es simétrica respecto del origen de coordenadas.
x +1
( −x ) + 1
4.º Puntos de corte con los ejes y signo:
Eje X:
5x
=0 ⇒ x =0
x2 + 1
Eje Y: x =
0 ⇒ f (0) =
0. El único punto de corte es el O ( 0,0 ) y f < 0 si x < 0 y f > 0 si x > 0.
5.º Asíntotas verticales: no tiene porque el dominio son todos los números reales.
Asíntotas horizontales: =
lim f ( x )
x →−∞
5x
5x
=
lim 2
0 , lim f ( x ) = lim 2
=0 ⇒ y =0
x →+∞
x →+∞ x + 1
x +1
x →−∞
=
f ´( x )
6.º Puntos singulares y crecimiento:
f ´( x )
−∞
−
f (x)
−5 x 2 + 5
(x
2
)
+1
-1
2
= 0 ⇒ x = −1, x = 1
1
+

+∞
−


 5
Así, f ( x ) crece en ( −1,1) , decrece en ( −∞, −1) ∪ (1, +∞ ) , presenta máximos relativos en A  1,  y un mínimo
 2
5

relativo en B  −1, −  .
2

10 x 3 − 30 x
=0⇒x =
0, x =
− 3, x = 3
7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´( x ) =
3
x2 + 1
(
−∞
)
0
− 3
+∞
3
f ´´( x )
−
+
−
+
f (x)
∩
∪
∩
∪

5 3
En la tabla se da el resultado y se deduce que los puntos C  − 3, −

4

puntos de inflexión.


5 3
 , O ( 0,0 ) y D  3,
 son
4 


8.º Con la información encontrada se puede trazar la gráfica de la función:
Representación de funciones | Unidad 7
39
c)
1.º Dominio: x 2 − 25 ⇒ x =−5, x =5 ⇒ D ( f ) = − {−5,5} .
3
5 ( −x )
5x3
2.º Simetría. f ( − x ) = 2
=
− 2
=
−f ( x ) ⇒ f simétrica respecto del origen de coordenadas.
x − 25
( − x ) − 25
4.º Puntos de corte con los ejes y signo:
5x3
=0 ⇒ x =0
Eje Y: O ( 0, f ( 0 ) ) = ( 0,0 ) . El signo de f cambia en las raíces del numerador y del
x 2 − 25
denominador y se muestra en la tabla.
Eje X:
–5
−∞
f (x)
5
0
+
−
+∞
+
−
5.º Asíntotas:
Asíntotas verticales: lim
x →−5−
lim
x →5
−
5x3
−625
5x3
−625
=
=
−∞
lim
=
= +∞ ⇒ x = −5
,
+
2
2
+
x →−5 x − 25
x − 25
0
0−
5x3
625
5x3
625
=
= −∞ , lim 2
=
= +∞ ⇒ x = 5
−
+
x →5 x − 25
x − 25
0
0+
2
Asíntotas horizontales: no tiene, ya que el grado del numerador es superior al del denominador.
f (x)
=
lim
x →+∞ x

 5x3

5x3
lim  2=
: x  lim =
5

3
x →+∞ x − 25
x →+∞ x − 25 x



5x
⇒y =
3
 5x

 125 x 
=
−=
n lim ( f ( x ) −=
mx ) lim  2
5 x  lim  2 =
0


x →+∞
x →+∞ x − 25

 x →+∞  x − 25 

=
m
Asíntotas oblicuas:
5 x 4 − 375 x 2
=0⇒x =
0, x =
−5 3, x =
5 3
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) =
2
x 2 − 25
(
−∞
)
−5
−5 3
5
0
f ´( x )
+
−
−
−
−
+
f (x)






Así, f ( x ) crece en
( −∞, −5 3 ) ∪ (5

75 3
relativos en  −5 3, −

2

)
3, +∞ , decrece en
( −5


75 3
 y un mínimo relativo en  5 3,
2


=
f ´´( x )
7.º Puntos de inflexión y concavidad:
−∞
)
(
)
3, −5 ∪ ( −5,5 ) ∪ 5,5 3 , presenta máximos



250 x 3 + 18750 x
=
=0⇒x 0
3
x 2 − 25
(
)
−5
+∞
5
0
f ´´( x )
−
+
−
+
f (x)
∩
∪
∩
∪
En la tabla se da el resultado y se deduce que el punto ( 0,0 ) es un punto de inflexión.
8.º Con la información encontrada se puede trazar la gráfica de la función:
40
+∞
5 3
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
Funciones irracionales
66. Estudia y representa las siguientes funciones.
)
a) f ( x=
)
b) f ( x=
1− x
x −1
Una vez que las hayas representado analiza las similitudes y diferencias que observes en ambas gráficas.
a) 1.º Dominio y continuidad: El radicando no puede ser negativo 1 − x ≥ 0 ⇒ D ( f ) =
( −∞,1] .
Es continua en su
dominio.
4.º Puntos de corte con los ejes y signo: Eje X: 1 − x = 0 ⇒ x =1 ⇒ A (1,0 ) , Eje Y: B ( 0, f ( 0 ) ) = B ( 0,1)
La función f es siempre positiva salvo en el punto A.
5.º Asíntotas
Asíntotas verticales: No tiene al no haber puntos en el dominio en el que la función tienda a ±∞.
Asíntotas Horizontales: no tiene, ya que los límites en –∞ es igual a +∞.
Asíntotas oblicuas: m=
lim
x →−∞
f (x)
=
x
lim
x →−∞
1− x
= 0 ⇒ no tiene asíntotas oblicuas.
x
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) =
lo que no hay extremos relativos.
−1
< 0 ⇒ f es decreciente y como no se anula en D ( f ) , por
2 −x + 1
7.º Puntos de inflexión y =
concavidad: f ´´( x )
1
( 4x − 4)
−x + 1
< 0 ⇒ f en su dominio es cóncava hacia abajo en
su dominio.
b) 1.º Dominio y continuidad: El radicando no puede ser negativo x − 1 ≥ 0 ⇒ D ( f =
)
[1, +∞ ) .
Es continua en su
dominio.
4.º Puntos de corte con los ejes y signo Eje X: x − 1 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ A (1,0 ) ,Eje Y: 0 ∉ D ( f ) no corta al eje y
La función f es siempre positiva salvo en el punto A.
5.º Asíntotas
Asíntotas verticales: No tiene al no haber puntos en el dominio en el que la función tienda a ±∞ .
Asíntotas Horizontales: no tiene, ya que los límites en +∞ es igual a +∞ .
Asíntotas oblicuas: m=
lim
x →+∞
f (x)
=
x
lim
x →+∞
x −1
= 0 ⇒ no tiene asíntotas oblicuas.
x
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) =
que no hay extremos relativos.
=
f ´´( x )
7.º Puntos de inflexión y concavidad:
1
2 x −1
> 0 ⇒ f es creciente y como no se anula en D ( f ) por lo
−1
( 4x − 4) x − 1
< 0 ⇒ f en su dominio es cóncava hacia abajo en
su dominio.
Si dibujamos las dos gráficas en los mismos ejes observamos que ambas son simétricas respecto del eje x = 1.
Representación de funciones | Unidad 7
41
1
. Para ello, determina primero el dominio, los puntos de corte
1− x
con los ejes, las asíntotas, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos.
67. Traza la gráfica de la función f ( x ) =
1.º Dominio: El radicando no puede ser negativo 1 − x > 0 ⇒ D ( f ) =
( −∞,1) .
4.º Puntos de corte con los ejes y signo: La función f es siempre positiva en su dominio.
Eje X:
1
1− x
= 0 ⇒ no tiene solución. Eje Y: A (0, f ( 0 ))= A (0, 1)
5.º Asíntotas. Asíntotas verticales:
Asíntotas horizontales: lim
x →−∞
1
 1
=  +  = +∞ ⇒ x = 1 .
1− x  0 
lim f ( x ) = lim
−
x →1
1
1− x
−
x →1
=0 ⇒ y =0
No tiene asíntota oblicua.
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) =
−1
( 2x − 2)
x −1
> 0 ⇒ f es creciente en su dominio y no tiene extremos
relativos.
68. Dada la función f ( x ) =
x2 − 4x + 8 :
a) Dibuja su gráfica tras estudiar su dominio, los puntos de corte con los ejes, los intervalos de crecimiento y
decrecimiento y los extremos relativos.
b) De acuerdo con la gráfica, señala los intervalos de concavidad de la función.
a) Dominio: como x 2 − 4 x + 8 > 0 ⇒ D ( f ) =
.
Puntos de corte con los ejes y signo: La función f es siempre positiva en su dominio
Eje X:
(
x 2 − 4 x + 8 = 0 ⇒ no tiene solución. Eje Y: A ( 0, f ( 0 ) ) = A 0,2 2
Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) =
x −2
2
x − 4x + 8
B ( 2, 2) es un mínimo absoluto de la función.
b) La función es cóncava hacia arriba.
42
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
)
⇒ f es creciente si x > 2 y decreciente si x < 2 y el punto
69. Dada la función f ( x=
) 1 − x 2 , estudia su dominio, los puntos de corte con los ejes, las asíntotas y los
extremos relativos. Con los datos obtenidos, represéntala gráficamente e interprétala desde el punto de
vista geométrico.
Dominio: El radicando no puede ser negativo 1 − x 2 ≥ 0 ⇒ D ( f ) =[ −1,1].
Puntos de corte con los ejes: Eje X:
1− x 2 =
0⇒x =
−1, x =⇒
1 B ( −1,0 ) ,C (1,0 )
Eje Y: A ( 0, f ( 0 ) ) = A ( 0,1)
Asíntotas: Asíntotas verticales: No tiene al no haber puntos en el dominio en el que la función tienda a ±∞.
Asíntotas horizontales y oblicuas: no tiene, ya que D ( f ) =
Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) =
f ´( x )
−1
f (x)
0
−x
1− x 2
+
−


[ −1,1].
= 0⇒x =0
Así, f ( x ) crece en ( −1,0 ) , decrece en ( 0,1) y tiene un máximo relativo en el punto A ( 0,1) y mínimos absolutos
en ( −1,0 ) y en (1,0 ) .
Observamos que la gráfica corresponde con la semicircunferencia de centro el origen y radio 1.
Funciones trigonométricas y sus inversas
70. Esboza la gráfica de las siguientes funciones:
a) f ( x ) = 3 cos ( 2 x )
b) f=
( x ) senx + cos x
a) 1.º Dominio y continuidad: D ( f ) = , la función es continua en su dominio
) 3 cos ( 2 ( − x ) =
2.º Simetría. f ( − x =
) 3 cos ( 2x =) f ( x ) ⇒ f tiene simetría par.
3.º Periodicidad: f ( x +=
π ) 3 cos ( 2 ( x + =
π ) ) 3 cos ( 2 x + 2=
π ) 3 cos ( 2=
x ) f ( x ) ⇒ f es una función periódica
con período π. Por tanto sólo es necesario realizar el estudio en el intervalo [0, π] y generalizar los resultados a
.
4.º Puntos de corte con los ejes y signo: Eje X: 3 cos ( 2 x ) = 0 ⇒ x =
π
3π  π   3π 
,x =
, A  ,0  , B 
,0 
4
4
4   4 
 π   3π 
 π 3π 
, π  y f < 0 si x ∈  , 
Eje Y: C ( 0, f ( 0 ) ) = C ( 0,3 ) , f > 0 si x ∈  0,  ∪ 
4
4

 

4 4 
6.º Puntos singulares y crecimiento f ´( x ) = −6sen ( 2 x ) = 0 ⇒ x = 0, x =
π 
π
, x = π ⇒ f crece en  , π  y decrece
2
2 
π

 π
en  0,  . El punto  , −3  es su mínimo relativo y absoluto y ( 0,3 ) y ( π,3 ) son sus máximos relativos y
2
2




absolutos.
π
3π
7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´( x ) = −12 cos ( 2 x ) = 0 ⇒ x = , x =
⇒ es cóncava hacia arriba en
4
4
 π 3π 
 π   3π 
π
3π
, π  cóncava hacia abajo y los puntos de inflexión son A  ,0  , B  ,0  .
 ,
 y en  0,  ∪ 
4 4 
 4  4 
4   4 
Representación de funciones | Unidad 7
43
b) 1.º Dominio y continuidad: D ( f ) = , la función es continua en su dominio.
 f (x)
2.º Simetría. f ( − x ) =
sen ( − x ) + cos ( − x ) =
−sen ( x ) + cos ( x ) ≠ 
⇒ f no tiene simetría par ni impar.
−f ( x )
) sen ( x + 2π ) + cos ( x + 2π=
3.º Periodicidad: f ( x + 2π=
) sen ( x ) + cos ( x=) f ( x ) ⇒ f es una función periódica
con período 2 π . Por tanto sólo es necesario realizar el estudio en el intervalo
[0,2π]
y generalizar los
resultados a 
4.º Puntos de corte con los ejes y signo: Eje X: senx + cos x = 0 ⇒ x =
3π
7π  3π   7π 
,x =
,A
,0  , B 
,0 
4
4
 4   4 
 3π   7π

 3π 7π 
,2π  y f < 0 si x ∈  , 
Eje Y: C ( 0, f ( 0 ) ) = C ( 0,1) , f > 0 si x ∈  0,
∪
 4   4

 4 4 
6.º Puntos singulares y crecimiento f ´( x ) = −senx + cos x = 0 ⇒ x =
 π   5π

π
5π
,2π  y
,x =
⇒ f crece en  0,  ∪ 
4
4
 4  4

π

 π 5π 
 5π

, − 2  es su mínimo relativo y
decrece en  ,  . El punto  , 2  es su máximo relativo y absoluto y 
4 4 
4

 4

absoluto.
3π
7π
7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´( x ) =
−senx − cosx = 0 ⇒ x =
,x =
⇒ es cóncava hacia abajo en
4
4
 3π   7π

 3π 7π 
 3π   7π 
,2π  y en 
,
 0,
∪
 cóncava hacia arriba y los puntos de inflexión son: A  ,0  , B  ,0  .
 4   4

 4 4 
 4   4 
 senx
71. Halla las asíntotas y esboza la gráfica de la función f ( x ) =  x
 0
si
x ≠0
si
x =0
.
El dominio de la función son todos los números reales.
Asíntotas verticales: lim
x →0
senx
= 1 ⇒ Tiene una discontinuidad evitable en x = 0.
x
senx
senx
= 0, lim
= 0 ⇒ y = 0 es la asíntota horizontal a la izquierda y a la derecha,
x →+∞
x
x
además la corta en los puntos de la forma k π, k ∈ .
Asíntotas horizontales: lim
x →−∞
44
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
cos x
, estudia su periodicidad, cortes con los ejes, asíntotas verticales y
1 − cos x
extremos relativos. Represéntala.
72. Dada la función f ( x ) =
Dominio: D ( f ) =  − {2k π : k ∈ }
Periodicidad: f ( x + 2=
π)
cos ( x + 2π )
cos x
=
= f ( x ) ⇒ f es una función periódica con periodo 2 π . Por tanto
1 − cos ( x + 2π ) 1 − cos x
sólo es necesario realizar el estudio en el intervalo [ −π, π] y generalizar los resultados a .
Cortes con los ejes: Eje X:
cos x
−π
π
 −π   π 
,x = ⇒ A
,0  , B  ,0  . Eje Y: 0 ∉ D ( f ) luego no corta al eje
=0 ⇒ x =
1 − cos x
2
2
 2  2 
de ordenadas.
Asíntotas verticales: lim
−
x →0
cos x
cos x
= +∞, lim
= +∞ ⇒ x = 2k π, k ∈  son las asíntotas verticales.
+
1 − cos x
x →0 1 − cos x
Crecimiento y decrecimiento: f ´( x ) =
−senx
( cos x − 1)2
⇒ x = −π, x = π ⇒ f
crece en
( −π,0 ) y
1 
1

decrece en ( 0, π ) y  −π, −  ,  π, −  son mínimos de la función.
2 
2

Funciones exponenciales
73. Realiza el estudio completo de las siguientes funciones y esboza sus gráficas:
)
a) f ( x =
(1 − x ) e − x
c) f ( x ) = e − x
b) f ( x ) = x 2e x
2
+x
a) 1.º Dominio y continuidad: D ( f ) =  . Es continua en su dominio.
2.º Simetría. f ( − x ) =
f x
(1 − ( − x ) ) e −( − x ) = (1 + x ) e x ≠ −f(( x)) ⇒ f

no tiene simetría respecto del origen de
coordenadas ni respecto del eje de ordenadas.
4.º Puntos de corte con los ejes y signo:
Eje X: (1 − x ) e − x =0 ⇒ x =1 ⇒ A (1,0 ) Eje Y: B ( 0, f ( 0 ) ) = B ( 0,1) . Además, f > 0 si x < 1 y f < 0 si x > 1.
5.º Asíntotas: Asíntotas verticales: No tiene ya que su dominio son todos los números reales.
Asíntotas horizontales:.
∞e ∞ =
∞ 
lim f ( x ) =
lim (1 − x ) e − x =
x →−∞
0 es la asíntota horizontal en +∞.
⇒y =
−
−∞
x
lim f ( x ) = lim (1 − x ) e = −∞e = 0 

x →+∞
x →+∞
x →−∞
f (x)
(1 − x ) e − x = e +∞ = +∞ ⇒ no tiene asíntota.
= lim
x →−∞ x
x →+∞
x
Asíntotas oblicuas: m = lim
6.º Puntos singulares y crecimiento:
=
f ´( x )
x −2
= 0 ⇒ x = 2 ⇒ f decrece si x < 2 y
ex
 −1 
crece si x > 2. El punto C  2, 2  es un mínimo absoluto.
 e 
7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´( x ) =
−x + 3
= 0 ⇒ x = 3 ⇒ f es cóncava hacia arriba si x < 3 y cóncava
ex
 −2 
hacia abajo si x > 3 y el punto D  3, 3  es un punto de inflexión.
 e 
Representación de funciones | Unidad 7
45
b) 1.º Dominio y continuidad: D ( f ) =  . Es continua en su dominio.
2
2.º Simetría. f ( − x ) =−
( x ) e − x =x 2e − x ⇒ f no tiene simetría ni par ni impar.
4.º Puntos de corte con los ejes y signo: Eje X: x 2e x = 0 ⇒ x = 0, Eje Y: O ( 0, f ( 0 ) ) = ( 0,0 ) . La función es
positiva en ( −∞,0 ) ∪ ( 0, +∞ ) .
5.º Asíntotas verticales: No tiene ya que su dominio son todos los números reales.
∞
= 0,
e∞
Asíntotas horizontales: lim x 2e x =
x →−∞
f (x)
=
x →∞ x
Asíntotas oblicuas: m = lim
6.º
Puntos
singulares
( −∞, −2 ) ∪ ( 0, +∞ )
en ( 0, 0).
y
lim
x →+∞
lim x 2e x = ∞ ⇒ y = 0 es la asíntota horizontal en −∞.
x →+∞
x 2e x
= ∞ ⇒ no tiene asíntotas oblicuas
x
crecimiento:
(
)
f ´( x ) =x 2 + 2 x e x = 0 ⇒ x =
0, x =
−2 .
Así,
f (x)
crece
en
4 

y decrece en ( −2,0 ) y tiene un máximo relativo en el punto  −2, 2  y un mínimo absoluto
e 

(
)
− 2 − 2, x = 2 − 2 . La función es
7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´( x ) =x 2 + 4 x + 2 e x = 0 ⇒ x =
(
) (
cóncava hacia arriba en −∞, − 2 − 2 ∪
)
(
)
2 − 2, +∞ y es cóncava hacia abajo en − 2 − 2, 2 − 2 .
c) 1.º Dominio y continuidad: D ( f ) =  . Es continua en su dominio.
2
2
− −x −x
2.º Simetría. f ( −=
x ) e ( ) = e − x − x ⇒ f no tiene simetría ni par ni impar.
4.º Puntos de corte con los ejes y signo: Eje X: e − x
2
= 0 ⇒ no tiene solución, Eje Y: A ( 0, f ( 0 ) ) = ( 0,1) . La
+x
función es siempre positiva.
5.º Asíntotas verticales: No tiene ya que su dominio son todos los números reales.
Asíntotas horizontales: lim e − x
x →−∞
2
+x
= 0,
lim e − x
2
+x
x →+∞
= 0 ⇒ y = 0 es la asíntota horizontal en ±∞.
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) = (1 − 2 x ) e − x
2
+x
=0 ⇒ x =
1
1

⇒ . Así, f ( x ) crece en  −∞,  y
2
2

1

1

decrece en  , +∞  y tiene un máximo relativo en el punto  , 4 e  .
2

2

7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´( x )=
( 4x
2


− 2 1  2 1
cóncava hacia arriba en  −∞,
+ ∪
+ , +∞ 




2
2  2
2


46
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
2 1
− 2 1
+ , x=
+ . La función es
2
2
2
2
 − 2 1 2 1
y es cóncava hacia abajo en 
+ ,
+ .
 2
2 2
2 

)
− 4x − 1 e− x
2
+x
=
0 ⇒ x=
74. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos de la función
f ( x ) = x 2e − x .
(
)
Para estudiar el crecimiento de la función resolvemos f ´( x ) = − x 2 + 2 x e − x =0 ⇒ x =0, x =2.
f ´( x )
0
−∞
f (x)
−

2
+

+∞
−

La función es decreciente en ( −∞, 0 ) ∪ ( 2, + ∞ ) y creciente en (0, 2).Tiene un mínimo relativo (que también es
4 

absoluto) en el punto O(0, f(0)) = O(0, 0) y un máximo relativo en el punto A(2, f(2)) = A  2, 2  .
 e 
75. Dibuja la gráfica de la función f ( x ) =
(
2 1− e x
).
Para ello, calcula sus asíntotas, demuestra que es
1+ e
simétrica respecto al origen y siempre decreciente, estudia su concavidad y halla su punto de inflexión.
x
1º Dominio y continuidad: D ( f ) =  . Es continua en su dominio.
1 

ex − 1
2 1− x 
2 1− e− x
1− ex
ex − 1
 e =
ex =
2.º Simetría. f ( − x ) =
2
2
2
=
=
−
=
−f ( x ) ⇒ f
1
1+ e− x
ex + 1
ex + 1
ex + 1
1+ x
e
ex
origen.
(
)
4.º Puntos de corte con los ejes y signo: Eje X: 2
1− ex
= 0 ⇒ ex − 1 = 0 ⇒ x = 0
ex + 1
es simétrica respecto al
Eje Y: A ( 0, f ( 0 ) ) = ( 0,0 )
5.º Asíntotas verticales: No tiene, ya que su dominio son todos los números reales.
Asíntotas horizontales: lim 2
x →−∞
lim 2
x →+∞
1− ex
1 − e −∞
= 2 −∞
= 2 ⇒ y = 2 es la asíntota horizontal en −∞.
x
e +1
e +1
1− ex
1 − e +∞
2
=
=−2 ⇒ y =−2 es la asíntota horizontal en +∞.
ex + 1
e +∞ + 1
f ´( x )
6.º Puntos singulares y crecimiento: =
=
f ´´( x )
7.º Puntos de inflexión y concavidad:
−4e x
(e
x
)
+1
2
< 0 ⇒ f . Así, f ( x ) es decreciente.
4e 2 x − 4e x
(
)
ex + 1
3
= 0 ⇒ x = 0 . Así pues, la función es cóncava hacia abajo
en (− ∞, 0 ) y cóncava hacia arriba en (0, + ∞ ) . Tiene un punto de inflexión en O(0, f(0)) = O(0, 0).
Representación de funciones | Unidad 7
47
Funciones logarítmicas
76. Realiza el estudio completo de las siguientes funciones y esboza sus gráficas:
(
) ln ( x + 1) − 1
a) f ( x =
(
b) =
f ( x ) ln x 2 − 4
d) f (=
x ) ln 1 + x 2
)
)
e) f (=
x ) 2 x 2 − lnx
 1 
c) f ( x ) = ln  2 
x 
 x −1 
d) f ( x ) = ln 

 x+2
a) 1.º Dominio D ( f ) = ( −1, +∞ ) . Es continua en su dominio.
4.º Puntos de corte con los ejes y signo: Eje X: ln ( x + 1) − 1 = 0 ⇒ x = e − 1 ⇒ A ( e − 1,0 )
Eje Y: B ( 0, f (=
0 ) ) B ( 0, −1) . Además, f < 0 si x < e – 1 y f > 0 si x > e – 1
5.º Asíntotas: Asíntotas verticales: lim ln ( x + 1) − 1 = −∞ ⇒ y = −1
x →−1+
Asíntotas horizontales: lim ln ( x + 1) − 1 = +∞ ⇒ No tiene asíntota horizontal en +∞.
x →∞
Asíntotas oblicuas: m=
f (x)
=
x
lim
x →−∞
lim
x →+∞
ln ( x + 1) − 1
= 0 ⇒ no tiene asíntota
x
1
> 0 ⇒ f crece en su dominio.
x +1
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( x=
)
−1
7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´
=
(x)
b) 1.º Dominio y continuidad: D ( f ) =
< 0 ⇒ f es cóncava hacia abajo en su dominio.
( x + 1)2
( −∞, −2 ) ∪ ( 2, +∞ ) . Es continua en su dominio.
(
2
)
2.º Simetría. f ( − x ) = ln(( − x ) − 4) = ln x 2 − 4 = f ( x ) ⇒ f tiene simetría par.
)
(
) (
(
4.º Puntos de corte con los ejes y signo: Eje X: ln x 2 − 4 =
0⇒x =
− 5, x = 5, A − 5,0 , B
(
) (
es positiva en −∞, − 5 ∪
)
(
) (
)
)
5,0 . La función
5, +∞ y negativa en − 5, −2 ∪ 2, 5 .
(
)
(
)
5.º Asíntotas verticales: lim ln x 2 − 4 = −∞ ⇒ x = −2 , lim ln x 2 − 4 = −∞ ⇒ x = 2
x →−2−
(
x → 2+
)
(
)
Asíntotas horizontales: lim ln x 2 − 4 = +∞ y lim ln x 2 − 4 = +∞ no tiene asíntota horizontal.
x →−∞
f (x)
Asíntotas =
oblicuas: =
m lim
x →∞
x
oblicuas.
x →+∞
)
(
ln x 2 − 4
f (x)
=
m
lim =
0, =
lim
x →+∞
x →−∞
x
x
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( x ) =
48
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
)
2x
= 0 ⇒ f decrece en ( −∞, −2 ) y crece en ( 2, +∞ ) .
x −4
f ´´( x )
7.º Puntos de inflexión y concavidad:=
abajo en su domino.
(
ln x 2 − 4
=
lim
0 ⇒ no tiene asíntotas
x →−∞
x
2
−2 x 2 − 8
(x
2
−4
)
2
< 0 ⇒ f es cóncava hacia
c) 1.º Dominio y continuidad: D ( f =
)  − {0}
 1 
 1 
= ln  2 = f ( x ) ⇒ f tiene simetría par.
2.º Simetría. f ( − x )= ln 
 ( − x )2 
x 


 1 
0⇒x =
1, A ( −1,0 ) , B (1,0 ) . La función es
−1, x =
4.º Puntos de corte con los ejes y signo: Eje X: ln  2  =
x 
negativa en ( −∞, −1) ∪ (1, +∞ ) y positiva en ( −1,0 ) ∪ ( 0,1) .
 1 
 1 
5.º Asíntotas verticales: lim ln  2  = +∞ , lim ln  2  = +∞ ⇒ x = 0
−
+
x →0
x →0
x 
x 
 1 
 1 
Asíntotas horizontales: lim ln  2  = −∞ y lim ln  2  = −∞ no tiene asíntota horizontal.
x →−∞
x →+∞
x 
x 
Asíntotas
oblicuas
 1 
ln  2 
f (x)
 x  0, m =
=
lim =
lim
x →+∞
x →−∞
x
x
f (x)
oblicuas:
=
lim
m=
x →∞
x
 1 
ln  2 
 x  0 ⇒ no
=
lim
x →−∞
x
tiene
asíntotas
−2
⇒ f crece en ( −∞,0 ) y decrece en ( 0, +∞ ) .
x
x)
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´( =
7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´( x ) =
2
> 0 ⇒ f es cóncava hacia arriba en su domino.
x2
d) 1.º Dominio y continuidad: D ( f ) = 
(
2
) (
)
) ln 1 + ( − x ) = ln 1 + x 2= f ( x ) ⇒ f tiene simetría par.
2.º Simetría. f ( − x=
(
)
Eje Y: O ( 0, f ( 0 ) ) = ( 0,0 )
4.º Puntos de corte con los ejes y signo: Eje X: ln 1 + x 2 = 0 ⇒ x = 0
La función es positiva en ( −∞,0 ) ∪ ( 0, +∞ ) .
(
)
(
)
5.º Asíntotas horizontales: lim ln 1 + x 2 = +∞ y lim ln 1 + x 2 = +∞ no tiene asíntota horizontal.
x →−∞
f (x)
Asíntotas =
oblicuas: =
m lim
x →∞
x
oblicuas.
x →+∞
(
)
ln 1 + x 2
f (x)
lim =
0, m
lim
=
=
x →+∞
x →−∞
x
x
x)
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´(=
(
2x
⇒=
x 0, f decrece en ( −∞,0 ) y crece en ( 0, +∞ ) .
x2 + 1
−2 x 2 + 2
=0⇒x =
−1, x =⇒
1 f
7.º Puntos de inflexión y concavidad: f ´´( x ) =
2
x2 + 1
(
( −∞, −1) ∪ (1, +∞ )
)
ln 1 + x 2
lim
0 ⇒ no tiene asíntotas
=
x →−∞
x
)
es cóncava hacia abajo en
y hacia arriba en ( −1,1) y ( −1,ln 2 ) y (1,ln 2 ) son los puntos de inflexión.
Representación de funciones | Unidad 7
49
e) 1.º Dominio y continuidad: D ( f=
)
( 0, +∞ )
4.º Puntos de corte con los ejes y signo: no corta a los ejes y siempre es positiva.
5.º Asíntotas verticales lim 2 x 2 − ln ( x ) = +∞ ⇒ x = 0
x →0+
Asíntotas horizontales lim 2 x 2 − ln ( x ) = +∞ no tiene asíntota horizontal.
x →+∞
Asíntotas oblicuas: m = lim
x →∞
2 x 2 − ln ( x )
f (x)
= lim
= +∞, ⇒ no tiene asíntotas oblicuas.
x
→+∞
x
x
6.º Puntos singulares y crecimiento: f ´=
(x)
4x 2 − 1
1
⇒
=
x
, f decrece en
x
2
 1
1

 0,  y crece en  , +∞  .
 2
2

1 1

Tiene un mínimo relativo y absoluto en  , + ln2  .
2 2

=
f ´´( x )
7.º Puntos de inflexión y concavidad:
f) 1.º Dominio y continuidad: D ( f ) =
4x 2 + 1
> 0 ⇒ f es cóncava hacia arriba en su dominio.
x2
( −∞, −2 ) ∪ (1, +∞ ) .
4.º Puntos de corte con los ejes y signo: La función no corta a los ejes, f >0 si x < –2 y f < 0 si x > 1.
5.º Asíntotas verticales lim f ( x ) =
x →−2−
 x −1 
lim ln 
 = +∞ ⇒ x = −2
 x+2
x →−2−
 x −1 
lim f ( x ) = lim ln 
 = −∞ ⇒ x = 1
+
+
x →1
x →1
 x+2
 x −1 
 x −1 
Asíntotas horizontales: lim ln 
ln 
 = 0 y xlim
 =0 ⇒ y =0
→+∞
x →−∞
 x+2
 x+2
=
f ´( x )
6.º Puntos singulares y crecimiento:
=
f ´´( x )
7.º Puntos de inflexión y concavidad:
en ( −∞, −2 ) .
50
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
3
> 0 ⇒ f crece en su dominio.
x + x −2
2
(x
−6 x − 3
2
+ x −2
)
2
⇒ f es cóncava hacia abajo en (1, +∞ ) y hacia arriba
Aplicaciones a las ciencias sociales
77. La puntuación obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo en horas, x , que ha dedicado
x

si 0 ≤ x ≤ 15

a su preparación de la forma siguiente: P ( x ) =  23x
.

si
15 < x
 0,2 x + 3
a) Estudia el crecimiento de la función. Justifica que si dedica menos de 15 horas para preparar el examen, el
estudiante suspenderá.
b) Justificar que nunca puede superar los 10 puntos.
x
a) La función es continua, ya que lim=
x →15 − 3
lim
x →15 +
2x
= f=
(15) 5 . Para estudiar su crecimiento calculamos su
0,2x + 3
1

si 0 < x < 15

3

derivada, P´( x ) = 
, que es siempre positiva. Así pues, como es continua y en los
6

si
15 < x
2
 ( 0,2x + 3 )
dos tramos la función es creciente podemos concluir que la función también es creciente.
Al ser la función creciente, si x < 15 se cumple que P ( x ) < P ( 15 ) = 5, con lo que si estudia menos de 15
horas no lllegará a alcanzar los 5 puntos.
2x
2
= = 10 podemos decir que por muchas horas de preparación, jamás se
0,2x + 3 0,2
conseguirá una nota de 10.
b) Como es creciente y el lim
x →∞
78. En un invernadero se cultivan tomates. Se sabe que las tomateras solo dan frutos si la temperatura dentro
del invernadero está entre 15 y 40 ºC. En la siguiente gráfica se muestra la producción de tomates en
kilogramos según la temperatura que se mantiene en el invernadero
a) Si la temperatura está entre 15 y 29 ºC, di que variación experimenta la
producción al aumentar la temperatura 1 ºC. Calcula dicha variación cuando la
temperatura está entre 30 y 39 ºC.
b) Define una función a trozos que exprese la producción según la temperatura.
c) Halla las temperaturas para las que se obtiene el 75 % de la producción máxima.
a) La variación la da la pendiente de la recta. En el primer caso, entre 15 y 29, la recta tiene igual pendiente que la
900 − 0
recta que une los puntos de abscisas 15 y =
30, m1 = 60. Si la temperatura se encuentra entre 30 y 39
30 − 15
grados la variación vendrá dada por la pendiente de la recta que une los puntos de abscisas 30 y 39,
0 − 900
m1 =
= −90.
40 − 30
b) Como conocemos las pendientes de las rectas podemos definir la producción de tomates de la siguiente forma:
 60x − 900
P (x) = 
−90x + 3600
si 15 ≤ x ≤ 30
si 30 < x ≤ 40
c) La producción máxima es de 900 kg, y su 75 % es 675.
Si 15 ≤ x ≤ 30 , 60x – 900 = 675, lo que implica que x = 26,25.
Si 30 ≤ x ≤ 40 , –90x + 3600 = 675, lo que implica que x = 32,5.
Así pues, a 26,25 ºC y a 32,5 ºC se consigue el 75 % de la producción máxima.
Representación de funciones | Unidad 7
51
Síntesis
79. Dibuja una posible gráfica para y = f ( x ) si se sabe que:
•
f ′(x) > 0 si x < −3 o si x > 4 y f ′(x) < 0 si −3 < x < 4.
•
f (−3) < 4 y f (4) > −2
80. *Representa una función que verifique:
•
Crece en ( −∞, −2 ) ∪ ( −2,0 ) ∪ ( 4, +∞ ) y decrece en ( 0, 4).
•
Sus extremos relativos son A ( 0, 6) y B ( 4, -3).
•
f´´( x ) > 0 en ( −∞, −2 ) ∪ ( 2, +∞ ) y f´´( x ) < 0 en ( -2, 2)
81. La figura representa la función f ( x ) =
ax 2 + bx + c
. Obtén los números reales a, b, c ,d y e.
dx + e
La función pasa por el origen de coordenadas luego f (0) = 0 y por tanto c = 0.
La función tiene una asíntota vertical en x = 1 luego d + e = 0.
La asíntota oblicua es y = - x – 1, luego m =lim
x →∞
n =lim f ( x ) − mx =lim
x →∞
x →∞
(b + e) x
dx + e
=−1 ⇒
b+e
=−1 ⇒ b + e =−d ⇒ b + e + d =0 ⇒ b =0
d
Sustituyéndolo en la función tenemos que
=
f (x)
82. Halla el valor de k para que f ( x ) =
f (x) a
= =−1 ⇒ a =−d
x
d
ax 2
x2
=
.
−ax + a 1 − x
k + ln x
tenga un máximo relativo en x = e. ¿Cuál es su valor?
x2
El dominio de la función es D ( f ) = (0,+∞) = 0 y su derivada es f ´( x ) =
1 − 2k − 2ln x
. Como queremos que x = e sea
x3
1 − 2k − 2lne
1
= 0 ⇒ 1 − 2k − 2 = 0 ⇒ k = − . Además, para este valor se cumple que f´ es positiva
e3
2
1 

en (0, e) y negativa en (e, +∞) por lo que la función tiene un máximo relativo en A  e, − 2  .
2
e


un máximo, f ´( e ) =
52
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
83. Asocia cada función de la izquierda con la correspondiente gráfica de la derecha.
f (x) =
x2 + 1
x2
f ( x ) = e −x
2
f (x) =
x
x2 − 4
f ( x=
)
x3
−x
5
f ( x ) = e x senx
Representación de funciones | Unidad 7
53
84. Dada la función f ( x )=
1 4
14
x + ax 3 − 2 x 2 + bx −
:
8
3
a) Calcula los valores de a y b para que tena un punto de inflexión en (–2, 0). Utiliza los valores hallados para a y
b en el resto de los apartados.
b) Para los valores hallados a y b, traza la gráfica de la función tras estudiar el crecimiento, los extremos
relativos, la curvatura y los puntos de inflexión.
c) ¿En cuántos puntos corta f al eje de abscisas?
a)
b)
14
16
= 0 ⇒ −4a − b =
3
3
1
1 4 1 3
14
f ´´( −2 ) = 0 ⇒ 6 − 12a − 4 = 0 ⇒ a = ⇒ b = −6 y la función es f ( x )=
x + x − 2x 2 − 6 x − .
8
6
3
6
Como
es
un
punto
de
inflexión
tenemos
que
f ( −2 ) = 0 ⇒ 2 − 8a − 8 − 2b −
y
1
1
Crecimiento y decrecimiento: f ´( x ) = x 3 + x 2 − 4x − 6 =0 ⇒ x =−2, x =3 , f crece en ( 3, +∞ ) y decrece en
2
2
625 
( −∞,3 ) . Tiene un mínimo en  3, −
.
24 

3
4
Curvatura f ´´( x ) = x 2 + x − 4 =0 ⇒ x =−2, x = , f es cóncava hacia arriba en
2
3
4
4
( −∞, −2 ) ∪  , +∞  y es cóncava hacia abajo en  −2,  . Tiene un punto de inflexión
3
3




 4  4   4

en (-2, 0) y en  , f    ≈  , −15,43  .
3
3
3






c)
85.
En la gráfica vemos que la función corta al eje de abscisas en dos puntos.
Calcula el valor de k para que la recta y = 2x – 5 sea asíntota oblicua de la función
2 x 3 + kx 2 − 7 x + 3k
f (x) =
. Estudia el resto de las asíntotas de f, si es que existen.
x2 + 3
Como la asíntota oblicua es y = 2x – 5, tenemos que m= 2= lim
x →∞
f (x)
 2x 3 + kx 2 − 7x + 3k

: x = 2 y que
= lim 
x
→∞
x
x2 + 3


kx 2 − 13x + 3k
 2x 3 + kx 2 − 7x + 3k

n =−5 =lim f ( x ) − mx =lim 
− 2x  =lim
=k ⇒ k =−5.
2
x →∞
x →∞
x
→∞
x +3
x2 + 3


La función no tiene más asíntotas puesto que el dominio son todos los números reales, y por tanto no puede tener
asíntotas verticales, y no puede tener asíntotas horizontales ya que tiene asíntota oblicua.
86. Para la función f ( x ) =
bx − 1
x2 − 4x + 4
:
a) Halla el valor de b para que f tenga un extremo en el punto x = –1. ¿Se trata de un máximo o de un mínimo?
b) Estudia, si es que existen, el resto de extremos relativos de la función.
a) Si tiene un extremo x = –1 entonces f ´( −1) = 0 ⇒ f ´( x ) =
−bx − 2b + 2
( x − 2)
3
⇒ f ´( −1) =
−b + 2
= 0 ⇒ b = 2 . Así,
−27
−2x − 2
y f es decreciente en ( −∞, −1) ∪ ( 2, +∞ ) y crece en (-1,2), con lo que el extremo es un mínimo
( x − 2 )3
que además es absoluto.
f ´( x ) =
b) La función no tiene más extremos.
54
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
87. Calcula, si es que existen, el valor o los valores de m para que la función f ( x ) =
x+m
ex
:
a) Tenga un máximo relativo en x = -2.
b) Tenga un punto de inflexión en x = 1.
x + m −1
−3 + m
⇒ f ´( −2 ) =
−
=
0⇒m=
3 ⇒ el punto A(–2, e2) es un máximo relativo pues la derivada
ex
e −2
es positiva si x < –2 y negativa si x > –2.
a) f ´( x ) =
−
x +m−2
m −1
 2
b) f ´´( x ) =
⇒ f ´´(1) =
=0 ⇒ m =1 ⇒ el punto A  1,  es de inflexión pues la derivada segunda es
 e
ex
e
negativa si x < 1 y positiva si x > 1.
CUESTIONES
88. ¿Cuál es el máximo número de asíntotas de cada tipo que puede tener la función racional f ( x ) =
P (x)
si
Q(x)
grado(Q) = 2?
Al ser Q (x) de grado 2, se anula en dos valores de x como máximo. Si P(x) no se anula en ninguno de estos
valores, f (x) tendrá a lo sumo dos asíntotas verticales.
Al ser P (x) un polinomio puede ocurrir que grado P (x) ≤ 2, por lo que f (x) tendría una asíntota horizontal. Si grado
P (x) = 3, f (x) tendría una asíntota oblicua y si Grado P (x) > 3, f (x) no tendría asíntotas ni horizontales ni oblicuas.
Así pues, el máximo número de asíntotas que puede tener f (x) es 3.
89. Si f ( x ) = Q ( x ) es una función polinómica de grado tres, justifica que su gráfica corta al menos una vez al
eje X.
Cualquier polinomio Q (x) de tercer grado tiene una raíz real a pues lim Q ( x ) y lim Q ( x ) tienen diferente signo y
x →−∞
x →+∞
como el polinomio es una función continua, Q (x) corta al eje de abscisas al menos en el punto (a, 0).
90. Determina si la función racional f ( x ) =
P (x)
Q(x)
(grado(P) = 1 y grado(Q) = 3) tiene, al menos, una asíntota
vertical.
Falso, f ( x ) =
x −1
cumple las condiciones y sin embargo no tiene una asíntota vertical si no una
−
x
1
( ) ( x 2 + 1)
discontinuidad evitable.
91. Calcula todas las asíntotas de la función f (=
x)
x 2 + 2x .
Como el D(f)= ( −∞, −2] ∪ [0, +∞ ) la función no tiene asíntotas verticales ni horizontales ya que sus límites en +∞ y en
−∞ dan ∞.
Asíntotas oblicuas:
m1 = lim
x →−∞
=
m2
f (x)
2x
x 2 + 2x
=1 ⇒ y =−x + 1
= lim
= −1 y n1 =lim f ( x ) − m1x =lim x 2 + 2x + x =lim
x
→−∞
x
→−∞
x
→−∞
x
→−∞
2
x
x
x + 2x − x
f (x)
=
lim
x
x →+∞
2x
x 2 + 2x
=1 ⇒ y = x + 1
lim = 1 y n2 = lim f ( x ) − m2 x = lim x 2 + 2x − x = lim
x
→+∞
x
→+∞
x
→+∞
2
x
x + 2x + x
x →+∞
Representación de funciones | Unidad 7
55
92. Si b 2 < 4c, justifica que la gráfica de la función polinómica P (x) = x4 +2bx3 +6cx2 +1 no tiene ningún punto
de inflexión.
−b ± b 2 − 4c
2
⇒ si b − 4c < 0, la
2a
ecuación anterior no tiene ninguna raíz real por lo que P′′ (x) nunca es 0 y P (x) no tiene ningún punto de inflexión.
Si existe un punto de inflexión debe anular P´´( x ) = 12x 2 + 12bx + 12c = 0 ⇒ x =
93. ¿Por qué la gráfica de cualquier función polinómica de tercer grado tiene un único punto de inflexión?
Sea una función polinómica de grado tres f (x) = ax3 + bx2 + cx + d con a ≠ 0, calculamos su primera y segunda
2
derivada f ′(x) = 3ax + 2bx + c y f′′ (x) = 6ax + b y comprobamos que la ecuación f′′ (x) = 6ax + b = 0 sólo tiene una
−b
−b
−b
ya que f′′ (x) tiene distinto signo si x <
o si x >
. Así que el único punto de inflexión de la
solución: x =
6a
6a
6a
−b
gráfica de f es el de abscisa x =
.
6a
94. Justifica que la gráfica de la función f ( x )= 1 −
4e x
es simétrica respecto del eje vertical.
e +1
2x
4
4
x
x
4e − x
4e x
e
e
f ( −x ) =
=
=
=
=
f ( x ) , la función tiene simetría respecto del eje de
1 − −2x
1−
1−
1 − 2x
2x
1
1+ e
e +1
e +1
+
1
e 2x
e 2x
ordenadas.
95. Justifica que la función f ( x ) =
Asíntota vertical en x = 0: lim−
x →0
ex + 2
tiene tres asíntotas.
e2 x − 1
ex + 2  3 
ex + 2  3 
=
= +∞
=  −  = −∞ y lim+ 2x
2x
x →0 e
− 1  0 + 
e −1 0 
2
2
ex
1+ x
+ x
x
1
e +2
e
e
e
= lim
= lim
= = 0 ⇒ y = 0 es una asíntota horizontal.
Asíntotas horizontales : lim 2x
x →+∞ e
x →+∞
1
1
− 1 x →+∞ e 2x
∞
x
e − x
−
e
ex ex
x
e x + 2 e −∞ + 2
=
=−2 ⇒ y =2 es otra asíntota horizontal. No hay asíntotas oblicuas al haber asíntotas
e 2x − 1 e −∞ − 1
horizontales por ambos lados.
lim
x →−∞
96. Si a > b > 0, demuestra que la tangente a la gráfica de f ( x ) =x ( x − 2a ) ( x − 2b ) en P ( a, f ( a ) ) pasa por
Q ( 2b, 0).
Calculemos la recta tangente a la gráfica de f para x = a. y probemos que la recta tangente en P pasa por
Q(2b, 0). f ( x ) =
x 3 − 2 ( a + b ) x 2 + 4abx ⇒ f ´( x ) =
3x 2 − 4 ( a + b ) x + 4ab ⇒ f ( a ) =
−a 3 + 2a 2b f ´( a ) =
−a 2 , y la recta
tangente será y − ( −a 3 + 2a 2b ) =−a 2 ( x − a ) .
Por último comprobemos que el punto Q pertenece a la recta:
0 − ( −a 3 + 2a 2b ) =−a 2 ( 2b − a ) ⇒ a 3 − 2a 2b =−2a 2b + a 3
56
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
97. Sea f una función definida en , decreciente en (−∞, 0), creciente en (0, +∞) con f ( 0 ) = 1. ¿Cuál de las siguientes
expresiones podría ser una fórmula para f?
a) f ( x=
)
x +1
x)
c) f (=
b) f ( x ) =
x2 + 1
x +1
d) f ( x=
) ex + 1
x2 + 1
La función buscada tiene un mínimo absoluto en A(0, 1). La función d) no puede ser porque no pasa por el punto
A(0, 1) ya que f(0) =2.
 − x 2 + 2x + 1
2

 ( − x + 1)
La función b) no puede pues f ´( x ) =  2
 x + 2x − 1
 ( x + 1)2

(−
)
(
si
x<0
− 2 + 1, crece en
se anulan en x =2 − 1, x =
si
x>0
)
2 + 1,0 y decrece en 0, 2 − 1 .
Las funciones a) y c) sí cumplen las condiciones del enunciado.
PROBLEMAS
98. Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, R(x), en euros, viene dada
en función de la cantidad invertida, x en euros (para 10 ≤ x), por medio de la siguiente expresión:
R(x) = −0,1 x 2 + 50x + 250
a) Deduce razonadamente qué cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en dicho plan.
b) ¿Qué rentabilidad obtendría?
a) Debemos hallar el máximo de R(x) siendo 10 ≤ x. La derivada es R'(x) = –0,2x + 50, que se anula si x = 250.
Para este valor se consigue el máximo rendimiento, ya que la gráfica de R(x) es una parábola cóncava hacia
abajo. Es decir, si se invierten 250 euros, se obtiene el rendimiento máximo.
b) R(250) = 6500. Se obtiene una rentabilidad de 6500 euros.
99. En un trabajo de investigación sobre el rendimiento (en una escala de 0 a 100) de cierta válvula durante 24
horas de funcionamiento, unos ingenieros industriales han comprobado que dicho rendimiento se
comporta de acuerdo con la siguiente función:
=
R (t )
( 30 − t ) ( t + 10 )
4
; 0 ≤ t ≤ 24
a)
¿Cuánto tiempo debe permanecer funcionando la válvula para conseguir su máximo rendimiento? Justifica la
respuesta.
b)
Representa y comenta la función.
a)
La gráfica de la función es una parábola cóncava hacia abajo que tiene su
máximo en su vértice. Así pues, este será el máximo si su abscisa pertenece al
dominio.
La función rendimiento es R ( t ) =
−t 2 + 20t + 300
; su derivada es
4
−2t + 20
= 0 ⇒ t = 10 que pertenece al dominio y podemos afirmar que el
4
máximo rendimiento se alcanza a las 10 horas de funcionamiento de la válvula.
R´( t ) =
b)
El vértice de la parábola es el punto V(10, R(10)) = V(10, 100). La máquina empieza con un rendimiento del
75 % (el punto de corte con Y es A(0, 75)) y va aumentando hasta conseguir el 100 % de rendimiento a las
10 horas. A partir de ahí va disminuyendo hasta llegar a un rendimiento del 51 % (R(24) = 51).
Representación de funciones | Unidad 7
57
100. Un importador de caviar estima que si vende el kilogramo de caviar a x euros, entonces su beneficio por
2
kilogramo viene dado por la función B(x) = 160x – x – 63 000.
a) Indica entre qué precios obtiene beneficios el importador.
b) Calcula a qué precio debe vender el kilogramo de caviar para obtener un beneficio máximo.
c) Calcula el beneficio máximo por kilogramo.
a) La función B ( x ) = 160 x –x2-6300 corta el eje X en los puntos A(70, 0) y B(90, 0). Como la función beneficio es
una parábola cóncava hacia abajo, será positiva entre x = 70 y x = 90. Así pues, se obtienen beneficios si el
precio de venta del kilo de caviar está comprendido entre 70 y 90 euros.
b) La función beneficio es una parábola cóncava hacia abajo, por lo que el máximo se encuentra en su vértice,
cuya abscisa es el valor que anula la derivada, B´ ( x ) = 160 –2x = 0, x = 80. Si vende el kilo de caviar a 80
euros, obtiene el beneficio máximo.
c) B(80) = 100. Es decir, el beneficio máximo por kilo es de 100 euros.
101. Las ganancias de una empresa, en miles de euros, se ajustan a la función f ( x ) =
representa los años de vida de la empresa, (si x > 0).
a) Representa gráficamente la función y = f(x) para x
asíntotas, crecimiento y decrecimiento.
50 x − 100
, donde x
2x + 5
∈ (−∞, +∞), indicando: dominio, corte con los ejes,
b) ¿A partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas?
c) A medida que transcurre el tiempo, ¿están limitados sus beneficios? En caso afirmativo, ¿cuál es su límite?
 5
a) D ( f ) =  − −  .
 2
Corte con los ejes. Corta el eje Y en el punto A(0, f(0)) = A(0, –20) y el eje X en el punto B(2, 0).
Asíntotas verticales: lim −
5
x →−
2
50x − 100
5
50x − 100
= +∞ , lim +
= −∞ ⇒ x = − es una asíntota vertical.
5
2x + 5
+
x
2
5
2
x →−
Asíntotas horizontales: lim
x →−∞
2
50x − 100
50x − 100
= 25 ⇒ y = 25 .
= 25 y lim
→+∞
x
2x + 5
2x + 5
=
f ´( x )
Crecimiento y decrecimiento:
450
( 2x + 5 )
2
> 0 ; por tanto, la función es creciente en todo su dominio y no
tiene extremos relativos.
b) La empresa deja de tener pérdidas a partir del segundo año; a partir de x = 2, la función es positiva.
c) Los beneficios están limitados por 25 000 euros, ya que lim
x →−∞
58
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
50x − 100
= 25 .
2x + 5
AUTOEVALUACIÓN
Comprueba qué has aprendido
1.
Estudia el dominio y las asíntotas de las siguientes funciones.
a) f ( x ) =
4x 3
9 − x2
b) f ( x ) =
e
x
x
a) D ( f ) =  − {−3,3}
Asíntotas verticales: lim −
x →−3
lim−
x →3
4x 3
4x 3
 −108 
 −108 
=  −  = +∞ , lim +
=
= −∞ ⇒ x = −3
2
x
→−
3
9−x
9 − x 2  0 + 
 0 
4x 3
4x 3
 108 
 108 
=  +  = +∞ , lim+
=  −  = −∞ ⇒ x = 3
2
x →3 9 − x 2
9−x
 0 
 0 
No tiene asíntotas horizontales porque el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.
f (x)
 4x 3

= lim 
: x  = −4
2
x →∞
x
→+∞
x
9−x

Asíntota oblicua: m = lim
36x
 4x 3

− ( −4 ) x  = lim
=0 ⇒ y =−4x
n = lim f ( x ) − mx = lim 
x →∞
x →∞ 9 − x 2
x →∞ 9 − x 2


b) D ( f=
)
( 0, +∞ )
Asíntotas verticales: lim+
e
x →0
Asíntotas horizontales: lim
x →∞
Asíntota oblicua: m = lim
x →∞
2.
1
=  +  = +∞ ⇒ x = 0
x 0 
x
e
x
x
= +∞ ⇒ no tiene asíntota horizontal.
e x

f (x)
= lim 
: x  = +∞ ⇒ no tiene asíntotas oblicuas.
x
→∞
x
 x

Estudia la función polinómica f(x) = (x – 2)(x + 2)2 y con los resultados obtenidos, traza su gráfica.
Como es una función polinómica D ( f )=.
Cortes con los ejes: A(0, -8), B(-2, 0) C(2, 0)
La función no tiene asíntotas por ser polinómica.
2
2

Crecimiento: f ´( x ) =3x 2 + 4x − 4 ⇒ x =−2, x = . La función crece en ( −∞, −2 ) ∪  , +∞  ,
3
3

2
 2 −256 

decrece en  −2,  , B(-2, 0) es un máximo relativo y D  ,
 es un mínimo relativo.
3
 3 27 

2
2

Curvatura: f ´´( x ) =6x + 4 ⇒ x =− . La función es cóncava hacia abajo en  −∞, −  , cóncava hacia arriba en
3
3

 2 128 
 2

 − , +∞  , E  − , −
 es un punto de inflexión.
27 
 3
 3

Representación de funciones | Unidad 7
59
3. Dibuja la gráfica de la función racional, f ( x ) =
x2 + 4
tras realizar un estudio completo de la misma.
x2 + 1
D(f) = 
La función corta al eje de ordenadas en A(0, 4).
x2 + 4
x2 + 4
=
1
lim
=1 ⇒ y =1
,
x →−∞ x 2 + 1
x →+∞ x 2 + 1
−6x
Crecimiento: f ´( x ) =
=0⇒ x =0.
2
( x 2 + 1)
Asíntota horizontal: lim
La función crece en ( −∞,0 ) , decrece en ( 0, +∞ ) . A(0, 4) es un máximo absoluto de la función.
18x 2 − 6
3
3
⇒x=
−
,x =
Curvatura: f ´´( x ) =
3
2
3
3
+
x
1
(
)


3  3
La función es cóncava hacia arriba en  −∞, −
, +∞  , cóncava hacia abajo en
 ∪ 


3   3



3 3
,
 −
 .
 3 3 
4. Calcula, en cada caso, los posibles valores de a y b para que la función racional f ( x ) =
a)
Por asíntota oblicua la recta y = 3x − 3.
b)
Un extremo relativo en el punto de abscisa x = −1.
a) Queremos: m = lim
x →∞
ax 2 + 1
tenga:
x+b
f (x)
 ax 2 + 1 
= 3 ⇒ lim 
: x = a ⇒ a = 3
→∞
x
x
 x+b

3x 2 + 1
 1 − 3bx 
=−3b =3 ⇒ b =1 ⇒ f ( x ) =
Además, n =lim f ( x ) − mx =−3 ⇒ lim 

x →∞
x →∞
x +1
 x+b 
b) Como f ´( x ) =
ax 2 + 2abx − 1
( x + b)
2
⇒ f ´( −1) =
a − 2ab − 1
( −1 + b )
2
= 0 ⇒ a − 2ab − 1 = 0 ⇒ b =
a −1
. La función f tiene un extremo
2a
relativo en el punto de abscisa x = –1 para cualquier valor de a salvo si a = –1 (pues el denominador se anula
para x = –1) o si a = 0.
1
puede tener una, dos o tres asíntotas. Hay un solo valor de c para el que
x 2 + 2x + c
tiene exactamente dos asíntotas. Encuéntralo.
5. La gráfica de f ( x ) =
Sea cual fuere c la gráfica de f tiene una asíntota horizontal: y = 0.
−2 ± 4 − 4c
y como solo queremos que haya una asíntota tiene
2
que ocurrir 4 − 4c = 0, esto es, c = 1, y así, el denominador se anula una sola vez, en x = −1 y la recta x = −1 es la
única asíntota vertical.
Si x 2 + 2x + c = 0, habrá asíntotas verticales, x =
6.
La gráfica de la función f ( x ) =
dicha asíntota.
x3
tiene una asíntota oblicua por la derecha. Encuentra la ecuación de
x −1
 x3

f (x)
: x  1.
=
m lim
= lim  =
x →∞
x →∞ 

x
 x −1 

 x3

 x3 − x x − 1 
n = lim ( f ( x ) − mx ) = lim 
− x  = lim 
 = lim 
x →∞
x →∞ 
 x →∞ 
 x →∞  x − 1
x −1
 x −1




es la asíntota buscada.
60
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
(

 = 1 ⇒ La recta y= x + 1

3
2
x + x x −1  2

x2
)
7. ¿Cuántos puntos de intersección tienen las gráficas de f ( x )= 2 − x y g ( x ) =
x?
x = 1
Igualamos las dos funciones y resolvemos la ecuación 2 − x = x ⇒ x 2 − 5x + 4 = 0 ⇒ 
. Pero x = 4 no cumple
x = 4
2 − x =x . Las dos funciones se intersecan en el punto (1,1).
8.
x)
Para la función f (=
( 2 x − 1) e − x .
a) Estudia su monotonía y sus extremos relativos.
b) Determina su concavidad y sus puntos de inflexión.
3 4 
3
3

3

a) f ´( x ) =( −2x + 3 ) e − x =0 ⇒ x = , f crece en  −∞,  y decrece en  , +∞  . El punto  ,
 es el máximo

2

2
2
 2 e3 
relativo de la función.
b) f ´´( x ) = ( 2x − 5 ) e − x = 0 ⇒ x =
5
5

5

, f es cóncava hacía abajo en  −∞,  y cóncava hacía arriba en  , +∞  . El
2


2
2
5 6 
punto  ,
 es un punto de inflexión de la función.
 2 e5 
9.
( )
Dada la función f ( x ) = x 3 ln x 2 .
a) Estudia su dominio y posibles simetrías.
b) Estudia el crecimiento y la existencia de extremos relativos.
a) D ( f =
)  − {0} y la función es simétrica respecto del origen de coordenadas pues
(
f ( −x ) =
( −x ) ln ( −x )
3
2
) =−x
3
ln ( x 2 ) =
−f ( x ) .
b) f ´( x ) =
3x 2 ln ( x 2 ) + 2x 2 ⇒ x =
−
6
6
e4
e4
, f crece en
,x =
e
e
6 4 

 6 e4

e
 −∞, −
∪
, +∞  y decrece en

  e

e

 

 6 e4  6 e4  
 6 e4 6 e4 
 6 e4

−
 y el punto A  −
,
  =−
,f  −
A
,0,25  es un máximo relativo y el punto







e
e 
e
e 
e






 6 e4  6 e4  
 6 e4

B
, f =
, −0,25  .
 B
 e 
 e

 e





(
)
f ( x ) ln e x + e 1− x .tiene un mínimo absoluto y encuentra la ecuación de la recta
10. Comprueba que función =
tangente en dicho punto.
f ´( x ) =
1
e x − e − x +1
1
se cumple que ex
= 0 ⇒ x = . Si x<
− x +1
x
2
e +e
2
< e1-x
por lo que la función es decreciente y si
1
1 1

tenemos que ex > e1-x por lo que la función es creciente y por tanto en el punto  , + ln 2  es un mínimo
2
2
2


absoluto de la gráfica de la función.
x>
La ecuación de la recta tangente que pasa por ese punto cuya pendiente es cero y=
1
+ ln 2 .
2
Representación de funciones | Unidad 7
61
Relaciona y contesta
Elige la única respuesta correcta
1.
Si f(x) es una función polinómica de cuarto grado, su gráfica:
A. Tiene que presentar tres puntos con tangente horizontal.
B. Tiene que tener al menos dos puntos máximos o mínimos relativos.
C. Es seguro que presenta algún punto con tangente horizontal.
D. Pueden no coincidir lim f ( x ) y lim f ( x ) .
x →+∞
x →−∞
A. Es falsa. Por ejemplo, f(x) = x4 solo tiene un punto con tangente horizontal: (0, 0).
B. Es falsa. Sirve el mismo contraejemplo que en A, ya que la función f(x) = x4 solo tiene un mínimo: (0, 0)
(
)
(
)
C. Es verdadera. Como f'(x) es un polinomio de grado tres y signo lim f ´( x ) ≠ signo lim f ´( x ) la función pasa
x →+∞
x →−∞
de ser creciente a decreciente al menos una vez y, por tanto, tendrá al menos un extremo relativo.
D. Es falsa por ser un polinomio de grado par.
2.
El número de asíntotas de la función f ( x ) =
A. 1
B. 2
x3 + x + 1
es:
( x 2 − 1) ( x − 2 ) ( x − 3 )
C. 4
D. 5
La respuesta correcta es la D. Las asíntotas de la función son x = –1, x = 1, x = 2, x = 3 e y = 0.
Señala, en cada caso, las respuestas correctas
3.
Si la gráfica de una función polinómica de tercer grado y = f(x) presenta un máximo relativo en el punto de
abscisa 1 y un mínimo relativo en x = 3, entonces:
A.
Existen números a para los que la ecuación f(x) = a no tiene soluciones reales.
B.
Si f(3) < a < f(1), la ecuación f(x) = a tiene exactamente tres raíces reales.
C.
Si signo f(1) ≠ signo f(3), la ecuación f(x) = 0 tiene tres raíces reales.
D.
La gráfica de y = f(x) presenta un punto de inflexión en x = 2.
Para resolver este problema es útil trazar la gráfica de una función que verifique las hipótesis.
A. Es falsa. Como una función polinómica de tercer grado es una función continua y lim f ( x ) ⋅ lim f ( x ) < 0 , el
x →+∞
x →−∞
recorrido de la función es todo  , podemos afirmar que la ecuación f(x) = a siempre tiene al menos una
solución real.
B. Es verdadera. Si f(3) < a < f(1), la ecuación f(x) = a tiene tres soluciones, una menor que 1, otra entre 1 y 3, y la
tercera mayor que 3.
C. Es verdadera. Si signo f(1) ≠ signo f(3), entonces f(3) < 0 < f(1), y estamos en las hipótesis de B.
D. Es verdadera. Los polinomios de tercer grado son simétricos respecto de su punto de inflexión y, por tanto, la
abscisa del punto de inflexión está entre las abscisas de sus extremos relativos.
62
Unidad 7| Representación gráfica de funciones
4.
Sea f(x) = ex P(x), donde P(x) es un polinomio de tercer grado. Entonces:
A.
La gráfica de y = f(x) no tiene asíntotas horizontales.
B.
La gráfica de y = f(x) corta al menos tres veces al eje horizontal.
C.
Puede haber varios puntos con tangente horizontal.
D.
La gráfica de f no puede tener asíntotas oblicuas.
A.
Es falsa. y = 0 es una asíntota horizontal en −∞, ya que lim e x P ( x ) = 0 cualquiera que sea el polinomio P(x).
B.
Es falsa. La función vale 0 si P(x) = 0 y un polinomio de grado 3 no siempre tiene tres raíces reales.
C.
Es verdadera.
=
f ´( x ) e x ( P ( x ) + P´( x ) ) y, como P(x) + P'(x) es un polinomio de tercer grado, puede anularse
x →−∞
hasta tres veces.
e xP ( x )
= +∞ cualquiera que sea P(x),
x →+∞
x
D. Es verdadera. En −∞ tiene una asíntota horizontal, y en +∞, como lim
no tiene asíntota oblicua.
Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas
5.
Sea f una función definida en el conjunto de los números reales, de la que se sabe lo siguiente:
1. La gráfica de f presenta alguna asíntota horizontal.
2. La gráfica de f presenta alguna asíntota oblicua.
A. 1⇔2
B. 1 ⇒ 2 pero 2 ⇒ 1
C. 2 ⇒ 1 pero 1 ⇒ 2
D. Nada de lo anterior.
La respuesta correcta es la D. Nada de lo anterior. Hay gráficas de funciones que solo tienen asíntota horizontal;
otras que solo tienen asíntota oblicua, y otras que tienen una asíntota oblicua en más infinito y una asíntota
horizontal en menos infinito.
Señala el dato innecesario para contestar
6.
Para encontrar las abscisas de los posibles extremos relativos de la función f ( x ) = e ax
de:
1. El valor de a
2. El valor de b
3
+ bx 2 + cx + d
se dispone
3. El valor de c
A. Es innecesario el dato 1.
B. Es innecesario el dato 2.
C. Es innecesario el dato 3.
D. Hacen falta todos los datos.
Respuesta D. Hacen falta los tres datos. Las abscisas de los extremos relativos son aquellas que anulan la
3
2
derivada: f ´( x )= ( 3ax 2 + 2bx + c ) e ax + bx + cx + d . Dicha derivada será cero si 3ax 2 + 2bx + c =
0 , es decir,
depende de lo que valgan los parámetros a, b y c.
Representación de funciones | Unidad 7
63
8 Integrales
EJERCICIOS PROPUESTOS
1 a 4.
5.
Calcula las siguientes integrales indefinidas.
a)
64
Ejercicios resueltos.
∫
x 2 + 3x − 1
dx
3
d)
∫ (1 +
3
)
x 2 dx
b)
∫
x − x 3 + 2x
dx
x2
e)
∫
c)
∫ ( 2x − 4)(3x + 1) dx
f)
∫ (sen x − e
a)
∫
x 2 + 3x − 1
1
dx
=
3
3
∫ (x
2
)
+ 3 x − 1 dx
=
3
x 2 x dx

1  x3 3x 2
+
− x +C

3 3
2

 −3
x − x 3 + 2x
2
1
1
dx
=
− x 2 + 2ln | x | +C
 x 2 − x +  dx =−2
2


x
2
x
x


b)
∫
∫
c)
∫ ( 2x − 4)(3x + 1) dx = ∫ ( 6x
d)
∫ (1+
e)
∫
f)
∫ (senx − e
3
3
2
)
− 10 x − 4 dx = 2 x 3 − 5 x 2 − 4 x + C
)
3 3
x 2 dx =
x + x x2 + C
5
x dx
∫=
6
2
x=
x dx
x
5
)
6 6 5
x x +C
11
+ x dx =
− cos x − e x +
Unidad 8| Integrales
2
x x +C
3
x
)
+ x dx
6.
Halla en cada caso la función f que cumple la condición dada.
a) f=
' ( x ) cos x + x x , y f ( π ) =0
3
− e x + e , y f (1) = 1
x2
b) f ' ( x ) =
c) f ' ( 0 ) = x 3 − 4 ⋅ 6 x y f ( 0 ) = −
x + 2x
d) f ' ( x ) =
a) f ( x=
)
3
x
4
ln 6
y corta a la bisectriz del primer cuadrante en el punto A (1,1) .
∫ (cos x + x x ) dx=
sen x +
Como f(π) = 0, f ( π ) =
sen π +
Por tanto, f ( x=
) sen x +
2 2
x x +C
5
2 2
2
2
π π + C = π2 π + C =⇒
0 C=
− π2 π
5
5
5
(
)
2 2
x x − π2 π .
5
3
 3

− − ex + e ⋅ x + C
b) f ( x ) = 2 − e x + e  dx =
x
x


∫
Como f(1) = 1, f (1) =
−
La función es f ( x ) =−
c) f ( x=
)
∫ (x
3
)
∫
x + 2x
3
1 4
4 x
x −
6 +C
4
ln6
4
4
4
, f (0) =
−
+C =
−
⇒C =
0
ln6
ln6
ln6
La función es f=
(x)
d) f ( x ) =
3
− e x + e ⋅ x + 4.
x
− 4 ⋅ 6 x dx
=
Como f ( 0 ) = −
3
1 C=
4
− e1 + e ⋅ 1 + C =
−3 + C =⇒
1
x
1 4
4 x
x −
6 .
4
ln6
2
 1

66 7 63 5
dx =  x 6 + 2 x 3  dx =
x +
x +C


7
5


∫
66
63 5
6 6
72
37
Como f(1) = 1, f (1) = 17 +
1 + C = + + C = + C =⇒
1 C=
−
7
5
7 5
35
35
La función es f ( x ) =
7.
6 6 7 6 3 5 37
x +
x −
.
7
5
35
Ejercicio resuelto.
Integrales | Unidad 8
65
8.
Calcula las siguientes integrales indefinidas.
a)
b)
∫
a)
∫
2
t + 2t + 3
dt
e 2s
ds
1 + e 2s
t +1
2
t + 2t + 3
dt=
∫2
es
c)
∫ 1+ e
d)
∫
2s
ds
2x
1− x
2t + 2
t 2 + 2t + 3
4
dx
∫
c)
∫
es
ds =
1 + e 2s
d)
∫
2x
1− x
4
e)
∫ ( x + 1)
f)
∫
2
∫ 1 + (e )
s 2
∫
dx
=
20
cos (ln t )
t
es
5
2
∫
2 2
cos (lnt )
t
⋅ 5 x dx
dt
( )
dx
= arcsen x 2 + C
∫ ( x + 1)
2
20
2 x dx
=
21
5
x2 + 1 + C
42
(
)
dt =sen (ln t ) + C
Halla las integrales indefinidas de las siguientes funciones.
( ( ) ) ( cos ( x ) )
a) f ( x ) = 2 x sen x 2
b) g ( x ) =
4
c) =
j ( x ) tg ( 3 x + 2 )
2
(1 + tg x ) tg x
2
d) k ( x ) = x 2e x
3
a)
− ( 2 x ( −sen x ) ) ( cos x )
∫ 2x (sen x )(cos x ) dx =
∫
b)
(1 + tg x ) tg x
1
1
tg x + C
(1 tg x ) tg x dx =
∫ 3 dx =+
3∫
6
c)
∫ tg (3x + 2) dx =−3 ∫
d)
dx
dx
3x e =
∫ x e=
3∫
2
4
2
2 4
2
2
2
1 3 ( −sen ( 3 x + 2 ) )
1
dx =
− ln cos ( 3 x + 2 ) + C
cos ( 3 x + 2 )
3
2 x3
1
10. Ejercicio resuelto.
Unidad 8| Integrales
2 x3
1 x3
e +C
3
3
1
dx =
− cos x 2
5
2
66
20
( )
( )
5 x dx
=
f)
2
ds = arctg e s + C
2x
1− x
∫ ( x + 1)
)
(
∫
e)
t 2 + 2t + 3 + C
dt=
e 2s
1 2e 2s
1
ds =
ds =
ln 1 + e 2s + C
2s
2 1 + e 2s
2
1+ e
b)
9.
∫
t +1
(
)
5
+C
11. Obtén las siguientes integrales indefinidas.
)
a)
∫ (x
b)
∫ arctg x dx
2
− 5 cos x dx
c)
∫ arcsen x dx
e)
∫ sen x sen x dx
d)
∫ xsen ( 2x ) dx
f)
∫e
x
cos x dx
Todas las integrales las calcularemos utilizando la integración por partes:
a)
f ( x ) = x 2 − 5 ⇒ f ' ( x ) = 2x

⇒
g ' ( x ) = cos x ⇒ g ( x ) = sen x 
(x
2
)
∫ (x
2
)
(
)
∫
− 5 cos x dx =x 2 − 5 sen x − 2 x sen x dx =
∫
− 5 sen x − 2 x sen x dx . Esta última integral la calculamos también por partes:
f (x) =
x ⇒ f '(x) =
1

⇒
g '(x) =
sen x ⇒ g ( x ) =
− cos x 
⇒
− x cos x − − cos x dx =
− x cos x + cos x dx =
− x cos x + sen x + C
∫ x sen x dx =
∫
∫
∫(x
(
2
)
(
)
(
∫
)
∫
− 5 cos x dx =
x 2 − 5 sen x − 2 x sen x dx =
x 2 − 5 sen x − 2 x sen x dx =
)
(
)
=
x 2 − 5 sen x − 2 ( − x cos x + sen x ) + C =
x 2 − 7 sen x + 2 x cos x + C
b)
c)
1 
x
1

dx x arctg x −
dx x arctg x − ln 1 + x 2 + C
=
1 + x 2  ⇒ arctg x=
2
2
1+ x

g '(x) =
1⇒ g (x) =
x

f ( x ) = arctg x ⇒ f ' ( x ) =
f ( x=
) arcsen x ⇒ f ' ( x=)
g '(x) =
x
1⇒ g (x) =
∫
1
(
∫


x arcsen x −
1 − x  ⇒ arcsen x dx =


∫
2
x
∫
1− x
2
)
dx =
x arcsen x +
∫2
−2 x
1− x2
dx =
= x arcsen x + 1 − x 2 + C
d)
1
f (x) =
x ⇒ f '(x) =


⇒
1
g '(x) =
sen ( 2 x ) ⇒ g ( x ) =
− cos ( 2 x ) 

2
x cos ( 2 x )
−
∫ x sen ( 2x ) dx =
2
+
1
cos ( 2 x ) dx =
2
∫
x cos(2 x ) 1
=
−
+ sen ( 2 x ) + C
2
4
e)
f ( x ) = sen x ⇒ f ' ( x ) = cos x 
2
−sen x cos x + cos2 x dx =
−sen x cos x +
 ⇒ sen x dx =
g '(x) =
sen x ⇒ g ( x ) =
− cos x 
∫
∫
∫
∫
∫
∫ (1− sen x ) dx =
2
∫
−sen x cos x + dx − sen2 x dx =
−sen x cos x + x − sen2 x dx ⇒ 2 sen2 x dx =
−sen x cos x + x ⇒
⇒
f)
∫ sen x dx=
2
x − sen x cos x
+C
2
f (x) =
ex ⇒ f '( x ) =
ex

⇒I
=
g ' ( x ) = cos x ⇒ g ( x ) = sen x 
también por partes:
f (x) =
ex ⇒ f '( x ) =
ex
∫e
x
∫
cos=
x dx e x sen x − e x sen x dx . Esta última integral la calculamos

x
−e x cos x + e x cos x dx =
−e x cos x + I
 ⇒ e sen x dx =
g '(x) =
sen x ⇒ g ( x ) =
− cos x 
∫
(
∫
)
Tenemos pues que
=
I e x sen x − −e x cos x + I =
⇒ 2I e x sen x + e x cos x=
⇒I
e x (sen x + cos x )
+C
2
Integrales | Unidad 8
67
12. Determina las siguientes integrales indefinidas.
∫
a)
b)
x ln x dx
∫
x 2 ln x dx
c)
∫
te
−
t
2
d)
dt
∫ (1− x ) e
−x
dx
Todas las integrales las calcularemos utilizando la integración por partes:
1

f (x) =
ln x ⇒ f ' ( x ) =

x
a)
⇒
2
g '(x) = x ⇒ g (x) = x x 

3
=
d)
x ln x dx =
2
x x ln x −
3
∫
2x x
2
dx = x x ln x −
3x
3
∫
2 x
dx =
3
2
4
2
2

x x ln x − x =
x +C
x x  ln x −  + C
3
9
3
3

1 
f (x) =
ln x ⇒ f ' ( x ) =

x
b)
⇒
1
g '(x) =
x2 ⇒ g ( x ) = x3 
3 
c)
∫
f (t ) =
t ⇒ f ' (t ) =
1
g ' (t )
t
−
e 2
=⇒
g (t )
t
−
=
−2e 2
∫x
2
1 3
x ln x −
3
ln x dx
=
x3
∫ 3x dx=
1 3
1 2
1 3
1
x ln x −
x dx
x ln x − x 3 + C
=
3
3
3
9
∫

t
t
t
t
t
t
−
−
−
−
−
−

−2te 2 + 2 e 2 dt =
−2te 2 − 4e 2 + C =
−2e 2 (t + 2 ) + C
 ⇒ te 2 dt =

∫
f ( x ) =−
1 x ⇒ f ' ( x ) =−1 
⇒
−e − x 
g (x) =
e− x ⇒ g ( x ) =
∫ (1− x ) e
∫
−x
(
) ∫ ( −1) ( −e ) dx = ( x − 1) e
dx = (1 − x ) −e − x −
−x
−x
13. Halla una primitiva F ( x ) de f ( x ) = x ln x 2 que cumpla F ( 1) = 0 .
F ( x )=
∫ x ln x
2
dx=
∫ x ⋅ 2 ⋅ ln x dx= 2∫ x ln x dx (calculamos por partes esta última integral):
1
g '(x) =
x ⇒ g ( x ) =x 2
2
1
f (x) =
ln x ⇒ f ' ( x ) =
x
x dx
∫ x ln=
1 2
x ln x −
2
Por tanto,=
F (x)
x2
dx
∫ 2=
x
1 2
1
1 2
1
1 2
x ln x −
=
x dx
x ln x − x 2=
+C
x [ 2ln x − 1] + C
2
2
2
4
4
∫
x dx 2 x=
∫ x ln=
∫ ln x dx
2
2
1 2
1 2
x [ 2ln x −=
1] + C
x [ 2ln x − 1] + C
4
2
1
1
1
Como F(1) = 0, entonces, F (1) = 12 [ 2ln1 − 1] + C = 0 ⇒ − + C = 0 ⇒ C =
2
2
2
La primitiva buscada es F ( =
x)
14. Ejercicio resuelto.
68
Unidad 8| Integrales
1 2
1 1 2
1
1
1
1
x [ 2ln x − 1] +=
2 x ln x − x 2 += x 2 ln x − x 2 + .
2
2 2
2
2
2
2
+ e − x + C = xe − x + C
15. Calcula las siguientes integrales indefinidas.
a)
∫
1 + ln x
dx
x
b)
∫
x 2 dx
c)
∫ (5 + x )
d)
x3 + 5
x dx
2 2
∫ (x
3
+5
)
4
x 2 dx
a) Llamando t = 1 + ln x, dt =
∫
1 + ln x
dx=
x
∫
dx
:
x
(1 + ln x )2
1 2
t + C=
2
t dt=
2
+C
b) Llamando t = x3 + 5, dt = 3x2 dx:
x2
∫
3
x +5
dx
=
1
3
3x 2
∫
3
x +5
1
3
dx
=
dt
∫
t
2
2
t +C
x3 + 5 + C
=
3
3
=
2
c) Llamando t = 5 + x , dt = 2x dx:
x
∫ (5 + x )
1
2
dx =
2 2
2x
∫ (5 + x )
2 2
dx =
1
2
dt
∫t
2
= −
1 1
1
1
· +C = − ·
+C
2 t
2 5 + x2
d) Llamando t = x3 + 5, dt = 3x2 dx:
∫(x
3
+5
)
4
1
x dx =
3
2
∫(x
3
+5
)
4
1 4
t5
3 x dx =
t dt =
+C =
3
15
∫
2
∫ 2x
(x
3
+5
15
1
)
5
+C
dx . Para ello haz el cambio t =
x −1
cuadrado dicha expresión y sustituye lo obtenido en el integrando.
16. Calcula la integral indefinida
t=
x − 1 ⇒ t2 = x − 1⇒ x = t2 + 1
t=
x − 1 ⇒ dt =
∫ 2x
1
x −1
1
2 x −1
1
∫x 2
dx =
x − 1 , despeja x elevando al
dx
1
x −1
∫t
dx =
dt
2
+1
=arctg t + C =arctg x − 1 + C
17 y 18. Ejercicios resueltos.
Integrales | Unidad 8
69
19. Calcula las siguientes integrales indefinidas.
5
CASO 1. a)
∫ x − 2 dx
CASO 2. c)
∫x
2
5
4x − 1
dx d)
+ 6 x + 25
1a)
∫ x − 2 dx=
1b)
dx
dx
=
∫ 2x − =
1
2 ∫ 2x − 1
2c)
dx
∫=
∫x
x + 6 x + 25
3
4x − 1
∫
CASO 3. e)
∫x
2
3
dx
+4
CASO 4. g)
∫x
2
∫x
2
2
4 x + 12
2
∫ 2x − 1dx
2
f)
∫x
2
3
dx
− 6x + 9
h)
∫x
2
+ 6 x + 25
dx
= 2
4 x + 12
2
∫x
+ 6 x + 25
2x + 6
2
∫x
dx −
13
2
+ 6 x + 25
dx . Calculamos estas integrales por separado:
(
)
dx
= 2ln x 2 + 6 x + 25 + C1
+ 6 x + 25
2
2d)
∫
3e)
∫x
2
∫
(
∫
)
1
1
3⋅2
3
x
2
arctg   + C
dx
dx
=
=
2
2
4
2
2

x
x
 
 
1+  
1+  
2
2
 
 
x −1
dx =
+ 3x + 2
x −1
∫x
2
∫x
2
∫
x −1
∫ ( x + 2)( x + 1) dx ;
A ( x + 1) + B ( x + 2 )
x −1
A
B
=
+
=
⇒
( x + 2 )( x + 1) x + 2 x + 1
( x + 2 )( x + 1)
+ 3x + 2
1
dx =
+x
3
2
∫ x + 2 dx − ∫ x + 1 dx=
dx
=
x = −1 ⇒ −2 = B ⇒ B = −2 
3
2
x −1
.
=
−
⇒
x = −2 ⇒ −3 = − A ⇒ A = 3 
2
1
2
x
x
x
x
+
+
+
+1
(
)(
)
3ln x + 2 − 2ln x + 1 + C
A ( x + 1) + Bx
1
A
B
=
+
=
⇒ 1 = A ( x + 1) + Bx
x ( x + 1) x x + 1
x ( x + 1)
1
∫ x ( x + 1) dx
x =−1 ⇒ 1 =−B ⇒ B =−1
1
1
1
=
−
⇒
x = 0 ⇒ 1= A ⇒ A = 1
x ( x + 1) x x + 1

1
∫x
2
4g)
∫x
2
4h)
∫x
2
∫
4x − 1
13
 x+3
dx
= 2ln x 2 + 6 x + 25 −
arctg 
 +C
4
+ 6 x + 25
 4 
⇒ x −=
1 A ( x + 1) + B ( x + 2 ) . Por tanto:
+x
dx=
1
1
∫ x dx − ∫ x + 1 dx=
.
ln x − ln x + 1 + C
3
3
3
−1
dx =
dx =
dx =
−3
−
+C
2
2
x
−3
− 6x + 9
3
3
x
x
−
−
(
)
(
)
∫
2x + 1
dx =
+ 8 x + 16
∫
2x + 1
∫ ( x + 4)
2
dx
A ( x + 4) + B
2x + 1
A
B
1 A ( x + 4) + B
=
+
=
⇒ 2 x +=
2
2
4
x
+
( x + 4)2
( x + 4)
( x + 4)
x = −4 ⇒ −7 = B ⇒ B = −7
2x + 1
2
7

=
−
⇒
2
x= −3 ⇒ −5= A + B ⇒ −5= A − 7 ⇒ A= 2
+
x
4
( x + 4)
( x + 4 )2
70
2x + 1
dx
+ 8 x + 16
3
ln 2 x − 1 + C
2
∫
3
3
dx
=
4
x2 + 4
∫x
1
dx
+x
1
13
1
13
1
4 ⋅ 13
13
 x+3
4
arctg 
dx 13 =
dx
dx
dx
=
=
=
 + C2
2
2
2
16
16
4
4 
x 2 + 6 x + 25

16 + ( x + 3 )
3
3
x
x
+
+




1+ 
1+ 


 4 
 4 
∫x
3f)
x −1
dx
+ 3x + 2
5ln x − 2 + C
3
∫x
3
b)
2x + 1
2
+ 8 x + 16
Unidad 8| Integrales
dx
=
2
7
∫ x + 4 dx − ∫ ( x + 4)
2
dx
= 2ln x + 4 +
7
+C
x+4
20. Determina las siguientes integrales indefinidas.
x3 + 1
dx
x 2 + 2x + 4
a)
∫
b)
∫ 4x
2
c)
∫ 3x
2
a)
∫x
∫
1
dx
− 8x + 4
e)
∫x
6x − 8
dx
− 8x + 5
f)
∫ ( x + 1)( x − 2) dx
x3 + 1
2
x 2 + 2x + 3
dx
x−2
d)
+ 2x + 4
x2

− 2x +
 dx =
2
+ 2x + 4 
9

∫  x − 2 + x
dx =
2
2
x2
dx
+ 2x + 5
5
∫x
9
2
+ 2x + 4
dx (esta última integral es del caso 2).
1
 x + 1
9
1
1
3
=
dx 9=
dx 3 =
dx 3 3 =
dx 3 3arctg 
+C
2
2
3 + ( x + 1)2
x 2 + 2x + 4
 3 
 x + 1
 x + 1
1+ 
1+ 


 3 
 3 
∫
∫
x3 + 1
∫x
2
+ 2x + 4
∫ 4x
c) Es inmediata:
∫ 3x
x 2 + 2x + 3
dx =
x−2
∫
e)
∫x
2
∫
2
1
1
dx
=
4
− 8x + 4
1
dx
∫ ( x −=
1)
2
−1
+C
4 ( x − 1)
6x − 8
=
dx ln 3 x 2 − 8 x + 5 + C
− 8x + 5
2
11 
x2

+ 4 x + 11⋅ ln x − 2 + C
x + 4+
 dx =
x−2
2

x2
2x + 5 
2x + 5

dx =
x−
dx
1− 2
 dx =
x + 2x + 5 
x 2 + 2x + 5
+ 2x + 5

∫
2x + 5
∫
2x + 2
dx
dx +
=
x 2 + 2x + 5
+ 2x + 5
integral es del caso 2).
∫x
∫
 x + 1
x2
− 2 x + 3 3arctg 
+C
2
 3 
dx =
b) Es del caso 4:
d)
∫
∫
2
∫x
3
2
+ 2x + 5
dx
= ln x 2 + 2 x + 5 + 3
∫x
1
2
+ 2x + 5
dx
(esta
última
1
1
1
1
1
2
1
 x + 1
2
arctg 
=
dx =
dx =
dx =
dx
 + C1
2
2
4
4
2
4 + ( x + 1)2
x 2 + 2x + 5
 2 
 x + 1
 x + 1
1+ 
1
+



 2 
 2 
∫
∫
∫
∫
∫
x2
3
 x + 1
dx = x − ln x 2 + 2 x + 5 − arctg 
 +C
2
2
x + 2x + 5
 2 
f) Es del caso 3:
5
=
( x + 1)( x − 2 )
A ( x − 2 ) + B ( x + 1)
A
B
+
=
⇒ 5= A ( x − 2 ) + B ( x + 1)
x +1 x − 2
( x + 1)( x − 2 )
5
3

5
5
−

5
3
=
+ 3
⇒
5
x + 1)( x − 2 ) x + 1 x − 2
(
x =−1 ⇒ 5 =−3 A ⇒ A =−
3 
x = 2 ⇒ 5 = 3B ⇒ B =
5
∫ ( x + 1)( x − 2) dx = ∫
5 
 5
 −3

5
+ 3  dx =
( − ln x + 1 + ln x − 2 ) + C

+
−
x
1
x
2
3




21. Ejercicio interactivo.
Integrales | Unidad 8
71
22. Ejercicio resuelto.
23. Calcula el área de las regiones sombreadas.
a)
b)
a) Si f(x) = 3 − 3x2, entonces F(x) = 3x − x3 cumple que F ' ( x ) = f ( x ) y el área de la zona sombreada es:
F(1) − F(−1) = (3 − 1) − (−3 + 1) = 4 u2.
b) Si g(x) = sen x, entonces G(x) = −cos x cumple que G ' ( x ) = g ( x ) y el área sombreada es:
G(π) − G(0) = −(−1) + 1 = 2 u2.
24. Calcula el área de la región sombreada.
Se calcula una primitiva de f ( x ) =x 4 + 5 x 3 + 3 x 2 − 9 x : F ( x ) =
x5 5x 4
9x 2
+
+ x3 −
5
4
2
El área sombreada es:
2
 ( −2 )5 5 ⋅ ( −2 )4
9 ⋅ ( −2 )
3
+
+ ( −2 ) −
F ( 0 ) − F ( −2 ) = 0 − 
 5
4
2

 62 2
=
u.
 5

25. Calcula el área de la zona limitada por la gráfica de y = x2, el eje X y las rectas x = 0 y x = 2.
Área = G(2) − G(0) con G ' ( x ) = x 2
Una primitiva de G ' ( x ) es G ( x ) =
El área pedida es: G(2) − G(0) =
72
Unidad 8| Integrales
1 3
x .
3
8 2
u.
3
26. Calcula las siguientes integrales definidas.
1
∫ (
a)
d)
cos x dx
e)
−1
b)
∫
1
0
2
∫ (x
c)
)
x x 2 − 1 dx
2
0
1
)
f)
− 1 dx
1
∫ x ( x − 1) dx = ∫ (
a)
2
−1
b)
−1
1
1
0
2
c)
∫ (x
d)
∫(
2
0
3
0
∫ ( 4e
f)
∫
0
−1
∫
2π
0
x
)
− x dx
sen x dx
2
8
2
1

− 1 dx =  x 3 − x  = − 2 =
3
3
0 3
)
x
−1
2π
∫ ( 4e
= sen1 − sen0 = sen1
)
1
1
)
− 3 x + x dx
1
)
3
 2x 5 3x 2 2 x 3
2 x 4 − 3 x + x dx = 
−
+
2
3
 5
e)
4
0
 x4 x2 
x − x dx = 
−
 =0
2  −1
 4
∫ cos x dx =[sen x ]
0
∫ ( 2x
3
3

2 ⋅ 35 3 ⋅ 32 2 33 837
 =
−
+
=
+2 3
5
2
3
10

0
1
 x x2 
1 
1
1

4e − −  4e −1 −  =
4e − 
− x dx =
=
 4e −
 =
2  −1
2 
2
e


)
sen x dx =[ − cos x ]0 =− cos 2π − ( − cos0) =−1 − ( −1) =0
2π
27. Escribe una función continua f para la que
∫
1
−1
f ( x ) dx = 0 .
Como el intervalo es simétrico respecto del origen, cualquier función impar lo verifica, por ejemplo, f(x) = x.
28. Calcula
∫
4
−1
3x dx .
Como f (=
x ) 3=
x
∫
4
−1
∫
0
{−33xx
3 x dx =
3 x dx +
−1
−1 ≤ x < 0
:
0≤x≤4
∫
4
0
∫
0
3 x dx =
−3 x dx +
−1
∫
4
0
0
4
3 3 2 51
 3 2
3 2
3 x dx =
+ ·4 =
− 2 x  +  2 x  =
2

 −1 
0 2 2
Integrales | Unidad 8
73
29. Escribe una función f no constante en [ 0,2] tal que
∫
2
0
f ( x ) dx = 2 .
Hay que obtener una función F(x) con F(2) − F(0) = 2.
F(x) = x no sirve, pues =
f ( x ) F=
' ( x ) 1 es constante.
1 2
x y, por tanto, f(x) = x.
2
Probando con F ( x ) =
Otra forma de resolverlo es dibujando un triángulo isósceles de base 2 y altura 2.
La función que lo define es f ( x ) =
{24x− 2x
0 ≤ x ≤1
1< x ≤ 2
(
)
30. Calcula el área encerrada por el eje X, la gráfica de =
f ( x ) x x 2 − 1 y las rectas verticales x = −1 y x = 1.
(
)
La función es f ( x )= x x 2 − 1 = x ( x + 1)( x − 1) .
Corta al eje horizontal en los puntos A(−1, 0), O(0, 0) y C(1, 0).
Y al eje vertical en el punto O(0, 0).
Piden la suma de las áreas de las zonas sombreadas.
Como la función es simétrica respecto del origen, ambas zonas son iguales.
Por tanto el área pedida es:
0
∫ (
A =2 ⋅
31. Si
∫
b
−1
)
x x 2 − 1 dx =2
f ( x ) dx = 1 ,
a
∫
de estas integrales.
∫
b
b)
∫
b
a)
∫
b
∫
b
∫
b
a)
b)
c)
a
a
b
a
0
∫ (x
3
−1
0
 x4 x2 
  1 1  1 2
− x dx =2 
−
 =2 0 −  −   = u .
2  −1
  4 2  2
 4
)
∫
g ( x ) dx = 2 y
b
a
h ( x ) dx = −3 , calcula, si tienes datos suficientes, el valor de algunas
( f ( x ) + g ( x ) ) dx
c)
( 2f ( x ) − 3g ( x ) ) dx
d)
a
a
a
( f ( x ) + g ( x ) ) dx = ∫
b
a
( 2f ( x ) − 3g ( x ) ) dx =
f ( x ) dx +
2
∫
b
a
∫
b
a
∫
b
∫
b
a
a
( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) dx
( f ( x ) − 2h ( x ) ) dx
g ( x ) dx =1 + 2 = 3
f ( x ) dx − 3
∫
b
a
g ( x ) dx = 2·1 − 3·2 = −4
( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) dx . No se tienen datos suficientes. (De ninguna manera debemos caer en el error de pensar
que la integral del producto es el producto de las integrales).
d)
74
∫
b
a
( f ( x ) − 2h ( x ) ) dx =
Unidad 8| Integrales
∫
b
a
f ( x ) dx − 2
∫
b
a
h ( x ) dx = 1 − 2· ( −3 ) = 7
∫
32. Si f es continua y
∫
1
0
33. Si
g ( t ) dt =
∫
1
0
∫
2
a)
∫
2
∫
3
∫
3
b)
c)
0
0
1
2
0
f ( x ) dx = 2 , ¿cuánto vale
1
∫0 (f (t ) + 1) dt =
f ( x ) dx = 1 ,
a)
1
∫
2
1
f ( x ) dx =
f ( x ) dx =
0
f ( t ) dt +
f ( x ) dx = 2 y
f ( x ) dx
f ( x ) dx =
∫
1
b)
1
2
∫ f ( x ) dx + ∫
0
∫
3
∫
3
0
0
1
f ( x ) dx −
f ( x ) dx −
∫
3
1
∫
1
1
∫ g ( t ) dt
∫ dt = 2 + [t ]
3
0
0
siendo g=
(t ) f (t ) + 1 ?
0
1
0
= 2 +1= 3
f ( x ) dx = 3 , calcula:
f ( x ) dx
c)
∫
3
2
f ( x ) dx
f ( x ) dx =1 + 2 =3
1
∫ f ( x ) dx = 3 − 1 = 2
0
∫
2
0
f ( x ) dx = 3 − 3 = 0
34. Ejercicio resuelto.
35. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función y =
verticales x = 1 y x = 2.
x
el eje horizontal y las rectas
1+ x2
No es necesario dibujar un esbozo de la gráfica. La función es claramente positiva en el intervalo [1, 2] y continua,
por lo que la región en cuestión está por encima del eje X y su área nos la da la integral:
A=
∫
2
1
x
1
dx =
2
x +1
2
∫
2
1
2
2x
1
1
dx =
ln x 2 + 1  =
[ln5 − ln2] u2.

1
2
2
x +1
2
(
)
36. Determina el área de la región finita limitada por el eje horizontal y la gráfica y = x2 − 2x − 3.
La gráfica de dicha función es una parábola cóncava hacia arriba que corta al eje X en
los puntos A(−1, 0) y B(3, 0).
La región en cuestión está por debajo del eje X y su área, por tanto, es:
A =−
3
∫(
−1
3
 x3

5  32 2

x 2 − 2 x − 3 dx =−  − x 2 − 3 x  =−  −9 −  =
u
3
3 3


 −1
)
Integrales | Unidad 8
75
37. Halla el área de la región encerrada entre las gráficas de f ( x=
) 2 x − x 2 y g ( x=
) x2 −
Los puntos de corte de las dos funciones son: 2 x − x 2 =
x2 −
3
.
2
3
3
1
3
⇒ 2x 2 − 2x − =
0⇒x =
− y x=
2
2
2
2
Como en [−1, 3], f(x) ≥ g(x), el área buscada es:
3
2
1
−
2
∫
A=
3
2 
−2 x 2
1
− 
2
∫
( f ( x ) − g ( x ) ) dx =
3
+ 2x +
3
3 2
 2 3
 9 9 9  1 1 3 8 2
2
+ − = u
 dx = − x + x + x  1 = − + +  − 
2
2 −
 3
 4 4 4   12 4 4  3
2
38. Calcula el área de la región limitada por las curvas y = x + 5, y = 2, y = −1 e y2 = x.
Se calcula el área de cada una de las regiones señaladas en la figura:
Las rectas y = 2 e y = −1 cortan a y2 = x en los puntos A(4, 2) y B(1, −1), respectivamente.
Dividimos la región limitada por las curvas en las regiones A1, A2, A3:
A1 es un trapecio de bases 6 y 3, y altura 3. Por =
tanto, A1
A2 se calcula con
∫(
A3 se calcula con
∫(
 2x x

5 2
= 
+ x =
x + 1 dx
u.
3
3
0

0
1
0
Luego el área es: A =
39. Ejercicio interactivo.
40. Ejercicio resuelto.
76
4

2x x 
8 2
2 − x dx =
2x −
 =u .
3
3
0

4
Unidad 8| Integrales
)
)
27 8 5 107 2
u.
+ + =
2 3 3
6
1
(6 + 3) ⋅ 3
=
2
27 2
u.
2
41. Halla el valor medio de las siguientes funciones en los intervalos indicados.
a) f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 en [0,1]
x + 2 x ≤ 2
en [ −2,4]
b) f ( x ) = 
x>2
4
c) f (=
x)
1
x + 1 en [0,3]
3
En todos los casos se puede aplicar el teorema del valor medio del cálculo integral por ser funciones continuas en
los intervalos correspondientes.
1
∫ (x
a)
0
2
1
1
4
4
1

. El valor medio de f(x) en el
− 4 x + 3 dx =  x 3 − 2 x 2 + 3 x  =
−2+3=
= f ( c )(1 − 0 ) ⇒ f ( c ) =
3
3
3
0 3
)
intervalo [0, 1] es
∫
b)
4
−2
f ( x ) dx =
∫
2
−2
4
.
3
( x + 2 ) dx + ∫
4
2
2
8
4
1

4 dx =  x 2 + 2 x  + [ 4 x ] 2 = 8 + 8 = 16 = f ( c ) ( 4 − ( −2 ) ) = 6f ( c ) ⇒ f ( c ) =
3
2
 −2
8
.
3
El valor medio de f(x) en el intervalo [−2, 4] es
∫
c)
3
0
3
3
9
3
1

1 2

=
f ( x ) dx =  x + 1 dx =
3f ( c ) ⇒ f ( c ) =
 6 x + x  =
2
2
0 3

0
∫
El valor medio de f(x) en el intervalo [0, 3] es
3
.
2
42. Halla el valor medio de la función:
∫
6
0
f ( x ) dx =
∫
2
0
f ( x ) dx +
∫
3
2
f ( x ) dx +
∫
4
3
f ( x ) dx +
∫
6
4
f ( x ) dx =
= [Área de un cuarto de círculo de radio 2] − [área de un triángulo rectángulo isósceles de cateto 1] − [área de un
triángulo rectángulo isósceles de cateto 1] + [área de un triángulo rectángulo isósceles de cateto 2] =
π ⋅ 22 1 1 4
π +1
=
− − + =
π +1=
6f ( c ) ⇒ f ( c ) =
4
2 2 2
6
El valor medio de la función en el intervalo [0, 6] es
π +1
.
6
43 a 48. Ejercicios resueltos.
Integrales | Unidad 8
77
EJERCICIOS
Integral indefinida. Primitivas inmediatas
49. Identifica cada una de las primitivas siguientes con una de la tabla dada en el texto y, a continuación,
resuélvelas.
1

x3 − 5x 2 + 3
dx
x
a)
∫  x + 2  dx
g)
∫
b)
∫
tg3 x
dx
cos2 x
h)
∫e
c)
∫ (3x − 5) dx
i)
∫ x ⋅e
d)
∫x
j)
∫ x (x
e)
∫ 1+ x
k)
∫
f)
∫ sen ( 2x ) dx
l)
∫
a)
∫  x + 2  dx = ∫ x dx + ∫ 2 dx =
2
4
3
⋅ x 5 dx
x
dx
4
1
1

⋅ 7 e 2 x + 1 dx
2x
x2
2
dx
)
3
− 1 + x 2 − 1 dx
2sen x cos x
dx
1 + sen2 x
x
1+ x2
dx
ln x + 2 x + C . Tipos 2 y 1.
tg3 x
1 4
=
dx
tg x + C . Tipo 1.
4
cos2 x
b)
∫
c)
∫ (3x − 5) dx = 3 ∫ 3 (3x − 5) dx = 9 (3x − 5)
d)
∫
1
2
∫
4
x3 ⋅ x5 =
dx
1
2
17
3
+ C . Tipo 1.
21
4 4
4 54
x +=
C
x x + C . Tipo 1
21
21
x4=
dx
1
2x
1
x
arctg x 2 + C . Tipo 9.
dx
dx
=
e) =
2 1+ x2 2
2
1+ x 4
∫
f)
78
( )
∫ ( )
1
1
2sen2 x dx =
− cos ( 2 x ) + C . Tipo 6.
∫ sen2x dx =
2∫
2
x3 − 5x 2 + 3
dx =
x
g)
∫
h)
∫e
i)
dx
dx
2 xe =
∫ xe =
2∫
j)
∫ x (x
k)
∫
l)
∫
7
2x
⋅ e 2 x +=
1 dx
x2
2
∫x
2
∫
dx − 5 x dx + 3
7 2x
e +1
16
(
1
x2
3
)
− 1 + x 2 − 1 dx
=
)
7
1
1
∫ x dx = 3 x
3
x
1+ x
2
dx =
Unidad 8| Integrales
∫2
1 x2
e + C . Tipo 3.
2
∫x
3
∫
dx − x dx +
∫x
3
x 2 − 1 dx
=
)
2x
1+ x
2
5 2
x + 3ln x + C . Tipos 1 y 2.
2
e 2 x + 1 + C . Tipo 1.
2sen x cos x
ln 1 + sen2 x + C . Tipo 2.
dx =
1 + sen2 x
(
−
dx = 1 + x 2 + C . Tipo 1.
1 4 1 2 3 2
x − x +
x −1
4
2
8
(
)
3
x 2 − 1 + C . Tipo 1.
50. Calcula las siguientes integrales.
 1
1
2 
+
 dx
x2 x3 
c)
∫ (1+ e ) e
d)
∫
a)
∫  2
b)
∫ (sen ( 2x ) − cos (3x ) + 2cos xsen x ) dx
a)
∫  2
b)
∫ (sen2x − cos3x + 2cos x sen x ) dx =−2 cos 2x − 3 sen 3x + sen x + C
c)
∫ (1+ e )
d)
∫
x
 1
x
+
+
1
2 
+ 3  dx =
2
x
x 
e x dx=
sen ( 3 x )
1 − cos
2
(3x )
2
1+ ex
5
(
dx=
∫
)
5
2
∫
+ C=
sen ( 3 x )
sen ( 3 x )
2
51. Halla la primitiva de f ( x =
) x+
F (x) =
x
dx
sen ( 3 x )
1 − cos2 ( 3 x )
dx
1 1
−
+C
x x2
x−
1
x 3
x 3
1
2
1+ ex
5
(
dx=
)
2
2
1+ ex + C
sen ( 3 x )
∫ sen (3x ) dx= ∫ dx=
x +C
4
que vale 5 en x = 2.
x2
22 4
4 
x2 4

− + C . Como F(2) = 5, F ( 2 ) =
− + C =5 ⇒ C =5
 x + 2  dx =
2 x
2 2
x 

Entonces, F ( x ) =
x2 4
− +5.
2 x
52. Determina la ecuación de la función polinómica f que pasa por los puntos A ( 0,1) y B ( 1,1) , y tal que
f ''' ( x=
) 6x + 4 .
f ' ( x )=
∫ (6x + 4) dx=
3x 2 + 4x + C
y
∫(
)
f ( x ) = 3 x 2 + 4 x + C dx =
x 3 + 2 x 2 + Cx + D
Como y = f(x) pasa por A(0, 1), debe ser f ( 0=
) D= 1 , y como pasa por B(1, 1), f (1) =1 + 2 + C + 1 =1 ⇒ C =−3 .
La función buscada es f ( x ) = x 3 + 2 x 2 − 3 x + 1 .
53. Encuentra dos funciones cuya derivada sea f=
(x)
valor que la otra.
F ( x )=
 1
∫  x + 1 + e
2x
1 2x

 dx= ln x + 1 + e + C
2

Si C = 0 para una de ellas, y para la otra, C =
Las funciones son F ( x )= ln x + 1 +
G (0) = 1.
1
+ e 2 x tales que en el punto x = 0 una tenga doble
x +1
F ( 0=
)
1
+C
2
1
:
2
1
1
1
1 2x
y que
e y G ( x )= ln x + 1 + e 2 x + , cumpliéndose así que F ( 0 ) =
2
2
2
2
Integrales | Unidad 8
79
Integración por partes
54. *Calcula las siguientes integrales.
a)
∫ xe
b)
∫2
a)
x
x
−2x
dx
dx
)
c)
∫ (x
d)
∫ sen x dx
2
+ x e −2 x +1 dx
2
1
f (x) =
x ⇒ f '(x) =


⇒
1
−2 x
−2 x 
g ' ( x ) =⇒
e
g (x) =
− e 

2
∫ xe
−2 x
ln x
e)
∫
x ln x dx
g)
∫x
f)
∫ ln ( x + 1) dx
h)
∫x e
2
dx
3 − x2
dx
i)
∫ x ln x dx
j)
∫e
x
cos ( 3 x ) dx
1
1
x
x
dx =
e −2 x dx =
− e −2 x +
− e −2 x − e −2 x + C =
2
2
2
4
∫
1
=
− e −2 x ( 2 x + 1) + C
4
b)
c)
f (x) =
x ⇒ f '(x) =
1


⇒
1
1
−x
g '(x) =
2 ⇒ g (x) =
−
⋅
ln2 2 x 
x
∫2
f ( x ) = x 2 + x ⇒ f ' ( x ) = 2x + 1


1 −2 x +1  ⇒
−2 x +1
g '(x) =
e
⇒ g ( x ) =− ⋅ e


2
x
−x
1
+
2 ln2 ln2
dx
=
∫ (x
2
x
1
∫2
x
−x
1
−
+C
x
2 ln2 2 (ln2 )2
dx
=
x
1
1
+ x e −2 x +1 dx =
− x 2 + x e −2 x +1 +
2
2
)
(
)
∫ ( 2x + 1) e
−2 x +1
dx
Esta última integral se ataca también por partes:
f ( x )= 2 x + 1 ⇒ f ' ( x )= 2
g '(x) =
e
⇒
∫(x
=
−
d)
2
−2 x +1


1 −2 x +1  ⇒
⇒ g (x) =
− ⋅e


2
1
1
1
+ x e −2 x +1 dx =
− x 2 + x e −2 x +1 − ( 2 x + 1) e −2 x +1 +
e −2 x +1 dx =
2
4
2
(
)
)
∫
1 2
1
1
1
1
2
− e −2 x +1 x 2 + 2 x + 1 + C =
− e −2 x +1 ( x + 1) + C
x + x e −2 x +1 − ( 2 x + 1) e −2 x +1 − e −2 x +1 + C =
2
4
4
2
2
(
(
)
f ( x ) = sen x ⇒ f ' ( x ) = cos x

⇒
g '(x) =
sen x ⇒ g ( x ) =
− cos x 
−sen x cos x + cos
∫ sen x dx =
∫
2
2
∫
x dx =
−sen x cos x +
−sen x cos x + dx − sen x dx =
∫ (1 − sen x ) dx =
∫ ∫
2
∫
=
−sen x cos x + x − sen2 x dx ⇒ 2 sen2 x dx =
−sen x cos x + x ⇒
1

f (x) =
ln x ⇒ f ' ( x ) =

x
e)
⇒
2
g '(x) = x ⇒ g (x) = x x 

3
=
f)
∫
x ln x dx =
2
x x ln x −
3
∫
2
x − sen x cos x
∫ sen x dx =
2
2
+C
2 x
dx =
3
2
4
2
2

x x ln x − x =
x +C
x x  ln x +  + C
3
9
3
3

f ( x )= ln( x + 1) ⇒ f ' ( x )=
1⇒ g (x) =
g '(x) =
x
= x ln ( x + 1) − x +
80
)
Unidad 8| Integrales
1
1 

= x ln ( x + 1) −
x + 1 ⇒ ln ( x + 1) dx

=
∫ x + 1 dx
∫
x ln ( x + 1) − x + ln ( x + 1) +=
C
x
∫ x + 1dx=
x ln ( x + 1) −
∫
( x + 1) ln ( x + 1) − x + C
x + 1− 1
dx
=
x +1
1 
f (x) =
ln x ⇒ f ' ( x ) = 
x 
g)
⇒
1
1
⇒
=
−
g '(x) =
g
x
)
(
x 
x2
h)
∫x e
3 − x2
∫
ln x
∫x
2
ln x
−
+
dx =
x
2
ln x 1
ln x + 1
−
− +C =
−
+C
dx =
x
x
x
2
dx = x 2 ·xe − x dx
f (x) =
x2 ⇒ f ' ( x ) =
2x


1 − x2  ⇒
− x2
⇒ g (x) =
− e 
g '(x) =
xe

2
=
−
1
∫x
∫x e
3 − x2
2
2
1
− x 2e − x +
dx =
x 2 ⋅ xe − x dx =
2
∫
∫ xe
− x2
dx =
2
1 2 − x2 1 − x2
1
x e
− e
+C =
− e− x x 2 + 1 + C
2
2
2
(
)
i)
1 
f (x) =
ln x ⇒ f ' ( x ) = 
x ⇒

1
g '(x) =
x ⇒ g ( x ) =x 2 
2 
j)
f (x) =
cos ( 3 x ) ⇒ f ' ( x ) =
−3sen ( 3 x ) 
x
e x cos ( 3 x ) + 3 e x sen ( 3 x ) dx
 ⇒ e cos ( 3 x ) dx =
x
x
g '(x) =
e ⇒ g (x) =
e

∫ x ln x dx=
x2
1
ln x −
2
2
x2
∫ x dx=
x2
x2
+C
ln x −
2
4
∫
∫
De nuevo, por partes:
f ( x=
) sen ( 3 x ) ⇒ f ' ( x=) 3 cos ( 3 x )
x
x
x
x
 ⇒ e cos ( 3 x ) dx =e cos ( 3 x ) + 3e sen ( 3 x ) − 9 e cos ( 3 x ) dx
g '(x) =
ex ⇒ g( x ) =
ex

∫
∫
Despejando:
=
e x cos ( 3 x ) dx
∫
e x cos ( 3 x ) + 3e x sen ( 3 x )
10
+C
Integración por cambio de variable
55. Calcula la integral
∫e
2x
( )
∫
t = ex; dt = exdx;
=
e 2 x sen e x dx
Ahora integramos por partes:
∫e
2x
x
sen e x dx mediante el cambio t = e .
∫
e e sen e dx
∫=
∫ tsent dt
x x
x
f (t ) =
t ⇒ f ' (t ) =
1
g ' (t ) =
sen t ⇒ g ( t ) =
− cos t
∫
sen e x dx =
tsen t dt =
−t cos t + cos t dt =
−t cos t + sen t + C =
−e x cos e x + sen e x + C
Integrales | Unidad 8
81
56. Calcula:
a)
∫
sen ( sen x ) cos x dx
∫ (e + 1)
x
3
e −2 x
∫ 1+ e
c)
dx
−4 x
d)
dx
∫
cos ( ln x )
x
dx
∫ sen (sen x ) cos x dx = ∫ sen t dt = − cos t + C = − cos (sen x ) + C
a) t = sen x; dt = cos xdx ⇒
x
x
b) t = e ; dt = e dx ⇒
ex
b)
ex
∫ (e + 1)
x
1
∫ (t + 1)
dx =
3
1
−1
dt =
+C =
−
+C
2
2
x
2 (t + 1)
2 e +1
(
3
)
c) t = e−2x; dt = −2e−2xdx
dt
dt
dx = −2 x = ⇒
−2t
−2e
d) t = ln x; dt=
dx
⇒
x
∫
e −2 x
∫ 1+ e
−4 x
cos (ln x )
x
dx=
t
∫ 1+ t
dx =
∫ cos t dt=
2
dt
dt
1
1
1
=
−
=
− arctg t + C =
− arctg e −2 x + C
−2t
2 1+ t2
2
2
(
∫
)
sen t + C= sen (ln x ) + C ⇒
Integración de funciones racionales
57. Calcula las siguientes integrales indefinidas previa descomposición en fracciones simples.
dx
2x − 1
∫ ( x − 1)( x − 2) dx
∫ 2x + 5
a)
dx
=
dx
∫ 2x + 5=
2 ∫ 2x + 5
b)
A ( x − 2 ) + B ( x − 1)
A
B
2x − 1
=
+
=
⇒ 2 x −=
1 A ( x − 2 ) + B ( x − 1)
( x − 1)( x − 2 )
( x − 1)( x − 2 ) x − 1 x − 2
b)
1
1
2
∫x
dx
+ 2x − 3
a)
c)
2
d)
∫x
dx
−x
2
1
ln 2 x + 5 + C
2
x =2⇒3=B⇒B =3 
2x − 1
3
−1
=
+
⇒
x =1 ⇒ 1 =− A ⇒ A =−1
( x − 1)( x − 2 ) x − 1 x − 2
2x − 1
−1
3
∫ ( x − 1)( x − 2) dx =∫ x − 1 dx + ∫ x − 2 dx =− ln x − 1 + 3ln x − 2 + C
c)
∫x
2
1
dx =
+ 2x − 3
1
=
( x − 1)( x + 3 )
1
∫ ( x − 1)( x + 3) dx
A ( x + 3 ) + B ( x − 1)
A
B
1 A ( x + 3 ) + B ( x − 1)
+
=
⇒=
x −1 x + 3
( x − 1)( x + 3 )
1
1
1
x =−3 ⇒ 1 =−4B ⇒ B =− 
1
1 1
1 
4 ⇒
4
4
=
−
= 
−


1
x − 1)( x + 3 ) x − 1 x + 3 4  x − 1 x + 3 
(

x = 1 ⇒ 1 = 4A ⇒ A =

4
d)
∫x
2
∫x
2
1
=
dx
+ 2x − 3
−
=
 dx

 dx
∫ 4  x − 1 − x +=
3
4 ∫ x −1 x + 3 
1 1
1
dx =
−x
1
∫ x ( x − 1) dx
1 
1  1
Unidad 8| Integrales
1
(ln x − 1 − ln x + 3 ) + C
4
A ( x − 1) + Bx
1
A
B
=
+
=
⇒ 1 = A ( x − 1) + Bx
x ( x − 1) x x − 1
x ( x − 1)
x = 1⇒ 1= B ⇒ B = 1 
−1
1
1
=
+
⇒
x =0 ⇒ 1 =− A ⇒ A =−1
x ( x − 1)
x x −1
82
1 
∫x
1
2
−x
−1
1
∫ x dx + ∫ x − 1 dx =− ln x + ln x − 1 + C
dx =
Área bajo una curva. Teorema fundamental del cálculo
58. Calcula el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de la función g(x) = x3 − 9x y el eje X.
x3 − 9x = x(x2 – 9) = x(x + 3)(x − 3) = 0, si x = −3, x = 0 o x = 3
Se forman dos recintos, uno sobre el eje X para x en el intervalo [ −3,0] y
otro bajo el eje X para x en el intervalo [0,3] .
El área buscada es:
0
∫ (x
3
−3
)
− 9 x dx −
3
∫ (x
0
3
0
3
9 
9 
81 81  81 81  81 2
1
1
u.
− 9 x dx =  x 4 − x 2  −  x 4 − x 2  = − +
− −  =
2  −3  4
2 0
4
2  4
2 2
4
)
59. Calcula el área de las siguientes regiones.
a)
b)
1
∫e
0
∫
1
0
x
1
2
dx= e x  = e − 1 u
0
x (1 − x ) dx =
∫
1
1
1 
1 1 1 2
1
u
x − x 2 dx =  x 2 − x 3  = − =
3 0 2 3 6
0
2
 4 − x 2 si − 2 ≤ x < 0
y halla el área de la región
60. Representa gráficamente la función dada por f ( x ) = 
 4 − x si 0 ≤ x ≤ 4
limitada por la gráfica de f y el eje de abscisas.
El área es:
∫
4
−2
f ( x ) dx =
∫
0
0
−2
f ( x ) dx +
∫
4
0
f ( x ) dx =
0
∫ ( 4 − x ) dx + ∫
2
−2
4
0
( 4 − x ) dx =
4
1 
1 
8
16 40


=  4 x − x 3  +  4 x − x 2  = 8 − + 16 − =
3  −2 
2 0
3
2
3

u2.
Integrales | Unidad 8
83
61. Dada la función f(x) = x2 + a con a > 0, calcula el valor de a para que el área determinada por la gráfica de la
función, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = 3 valga 27.
Como la función es siempre positiva, el área de 27 se puede calcular con la integral:
3
∫ (x
2
0
3
1

2
+ a dx = x 3 + ax  =9 + 3a =27 u .
3
0
)
Por tanto, 9 + 3a = 27 si a = 6.
Integral definida. Regla de Barrow
62. Si f ' es continua y f(1) = 2, ¿cuál es el valor de f(7), sabiendo que
Al ser f ' continua, por la regla de Barrow:
63. Considera la función f ( x ) =
∫
7
1
∫
7
1
f ' ( x ) dx = 3 ?
f ' ( x ) dx= f ( 7 ) − f (1=
) f ( 7 ) − 2= 3 ⇒ f ( 7=) 5
x
.
x2 − 1
a) Calcula una primitiva de f(x).
b) Demuestra que si x > 1, la función f(x) es siempre positiva.
c) Calcula el área encerrada por la gráfica de f(x) entre las rectas verticales x = 2 y x = 3.
a) F ( x )
=
ln x 2 − 1
x
=
dx
2
x2 − 1
∫
b) Si x > 1, entonces el numerador es positivo y el denominador también, pues x 2 − 1 es positivo en
( −∞, −1) ∪ (1, +∞ ) . Por tanto, la función es siempre positiva si x > 1.
ln8 − ln3 2
c) Como f(x) es positiva en [2, 3] y F(x) es una primitiva de f(x), el área buscada es F ( 3 ) − F ( 2 ) =
u.
2
64. Sea la función f ( x ) =
( x − 1)( x + 1)( x − 3 ) .
a) Calcula una primitiva de f(x).
b) Justifica que F(x) = x4 + 2x − 4 no es primitiva de f(x).
c) Halla el área limitada por f, el eje X y las rectas x = 0 y x = 2.
a) G ( x )=
∫ ( x − 1)( x + 1)( x − 3) dx=
∫ (x
3
)
− 3 x 2 − x + 3 dx =
x4
x2
− x3 −
+ 3x
4
2
b) Si lo fuera, debería cumplir que F ' ( x ) = f ( x ) , pero F ' ( x )= 4 x 3 + 2 ≠ ( x − 1)( x + 1)( x − 3 ) (para justificar esta
desigualdad, no es necesario calcular el producto, basta ver que no valen lo mismo en x = 1).
c) Como la función cambia de signo en [0, 2], es positiva en [0, 1) y negativa en (1, 2], el área es:
∫
84
1
0
f ( x ) dx −
∫
Unidad 8| Integrales
2
1
f ( x ) dx = (G (1) − G ( 0 ) ) − (G ( 2 ) − G (1) ) = 2G (1) − G ( 2 ) − G ( 0 ) = 2 ⋅
7
7 2
u
−0−0 =
4
2
65. Calcula los valores de las siguientes integrales definidas.
a)
1
∫ (x
∫
d)
∫
2π
b)
c)
d)
1
−π
cos ( 3 x − 2 ) dx
1
2
dx
1− x
0
1
∫ (x
−3
∫
2
∫
3
1
1
∫
1
∫
π
3
1
∫
3
k)
e −2 x +1 dx
l)
ln x
dx
x
m)
∫
xe x dx
n)
∫
−1
−π
( )
x 2sen x 3 dx
o)
dx
dx
x + 2x
2
1
0
x
3x + 1
π
2
−π
1
2
dx
sen ( 2 x − 1) dx
p)
q)
r)
2
∫ (x
0
2x + 1
2
3
1
0
1 + 2e x
∫
1
x
∫ 1+ x
0
)
+ x +1
4
2
dx
dx
dx
5
dx
x2
−1 1 +
∫
π
4
0
sen x
cos2 x
dx
1
 x 4 2x 3

56
− 2 x 2 + 5 dx =
−
+ 5x  =
−

4
3
3

 −3
)
2
2
2 1
1
2
1
 3
 −3
 3

−2
− 2 + + ln x  =
+ ln2
 3 − 2 +  dx =
 3 x − 2 x +  dx =

x
x
x
8
1
x
x
2
x





1
∫
1
3
3 −1

1
3
 1

3 3 2
3
3
2
x
2
x
−
=−6 3 + 3 9
 3 − 3 x  dx =  x − 3 x  dx =


2
2
2
1

1
 x



∫
2π
2sen ( −2 )
1
1
1

cos ( 3 x −=
2 ) dx  sen ( 3 x −=
2 )
− 2 )
sen ( 6π − 2 ) − sen ( −3π=
sen ( −2 ) +sen=
( −2)
3
3
−π
3
 −π 3
∫
∫
g)
i)
−1
∫
2
2 x dx
−2
j)
2
2π
1
2
dx
e) =
0
1− x2
f)
∫
e
 1

 3 − 3 x  dx
 x

3
a)
h)
g)
c)
∫
∫
1
2 1
 3
 3 − 2 +  dx
x
x
x
∫
e)
∫
0
f)
−3
1
)
− 2 x 2 + 5 dx
2
b)
3
1
arcsen x ]02
[=
π
6
0
0
 2x 
3
2 x dx =
=

ln2
4ln2
−2

 −2
∫
1
 e −2 x +1 
e3 − e −1
e −2 x +1 dx =
−
 =
2  −1
2
−1

∫
1
e
 (ln x )2 
ln x
1
h) =
dx =

1 x
 2 1 2
i)
j)
∫
e
∫
1
−1
π
1
2
( x − 1) e x  =
xe x dx =

 −1 e
π
 1
3 
x 2 sen x 3 dx =
0
 − 3 cos x  =
−π
−π
∫
( )
( )
Integrales | Unidad 8
85
k)
∫x
1
dx =
+ 2x
2
1
∫ x ( x + 2) dx
A ( x + 2 ) + Bx
1
A
B
=
+
=
⇒ 1 = A ( x + 2 ) + Bx
x ( x + 2) x x + 2
x ( x + 2)
1
1
1
x =−2 ⇒ 1 =−2B ⇒ B =− 
1
1 1
1 
2 ⇒
2
2
=−
= −


1
+
+
+
x
x
2
x
x
2
2
x
x
2
(
)


x = 0 ⇒ 1 = 2A ⇒ A =

2
∫x
∫
2
∫
3
1
l)
m)
n)
o)
0
1
2
+ 2x
1 1
1 
1
=
(ln x − ln x + 2 ) + C
 −
dx
2  x x +2
2
∫
dx
=
2
1
1
1
1

3
dx = ⋅ ( ln x − ln x + 2 )  = ( ln 2 − ln 4 − ln1 + ln3 ) = ⋅ ln  
2
2
2
x + 2x

1
2
2
3
1
1

dx = ln 3 x 2 + 1  = ⋅ ln ( 28 )
3x + 1
6
0 6
x
2
π
π
2
1
1
1
1
 1
2
sen ( 2 x − 1))dx =  − cos(2 x − 1) = − cos ( π − 1) + cos ( −2π − 1) = cos ( −1) + cos ( −1) = cos1
2
2
2
2
2
−π

 −π
∫
∫
1
5
1
 π π  5π
dx = [5arctg x ]−1 = 5 ⋅ (arctg1 − arctg ( −1) = 5 ⋅  +  =
x2
4 4 2
−1 1 +
∫
π
4
0
2
π/ 4
sen x
 1 
=
dx= 
cos2 x
 cos x 0
2
2
− 1=
2
2
− 1=
2 −1
2
2x + 1
6
−1 

dx =
=
2
2

2
7
1
x
x
+
+

0
x + x +1
p)
∫(
q)
∫ 1+ 2e
0
1
)
1
x
dt dt 

dx= =
t e x , dt= e x dx, dx=
=
=
t 
ex

dt
∫ (1+ 2t ) t
A (1 + 2t ) + Bt
1
A
B
=
+
=
⇒ 1 = A (1 + 2t ) + Bt
t (1 + 2t )
t 1 + 2t
t (1 + 2t )
1
1

⇒ 1 =− B ⇒ B =−2
1
1
2
=
−
2
2
⇒
+
+
t
1
2
t
t
1
2t
(
)

t = 0 ⇒ 1= A ⇒ A = 1
t =−
1
1
2

∫ t (1 + 2t ) dx = ∫  t − 1 + 2t  dx =
∫
3
0
r)
86
1
− ln 1 + 2t ) + C
3
1
dx =ln e x − ln 1 + 2e x  =3 − ln(1 + 2e3 ) + ln3
x


0
1 + 2e
x
∫ 1+ x
0
(ln t
4
dx =
Unidad 8| Integrales
1
2
1
2x
1
∫ 1+ ( x ) 2 dx = 2 arctg ( x )
0
2
2
1
0
1
1 π
 π
= ⋅ (arctg1 − arctg0) = ⋅  − 0  =
2
2 4
 8
Propiedades de la integral
66. Sea la función cuya gráfica es la de la figura, que consiste en segmentos y cuartos de circunferencia.
∫
Calcula
13
8
13
∫
f ( x ) dx ,
1
∫
f ( x ) dx y
13
5
f ( x ) dx .
Identifiquemos cada trozo de la figura y su área:
1⋅ 3 3 2
u.
=
2
2
1.º Triángulo rectángulo de catetos 1 y 3: =
A1
2.º Cuarto de círculo de radio 3:
=
A2
π ⋅ 32 9 π 2
u.
=
4
4
3.º Cuarto de círculo de radio 3: A3 =
9π 2
u.
4
5 ⋅ 3 15 2
u.
=
2
2
4.º Triángulo rectángulo de catetos 5 y 3: =
A4
∫
∫
13
8
13
1
∫
13
5
15
f ( x ) dx =
− A4 =
−
2
∫
2
∫
f ( x ) dx =
f ( x ) dx +
f ( x ) dx =
1
∫
8
5
f ( x ) dx +
5
f ( x ) dx +
2
∫
13
8
∫
8
5
f ( x ) dx +
f ( x ) dx = A3 + A4 =
∫
13
8
3 15
−
=
−6
f ( x ) dx =
A1 + A2 − A3 − A4 =
2 2
9π 15 9π + 30
+
=
4
2
4
67. Razona la veracidad de las siguientes afirmaciones.
a)
∫
b
b)
∫
b
a
a
f ( x ) dx +
∫
b
d) Si
∫
b
∫
a
a
b
a
c
b
∫
c
f ( x ) dx =
f ( x ) dx
f ( x=
) g ( x ) dx
c) Si
e)
∫
a
∫
b
a
f ( x ) dx ⋅
∫
b
a
g ( x ) dx
f ( x ) dx = 0 , entonces a = b.
f ( x ) dx = 0 y f ( x ) > 0 para todo x, entonces a = b.
f ( x ) + g ( x )  dx =
∫
b
a
f ( x ) dx +
∫
b
a
g ( x ) dx
a) Verdadera, es la propiedad 3 de integrales.
b) Falsa. Por ejemplo:
∫
1
c) Falsa. Por ejemplo:
∫
1
0
x 2 dx =
−1
1
, pero
3
∫
1
0
x dx ⋅
∫
1
0
x dx =
1 1 1
·⋅ = , luego
2 2 4
∫
1
0
x 2 dx ≠
∫
1
0
∫
x dx ·
1
0
x dx
x dx =
0
d) Verdadera por la propiedad 6.
e) Verdadera, es la propiedad 1.
Integrales | Unidad 8
87
68. Sea f continua en [ −1, 4 ] y g(x) = f(x) + 2. Si
∫
4
−1
g (t ) dt =
∫
4
−1
( f (t ) + 2) dt =
∫
4
−1
f ( t ) dt +
∫
4
−1
∫
4
−1
f ( x ) dx = 5 , calcula
∫
4
−1
g ( t ) dt .
2 dt = 5 − [ 2t ] −1 = 5 + ( 8 − ( −2 ) ) = 15
4
Área de recintos planos
69. Halla el área del recinto limitado por la parábola y = x2 − 1 y la recta horizontal y = 3.
x2 − 1 = 3, si x = −2 y x = 2
Como la recta está por encima de la parábola, el área buscada es:
∫ (3 − ( x
2
−2
2
))
2
∫ (3 − x
− 1 dx =
2
−2
2
∫ ( 4 − x ) dx =
)
+ 1 dx =
2
−2
2
1 3

4x − 3 x  =

 −2
8 
8  32

=  8 −  −  −8 + =
3
3  3 u2.

 
70. Halla el área de la región del plano limitada por las curvas y =
1
( 1 + x )2
, y =
−1
( 1 + x )2
y las rectas x = 0 y
x = 1.
El área buscada es:
∫
1
−1
1
−

2
0  (1 + x )
(1 + x )2

= 2
 dx

∫
1
1

2
0  (1 + x )
71. Calcula el área del recinto limitado por las curvas y = 2 x e y =
2x =
x2
.
2
{
x2
 x =0
x =0
⇒ 8x = x 4 ⇒  3
⇒
x=2
0
2
x − 8 =
El área buscada es:
88
1

 −1 
 −1 
2
= 2
 dx
 1u
= 2  2 + 1=
+
x
1




0
Unidad 8| Integrales
∫
0
2
 2x 2x x 3 
x2 
4 ·2 4 4 2
u.
−
− =
 =
 2 x −
 dx= 

2
3
6
3
3 3

 0


2
x 2 − 6x + 5
, calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta x = 5, la
x −3
−4
recta x = 9 y la gráfica g ( x ) =
x −3
72. Dada la función f ( x ) =
En el intervalo [5, 9] ambas funciones son continuas ya que el punto x = 3 no pertenece a dicho intervalo.
¿Qué función va por arriba?
Calculamos: f ( x ) − g ( x ) =
2
x 2 − 6x + 5
x 2 − 6x + 9 ( x − 3)
−4
−
=
=
= x − 3 > 0 si x ∈ [5,9] .
x −3
x −3
x −3
x −3
Es decir, f(x) va por encima de g(x) en el recinto pedido.
Su área es, por tanto:
∫
9
5
9
1
( f ( x ) − g ( x ) ) dx = ∫ ( x − 3 ) dx =  2 x 2 − 3 x 

5
9
5
=
81
 25

2
− 27 − 
− 15  = 16 u .
2
2


73. Halla el área que encierra el recinto limitado por las gráficas de f ( x ) = xe x , y = 0 y x = 0.
El recinto (situado por debajo del eje X), en realidad, es ilimitado como se
aprecia en el dibujo, pero, aún así, podemos calcular su área ayudándonos
de los límites.
Tomamos n < 0 y procedemos así:
A=

lim  −
n →−∞

∫
0
n

xe x dx  =

(
0
)
lim − e x ( x − 1) =
n
n →−∞
(
)
lim − e0 ( 0 − 1) − e n ( n − 1) =
n →−∞
(
)
lim −  −1 − e n ( n − 1) =
n →−∞
)
(
− n − 1 
 
2
= lim −  −1 − e − n ( −n − 1) = lim  −  −1 −
 =− [ −1 − 0] =1 u .
n →+∞
n →+∞  
e n  
74. Enuncia la regla de Barrow y aplícala a la función f=
( x ) e x ( x + 1) en el intervalo [0, 1].
Regla de Barrow: Si f es continua en el intervalo [a, b] y F es cualquier primitiva de f, F ' ( x ) = f ( x ) , entonces:
∫
b
a
b
f ( x=
) dx F ( x=
) a F ( b ) − F ( a )
Como f(x) es continua, se calcula una de sus primitivas, =
F (x)
.
∫e
x
( x + 1) dx .
f (x) = x + 1⇒ f '(x) = 1
Trabajamos por partes:
g '(x) =
ex ⇒ g ( x ) =
ex
∫
∫
F ( x ) = e x ( x + 1) dx =
( x + 1) e x − e x dx =( x + 1) e x − e x =xe x
Por tanto:
∫
1
0
f ( x ) dx = F (1) − F ( 0 ) = e
Integrales | Unidad 8
89
75. Halla el área del recinto acotado por estas tres fronteras:
La parábola de ecuación f ( x ) =
−x 2 + 5x − 4
La recta tangente a la parábola en el punto de abscisa x = 3
El eje horizontal
Hay que calcular la recta tangente a la parábola en el punto A ( 3, f ( 3 ) ) = A ( 3,2 ) .
−2 x + 5 , f ' ( 3 ) = −1 , y la recta tangente es: y = −1(x − 3) + 2 ⇒ y = –x + 5
Como f ' ( x ) =
En el primer trozo (desde x = 3 hasta x = 4), la recta va por encima de la parábola y el segundo trozo (desde x = 4
hasta x = 5) está por encima del eje X. Por tanto, el área buscada es:
∫ (( −x + 5) − ( −x
4
))
2
+ 5 x − 4 dx +
3
4
∫
5
4
( −x + 5=
) dx
4
∫ (x
3
2
)
− 6 x + 9 dx +
∫
5
4
( −x + 5=
) dx
5
 x3

 −x2

= 
− 3x 2 + 9x  + 
+ 5x  =
3
2

3 
4
 43
  33
  −52
  −42
 1 1 5
= 
− 3 ⋅ 42 + 9 ⋅ 4  − 
− 3 ⋅ 32 + 9 ⋅ 3  + 
+ 5 ⋅ 5  − 
+ 5 ⋅ 4  =
+ =
 3
  3
  2
  2
 3 2 6 u2
76. Calcula
1
∫ (
−1
1
∫ x(x
2
−1
)
x x 2 − 1 dx =
)
− 1 dx y explica mediante un gráfico el significado geométrico del valor obtenido.
1
∫ (x
3
−1
1
1 
1
− x dx =  x 4 − x 2  = 0
2  −1
4
)
La función es simétrica respecto al origen O(0, 0) y, por tanto,
el área de la derecha es igual al área de la izquierda.
0
1
− (x
∫ x ( x − 1) dx =
∫
2
−1
0
3
)
− x dx
77. Considerando la curva de ecuación y = x2 + 8x:
a) Calcula las coordenadas del punto en el que la recta tangente a la curva es paralela a la recta y = 2x.
b) Calcula el área del recinto plano acotado limitado por las gráficas de la curva dada y de la recta de ecuación
y= x + 8 .
a) Como la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa x = a es f ' ( a ) y la pendiente de la recta y = 2x
es 2, hay que calcular un punto A(a, f(a)) con f ' ( a ) = 2 .
f ' ( a ) = 2a + 8 = 2 , si a = −3
El punto buscado es A(−3, f(−3)) = A(−3, −15).
2
b) x + 8x = x + 8, si x = −8 o x = 1
El área buscada es:
1
∫ (( x + 8) − ( x
−8
2
))
+ 8 x dx=
1
∫ (−x
−8
2
)
 −13 7 2
  −( −8)3 7
 243 2
u.
= 
− 1 + 8·⋅1 − 
− ( −8)2 + 8·( −8)
=

3
2
3
2
2

 

90
Unidad 8| Integrales
1
 − x3 7 2

− 7 x + 8 dx= 
− x + 8x  =
2
 3
 −8
78. Representa gráficamente y obtén el área de la región acotada limitada por las gráficas de las funciones:
f (x) =
1
5 2
1
=
x , g
( 5 x + 20 ) y h ( x ) = ( −5 x + 20 )
(x)
2
4
2
Punto de corte de la función con cada una de las rectas:
5 2 1
=
x
( 5 x + 20 ) ⇒ 5x2 − 10x − 40 = 0 ⇒ x2 − 2x − 8 = 0 ⇒ x = −2 o x = 4
4
2
5 2 1
2
2
x = ( −5 x + 20 ) ⇒ 5x + 10x − 40 = 0 ⇒ x + 2x − 8 = 0 ⇒ x = −4 o x = 2
4
2
Los puntos de corte que limitan nuestro recinto son x = −2 y x = 2.
Observando la simetría del recinto respecto del eje Y, el área pedida es:
A= 2
∫
2
0
2
 5x 2
 5 ⋅ 22
5 2
5 3
5 3
35 70 2
 5
u.
+ 10 x −
+ 10 ⋅ 2 −
⋅2  = 2⋅
=
x  = 2⋅−
 − x + 10 − x  dx = 2  −
4 
12  0
4
12
3
3
 2
 4


79. Representa gráficamente y halla el área del recinto ABC, donde A(0, 0), B(0, 2), C(1, 1), las líneas AB y BC
2
son rectas, y la línea AC tiene por ecuación y = 2x − x .
La ecuación de la recta que une los puntos B(0, 2) y C(1, 1) es y = −x + 2.
El recinto está limitado superiormente por la recta e inferiormente por la parábola.
Su área es:
1
1
∫ ( − x + 2 − ( 2x − x ) ) dx= ∫ ( x
A=
2
0
2
0
1
3
5 2
1

u.
− 3 x + 2 dx=  x 3 − x 2 + 2 x  =
2
3
0 6
)
80. Calcula el valor de m, m > 0, para que el área encerrada entre las líneas y = x2 e y = mx sea 36.
Puntos de corte de las funciones: x2 = mx ⇒ x = 0 y x = m.
En el intervalo [0, m], mx ≥ x2, y como m > 0, el área entre la recta y la parábola es:
m
∫ (
0
m
 m 2 x3 
m
m3 m3
2
==
mx − x 2 dx =
36 ⇒ m =
6
 x −
 =⋅ m −
3 0
2
3
6
2
)
81. Calcula, por geometría y utilizando el cálculo integral, el área del triángulo de vértices ( 0,10 ) , ( 20,10 ) y
( 20,0 ) .
La base del triángulo mide 20, y la altura, 10, luego su área es 100 u2.
Con cálculo integral, el área del triángulo entre las rectas
1
y = 10, y =
− x + 10 , x = 0, x = 20, nos la da la siguiente integral:
2
∫
20
0

 1

  dx
 10 −  − 2 x + 10=



∫
20
0
20
 x2 
1
2
=
x dx  =
100 u .

2
 4 0
Integrales | Unidad 8
91
82. Determina el área de la figura ABCDA sabiendo que la curva ADC es parte de la gráfica de una función
polinómica de segundo grado.
Como es simétrica respecto del eje Y, es suficiente con calcular el área que está a la derecha del eje vertical y
multiplicarla por 2.
Esa área está limitada por la parábola que pasa por los puntos A(−2, 0), C(2, 0) y D(0, −4).
Como corta al eje en x = −2 y en x = 2, su ecuación es f(x) = a(x + 2)(x − 2) y como pasa por D, vale −4
si x = 0, a = 1.
Con estos datos, la ecuación de la parábola es f(x) = x2 − 4. La ecuación de la recta que pasa por B y C es
1
y=
− x + 1.
2
El área de la derecha es:
∫
2
 1

2
 − x + 1 − ( x − 4)  dx =
0 2

Área buscada: 2 ⋅
∫
2
 1 3 x2

 1 3 22
 19
 2 1

5)
5
−
−
+
=
−
−
+
=
+ 5·2  =
x
x
dx
x
x
 − ·2 −




2
4
4
0

 3
0  3
 3
2
u2.
19 38 2
u.
=
3
3
si x < 0

0
83. Dada la función f ( x ) =  2
.

 x − 2 x si x ≥ 0
a) Dibuja su gráfica.
c) Estudia su derivabilidad en x = 0.
b) Estudia su continuidad en el punto x = 0.
d) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la
función y la parte positiva del eje X.
a)
b) La función es continua en x = 0, pues lim f =
(x)
x → 0−
lim f =
( x ) f=
(0) 0 .
x → 0+
si x < 0
0
si x < 0
0
si x < 0
0


c) f ( x ) =  2
⇒ f ( x ) =  − x 2 + 2 x si 0 ≤ x < 2 . Luego f ' ( x ) =  −2 x + 2 si 0 < x < 2
2 x − 2 si x > 2
 x 2 − 2x
 x − 2 x si x ≥ 0
si x ≥ 2


lim f ' ( x ) = 0 ≠ 2 = lim f ' ( x ) . Por tanto, la función no es derivable en x = 0.
x → 0−
d)
92
2
∫(
0
x → 0+
2
 2 x3 
4 2
2 x − x 2 dx =
x −
 = u.
3
3

0
)
Unidad 8| Integrales
84. Dibuja la gráfica de la función f ( x =
) x − x 2 . Encuentra el intervalo
[ a, b ]
para el que
alcanza el máximo valor.
Como
b
b
∫ ( x − x ) dx
2
a
∫ ( x − x ) dx mide la diferencia entre las áreas limitadas por la curva
2
a
por encima y por debajo del eje horizontal, se obtendrá el máximo valor cuando
se abarque toda la región de la curva que esté sobre el eje horizontal, esto es, en [0, 1].
Así pues, el máximo valor de la integral es
1
1
.
∫ ( x − x ) dx =
6
2
0
85. Calcula el área de las regiones nombradas como A, B, C, D y E en el siguiente dibujo.
Empezamos por las más sencillas:
C es un triángulo de base 4 y altura 2:=
A3
4⋅2
2
= 4 u.
2
2
D + E es un triángulo de base 4 y altura 2: A4 + A5 = 4 u .
D es el área entre una parábola y una recta:
A4 =
Luego A5 = 4 −
∫
2
0
2
 x2 x3 
1 2
1 2 1 3 2

−
 = 2 − 2 =
 x − x  dx = 
2
2
6
2
6
3 2



0
u.
2 10 2
u .
=
3
3
A + B es un trapecio de bases 6 y 4 y altura 2:
A1=
+ A2
( 6 + 4) ⋅ 2
2
= 10 u .
2
A es el área entre el eje de abscisas, la parábola y
∫
0
 x3 
1 2
1
4
3
x dx =
− ( −2 ) = u2.
  =
6
6
3
−2 2
  −2
0
la recta x = −2: A1 =
Luego: B = 10 −
4 26 2
u.
=
3
3
Integrales | Unidad 8
93
Teorema del valor medio del cálculo integral
86. Encuentra el valor medio de:
1
1
a) f1 ( x ) = x , f2 ( x ) = x 2 y f3 ( x ) = x 3 sobre el intervalo [0, 1] .
1
b) Conjetura, a partir del apartado anterior, el valor medio de fn ( x ) = x n en dicho intervalo.
1
c) ¿A qué número se aproxima el valor medio de fn ( x ) = x n cuando n es grande? ¿Se puede explicar este
resultado a partir de la gráfica de dicha función?
a) Valor medio de f1(x):
Valor medio de f2(x):
Valor medio de f3(x):
b) f ( c ) =
1
∫
 x2 
1
x dx =   = = f1 ( c )(1 − 0 ) = f1 ( c )
0
 2 0 2
∫
1
1
0
1
∫
0
1
x2
1
x3
1
 3
 2x 2
dx = 
3


2

 = 3 = f2 ( c )

0
 4
 3x 3
dx = 
4


3

 = 4 = f3 ( c )

0
1
n
n +1
c) Se aproxima a 1, lim
n →+∞
n
= 1.
n +1
En las gráficas de f(x) se observa que a medida que n crece,
el área parece cada vez más un cuadrado de lado 1.
87. Dos autores de este libro hicieron en el verano de 2008 la travesía a pie de los Carros de Foc por el Pirineo
catalán empleando 95 horas, a lo largo de las cuales fueron anotando la altitud a la que se encontraban en
diversos momentos y, después de aproximar y redondear los datos, obtuvieron la siguiente tabla.
Tiempo (h)
3
15
30
25
20
2
Altitud (m)
2000
2200
2300
2400
2500
2600
¿Cuál fue la altitud media a la que se movieron?
La altitud media es el valor medio de la función altitud en el intervalo [0, 95].
Como no se conoce la expresión de la altitud, sino solo una tabla de valores, se aproxima dicha integral con la
suma de las áreas de los rectángulos, es decir, el numerador de la siguiente fracción:
Altitud media 
94
3·2000 + 15·2200 + 30·2300 + 25·2400 + 20·2500 + 2·2600
 2349,47 m.
95
Unidad 8| Integrales
Aplicaciones de la integral definida en las ciencias sociales
88. Una empresa quiere producir c(t) = 200 + 10t unidades de un producto que pretende vender a
p(t) = 200 − 2t € unidad, siendo t el número de días transcurridos desde el inicio de la producción.
a) Halla, dependiendo de t, la función beneficio B(t).
b) Halla el beneficio acumulado durante los primeros 90 días.
a) El beneficio de un día es B ( t ) = c ( t ) p ( t ) =
( 200 + 10t )( 200 − 2t ) =
(
40 000 + 1600t − 20t 2 = 20 2000 + 80t − t 2
)
euros.
b) Para saber el beneficio acumulado se calcula:
∫
90
0
B (=
t ) dt 20
90
∫ (
0
90

t3 
2000 + 80t − t=
dt 20 2000t + 40t 2 − =

30

2
)
= 20 (180 000 + 324 000 − 243 000=
) 5 220 000 €.
89. Una inmobiliaria está interesada en adquirir unos terrenos que pueden ser representados en un
determinado plano como la superficie encerrada entre la parábola f ( x ) =
− x 2 + 2 x + 4 y la recta g ( x ) = 2 x .
a) Halla la representación simultánea de estas dos funciones.
2
b) Si una unidad del área de este plano equivale a 1 km y el precio del kilómetro cuadrado es de 30 millones de
euros, ¿qué importe debe pagar la inmobiliaria por esos terrenos?
a)
b) Las funciones se cortan en los puntos: − x 2 + 2 x + 4 =
2x ⇒ − x 2 + 4 =
0⇒x =
−2 y x = 2
Su área:
2
∫ (
−2
2
 x3

32
km2
− x 2 + 2 x + 4 − 2 x dx =  −
+ 4x  =
3
3

 −2
El precio del terreno: 30 ⋅
)
32
=
320 millones de euros.
3
Integrales | Unidad 8
95
90. Una empresa estima que la tasa de variación de gastos de mantenimiento de sus equipos informáticos
viene dada por la función:
m(t) = 10 + 10t + 4t2
donde t se mide en años, y m, en cientos de euros por año. Se pide:
a) Dibujar la gráfica y hacer una interpretación de la misma.
b) Hallar el área entre la curva anterior y el eje de abscisas, entre los valores t = 0 y t = 5. ¿Qué representa el
resultado?
a)
La tasa de variación de los gastos de mantenimiento
aumenta con el paso del tiempo.
b)
5
)
∫(
0
5

4t 3 
1025
 341,67
10 + 10t + 4t 2 dt = 10t + 5t 2 +
 =
3
3

0
El área representa el dinero total gastado en mantenimiento de equipos los 5 primeros años y es de 34167 €.
CUESTIONES
91. Un estudiante de 2.º de Ciencias Sociales, que no maneja muy bien el método de integración por partes,
tiene que calcular la siguiente integral indefinida:
∫ xe
x
dx
Un compañero le dice que la primitiva que busca es de la forma F=
( x ) Axe x + Be x siendo A y B números
reales.
¿Cómo podrá obtener la integral que busca?
F ' ( x ) = xe x
Así pues, derivando la expresión F=
xe x , es decir:
( x ) Axe x + Be x , obtenemos que A e x + xe x  + Be x =
( A + B ) e x + Axe x
=
xe x
siendo esta igualdad válida para todo x, que ocurrirá sólo si A = 1 y B = −1, por lo que las primitivas de f ( x ) = xe x
son las funciones de la forma F ( x ) = xe x − e x + C .
92.
F ( x ) = x2 −
1
− 1 es una primitiva de:
x
A. f ( x=
) 2x +
1
x2
Si F ( x ) = x 2 −
1
1
1
− 1 , F ' ( x=
) 2x + 2 por lo que F es una primitiva de f ( x=) 2x + 2 ,
x
x
x
B. f ( x=
) 2x −
Por tanto, la respuesta correcta es A.
96
Unidad 8| Integrales
1
x2
C. f =
(x)
1 3
1
x − 2
3
x
93. Una primitiva de f ( x ) = e x + e
x
A.
e x +e
1+ ex
x
pueden ser:
(1 + e ) e
x
B.
x
C. e1+ e
+ ex
x
D. e x + e
x
E. ee
x
x
x
x
Analizando las respuestas, vemos que si F ( x ) = ee , entonces F ' ( x ) = ee ⋅ e x = e x + e = f ( x ) , es decir, la
respuesta correcta es E.
94. ¿Son verdadera o falsas estas afirmaciones?
a) Si f es continua y par, entonces
b) Si f ' es continua, entonces
∫
c)
π
0
∫ (ax
−1
∫
e)
3
0
−a
f ( x ) dx = 2
∫
7
2
+ c dx
0
∫
a
0
f ( x ) dx .
f ' ( x )=
dx f ( 7 ) − f ( 0 ) .
xsen x dx = 2 x
1
d)
a
∫
2
)
+ bx + c=
dx 2
1
∫ (ax
0
)
x ( x − 1)( x − 3 ) dx mide el área de la región encerrada por la curva f ( x ) = x ( x − 1)( x − 3 ) y el eje horizontal.
a) Verdadera ya que, al ser f es simétrica respecto del eje de ordenadas por ser par, se cumple que
∫
0
−a
f ( x ) dx =
∫
a
0
∫
f ( x ) dx y entonces
a
−a
f ( x ) dx =
∫
0
−a
f ( x ) dx +
∫
a
0
f ( x ) dx = 2
∫
a
0
f ( x ) dx .
b) Verdadera pues f es una primitiva de f ' .
∫
c) Falsa, porque la integral definida
1
∫ (ax
d) Verdadera, pues
Por un lado,
∫
Por otro lado,
eje vertical.
1
−1
−1
2
π
0
)
xsen x dx es un número.
+ bx + c =
dx
1
∫ (ax
−1
2
)
+ c dx +
∫
1
−1
bx dx
bx dx = 0 ya que y = bx es simétrica respecto del origen de coordenadas.
1
∫ (ax
2
−1
)
+ c dx
= 2
1
∫ (ax
0
2
)
2
+ c dx ya que y = ax + c es una función par, simétrica respecto del
e) Falsa, ya que y = x(x − 1)(x − 3) no tiene signo constante en el intervalo [0, 3].
95. Halla dos números A y B tales que
6x − 1
2
x −1
=
Así que:
6x − 1
=
x2 − 1
A
B
y calcula posteriormente
+
x +1 x −1
∫
4
2
6x − 1
dx .
x2 − 1
A ( x − 1) + B ( x + 1) ( A + B ) x + B − A
A
B
+
=
=
x +1 x −1
x2 − 1
x2 − 1
A+B =
6
− A + B =−1
Por tanto, B =
5
7
, A=
y
2
2
∫
4
2
6x − 1
4
4
7
7
5
7
7

5

dx = ln ( x + 1)  +  ln ( x − 1)  = ⋅ ln5 − ⋅ ln3 + ⋅ ln3 = ⋅ ln5 − ln3 .
2
2
2
2
2
2
2
x −1

2 
2
Integrales | Unidad 8
97
96. Calcula, de dos formas diferentes,
Esbozando la gráfica de f ( x=
)
∫
∫
2
x + 1 dx .
−2
x + 1 , vemos que la integral pedida es el área sombreada, es decir:
2
−2
1 2 1 2
2
⋅1 + ⋅ 3 = 5 u
2
2
x + 1 dx =
− ( x + 1)
Definiendo f(x) a trozos, como f(x) = f ( x ) = 
 x +1
∫
2
−2
x + 1 dx =
∫
−1
−2
2
si x < −1
si x ≥ −1
, tenemos que:
−1
2
1 2

1

x − x  +  x2 + x  =
 2
 −2  2
 −1
( − x − 1) dx + ∫ ( x + 1) dx =  −
−1
1
 1 
1  1
2
= − + 1 − ( −2 + 2 ) + ( 2 + 2 ) −  − 1 = + 4 + =5 u .
2
 2 
2  2
97. Si f (=
x)
(x
5
− x3
)
15
∫
, calcula
(
)
15
Como f ( − x ) =− x 5 + x 3
2
−2
f ( x ) dx .
(
=
− x5 − x3
)
15
∫
=
−f ( x ) , resulta que
0
−2
f ( x ) dx = −
98. Si f ( x ) ≤ x 2 + 1 , ¿qué número de los siguientes no pueden ser
A. −2,5
B. −1
Si f ( x ) ≤ x 2 + 1 , tenemos que −
∫
1
−1
1
2
−1
1
−1
f ( x ) dx ≤
0
f ( x ) dx , así que
D.
1
∫
2
−2
f ( x ) dx = 0 .
f ( x ) dx ?
C. 0
∫ ( x + 1) dx ≤ ∫
∫
2
E. −2 2
7
∫ ( x + 1) dx .
2
−1
1
1
8
8
4  4 8
1

, resulta que − ≤
f ( x ) dx ≤ , por lo que no
+ 1 dx =  x 3 + x  =
− −  =
3
3
−1
−1
3
 −1 3  3  3
−8
8
64
pues 2 2 >
ya que 8 >
.
puede ser la respuesta E: −2 2 ya que −2 2 <
3
9
3
Así pues, como
1
∫ (x
)
2
∫
Las demás respuestas sí están comprendidas entre −
8
8
y .
3
3
99. Si f es continua y creciente en [ −1,2] con f ( −1) =
−1 ; f ( 0 ) = 0 y f ( 1) = 2 , justifica que −2 ≤
La gráfica de f es algo así, como se muestra al margen.
Así pues,
−1 ≤
98
∫
1
−1
∫
1
−1
f ( x ) dx ≤
1
0
0
−1
∫ f ( x ) dx ≤ 2 y ∫
f ( x ) dx ≤
f ( x ) dx , por lo que, claramente, −2 ≤
Unidad 8| Integrales
∫
1
−1
∫
1
−1
f ( x ) dx , es decir:
f ( x ) dx ≤ 4 .
∫
1
−1
f ( x ) dx ≤ 4 .
100. Justifica que
1
∫ f ( x ) dx <
0
2
e +1
siendo f ( x ) = e x .
2
En [0, 1] la función f es creciente siendo f(0) = 1 y f(1) = e.
Así pues su gráfica es algo así, como se muestra al margen.
2
x
Por otra parte, si 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ x, por lo que e ≤ ex, con lo que
x
Pero al ser y = e cóncava hacia arriba en  ,
1
∫e
0
del trapecio de bases 1 y e y altura 1, cuyo valor es
Así pues
1
∫e
0
x2
dx <
1
∫e
0
x
dx <
x2
1
∫e
x2
0
dx ≤
1
∫e
x
0
dx .
dx representa el área sombreada, que es menor que el área
e +1
.
2
e +1
.
2
101. Observando que la función inversa de f ( x ) = ln x es g ( x ) = e x , calcula
∫
e
1
ln x dx .
Las gráficas de f ( x ) = ln x , y g ( x ) = e x son, como se muestra en la figura, simétricas
respecto de la bisectriz del 1er cuadrante, así que las zonas sombreadas tienen igual
área, por lo que
∫
e
1
ln x dx = 1 ⋅ e −
1
∫e
x
0
1
dx = e − e x  = e − ( e − 1) = 1 .
0
102. *Justifica las siguientes afirmaciones sobre la función polinómica f ( x ) = x 2 .
a) El área limitada por f, el eje X y las rectas verticales x = −3 y x = 3 es la mitad del área limitada por f y la recta
y = 9.
b) El valor medio de f en el intervalo [1, 4] es igual a 7.
a) La recta y = 9 corta a la parábola en los puntos de abscisa x = −3 y x = 3. Por tanto:
A1 =
3
∫ (9 − x ) dx = [9x ]
−3
El área es: A2 =
b)
∫
4
1
3
−3
2
3
 x3 
 27 27 
−   = 54 − 
+
 = 54 − 18 = 36
3 
 3
 3  −3
3
 x3 
27 27 54
1
x 2 dx =   =
+
=
= 18 , es decir, A2 = A1
3
3
3
2
−3
 3  −3
∫
3
x 2 dx = f ( c )( 4 − 1) ⇒
64 1
21
− = f ( c ) ⋅ 3 ⇒ f ( c )=
= 7
3 3
3
Integrales | Unidad 8
99
PROBLEMAS
103. Un publicista diseña un cartel publicitario que tiene la siguiente forma: base horizontal de 10 m de longitud
y resto del contorno limitado por la función
 − x 2 + 6 x si 0 ≤ x ≤ 5
g(x) = 
 − x + 10 si 5 < x ≤ 10
Dibuja el contorno correspondiente al cartel publicitario y calcula su área.
5
∫ ( −x
A=
0
2
)
+ 6 x dx +
∫
10
5
5
10
 x3

 x2

+ 3x 2  + −
+ 10 x  =
3
2

0 
5
( − x + 10 ) dx =
−
 125

 25
 100 25 275 2
m
= −
+ 75  + ( −50 + 100 ) −  −
+ 50  =
+
=
3
2
3
2
6




104. Una fábrica arroja diariamente material a una balsa según un ritmo dado por la siguiente función:
m=
( t ) 0,01t 3 − 0,02t 2 + t + 1 , siendo m la cantidad de material en kg, y t, la hora del día.
a) Esboza la gráfica de esta función en el intervalo [0, 24].
b) ¿Qué representa el área bajo esa curva y sobre el eje X?
c) Calcula el material que se arroja al día.
a)
b) El área bajo la curva representa la cantidad de material arrojado en un día.
24
∫ (0,01t
c)
0
3
24
 0,01t 4 0,2t 3 t 2

0,01·244 0,2·243 242
1 dt 
− 0,2t 2 + t +=
−
+ +=
t
−
+
=
+ 24 219,84 kg al día.
3
2
4
3
2
 4
0
)
105. *Un estudio estadístico permite establecer que en cierta ciudad, el número miles de hogares en los que hay
e 0,1t
ordenador viene dado por la función f ( t ) =
, donde t mide los años transcurridos desde el 1 de
2 + e 0,1t
enero de 2004.
Calcula la media de hogares en los que hay ordenadores entre el 1 de enero de 2006 y el 1 de enero de
2010.
∫
6
2
6
1,71
e0,1t
=
dt 10 ln 2 + e0,1t   1,71
= f ( c )( 6 − 2 ) ⇒ f ( c ) 
 0,43S . Es decir, 430 hogares.
2
4
2 + e0,1t
(
)
(
)
106. El número de personas afectadas por una enfermedad contagiosa viene dado por=
N ( t ) 1000 1 − e −0,2t ,
donde t representa el número de días transcurridos desde la aparición de la epidemia. Se acepta que el
valor medio de la función N ( t ) en el intervalo [0, 30] es una buena aproximación del número medio de
enfermos por día en un período de 30 días. Calcula esa media de enfermos por días.
∫
30
0
(
media.
100
)
1000 1 − e −0,2t dt =1000 t + 5e −0,2t 
Unidad 8| Integrales
30
0
 25 012,39 =30f ( c ) ⇒ f ( c ) 
25012,39
 834
30
enfermos al día de
107. a) Sea la curva de ecuación f ( x ) = px 2 + 2 x + q . Calcula los valores de p y q, para los que la curva pasa por el
punto (2, 15) y tiene un máximo para x = 1.
b) Esboza la gráfica de la función f(x) y halla el área limitada por dicha función y el eje X.
a) f ( x )= px 2 + 2 x + q ⇒ f ' ( x )= 2 px + 2
La función pasa por el punto A(2, 15) ⇒ f ( 2 ) = 15 ⇒ 4 p + 4 + q = 15 ⇒ 4 p + q = 11 .
La función tiene un máximo en x = 1 ⇒ f ' (1) = 0 ⇒ 2 p + 2 = 0 ⇒ p = −1 .
Concluimos pues que, p = −1 y q = 15.
b) La función es f ( x ) =
− x 2 + 2 x + 15 .
Es una parábola cóncava hacia abajo que corta al eje X
en los puntos B(−3, 0) y C(5, 0).
El área pedida nos la da la integral:
5
∫ (−x
A=
−3
2
5
 x3

256 2
u.
+ 2 x + 15 dx = −
+ x 2 + 15 x  =
3
 3
 −3
)
108. La curva y = a(−x2 + 5x − 4), a > 0 limita con el eje de abscisas un recinto de 9 cm2. Halla el valor de a.
Dicha familia de curvas son parábolas cóncavas hacia abajo que cortan al eje X.
en los puntos A(1, 0) y B(4, 0). La condición del enunciado dice que:
9=
4
∫ (
1
)
a − x 2 + 5 x − 4 dx = a
Por tanto, 9 =
∫
4
1
4
5
9a
 1

cm2.
( − x 2 + 5 x − 4) dx = a  − x 3 + x 2 − 4 x  =
3
2
2

1
9a
⇒ a= 2 .
2
2
, se pide:
x
109. Dada la función f ( x ) =
a) Encontrar la primitiva F de f que verifica que F (1) = 2 .
b) Representar la función f y calcular el área limitada por la curva f y el eje X entre x = e y x = e2.
2
dx
) dx ∫ =
∫ f ( x=
x
a) F=
(x)
2ln x + C
Como F ha de cumplir que F(1) = 2, entonces, F (1) = 2ln1 + C = 2 ⇒ 0 + C = 2 ⇒ C = 2 .
La función buscada es F=
( x ) 2ln x + 2 .
b) En el intervalo [e, e2] la función es continua (el punto x = 0 no pertenece a dicho intervalo) y siempre positiva.
Por ello, el área pedida es:
∫
e2
∫
e2
A = f ( x ) dx =
e
e
2
e2
2
dx =
2 ln x  e =
2 ⋅ ln e 2 − ln e =
2 u
x
(
)
Integrales | Unidad 8
101
110. Dadas las parábolas f ( x ) = 2 x 2 + 2 x − 12 y g ( x ) =
− x 2 − x + 6 cuyas gráficas se presentan a continuación,
halla el área del recinto acotado encerrado entre ambas.
El área pedida nos la da la integral:
∫
2
−3
2
∫ (
=
2
∫ (−x
( g ( x ) − f ( x )) dx=
−3
−3
2
))
(
− x + 6 − 2 x 2 + 2 x − 12 dx=
2
3
125 2


u.
−3 x 2 − 3 x + 18 ) dx = − x 3 − x 2 + 18 x  =
2
2

 −3
)
111. Se considera la función real de variable real:
f (x) =
−8 x 2 + 24 x − 10
a) Calcula los máximos y mínimos locales de f y representa gráficamente la función f.
b) Determina el área del recinto cerrado comprendido entre la gráfica de la función f y las rectas x = 1, x = 2 e
y = 4.
a) La función f es una parábola cóncava hacia abajo.
3 
Su máximo absoluto es su vértice V  ,8  y corta al eje X en los puntos A(0,5; 0) y
2 
B(2,5; 0).
b) El área del recinto es:
A=
∫
2
1
( f ( x ) − g ( x )) dx =
2
∫ ( −8x
2
1
)
+ 24 x − 10 − 4 dx =
2
2
10 2
 8 3

2
u.
= −8 x 2 + 24 x − 14 dx =
 − 3 x + 12 x − 14 x  =
3
1
1
∫(
)
112. Sean las funciones reales de variable real f ( x=
) x 2 − 6 x y g ( x )= x − 10 .
c) Representa gráficamente las funciones f y g.
d) Calcula el área del recinto plano acotado por las gráficas de las funciones f y g.
a) La función f es una parábola cóncava hacia arriba que corta al eje X en los
puntos C(0, 0) y D(6, 0).
La función g es una recta creciente que corta a los ejes en los puntos E(0, −10) y
F(10, 0).
Los puntos de corte entre ambas funciones se obtienen al resolver f(x) = g(x) y
son A(2, −8) y B(5, −5).
b) Como en el recinto la recta se sitúa por encima de la parábola, el área es:
5
∫ ( x − 10 − ( x
A=
102
2
Unidad 8| Integrales
2
))
5
∫ (−x
− 6 x dx =
2
2
5
7
9 2
 1

+ 7 x − 10 dx = − x 3 + x 2 − 10 x  = u .
3
2

2 2
)
113. Si la derivada de una función real de variable real f viene dada por f ' (=
x ) 3 x 2 + 2 x , calcula la expresión
de f(x) sabiendo que su gráfica pasa por el punto A(1, 4).
∫
f ( x ) = f ' ( x ) dx =
∫ (3x
2
)
+ 2 x dx = x 3 + x 2 + C
Como f pasa por A(1, 4), entonces, f(1) = 4, es decir, 1 + 1 + C = 4, C = 2.
La función buscada es f ( x ) = x 3 + x 2 + 2 .
114. Calcula
1
∫
1
0
2
( x + 1) 2
dx .
1
2 

dx =
1
2
 − x + 1 =
0 ( x + 1)
0
∫
2
115. Dada la función f ( x ) =
x = 3.
x +1
, calcula el área delimitada por la gráfica de f(x), el eje X y las rectas x = 1 y
x + 2x
2
En el intervalo [1, 3] la función es continua (los puntos x = −2 y x = 0 no pertenecen a dicho intervalo) y siempre
positiva. Por ello, el área pedida es:
A=
∫
3
1
Encontramos primero una primitiva de f, función racional:
f ( x ) dx
∫x
x +1
2
+ 2x
dx =
x +1
∫ x ( x + 2) dx
A ( x + 2 ) + Bx
x +1
A
B
=
+
=
⇒ x + 1 = A ( x + 2 ) + Bx
x ( x + 2) x x + 2
x ( x + 2)
1
1
1
1
1 1
1 
2  ⇒
2
2
=+
= +


1
+
+
+
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
(
)


x = 0 ⇒ 1 = 2A ⇒ A =

2
1
1 1
1 
1
dx
=
=
(ln x + ln x + 2 ) + C
 +
 dx
2  x x+2 
2
x 2 + 2x
x = −2 ⇒ −1 = −2B ⇒ B =
∫
∫
∫
A=
3
1
3
1
1
1
2
dx = (ln x + ln x + 2 )  = ⋅ ln5 u
1
2
2
x 2 + 2x
116. Una función f(x) tiene como primera derivada f ' ( x=
) ax + 3 . Halla el valor del parámetro a si f(x) pasa por
los puntos A(1, 0) y B(2, −3). Indica también la expresión de la función f y calcula
f ( x )=
∫ f ( x ) dx= ∫ (ax + 3) dx=
∫
3
1
f ( x ) dx .
a 2
x + 3x + C
2
a
0 .Como f pasa por B(2, −3), entonces, f(2) = −3,
+3+C =
2
es decir, 2a + 6 + C =−3 . De estas dos ecuaciones deducimos que a = −4 y C = −1.
Como f pasa por A(1, 0), entonces, f(1) = 0, es decir,
La función buscada es f ( x ) =
−2 x 2 + 3 x − 1 .
∫
3
1
3
3
 2x 3 3 x 2

19
f ( x ) dx = ( −2 x 2 + 3 x − 1) dx =
+
− x =
−
−


3
2
3
1
1
∫
Integrales | Unidad 8
103
117. Se considera la función real de variable real definida por f ( x ) =
f (x)
∫
∫
x
5
2
2
dx
=
f (x)
x2
 x ( 2 x − 1) 2 
: x  dx
=
x −1

∫ 
2x − 1
2x − 1
∫ x ( x − 1) dx= ∫ x
2
−x
x ( 2 x − 1)
, calcula
x −1
∫
5
f (x)
2
x2
dx .
dx
= ln x 2 − x + C
5
dx = ln x 2 − x  = ln 20 − ln 2 u 2 = ln10

2
118. Dada la función real de variable real:
 − x 2 − 3 x + 5 si x ≤ 1
f (x) =  2
si x > 1
 x
a) Estudia la continuidad de la función en  .
b) Calcula
∫
2
0
f ( x ) dx
a) La función es continua en  ya que en el único punto problemático (x = 1) se cumple que:
(
)
∫ (−x
− 3 x + 5 dx +
( )
 lim f x = lim − x 2 − 3 x + 5 = 1 =  lim f x = lim x 2 = 1 = f 1 = 1

 x →1− ( ) x →1−
  x →1+ ( ) x →1+
  ( )
b)
∫
2
0
f ( x ) dx =
1
2
0
)
∫
2
1
1
2
3
19 7 11
 1

1 
x 2 dx = − x 3 − x 2 + 5 x  +  x 3  = + =
2
6 3
2
 3
 0 3  1
119. Para estudiar la capacidad de memorizar de un niño se usa el siguiente modelo: si x es su edad en años,
entonces dicha capacidad viene dada por f ( x )= 1 + 2 x ln x , con 0 ≤ x ≤ 5 .
Calcula el valor medio de la capacidad de memorizar de un niño entre su primer y su tercer cumpleaños.
Aplicando el teorema del valor medio, se tiene que existe c ∈ [1,3] que cumple:
∫
3
1
f ( c )( 3 − 1)
(1 + 2x ln x ) dx =
Se calcula el valor de la integral y después se halla f(c):
x + 2 x ln x dx
∫ (1 + 2x ln x ) dx =
∫ dx + 2∫ x ln x dx =
∫
1
Esta última integral se calcula por partes: f ( x ) =
ln x ⇒ f ' ( x ) =
x
∫
x2
ln x −
2
=
x ln x dx
∫
x2
g '(x) =
x ⇒ g (x) =
2
x2
x2 x2 
1 x2
1
⋅
=
dx
ln x − =
 ln x − 
x 2
2
4
2 
2
Por tanto:
∫
3
1

2
(1 + 2x ln x ) dx =+
 x x  ln x −


3
1 
5
1
5
1


f (c ) ⋅ 2 ⇒
 =+ 9  ln3 −  ⇒ + 9  ln3 −  =
2  1 2
2
2
2




5 9 
1
+ ⋅  ln3 −   3,94 es el valor medio de la capacidad de memorizar de un niño entre su primer y
4 2 
2
tercer cumpleaños.
⇒ f (c ) =
104
Unidad 8| Integrales
120. En un examen se ha pedido a los estudiantes que calculen las primitivas de la función f ( x ) = 2sen x cos x .
I.
Gema la resolvió con el cambio de variable u = sen x.
II. Fernando utilizó el cambio y = cos x.
III. Iván lo hizo usando la fórmula 2sen x cos x = sen (2x).
Aunque los tres alumnos dieron respuestas distintas, el profesor les dijo que los tres habían calculado
correctamente la primitiva.
Encuentra las tres respuestas dadas y explica por qué todas eran correctas sin ser iguales.
∫
La primitiva de Gema: =
I1
u2
2
= 2 u du
= 2 = u=
2sen x cos x dx
sen2 x + C
2
∫
∫
∫
La primitiva de Fernando: I2 =2sen x cos x dx =
−2 y dy =
−2
y2
=
−y 2 =
− cos2 x
2
1
1
La primitiva de Iván: I3 =
2sen x cos x dx =
sen ( 2 x ) dx =
− cos ( 2 x ) =
− ( cos2 x − sen2 x ) + C
2
2
∫
∫
1
Como I1 − I2 =
1 e I1 − I3 = , las tres primitivas se diferencian en una constante.
2
121. Se trasplanta un árbol y se observa que su tasa de crecimiento a los x años, medidos desde el trasplante,
1
metros por año. Si a los 5 años medía 5 metros, ¿cuánto medía al ser trasplantado?
es de 1 −
( x + 1)2
Se calcula una primitiva:
∫

1
1 −

( x + 1)2

Aplicando la regla de Barrow:
∫
5
0

x2 + x + 1
 dx =
=
F (x)

x +1

1
1 −

( x + 1)2


25
25
 dx =
 0,83 m medía
F (5) − F (0) ⇒
=
5 − F (0) ⇒ F (0) =
5−

6
6

al ser trasplantado.
Integrales | Unidad 8
105
122. Sea f la función definida en  por f (=
x)
(x
2
)
+ 1 e − x + 2 . En el dibujo se muestra un trozo de la gráfica de f,
5
así como de la recta r : y = x .
2
a) Comprueba que el punto Q(2, 5) está en dicha recta y en la gráfica de f.
b) Calcula el área de los triángulos OPQ y ORQ.
c) Determina el área encerrada por las gráficas de f, el eje vertical y la recta r, y comprueba que el número
obtenido está comprendido entre los dos números del apartado b.
(
)
5
22 + 1 e −2 + 2 =
5.
·2= 5 , y también en la curva, pues f ( 2 ) =
2
a) Está en la recta, pues y ( 2 )=
b) OPQ tiene base 5 y altura 2, su área es 5 u2.
ORQ tiene base e2 y altura 2, luego su área es e2  7,389 u2.
2
 −x +2 2
5 
5x 2 
 2
2
−x +2
− x  dx =−
x + 2x + 3 −
c)
 e
 =3e − 16  6,167 , que está comprendido entre los
 x +1 e
2 
4 0
0 

valores obtenidos anteriormente.
2
∫ (
)
(
)
123. Dos hermanos heredan una parcela que tiene la forma de la región limitada por la parábola y = x2 y la recta
y = 1 . Deciden dividirla en dos regiones de igual área mediante la recta horizontal y = a. Calcula el valor de
a.
La recta y = 1 corta a la parábola en los puntos de abscisa x = −1 y x = 1, y la recta y = a la corta en los puntos de
abscisa x = − a y x = a .
Como se ha de dividir en dos partes de igual área mediante la recta y = a, tiene que ocurrir que:
1
1
∫ (a − x ) dx = 2 ∫ (1 − x ) dx =
a
2
−1
− a
Al resolver la integral primera se obtiene:
Igualando el resultado a
Unidad 8| Integrales
a
3

2
3.
3

x
∫ (a − x ) dx =ax − 3 
2
− a
2
y despejando:
3
4a a 2
1
1
= ⇒ a3 = ⇒ a3 = ⇒ a =
3
3
2
4
106
2
1 32
=
 0,63
4
2
a
− a
4a a
=
3
124. * La gráfica de la función y = f ( x ) es la que tienes debajo. Ordena, de menor a mayor, los siguientes
números.
a) f ' (1)
b) El valor medio de f(x) en el intervalo [0, a]
c) El valor medio de la función f ' ( x ) en el intervalo [0, a]
d)
∫
a
0
f ( x ) dx
f ' (1) es la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa x = 1.
El valor medio de la función f ' ( x ) en el intervalo [0, a] es la pendiente de la recta que une los puntos
A(0, f(0)) y B(a, f(a)).
Trazando ambas rectas se observa que la f ' (1) es menor que
f (a ) − f (0)
a
y que ambos números son negativos.
El valor medio de f es f(c) con
entonces
∫
a
0
∫
a
0
f (=
x ) dx f ( c )( a − 0 ) , y como a es mayor que 1,
f ( x ) dx > f ( c ) .
Además, ambos números son positivos, pues claramente el área sobre el eje horizontal es mayor que el área por
debajo del eje.
Luego f ' (1) <
f (a ) − f (0)
a
< f (c ) <
∫
a
0
f ( x ) dx .
Integrales | Unidad 8
107
AUTOEVALUACIÓN
Comprueba qué has aprendido
1.
Si f ( x ) =2 −
1
− ln x , calcula la derivada de la función G ( x =
) x − x ln x y obtén
x
1
+ 2 , con lo que
x
∫
6
1
f ( x=
) dx
1
f ( x ) dx .
1
−2.
x
Si G ( x )= x − x ln x , G ' ( x ) =−
1 ( ln x + 1) =
− ln x =
f (x) +
Así pues f ( x=
) G'(x) −
∫
6
∫
6
1
1
6
6


x ]1
 G ' ( x ) − + 2=
 dx G ( x ) 1 + [ 2 x − ln=
x


= [ x − x ln x ]1 + [ 2 x − ln x ]1 = 6 − 6 ⋅ ln 6 − 1 + 12 − ln 6 − 2 = 15 − 7 ⋅ ln 6
6
2.
Obtén
1
∫(
0
1
2
7
0
)
2
7
1
∫(
0
ex
x
∫
x dx ,
1
x + 1 x dx=
2
∫e
0
1
∫ ( x + 1)
6
ex
dx y
0 e +1
1
x
∫
e
1
(
ln x
dx .
x
)
1
8
 2

1  x +1 
1  28 1  255
x + 1 2 x dx=
=
− =



2
8
2  8 8  16

 0
2
1
)
7
(
.
)
dx
= ln e x + 1 = ln e x + 1 − ln 2

0
+1
e
 ( ln x )2 
ln x
1

=
dx =
2
1 x
 2 
1
∫
3.
e
1
1
x ) ln x + 1 y las rectas verticales x =
, g (=
y
e
x
x = 2. (Utiliza el ejercicio 1 para obtener una primitiva de g).
Calcula el área encerrada entre las gráficas de f ( x ) =
En el ejercicio 1 vimos que si G ( x )= x − x ln x , entonces G ' ( x ) = − ln x , así que una primitiva de g(x) = ln x + 1 es
T(x) = −G(x) + x, es decir:
T(x) = −x + x ln x + x = x ln x.
La región de las que nos piden el área es la de la figura, siendo P(1, 1):
El área pedida es:
1
1

∫  x − ln x − 1 dx + ∫
1
e
108
Unidad 8| Integrales
2
1
1
1 1
1
1
1
2

 ln x + 1 −  dx =[ln x − x ln x ] e1 + [ x ln x − ln x ]1 =− ln + ⋅ ln + 2 ⋅ ln2 − ln2 =1 − + ln2 .
x
e e
e
e

4.
Calcula el valor del número positivo a en los siguientes casos:
a)
∫
3
∫
a
0
a)
0
b)
0
∫
3
∫
3
1
dx = a
x +1
b)
∫
a
0
1
dx = 3
x +1
∫
3
0
1
dx = 5
x+a
a
∫
d)
3
a
1
dx = 1
x +1
1
3
dx = ln ( x + 1)0 =ln4 =a .
x +1
a
1
dx = ln ( x + 1)0 = ln ( a + 1) = 3 ⇒ a = e3 − 1 .
x +1
= e5, por lo que 3 = a(e5 − 1) y
0
d)
1
4
4
4−e
3
dx = ln ( x + 1)a =ln4 − ln ( a + 1) =ln
=1 ⇒
=e ⇒ a =
x +1
a +1
a +1
e
x 3 − 2x
, entonces
x4 + x2 + 1
¿Se puede asegurar que si f ( x ) =
− x 3 + 2x
=
−f ( x ) , así que
f ( − x ) =4
x + x2 + 1
6.
c)
1
3+a
3
3+a
dx= ln ( x + a )0 = ln ( 3 + a ) − ln a= ln
= 5 , así que
x+a
a
a
3
a= 5
.
e −1
c)
5.
∫
3
¿Cuál es el signo de
∫
2
1
∫
2
−2
∫
0
f ( x ) dx =
f ( x ) dx +
−2
∫
2
−2
∫
2
0
f ( x ) dx = 0 ?
∫
2
f ( x ) dx =
− f ( x ) dx +
0
∫
2
0
f ( x ) dx =
0.
e x ln x dx ?
Como en [1, 2] se verifica que f(x) = ex ln x ≥ 0 y f es continua en dicho intervalo, tenemos que
7.
Si f es continua y
∫
4
2
∫
2
1
e x ln x dx > 0 .
f ( x ) dx = 7 , explica por qué f ( x ) ≥ 3,5 para algún valor de x en ese intervalo.
Si f(x) < 3,5 para cualquier valor de x en [2, 4] su gráfica estaría por debajo de la recta y = 3,5.
Por tanto,
8.
Calcula
∫
∫
4
2
0
b
f ( x ) dx < 3,5 · (4 − 2) = 7.
2 x dx si b es un número negativo.
La integral pedida corresponde al área de la región sombreada:
1
=
b 2b b 2 .
2
Su valor=
es A
9.
Si f es continua y
∫
4
0
1
f ( x ) dx =
∫
2
0
∫ f ( x ) dx =−∫
4
2
0
0
f ( x ) dx +
4
1
1
∫ f ( x ) dx = 2 , ∫
∫
4
2

f ( x ) dx =
−

f ( x ) dx = 1 y
∫
4
2
f ( x ) dx = 7 , obtén
∫
4
0
f ( x ) dx y
1
∫ f ( x ) dx .
4
f ( x ) dx =1 + 7 = 8
∫
4
0
f ( x ) dx −
1

∫ f ( x ) dx  =−[8 − 2] =−6
0
Integrales | Unidad 8
109
Relaciona y contesta
Elige la única respuesta correcta en cada caso
1.
En economía, el coste marginal se identifica con la derivada de coste total. En una empresa, un estudio
concluye que el coste marginal Cm(q) en miles de euros es función del número q de artículos fabricados en
la forma Cm ( q ) = 3q 2 − 12q − 17 . ¿Cuál es el coste total CT(q) en miles de euros si para 5 artículos es de
20 000 €?
A. CT ( q ) =q 3 − 6q 2 − 17q
C. CT ( q=
) 6q − 12
B. CT ( q ) =q 3 − 6q 2 − 17q + 5
D. CT ( q ) =q 3 − 6q 2 − 17q + 130
La respuesta correcta es la D. Una primitiva de Cm(q) = 3q2 − 12q − 17 es CT (q) = q3 − 6q2 − 17q + C. Como
3
2
sabemos que CT (5) =20, podemos hallar la constante C, CT (5) = 5 − 6·5 − 17·5 + C = 20.
3
2
Por tanto, C = 130 y CT (q) = q − 6q − 17q + 130.
2.
Sea S el conjunto de puntos (x, y) del plano tales que a ≤ x ≤ b y 0 ≤ y ≤ f ( x ) . Si el área de S vale 1,
¿cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
a) a = −1, b = 0 y f(x) = e−x
c) a = 1, b = e y f(x) =
π
y f(x) = tg x
4
b) a = 0, b =
A. Ninguna
d) a = 0, b =
B. Solo una
1
x
π
y f(x) = sen x
2
C. Solo dos
D. Solo tres
La respuesta correcta es C: solo c y d son verdaderas. Calculemos dichas áreas:
a)
b)
∫
∫
0
−1
π
4
0
 −e − x 
e − x dx =


0
c)
=
e − 1 . FALSA
−1
π
2
tg x dx =
− ln
≠ 1 . FALSA
 − ln cos x  04 =
2
d)
∫
∫
e
1
π
2
0
1
e
dx = [ln x ] 1 = ln e − ln1 = 1 . VEDADERA
x
π
sen x dx =
1 . VERDADERA
[ − cos x ] 02 =
Señala, en cada caso, las respuestas correctas
3.
Sea I
=
2
∫ ( x − 1) dx .
2
−1
A. I mide el área de la región limitada por y = x2 – 1,
C.
=
I
1
∫ (1 − x ) dx
2
−2
las rectas x = −1, x = 2 e y = 0.
B. I = 0
D. I ≤
2
∫ ( x − 1) dx
2
1
A es incorrecta. La función f(x) = x2 − 1 es una parábola que va por debajo del eje X entre −1 y 1, así pues, I no
mide el área entre −1 y 2.
B es correcta:
2
∫(
−1
C es correcta ya que
D es correcta ya que
110
Unidad 8| Integrales
2
 x3

x − 1 dx =  − x  = 0 .
3

 −1
)
2
1

3

x
x

∫ (1 − x ) dx =−
3 

2
−2
2
∫(
1
2
1
=
0.
−2
 x3

4
x 2 − 1 dx =  − x  = . Entre 1 y 2 la función va siempre por encima del eje X.
3
3

1
)
4.
La gráfica de la figura es la de una función f derivable en [0, 10]
A. f ' ( 0 ) = 9
B. f ' ( 5 ) > 0
C. Cualquier primitiva de f se anula en x = 0,5.
 1
D. Cualquier primitiva de f decrece en el intervalo  0,  .
 2
5 − ( −4 )
= 9 , por lo que f ' ( 0 ) = 9 .
1− 0
B es incorrecta. La función en el punto de abscisa 5 es decreciente y por tanto, f ' ( 5 ) debe ser negativa.
A es correcta. La pendiente de la recta tangente en el punto A ( 0, − 4 ) es
1
 1
C es incorrecta. Al ser f   = 0 , cualquier primitiva de f tendrá un mínimo relativo en x =
y este mínimo puede
2
2
ser distinto de 0.
 1
D es correcta. Al ser f negativa en el intervalo 0,  sabemos que sus primitivas son decrecientes en dicho
 2
intervalo.
Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas
5.
Sea f una función continua en el intervalo [0, 4]:
1.
∫
4
0
f ( x ) dx > 0
2. f(x) > 0 en [0, 4]
A. 1 ⇔ 2
C. 2 ⇒ 1, pero 1 ⇒
/ 2
B. 1 ⇒ 2, pero 2 ⇒
/ 1
D. 1 y 2 se excluyen entre sí.
La respuesta correcta es C. Si f es estrictamente positiva en [0, 4] entonces
∫
4
0
f ( x ) dx debe ser positiva ya que
dicha integral mide el área entre la curva y el eje X. La otra implicación no es cierta ya que la integral definida
puede ser mayor que cero sin que la función sea siempre positiva.
Señala el dato innecesario para contestar
6.
Sea f ( x =
) asen x + be x + c x , de la que se sabe que en el punto de abscisa d su gráfica presenta
tangente horizontal. Para calcular
1. El valor de a
∫
d
1
f '' ( x ) dx se dispone de:
2. El valor de b
3. El valor de c
4. El valor de d
A. Puede eliminarse el dato 1.
C. Puede eliminarse el dato 3.
B. Puede eliminarse el dato 2.
D. Puede eliminarse el dato 4.
La respuesta correcta es D.
Como f ' ( d ) = 0 ya que la tangente en d es horizontal, se obtiene:
Además la derivada de f es f ' ( x=
) a cos x + be x +
Por tanto, para calcular
∫
d
1
∫
d
1
0 − f ' (1) =
f '' ( x ) dx =
f ' ( d ) − f ' (1) =
−f ' (1) .
c
2 x
f '' ( x ) dx = −f ' (1) no hace falta el valor de d.
Integrales | Unidad 8
111
PRUEBA I SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En un período de 7 horas, la altura en metros del agua acumulada en un depósito sigue la función:
 (t − 1)2
+ 1, 0 ≤ t ≤ 3

h(t ) =  4
 7 − t −4, 3<t ≤7
 4
4
(t mide el tiempo en horas)
a) ¿Es continua? ¿Es derivable? ¿Cuándo crece y cuándo decrece h(t)?
b) ¿Cuáles son las alturas máximas y mínimas? ¿En qué momentos?
c) ¿Cuándo la altura del depósito es igual a un metro?
a) La funciones que definen a h(t) son continuas y derivables en su dominio, por lo que solo habrá que estudiar la
continuidad y derivabilidad de h en t = 3.
Continuidad
h(3) = 2


 ( t − 1)2

lim− h(t ) = lim− 
+ 1 = 2  ⇒ h es continua en t = 3.
t →3
t →3 


4

7 t −4

lim+  −
=
2

t →3  4

4 
Derivabilidad
t −1
t −1
h=
h '(t ) lim−= 1
0<t <3
'(3− ) lim=
 2
t →3−
t →3
2
⇒
⇒ h no es derivable en t =
h '(t ) =
3.

1
1
1
−
−
−
lim h '(t ) =
lim − =
3 < t < 7 h '(3 ) =
t →3−
t →3−
 4
4
4
h'
h
0
−
1
−
3
+
7
b) h’ se anula en t = 1. Fijándonos en la tabla anterior, se deduce que t = 1 es un mínimo. Por tanto la altura
mínima se alcanza al cabo de 1 hora, siendo la altura de 1 m.
La función h está formada por una parábola y una recta, es fácil representarla:
En t = 3 se alcanza la altura máxima, siendo esta de 2 m.
c) Para ver en qué momento la altura del depósito es de 1 m, podemos fijarnos en la gráfica o hacerlo
analíticamente:
0≤t ≤3
( t − 1)2
( t − 1)2
=0⇒t =1
4
7 t −4
t −4 3
3<t ≤7
−
= 1⇒
= ⇒t =7
4
4
4
4
El depósito alcanza la altura de un metro a la primera y a la séptima hora.
112
Bloque II Análisis
4
+1= 1⇒
2.
Un restaurante ha sido abierto al público a principios de 2010 y la función
10 ( 4t − t 2 )
B(t ) = 
 60 − 10t
si 0 ≤ t ≤ 3
si 3 < t ≤ 7
indica cómo han evolucionado sus beneficios (en miles de euros) en función del tiempo t (en años)
transcurrido desde su apertura, correspondiendo t = 0 a principios de 2010.
a) Estudia en qué periodos se ha producido un aumento y en los que se ha producido una disminución de sus
beneficios. ¿A cuánto han ascendido sus beneficios máximos? ¿En qué año los han obtenido?
b) Representa la gráfica de la función B(t). ¿En algún año después de su apertura no obtuvieron beneficios? ¿A
partir de algún año ha dejado de ser rentable el restaurante?
10 ( 4t − t 2 ) si 0 ≤ t ≤ 3
es continua en t =3, pero no derivable.
La función es B(t ) = 
si 3 < t ≤ 7
 60 − 10t
a) La variación de la función (crecimiento y decrecimiento) se determina a partir del estudio de su derivada:
10 ( 4 − 2t ) si 0 ≤ t < 3
Se anula cuando 4 − 2t = 0 ⇒ t = 2 .
=
⇒.
B′(t ) 
si 3 < t ≤ 7
 −10
0
2
3
7
B'
+
−
−
B
Los beneficios aumentan en los dos primeros años; disminuyen en los años siguientes.
El máximo beneficio se alcanza a los 2 años, al final del año 2011 (o a principios de 2012), siendo ese beneficio
de B(2) = 10 · 4 = 40 ⇒ 40 000 €.
b) Con los datos obtenidos (crecimiento, máximo y decrecimiento) y
teniendo en cuenta que la función está formada por un trozo de
parábola y por un trozo de recta, puede dibujarse dando algunos
valores: (0, 0), (1, 30), (2, 40) que es un máximo, (4, 20), (6, 0).
3.
3
2
Dada la función polinómica f(x) = ax + bx + cx + 3, calcula los valores de los parámetros a, b y c, sabiendo
que la pendiente de la recta tangente a la curva en x = 0 es –24, que dicha función tiene un mínimo relativo
en el punto de abscisa x = 2 y un punto de inflexión en x = –1.
De los datos del enunciado, se deduce:
− La pendiente de la recta tangente en x = 0 es −24 ⇒ f '(0) =
−24 .
− Mínimo relativo en x = 2 ⇒ f '(2) =
0.
− Punto de inflexión en x = −1 ⇒ f ''(−1) =
0.
Derivando sucesivamente la función, se obtiene: f '( x ) = 3ax 2 + 2bx + c
f ''( x ) = 6ax + 2b
Sustituyendo se obtiene el siguiente sistema:
c = −24

24
12a + 4b =
−6a + 2b =
0

Resolviendo el sistema anterior, se obtiene: a = 1, b = 3 y c = −24.
La función buscada es f (x) =x 3 + 3x 2 − 24x + 3.
Bloque II Análisis
113
4.
si x ≤ −1
ax + 6
bx 2 − 2x + 1 si − 1 < x ≤ 2
:
Dada la función f (x ) = 
 x −5
>
si
x
2
 (x + 1)2
a) Determina los valores de los parámetros a y b para los cuales la función es continua en todo su dominio.
b) Calcula la integral definida
4
∫ f (x)dx.
3
si x ≤ −1
ax + 6
bx 2 − 2x + 1 si − 1 < x ≤ 2

son continuas, cada una en su dominio, por lo
a) Las funciones que definen f ( x ) = 
 x −5
>
x
si
2
 ( x + 1)2
que, los únicos puntos que hay que estudiar son x = –1 y x = 2.
Para que la función sea continua en esos puntos deben coincidir los límites laterales con el valor de la función
en dichos puntos, es decir, se debe cumplir que:
lim f ( x )=
x →−1−
lim f ( x )= f (−1) y lim
=
f ( x ) lim
=
f ( x ) f (2)
−
+
x →−1+
x →2
x →2
En x = –1: f ( −1) = lim− f ( x ) = lim− ( ax + 6 ) =−a + 6 ;
x →−1
x →−1
lim f ( x ) = lim+ ( bx 2 − 2x + 1) = b + 3
x →−1+
x →−1
En x = 2: f ( 2 ) = lim− f ( x ) = lim− ( bx 2 − 2x + 1) = 4b − 3 ; lim+ f ( x ) = lim+
x →2
x →2
x →2
x →2
x −5
( x + 1)
2
= −
1
3
Igualando los límites laterales se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
2
7

−a + 6 =
+3 ⇒ a =
−a + 6 = b + 3


3
3
1 ⇒

4b − 3 =− 3
b = 2

3
b)
∫
4
3
∫
f ( x )dx =
4
3
x −5
( x + 1)
2
dx =
∫
4
3
x + 1− 6
( x + 1)
2
dx =
∫
4
3
 1
6

−
 x + 1 ( x + 1)2

4

6 

 dx = ln ( x + 1) +
=


x + 1 3


6 
6
6
5 3

.
=  ln 5 +  −  ln 4 +  = ln 5 − ln 4 −
= ln −
5 
4
20
4 10

5.
Calcula el área limitada por las parábolas =
y x 2 − 18 e y =
− x 2 + 32 . En la imagen siguiente aparece
sombreada el área solicitada.
Se calculan los puntos de corte de las parábolas: x 2 − 18 =
−x 2 + 32 ⇒ 2x 2 =
50 ⇒ x = –5 y x = 5.
Como el área solicitada aparece sombreada en la figura dada, por la simetría, se tiene que:
∫
S= 2
114
5
0
( −x
Bloque II Análisis
2
+ 32 − ( x 2 − 18 ) ) dx = 2
5
∫0 ( −2x 2 + 50)
5
 2x 3

 250
 1000 2
u.
dx = 2  −
+ 50x  = 2  −
+ 250  =
3
3
3



0
PRUEBA II SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Indica qué afirmación es cierta referida a la función f: (0, + ∞ ) →  definida por f ( x ) =
x 3 + 3x − 1
.
x2
A. La gráfica de f no tiene asíntotas ni verticales ni horizontales.
B. La gráfica de f no corta nunca al eje X.
C. El eje Y es asíntota vertical de la gráfica de f.
D.
lim
x →+∞
f (x)
=0
x
Analicemos cada opción y vayamos descartando:
A. Observamos que x = 0 es una asíntota vertical de f(x) ya que lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = −∞ . Falsa
x →0
x →0
x + 3x − 1
3
=
0 si x + 3x – 1 = 0 y esta ecuación tiene al menos una solución real ya que un polinomio
x2
de 3er grado corta al menos una vez al eje X. Falsa
C. Es cierta como hemos comprobado en A.
f (x)
D. lim
= 1 . Falsa
x →+∞ x
B. f ( x )
=
2.
3
Sea f :  →  . ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?
A. Si f(2)f(3) < 0, existe algún número c ∈ (2,3) con f(c) = 0.
B. Si f es continua en [2, 3] y no se anula en [2, 3], entonces f (2)f (3) > 0.
C. Si f es continua en [2, 3] y se anula alguna vez en ese intervalo, entonces f(2) y f(3) tienen diferente signo.
D. Si f es continua en [2, 3] y f: [2, 3] → [2, 3], existe algún número c en [2, 3] tal que
f (c )
= 1.
c
−1 x ≤ 2
A. Es cierto si la función es continua. Un contraejemplo es f ( x ) = 
.
1 x >2
B. Si f(2)f(3) fuera negativo, f(2) y f(3) tendrían distinto signo y por el teorema de Bolzano existiría un número c
en [2, 3] con f(c) = 0 pero f no se anula en [2, 3]. Es verdadera.
2
5

C. Es falsa. Un contraejemplo es f(x) =  x −  .
2

D. Es verdadera.
Consideremos en este caso la función g(x) = f(x) – x que es continua en [2, 3] y estudiamos el signo de
g(2) ·g(3) = (f(2) – 2) (f(3) – 3):
f (3)

3⇒
=
1
f (3) =
Como f (3) ∈ [ 2, 3] ⇒ f (3) ≤ 3 ⇒ 
3
f (3) < 3 ⇒ f (3) − 3 < 0 (1)
f (2)

2⇒
=
1
f (2) =
Como f (2) ∈ [ 2, 3] ⇒ f (2) ≥ 2 ⇒ 
2
f (2) > 2 ⇒ f (2) − 2 > 0 (1)
Si ocurre (1), g(2)g(3) es negativo y, por tanto, g(2) y g(3) tiene distinto signo. Usando el teorema de Bolzano
f (c )
sabemos que existe algún número c en [2, 3] tal que g(c) = 0 y por tanto
= 1.
c
Otra forma de verlo es gráficamente: como f es continua y va de [2, 3] al [2, 3], a la fuerza, su gráfica corta en
algún punto (c, f(c)) al segmento que une los puntos (2, 2) y (3, 3), es decir, a la recta y = x, por lo que f(c)=c.
Bloque II Análisis
115
3.
¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas si f(x) es la función f ( x ) = x x definida en  ?
A. Como g(x) = |x| no es derivable en x = 0, f(x) tampoco lo es.
B. Para todo x real, f ' (x) = |x| + x
C. f ' (0) = 0.
D. Si x < 0, f ' (x) + g ' (x) = 0 siendo g(x) = x2.
Son correctas las afirmaciones B y C.
4.
2
Sea f una función derivable y g(x) = x + f (x). Indica la relación existente entre estas dos afirmaciones
referidas a f y g.
1. La tangente a la gráfica de g en el punto de abscisa 0 es paralela a la recta y = x.
2. La gráfica de f(x) pasa por el origen.
A. 2 ⇒ 1, pero 1 ⇒
/ 2
B. 1 ⇒ 2, pero 1 ⇒
/ 2
C. 1 ⇔ 2
D. 1 y 2 se excluyen entre sí.
La respuesta correcta es la B, puesto que si f(0) = 0, g ' (0) = 1 + 2f(0) · f ' (0) = 1, pero no es cierto lo contrario, ya
que podría ser f ‘(0) = 0.
5.
Señala cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas si se considera la función f(x) = sen[g(x)], siendo
g(x) un polinomio de 4.º grado.
A. La gráfica de f puede cortar 4 veces el eje horizontal en el intervalo [0, 2π]
B. El máximo número de puntos de la gráfica de f con tangente horizontal es 5.
C. Si g ′( x ) ≠ 0 , entonces
f ′( x )
≤ 1.
g ′( x )
D. La gráfica de f es periódica de período 2π.
A.
Es cierta. Como g(x) es continua en  , sen(g(x)) cortará infinitas veces el X (siempre que g(x) = kπ).
B.
Es falsa. Habrá infinitos puntos con tangente horizontal (siempre que g(x) =
C.
Es cierta. f ′(=
x ) cos(g( x ))g ′( x ) ⇒
D.
Es
falsa,
ya
que,
por
f ′( x )
f ′( x )
= cos(g( x )) ⇒
= cos(g( x )) ≤ 1 , siendo g ′( x ) ≠ 0 .
g ′( x )
g ′( x )
ejemplo,
el
período
de
la
 
2π  
2π 

pues h( =
=
π) sen  p  x +
x ) sen( px
) sen( px + 2=
 hx +
=
.
p
p 


 
116
Bloque II Análisis
π
+ kπ).
2
función
h(x)
=
sen(px)
es
T =
2π
,
p
6.
Para decidir el signo de la integral
2
∫ f ( x ) dx , siendo f una función continua y creciente, se sabe que:
0
1. f(2) > 0
2
f (0) > 0
Indica qué afirmación es correcta referida a la información de la que se dispone.
A. 1 es suficiente por sí sola pero 2 no.
B. 2 es suficiente por sí sola, pero 1 no.
C. Son necesarias las dos juntas.
D. Hacen faltan más datos.
La respuesta correcta es la B.
Si f(0) > 0, como f es creciente, se deduce que f es positiva en el intervalo [0, 2], por lo que
∫
2
0
f ( x ) dx es positiva.
En cambio si f(2) > 0, no se aporta ninguna información sobre el signo de la función en [0, 2] y no se puede
concluir nada acerca del signo de la integral.
Bloque II Análisis
117
9 Combinatoria
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Ejercicio resuelto.
2.
Con las 5 vocales y las consonantes b, c, d se forman aleatoriamente “palabras” de 5 letras distintas:
a) ¿Cuántas se pueden formar?
b) ¿Cuántas acaban en “ado”?
a) Dos “palabras” son diferentes si al menos una letra de las que incluye la “palabra” es diferente o si las letras
están colocadas en diferente orden. Por tanto, se trata de formar “palabras” de 5 letras distintas con las
8 letras disponibles, lo que equivale a formar variaciones sin repetición (letras distintas) de orden 5 de los
8 elementos. Esto es:
V8, 5 = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 6720 palabras
b) Si la palabra debe acabar en “ado”, quedan solo 2 lugares para 5 letras. Razonando como en el apartado
anterior:
V5,2 = 5 ⋅ 4 = 20 palabras
3.
Si se lanza una moneda 6 veces ¿Cuántos resultados posibles se pueden obtener? ¿En cuántos se
obtiene exactamente una cara?
Si se lanza una moneda 6 veces y se anotan los resultados que se van obteniendo, un resultado es distinto de
otro si el número de caras (o de cruces) es distinto (CCXCXC y CCXXXX ) o si, habiendo el mismo número de
caras (y cruces) están colocadas en distinto orden (CCXCXC y CXCCXC ). Esto equivale a contar las variaciones
con repetición de orden 6 (número de lanzamientos) de 2 elementos (C: cara y X: cruz):
6
VR2,6
= 2=
64
Además, si se quiere obtener exactamente una cara, los posibles casos son:
CXXXXX
XCXXXX
XXCXXX
XXXCXX
XXXXCX
XXXXXC
Por tanto, se obtendrá exactamente una cara en 6 de los 64 resultados posibles.
4.
Se lanzan cuatro dados cúbicos de diferente color con las caras numeradas del 1 al 6.
a) ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener?
b) ¿En cuántos de los anteriores todos los números que aparecen son distintos?
a) Si se lanzan cuatro dados cúbicos de diferente color, un resultado es distinto de otro si los números que han
salido son distintos (6552 y 4425) o si, habiéndose obtenido los mismos números, estos están en distintos
dados (3344 y 4433). Lo que equivale a contar las variaciones con repetición de orden 4 (número de
lanzamientos) de 6 elementos (las caras del dado):
4
VR6,4
= 6=
1296 resultados distintos
b) En este caso, los elementos (del 1 al 6) no se pueden repetir, por lo que manteniéndose que importa el orden
y los elementos que forman el lanzamiento, se trata de las variaciones sin repetición de orden 4 de los
6 elementos:
V6,4 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 360
En 360 resultados de los 1296 anteriores todos los números son distintos.
118
Combinatoria | Unidad 9
5.
Se reparten al azar 5 bolas diferentes en 9 urnas:
a) ¿De cuántas formas distintas se puede hacer?
b) Si una urna solo puede contener una bola, ¿cuántas posibilidades hay?
a) Se trata de elegir la urna que contendrá cada bola. Dos elecciones son distintas, si las urnas elegidas son
distintas:
(U 3, U
2, U
2, U1, U 8) y (U 2, U 9, U 7, U 6, U
2)
o, se han elegido en distinto orden:
(U 4, U 5, U 9, U 7, U 9) y (U 9, U 4, U 9, U 7, U 5)
Y, como se ve en los ejemplos, una urna se puede repetir, lo que significa que esa urna ha sido elegida para
contener más de una bola. Las urnas que no aparecen en la elección, quedan vacías.
Se trata, por tanto, de variaciones con repetición de orden 5 de las 9 urnas:
5
VR9,5
= 9=
59 049 formas distintas
b) Si una urna solo puede ser elegida como máximo una vez, estamos en el mismo caso que en el apartado
anterior pero sin repetición, es decir, se trata de las variaciones ordinarias de orden 5 de las 9 urnas:
V9, 5 = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = 15 120 posibilidades
6.
Una línea de autobuses cubre el recorrido entre dos ciudades con parada en otras 6 poblaciones.
Teniendo en cuenta el origen y el destino de cada viajero y si éste solicita viaje de ida y vuelta o solo de
ida, ¿cuántos billetes distintos pueden expedirse en esta línea de autobuses?
En cada billete se señala la ciudad de origen y de destino, por lo que el número de billetes solo de ida se cuenta
como variaciones sin repetición de orden 2 (las ciudades de origen y destino) de las 8 ciudades. Entonces:
V8,2 = 8 ⋅ 7 = 56 billetes
Si el viajero solicita billete de ida y vuelta, en cada billete figurarán dos ciudades. Por ejemplo, si el billete se
solicita de la ciudad A a la ciudad B, en el mismo figurará “Ida: de A a B y Vuelta: de B a A”. Por tanto, el número
de billetes de ida y vuelta es el mismo que los de ida, es decir, 56 billetes.
En total, se tienen 56 + 56 = 112 billetes distintos que se pueden expedir en esa línea de autobuses.
7.
Resuelve las siguientes ecuaciones.
−Vx − 2, 2 =
8
a) Vx −1, 2 b)
VRx, 3 −Vx, 2 = 2V 4
x, 3 +
a) Se plantea la ecuación, se simplifica y se resuelve:
( x − 1)( x − 2 ) − ( x − 2 )( x − 3 ) =8 ⇒ ( x − 2 )( x − 1 − x + 3 ) =8 ⇒ 2 ( x − 2 ) =8 ⇒ x − 2 =4 ⇒ x =6
b) Análogamente:
x 3 − x ( x − 1)= 2 x ( x − 1)( x − 2 ) + 4 ⇒ x 3 − x 2 + x= 2x 3 − 6x 2 + 4x + 4 ⇒ x 3 − 5x 2 + 3x + 4= 0
Una raíz es x = 4 , de forma que dividiendo, por ejemplo por Ruffini, resulta:
0
( x − 4 ) ( x 2 − x − 1) =
Y las raíces del polinomio de segundo grado que se obtienen son:
x=
1± 1+ 4
2
Ninguna de las dos soluciones es entera. Por tanto, la única solución válida es x = 4.
8, 9 y 10. Ejercicios resueltos.
Unidad 9| Combinatoria
119
11. La clave de seguridad de un ordenador puede incluir hasta cinco letras del alfabeto, distinguiendo
mayúsculas y minúsculas, y 4 cifras del 0 al 9. Halla cuántas claves se pueden construir si:
a) Las letras y los dígitos tienen que ser distintos.
b) Solo las letras tienen que ser distintas.
a)
Se considera que el alfabeto tiene 26 letras (no se cuentan la “ñ”) y, como se distinguen entre mayúsculas y
minúsculas, en total se dispone de 52 letras para elegir 5.
En cuantos a las cifras, se dispone de 10 dígitos (del 0 al 9) para elegir 4.
Si las letras y los dígitos deben ser distintos, y dado que importa tanto el orden de la elección como las
letras y dígitos que se elijan, se trata de variaciones sin repetición.
Ahora bien, en primer lugar, de las 9 posiciones disponibles se deben elegir las que corresponden a las
5 letras y a los 4 números, que son:
5, 4
PR
=
9
9!
= 126
5! 4!
Una vez elegidas las posiciones de las letras, estas se pueden ordenar de tantas formas distintas como
variaciones de orden 5 de las 52 letras disponibles:
V52,5 = 52 ⋅ 51⋅ 50 ⋅ 49 ⋅ 48 = 311 875 200
Una vez elegidas las posiciones de las cifras, éstas se pueden ordenar de tantas formas diferentes como
variaciones de orden 4 de las 10 cifras disponibles:
V10, 4 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 5040
De manera que, en total, el número de claves distintas que se pueden formar sin que se repitan ni las letras
ni los números es:
126 ⋅ 311 875 200 ⋅ 5040 =
198 053 227 008 000 claves
b) Si solo las letras tienen que ser distintas, pudiéndose repetir los números, la diferencia con el apartado
anterior es que ahora, en cuanto a las cifras, se dispone de:
4
VR10, =
10
=
10 000 combinaciones
4
Y en total se tienen:
126 ⋅ 311 875 200 ⋅ 10 000 =
392 962 752 000 000 claves
12. ¿De cuántas formas distintas pueden introducirse seis tarjetas diferentes en seis sobres distintos?
Si, por ejemplo, se fijan los sobres, se trata de ordenar las seis cartas en los seis sobres, es decir,
permutaciones de 6 elementos:
P=
6!
= 720 formas distintas
6
13. Si se lanzan 7 dados de distinto color, ¿en cuántos lanzamientos se obtienen 2 cuatros, 3 cincos y
2 seises?
Como los dados son distintos, sí importa el orden en que se obtienen los resultados. Por tanto, se trata de
permutaciones. Un resultado favorable al que se plantea es, por ejemplo:
4 5 5 6 6 4 5
El número de ordenaciones distintas de esos 7 elementos (2 cuatros, 3 cincos y 2 seises) donde solo 3 de ellos
son diferentes, resultan ser las permutaciones con repetición de los 7 elementos, donde el 4 se repite 2 veces, el
5 se repite 3 veces, y el 6, 2 veces:
2, 3, 2
PR
=
7
7!
= 210
2!3! 2!
Se puede obtener 2 cuatros, 3 cincos y 2 seises en 210 lanzamientos.
120
Combinatoria | Unidad 9
14. Con las letras de la palabra INCANDESCENTE, ¿cuántas palabras, con o sin sentido, se pueden formar?
El número de ordenaciones de las trece letras de la palabra INCANDESCENTE se obtienen mediante
permutaciones con repetición, teniendo en cuenta que la E y la N se repite tres veces cada una, la C se repite
dos veces, y la letras I, A, D, S y T aparecen una sola vez cada una. Entonces:
3,3, 2,1,1,1,1,1
=
PR13
13!
= 86 486 400 palabras
3!3! 2!1!1!1!1!1!
15. ¿De cuántas formas distintas pueden colocarse, en una fila del tablero de ajedrez, las 8 figuras negras:
2 torres, 2 alfiles, 2 caballos, la reina y el rey?
Son 8 figuras, de las cuales la torre (T), el alfil (A) y el caballo (C) se repiten dos veces cada una y la reina (R) y
el rey (E) aparecen solo una vez. Por ejemplo, una posible ordenación sería: R T A A C E C T.
El número de estas ordenaciones se obtiene mediante permutaciones con repetición:
=
PR82, 2, 2, 1, 1
8!
= 6720 formas
2!2!2!1!1!
16, 17 y 18. Ejercicios resueltos.
19. En un campeonato de ajedrez, cada uno de los 17 participantes debe jugar contra todos los demás una
sola partida. ¿Cuántas partidas se disputarán en total?
Como no importa el orden de elección de los participantes ya que la partida del jugador A contra el jugador B es
la misma que la de B contra A, solo importa la elección de cada pareja de jugadores. Por tanto, se trata de las
combinaciones de orden 2 de los 17 jugadores:
17!
17!
17 ⋅ 16
 17 
C
=
=
=
= 136 partidas
17, 2
=

2!
 2  2! (17 − 2 ) ! 2!15!
20. Una bolsa contiene bolas de 6 colores distintos, ¿cuántos grupos de 4 bolas se podrán formar en cada
caso?
a) Las bolas son de distintos colores.
b) Puede haber bolas del mismo color.
Para formar grupos no importa el orden de la elección, solo el color de las bolas que se seleccionen, por tanto:
a) Si no puede haber bolas del mismo color, son combinaciones sin repetición de orden 4 de los 6 colores:
6!
6!
6⋅5⋅4⋅3
6
C=
=
=
= 15 grupos
6, 4
=

4
4!
6
−
4
!
4!2!
4!
(
)
 
b) En este caso, las cuatro bolas (•) seleccionadas pueden ser de cada uno de los 6 colores (|) presentes en la
bolsa. Por ejemplo, la elección “••| |•| | |•” indica que se han elegido dos bolas del color 1, una bola del color
3 y una bola del color 6. Dado que no importa el orden en el que se seleccionen las bolas, se tienen
combinaciones con repetición de orden 4 de los 6 colores:
9!
9!
9⋅8⋅7⋅6
9
CR=
C=
=
=
= 126 grupos
6, 4
9,4
=

4
4!
9
−
4
!
4!5!
4!
(
)
 
21. ¿Cuántas comisiones distintas de tres personas pueden formarse seleccionándolas entre un grupo de
30 personas?
Solo interesan las personas que son elegidas y no el orden en el que se escogen, por tanto, se trata de las
combinaciones de orden 3 de las 30 personas:
30!
30!
30 ⋅ 29 ⋅ 28
 30 
=
=
= 4060 comisiones distintas
C30, 3 =   ==
3! ( 30 − 3 ) ! 3!27!
3!
3
Unidad 9| Combinatoria
121
22. ¿De cuántas formas se pueden colocar 4 libros iguales en siete estanterías? ¿Y siete libros iguales en 4
estanterías?
En este caso, los cuatro libros (•) se deben colocar en cualquiera de las siete estanterías (|). Por ejemplo, la
elección “••| |•| | |•|” indica que se han colocado dos libros en la estantería 1, un libro en la estantería 3 y un libro
en la estantería 6. Dado que no importa el orden en el que se seleccionen los libros, se tienen combinaciones
con repetición de orden 4 de las 7 estanterías:
10!
10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7
 10 
CR
=
C=
= =
= 210 formas
7, 4
10, 4
=

4!
 4  4! (10 − 4 ) ! 4!6!
Si de lo que se trata es de colocar 7 libros iguales en 4 estanterías, hay que elegir las estanterías (|) en las que
se van a colocar los libros (•). Por ejemplo, la elección “•|••|•|•••” indica que se ha colocado un libro en la
estantería 1, dos libros en la estantería 2, un libro en la estantería 3 y tres libros en la estantería 4. Se trata de
las combinaciones con repetición de orden 7 de las 4 estanterías:
10!
10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8
 10 
CR
=
C=
= =
= 120 formas
4, 7
10, 7
=

7
7!
10
−
7
!
7!3!
3!
(
)
 
23. *Se tienen dibujados en el plano 15 puntos de tal manera que no hay tres alineados.
a) ¿Cuántas rectas pueden trazarse?
b) ¿Cuántos cuadriláteros convexos diferentes pueden dibujarse cuyos vértices se encuentren entre los
puntos?
Para formar rectas o cuadriláteros, no importa el orden en el que se elijan los puntos. Por tanto, se trata de
combinaciones.
a) En este caso son las combinaciones de orden 2 (los dos puntos que se seleccionan) de los 15 puntos:
15!
15!
15 ⋅ 14
 15 
C
=
=
=
= 105 rectas
15, 2
=

2
2!
  2! (15 − 2 ) ! 2!13!
b) Para formar cuadriláteros se deben elegir 4 puntos (no hay 3 alineados), por lo que se trata de las
combinaciones de orden 4 de los 15 puntos:
15!
15!
15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12
 15 
=
= =
= 1365 cuadriláteros
C
15, 4
=

4
−
4!
15
4
!
4!11!
4!
(
)
 
24. Ejercicio interactivo.
25 y 26. Ejercicios resueltos.
27. Resuelve las siguientes ecuaciones.
n
 n − 1
a)   = 3 

3
 2 
b)
 n   n   n + 1  n + 2 
7 + 8 +  9  =


    
  9 
a) Se desarrollan los números combinatorios, se simplifica y se resuelve la ecuación resultante:
n!
= 3
( n − 3 ) !3!
( n − 1) ! ⇒ n ( n − 1)( n − 2 )=
3!
( n − 3 ) ! 2!
3
( n − 1)( n − 2 ) ⇒
2!
1
3!
n
= 3 ⇒ n= 3 ⇒ n= 3 ⋅ 3= 9
3!
2!
2!
b) Aplicando las propiedades de los números combinatorios a los dos primeros sumandos se obtiene que:
 n   n   n + 1  n   n   n + 1  n + 1  n + 1  n + 2 
 7=
+  
 ⇒  + +
=
+
=

  8  8  7 8  9   8   9   9 
De manera que para cualquier n ≥ 8, n será solución de la ecuación planteada.
122
Combinatoria | Unidad 9
28. Desarrolla y simplifica.
a)
( x 2 + 3)
a)
( x 2 + 3)
b)
(1 − 2x )
4
4
5
b)
(1 − 2x )
5
 2 1 
 2 a −

2a 

c)
6
4
3
2
 4
 4
 4
 4
 4
=   ( x 2 ) +   ( x 2 ) ⋅ 3 +   ( x 2 ) ⋅ 32 +   x 2 ⋅ 33 +   3 4 = x 8 + 12x 6 + 54x 4 + 108x 2 + 81
0
 1
 2
3
 4
5 5
5
5
5
5
2
3
4
5
=
1 − 10x + 40x 2 − 80x 3 + 80x 4 − 32x 5  0  −  1  ( 2x ) +  2  ( 2x ) −  3  ( 2x ) +  4  ( 2x ) −  5  ( 2x ) =
   
 
 
 
 
6
 2 1 
a − =
c)  2 
2a 

2
3
6
5 1
4 1 
3 1 
6
6
6
6
a2 ) −   ( a2 )
a 2 )   −   ( 2 a2 )   +
+   ( 2  0  ( 2 2 1
2
3
2
a
2
a
   
 2a 
 
 
 
4
5
6
2 1 
6
6 2  1  6 1 
+   ( 2 2 a2 ) 
 − 5 a 
 +  
 =
4
 2a   
 2a   6   2a 
 
= 64a12 − 96a 9 + 60a 6 − 20a 3 +
15
3
1
−
+
4 8a 3 64a 6
29. Escribe el séptimo término de:
 1

a)  2 + 3xy 
x
y


8
b)
12
3

 2x − 
x

 n  n − ( k −1) k −1
b . Entonces, el séptimo término resulta:
a) Para la suma, el término k – ésimo es 
a
 k − 1
8 − ( 7 −1)
2
1
 8  1 
8 1 
7 −1
6
28
36 x 6 y 6 20 412x 2 y 4
=
( 3xy )

 2  ( 3xy )

 2 =
 =
x 4y 2
 7 − 1  x y 
6 x y 
b) Para la diferencia, el término k – ésimo es ( −1)
( −1)
7 −1
 12 
12 − ( 7 −1)  3 
 
 7 − 1 ( 2x )
x


7 −1
=
( −1)
6
k −1
 n  n − ( k −1) k −1
b . Entonces, el séptimo término resulta:

a
 k − 1
6
6
 12 
6 3 
6 6 3
6
6
 6  ( 2x )   = 924 ⋅ 2 x ⋅ 6 = 924 ⋅ 2 ⋅ 3 = 43 110 144
x
x
 
30. Ejercicio interactivo.
Unidad 9| Combinatoria
123
EJERCICIOS
Variaciones
41. Se lanza un dado octaédrico, con las caras numeradas del 1 al 8, cinco veces, anotando el número
obtenido en cada lanzamiento.
a) ¿Cuántos números distintos de cinco dígitos se pueden formar?
b) ¿Cuántos números capicúas mayores que 20 000 se pueden formar?
a) Cada número es distinto de otro si tiene al menos un dígito distinto, por ejemplo:
2 7 7 8 1
3 2 6 5 5
o si los dígitos están en distinto orden, por ejemplo:
3 2 3 8 5 5 3 3 8 2
Además, como se ve, los dígitos se pueden repetir. Por tanto, se pueden formar tantos números de cinco
dígitos como variaciones con repetición de orden 5 de los 8 dígitos del dado:
5
VR8, =
8=
32 768
5
b) Los números capicúas mayores que 20 000 serán de la forma:
2aba2
3aba3
4aba4
5aba5
6aba6
7aba7
8aba8
donde a y b son números del 1 al 8. Por lo tanto, se tienen 7 casos distintos donde por cada caso se tiene
una variación con repetición de orden 8 (los números del dado) de 2 elementos (a y b). Entonces:
2
VR8, =
8=
64
2
Por tanto, habrá 7 ⋅ 64 =
448 números capicúas mayores que 20 000.
42. Una empresa decide generar el código de seguridad de acceso al edificio con un número de cinco cifras
utilizando los dígitos del 1 al 9.
a) ¿Cuántos códigos distintos puede generar?
b) ¿Y si el código es de 3 dígitos seguido de 2 letras?
a) Cada código es diferente de otro si tiene al menos un dígito distinto o si los dígitos están colocados en
distinto orden. Se pueden distinguir dos situaciones:
Si los dígitos no se pueden repetir (variaciones sin repetición de orden 5 de 9 elementos):
V9, 5 = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = 15 120 códigos
Si los dígitos se pueden repetir (variaciones con repetición de orden 5 de 9 elementos):
5
VR9, =
9=
59 049 códigos
5
b) Teniendo en cuenta que el alfabeto tiene 26 caracteres, distinguimos los siguientes casos como en el
apartado anterior.
=
V9,3 26,2
⋅V
9=
⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 26 ⋅ 25 327 600 códigos
No se pueden repetir ni dígitos ni letras:
=
⋅VR
⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 262 340 704 códigos
9=
No se pueden repetir dígitos pero sí las letras: V
9,3 26,2
= 473 850 códigos
93 ⋅ 26 ⋅ 25
Se pueden repetir dígitos pero no letras: VR9,3 V26, =
2
93 ⋅ 262 = 492 804 códigos
Se pueden repetir tanto dígitos como letras: VR9,3 ⋅VR26, =
2
124
Combinatoria | Unidad 9
Permutaciones
43. En una oficina se deben distribuir 4 cartas distintas en otros tantos sobres dirigidos a personas
diferentes. Si las cartas se distribuyen al azar en los sobres:
a) ¿Cuántas distribuciones diferentes puede haber?
b) ¿En cuántas de estas distribuciones coinciden al menos dos cartas con sus sobres?
a) Si se fijan los sobres, las cartas se podrán distribuir de tantas formas como ordenaciones posibles se puedan
formar con las cuatro cartas. Entonces:
P=
4!
= 24 distribuciones
4
b) Para que coincidan al menos dos cartas con sus sobres, deben distinguirse los casos:
Exactamente dos de las cartas coinciden con sus sobres (y las otras dos no coinciden). En este caso, se
pueden formar tantas distribuciones como ordenaciones de las 4 cartas, donde hay dos que coinciden y dos
que no coinciden. Es decir:
4!
= 6 distribuciones
2! 2!
2, 2
PR
=
4
Exactamente tres de las cartas coinciden con sus sobres, luego necesariamente la cuarta carta debe
también coincidir con su sobre. Solo hay un caso en el que esto sucede.
Por tanto, del total de 24 distribuciones posibles, en 6 + 1 =
7 de ellas coinciden al menos dos cartas con
sus sobres.
44. Se quieren colocar en una estantería 4 libros de matemáticas, 2 de economía y 3 de historia.
a) ¿De cuántas formas pueden ordenarse?
b) ¿Y si los libros de cada materia deben quedar juntos?
a) Se trata de las permutaciones con repetición de los nueve libros, donde 4 son de matemáticas,
2 de economía y 3 de historia:
R94,2,3
P
=
9!
= 1260 formas
4! 2!3!
b) En este caso, las ordenaciones son de tres elementos (las tres materias), por lo que hay:
P=
3!
= 6 formas
3
45. Con las letras de la palabra RINOCERONTE:
a) ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar?
b) ¿Cuántas de las anteriores empiezan por RINO?
En la palabra RINOCERONTE las letras R, N, O y E se repiten dos veces cada una, en tanto que las letras I, C y
T solo aparecen una vez.
a) Se pueden formar tantas palabras como permutaciones con repetición de las 11 letras:
2,2,2,2,1,1,1
=
PR11
11!
= 2 494 800 palabras
2! 2! 2! 2!1!1!1!
b) Si las palabras deben empezar por RINO, quedan 7 letras, de las cuales la E repite 2 veces y el resto solo
aparecen una vez cada una. Por tanto, si empiezan por RINO se tienen:
PR72,1,1,1,1,1
=
7!
= 2520 palabras
2!1!1!1!1!1!
Unidad 9| Combinatoria
125
46. Seis niños de preescolar juegan al corro en el patio de recreo.
a) ¿De cuántas formas distintas pueden formar el corro?
b) ¿De cuántas pueden formar el corro si Alicia y Francisco deben ir juntos en el corro?
P=
5!
= 120 formas.
a) Se trata de permutaciones circulares de los seis niños. Entonces, PC=
6
5
b) En este caso, si Alicia y Francisco deben ir juntos, ellos se pueden ordenar de dos formas distintas y, por
cada una de estas, los demás niños pueden ordenarse de tantas formas como permutaciones de 4
elementos. En total, 2 ⋅ P4 =2 ⋅ 4! =48 formas.
Combinaciones
47. Seis amigos acuden una tarde al cine, pero solo hay entradas para cuatro personas. Si deciden sortear
los que entrarán a ver la película, ¿de cuántas formas distintas se puede hacer el reparto?
No importa el orden en el que se reparten las entradas, solo hay que tener en cuenta las personas a las que les
toca el sorteo, por tanto se trata de las combinaciones de orden 4 de los 6 amigos:
6 6 ⋅5 ⋅ 4 ⋅3
C=
= 15 formas
6, 4
=

4!
 4
48. Entre los 12 empleados en el departamento de una empresa, debe formarse un grupo de trabajo de 4
personas, ¿de cuántas formas puede hacerse si:
a) todos los empleados pueden formar parte del grupo?
b) María es la coordinadora de grupo?
Solo importa las personas que vayan a formar el grupo de trabajo y no el orden en el que se seleccionen.
a) Se trata, en este caso, de las combinaciones de orden 4 de las 12 personas disponibles:
 12  12 ⋅ 11⋅ 10 ⋅ 9
C
=
= 495 formas
12,4
=

4!
4
b) Si María debe ser la coordinadora del grupo, quedan 11 personas para seleccionar 3. Entonces:
 11 11⋅ 10 ⋅ 9
C11,3=
=   = 165 formas
3!
3
49. Una bolsa contiene 8 bolas blancas y 6 verdes, todas numeradas. Se extraen simultáneamente dos bolas
al azar.
a) ¿Cuántos resultados posibles pueden darse?
b) ¿En cuántos de los resultados las dos bolas son verdes?
c) ¿En cuántos de los resultados se observa una bola de cada color?
a) Al no importar el orden, el número de resultados posibles es:
 14  14 ⋅ 13
=
= 91 resultados
C
14,2
=

2!
2
b) Para que las dos bolas sean verdes, deben ser extraídas entre las 6 bolas verdes de la bolsa:
6 6 ⋅5
= 15 resultados
C=
6,2
=

2!
 2
c) Una bola será blanca y, además, por cada bola blanca se tienen 6 bolas verdes. En total:
86
C8,1 ⋅ C6,1 =     = 8 ⋅ 6 = 48 formas
 1  1
126
Combinatoria | Unidad 9
Números combinatorios
50. Calcula en cada caso el valor de x.
 46   46 
a) 
=

 5 x − 4   2x + 8 
 x   x + 1  x 
c) =
3  5  −  4
  
  
x
x
b) 5   = 3  
 2
 4
d)
 16   x   17 
 y  +  y + 1 =


  
  y + 1
a) Aplicando las propiedades de los números combinatorios, puede ser:
5x − 4 + 2x + 8 = 46 ⇒ 7x = 42 ⇒ x = 6 o 5x − 4 = 2x + 8 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4
b) Aplicando las propiedades de los números combinatorios, debe ser:
x ( x − 1)
x ( x − 1)( x − 2 )( x − 3 )
5 ⋅ 4!
2
2
=3
⇒
= ( x − 2 )( x − 3 ) ⇒ 20 = x − 5x + 6 ⇒ x − 5x − 14 = 0
2!
4!
3 ⋅ 2!
5 ± 25 + 56 5 ± 9
x = 7
⇒=
x
=
⇒ 1
⇒=
x 7 es la única solución pues x no puede ser negativo.
2
2
 x2 = −2
5
 x   x   x + 1
c) Por una propiedad de los números combinatorios se tiene que   +   =

 . Entonces:
3  4  4 
x
 3=

 
5!
⇒
4!
( x + 1) x ( x − 1)( x − 2=
)
 x + 1  x 
 x   x   x + 1  x + 1
 5  −  4  ⇒  3  +  4=
  4 =
  5 ⇒
4!

  
    
 

( x + 1) x ( x − 1)( x − 2 )( x − 3 ) ⇒
5!
= ( x − 3) ⇒ 5 = x − 3 ⇒ x = 8
d) Aplicando las propiedades de los números combinatorios, queda que x = 16 e y puede ser cualquier número
entero mayor o igual que 0 y menor o igual que 15.
51. Escribe el desarrollo de los siguientes binomios, simplificando el resultado.
x
a)  − x 2 
2

5
b)
 1

− 2x 

x


6
a) Se desarrolla el binomio y se simplifica:
5
5
4
5 x  5 x  2 5 x 
x
2
 −x =

 0    −  1   x +  2   
2


  2    2 
  2 
1 5 5 6 5 7 5 8 5 9
=
x −
x + x − x + x − x 10 32
16
4
2
2
3
( x2 )
2
2
3
4
5
5 x 
5 x
5
−     ( x 2 ) +   ( x 2 ) −   ( x 2=
)
3
4
5
2
2
  
 
 
b) Se desarrolla el binomio y se simplifica:
6
6
 1

6 1  6 1 
− 2x =


 −  

0
   x   1  x 
 x

6 1 
+ 

 4 x 
2
(
2x
)
4
5
6 1 
2x +   

 2  x 
6 1
− 
5 x
(
2x
)
5
4
(
6
+ 
6
2x
(
)
2
2x
6 1 
−  

3 x 
)
6
3
(
2x
)
3
+
=
1 6 2 30
= − 2 +
− 40 2 + 60 24
x−
2 x 2 + 8 x3
x3
x
x
Unidad 9| Combinatoria
127
14
 2

52. Halla el término del desarrollo  2 + 2x 
x

cuya parte literal es x 2 .
 14  14 − ( k −1) k −1
b . Con los datos del enunciado
El término k - ésimo en el desarrollo del binomio tiene la forma: 
a
 k − 1
( )
 14   2 
 14  214 − ( k −1)2k −1 x k −1  14  14 3(k −1) − 28
k −1
queda  =
.
( 2x )


=

 k − 1 2 x
14 − ( k −1)
2 
 k − 1  x 
 k − 1 ( x 2 )


14 − k −1
El exponente de la parte literal debe ser 2. Por tanto, 3 ( k − 1) − 28 = 2 ⇒ 3 ( k − 1) = 30 ⇒ k = 11.
4
 14   2 
10
De modo que el término cuya parte literal es x 2 es:    2  ( 2x ) = 16 400 384 x 2.
10
x
  
Síntesis
53. Resuelve las siguientes ecuaciones.
VRx, 3 − VRx −1, 3 =
23
a) 3 5 b)
Vx, 2
VRx, 2
+
Vx, x −1
3
=
2
x!
– 23 VRx, 2 = Cx,1
c) Vx, 3  x − 2 2  x 
d) 
=  
 3  7  4
a) Se desarrollan las variaciones, se simplifica y se resuelve la ecuación resultante:
3 5
x 3 − ( x − 1) = 23 ⇒ 3 5
x 3 − ( x 3 − 3x 2 + 3x − 1) = 23 ⇒ 2x 3 − 15x 2 + 15x + 18 = 0
3
Dividiendo por x − 6, (por ejemplo, por Ruffini), resulta: ( x − 6 ) ( 2x 2 − 3x − 3 ) =
0.
La ecuación de segundo grado resultante tiene soluciones: x =
3 ± 9 + 24
4
Estas soluciones no son enteras. Por tanto, la única solución factible es x = 6.
b)
Vx, 2
VRx, 2
+
Vx, x −1
x!
=
x ( x − 1) x ! 3
1) 1
( x −=
3
⇒
+
=
⇒
=
⇒ 2 ( x − 1) x=
⇒ 2x − 2 = x ⇒ x 2
2
x2
x! 2
x
2
c) Se desarrollan las variaciones y combinaciones, se simplifica y se resuelve la ecuación:
Vx, 3 – 23 VRx, 2 = Cx,1 ⇒ x ( x − 1)( x − 2 ) − x 2 =23x ⇒ x 3 − 4x 2 − 21x =0 ⇒ x ( x 2 − 4x − 21) =0 ⇒
x = 0

⇒ 2
4 ± 16 + 84  x1 = 7
=
⇒ La única solución factible es x = 7.
 x − 4x − 21 = 0 ⇒ x =
2
 x2 = −3

d) Desarrollando los números combinatorios:
x ( x − 1)( x − 2 )( x − 3 )
( x − 2 )( x − 3 )( x − 4 ) = 2 ⋅ 14
x − 4 x2 − x
 x − 2 2  x 
⇒
=
⇒ ( x − 4) = x 2 − x ⇒
 3  =  4 ⇒
3!
7
4!
6
84

 7 
15 ± 225 − 224 15 ± 1  x1 = 8
⇒ x 2 − 15x + 56 = 0 ⇒ x =
=
=
2
2
 x2 = 7
De manera que las dos soluciones son factibles para la ecuación planteada.
128
Combinatoria | Unidad 9
54. En un certamen literario se reparten 3 premios entre los 15 relatos presentados. Indica de cuántas formas
pueden repartirse los premios en cada caso:
a) Los premios son distintos y un relato no puede recibir más de un premio.
b) Los premios son distintos y un relato puede recibir más de un premio.
c) Los premios son iguales y un relato no puede recibir más de un premio.
d) Los premios son iguales y un relato puede recibir más de un premio.
a) En este caso, dado que los premios se distinguen unos de otros, dos repartos son distintos si los relatos
elegidos son diferentes o si se han elegido en distinto orden. Se trata, entonces, de las variaciones sin
repetición de orden 3 de los 15 relatos:
V15, 3 = 15 ⋅ 14 ⋅ 13 = 2730 formas
b) En esta ocasión, la situación es análoga a la del apartado anterior, excepto porque un relato puede recibir
más de un premio. Luego se trata de variaciones con repetición de orden 3 de los 15 relatos:
3
VR15, =
15
=
3375 formas
3
c) Dado que los premios son iguales, no interesa el orden en el que se elijan los relatos, solo los relatos que se
eligen, es decir, se trata de combinaciones (sin repetición) de orden 3 de los 15 relatos:
 15  15 ⋅ 14 ⋅ 13
C
=
= 455 formas
15, 3
=

3!
3
d) Si los premios son iguales y un relato puede recibir más de un premio, se trata de combinaciones con
repetición de orden 3 de los 15 relatos:
 17  17 ⋅ 16 ⋅ 15
CR=
C=
= 680 formas
15, 3
17,3
=

3!
3
CUESTIONES
55. Halla el valor de:
n n n
n
 1 −  2 +  3  −… ±  n 
     
 
Si se considera el binomio (1 − 1) y se lleva a cabo su desarrollo queda:
n
n
n
n
n
n
n n
=
(1 − 1)   1n −   1n +   1n −   1n + … ± ( −1)  
0
 1
 2
3
n
Teniendo en cuenta que (1 − 1) = 0, queda:
n
n n n n
n
0 =   −   +   −   +…±  
 0   1  2  3 
n
De manera que:
n n n n
n
−   +   −…±  
=



 0   1  2  3 
n
n
Como   = 1, resulta:
0
n n n
n
 1 −  2 +  3  −… ±  n  =1
     
 
Unidad 9| Combinatoria
129
56. Demuestra las siguientes identidades.
 n − 1
n
a) 
n = k k 
k
1
−


 
n r  nn − k 
b)     =   

 r k  k  r − k 
=
Vx +1 , 2
c) VRx,2 +C
x,1
a) Si se desarrolla por separado cada miembro de la igualdad, se comprueba que coinciden:
 n − 1
=
 k − 1 n


n ( n − 1) !
( n − 1) ! n =
n!
=
( k − 1) ! ( n − k ) ! ( k − 1) ! ( n − k ) ! ( k − 1) ! ( n − k ) !
n!
n
=
k  k =
(n − k )! k !
k 
n!k
= n!
( n − k ) ! k ! ( n − k ) ! ( k − 1) !
b) Si se desarrolla por separado cada miembro de la igualdad, se comprueba que coinciden:
n!
r!
n!
n!
n r 
⋅
=
=
 r k  =
r
!
n
−
r
!
k
!
r
−
k
!
n
−
r
!
k
!
r
−
k
!
k
!
n
−
r
(
)
(
) (
) (
)
(
)! (r − k )!
  
(n − k )! = n !
n!
nn − k 
⋅
k  r − k  =
 
 k ! (n − k )! (r − k )! (n − r )! k ! (r − k )! (n − r )!
c) Si se desarrolla por separado cada miembro de la igualdad, se comprueba que coinciden:
VRx,2 +C
=x 2 + x
x,1
2
Vx 1
+ , 2 =( x + 1) x =x + x
PROBLEMAS
57. Un examen tipo test consta de 8 preguntas, para cada una de las cuales se proporcionan cuatro
respuestas A, B, C y D. El estudiante debe elegir solo una de las cuatro. Si se responde al azar, ¿cuántos
resultados distintos pueden obtenerse en el conjunto del test?
Cada resultado posible, se diferencia de otro en el orden en el que se elijan las respuestas y en las repuestas
que se seleccionen. Por tanto, se trata de variaciones con repetición de orden 8 de las
4 respuestas posibles (A, B, C y D). Por tanto:
8
VR4, =
4=
65 536 resultados distintos
8
58. En una reunión de representantes de países, se van a sentar a negociar 3 delegados franceses, 3
alemanes y 3 ingleses. Si la mesa es redonda, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar a la mesa si
los delegados:
a) se sientan al azar?
b) de cada país deben sentarse en sillas contiguas?
En cualquiera de los dos casos se trata de permutaciones circulares:
a) Si los delegados se sientan al azar, son permutaciones circulares de los 9 delegados:
PC=
P=
8!
= 40 320 formas distintas
9
8
130
Combinatoria | Unidad 9
b) Si los delegados de cada país deben sentarse en sillas contiguas, el número de formas distintas en que
pueden sentarse es:
PC3 para las diferentes posiciones de las tres delegaciones en la mesa.
P3 para las distintas ordenaciones de cada una de las delegaciones. Como son tres delegaciones, hay
( P3 )
3
formas distintas.
De modo que en total PC3 ⋅ ( P3 ) =
2!⋅ ( 3!) =
432 formas distintas.
3
3
59. A una reunión de profesionales de la restauración, cuando todos los asistentes se saludaron, se
contabilizaron
1653
saludos.
¿Cuántas
personas
asistieron
a
la
reunión?
Si el 50 % de los asistentes eran hombres, ¿cuántos saludos se produjeron entre un hombre y una mujer?
Sea n el número de asistentes a la reunión, para intercambiar un saludo entre dos personas no importa el orden
en el que se elijan las mismas. Por tanto, se trata de combinaciones de orden 2 de los n asistentes. Por tanto:
Cn, 2 =
n ( n − 1)
1 ± 1 + 13 224 1 ± 115 n1 = 58
= 1653 ⇒ n 2 − n − 3306 = 0 ⇒ n =
=
=
2!
2
2
n2 = −57
Como el número de asistentes no puede ser negativo, queda que los asistentes fueron 58.
Si la mitad de los asistentes son hombres, a la reunión asisten 29 hombres y 29 mujeres. Por lo que el número
de saludos que se produjeron entre un hombre y una mujer son 29 ⋅ 29 =
841 saludos.
60. ¿Cuántas palabras, con o sin sentido, pueden formarse con las letras de la palabra CUADERNO de tal
manera que empiecen y terminen por vocal? ¿Y cuántas empezarían y terminarían en consonante?
La palabra CUADERNO tiene 8 letras, todas distintas entre sí. Si se quiere que la palabra empiece por vocal, se
tienen 4 posibilidades distintas (U, A, E y O). También se desea que acabe en vocal, luego quedarán 3
posibilidades pues una de las vocales se ha usado al principio de la palabra. Si se elige, por ejemplo, como
primera vocal la U de entre las 4 que hay, quedaría:
U __ __ __ __ __ __ (A, E u O)
Para el resto de letras, que son 6 elementos, se deben repartir en 6 posiciones distintas:
P=
6!
= 720 formas
6
Por tanto, la cantidad total de palabras que empiezan y acaban por vocal son 4 ⋅ 720 ⋅ 3 =
8640.
Como hay el mismo número de vocales que de consonantes y todas son distintas entre sí, el número de
palabras que empiezan y terminan por consonante es el mismo que para los que empiezan y acaban por vocal,
es decir, 8640 palabras.
61. En un partido de baloncesto, un jugador ha encestado 4 de 10 intentos de lanzamientos de tres puntos.
¿De cuántas formas distintas pueden repartirse los aciertos y los fallos en los
10 intentos?
En este caso, el jugador encesta (A) o no encesta (F). Si en los diez lanzamientos la A “aparece”
4 veces y la F, por tanto, seis veces, el número de formas distintas en que pueden repartirse los
fallos (F) y los aciertos (A) son las permutaciones con repetición de los 10 intentos en los que el acierto (A) se
repite 4 veces y el fallo (F) se repites seis veces. Por tanto:
4, 6
PR
=
10
10!  10 
= =
 210 formas distintas
4!6!  4 
Unidad 9| Combinatoria
131
62. Un examen consta de 5 preguntas, cada una de las cuales se califica con 0, 1 o 2 puntos. ¿De cuántas
formas distintas puede calificarse un examen:
a) si se considera el orden en el que han planteado las preguntas?
b) si no se considera el orden en que se formularon las preguntas?
Se entiende que se trata de contar las diferentes calificaciones que se pueden otorgar a las cinco preguntas y no
la puntuación del examen, consistente en sumar las puntuaciones de cada pregunta, ya que en este último caso
la puntuación del examen será siempre de 0 a 10.
a) En este caso, una calificación se diferencia de otra en el orden en el que se califican y en las calificaciones
elegidas, pudiendo repetirse las calificaciones otorgadas a cada pregunta. Son, por tanto, variaciones con
repetición de orden 5 de las 3 posibles puntuaciones (0, 1, 2):
5
VR3, =
3=
243 formas
5
b) Si no importa el orden en el que se formularon las preguntas, se trata de las combinaciones con repetición de
orden 5 de las 3 posibles puntuaciones a cada pregunta (0, 1, 2):
7 7 ⋅ 6
CR=
C=
C=
= 21 formas
3, 5
7, 5
7, 2
=

2!
 2
63. Un equipo de fútbol tiene 21 jugadores en plantilla: 3 porteros, 8 defensas, 6 centrocampistas y 5
delanteros. Si el entrenador decide jugar al 1−4−4−2 ¿Cuántas alineaciones distintas podrá hacer
respetando el puesto de cada jugador? ¿Y si decide un 1−4−3−3?
Si decide jugar al 1−4−4−2, debe elegir un portero, cuatro defensas, cuatro centrocampistas y dos delanteros.
Como no importa el orden en el que se elijan los jugadores, en cada puesto se trata de combinaciones del orden
requerido para cada puesto y contando con los jugadores disponibles para cada puesto. Para el total de
resultados posibles, se aplica la regla de la multiplicación:
8⋅7⋅6⋅5 6⋅5⋅4⋅3 5⋅4
3 8 6 5
⋅
⋅
=⋅
3
3 70 ⋅ 15 ⋅ 10 =
31 500 alineaciones
 1  ⋅  4  ⋅  4  ⋅  2  =⋅
4!
4!
2
       
Razonando de forma análoga, si el entrenador decide la táctica 1−4−3−3:
8⋅7⋅6⋅5 6⋅5⋅4 5⋅4⋅3
3 8 6 5
⋅
⋅
=3 ⋅ 70 ⋅ 20 ⋅ 10 =42 000 alineaciones
 1  ⋅  4  ⋅  3  ⋅  3  =3 ⋅
4!
3!
3!
       
64. Un polígono de n vértices tiene 3 veces más diagonales que lados, ¿cuántos lados tiene?
En un polígono de n vértices se contabilizan n lados y el número de diagonales se cuenta mediante las
combinaciones de orden 2 de los n vértices menos el número de lados, ya que para formar una diagonal no
importa el orden en el que se elijan los vértices. Por tanto:
n ( n − 1)
n = 0
Cn,2 − n = 3n ⇒ − n = 3n ⇒ n(n − 1) − 2n = 6n ⇒ n 2 − 9n = 0 ⇒  1
2
n2 = 9
De manera que la única solución válida para este caso es que el polígono tenga 9 lados.
132
Combinatoria | Unidad 9
65. El profesor de matemáticas debe elegir un grupo de trabajo de 5 alumnos entre los
30 alumnos de su clase. Si en el grupo uno de ellos es el coordinador y ha sido elegido previamente,
¿cuántos grupos de trabajo distintos pueden formarse?
Se puede elegir un coordinador de 30 formas distintas pues la clase son 30 alumnos distintos. Para los otros
cuatro puestos del equipo, quedan 29 alumnos disponibles. Como no importa el orden en el que se elijan los
alumnos, se trata de las combinaciones sin repetición de orden 4 de los 29 alumnos:
 29  29 ⋅ 28 ⋅ 27 ⋅ 26
C
=
= 23 751
29, 4
=

4!
4
En total, pueden formarse hasta 30 ⋅ 23 571 =
712 530 grupos de trabajo distintos.
66. Una caja contiene 24 pares de zapatos. Se eligen 6 zapatos al azar.
a) ¿De cuántas formas diferentes puede hacerse esta elección?
b) ¿En cuántas de estas elecciones no hay ninguna pareja de zapatos?
a) En la elección de los zapatos no importa el orden en que estos se elijan, una selección se diferencia de otra
solo por los zapatos elegidos. Se trata, por tanto, de combinaciones de orden 6 de los 48 zapatos que
contiene la caja
 48  48 ⋅ 47 ⋅ 46 ⋅ 45 ⋅ 44 ⋅ 43
C
=
= 12 271 512 formas
48, 6
=

6!
 6
b) Para que en la elección no haya una pareja de zapatos, se procede al recuento distinguiendo los siguientes
casos:
Se eligen los 6 zapatos derechos: C24, 6
Se eligen 5 derechos y 1 izquierdo: C24, 5 ⋅ C19,1 (el izquierdo no se puede elegir entre los 5 que ya se eligieron
para
el
derecho,
24 – 5 = 19 zapatos)
de
ahí
que
para
la
elección
del
izquierdo
haya
solo
Se eligen 4 derechos y 2 izquierdos: C24, 4 ⋅ C20, 2 (se razona de forma análoga para los izquierdos).
Se eligen 3 derechos y 3 izquierdos: C24, 3 ⋅ C21, 3 (se razona de forma análoga para los izquierdos).
Se eligen 2 derechos y 4 izquierdos: C24, 2 ⋅ C22, 4 (se razona de forma análoga para los izquierdos).
⋅ C23,5 (se razona de forma análoga para los izquierdos).
Se elige 1 derecho y 5 izquierdos: C24,1 Se eligen los seis izquierdos: C24, 6 .
De manera que, en total:
 24   24   19   24   20   24   21  24   22   24   23   24 
 6  +  5  1  +  4  2  +  3  3  +  2  4  +  1  5  +  6  =
                  
= 134 596 + 807 576 + 2 018 940 + 2 691 920 + 2 018 940 + 807 576 + 134 596 = 8 614 1 44
Por tanto, en 8 614 144 de todas las posibles elecciones no hay ninguna pareja de zapatos.
Unidad 9| Combinatoria
133
67. Una panadería vende pasteles de seis tipos distintos y cuatro tipos de bocadillos. Si cinco amigos
deciden comprar la merienda del sábado en esta panadería, y cada uno quiere un bocadillo y un pastel,
¿de cuántas formas distintas podrán hacer la compra?
Dado que los pasteles son distintos, y los amigos pueden elegir los mismos pasteles, se trata de variaciones con
5
6=
7776.
repetición de orden 5, de los 6 pasteles: VR6, =
5
5
4=
1024.
Análogamente, con los bocadillos calcula de la misma forma: VR4, =
5
Por cada elección de los pasteles se pueden elegir las 1024 de los bocadillos. De modo que el total de
7 962 624 formas.
elecciones posibles es 7776 ⋅ 1024 =
68. Utilizando los símbolos del lenguaje Morse, el punto y la raya, ¿cuántas palabras diferentes se pueden
formar utilizando 8 símbolos?
Una palabra se diferencia de otra por los símbolos que utiliza y por el orden en el que están colocados. Se trata
de variaciones con repetición de orden 8 de los dos símbolos (punto y raya):
8
VR2,8
= 2=
256 formas
69. Un byte es una secuencia de ocho dígitos formada exclusivamente por ceros y unos. ¿Cuántas
secuencias se pueden formar? ¿En cuántas de ellas aparecen exactamente 3 ceros?
Una secuencia de ocho dígitos se diferencia de otra por los ceros y unos que contenga y por el orden en el que
están colocados. Se trata, entonces, de variaciones con repetición de orden 8 de los dos elementos (0 y 1):
8
VR2,8
= 2=
256 formas
Si en la secuencia de 8 dígitos hay exactamente 3 ceros (y 5 unos), el número de ellas que se pueden formar es
el de las permutaciones con repetición de 8 dígitos donde uno se repite 3 veces (el 0) y el otro 5 veces (el 1):
3, 5
PR
=
8
8!
= 56 formas
3!5!
70. En una carrera de cross intervienen 3 corredores españoles, 4 ingleses, 2 italianos,
3 portugueses y 2 franceses. Al podio suben los tres primeros ¿de cuántas formas pueden repartirse los
tres puestos si
a) se tiene en cuenta el corredor?
b) solo se tiene en cuenta el país al que representa?
a) Un podio se diferencia de otro tanto en los corredores que lo ocupan como el orden en que lo forman. Se
trata, por tanto, de las variaciones de orden 3 de los 14 corredores:
V14, 3 = 14 ⋅ 13 ⋅ 12 = 2184 formas
b) En este caso, al tener solo en cuenta el país al que cada corredor representa, un podio se diferencia de otro
por los países que lo ocupan y por el orden en que lo ocupan, pudiéndose repetir estos. Se cuenta con 5
países, pero dos de ellos no llegan a 3 corredores, por lo que no pueden completar un podio por sí mismos.
De modo que el total de podios que pueden formarse contando solo el país participante son las variaciones
con repetición de orden 3 de los 5 países, descontando las 2 ordenaciones de los dos países que no llegan
a tres participantes:
VR5, 3 − 2 = 53 − 2 = 123 formas
134
Combinatoria | Unidad 9
71. Con las letras de la palabra ÁRBOL, ¿cuántas palabras distintas con o sin sentido se pueden formar de
modo que las dos vocales nunca están juntas?
Se consideran todas las palabras, con o sin sentido, que se pueden formar con la palabra ÁRBOL. Como todas
las letras son distintas se tienen:
P=
5!
= 120 palabras
5
Ahora se consideran todas las palabras, con o sin sentido, que se pueden formar con la palabra ÁRBOL de
modo que las dos vocales siempre estén juntas. Hay 8 formas posibles en las cuales las vocales A y O van
juntas:
AO _ _ _
OA _ _ _
_ AO_ _
_ OA_ _
_ _AO _
_ _ OA_
_ _ _AO
_ _ _OA
Por cada una de estas ordenaciones se pueden escribir, P3, 3! = 6 palabras distintas con o sin sentido.
Por tanto, si se consideran todas las palabras posibles que se pueden formar (120 palabras) y se resta el
número de número de palabras que no cumplen los requisitos del enunciado, quedan:
120 − 8 ⋅ 6 =
72 palabras
72. Con las letras de la palabra PERMANENTEMENTE:
a) ¿Cuántas palabras distintas con o sin sentido pueden formarse?
b) ¿Cuántas de las anteriores tienen las vocales y las consonantes en los mismos lugares que la palabra
original?
a)
En esta palabra la letra E se repite cinco veces, la N, tres veces, la M y la T se repiten dos veces cada una y
las letras P, R y A solo aparecen una vez. Por tanto, se pueden formar tantas palabras como permutaciones
con repetición de las 15 letras donde algunas de ellas son indistinguibles entre sí:
5, 3, 2, 2,1
,1
,1
=
PR15
b)
15!
= 454 053 600 palabras
5!3! 2! 2!1!1!1!
La palabra tiene 9 consonantes, de las cuales la P y la R aparecen una sola vez cada una, la M y la T
aparecen dos veces cada una y la N se repite tres veces. Por tanto, el número de ordenaciones distintas de
las consonantes en sus lugares originales es:
=
PR93, 2, 2,1 ,1 9!
= 15 1
20
3! 2! 2!1!1!
En tanto que las 6 vocales, la E, que se repite 5 veces, y la A que aparece solo una vez, de modo que el
número de ordenaciones distintas de las vocales en sus lugares originales es:
5,1
PR
=
6
6!
= 6
5!1!
Dado que por cada ordenación de las consonantes se producen 6 ordenaciones distintas de las vocales, el
número total de ordenaciones manteniendo las consonantes y las vocales en sus lugares son:
6 ⋅ 15 120 =
90 720 palabras
Unidad 9| Combinatoria
135
73. Con los dígitos impares 1, 3, 5, 7, 9:
a) ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar?
b) ¿Cuántos son mayores de 350?
c) Si se ordenan de menor a mayor, ¿qué lugar ocupa el número 531?
a) Un número es distinto de otro si los dígitos que lo forman son distintos o si están en distinto orden, no
pudiendo repetirse los dígitos en el número. Por tanto, se trata de las variaciones sin repetición orden 3 de
los 5 dígitos:
V5, 3 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 números
b) Serán mayores de 350 los números en las siguientes situaciones:
La cifra de las centenas está ocupada por el 3, la de las decenas por el 5, el 7 o el 9 y la de las unidades por
cualquier número no elegido antes. Aplicando la regla de la multiplicación queda:
1⋅ 3 ⋅ 3 =
9 números
La cifra de las centenas está ocupada por un número mayor que 3 (5, 7 o 9), la de las decenas por cualquier
número no elegido para las decenas y las unidades por cualquier número no elegido antes. Aplicando la
regla de la multiplicación queda:
3⋅4⋅3 =
36 números
En total, son mayores que 350, 9 + 36 =
45 números.
c) Ordenados de menor a mayor:
Empiezan por 1: V4,2 = 12
Empiezan por 3: V4,2 = 12
Empiezan por 51: V3,1 = 3
Hasta aquí van 27 números. El siguiente número es el 531 que ocupa, por tanto, el lugar 28.
3.
74. Determina el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación x + y + z + t =
Los valores que pueden tener las cuatro variables x, y, z, t, son 0, 1, 2 o 3. A continuación se estudian las
diferentes posibilidades que resuelven la ecuación:
Tres de las variables toman el valor 1 y la cuarta toma el valor 0. Hay tantas posibles soluciones en este caso
como las permutaciones con repetición de 4 elementos (3 unos y 1 cero) donde el 1 se repite tres veces y el 0
solo una vez:
3,1
PR
=
4
4!
= 4 soluciones
3!1!
Dos de la variables toman el valor 0, una tercera el valor 1 y la cuarta el valor 2. Se calcula el número de
posibles soluciones:
2,1,1
PR
=
4
4!
= 12 soluciones
2!1!1!
Una de las variables toma el valor 3 y las otras tres el valor 0. En este caso, el número de soluciones es:
3,1
PR
=
4
4!
= 4 soluciones
3!1!
De manera que el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación se obtiene sumando las de las tres
posibilidades descritas. En total, 4 + 12 + 4 =
20 posibilidades.
136
Combinatoria | Unidad 9
AUTOEVALUACIÓN
Comprueba qué has aprendido
1.
Una bolsa contiene 8 bolas numeradas, del 1 al 5 son blancas y del 6 al 8 verdes. De la bolsa se extraen
una a una 3 bolas.
a) ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar?
b) ¿En cuántas extracciones habrá dos bolas blancas con número par?
c) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar solo con las bolas blancas?
a) Al extraer una a una las bolas sin reemplazamiento, se pueden formar tantos números de tres cifras como
variaciones de orden 3 de los 8 números. Por tanto:
V8, 3 = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336 números
b) Hay dos bolas blancas con número par, que deben ocupar dos de las tres posiciones. El número de
posibilidades para estas dos bolas es el de variaciones de orden 2 de las 3 posiciones:
V3,2 = 3 ⋅ 2 = 6
Por cada una de éstas, la posición restante puede ser ocupada por cualquiera de las 6 bolas restantes De
modo que, en total, el número de posibles extracciones con las dos bolas blancas con número par es:
6 ⋅V3,2 =
36 extracciones
c) Si solo se eligen las bolas blancas, se pueden formar tantos números de tres cifras como las variaciones, sin
repetición, de orden 3 de las 5 bolas blancas. Esto es:
V5, 3 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 números
2.
En un centro de formación en idiomas ofrecen alemán, inglés, francés y chino. Si 10 estudiantes van a
matricularse al centro ¿de cuántas formas distintas podrán hacerlo?
Una matrícula de los estudiantes se diferencia de otra en los idiomas en que se matriculan y en el orden en el
que los estudiantes se matriculan. Luego, se podrán matricular de tantas formas distintas como variaciones con
repetición de orden 10 de los 4 idiomas. Por tanto:
VR4,1 0 = 410 = 1048 576 formas
3.
De una baraja de 40 cartas, se reparten 4.
a) ¿De cuántas formas distintas puede hacerse el reparto?
b) ¿En cuántas de esas entran dos ases?
c) ¿En cuántas las 4 cartas son del mismo palo?
a) En el reparto de las 4 cartas solo importa las cartas que se reciben y no el orden en el que se reciben. Se
trata, por tanto, de las combinaciones sin repetición de orden 4 de las 40 cartas:
 40  40 ⋅ 39 ⋅ 38 ⋅ 37
C
=
= 91 390 formas
40, 4
=

4!
 4
b) Los 2 ases deben ser elegidos entre los 4 ases y, por cada una de esas elecciones las otras 2 cartas se
elegirán de las 36 restantes que no son ases. En total:
 4   36  4 ⋅ 3 36 ⋅ 35
C4, 2C36, 2 =
=
3780 formas
   = ⋅
2!
2!
 2 2 
c) En primer lugar debe elegirse el palo: hay 4 posibilidades. Por cada elección del palo, las 4 cartas deben
elegirse de las 10 del palo. De esta manera:
4 ⋅ C10, 4 =
4⋅
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7
=
840 formas
4!
Unidad 9| Combinatoria
137
4.
¿De cuántas maneras se pueden pintar las caras de un prisma recto hexagonal con ocho colores
distintos?
Dado que un prisma hexagonal tiene 8 caras y se van a emplear 8 colores distintos, se tienen permutaciones de
8 elementos:
P=
8!
= 40 320 maneras distintas
8
5.
Con las letras de la palabra JACINTO, ¿cuántas palabras diferentes con sentido o sin sentido se pueden
formar de tal manera que tengan juntas las 4 consonantes?
Dada una palabra que cumpla el requisito del enunciado, es decir, que tenga las 4 consonantes juntas, estas se
4!
= 24 ). Además, las otras 3 vocales se pueden combinar de 6
pueden combinar de 24 formas distintas ( P=
4
3!
= 6 ). Esto sucede por cada palabra que cumpla los requisitos del enunciado.
formas distintas ( P=
3
Los diferentes casos en los que se puede dar esta situación son en los cuatro siguientes:
CCCCV V V
V CCCCV V
V V CCCCV
V V V CCCC
con V : Vocal y C: Consonante
Por tanto, aplicando la regla de la multiplicación se tienen 4 ⋅ P4 ⋅ P3 = 4 ⋅ 24 ⋅ 6 = 576 palabras distintas.
6.
Se disponen de 6 bolas iguales que se quieren distribuir en 4 cajas distintas. ¿De cuántas formas puede
hacerse?
Para repartir las 6 bolas (•) entre las 4 cajas (I) y teniendo en cuenta que una caja puede recibir más de una
bola (•), se utiliza la codificación de puntos y barras:
•|••||•••
1ª Caja: 1 bola;
2ª Caja: 2 bolas; 3ª Caja: 0 bolas; 4ª Caja: 3 bolas
El número de formas distintas en que pueden repartirse 6 bolas entre 4 cajas es:
CR=
C=
4,6
9,6
7.
9!
= 84 formas
6!3!
Diez estudiantes, cuatro del grupo A, tres del grupo B y tres del grupo C, llegan juntos a la cafetería a la
hora de la comida.
a) ¿De cuántas formas se pueden colocar en la fila para recoger la bandeja?
b) ¿Y si solo se tiene en cuenta el grupo al que pertenecen?
a) En este caso, son las permutaciones de los diez estudiantes:
P=
10!
= 3 628 800 formas
10
b) Si solo se tiene en cuenta el grupo al que pertenece cada alumno, el número de ordenaciones es el de las
permutaciones con repetición de los 10 estudiantes, donde la A se repite 4 veces y la B y la C tres cada una:
4, 3, 3
PR
=
10
8.
10!
= 4 200 formas
4!3!3!
En un torneo de ajedrez se inscriben 57 personas. Si en cada partida el perdedor queda eliminado y no se
contemplan los empates, ¿cuántas partidas se celebrarán hasta que se proclame el vencedor?
Dado que en cada partida se elimina un único jugador, que el torneo empieza con 57 jugadores y sólo hay un
ganador, a la fuerza se celebran en total 56 partidas.
138
Combinatoria | Unidad 9
9.
Se lanza una moneda 10 veces. ¿Cuántos resultados posibles se pueden obtener? ¿En cuántos de ellos
se obtienen como mucho tres caras?
Cada resultado del lanzamiento de una moneda 10 veces, es una variación con repetición de orden 10 de 2
elementos (cara y cruz):
10
VR2,1
=
2=
1024 resultados
0
Para contar los resultados en los que se obtiene como mucho 3 caras, se procede a contar los resultados en los
que haya exactamente 0, 1, 2, y 3 caras respectivamente:
Solo hay 1 resultado en el haya exactamente 0 caras (10 cruces)
Para contar los resultados donde haya exactamente 1 cara y 9 cruces, se pueden utilizar las permutaciones con
repetición de los 10 lanzamientos donde la cara se repite 1 vez y la cruz 9 veces:
10!
= 10
1!9!
1, 9
PR
=
10
Para contar exactamente 2 caras y 8 cruces, se cuenta nuevamente por las permutaciones con repetición:
10!
= 45
2!8!
2, 8
=
PR
10
De la misma forma se cuenta el número de resultados en los que hay exactamente 3 caras y
7 cruces:
3, 7
PR
=
10
10!
= 120
3!7!
En total, 1 + 10 + 45 + 120 =
176 resultados a favor.
10. Calcula el valor de n en cada caso.
– 8
Vn 2, a) 2Vn +1 , 2 + 2 =1
 12 − n   12 − n 
b) 
=

 n + 1   2n − 5 
c) Pn = 20 Pn − 2
a) Se desarrollan las variaciones, se opera y resuelve la ecuación resultante:
1 ± 1 + 80 n1 = 5
=
2
n2 = −4
2 ( n + 1) n − ( n + 2 )( n + 1) = 18 ⇒ n 2 − n − 20 = 0 ⇒ n =
De modo que la única solución factible es n = 5.
b) Aplicando las propiedades de los números combinatorios y resolviendo se tiene que:
n + 1 + 2n − 5 = 12 − n ⇒ 4n = 16 ⇒ n = 4
c) Se desarrollan las permutaciones, se opera y resuelve la ecuación resultante:
n ! = 20 ⋅ ( n − 2 ) ! ⇒
n!
( n − 2)!
= 20 ⇒ n ⋅ ( n − 1) = 20 ⇒ n 2 − n − 20
=
=
0⇒n
1 ± 1 + 80 n1 = 5
= 
2
n2 = −4
De modo que la única solución factible es n = 5.
11. Determina el término independiente en el desarrollo del binomio:
12
4 
x
 − 2
3 x 
El término independiente no debe incluir parte literal, es decir, el exponente de x debe ser cero. Como el término
k − ésimo del desarrollo es:
( −1)
k −1
12 − (k −1)
 12   x 
 k − 1  3 

 
 4 
 2
x 
k −1
13 − k
k −1 15 − 3k
4k −1
x
k −1  12  x
k −1  12  4
2k − 2 =
=
( −1) 
( −1) 


13 − k
13 − k
x
 k − 1 3
 k − 1 3
Como x 15 − 3k = x 0 ⇒ 15 − 3k = 0 ⇒ k = 5. Y, por lo tanto, queda que el término independiente es:
( −1)
5 −1
12 − (5 −1)
5 −1
8
4
1
14 080
 12  x 
 12  x   4 
 4 
⋅
⋅ 256 =
 
 2  =  4    2  =
 5 − 1 495
6561
729
x 

 3 
  3   x 
Unidad 9| Combinatoria
139
Relaciona y contesta
Elige la única respuesta correcta en cada caso
1.
Si se quiere formar más de 200 palabras de tres letras distintas ¿Cuántas letras del alfabeto habrá que
elegir como mínimo?
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
La solución es D. En este caso se trata de variaciones de orden 3 de n elementos (las 3 letras distintas), es
decir, Vn,3 = n ( n − 1)( n − 2 ) . Se comprueba que si tomamos 6 letras distintas se tienen:
V6,3 = 6 ( 6 − 1)( 6 − 2 ) = 120 palabras
Mientras que si se escogen 7 letras distintas ya se tienen más de las 200 palabras pedidas:
V7,3 = 7 ( 7 − 1)( 7 − 2 ) = 210 palabras
2.
De una caja que contiene 4 tornillos defectuosos, se extraen 3 tornillos a la vez. Si en 60 de tales
extracciones solo uno de los tres tornillos es defectuoso, ¿cuál es el número de tornillos que contiene la
caja?
A. 7
B. 8
C. 10
D. 12
La solución es C. Se supone que hay n tornillos en total. El número de formas distintas de extraer un tornillo
n − 4
defectuoso y 2 tornillos no defectuosos sin reemplazamiento es, respectivamente, 4 y 
 , de donde se
 2 
n − 4
deduce, por la regla de la multiplicación, que 4 
 = 60. Se resuelve quedando que:
 2 
( n − 4 ) ! = 15 ⇒ n − 4 n − 5 = 30 ⇒ n 2 − 9n − 10 = 0
n − 4
n − 4
4
(
)(
)
 = 60 ⇒  2  = 15 ⇒
2
n
− 6 ) !2!
(




Se resuelve la ecuación:
=
n
9 ± 81 + 40 9 ± 11 n1 = 10
= = 
2
2
n2 = −1
Siendo solo posible la solución n = 10. Por tanto, C es la solución.
3.
A cada uno de los 8 niños que asisten a un cumpleaños les regalan una bolsa con chuches a cada uno y
sobran 3. Si pueden llevarse más de una de las sobrantes y se cuentan 20 formas distintas de repartir
estas tres bolsas ¿Cuántos niños no quisieron repetir?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
La solución es B. En total hay 8 niños, n niños que sí repiten y 8 – n que no lo hacen. Para repartir las
3 bolsas de chuches entre los n niños (I) y teniendo en cuenta que un niño puede recibir más de una bolsa (•), se
utiliza la codificación de puntos y barras:
•||••||||…
Niño 1: 1 bolsa;
Niño 3: 2 bolsas;
Del Niño 4 al Niño n: 0 bolsas
El número de formas distintas en que pueden repartirse 3 bolsas entre n niños es:
 n + 2
CR
C=
=
n,3
n + 2,3
 =

 3 
2)!
( n +=
( n − 1) !3!
n ( n + 1)( n + 2 )
3!
Como en el enunciado se afirma que CRn,3 = 20, se tiene que:
n ( n + 1)( n + 2 )
= 20 ⇒ n ( n + 1)( n + 2 ) = 120
3!
120. Por tanto, 4 niños sí repitieron y otros 4 no lo hicieron.
Se observa que si n = 4, entonces 4 ( 5 + 1)( 6 + 2 ) =
140
Combinatoria | Unidad 9
Señala, en cada caso, las respuestas correctas
4.
 12 
En el coeficiente binomial 
 = 220,
 x − 3
A. x = 12
B.
x =7
C.
x = 11
D.
x=6
Las soluciones son A y D. Si x = 12 y aplicamos la definición, se obtiene que:
 12   12  12! 12 ⋅ 11⋅ 10
=
= =
= 220
 12 −
3   9  9!3!
3!

Por otro lado, si se aplican las propiedades de los números combinatorios se obtiene que:
 12   12   12   12 
= =
 12 −=
3   9   3   6 − 3 

Por tanto, la A y D son las respuestas correctas. Con B y C la igualdad no se cumple.
5.
Se lanza 10 veces una moneda, el número de resultados en los que se obtienen 4 caras es:
A. C10, 6
B.
CR10, 4
C.
6,4
PR10
D.
C10, 4
Las soluciones son A, C y D.
Los posibles resultados de lanzar una moneda 10 veces y obtener 4 caras resultan ser permutaciones de 10
elementos con repetición de un elemento que se repite 4 veces (caras) y otro se repite 6 veces (cruces). Por
6,4
, luego la respuesta C es correcta.
tanto, se tratan de PR10
10!
= C=
C10, 4, las respuestas A y D también resultan ser ciertas.
10, 6
6! 4!
6,4
Como además se tiene que PR
=
10
Señala el dato innecesario para contestar
6.
Un grupo de excursionistas se divide en dos subgrupos. Uno iniciará una marcha y el otro preparará el
vivac para pasar la noche. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar en fila los que harán la
marcha?
1. El número de excursionistas.
2. El número de marchadores.
3. El número de los que preparan el vivac.
A. Sobra el dato 1.
C. Sobran los datos 2 y 3.
B. Sobra el dato 2.
D. No sobra ningún dato.
La solución es A y B. Para resolver este problema se necesita conocer el número de marchadores, luego, o
sobran los datos 1 y 3 o sobra el 2. Por tanto A y B son respuestas correctas, sin el dato 1 puede resolverse
porque se conoce 2 y sin el dato 2 puede resolverse porque se conocen 1 y 3.
Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas
7.
Considera las siguientes ordenaciones:
1. Combinaciones de orden k de los n elementos.
A. 1 ⇒ 2 pero 2 ⇒ 1
C.
B. 2 ⇒ 1 pero 1 ⇒ 2
D. Nada de lo anterior
2. PRnk , n − k
1⇔ 2
La solución es C. Si se aplican las definiciones de permutaciones con repetición y combinaciones se observa, en
este caso, que ambas afirmaciones son equivalentes:
n −k
PRnk, =
n!
n
= =
 Cn, k
k !(n − k )!  k 
Unidad 9| Combinatoria
141
10 Probabilidad
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Se lanza una moneda tres veces. Describe el espacio muestral E y los sucesos A = “obtener dos caras”,
B = “obtener cara en el primer lanzamiento” y C = “obtener al menos una cruz”. Además, escribe los
sucesos:
(
)
A, B ∩ C, A ∪ B, A ∩ C, ( B ∪ C ) ∩ A y A ∩ B −C
El espacio muestral está formado por 8 resultados equiprobables:
E = {CCC, CCX , CXC, XCC, CXX , XCX , XXC, XXX }
donde, por ejemplo, CXC representa el resultado en el que se obtuvo cara en el primer y tercer lanzamiento y
cruz en el segundo.
Los sucesos A, B y C son subconjuntos del espacio muestral:
A = {CCX , CXC, XCC}
B = {CCC, CCX , CXC, CXX }
C = {CCX , CXC, XCC, CXX , XCX , XXC, XXX }
El diagrama de Venn representa la situación de los tres sucesos:
Entonces, los sucesos propuestos son:
A = {CCC, CXX , XCX , XXC, XXX } = “no obtener dos caras”.
B ∩C =
{CCX, CXC, CXX } = “obtener cara en el primer lanzamiento y al menos una cruz”.
A∪B =
{CCC, CCX, CXC, XCC, CXX } = “obtener dos caras o cara en el primer lanzamiento”.
A ∩C =
{CXX, XCX, XXC, XXX } = “no obtener dos caras y obtener al menos una cruz”.
( B ∪ C ) ∩ A = E ∩ A = A = {CCX,
CXC, XCC} = “obtener dos caras”.
Como A ∩ B =
{CCX, CXC} , resulta:
(A ∩ B) − C
{CCC,
XCC, CXX , XCX , XXC, XXX } − {CCX
, CXC
=
, XCC, CXX , XCX , XXC, XXX }
= “obtener tres caras”.
142
Probabilidad | Unidad 10
{CCC} =
2.
Muestra, mediante diagramas de Venn, que:
(
a) B = ( B ∩ A ) ∪ B ∩ A
(
b) A ∪ B = A ∪ B ∩ A
)
)
( A ∪ B ) − ( A ∩ B ) = ( A ∩ B ) ∪ (B ∩ A )
c)
(
a) B = ( B ∩ A ) ∪ B ∩ A
(
b) A ∪ B = A ∪ B ∩ A
)
)
( A ∪ B ) − ( A ∩ B ) = ( A ∩ B ) ∪ (B ∩ A )
c)
3.
Ejercicio resuelto.
4.
Si P ( A ) = 0,7; P ( B ) = 0,35 y P ( A ∩ B ) =
0,15, calcula las probabilidades de los sucesos A ∪ B, A ∩ B y
A ∪ B.
Utilizando las propiedades de la probabilidad y una de las leyes de De Morgan se tiene que:
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = 0,7 + 0,35 − 0,15 = 0,9
(
)
(
)
P A ∩ B = P ( A ) − P ( A ∩ B ) = 0,7 − 0,15 = 0,55
(
)
P A ∪ B =P A ∩ B =−
1 P ( A ∩ B ) =−
1 0,15 =0,85
Unidad 10| Probabilidad
143
5.
Deduce, a partir de la unión de tres sucesos, la probabilidad de la unión de cuatro sucesos.
Un diagrama de Venn con cuatro sucesos se puede representar como sigue:
Si se consideran los sucesos A, B y C ∪ D, aplicando la probabilidad para estos tres sucesos se tiene que:
P ( A ∪ B ∪ (C ∪ D )=
) P ( A ) + P ( B ) + P (C ∪ D ) − P ( A ∩ B ) − P ( A ∩ (C ∪ D ) ) − P ( B ∩ (C ∪ D ) ) + P ( A ∩ B ∩ (C ∪ D )=)
Usando las propiedades de la probabilidad queda:
= P ( A ) + P ( B ) + ( P (C ) + P ( D ) − P (C ∩ D ) ) − P ( A ∩ B ) − P ( ( A ∩ C ) ∪ ( A ∩ D ) ) − P ( ( B ∩ C ) ∪ ( B ∩ D ) ) +
+P ( ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ D ) ) =
Si se emplea, de nuevo, la propiedad de la unión de probabilidades resulta:
= P ( A ) + P ( B ) + P (C ) + P ( D ) − P (C ∩ D ) − P ( A ∩ B ) − ( P ( A ∩ C ) + P ( A ∩ D ) − P ( A ∩ C ∩ D ) ) −
− (P (B ∩ C ) + P (B ∩ D ) − P (B ∩ C ∩ D )) + (P ( A ∩ B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ D ) − P ( A ∩ B ∩ C ∩ D )) =
Quitando paréntesis y recolocando los términos se obtiene que:
= P ( A ) + P ( B ) + P (C ) + P ( D ) − P ( A ∩ B ) − P ( A ∩ C ) − P ( A ∩ D ) − P ( B ∩ C ) − P ( B ∩ D ) − P (C ∩ D ) +
+P ( A ∩ B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ D ) + P ( A ∩ C ∩ D ) + P ( B ∩ C ∩ D ) − P ( A ∩ B ∩ C ∩ D )
6 y 7. Ejercicios resueltos.
8.
De una baraja española se retiran todas las cartas excepto los ases, los treses, las sotas, los caballos y
los reyes. De la baraja se elige al azar una carta. Escribe la función de probabilidad correspondiente en
cada caso si lo que se quiere obtener son:
a) Los distintos palos de la baraja.
b) Las distintas figuras de la baraja.
c) Las distintas cartas que no son figuras de la baraja.
a) Se tienen 4 palos y cada palo 5 cartas: 5 cartas de oros (O), 5 cartas de copas (C), 5 cartas de espadas (S) y
5 cartas de bastos (B). Por tanto, el espacio muestral está formado por E = {O, C, S
, B} y la función de
probabilidad es:
5
= 0,25
20
P (O
=
) P (C=) P (S=) P ( B=)
b) En las 20 cartas de la baraja quedan 4 sotas (S), 4 caballos (H) y 4 reyes (R), el resto (8 cartas) no son
{
}
figuras ( F ). Así, en este caso, el espacio muestral es E = S, H, R, F , y la función de probabilidad es:
P (S
=
) P ( H=) P ( R=)
4
8
= 0,2 y P F
= = 0, 4
20
20
( )
c) En la baraja quedan 4 cuatro ases (A) y 4 treses (T), el resto (12 cartas) son figuras (F). El espacio muestral
es ahora E = {A, T , F } y la función de probabilidad correspondiente es:
P (=
A ) P (T
=
)
144
Probabilidad | Unidad 10
4
12
= 0,2 y P ( F
=
) = 0,6
20
20
9.
En un experimento con 7 posibles resultados, las probabilidades de cada resultado son:
P (w 1 ) 0,12;
P (w 2 ) 0,21; P (w 3 ) 0,14
=
=
=
P (w 4 ) 0,14; P (w 5 ) 0,1; P (w 6 ) a=
; P (w 7 ) b
=
=
=
Razona si a y b pueden tomar los siguientes valores.
a)
a = 0,3
b = − 0,05
c)
a = 0,2
b = 0,05
b)
a = 0,15
b = 0,14
d)
a = 0,2
b = 0,35
Los valores de a y b deben ser mayores o iguales que cero, por lo que los resultados del apartado a) no son
posibles.
Además, la suma de las probabilidades debe ser 1. Es decir:
7
∑P (w ) =1 ⇔ 0,12 + 0,21 + 0,14 + 0,14 + 0,1 + a + b =1 ⇔ a + b = 0,29
j =1
j
Por lo que los únicos resultados posibles son los del apartado b).
10. En un grupo de danza hay 7 mujeres y 12 hombres. Si se escogen tres personas al azar, halla la
probabilidad de que se seleccionen 2 mujeres y un hombre.
En la elección no importa el orden, por lo que los resultados posibles al elegir 3 personas de las 19 son las
combinaciones de orden 3 de las 19 personas:
 19  19 ⋅ 18 ⋅ 17
C
=
= 969
19, 3
=

3!
3
Los resultados favorables al suceso A = “se eligen 2 mujeres y 1 hombre”, se obtienen seleccionado a las
2 mujeres de las 7 y, por cada una de estas, un hombre de los 12. Es decir:
 7   12  7 ⋅ 6
⋅ 12= 252
C7, 2 ⋅ C12,1 =    =
2!
 2  1 
Por tanto, como los resultados posibles son equiprobables, la probabilidad del suceso A se obtiene mediante la
regla de Laplace:
P=
( A)
252
= 0,2601
969
Unidad 10| Probabilidad
145
11. Un juego consiste en lanzar dos dados de distinto color y obtener la diferencia de las puntuaciones de
ambos dados. Si la diferencia es cero ni se gana ni se pierde, si la diferencia es un número par distinto de
cero se gana y si la diferencia es un número impar se pierde. Calcula la probabilidad de:
a)
Ganar
b)
c)
Perder
Empatar
¿Cómo puedes modificar las reglas del juego para que las probabilidades de ganar y perder sean iguales?
El número de resultados posibles equiprobables (se entiende que los dados están equilibrados) es:
2
VR6, =
6=
36
2
En la tabla siguiente se muestran los posibles resultados (diferencias en valor absoluto) dependiendo si el
resultado conduce a ganar (rayado horizontal), perder (blanco) o empatar (rayado vertical):
a) La probabilidad del suceso ganar (G) se obtiene por la regla de Laplace: P(G
=
)
b) La probabilidad de suceso perder (R), se calcula de igual modo: P(R
)
=
12 1
=
.
36 3
18 1
.
=
36 2
c) La probabilidad del suceso empatar (M) se obtiene igualmente por la regla de Laplace: P(M
=
)
6
1
=
.
36 6
Para que las probabilidades de ganar y perder sean iguales, bastaría con establecer las siguientes reglas:
-
Se gana si la diferencia es número par (se incluye el cero como número par).
-
Se pierde si la diferencia es número impar.
 1
 1
En cuyo caso la probabilidad de ganar,   , es la misma que la de perder,   .
2
2
12. Se elige al azar un número de 5 cifras distintas escrito con las cifras 2, 3, 5, 7 y 8.
a) Calcula la probabilidad de que dicho número sea mayor que 87 000.
b) Calcula la probabilidad de que sea menor que 32 000.
c) Calcula la probabilidad de que el número esté entre 30 000 y 60 000.
Con las cifras 2, 3, 5, 7 y 8 se pueden formar P=
5!
= 120 números de cifras distintas.
5
a) De los 120 números, son mayores que 87 000: 87235; 87253, 87325, 87352, 87523 y 87532 ( P=
3!
= 6 ).
3
De modo que la probabilidad del suceso A = “el número sea mayor que 87 000” es:
P=
( A)
6
1
=
120 20
b) De los 120 números, serán menores que 32 000 aquellos que empiecen por 2: P=
4!
= 24 números.
4
De manera que la probabilidad del suceso B = “el número es menor que 32 000” es:
P=
(B )
24
1
=
120 5
c) De los 120 números, estarán entre 30 000 y 60 000 aquellos números que:
-
Empiecen por 3: P=
4!
= 24 números.
4
-
Empiecen por 5: P=
4!
= 24 números.
4
De manera que la probabilidad del suceso C = “el número está entre 30 000 y 60 000” es:
P=
(B )
146
Probabilidad | Unidad 10
24 + 24
48
2
= =
120
120 5
13. Ejercicio interactivo.
14. Ejercicio resuelto.
15. En un centro educativo el 40 % de los alumnos practica voleibol, el 30 % bádminton y el 20 % ambos
deportes.
a) Si un alumno, elegido al azar, juega al voleibol, ¿cuál es la probabilidad de que no juegue al bádminton?
b) ¿Son independientes los sucesos “jugar al voleibol” y “jugar al bádminton”?
Seleccionado un alumno al azar, se consideran los sucesos V = “juega al voleibol” y B = “juega al bádminton”. Se
tiene que:
=
P (V ) 0, 4 =
P ( B ) 0,3
P=
(V ∩ B ) 0,2
a) En este caso, se trata de calcular la probabilidad de que el alumno seleccionado no juegue al bádminton,
sabiendo que juega voleibol:
(
(
)
P V ∩B
P (V ) − P (V ∩ B ) 0, 4 − 0,2
=
= = 0,5
P (V )
P (V )
0, 4
)
=
P B |V
b) Los sucesos V y B no son independientes ya que
P (V ∩ B ) = 0,2 ≠ P (V ) ⋅ P ( B ) = 0, 4 ⋅ 0,3 = 0,12
16. *Se consideran los sucesos A y B tales=
que P ( A ) 0,84;
P ( B ) 0,5=
y P ( A | B ) 0,12. Entonces:
=
a) ¿Son independientes los sucesos A y B?
b) Calcula la probabilidad de que ocurran A y B.
De los datos que se proporcionan, se obtiene que:
(
)
=
P A|B
(
)
(
)
P A∪B
P A∩B
1− P ( A ∪ B)
= =
= 0,12
1− P (B)
1 − 0,5
P B
( )
De donde:
1 − P ( A ∪ B ) = 0,12 ⋅ (1 − 0,5 ) ⇒ P ( A ∪ B ) = 0,94
Y la probabilidad de la intersección de A y B es:
P ( A ∩ B )= P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∪ B )= 0,84 + 0,5 − 0,94= 0,4
a) Los sucesos A y B no son independientes, puesto que:
P ( A ∩ B ) = 0,4 ≠ P ( A ) ⋅ P ( B ) = 0,84 ⋅ 0,5 = 0,42
b) La probabilidad del suceso A ∩ B se obtiene de la siguiente manera:
(
)
P A ∩ B = P ( A ) − P ( A ∩ B )= 0,84 − 0,4= 0,44
P ( B ) 0,25 y P (=
A ∩ B ) 0,2.
17. Calcula P ( A | B ) sabiendo que=
Por la definición de probabilidad condicionada y aplicando propiedades de la probabilidad:
(
)
=
P A|B
(
)
P A∩B
P ( B ) − P ( A ∩ B ) 0,25 − 0,2
=
= = 0,2
P (B )
P (B )
0,25
Unidad 10| Probabilidad
147
18 y 19. Ejercicios resueltos.
20. Una entidad bancaria concede tres tipos de créditos: para vivienda, para industria y personales. El 30 %
de los créditos que concede son para vivienda, el 50 %, para industria y el 20 % restante son personales.
Han resultado impagados el 5 % de los créditos para vivienda, el 7 % de los créditos para industria y el
12 % de los créditos para consumo. Se pide:
a) Seleccionado un crédito al azar, calcula la probabilidad de que no resulte impagado.
b) Se sabe que un determinado crédito ha resultado impagado. Calcula la probabilidad de que sea un crédito de
vivienda.
Seleccionado un crédito al azar, se consideran los sucesos:
V = “el crédito es para vivienda”
D = “el crédito es para industria”
R = “el crédito es personal”
M = “el crédito es impagado”
Las probabilidades que se proporcionan son:
=
P (V ) 0,3 =
P ( D ) 0,5 =
P ( R ) 0,2 =
P ( M |V ) 0,05 =
P ( M | D ) 0,07 =
P ( M | R ) 0,12
El diagrama de árbol recoge las distintas posibilidades:
a) Se calcula la probabilidad de que un crédito seleccionado al azar haya sido impagado. Utilizando el teorema
de la probabilidad total:
P ( M ) = P ( M |V ) ⋅ P (V ) + P ( M | D ) ⋅ P ( D ) + P ( M | R ) ⋅ P ( R ) = 0,05 ⋅ 0,3 + 0,07 ⋅ 0,5 + 0,12 ⋅ 0,2 = 0,074
Por tanto, la probabilidad de que el crédito seleccionado al azar se pague es:
( )
P M =
1− P (M ) =
1 − 0,074 =
0,926
También se podría haber calculado directamente:
( )
(
)
(
)
(
)
P M = P M |V ⋅ P (V ) + P M | D ⋅ P ( D ) + P M | R ⋅ P ( R ) = 0,95 ⋅ 0,3 + 0,93 ⋅ 0,5 + 0,88 ⋅ 0,2 = 0,926
b) Mediante el teorema de Bayes, se obtiene la probabilidad pedida:
=
P (V | M )
148
Probabilidad | Unidad 10
P ( M |V ) ⋅ P (V ) 0,05 ⋅ 0,3
= = 0,2027
P (M )
0,074
21. El número de vuelos que llegan a un aeropuerto por la mañana es 120, por la tarde, 150, y por la noche,
30. El porcentaje de vuelos que se retrasan por la mañana es del 2 %, por la tarde, del 4 %, y por la noche,
de un 6 %.
a) Calcula la probabilidad de que se retrase un vuelo con destino a este aeropuerto.
b) Si un vuelo llegó con retraso a este aeropuerto, ¿cuál es la probabilidad de que fuera un vuelo nocturno?
Elegido un vuelo al azar, se consideran los sucesos:
M = “el vuelo llega por la mañana”
T = “el vuelo llega por la tarde”
N = “el vuelo llega por la noche”
R = “el vuelo llega con retraso”
Se proporcionan las siguientes probabilidades:
P (=
M)
120
150
30
= 0, 4 P =
(T ) = 0,5 P =
( N ) = 0,1
300
300
300
=
P ( R | M ) 0,02 =
P ( R |T ) 0,04 =
P ( R | N ) 0,06
En el diagrama de árbol se pueden ver las distintas posibilidades con sus respectivas probabilidades
a) La probabilidad de que un vuelo elegido al azar se retrase se obtiene mediante el teorema de la probabilidad
total:
P ( R ) = P ( R | M ) ⋅ P ( M ) + P ( R |T ) ⋅ P (T ) + P ( R | N ) ⋅ P ( N ) = 0,02 ⋅ 0, 4 + 0,04 ⋅ 0,5 + 0,06 ⋅ 0,1 = 0,034
b) Se utiliza la regla de Bayes:
=
P
(N | R )
P ( R | N ) ⋅ P ( N ) 0,06 ⋅ 0,1
= = 0,1765
0,034
P (R )
22. Ejercicio interactivo.
Unidad 10| Probabilidad
149
EJERCICIOS
Experimentos aleatorios. Sucesos
32. En el experimento consistente en lanzar una moneda tres veces:
a) Describe el espacio muestral y los sucesos A = “obtener más caras que cruces”, B = “obtener cara en el
segundo lanzamiento” y C = “obtener al menos una cruz”.
b) Describe y representa en un diagrama de Venn los sucesos: A ∩ B ∩ C, A ∩ B y ( A ∪ B) ∩ C.
a) El espacio muestral del experimento consistente en lanzar una moneda tres veces, está formado por
8 resultados posibles equiprobables:
E = {CCC, CCX , CXC, XCC, CXX , XCX , XXC, XXX }
Y los sucesos A, B y C son subconjuntos del espacio muestral:
A = {CCC, CCX , CXC, XCC} B = {CCC, CCX , XCC, XCX }
C = {CCX , CXC, XCC, CXX
, XCX , XXC, XXX }
b)
Los sucesos propuestos son:
{CCC}
(A ∪ B) ∩C =
A∩B =
{ XCX }
A ∩ B ∩C =
{CCX, XCC}
33. Considera el experimento consistente en medir la duración en horas de una marca particular de
bombillas.
a) Describe el espacio muestral y los sucesos A = ”la bombilla dura menos de 250 horas” y B = “la bombilla dura
más de 200 horas”.
b) Describe y representa los sucesos A ∩ B, A ∩ B y A ∩ B.
a) El espacio muestral consiste en cualquier instante de tiempo (en horas) mayor que cero, es decir,
=
E ( 0, +∞ ) .
y B
Los sucesos A y B son subconjuntos de E: A = ( 0, 250 ) =
+ ∞)
( 200, .
b) El suceso A ∩ B = “La bombilla dura más de 200 horas pero menos de 250 horas” es A ∩ B =
( 200, 250 ) .
El suceso A ∩ B = “La bombilla dura 250 o más”, es decir, A=
∩B
[250, + ∞).
El suceso A ∩ B = A ∪ B = “La bombilla dura 250 horas o más, o 200 horas o menos” es decir,
A ∩ B= A ∪ B=
150
( 0, 200] ∪ [250, Probabilidad | Unidad 10
+ ∞).
Probabilidad y propiedades
34. En una frutería el 60 % de los clientes compran naranjas, el 40 % compran manzanas y el 30 % no
compran ni naranjas ni manzanas. Calcula el porcentaje de clientes que compran:
a) Naranjas o manzanas o ambas.
b) Manzanas y naranjas.
c) Naranjas pero no manzanas.
Se consideran los sucesos N = “el cliente compra naranjas” y M = “el cliente compra manzanas”.
(
)
Elegido un cliente al azar, se tiene que P ( N ) = 0,6, P ( M ) = 0, 4 y P N ∩ M =
0,3.
a) Se pide la probabilidad de N ∪ M. Mediante el suceso contrario y una de las leyes de De Morgan:
(
)
(
)
P ( N ∪ M ) =−
1 P N ∪ M =−
1 P N ∩ M =−
1 0,3 =
0,7
El 70 % de los clientes compran naranjas o manzanas o ambas.
b) Se pide la probabilidad de N ∩ M :
P ( N ∩ M ) = P ( N ) + P ( M ) − P ( N ∪ M ) = 0,6 + 0, 4 − 0,7 = 0,3
El 30 % de los clientes compran naranjas y manzanas.
c) Se pide la probabilidad de N ∩ M :
(
)
P N ∩ M = P ( N ) − P ( N ∩ M ) = 0,6 − 0,3 = 0,3
El 30 % de los clientes compran naranjas pero no manzanas.
35. En una determinada fábrica de automóviles, el 10 % de los coches fabricados tiene defectos de motor, el
8 % tiene defectos en la carrocería y el 4 % tiene defectos en motor y en carrocería. Se pide:
a) Expresa los datos proporcionados como probabilidades.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un coche tenga al menos un defecto?
c) ¿Y la probabilidad de que un coche elegido al azar no sea defectuoso?
d) Expresa e interpreta los resultados obtenidos en los aparatados b) y c) en porcentaje de coches.
Elegido un coche al azar, sean los sucesos: M = “tiene defectos de motor” y C = “tiene defectos de carrocería”.
a) Los datos expresados como probabilidades son:
=
P ( M ) 0,1 =
P (C ) 0,08 P ( M
=
∩ C ) 0,04
b) Se trata de la probabilidad del suceso unión de M y C:
P ( M ∪ C ) = P ( M ) + P (C ) − P ( M ∩ C ) = 0,1 + 0,08 − 0,04 = 0,14
c) Que un coche no sea defectuoso resulta el suceso M ∩ C. Utilizando una de las leyes de De Morgan y la
propiedad de la probabilidad del suceso contrario:
(
)
(
)
P M ∩ C =P M ∪ C =−
1 P ( M ∪ C ) =−
1 0,14 =0,86
d) El 14 % de los coches presenta al menos un defecto en el motor o en la carrocería.
El 86 % de los coches no presenta defectos ni en el motor ni en la carrocería.
Unidad 10| Probabilidad
151
36. En una ciudad, el 10 % de los días de junio llueve, mientras que el 75 % luce el sol. Calcula probabilidad
de que en un día elegido al azar llueva y no haga sol en cada uno de los casos siguientes.
a) No es posible que en un día llueva y haga sol.
b) Si llueve, entonces también lucirá el sol.
c) El 5 % de los días de junio llueve y hace sol.
Elegido un día de junio al azar, se consideran los sucesos A = “llueve” y B = “hace sol”, donde:
=
P ( A ) 0,1 =
P ( B ) 0,75
(
)
Se pide la probabilidad del suceso A ∩ B , que se obtiene de la expresión: P A ∩ B= P ( A ) − P ( A ∩ B ) .
a) Si no es posible que llueva y haga sol, entonces P ( A ∩ B )= P ( ∅ )= 0 y entonces:
(
)
P A ∩ B= P ( A=
) 0,1
(
)
A , con lo que: P A ∩ B= P ( A ) − P ( A=
b) En este caso, se tiene que A ⊂ B , y por lo tanto A ∩ B =
) 0.
c) Si el 5 % de los día de junio llueve y hace sol, entonces P ( A ∩ B ) =
0,05. Por lo tanto:
(
)
P A ∩ B = P ( A ) − P ( A ∩ B ) = 0,1 − 0,05 = 0,05
37. La asignatura de Administración de Empresas tiene dos grupos, en el primero el 40 % de los estudiantes
son hombres y en el segundo son mujeres el 45 %. Se elige al azar un estudiante de cada grupo.
a) Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
A = “ambos son mujeres”
B = “sólo uno es mujer”
C = “los dos son hombres”
b) Razona si el suceso contrario del suceso A es el C, el B, el B ∩ C , el B ∪ C o algún otro suceso y calcula su
probabilidad.
a) Si se elige un estudiante del primer grupo, la probabilidad de que sea hombre (H1) es P ( H1) = 0, 4 y la de
que sea mujer (M1) es P ( M1) = 0,6.
En el segundo grupo, al elegir un estudiante al azar, la probabilidad de que sea hombre (H2) es
P ( H 2 ) = 0,55 y la de que sea mujer (M2) es P ( M 2 ) = 0, 45.
La elección de un estudiante en un grupo es independiente de la elección de un estudiante en el otro grupo.
-
El suceso A = “ambos son mujeres”, se puede expresar como =
A M1 ∩ M 2 y, puesto que M1 y M2 son
independientes: P ( A ) = P ( M1 ∩ M 2 ) = P ( M1) ⋅ P ( M 2 ) = 0,60 ⋅ 0, 45 = 0,27.
-
El suceso B = “solo uno es mujer”, se puede escribir como B = ( M1 ∩ H 2 ) ∪ ( H1 ∩ M 2 ) . Teniendo en
cuenta que los sucesos ( M1 ∩ H 2 ) y ( H1 ∩ M 2 ) son incompatibles y que los sucesos M1 y H2 son
independientes al igual que H1 y M2, se tiene que:
P ( B ) = P ( M1) ⋅ P ( H 2 ) + P ( H1) ⋅ P ( M 2 ) = 0,6 ⋅ 0,55 + 0, 4 ⋅ 0, 45 = 0,51
-
El suceso C = “los dos son hombres” se puede expresar como H1 ∩ H 2 , y como H1 y H2 son
independientes: P (C ) = P ( H1 ∩ H 2 ) = P ( H1) ⋅ P ( H 2 ) = 0, 40 ⋅ 0,55 = 0,22.
b) El suceso contrario a A es A = “al menos uno es hombre”. Por lo tanto, el suceso B no puede ser ya que
A podrían ser los dos hombres. Tampoco es el suceso C pues A podría ser hombre y mujer.
B ∩ C no son pues este conjunto es vacío y A no lo es. Si se considera B ∪ C, se tiene que o sólo uno es
mujer o los dos son hombres, luego A= B ∪ C. Por tanto, su probabilidad será:
( )
P A = P ( B ∪ C ) = P ( B ) + P (C ) − P ( B ∩ C ) = 0,51 + 0,22 − 0 = 0,73
( )
Se comprueba que es cierto pues P A =
1− P ( A) =
1 − 0,27 =
0,73.
152
Probabilidad | Unidad 10
38. El 80 % de los alumnos de mi colegio estudian inglés, y el 30 %, francés. Además, solo el 15 % combinan
ambos idiomas. Calcula el porcentaje de alumnos que:
a) No estudia ninguno de esos idiomas.
b) Estudia solo uno de esos idiomas.
Si se elige un alumno al azar, se consideran los sucesos A = “estudia inglés” y B = “estudia francés”. Entonces:
=
P ( A ) 0,8 =
P ( B ) 0,3 P (=
A ∩ B ) 0,15
a) Se pide la probabilidad del suceso A ∩ B . Utilizando una de las leyes de De Morgan y la probabilidad del
(
)
)
(
suceso contrario, se tiene que P A ∩ B =P A ∪ B =−
1 P ( A ∪ B).
Se calcula la probabilidad del suceso unión: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = 0,8 + 0,3 − 0,15 = 0,95.
(
)
Así, se tiene que P A ∩ B =−
1 P ( A ∪ B ) =−
1 0,95 =0,05.
b) El suceso “estudia uno solo de los idiomas”, se puede escribir como la unión de dos sucesos incompatibles,
( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ) , cuya probabilidad se calcula como sigue:
P ( ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ) ) = P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) = P ( A ) − P ( A ∩ B ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) =
= 0,8 − 0,15 + 0,3 − 0,15 =
0,8.
39. Las probabilidades de que el metro, el tren o el autobús de una ciudad sean puntuales son 0,9; 0,8 y 0,6,
respectivamente. Calcula la probabilidad de que en un determinado viaje en el que los tres medios salen a
la vez, cumplan el horario:
a) Los tres medios de transporte.
b) Solo uno de ellos.
c) Al menos, dos de los tres.
Se consideran los sucesos con sus respectivas probabilidades son:
M = “el metro es puntual”
T = “el tren es puntual”
P ( M ) = 0,9
A = “el autobús es puntual”
0,8
P (T ) =
0,6
P ( A) =
Los tres sucesos son mutuamente independientes, es decir, lo son dos a dos y los tres en conjunto.
a) Se pregunta por la probabilidad del suceso M ∩ T ∩ A , que es:
P ( M ∩ T ∩ A ) = P ( M ) ⋅ P (T ) ⋅ P ( A ) = 0,9 ⋅ 0,8 ⋅ 0,6 = 0, 432
b)
El suceso B = “solo uno de los tres son puntuales”, se puede escribir como la unión de tres sucesos
incompatibles, B =
(M ∩ T ∩ A) ∪ (M ∩ T ∩ A) ∪ (M ∩ T ∩ A) .
Puesto que si los sucesos M, T y A son
independientes también lo son sus contrarios y cualquier combinación de los sucesos con los contarios de
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
los demás, la probabilidad resulta: P ( B ) = P ( M ) ⋅ P T ⋅ P A + P M ⋅ P T ⋅ P ( A ) + P M ⋅ P (T ) ⋅ P A =
= 0,9 ⋅ 0,2 ⋅ 0, 4 + 0,1⋅ 0,2 ⋅ 0,6 + 0,1⋅ 0,8 ⋅ 0, 4 = 0,116
c)
El suceso C = “al menos dos de los tres son puntuales”, se puede escribir como la unión de dos sucesos
incompatibles =
C C2 ∪ C3 , donde C2 = “exactamente dos son puntuales” y C3 = “los tres son puntuales”.
C2 =
(M ∩ T ∩ A) ∪ (M ∩ T ∩ A) ∪ (M ∩ T ∩ A)
C
3 = M ∩ T ∩ A
La probabilidad de C2 se obtiene de forma análoga al apartado b):
(
)
(
)
(
)
P (C2=
) P M ∩ T ∩ A + P M ∩ T ∩ A + P M ∩ T ∩ A=
( )
( )
( )
= P ( M ) ⋅ P (T ) ⋅ P A + P ( M ) ⋅ P T ⋅ P ( A ) + P M ⋅ P (T ) ⋅ P ( A ) =
= 0,9 ⋅ 0,8 ⋅ 0, 4 + 0,9 ⋅ 0,2 ⋅ 0,6 + 0,1⋅ 0,8 ⋅ 0,6 = 0, 444 Y la probabilidad de C3 se ha obtenido en el apartado a): P (C3=
) P ( M ∩ T ∩ A=) 0, 432.
De modo que, P (C ) = P (C2 ) + P (C3 ) = 0, 444 + 0, 432 = 0,876.
Unidad 10| Probabilidad
153
40. En un dado trucado la probabilidad de obtener número par es el doble que la de obtener impar. Calcula
ambas probabilidades.
El espacio muestral correspondiente al lanzamiento de un dado es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} .
Se sabe que P ({1, 3, 5}) = P (1) + P ( 3 ) + P ( 5 ) = p y P ({2, 4, 6}) = P ( 2 ) + P ( 4 ) + P ( 6 ) = 2p.
1
1
2
Como p + 2p =1 ⇒ p = . De esta manera, P ({1, 3, 5}) =
y P ({2, 4, 6}) = .
3
3
3
Asignación de probabilidades. Espacios finitos
41. El temario en el que se basa una prueba consta de 15 temas. La prueba consiste en seleccionar al azar
dos de estos temas y desarrollar uno de ellos.
a) ¿Cuántas parejas distintas de temas pueden darse?
b) Si solo he preparado 6 temas, ¿qué probabilidad tengo de suspender? Se supone que suspendo si no he
preparado ninguno de los dos temas seleccionados.
a) Se deben seleccionar aleatoriamente dos temas de los 15 en que se basa la prueba. No importa el orden en
el que se elijan los 2 temas, de modo que se trata de las combinaciones de orden 2 de los 15 temas:
 15  15 ⋅ 14
C
=
= 105
15, 2
=

2
2
Se pueden formar, por tanto, 105 parejas distintas de temas.
b) Sea el suceso S = “no he preparado ninguno de los dos temas seleccionados”, lo que equivale a suspender.
El número de resultados favorables al suceso S se obtiene mediante las combinaciones de orden 2 de los 9
temas que no he preparado:
9 9 ⋅8
C=
= 36
9, 2
=

2
 2
Y, aplicando la regla de Laplace, se obtiene la probabilidad del suceso S:
P=
(S )
36
= 0,3429
105
42. Se dispone de seis tarjetas numeradas del 1 al 6. Se eligen, a la vez, dos tarjetas al azar. Se pide la
probabilidad de que la suma de sus números:
a) Sea 7.
b) Sea un número par.
c) Sea menor que 5.
El número de resultados posibles es el de las variaciones con repetición de las 6 tarjetas tomadas de 2 en 2:
2
VR6, =
6=
36
2
a) De las 36 posibilidades, suman 7: {1, 6}; {6, 1}; {2, 5}; {5, 2}; {3, 4}; {4, 3}.
Por tanto, la probabilidad del suceso A = “suma 7” es: P ( A
=
)
6
1
=
36 6
b) Los resultados favorables al suceso B = “la suma es número par” son:
{1, 1}; {1, 3}; {1, 5}; {2, 2}; {2, 4}; {2, 6}; {3, 1}; {3, 3}; {3, 5}; {4, 2}; {4, 4}; {4, 6}; {5, 1}; {5, 3}; {5, 5}; {6, 2}; {6, 4}; {6, 6}
P (B
=
)
18 1
=
36 2
c) Los resultados favorables al suceso C = “la suma es menor que 5” son cuatro:
{1, 1 }; {1, 2}; {2, 1 }; {1, 3}; {3, 1 }; {2, 2}
6
1
P (C
=
) =
36 6
154
Probabilidad | Unidad 10
43. En un dado trucado la probabilidad de obtener el número 1 al lanzarlo es doble que la de obtener
cualquiera de los otros números.
a) Calcula las probabilidades de los sucesos elementales.
b) Si se lanza el dado 4 veces, calcula la probabilidad de obtener:
I. Cuatro unos
III. Al menos un cinco
II. Ningún seis
IV. A lo sumo un cuatro
El espacio muestral del lanzamiento de un dado es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} .
a) Sea p ≥ 0 la probabilidad de obtener cualquiera de los números. La probabilidad de obtener el 1 es,
entonces, 2p. Es decir:
P=
( 2 ) P=
( 3 ) P=
( 4 ) P=
( 5 ) P=
( 6 ) p P
=
(1) 2p
1
Dichas probabilidades deben sumar 1: 5p + 2p =1 ⇒ p = .
7
Y, por tanto:
P=
( 2 ) P=
( 3 ) P=
( 4 ) P=
( 5 ) P=
(6)
1
7
2
7
P
=
(1)
b) Los lanzamientos son independientes, de manera que:
4
2
I. La probabilidad del suceso A = “obtener 4 unos” es P=
0,0067.
( A ) =

7
4
6
II. La probabilidad del suceso B = “no obtener ningún 6” es P=
0,5398.
( B ) =

7
 
III. Para calcular la probabilidad del suceso C = ”obtener al menos un 5”, se calcula la de su contrario
C = “no obtener ningún 5”, cuya probabilidad es la misma que la del suceso B. Entonces:
4
6
0,5398 ⇒ P (C ) =
1− P C =
1 − 0,5398 =
0, 4602
P C =
  =
7
( )
( )
IV. El suceso D = “obtener a lo sumo un 4” se puede escribir como la unión de dos sucesos incompatibles,
D0: “no obtener ningún 4” y D1: “obtener exactamente un 4”. Las probabilidades de ambos sucesos
resultan:
1
4
3
 4 1   6 
6
P ( D1) =
0,3599
P (=
D0 ) =
0,5398 =
   

7
 1  7   7 
De manera que:
P ( D ) = P ( D0 ) + P ( D1) = 0,5398 + 0,3599 = 0,8997
44. Un examen de oposición consiste en desarrollar por escrito un tema de un total de 50. El tribunal elige al
azar 2 temas y cada candidato debe escoger uno de ellos. Halla la probabilidad de que un candidato
suspenda el examen si tan sólo ha estudiado 35 temas.
El número de resultados posibles en la elección aleatoria de 2 temas de los 50, es el número de las
combinaciones de orden 2 de los 50 temas, ya que no importa el orden de elección:
 50  50 ⋅ 49
C
=
= 1225
50, 2
=

2
 2
Si un candidato ha estudiado 35 temas, suspenderá el examen si los dos temas elegidos son de los 15 que no
ha estudiado. De esta forma, el número de resultados favorables al suceso S = “suspende el examen” es:
 15  15 ⋅ 14
C
=
= 105
15, 2
=

2
2
Y la probabilidad del suceso S se obtiene utilizando la regla de Laplace:
P (S
=
)
105
3
= = 0,0857
1225 35
Unidad 10| Probabilidad
155
45. Tres cartas distintas van a ser enviadas a tres destinatarios diferentes cuyos nombres están escritos en
los sobres correspondientes. Si se introducen al azar las cartas en los sobres (una carta en cada sobre),
halla:
a) La probabilidad de que una y solo una de las cartas llegue a su verdadero destinatario.
b) La probabilidad de que ninguna de las cartas llegue a su verdadero destinatario.
El número de resultados posibles de repartir 3 cartas en 3 sobre es el de las permutaciones de orden 3 de las
tres cartas (o los 3 sobres): P=
3!
= 6
3
En la tabla se describen las distintas posibilidades: C1, C2 y C3 representan las cartas y S1, S2 y S3 los sobres.
También se indican el número de coincidencias:
S1
C1
C1
C2
C2
C3
C3
S2
C2
C3
C1
C3
C1
C2
S3
C3
C2
C3
C1
C2
C1
Coincidencias
3
1
1
0
0
1
a) Sea el suceso A = “una carta y solo una coincide con su sobre”. Tres de los resultados, como se ve en la
tabla, son favorables al suceso A. Utilizando la regla de Laplace:
P ( A=
)
3
= 0,5
6
b) De los 6 resultados posibles, 2 (como se ve en la tabla) son favorables al suceso B = “ningún sobre coincide
con su carta”. Utilizando la regla de Laplace:
2 1
= = 0,3333
6 3
P ( B=
)
46. Una bolsa contiene bolas numeradas del 1 al 8. De la bolsa se extraen dos bolas al azar. Calcula la
probabilidad de que la suma de sus números:
a) Sea un número par.
b) Sea 10.
Al extraer aleatoriamente 2 bolas de una bolsa, simultáneamente o sin reemplazamiento, que contiene 8 bolas
no importa el orden en que se extraigan (la suma tiene la propiedad conmutativa). Por tanto, el número de
resultados posibles es el de combinaciones de orden 2 de las 8 bolas:
8 8 ⋅7
C=
= 28
8,2
=

2
 2
a) Los resultados favorables al suceso A = “la suma es número par” son 12:
{1, 3}; {1, 5}; {1, 7}; {2, 4}; {2, 6}; {2, 8}; {3, 5}; {3, 7}; {4, 6}; {4, 8}; {5, 7}; {6, 8}
Aplicando la regla de Laplace:
P ( A=
)
12 3
= = 0, 4286
28 7
b) Los resultados favorables al suceso B = “la suma es diez” son 3:
{2, 8}; {3, 7}; {4, 6}
Mediante la regla de Laplace:
P (B
=
)
156
Probabilidad | Unidad 10
3
= 0,1071
28
47. Supón que has quedado a comer con unos amigos en un restaurante y que al llegar ellos ya han pedido
tres platos distintos para compartir pero no recuerdan exactamente cuáles son. Has leído la carta y has
comprobado que hay doce platos y cinco de ellos no te gustan. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los
tres platos que han pedido tus amigos haya alguno que no te guste?
En la carta del restaurante hay 5 platos que no te gustan y 7 que sí te gustan.
Los amigos han elegido 3 platos distintos, luego quedan 9 por elegir.
Se considera el suceso A = “al menos uno de los platos elegidos por los amigos no te gusta”.
El suceso contrario al A es A = “los tres platos elegidos por tus amigos te gustan”.
Para calcular la probabilidad del suceso A se procede primero a hallar la probabilidad del suceso A :
Número de resultados posibles de elegir 3 platos (los que han elegido tus amigos) de entre los 12 de la carta:
 12  12 ⋅ 11⋅ 10 1320
C
=
= = 220
12, 3
=

3!
6
3
-
Número de resultados favorables al suceso A , que los 3 platos que eligen están entre los 7 que sí te gustan:
 7  7 ⋅ 6 ⋅ 5 210
C=
= = 35
7, 3
=

3!
6
3
-
Aplicando la regla de Laplace:
( )
P=
A
-
35
= 0,1591
220
Y, por tanto, P ( A ) =
1 − 0,1591 =
0,8409.
48. Con las letras de la palabra CARCAMAL se forman todas las palabras posibles con y sin sentido. Calcula
la probabilidad de que la palabra formada:
a) Empiece por CAR.
b) Empiece por C y acabe en L.
El número de palabras, con o sin sentido, que se pueden formar con las letras de la palabra CARCAMAL es el
de las permutaciones con repetición de las 8 letras donde la C se repite dos veces, la A se repite tres veces y las
letras R, M y L solo aparecen una vez:
=
PR82, 3,1 ,1 ,1 8!
= 3360
2!3!1!1!1!
a) El número de resultados favorables al suceso A = “la palabra empiece por CAR”, es el de la permutaciones
de las 5 letras que faltan (CAMAL) donde la A se repite dos veces y las letras C, M y L aparecen solo una
vez:
=
PR52,1 ,1 ,1 5!
= 60
2!1!1!1!
Utilizando la regla de Laplace:
=
P (A
)
60
1
= = 0,0179
3360 56
b) El número de resultados favorables al suceso B = “la palabra empiece por C y acabe en L”, es el de la
permutaciones de la 6 letras que faltan (ARCAMA) donde la A se repite tres veces y las letras R, M y C
aparecen solo una vez:
=
PR63,1 ,1 ,1 Utilizando la regla de Laplace: P ( B
=
)
6!
= 120
3!1!1!1!
120
1
= = 0,0357.
3360 28
Unidad 10| Probabilidad
157
49. En una clase de pilates hay 14 mujeres y 4 hombres. Si se seleccionan 3 personas al azar, halla la
probabilidad de que:
a) Se seleccionen 2 mujeres y un hombre.
b) Los seleccionados sean todas mujeres.
c) Entre los seleccionados haya al menos una mujer.
Para la elección aleatoria de las 3 personas no importa el orden, por lo que el número de resultados posibles es
el de las combinaciones de orden 3 de las 18 personas:
 18  18 ⋅ 17 ⋅ 16
C
=
= 816
18, 3
=

3!
3
a) El número de resultados favorables al suceso A = “se seleccionen 2 mujeres y 1 hombre” es:
 14   4  14 ⋅ 13
C14, 2 ⋅ C
=
=
⋅ 4 364
4,1
 2  =

2!
   1
La probabilidad del suceso A se obtiene mediante la regla de Laplace:
P=
( A)
364
91
= = 0, 4461
816 204
b) Sea el suceso B = “los seleccionados son todas mujeres”. El número de resultados favorables al suceso B
es:
 14  14 ⋅ 13 ⋅ 12
C
=
= 364
14, 3
=

3!
3
Utilizando la regla de Laplace: P =
(B)
364
= 0,4461
816
c) Se considera el suceso C = “al menos haya sido seleccionada una mujer”. El suceso contrario al C es
C = “ninguna mujer ha sido seleccionada”.
El número de resultados favorables al suceso C es (las 3 personas se seleccionan entre los 4 hombres):
 4
C=
4, 3
=
 4
3
De modo que:
4
4
812 203
= = =
P C = ⇒ P (C ) =
1−
0,9951
816
816 816 204
( )
158
Probabilidad | Unidad 10
50. Una urna contiene tres bolas blancas y seis bolas negras. Se extraen dos bolas al azar. Halla la
probabilidad de que:
a) Las dos bolas extraídas sean negras.
b) Las dos bolas extraídas sean blancas.
c) Una de las bolas sea blanca y la otra negra.
El número de resultados posibles al elegir 2 bolas a la vez de una urna que contiene 9 bolas es el de las
combinaciones de orden 2 de las 9 bolas:
9 9 ⋅8
C=
= 36
9, 2
=

2
 2
a) Sea el suceso A = “las 2 bolas extraídas son negras”. El número de resultados favorables al suceso A es el
de las combinaciones de orden 2 de las 6 bolas que son negras. Y su probabilidad se obtiene utilizando la
regla de Laplace:
15
5
6 6 ⋅5
C6,2 =
15 ⇒ P ( A ) = = =
0, 4167
 2 = =
2
36
12
 
b) De forma análoga a la del apartado a) se obtiene el número de resultados favorables al suceso B = “las 2
bolas extraídas son blancas” y su probabilidad:
3
1
3 3 ⋅ 2
C3,2 =
3 ⇒ P ( A ) ===
0,0833
 2 = =
2
36 12
 
c) El número de resultados favorables al suceso C = “una de las bolas es blanca y la otra negra” y su
probabilidad son:
18 1
36
C3,1 ⋅ C6,1 =     = 3 ⋅ 6 = 18 ⇒ P (C ) =
= = 0,5
36 2
 1  1
Unidad 10| Probabilidad
159
Probabilidad condicionada. Independencia
51. Se tiene una urna con cuatro bolas blancas y cuatro negras. Se saca una bola al azar y se introduce en
otra urna que contiene dos bolas blancas y tres negras. De esta urna se extrae una segunda bola.
Calcula:
a) La probabilidad de que la primera bola sea negra y la segunda blanca.
b) La probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color.
c) La probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color.
d) La probabilidad de que la segunda bola sea blanca.
Sea U1 = {4B, 4N } la urna de la que se extrae la primera bola, formada por 4 bolas blancas y 4 negras.
Si la primera bola extraída es blanca, la segunda urna resulta U 21 = {3B, 3N } .
Si la primera bola extraída es negra, la segunda urna queda U 22 = {2B, 4N } .
Como la probabilidad de extraer una bola blanca de U1 es 0,5 y, también 0,5 es la probabilidad de extraer bola
negra, se tiene que la probabilidad de que se formen las urnas U21 y U22 son:
P=
(U 21) P=
(U 22 )
1
2
De la urna formada en el segundo paso se extrae una bola al azar, las probabilidades de que sea blanca (B) o
sea rea negra (N), dependen de la urna que sea elegida:
P=
( B |U 21) P=
( N |U 21)
1
1
2
P=
( B |U 22 ) P=
( N |U 22 )
2
3
3
En el diagrama de árbol se representan las diferentes posibilidades:
a)
La probabilidad del suceso A = “la primera bola sea negra y la segunda blanca” se obtiene multiplicando las
respectivas probabilidades de las ramas del árbol:
P ( A ) = P (U 22 ) ⋅ P ( B |U 22 ) =
b)
1 1 1
⋅ =
2 3 6
La probabilidad del suceso B = “las dos bolas sea de distinto color” se calcula a partir de las probabilidades
de las ramas del árbol:
P ( B ) = P ( N |U 21) ⋅ P (U 21) + P ( B |U 22 ) ⋅ P (U 22 ) =
c)
La probabilidad del suceso C = “las bolas sean del mismo color”, se obtiene de la misma forma que en el
apartado b):
P (C ) = P ( B |U 21) ⋅ P (U 21) + P ( N |U 22 ) ⋅ P (U 22 ) =
d)
1 1 1 2
7
⋅ + ⋅ =
2 2 2 3 12
La probabilidad del suceso D = “la segunda bola extraída sea blanca” se obtiene mediante el teorema de la
probabilidad total:
P ( D ) = P ( B |U 21) ⋅ P (U 21) + P ( B |U 22 ) ⋅ P (U 22 ) =
160
1 1 1 1 5
⋅ + ⋅ =
2 2 3 2 12
Probabilidad | Unidad 10
1 1 1 1 5
⋅ + ⋅ =
2 2 3 2 12
52. En el juego del tiro al plato Antonio acierta el plato el 55 % de las veces que dispara. En cambio María falla
en el 40 % de las tiradas. Si disparan los dos a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que ambos acierten?
Sean los sucesos A = “Antonio acierta”, cuya probabilidad es P ( A ) = 0,55 , y M = “María acierta” cuya
( )
probabilidad es P ( M ) = 0,6 (que se obtiene a partir del dato del enunciado: P M = 0, 4 ).
Los sucesos A y M son independientes, de forma que la probabilidad del suceso A ∩ M : " los dos acierten” es:
P ( A ∩ M ) = P ( A ) ⋅ P ( M ) = 0,55 ⋅ 0,6 = 0,33
53. Dados dos sucesos A y B, se sabe que:
P ( A ) = 0,6
P ( B ) = 0,3
P ( A ∩ B) =
0,2
Calcula:
) y P ( A | A ∩ B )
a) P ( A | B
b) P ( A ∪ B ) , P ( A ∩ B | A ∪ B ) y P ( A | A ∪ B )
a) Mediante la definición de probabilidad condicionada:
P ( A ∩ B ) 0,2
P ( A |=
B ) 0,6667
= =
P (B )
0,3
P ( A | A=
∩ B)
P ( A ∩ ( A ∩ B )) P ( A ∩ B )
=
= 1
P ( A ∩ B)
P ( A ∩ B)
b) Utilizando las propiedades de la probabilidad:
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = 0,6 + 0,3 − 0,2 = 0,7
Por la definición de probabilidad condicionada:
P (( A ∩ B ) ∩ ( A ∪ B ))
P (A ∩ B | A ∪ B) =
P ( A ∪ B)
P ( A | A ∪ B) =
P ( A ∩ ( A ∪ B ))
P ( A ∪ B)
=
=
P ( A ∩ B ) 0,2
=
= 0,2857
P ( A ∪ B ) 0,7
P ( A)
0,6
=
= 0,8571
P ( A ∪ B ) 0,7
54. Un estuche contiene 15 bolígrafos de color rojo y 10 de color azul. Se pide:
a) Si se elige uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color rojo? ¿Y de color azul?
b) Si se extraen dos sin reemplazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean azules?
c) Si se extraen dos sin reemplazamiento, calcula la probabilidad de que el primero sea rojo y el segundo azul.
a) Se elige un bolígrafo al azar y se consideran los sucesos R = “coger bolígrafo de color rojo”, A = “coger
bolígrafo de color azul”. El número total de bolígrafos es 25 y éste es el número de resultados posibles.
Dado que 15 bolígrafos son de color rojo y 10 de color azul, estos son los resultados favorables a cada uno
de los sucesos. Aplicando la regla de Laplace:
P ( R=
)
15 3
10 2
= = 0,6 P ( A=
= = 0, 4
)
25 5
25 5
b) En este caso, sean los sucesos R j = “coger bolígrafo rojo en la extracción j = 1, 2 ” y A j = “coger bolígrafo
azul en la extracción j = 1, 2 ”. Se debe calcular la probabilidad del suceso A1 ∩ A2 :
P ( A1 ∩ A2 ) = P ( A1 ) ⋅ P ( A2 | A1 ) =
10 9
3
⋅
=
= 0,15
25 24 20
c) Con la misma notación que en el apartado b), ahora se debe calcular la probabilidad del suceso R1 ∩ A2 :
15 10 1
P ( R1 ∩ A2 ) =P ( R1 ) ⋅ P ( A2 | R1 ) = ⋅
= =0,25
25 24 4
Unidad 10| Probabilidad
161
55. En una empresa el 30 % de los trabajadores son técnicos informáticos y el 20 % son técnicos
electrónicos, mientras que un 10 % tienen las dos especialidades.
a) Calcula la probabilidad de que un trabajador de dicha empresa seleccionado al azar sea técnico informático o
electrónico.
b) Si seleccionamos al azar a un técnico electrónico, ¿cuál es la probabilidad de que sea también técnico
informático?
c) Si seleccionamos un trabajador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un técnico que tiene solo una de
las dos especialidades?
Seleccionado un técnico al azar, se consideran el suceso A = “el trabajador es técnico informático” y el
suceso B = “el trabajador es técnico electrónico”. Se tienen las siguientes probabilidades:
=
P ( A ) 0,3 =
P ( B ) 0,2 P (=
A ∩ B ) 0,1
a) Se trata de calcular la probabilidad de la unión de los sucesos A y B:
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = 0,3 + 0,2 − 0,1 = 0, 4
b) Se debe calcular la probabilidad de que el trabajador sea técnico informático condicionada a que se sabe que
es técnico electrónico:
P ( A |=
B)
(
P ( A ∩ B ) 0,1
= = 0,5
0,2
P (B )
) (
)
c) En este caso se trata del suceso A ∩ B ∪ A ∩ B , unión de dos sucesos incompatibles:
P
(( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ))= P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B )=
P ( A ) − P ( A ∩ B ) + P ( B ) − P ( A ∩ B )=
0,3
=
− 0,1 + 0,2 − 0,1 = 0,3
56. Se tienen diez monedas en una bolsa. Seis monedas son legales mientras que las restantes tienen dos
caras. Se elige al azar una moneda.
a) Calcula la probabilidad de obtener cara al lanzarla.
b) Si al lanzarla se ha obtenido cara, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda sea de curso legal?
c) Si se sacan dos monedas al azar sucesivamente y sin reemplazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que una
sea legal y la otra no lo sea?
( )
En la bolsa se tienen monedas de dos clases: legales ( L ) y con dos caras L . De las primeras hay 6 y de las
segundas 4. Se elige una moneda al azar, las probabilidades de los sucesos L y L son:
( )
=
P ( L ) 0,6 =
P L
0, 4
a) Se considera el suceso C = “obtener cara”, que dependiendo de si la moneda es legal o no, se tiene que:
(
)
P (C | L ) 0,5 P C |L
1
=
=
Utilizando el teorema de la probabilidad total (ver diagrama de árbol):
(
) ( )
P (C )= P (C | L ) ⋅ P ( L ) + P C | L ⋅ P L = 0,5 ⋅ 0,6 + 1⋅ 0, 4= 0,7
162
Probabilidad | Unidad 10
b) En este caso, mediante el teorema de Bayes, se puede obtener esta probabilidad:
=
P
( L |C )
P (C | L ) ⋅ P ( L ) 0,5 ⋅ 0,6
= = 0, 4286
0,7
P (C )
c) Ahora, se extraen sucesivamente dos monedas sin reemplazar. Se nombran los sucesos L j = “la moneda es
legal en la extracción j = 1, 2 ” y L j = “la moneda no es legal en la extracción j = 1, 2 ”. El diagrama de árbol
muestra la situación:
El suceso “una sea legal y otra no” se puede escribir como la unión de dos sucesos incompatibles:
(L ∩ L ) ∪ (L ∩ L ) . Cuya probabilidad se calcula como sigue:
1
((
2
1
) (
2
P L1 ∩ L2 ∪ L1 ∩ L2
)) = P (L ∩ L ) + P (L ∩ L ) =
1
2
1
2
(
)
( ) (
)
P ( L1 ) ⋅ P L2 | L1 + P L1 ⋅ P L2 | L1 = 0,6 ⋅
4
6
+ 0, 4 ⋅ = 0,5333
9
9
Unidad 10| Probabilidad
163
57. Se estima que un tercio de las empresas de un sector de la economía, tendrán un aumento en sus
ganancias trimestrales. El 60 % de las empresas que tienen aumento declaran un dividendo y el 10 % de
las que no tienen aumento, también lo declaran.
a) ¿Qué porcentaje de las empresas que declaren un dividendo tendrán un aumento en sus ganancias
trimestrales?
b) ¿Qué porcentaje de empresas ni tienen aumento en sus ganancias ni declaran dividendo?
Se consideran los sucesos:
A = “la empresa tiene aumento en sus ganancias trimestrales” y su contrario A..
D = “la empresa declara un dividendo” y su contrario D.
Se tienen las siguientes probabilidades:
=
P ( A)
1
2
=
P A
=
P ( D | A ) 0,6 =
P D | A 0,1 =
P D | A 0, 4 =
P D | A 0,9
3
3
( )
(
)
(
)
(
)
El siguiente diagrama de árbol recoge esta información:
a) Se trata de calcular la probabilidad condicionada P ( A | D ) , que se obtiene por la regla de Bayes:
1
P ( D | A ) ⋅ P ( A ) 0,6 ⋅ 3 3
=
= = 0,75
P ( A | D=
)
0,8
P (D )
4
3
Donde P ( D ) se ha calculado por el teorema de la probabilidad total:
(
) ( )
P ( D ) = P ( D | A ) ⋅ P ( A ) + P D | A ⋅ P A = 0,6 ⋅
1
2 0,8
+ 0,1⋅ =
 0,2667 3
3
3
b) Se trata de calcular la probabilidad del suceso A ∩ D :
2
P A ∩ D =P A ⋅ P D | A = ⋅ 0,9 =0, 6
3
(
)
( ) (
)
Por tanto, el 60 % de las empresas ni tienen aumento en sus ganancias ni declaran dividendo.
164
Probabilidad | Unidad 10
58. Se consideran los siguientes sucesos:
A = “la economía de un cierto país está en recesión”
B = “un indicador económico muestra que la economía de dicho país está en recesión”.
Se sabe que P ( A ) = 0,005; P ( B | A ) = 0,95 y P ( B | A ) = 0,96.
Calcula la probabilidad de que:
a) El indicador muestre que la economía no está en recesión y además la economía del país esté en recesión.
b) El indicador muestre que la economía del país está en recesión.
De las probabilidades dadas, se obtiene que: P ( A ∩ B=
) P ( A ) ⋅ P ( B | A=) 0,005 ⋅ 0,95= 0,00475.
a) Se trata de calcular la probabilidad del suceso B ∩ A :
(
)
P B ∩ A= P ( A ) − P ( A ∩ B=
) 0,005 − 0,00475= 0,00025
b) Debe calcularse la probabilidad del suceso B, utilizando el teorema de la probabilidad total:
(
) ( )
P ( B=
) P ( B | A ) ⋅ P ( A ) + P B | A ⋅ P A= 0,95 ⋅ 0,005 + 0,04 ⋅ (1 − 0,005=) 0,04455
(
)
(
)
Donde la probabilidad P B | A =
1− P B | A =
1 − 0,96 =
0,04.
59. Un paciente afectado por una enfermedad debe decidir si se somete a una operación, por lo que solicita la
opinión de tres médicos especialistas. Por experiencias anteriores, se sabe que los tres médicos tienen
opiniones diferentes e independientes y que las probabilidades de aconsejar ese tipo de operación son,
respectivamente, 0,8; 0,5 y 0,3. Calcula la probabilidad de que:
a) Ninguno de ellos aconseje la operación.
b) Al menos uno de ellos aconseje la operación.
c) Solo uno aconseje la operación.
Sean A, B y C los tres médicos y sean los sucesos:
A = “el médico A aconseja la operación” con P ( A ) = 0,8.
B = “el médico B aconseja la operación” con P ( B ) = 0,5.
C = “el médico C aconseja la operación” con P (C ) = 0,3.
Los sucesos A, B y C son mutuamente independientes.
a) Se debe calcular la probabilidad del suceso A ∩ B ∩ C . Dado que si los sucesos A, B y C son
independientes, también lo son sus contrarios. Por lo tanto se tiene que:
(
)
( ) ( ) ( )
P A ∩ B ∩ C = P A ⋅ P B ⋅ P C = 0,2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,7 = 0,07
b) El suceso “al menos uno de ellos aconseja la operación” es el suceso A ∪ B ∪ C , cuya probabilidad se
calcula como sigue, teniendo en cuenta la mutua independencia de los sucesos:
=
P (A ∪ B ∪C
) P ( A ) + P ( B ) + P (C ) − P ( A ∩ B ) − P ( A ∩ C ) − P ( B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C=)
= P ( A ) + P ( B ) + P (C ) − P ( A ) ⋅ P ( B ) − P ( A ) ⋅ P (C ) − P ( B ) ⋅ P (C ) + P ( A ) ⋅ P ( B ) ⋅ P (C ) =
= 0,8 + 0,5 + 0,3 − 0,8 ⋅ 0,5 − 0,8 ⋅ 0,3 − 0,5 ⋅ 0,3 + 0,8 ⋅ 0,5 ⋅ 0,3 = 0,93
c)
El suceso D = “solo uno aconseje la operación” puede escribirse como la unión de tres sucesos
(
) (
) (
)
incompatibles D = A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C . Cuya probabilidad se obtiene, teniendo en
cuenta que los sucesos involucrados son mutuamente independientes:
((
)) (
)
) (
) (
) (
) (
0,8
= P ( A ) ⋅ P ( B ) ⋅ P (C ) + P ( A ) ⋅ P ( B ) ⋅ P (C ) + P ( A ) ⋅ P ( B ) ⋅ P ( C ) =
⋅ 0,5 ⋅ 0,7 + 0,2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,7 + 0,2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,3 = 0,38
P ( D=
) P A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C = P A ∩ B ∩ C + P A ∩ B ∩ C + P A ∩ B ∩ C=
Unidad 10| Probabilidad
165
60. De los empleados de una empresa se sabe que el 40 % acude al trabajo en transporte público, que el 75 %
come en la empresa y que el 30 % acude al trabajo en transporte público y come en la empresa.
a) ¿Qué porcentaje acude al trabajo en transporte público y no come en la empresa?
b) Dentro de los que comen en la empresa, ¿qué porcentaje usa el transporte público?
Sean los sucesos:
A = “el empleado usa el transporte público”, y su contrario A .
C = “el empleado come en la empresa” y su contrario C.
( )
( )
=
P ( A ) 0, 4 =
P A 0,6 =
P (C ) 0,75 =
P C
0,25 P=
( A ∩ C ) 0,3
a) Se pide la probabilidad del suceso A ∩ C , que se calcula como sigue:
(
)
P A ∩ C = P ( A ) − P ( A ∩ C ) = 0, 4 − 0,3 = 0,1
El 10 % de los empleados acude en transporte público y no come en la empresa.
b) Debe calcularse la probabilidad del suceso A condicionada por el suceso C:
|C )
P ( A=
P (A ∩C)
0,3
= = 0, 4
0,75
P (C )
El 40 % de los que comen en la empresa usa el transporte público.
61. Sean A y B dos sucesos tales que P ( A ) = 0,2; P ( B ) = 0,5 y P ( A ∪ B ) =
0,65.
a) ¿Son independientes ambos sucesos? Razona la respuesta.
b) Calcular P ( A | B ) .
a) Se calcula la probabilidad del suceso intersección de A y B:
P ( A ∩ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∪ B ) = 0,2 + 0,5 − 0,65 = 0,05
Si se tiene en cuenta este resultado, se deduce que los sucesos no son independientes ya que:
P ( A ) ⋅ P ( B ) = 0,2 ⋅ 0,5 = 0,1 ≠ P ( A ∩ B ) = 0,05
b) Por la definición de probabilidad condicionada: P ( A=
|B)
P ( A ∩ B ) 0,05
= = 0,1.
0,5
P (B )
62. En unos grandes almacenes, el 60 % de las compras de un determinado mes se pagaron con tarjeta de
crédito. De ellas, el 10 % fueron posteriormente devueltas. Además, se sabe que entre las compras
devueltas de las realizadas ese mes, un 50 % habían sido pagadas con tarjeta. Elegida una compra de ese
mes al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya pagado con tarjeta y posteriormente se haya devuelto?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya devuelto posteriormente?
c) ¿Qué porcentaje de compras se compran al contado y no son devueltas posteriormente?
Elegida aleatoriamente una compra del mes en cuestión, sean los sucesos T = “la compra se pagó con tarjeta de
crédito” y D = “la compra fue devuelta”. La información proporcionada indica que:
=
P (T ) 0,6 =
P ( D |T ) 0,1 =
P (T | D ) 0,5
a) Se trata de obtener la probabilidad del suceso T ∩ D : P (T ∩ D ) = P (T ) ⋅ P ( D |T ) = 0,6 ⋅ 0,1 = 0,06.
b) En este caso, la probabilidad del suceso D se obtiene a partir de la probabilidad condicionada P (T | D ) :
P (T | D ) =
166
Probabilidad | Unidad 10
P (T ∩ D )
P (T ∩ D ) 0,06
⇒ P (D ) =
=
= 0,12
P (D )
P (T | D )
0,5
c) Se quiere hallar la probabilidad del suceso T ∩ D. Usando las leyes de De Morgan se tiene:
(
)
(
)
P T ∩ D =P T ∪ D =−
1 P (T ∪ D ) =−
1 0,66 =0,34
Donde P (T ∪ D ) = P (T ) + P ( D ) − P (T ∩ D ) = 0,6 + 0,12 − 0,06 = 0,66.
Luego el 66 % de las compras se compran al contado y no son devueltas posteriormente.
63. Sean A y B dos sucesos asociados a un experimento aleatorio, con P ( A ) = 0, 4;
P ( B ) =0,5
y
P ( B | A ) = 0,3. Calcula:
a) P( A ∪ B)
c)
P (A | B)
b) P ( B | A )
d)
P (B | A)
En primer lugar se calcula la probabilidad del suceso intersección de A y B:
P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B | A ) = 0, 4 ⋅ 0,3 = 0,12
a) Utilizando las propiedades de la probabilidad:
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = 0, 4 + 0,5 − 0,12 = 0,78
b) De la definición de probabilidad del suceso contrario:
(
)
P B|A =
1− P (B | A) =
1 − 0,3 =
0,7
c) Por la definición de probabilidad condicionada y las propiedades de la probabilidad:
(
(
)
P A∩B
P ( A ) − P ( A ∩ B ) 0, 4 − 0,12
=
= = 0,56
1− P (B )
1 − 0,5
P B
)
=
P A|B
( )
d) De la misma forma que en el apartado anterior:
(
)
P=
B|A
(
)
(
)
P A∪B
P A∩B
1 − P ( A ∪ B ) 1 − 0,78
=
=
= = 0,3667
1− P ( A)
1− P ( A)
1 − 0, 4
P A
( )
Unidad 10| Probabilidad
167
64. Se lanza dos veces consecutivas un dado equilibrado, con las caras numeradas del 1 al 6.
a) Determina el número de resultados de este experimento aleatorio.
b) Sea A el suceso “en los dos lanzamientos se obtiene un número mayor que 4” y B el suceso “en los dos
lanzamientos se obtiene un número par”. Calcula la probabilidad de A y la de B.
c) ¿Son A y B independientes?
a) El número de resultados posibles del experimento consistente en lanzar un dado dos veces consecutivas es
el de las variaciones con repetición de orden 2 de los 6 números de los que tiene el dado:
2
VR6, =
6=
36
2
La tabla siguiente muestra los 36 resultados posibles. En las filas el resultado del primer lanzamiento y en
las columnas el del segundo.
b) Los resultados favorables a los sucesos A y B se pueden contar en la tabla:
Resultados favorables al suceso A: 4 (señalados con rayas diagonales más el caso 66).
Resultados favorables al suceso B: 9 (señalados en color gris liso).
Como el dado es equilibrado, los 36 resultados posibles son equiprobables y se puede aplicar la regla de
Laplace:
4
1
9
1
P (=
A) =
P ( B
=
) =
36 9
36 4
c) El suceso consiste en un único resultados posible, A ∩ B =
{66}. Su probabilidad es por tanto:
1
P ( A ∩ B) =
36
Como P ( A ) ⋅ P ( B ) =
1 1
1
⋅ =
= P ( A ∩ B ) , los sucesos A y B son independientes.
9 4 36
65. Se consideran dos sucesos A y B tales que:
1
=
P ( A ) 3
1
P=
( B | A )
4
P (=
A ∪ B)
Calcula razonadamente:
(
)
(
)
a) P ( A ∩ B )
c)
P B|A
b) P ( B )
d)
P A|B
a) Por la regla del producto de probabilidades:
P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P (B | A) =
1 1
1
⋅ =
3 4 12
b) Por las propiedades de la función de probabilidad:
P ( A ∪ B=
) P ( A) + P (B ) − P ( A ∩ B )
Donde P ( B ) = P ( A ∪ B ) + P ( A ∩ B ) − P ( A ) =
168
Probabilidad | Unidad 10
1 1 1 1
+
− = .
2 12 3 4
1
2
c) De la definición de probabilidad condicionada y de las propiedades de la probabilidad:
(
)
P A∩B
P ( A) − P ( A ∩ B )
=
=
P=
B|A
P ( A)
P ( A)
(
)
1 1
−
3=
12 3
1
4
3
d) Una vez más, de la definición de probabilidad condicionada y de las propiedades de la probabilidad:
1
P A∪B
P A∩B
1− P ( A ∪ B ) 1− 2 2
P A=
|B
=
=
= =
1 3
1− P (B )
1− P (B )
P B
1−
4
(
)
(
( )
)
(
)
Probabilidad total. Teorema de Bayes
66. En el departamento textil de unos grandes almacenes se encuentran mezcladas y a la venta
100 camisetas de la marca A, 60 de la marca B y 40 de la marca C. La probabilidad de que una camiseta
tenga tara es 0,01 para la marca A; 0,02 para la marca B y 0,03 para la marca C. Un comprador elige una
camiseta al azar.
a) Calcula la probabilidad de que la camiseta tenga tara.
b) Sabiendo que la camiseta elegida tiene tara, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca B?
Se elige una camiseta al azar. Sean los sucesos:
A = “la camiseta es de la marca A”.
B = “la camiseta es de la marca B”.
C = “la camiseta es de la marca C”.
T = “la camiseta tiene tara”.
En total se dispone de 200 camisetas, luego se pueden asignar las siguientes probabilidades:
P=
( A)
100
60
40
= 0,5 P =
( B ) = 0,3 P =
(C ) = 0,2
200
200
200
Además, se sabe que:
=
P (T | A ) 0,01 =
P (T | B ) 0,02 =
P (T |C ) 0,03
El diagrama de árbol muestra las distintas posibilidades:
a) Utilizando el teorema de la probabilidad total, se obtiene la probabilidad de que la camiseta elegida tenga
tara:
P (T ) = P (T | A ) ⋅ P ( A ) + P (T | B ) ⋅ P ( B ) + P (T |C ) ⋅ P (C ) = 0,01⋅ 0,5 + 0,02 ⋅ 0,3 + 0,03 ⋅ 0,2 = 0,017
b) Mediante la regla de Bayes, se puede calcular esta probabilidad:
=
P ( B |T )
P (T | B ) ⋅ P ( B ) 0,02 ⋅ 0,3
= = 0,3529
0,017
P (T )
Unidad 10| Probabilidad
169
67. Cierta población de personas mayores de 70 años está formada por un 40 % de hombres y un 60 % de
mujeres. El porcentaje de personas dependientes en esa población es del 10% entre los hombres y del
20 % entre las mujeres.
a) Calcula el porcentaje de personas dependientes en esa población de mayores de 70 años.
b) Elegida una persona al azar de la citada población, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer o no sea
dependiente?
Se elige al azar una persona mayor de 70 años y se consideran los sucesos:
H = “la persona elegida es hombre”.
M = “la persona elegida es mujer”.
D = “la persona elegida es dependiente”.
Se conocen las siguientes probabilidades:
=
P ( H ) 0,=
4 P ( M ) 0,6 =
P ( D | H ) 0,1 =
P ( D | M ) 0,2
En el diagrama de árbol se muestran las distintas posibilidades:
a) Se debe obtener la probabilidad de que una persona mayor de 70 años sea dependiente. Se utiliza el
teorema de la probabilidad total:
P ( D ) = P ( H ) ⋅ P ( D | H ) + P ( M ) ⋅ P ( D | M ) = 0, 4 ⋅ 0,1 + 0,6 ⋅ 0,2 = 0,04 + 0,12 = 0,16
El 16 % de la población mayor de 70 años es dependiente.
b) Debe calcularse la probabilidad del suceso M ∪ D . Por las propiedades de la probabilidad se tiene que:
(
)
( )
(
P M ∪ D= P ( M ) + P D − P M ∩ D
)
( )
La probabilidad del suceso contrario al D es P D =
1− P (D ) =
1 − 0,16 =
0,84.
La probabilidad del suceso M ∩ D , se obtiene por el producto de probabilidades:
(
(
)
(
)
)
P D |M =−
1 P ( D | M ) =−
1 0,2 =
0,8 ⇒ P M ∩ D =
P (M ) ⋅ P D | M =
0,6 ⋅ 0,8 =
0, 48
(
)
( )
(
)
De esta manera, P M ∪ D = P ( M ) + P D − P M ∩ D = 0,6 + 0,84 − 0, 48 = 0,96.
68. La probabilidad de que ocurran simultáneamente dos sucesos A y B es 0,1 y la de que no ocurra ninguno
de los dos es 0,2. Además se sabe que P ( A | B ) = 0,25. Calcula la probabilidad de que:
a) Ocurra al menos uno de los dos.
b) No ocurra A.
Según los datos del enunciado se tiene que:
(
)
P=
A∩B
0,2 =
P ( A | B ) 0,25
( A ∩ B ) 0,1 P=
a) Se quiere obtener la probabilidad del suceso A ∪ B. Utilizando las leyes de De Morgan se obtiene que:
(
)
(
)
P ( A ∪ B ) =−
1 P A ∪ B =−
1 P A ∩ B =−
1 0,2 =0,8
170
Probabilidad | Unidad 10
b) Para calcular la probabilidad del suceso A primero se debe tener el valor de P ( A ) . En primer lugar, se
calcula P ( B ) aplicando la definición de probabilidad condicionada:
P ( A|B) =
P ( A ∩ B)
P ( A ∩ B)
0,1
⇒ P (B ) =
=
= 0, 4
0,25
P (B )
P ( A|B)
Por las propiedades de la función de probabilidad se tiene que:
P ( A ∪ B=
) P ( A) + P (B ) − P ( A ∩ B )
Donde P ( A ) = P ( A ∪ B ) + P ( A ∩ B ) − P ( B ) = 0,8 + 0,1 − 0, 4 = 0,5.
( )
Y, por tanto, P A =
1− P ( A) =
1 − 0,5 =
0,5.
69. El 70 % de las compras de un supermercado las realizan mujeres. El 80 % de las compras realizadas por
éstas supera los 20 €, mientras que sólo el 30 % de las realizadas por hombres supera esa cantidad.
a) Elegido un tique de compra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que supere los 20 €?
b) Si se sabe que un tique de compra no supera los 20 €, ¿cuál es la probabilidad de que la compra la hiciera
una mujer?
Se elige aleatoriamente un tique de compra. Sean los sucesos:
M = “la compra la realizó una mujer”.
H = “la compra la realizó un hombre”.
S = “la compra supera los 20€”.
Se dispone de las siguientes probabilidades:
=
P ( M ) 0,7 =
P ( H ) 0,3 =
P ( S | M ) 0,8 =
P ( S | H ) 0,3
En el diagrama de árbol se pueden ver las diferentes posibilidades:
a) Para calcular esta probabilidad del suceso S, se utiliza el teorema de la probabilidad total:
P ( S ) = P ( S | M ) ⋅ P ( M ) + P ( S | H ) ⋅ P ( H ) = 0,8 ⋅ 0,7 + 0,3 ⋅ 0,3 = 0,65
b) Esta probabilidad se obtiene mediante la regla de Bayes:
(
)
P=
M |S
(
)
( )
P S | M ⋅ P ( M ) 0,2 ⋅ 0,7
= = 0, 4
1 − 0,65
P S
Unidad 10| Probabilidad
171
70. Un envío de frutas a un supermercado consta de naranjas y manzanas que se agrupan en cajones de
500 piezas: 300 naranjas y 200 manzanas. Por experiencias anteriores se sabe que en cada envío están
estropeadas un 15 % de las naranjas y un 5 % de las manzanas. Se extrae una pieza al azar de un cajón
cualquiera.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que esté estropeada?
b) Si la pieza elegida está en buenas condiciones, ¿qué es más probable, que sea naranja o que sea
manzana?
Se elige al azar una pieza de fruta. Sean los sucesos:
N = “la pieza elegida es una naranja”.
M = “la pieza elegida es una manzana”.
S = “la pieza elegida está estropeada”.
Se dispone de las siguientes probabilidades:
P=
(N )
300
200
M ) = 0, 4 P ( S=
| N ) 0,15 P ( S |=
M ) 0,05
= 0,6 P (=
500
500
El diagrama de árbol muestra la situación:
a) Mediante el teorema de la probabilidad total, se calcula la probabilidad del suceso S:
P ( S ) = P ( S | N ) ⋅ P ( N ) + P ( S | M ) ⋅ P ( M ) = 0,15 ⋅ 0,6 + 0,05 ⋅ 0, 4 = 0,11
b) Si la pieza está en buenas condiciones es que ha ocurrido el suceso S , contrario al S, cuya probabilidad es:
( )
P S =
1 − P (S ) =
1 − 0,11 =
0,89
Observando las probabilidades en el diagrama de árbol y utilizando el teorema de Bayes:
(
)
( )
(
)
( )
(
)
P S | N ⋅ P ( N ) 0,85 ⋅ 0,6
= = 0,5730
0,89
P S
(
)
P S | M ⋅ P ( M ) 0,95 ⋅ 0, 4
= = 0, 4270
0,89
P S
=
P N |S
=
P M |S
Por tanto, es más probable que la pieza en buenas condiciones sea una naranja.
172
Probabilidad | Unidad 10
71. En un tribunal de una prueba de acceso a la universidad se han examinado 80 alumnos del colegio A,
70 alumnos del colegio B y 50 alumnos del colegio C. La prueba ha sido superada por el 80 % de los
alumnos del colegio A, el 90 % de los del colegio B y por el 82 % de los del colegio C.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar haya superado la prueba?
b) Un alumno elegido al azar no ha superado la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al
colegio B?
Se elige un alumno al azar y se consideran los sucesos:
A = “el alumno es del colegio A”.
B = “el alumno es del colegio B”.
C = “el alumno elegido es del colegio C”.
S = “el alumno ha superado la prueba de acceso”.
En total, se han examinado 200 alumnos. Se pueden asignar las siguientes probabilidades:
P=
( A)
80
70
50
= 0, 4 P =
(C ) = 0,25
( B ) = 0,35 P =
200
200
200
Además, se sabe que:
=
=
=
P ( S | A ) 0,8 P ( S | B ) 0,9 P ( S |C ) 0,82
En el diagrama de árbol se muestran las distintas posibilidades:
a) Mediante el teorema de la probabilidad total se tiene que:
P ( S ) =P ( S | A ) ⋅ P ( A ) + P ( S | B ) ⋅ P ( B ) + P ( S |C ) ⋅ P (C ) =0,8 ⋅ 0, 4 + 0,9 ⋅ 0,35 + 0,82 ⋅ 0,25 =0,84
b) Para calcular esta probabilidad, se utiliza la regla de Bayes:
(
)
=
P B |S
(
)
( )
P S | B ⋅ P ( B ) 0,1⋅ 0,35
= = 0,2188
1 − 0,84
P S
Unidad 10| Probabilidad
173
CUESTIONES
72. Sean A, B y C tres sucesos cualesquiera de un espacio muestral. Escribe los sucesos “solo A ocurre”, “al
menos dos de los tres ocurren”, “ocurren A y C, pero no ocurre B”.
El suceso “solo A ocurre viene” dado por A ∩ B ∩ C.
El suceso “al menos dos de los tres ocurren” se puede escribir como:
( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ∪ (B ∩ C )
El suceso “ocurren A y C pero no B” es el suceso A ∩ B ∩ C.
Los tres sucesos se pueden ver representados en los respectivos diagramas de Venn:
“solo A ocurre”
“al menos dos ocurren”
“ocurren A y C, pero no B”
73. Sean A y B dos sucesos asociados a un experimento aleatorio con A ⊆ B. Si P ( A ) = x y P ( B ) = y , calcula
la probabilidad de los sucesos unión A ∪ B, A ∩ B y A − B .
Si el suceso A está contenido en el suceso B, se tiene que:
A∪B =
B A∩B =
A
A−B =
∅
Entonces:
P ( A ∪ B )= P ( B=) y
P ( A ∩ B )= P ( A )= x
P ( A − B )= 0
(
)
74. Si A y B son dos sucesos tales que P ( A ) = 0,2; P ( B ) = 0,5 y 0,
P A ∪ B =4. ¿Se puede asegurar que
A y B son independientes?
Debe calcularse la probabilidad del suceso intersección A ∩ B .
En primer lugar se calcula la probabilidad del suceso unión:
(
)
P A ∪ B =0, 4 ⇒ P ( A ∪ B ) =−
1 0, 4 =0,6
Y, entonces:
P ( A ∩ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∪ B ) = 0,2 + 0,5 − 0,6 = 0,1
Se tiene que los sucesos A y B son independientes pues:
P ( A ∩ B ) = 0,1 = 0,2 ⋅ 0,5 = P ( A ) ⋅ P ( B )
174
Probabilidad | Unidad 10
75. Sean A, B y C tres sucesos asociados a un experimento aleatorio con P ( B ) > 0 y P (C ) > 0 . Si los
sucesos B y C son independientes, demostrar que:
(
) ( )
P ( A |=
B ) P ( A | B ∩ C ) ⋅ P (C ) + P A | B ∩ C ⋅ P C
Si se aplica la definición de probabilidad condicionada al segundo miembro de la igualdad:
) ( )
(
P ( A | B ∩ C ) ⋅ P (C ) + P A | B ∩ C =
⋅P C
(
)
P A ∩ B ∩C
P (A ∩ B ∩C)
⋅ P (C ) +
=
⋅P C
P (B ∩ C )
P B ∩C
(
)
( )
En el denominador se utiliza que B y C son independientes y en el numerador se aplica la regla de multiplicación
de probabilidades condicionada por B.
= (
)
( )
P A ∩ C | B ⋅ P (B )
P ( A ∩ C | B ) ⋅ P (B )
⋅ P (C ) +
=
⋅P C
P ( B ) ⋅ P (C ) P (B ) ⋅ P C ( )
( )
Se simplifica dividiendo numerador y denominador por P ( B ) y P (C ) en el primer término y por P ( B ) y P C
en el segundo término:
(
)
= P ( A ∩ C | B ) + P A ∩C | B =
Se aplica la regla del producto de probabilidades a los sucesos y A ∩ C A ∩ C, ambos ya condicionados por B:
(
)
=
P ( A | B ) ⋅ P (C | A ∩ B ) + P ( A | B ) ⋅ P C | A ∩=
B
(
)
(
))
Se extrae el factor común P ( A | B ) y como P (C | A ∩ B ) + P C | A ∩ B =
1 , se obtiene la relación:
(
P ( A | B ) ⋅ P (C | A ∩ B ) + P C | A ∩ =
B
P ( A|B)
=
(
)
76. Dados los sucesos independientes A y B, calcula P A ∩ B sabiendo que P ( A ) = p y P ( A ∩ B ) =
0,8p.
Como A y B son sucesos independientes se tiene que:
P (A ∩ B) =
P ( A) ⋅ P (B ) =
p ⋅ P (B ) =
0,8p ⇒ P ( B ) =
0,8
Por otro lado se tiene que:
P ( A ∪ B ) =P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) =p + 0,8 − 0,8p =0,8 + 0,2p
Finalmente se obtiene:
(
)
(
)
=
P A ∩ B P A ∪ B =1 − P ( A ∪ B ) =
=1 − ( 0,8 + 0,2p ) 0,2 − 0,2p =0,2 (1 − p )
Unidad 10| Probabilidad
175
PROBLEMAS
77. Un estudiante busca una fórmula en tres libros de estadística. Las probabilidades de que la citada
fórmula se encuentre en el 1.er, 2.º o 3.er libro son respectivamente 0,5; 0,6 y 0,7. Suponiendo que los
sucesos son mutuamente independientes, calcula la probabilidad de que la fórmula se encuentre:
a) Solamente en un libro.
b) En ninguno de los tres libros.
c) Si el estudiante elige uno de estos libros al azar, calcula la probabilidad de que encuentre la fórmula.
Sean los sucesos A = “la fórmula se encuentra en el primer libro”; B = “la fórmula se encuentra en el segundo
libro” y C = “la fórmula se encuentra en el tercer libro”. Sus probabilidades son:
=
P ( A ) 0,5 =
P ( B ) 0,6 =
P (C ) 0,7
Los sucesos son mutuamente independientes, es decir, son independientes dos a dos e independientes en
conjunto.
a) El suceso “la fórmula se encuentra solo en un libro” se puede escribir como la unión de tres sucesos
incompatibles:
A ∩ B ∩ C : “solo se encuentra en el primer libro”.
A ∩ B ∩ C : “solo se encuentra en el segundo libro”.
A ∩ B ∩ C : “solo se encuentra en el tercer libro”.
La probabilidad se obtiene teniendo en cuenta que si A, B y C son mutuamente independientes, también lo
son los grupos de tres sucesos que incluyan al menos uno de sus contrarios. De modo que:
P
(( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C )=) P ( A ∩ B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C=)
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
= P ( A ) ⋅ P B ⋅ P C + P A ⋅ P ( B ) ⋅ P C + P A ⋅ P B ⋅ P (C ) =
= 0,5 ⋅ 0, 4 ⋅ 0,3 + 0,5 ⋅ 0,6 ⋅ 0,3 + 0,5 ⋅ 0, 4 ⋅ 0,7 = 0,29
b) El suceso “la fórmula no se encuentra en ninguno de los libros” es el suceso A ∩ B ∩ C. Se tiene que si A, B
y C son mutuamente independientes, también los son sus contrarios. Por tanto:
(
)
( ) ( ) ( )
P A ∩ B ∩ C = P A ⋅ P B ⋅ P C = 0,5 ⋅ 0,4 ⋅ 0,3 = 0,06
c)
El estudiante elige al azar uno de los tres libros. Se consideran los siguientes sucesos:
S = “el estudiante encuentra la fórmula”.
L1 = “el estudiante elige el primer libro”.
L2 = “el estudiante elige el segundo libro”.
L3 = “el estudiante elige el tercer libro”.
Los sucesos L1, L2 y L3 constituyen una partición del espacio muestral (son un sistema completo de
sucesos). Considerándose este hecho se tiene que:
P=
( L1 ) P=
( L2 ) P=
( L3 )
1
P ( S
=
| L1 ) 0,5 P ( S
=
| L2 ) 0,6 P ( S=
| L3 ) 0,7
3
De manera que, la probabilidad del suceso S se obtiene mediante el teorema de la probabilidad total:
P ( S ) = P ( S | L1 ) ⋅ P ( L1 ) + P ( S | L2 ) ⋅ P ( L2 ) + P ( S | L3 ) ⋅ P ( L3 ) = 0,5 ⋅
176
Probabilidad | Unidad 10
1
1
1
+ 0,6 ⋅ + 0,7 ⋅ = 0,6
3
3
3
78. Según una encuesta de opinión, el 30 % de una determinada población aprueba la gestión del político A,
mientras que el 70 % restante la desaprueba. En cambio, el político B es aprobado por la mitad y no por la
otra mitad. Un 25 % de la población no aprueba a ninguno de los dos. Si se elige un individuo de la
población al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe a alguno de los dos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe a los dos políticos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no apruebe a alguno de los dos?
Elegido un individuo al azar, se consideran los siguientes sucesos:
A = “aprueba la gestión del político A” y su contrario A = “no aprueba la gestión del político A”.
B = “aprueba la gestión del político B” y su contrario B = “no aprueba la gestión del político B”.
Se conocen las siguientes probabilidades:
( )
( )
(
)
P ( A=
) 0,3 P A= 0,7 P ( B=) P B= 0,5 P A ∩ B= 0,25
a) Se trata de la probabilidad del suceso unión de A ∪ B. Utilizando una de las leyes de De Morgan y las
propiedades de la probabilidad:
(
)
(
)
P A ∩ B =P A ∪ B =−
1 P ( A ∪ B ) =0,25
Por tanto:
P ( A ∪ B ) =−
1 0,25 =0,75
b) Debe calcularse la probabilidad del suceso intersección A ∩ B . De las propiedades de la probabilidad:
P ( A ∩ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∪ B ) = 0,3 + 0,5 − 0,75 = 0,05
c) Ahora se trata de la probabilidad del suceso A ∪ B, que se obtiene mediante una de las leyes de
De Morgan y las propiedades de la probabilidad:
(
)
(
)
P A ∪ B =P A ∩ B =−
1 P ( A ∩ B ) =−
1 0,05 =0,95
Unidad 10| Probabilidad
177
79. El 40 % de los aspirantes a un puesto de trabajo superó una determinada prueba de selección. De los
aspirantes que superan esa prueba, el 80 % acaban siendo contratados, mientras que también son
contratados el 5 % de los que no la superan.
a) Calcula el porcentaje de aspirantes al puesto de trabajo que terminan siendo contratados.
b) Si un aspirante no es contratado, ¿cuál es la probabilidad de que superase la prueba de selección?
Elegido un aspirante al azar, se consideran los sucesos:
S = “el aspirante ha sido seleccionado”.
C = “el aspirante ha sido contratado”.
Los sucesos S y su contrario S forman un sistema completo de sucesos.
Se dispone de las siguientes probabilidades:
( )
(
)
=
P ( S ) 0,=
4 P S
0,6 =
P (C | S ) 0,8 =
P C |S
0,05
En el diagrama de árbol puede observase la distribución de las probabilidades:
a) La probabilidad de que el aspirante elegido sea contratado se obtiene mediante el teorema de la probabilidad
total:
(
) ( )
P (C ) = P (C | S ) ⋅ P ( S ) + P C | S ⋅ P S = 0,8 ⋅ 0, 4 + 0,05 ⋅ 0,6 = 0,35
El 35 % de los aspirantes termina siendo contratado.
b) Debe calcularse ahora la probabilidad del suceso S sabiendo que el aspirante no fue contratado. Para ello,
(
)
debe observarse que P C | S =
1 − P (C | S ) =
1 − 0,8 =
0,2 . Entonces:
(
)
P S=
|C
178
Probabilidad | Unidad 10
(
)
( )
P C | S ⋅ P ( S ) 0,2 ⋅ 0, 4 0,08
=
= = 0,1231
1 − 0,35 0,65
P C
80. Un edificio tiene dos ascensores para uso de los vecinos. El primero de ellos es usado el 45 % de las
ocasiones, mientras que el segundo es usado el resto de las ocasiones. El uso continuado de los
ascensores provoca un 5 % de fallos en el primero de los ascensores, y un 8 %, en el segundo. Un día
suena la alarma de uno de los ascensores porque ha fallado. Calcula la probabilidad de que haya sido el
primero de los ascensores.
Habiendo sonado la alarma, se consideran lo sucesos:
A = “se ha usado el primer ascensor”.
B = “se ha usado el segundo ascensor.”
F = “el ascensor se ha averiado”.
Los sucesos A y B forman un sistema completo de sucesos. Se dispone de las siguientes probabilidades:
=
P ( A ) 0,=
45 P ( B ) 0,55 =
P ( F | A ) 0,05 =
P ( F | B ) 0,08
El diagrama de árbol describe las posibles situaciones junto con sus probabilidades:
Mediante el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que algún ascensor se averíe al ser utilizado:
P ( F ) = P ( F | A ) ⋅ P ( A ) + P ( F | B ) ⋅ P ( B ) = 0,05 ⋅ 0, 45 + 0,08 ⋅ 0,55 = 0,0665
Usando el teorema de Bayes se calcula la probabilidad de que, sabiendo que un ascensor se ha averiado, sea el
primero de los dos ascensores:
=
P ( A|F )
P ( F | A ) ⋅ P ( A ) 0,05 ⋅ 0, 45
= = 0,3383
0,0665
P (F )
81. Una Escuela Universitaria tiene el presente curso 900 alumnos españoles y 100 alumnos del programa
Erasmus. Se sabe además que aprobaron el primer examen de matemáticas el 65 % de los estudiantes
españoles y el 80 % de los estudiantes del programa Erasmus. Si se elige un alumno al azar de dicha
escuela:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea Erasmus y haya aprobado el primer examen de matemáticas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado el primer examen de matemáticas?
Elegido un alumno al azar, se consideran los sucesos:
S = “el alumno es español”.
R = “el alumno es del programa Erasmus”.
A = “aprobó el primer examen de matemáticas”.
Se conocen las probabilidades siguientes:
=
P ( S ) 0,9 =
P ( R ) 0,1 =
P ( A | S ) 0,65 =
P ( A | R ) 0,8
a)
Se pide la probabilidad del suceso R ∩ A . Por la regla del producto de probabilidades, se tiene que:
P ( R ∩ A ) = P ( R ) ⋅ P ( A | R ) = 0,1⋅ 0,8 = 0,08
b)
La probabilidad del suceso A se obtiene utilizando el teorema de la probabilidad total:
P ( A ) = P ( A | R ) ⋅ P ( R ) + P ( A | S ) ⋅ P ( S ) = 0,8 ⋅ 0,1 + 0,65 ⋅ 0,9 = 0,665
Unidad 10| Probabilidad
179
82. Una moneda ha sido trucada de forma que la probabilidad de obtener cara es el doble de la probabilidad
de obtener cruz. Si se lanzan a la vez la moneda trucada y una moneda equilibrada, hallar la probabilidad
de obtener:
a) Una cara y una cruz.
b) Al menos una cruz.
Sea T el suceso “la moneda está trucada”. Con esta moneda la probabilidad de obtener cara es el doble que la
de obtener cruz, es decir, llamando C al suceso “obtener cara” y X al suceso “obtener cruz”:
P (C |T ) = 2 P ( X |T ) 1, resulta que, sustituyendo:
Como P (C |T ) + P ( X |T ) =
1
2
2P ( X |T ) + P ( X |T ) =
1 ⇒ P ( X |T ) =
y P (C |T ) =
3
3
Si se denota por B al suceso “la moneda está equilibrada”, se tiene que:
P
=
(C | B ) P=
( X |B)
1
2
Entonces, teniendo en cuenta que el lanzamiento de una de las monedas es independiente del de la otra, las
probabilidades de los posibles resultados al lanzar a la vez la moneda trucada y la moneda equilibrada son:
P (CC ) = P (C |T ) ⋅ P (C | B ) =
2 1 1
⋅ =
3 2 3
P (CX ) = P (C |T ) ⋅ P ( X | B ) =
P ( XC ) = P ( X |T ) ⋅ P (C | B ) =
1 1 1
⋅ =
3 2 6
P ( XX ) = P ( X |T ) ⋅ P ( X | B ) =
a) La probabilidad del suceso A = “obtener una cara y una cruz” es:
P ( A ) = P (CX ) + P ( XC ) =
1 1 1
+ =
3 6 2
b) La probabilidad del suceso D = “obtener al menos una cruz” es:
P ( D ) = P (CX ) + P ( XC ) + P ( XX ) =
Puede observarse también que P ( D )= 1 − P (CC ) .
180
Probabilidad | Unidad 10
1 1 1 2
+ + =
3 6 6 3
2 1 1
⋅ =
3 2 3
1 1 1
⋅ =
3 2 6
83. Entre los alérgicos, un 40 % tiene alergia a los animales, un 45 % tiene alergia a las plantas y un 15 %
tiene alergia a algunas comidas. Son hombres el 40 % de los alérgicos a los animales, el 50 % de los
alérgicos a las plantas y el 35 % de los alérgicos a algunas comidas.
a) Dibuja el diagrama de árbol de probabilidades.
b) Calcula la proporción de hombres en los alérgicos.
c) Se elige una mujer alérgica, ¿cuál es la probabilidad de que lo sea a las plantas?
Se elige al azar una persona alérgica. Se consideran los sucesos:
A = “ser alérgico a los animales”
L = “ser alérgico a las plantas”
H = “ser hombre”
C = “ser alérgico a las comidas”
M = “ser mujer”
Los sucesos A, L y C constituyen un sistema completo de sucesos. Se tienen las siguientes probabilidades:
=
P ( A ) 0,=
4 P ( L ) 0, 45 =
P (C ) 0,15 =
P ( H | A ) 0, 4 =
P ( H | L ) 0,5 =
P ( H |C ) 0,35
a) De las probabilidades anteriores se deducen las siguientes probabilidades:
=
P ( M | A ) 0,6 =
P ( M | L ) 0,5 =
P ( M |C ) 0,65
Por lo tanto, el diagrama de árbol de probabilidades queda:
b) Utilizando el teorema de la probabilidad total:
P ( H ) = P ( H | A ) ⋅ P ( A ) + P ( H | L ) ⋅ P ( L ) + P ( H |C ) ⋅ P (C ) = 0, 4 ⋅ 0, 4 + 0,5 ⋅ 0, 45 + 0,35 ⋅ 0,15 = 0, 4375
Por tanto, la proporción de hombres alérgicos es:
4375
7
=
10 000 16
c) En este caso se debe utilizar la regla de Bayes teniéndose en cuenta que:
P (M ) =
1− P (H ) =
1 − 0, 4375 =
0,5625
De modo que:
=
P (L | M )
P ( M | L ) ⋅ P ( L ) 0,5 ⋅ 0, 45
= = 0, 4
0,5625
P (M )
Unidad 10| Probabilidad
181
84. Según un estudio, el 35 % de una población utiliza el autobús, mientras que el 65 % restante no lo hace.
En cuanto al tranvía, es utilizado por la mitad y no por la otra mitad. Un 30 % no utiliza ninguno de los dos
transportes. Si se elige un individuo de la población al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que utilice alguno de los dos transportes?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que utilice los dos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que utilice el tranvía, sabiendo que utiliza el autobús?
Elegido al azar un individuo de la población, se consideran los sucesos:
A = “utiliza el autobús”.
T = “utiliza el tranvía”.
Se dispone de las siguientes probabilidades:
( )
( )
(
)
=
=
=
∩T
0,5 P A=
0,3
P ( A ) 0,35 =
P A 0,65 P (T ) 0,5 P T
a) Se trata de la probabilidad del suceso unión A ∪ T . Por la probabilidad del suceso contrario y una de las
leyes de De Morgan:
(
)
(
)
P ( A ∪ T ) =1 − P A ∪ T =1 − P A ∩ T =1 − 0,3 =0,7
b) La probabilidad del suceso intersección A ∩ T se consigue a partir de la relación:
P ( A ∩ T )= P ( A ) + P (T ) − P ( A ∪ T )= 0,35 + 0,5 − 0,7= 0,15
c) Por la definición de probabilidad condicionada:
P (T=
| A)
182
Probabilidad | Unidad 10
P ( A ∩ T ) 0,15
= = 0, 4286
P ( A)
0,35
85. Consideremos dos dados, uno normal con las caras numeradas del 1 al 6 y otro trucado, con 4 caras con
el número 5 y 2 caras con el número 6. Se elige al azar uno de los dados y se realizan dos tiradas con el
dado elegido.
a) Calcula la probabilidad de sacar 5 en la primera tirada y 6 en la segunda.
b) Si el resultado de la primera tirada es 5 y el resultado de la segunda tirada es 6, ¿cuál es la probabilidad de
haber elegido el dado trucado?
Sean los sucesos:
N = “se selecciona el dado normal”.
T = “se selecciona el dado trucado”.
Las probabilidades de los sucesos N y T son P=
( N ) P=
(T )
1
.
2
Una vez seleccionado el dado se lanza dos veces.
a) Sean los sucesos A = “en el primer lanzamiento se obtiene un 5” y B = “en el segundo lanzamiento se
obtiene un 6”. Se tienen las siguientes probabilidades:
P=
( A | N ) P=
(B | N )
1
6
2
P=
( A |T ) 3
P=
( B |T )
1
3
El diagrama de árbol muestra la situación:
Los sucesos A y B son independientes. Y la probabilidad del suceso A ∩ B se calcula mediante el teorema
de la probabilidad total:
P ( A ∩ B ) =P ( A ∩ B | N ) ⋅ P ( N ) + P ( A ∩ B |T ) ⋅ P (T ) =P ( A | N ) ⋅ P ( B | N ) ⋅ P ( N ) + P ( A |T ) ⋅ P ( B |T ) ⋅ P (T ) =
=
1 1
2 1
1
⋅ ⋅ 0,5 + ⋅ ⋅ 0,5 =
6 6
3 3
8
b) Si al lanzar dos veces el dado ha ocurrido el suceso A ∩ B , se pide la probabilidad de que el dado lanzado
sea el trucado. Utilizando la regla de Bayes:
P ( A ∩ B |T ) ⋅ P (T )
∩ B)
=
P (T |A=
P ( A ∩ B)
2 1
⋅ ⋅ 0,5
3 3= 8
1
9
8
Unidad 10| Probabilidad
183
86. Una urna A contiene cinco bolas rojas y dos azules. Otra urna B contiene cuatro bolas rojas y una azul.
Tomamos al azar una bola de la urna A y, sin mirarla, la pasamos a la urna B. A continuación extraemos
con reemplazamiento dos bolas de la urna B. Halla la probabilidad de que:
a) Ambas bolas sean de color rojo.
b) Ambas bolas sean de distinto color.
c) Si la primera bola extraída es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la bola que hemos pasado de la urna A a
la urna B haya sido azul?
Sean los sucesos:
R = “extraer bola roja”
Z = “extraer bola azul”
En la primera fase del experimento se extrae una bola de la urna A, las probabilidades de que sea roja o azul
son respectivamente:
P (R | A)
=
5
2
P (Z | A)
=
7
7
Por lo tanto, la urna B puede quedar compuesta con BR = {5R, 1Z } con probabilidad
5
o con BZ = {4R, 2Z } con
7
2
. A continuación, en la segunda fase del experimento se extraen con reemplazamiento, es decir,
7
de forma independiente, dos bolas de la urna B que se haya formado.
probabilidad
a) Dependiendo de si la urna formada es BR = {5R, 1Z } o BZ = {4R, 2Z } , la probabilidad de obtener dos bolas
rojas es:
5 5 25
⋅ =
P ( RR | BR ) = 6 6 36
P ( RR | BZ ) =
4 4 4
⋅ =
6 6 9
En el diagrama de árbol se muestran las distintas posibilidades para este experimento:
La probabilidad de que las dos bolas obtenidas sean rojas (RR) se obtiene utilizando el teorema de la
probabilidad total:
P ( RR ) = P ( RR | BR ) ⋅ P ( BR ) + P ( RR | BZ ) ⋅ P ( BZ ) =
25 5 4 2 157
⋅ + ⋅ =
= 0,6230
36 7 9 7 252
b) Se denota por B = “obtener bolas de distinto color”. El suceso B incluye los casos RZ (primera bola roja y
segunda azul) y ZR (primera bola azul y segunda roja) como se puede ver en el diagrama de árbol. En total
cuatro posibilidades:
5 1
5
=
=
⋅
P ( RZ
| BR ) P ( ZR
| BR ) =
6 6 36
2 1 2
=
=
⋅
P ( RZ
| BZ ) P ( ZR
| BR )=
3 3 9
Utilizando el teorema de la probabilidad total:
=
P (B
) P ( RZ | BR ) ⋅ P ( BR ) + P ( ZR | BR ) ⋅ P ( BR ) + P ( RZ | BZ ) ⋅ P ( BZ ) + P ( ZR | BZ ) ⋅ P ( B=
Z)
=
184
5 5 5 5 2 2 2 2
41
⋅ +
⋅ + ⋅ + ⋅ =
= 0,3254
36 7 36 7 9 7 9 7 126
Probabilidad | Unidad 10
c)
Sea C = “la primera bola extraída de la segunda urna es roja”. Se pide la probabilidad de que la urna formada
en la primera extracción haya sido BZ , sabiendo que ha ocurrido C. Utilizando el teorema de Bayes:
P (C | BZ ) ⋅ P ( BZ )
=
=
P ( BZ |C
)
P (C | BZ ) ⋅ P ( BZ ) + P (C | BR ) ⋅ P ( BR )
2 2
⋅
8
3 7 = =
0,2424
2 2 5 5 33
⋅ + ⋅
3 7 6 7
87. En una caja hay guardados 20 relojes, de los cuales solo 15 funcionan correctamente.
a) Representa la situación del problema, cuando se extraen al azar dos relojes uno a uno sin reemplazamiento
mediante un diagrama de árbol.
b) Si se extrae un reloj al azar, ¿cuál es la probabilidad de que funcione bien?
c) Si se extraen dos relojes al azar uno a uno sin reemplazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que los dos
funcionen bien?
d) Si se extraen al azar dos relojes sucesivamente sin reemplazamiento y el primero no funciona correctamente,
¿cuál es la probabilidad de que el segundo tampoco funcione?
Sean los sucesos:
C1 = “el primer reloj extraído funciona correctamente”.
C1 = “el primer reloj extraído no funciona correctamente”.
C2 = “el segundo reloj extraído funciona correctamente”.
C2 = “el segundo reloj extraído no funciona correctamente”.
Se tienen las siguientes probabilidades:
15 3
1
14
5
15
4
=
=
P (C1 ) =
P C1 =
P (C2 | C1 ) =
P C2 | C1 =
P C2 | C1 =
P C2 | C1
20 4
4
19
19
19
19
( )
(
)
(
)
(
)
a) En el diagrama de árbol se muestran las distintas posibilidades con sus probabilidades en cada rama:
b) Se trata de la probabilidad del suceso C1 : P (C1=
)
15 3
= = 0,75
20 4
3 14
c) Se debe calcular la probabilidad del suceso C1 ∩ C2 : P (C1 ∩ C2 ) =P (C1 ) ⋅ P (C2 |C1 ) = ⋅
=0,5526
4 19
(
)
d) Se puede obtener directamente del diagrama de árbol: P C2 |C=
1
4
= 0,2105
19
Unidad 10| Probabilidad
185
88. *En un centro comercial, las compras se pagan con tarjeta de crédito, de débito o en metálico. En una
semana hubo 400 compras con tarjeta de crédito, 500, con tarjeta de débito, y 1100, en metálico. El 60 %
de los pagos que se hicieron con tarjeta de crédito, y el 40 %, de los que se hicieron con tarjeta de débito
correspondieron a compras superiores a 200 €. Además, 300 de la compras en metálico también fueron
superiores a 200 €. Si se extrae al azar un comprobante de compra:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda a una compra superior a 200 €?
b) Si la compra es inferior a 200 € ¿cuál es la probabilidad de que haya sido pagada en metálico?
Extraído al azar un comprobante de compra de esa semana, se consideran los sucesos:
C = “la compra se pagó con tarjeta de crédito”.
D = “la compra se pagó con tarjeta de débito”.
M = “la compra se pagó en metálico”.
Los sucesos C, D y M constituyen un sistema completo de sucesos para este experimento. Las probabilidades
de cada uno de estos sucesos son:
P=
(C )
400
500
1100
= 0,2 P=
( M ) = 0,55
( D ) = 0,25 P=
2000
2000
2000
Se considera, además, el suceso S = “la compra seleccionada fue de más de 200 €”. Así se tiene que:
P (S
=
|C ) 0,6 P ( S
=
| D ) 0, 4 P ( S=
|M )
300
= 0,2727
1100
El diagrama de árbol muestra las distintas posibilidades con sus probabilidades:
a) Utilizando el teorema de la probabilidad total:
P ( S ) = P ( S |C ) ⋅ P (C ) + P ( S | D ) ⋅ P ( D ) + P ( S | M ) ⋅ P ( M ) = 0,6 ⋅ 0,2 + 0, 4 ⋅ 0,25 + 0,2727 ⋅ 0,55 = 0,37
b) Se trata de calcular la probabilidad de que, sabiendo que una compra ha sido inferior a 200 € (suceso S ) , se
haya pagado en metálico:
(
)
P M |S
=
186
Probabilidad | Unidad 10
(
)
( )
P S | M ⋅ P ( M ) 0,7273 ⋅ 0,55
= = 0,6349
1 − 0,37
P S
89. Al 80 % de los trabajadores en educación (E) que se jubilan sus compañeros les hacen una fiesta de
despedida (FD), también al 60 % de los trabajadores de justicia (J) y al 30 % de los de sanidad (S). En el
último año se jubilaron el mismo número de trabajadores en educación que en sanidad, y el doble en
educación que en justicia.
a) Calcula la probabilidad de que a un trabajador de estos sectores, que se jubiló, le hicieran una fiesta.
b) Se sabe que a un trabajador jubilado elegido al azar de entre estos sectores, no le hicieron fiesta. Calcula la
probabilidad de que fuera de sanidad.
Se consideran los sucesos:
E = “el trabajador jubilado es de educación”.
J = “el trabajador jubilado es de justicia”.
S = “el trabajador jubilado es de sanidad”.
Se sabe que si P=
( J ) p, entonces P=
( E ) P=
(S ) 2p ; y como las probabilidades deben sumar 1 se tiene que:
p + 2p + 2p =1 ⇒ p =
1
=0,2
5
De manera que:
P=
( E ) P=
(S ) 0, 4 P=
( J ) 0,2
Los sucesos E, S y J forman un sistema completo de sucesos.
Si se considera el suceso FD: “al trabajador le hacen una fiesta de despedida”, se sabe que:
=
P ( FD | E ) 0,8 =
P ( FD | J ) 0,6 =
P ( FD | S ) 0,3
El diagrama de árbol muestra las distintas posibilidades con sus probabilidades:
a) La probabilidad de que a un trabajador que se jubiló le hicieran fiesta de despedida se calcula mediante el
teorema de la probabilidad total:
P ( FD ) = P ( FD | E ) ⋅ P ( E ) + P ( FD | J ) ⋅ P ( J ) + P ( FD | S ) ⋅ P ( S ) = 0,8 ⋅ 0, 4 + 0,6 ⋅ 0,2 + 0,3 ⋅ 0, 4 = 0,56
b) En este caso, se trata de calcular la probabilidad de que el trabajador jubilado sea de sanidad, sabiendo que
no le hicieron fiesta (suceso FD ):
(
)
P=
S | FD
(
)
P FD | S ⋅ P ( S ) 0,7 ⋅ 0, 4
= = 0,6364
1 − 0,56
P FD
( )
Unidad 10| Probabilidad
187
90. En una población, se estima que la probabilidad de que una persona defraude a Hacienda es 0,05. Si una
persona comete fraude, la probabilidad de que su declaración sea revisada es 0,8. La probabilidad de que
una declaración sea revisada sin haber cometido fraude es 0,15. Se pide la probabilidad de que:
a) Una declaración sea revisada.
b) Habiendo sido revisada una declaración, esta no sea fraudulenta.
De la población se elige al azar una persona con obligación de declarar a Hacienda. Sean los sucesos:
( )
F = “la persona ha cometido fraude en su declaración” con P ( F ) = 0,05 y 0,95.
P F =
(
)
(
)
R = “La declaración es revisada por Hacienda” con P ( R | F ) = 0,8 y |
P R F = 0,15.
(
)
Además se deducen las siguientes probabilidades: P R | F = 0,2 y P R | F = 0,85.
El diagrama de árbol muestra las distintas posibilidades:
a) Utilizando el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que una declaración sea revisada:
(
) ( )
P ( R ) =P ( R | F ) ⋅ P ( F ) + P R | F ⋅ P F =0,8 ⋅ 0,05 + 0,15 ⋅ 0,95 =0,1825
b) Utilizando la regla de Bayes, se obtiene esta probabilidad:
(
)
=
P F |R
188
Probabilidad | Unidad 10
(
) ( )
P R |F ⋅ P F
0,15 ⋅ 0,95
= = 0,7808
P (R )
0,1825
AUTOEVALUACIÓN
Comprueba qué has aprendido
1.
0,1; P ( A ∩ B ) = 0,6 y
Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que P ( A ∩ B ) =
Calcula las siguientes probabilidades:
P ( A | B ) 0,5.
=
a) P ( B )
b) P ( A ∪ B )
c) P ( A )
d) P ( B | A )
a) Mediante la regla del producto de probabilidades:
P ( A ∩ B ) = P ( A | B ) ⋅ P (B ) ⇒ P (B ) =
P ( A ∩ B ) 0,1
=
= 0,2
P ( A|B)
0,5
b) Por la probabilidad del suceso contrario y utilizando una de las leyes de De Morgan:
)
(
)
(
P ( A ∪ B ) =−
1 P A ∪ B =−
1 P A ∩ B =−
1 0,6 =0, 4
c) De las propiedades de la probabilidad y de los resultados de los apartados anteriores:
P ( A ) = P ( A ∪ B ) + P ( A ∩ B ) − P ( B ) = 0, 4 + 0,1 − 0,2 = 0,3
d) En este caso, se utiliza la definición de probabilidad condicionada:
(
)
P=
B|A
2.
(
)
P A∩B
0,6
= = 0,8571
1
−
0,3
P A
( )
Al 40 % de los habitantes de un municipio les gusta la lectura, al 50 %, el cine, y al 60 % les gusta el cine o
la lectura o ambas cosas. Se elige un habitante al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste la lectura y el cine?
b) Si le gusta el cine, ¿cuál es la probabilidad de que le guste la lectura?
c) ¿Son independientes el gusto por la lectura y el cine? Razona la respuesta.
d) Halla la probabilidad de que le guste el cine y no le guste la lectura.
Elegido un habitante al azar, se consideran los sucesos:
L = “le gusta la lectura”
C = “le gusta el cine”
Se tienen las siguientes probabilidades:
=
P ( L ) 0, 4 =
P (C ) 0,5 P=
( A ∪ B ) 0,6
a) Se trata de calcular la probabilidad del suceso L ∩ C. Por las propiedades de la probabilidad:
P ( L ∩ C ) = P ( L ) + P (C ) − P ( L ∪ C ) = 0, 4 + 0,5 − 0,6 = 0,3
b) Debe calcularse la probabilidad del suceso L sabiendo que ha ocurrido el suceso C:
P ( L |=
C)
P ( L ∩ C ) 0,3
= = 0,6
P (C )
0,5
c) Los sucesos L y C no son independientes puesto que:
P ( L ∩ C ) = 0,3 ≠ 0,2 = 0, 4 ⋅ 0,5 = P ( L ) ⋅ P (C )
d) Se trata de calcular la probabilidad del suceso L ∩ C :
(
)
(
)
P L ∩C =
P L | C ⋅ P (C ) =
0,2
(1 − 0,6 ) ⋅ 0,5 =
(1 − P ( L |C ) ) ⋅ P (C ) =
Unidad 10| Probabilidad
189
3.
En un centro educativo hay 60 alumnos de Bachillerato. De ellos, 40 practican deporte, 24 estudian
música y 12 las dos cosas. Se elige un alumno al azar, calcula la probabilidad de que:
a) Realice al menos una de las dos cosas.
b) Estudie música sabiendo que también practica deporte.
c) No practique deporte.
Elegido un alumno al azar, se consideran los sucesos:
D = “el alumno practica deporte”
M = “el alumno estudia música”
Se tienen las siguientes probabilidades:
40 2
24 2
12 1
P ( D ) = = =0,6667 P ( M ) = = =0, 4 P ( D ∩ M ) = = =0,2
60 3
60 5
60 5
a)
Se pide la probabilidad del sucesos unión D ∪ M , que se calcula:
2 2 1 13
P ( D ∪ M ) =P ( D ) + P ( M ) − P ( D ∩ M ) = + − = =0,8667
3 5 5 15
b)
Se trata de la probabilidad del suceso M condicionada por el suceso D:
P (M ∩ D )
=
P ( M | D=
)
P (D )
c)
La probabilidad de que no practique deporte se obtiene por medio de la probabilidad del suceso contrario:
( )
P D =1 − P ( D ) =1 −
4.
1
5= 3= 0,3
2 10
3
2 1
= =0,3333
3 3
Se lanza una moneda equilibrada, de forma que si sale cara, se extrae una bola de la urna A que contiene
siete bolas numeradas del 1 al 7 y si sale cruz, se extrae de la urna B que contiene cinco bolas numeradas
del 1 al 5. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos:
a) La bola haya sido extraída de la urna A y el número sea par.
b) El número de la bola extraída sea par.
c) La bola sea de la urna A, si ha salido un número par.
d) La bola haya sido extraída de la urna B, sabiendo que ha salido número impar.
Sean los sucesos:
A = “la urna elegida es la A”
B = “la urna elegida es la B”
Dado que la moneda está equilibrada, se tiene que:
P=
( A ) P=
( B ) 0,5
Se considera el suceso C = “la bola tiene número par”, entonces:
=
P (C | A )
3
2
=
P (C | B )
7
5
En el diagrama de árbol se pueden ver las diferentes posibilidades con sus
respectivas probabilidades:
a) Se trata de la probabilidad del suceso A ∩ C , cuya probabilidad se calcula de la siguiente manera:
P ( A ∩ C ) = P ( A ) ⋅ P (C | A ) = 0,5 ⋅
3
= 0,2143
7
b) En este caso, la probabilidad pedida se obtiene mediante el teorema de la probabilidad total:
P (C ) = P (C | A ) ⋅ P ( A ) + P (C | B ) ⋅ P ( B ) =
190
Probabilidad | Unidad 10
3
2
⋅ 0,5 + ⋅ 0,5 = 0, 4143
7
5
c) Ahora se debe utilizar la regla de Bayes:
3
⋅ 0,5
P (C | A ) ⋅ P ( A )
7
P=
= =
0,5172
( A |C )
P (C )
0, 4143
(
)
d) Lo que se pide es calcular P B |C , que mediante la regla de Bayes y la probabilidad del suceso contrario se
obtiene que:
3
⋅ 0,5
P C | B ⋅ P (B )
5
=
P B |C
= =
0,5122
1 − 0, 4143
P C
(
(
)
)
( )
Relaciona y contesta
Elige la única respuesta correcta en cada caso
1.
Se dispone de dos llaves para abrir la puerta de casa, cada una en un llavero. El primer llavero tiene
4 llaves y el segundo 6. Si elegimos al azar una llave de cada llavero, la probabilidad de que podamos
entrar en casa es:
A.
9
24
B.
1
24
C.
10
24
D.
6
24
La solución es A. Sean los sucesos A = “extraer la llave que abre la casa del llavero A”, con P ( A ) =
B = “extraer la llave que abre la casa del llavero B”, con P ( B ) =
1
, y
4
1
. Ambos sucesos son independientes:
6
P ( A ∩ B=
) P ( A) ⋅ P (B )
Se quiere ver cuál es la probabilidad de que se pueda abrir la puerta (basta con acertar la llave de uno de los
llaveros), es decir, la probabilidad de A ∪ B :
P ( A ∪ B ) =P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) =
2.
1 1 1 1
9
+ − ⋅ =
4 6 4 6 24
Dos jugadores A y B, lanzan cada uno un dado. El que saque mayor puntación gana y si hay empate
gana A. Si el jugador A ha ganado la partida, la probabilidad de que el jugador B haya obtenido 4 puntos
es:
A.
7
12
B.
2
3
C.
1
6
D.
1
7
La solución es D. Se se considera la siguiente la tabla donde aparecen todos los posibles resultados que pueden
obtener el jugador A y B:
B
1
2
3
4
5
6
1
1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
2
2-1
2-2
2-3
2-4
2-5
2-6
3
3-1
3-2
3-3
3-4
3-5
3-6
4
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
4-6
5
5-1
5-2
5-3
5-4
5-5
5-6
6
6-1
6-2
6-3
6-4
6-5
6-6
A
Se observa que hay 21 resultados favorables para que gane el jugador A, de entre los cuales, solo en 3 de ellos
3
1
el jugador B obtiene 4 puntos. Por tanto, la probabilidad que se pide es
= .
21 7
Unidad 10| Probabilidad
191
3.
P ( A ∩ B ) = Las probabilidades de los
Si A y B son sucesos tales que P ( A ) = 0,3; P ( B ) = 0,6 y 0,2.
sucesos A ∪ B y A | B son respectivamente:
A. 0,7 y 0,25
B. 0,9 y
2
3
C. 0,7 y
2
3
D. 0,7 y 0,75
La solución es D. Utilizando las propiedades de la probabilidad se tiene que:
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = 0,3 + 0,6 − 0,2 = 0,7
Aplicando la definición de probabilidad condicionada se tiene que:
(
(
)
(
)
P A∪B
P A∩B
1 − P ( A ∪ B ) 1 − 0,7 0,3
=
=
=
= = 0,75
P
B
1
1− P (B )
1 − 0,6 0, 4
−
( )
P B
)
P A |=
B
( )
Señala, en cada caso, las respuestas correctas
4.
0,6. Entonces:
Dos sucesos A y B son tales que P ( A ) = 0,2; P ( B ) = 0,5 y P ( A ∪ B ) =
A.
A y B son incompatibles.
C.
P ( A ∩ B) =
0,1
B.
A y B son independientes.
D.
P ( B | A ) = 0,5
Las soluciones correctas son B, C, D. Lo primero es calcular la probabilidad de la intersección:
P ( A ∩ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∪ B ) = 0,2 + 0,5 − 0,6 = 0,1
Ya se tiene que C es correcta. Si los sucesos A y B fueran incompatibles, la probabilidad de la intersección sería
nula pero se acaba de probar que no es así.
Por otro lado, se tiene que los sucesos son independientes pues:
P ( A ∩ B ) = 0,1 = 0,2 ⋅ 0,5 = P ( A ) ⋅ P ( B )
Por último, se calcula la probabilidad del suceso B condicionada por el suceso A:
P ( B |=
A)
P ( A ∩ B ) 0,1
= = 0,5
P ( A)
0,2
Por lo tanto, la solución D también es correcta.
5.
Si dos sucesos A y B, con P ( A ) > 0 y P ( B ) > 0 son independientes, entonces:
( )
A. P ( A ∪ B=
) P ( A) + P A ⋅ P (B )
B. P ( A | B ) = P ( B )
C. P ( A ∩ B=
) P ( A) ⋅ P (B )
D. Son incompatibles.
Las soluciones correctas son A y C. Como los sucesos A y B son independientes se tiene que:
P ( A ∩ B=
) P ( A) ⋅ P (B )
Luego la opción C es correcta Además, la opción A también es correcta pues usando que los sucesos son
independientes y utilizando las propiedades de la probabilidad se observa que:
( )
P ( A ∪ B=
) P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B=) P ( A ) + P ( B ) − P ( A ) ⋅ P ( B=) P ( A ) + (1 − P ( A ) ) ⋅ P ( B=) P ( A ) + P A ⋅ P ( B )
La opción B no es correcta ya que al ser los sucesos independientes se tiene que P ( A | B ) = P ( A ) . Por último,
D es incorrecta ya que las condiciones del enunciado permiten asegurar que P ( A ∩ B=
) P ( A ) ⋅ P ( B ) > 0 , luego
P ( A ∩ B ) ≠ 0 y, por tanto, son compatibles.
192
Probabilidad | Unidad 10
Señala el dato o los datos innecesarios para contestar
6.
Los sucesos A, B y C tienen probabilidad estrictamente positiva y son independientes dos a dos, pero no
mutuamente independientes. Para calcular la probabilidad de la unión de los tres sucesos no es preciso
conocer:
A.
P ( A ) , P ( B ) , P (C )
B.
P ( A ∩ B ), P ( A ∩ C ), P (B ∩ C )
C.
P (A ∩ B ∩C)
D.
P ( A | B ) , P ( B |C )
Las soluciones correctas son B y D.
Por las propiedades de la probabilidad se tiene que:
P (A ∪ B ∪C
=
) P ( A ) + P ( B ) + P (C ) − P ( A ∩ B ) − P ( A ∩ C ) − P ( B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C )
Si se sabe que los sucesos son independientes dos a dos se tiene que:
P ( A ∩ B=
) P ( A) ⋅ P (B )
P ( A ∩ C=
) P ( A ) ⋅ P (C )
P (B ∩ C =
) P ( B ) ⋅ P (C )
Luego:
P (A ∪ B ∪C
=
) P ( A ) + P ( B ) + P (C ) − P ( A ) ⋅ P ( B ) − P ( A ) ⋅ P (C ) − P ( B ) ⋅ P (C ) + P ( A ∩ B ∩ C )
Por tanto, los datos que necesitamos para calcular la probabilidad de la unión son los de la opción A y C. Luego
los datos de la opción B y D son innecesarios para contestar.
Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas
7.
Sean A y B dos sucesos de un espacio muestral con P ( A ) > 0 y P ( B ) > 0.
1.
A y B son independientes.
2.
A y B son incompatibles.
A.
1⇒ 2
B.
2⇒1
C.
1⇔ 2
D.
No se da ninguna de las anteriores.
La solución correcta es D. Por un lado, si dos sucesos, A y B, son independientes, implica que
P ( A ∩ B=
) P ( A ) ⋅ P ( B ) . Por otro lado, si dos sucesos, A y B, son incompatibles, se tiene que
A ∩ B = ∅ ⇒ P ( A ∩ B ) = P ( ∅ ) = 0. Estas propiedades son las únicas que se pueden asumir como ciertas pero
no existe otra propiedad que permita relacionar ambas. Por tanto, no hay ninguna relación entre ambas.
Unidad 10| Probabilidad
193
11 Distribuciones de probabilidad
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
La distribución de probabilidad de X: “número de unidades de un artículo que se venden diariamente en
una tienda” es:
P ( X= 0=
)
1
9
P ( X= 1=
)
4
9
P ( X= 2=
)
1
3
P ( X= 3=
)
1
9
a) Calcula el número esperado de ventas diario y su varianza.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un día elegido al azar se vendan 2 o más artículos?
a) El número esperado o esperanza de la variable X es:
E [X] = 0⋅
La varianza de X resulta:
1
4
1
1 13
+ 1⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ =
= 1, 4444
9
9
3
9
9
2
1
4
1
1   13 
56

Var [ X ]=  02 ⋅ + 12 ⋅ + 22 ⋅ + 32 ⋅  −   =
= 0,6914
9
9
3
9  9 
81

b) Se calcula esta probabilidad como sigue:
P ( X ≥ 2) = P ( X = 2) + P ( X = 3 ) =
2.
1 1 4
+ =
3 9 9
Un jugador lanza un dado equilibrado y, si sale número par, gana tantos euros como puntos obtiene en su
lanzamiento, mientras que si se sale impar, paga esos puntos en euros.
a) ¿Cuál es la ganancia esperada en cada jugada?
b) Calcula varianza y la deviación típica de la ganancia del jugador.
c) Calcula la probabilidad de ganar al menos 4 €.
Sea la variable aleatoria X: “puntos obtenidos en cada lanzamiento”. Si el dado está equilibrado, la probabilidad de
los posibles valores de X es:
P=
1) P=
2 ) P=
3 ) P=
4 ) P=
5 ) P=
6)
( X=
(X =
(X =
(X =
(X =
(X =
1
6
Se considera la variable Y: “ganancia del jugador”, su distribución de probabilidad se muestra en la tabla:

 −1 P (Y

 +2 P (Y


 −3 P (Y

Y :
+4 P (Y


 −5 P (Y


 +6 P (Y

1
=
−1) =
1) =
P(X =
6
1
=
+2 ) =
2) =
P(X =
6
1
=
−3 ) =
3) =
P(X =
6
1
=
+4 ) =
4) =
P(X =
6
1
=
−5 ) =
5) =
P(X =
6
1
=
+6 ) =
P(X =
6) =
6
a) Se calcula la esperanza de la variable Y:
2 ) − 3 ⋅ P (Y =
4 ) − 5 ⋅ P (Y =
6) =
E [Y ] =
−1⋅ P (Y =
−1) + 2 ⋅ P (Y =
−3 ) + 4 ⋅ P (Y =
−5 ) + 6 ⋅ P (Y =
=( −1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 ) ⋅
1 1
= =0,5
6 2
Por tanto, la ganancia esperada es de 0,5 €.
194 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
b)
Para calcular la varianza de la ganancia del jugador, se calcula en primer lugar:
E Y 2  =( −1) ⋅ P (Y =−1) + 22 ⋅ P (Y =2 ) + ( −3 ) ⋅ P (Y =−3 ) + 42 ⋅ P (Y =4 ) + ( −5 ) ⋅ P (Y =−5 ) + 62 ⋅ P (Y =6 ) =
2
= (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 ) ⋅
2
2
1 91
=
6
6
Y, de esta manera, la varianza es:
2
2
91  1 
179
E Y 2  − ( E [Y ]) = −   = =
Var (Y ) =
14,9167
6 2
12
La desviación típica de Y es la raíz cuadrada positiva de la varianza:
σ = + Var (Y ) = + 14,9167 = 3,8622
La probabilidad de ganar al menos 4 € es:
P (Y ≥ 4 ) = P ( X = 4 ) + P ( X = 6 ) =
3 y 4.
5.
1 1 1
+ =
6 6 3
Ejercicios resueltos.
En primero de Bachillerato el 60 % de la matrícula son chicas. Se eligen al azar 5 alumnos. Calcula la
probabilidad de que entre los seleccionados haya:
a) Dos chicas.
b) Al menos dos chicas.
c) Ninguna chica.
Sea X: “número de chicas entre los cinco alumnos seleccionados”. La variable aleatoria X tiene distribución
binomial con n = 5 y p la probabilidad de que un estudiante de primero de Bachillerato elegido al azar sea chica,
que es p = 0,6. Es decir:
X ~ Bin=
p 0,6 )
( n 5,=
a) La probabilidad de que la variable X tome el valor 2 es:
5
3
2
P(X =
2) =
0,2304
 2  0,6 (1 − 0,6 ) =
 
b) La probabilidad de que la variable X tome al menos el valor 2 es:
P ( X ≥ 2) =
P(X =
2) + P ( X =
3) + P ( X =
4) + P ( X =
5) =
5
5
5
5
=   0,62 ⋅ 0, 43 +   0,63 ⋅ 0, 42 +   0,64 ⋅ 0, 4 +   0,65 =
2
3
4
 
 
 
5
= 0,2304 + 0,3456 + 0,2592 + 0,07776 = 0,91296
c)
c) La probabilidad de que la variable X tome el valor 0 es:
5
5
P(X
0,01024
= 0=
)   0, 4=
0
Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
195
6.
En un proceso de fabricación se sabe que la probabilidad de que un producto sea defectuoso es 0,1. Si se
seleccionan al azar 7 de estos productos, calcula la probabilidad de que:
a) Al menos uno de ellos sea defectuoso.
b) Exactamente uno sea defectuoso.
c) Por lo menos 2 y como mucho 4 sean defectuosos.
Se considera la variable aleatoria X: “número de productos defectuosos de los 7 seleccionados”, que tiene
distribución binomial:
X ~ Bin=
p 0,1)
( n 7,=
a) La probabilidad de que al menos uno sea defectuoso puede obtenerse por el suceso contrario:
P ( X ≥ 1) =1 − P ( X < 1) =1 − P ( X =0 ) =1 − 0,97 =1 − 0, 4783 =0,5217
b) La probabilidad de que exactamente uno sea defectuoso es:
7
6
P(X =
1) =
0,3720
 1  0,1⋅ 0,9 =
 
c) La probabilidad de este caso es:
P (2 ≤ X ≤ 4) =
P(X =
2) + P ( X =
3) + P ( X =
4) =
0,1240 + 0,0230 + 0,0026 =
0,1496
Probabilidades que se han obtenido de la tabla de la binomial.
7.
Ejercicio resuelto.
8.
Una aseguradora tiene en su cartera pólizas de seguros de vida para deportistas de riesgo. Se estima que
un 20 % de los clientes de esta póliza tendrá un accidente. Si se seleccionan al azar 25 de estos clientes,
calcula el número esperado de ellos que sufrirá un accidente y su desviación típica.
Se considera la variable aleatoria X: “número de clientes, deportistas de riesgo, que sufrirá un accidente, entre los
25 seleccionados”. La variable aleatoria X tiene distribución binomial Bin
=
=
p 0,2 ) .
( n 25,
El número esperado, entre los 25, que sufrirá un accidente es la esperanza de la variable X:
E [ X ] =np =25 ⋅ 0,2 =5
Su varianza y su desviación típica son, respectivamente:
Var ( X ) = np (1 − p ) = 25 ⋅ 0,2 ⋅ 0,8 = 4
σ = Var ( X ) = + 4 = 2
9.
Un dispositivo electrónico en fase de experimentación está compuesto por 8 componentes que funcionan
de manera independiente. En esta fase, la probabilidad de fallo de un componente es 0,25. Calcula el
número esperado de fallos y su varianza.
Sea X: “número de componentes, de los 8 seleccionados, que fallan”. La distribución de probabilidad de X es:
Bin=
p 0,25 )
( n 8,=
El número esperado de fallos es la esperanza de la variable X:
E [ X ] = n ⋅ p = 8 ⋅ 0,25 = 2
Y su varianza es:
Var ( X ) =np (1 − p ) =8 ⋅ 0,25 ⋅ 0,75 =1,5
196 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
10. La probabilidad de que en una fábrica se produzca un accidente en una semana es 0,15. Si se eligen al azar
7 semanas, calcula:
a) La probabilidad de que no se hayan producido accidentes.
b) La probabilidad de que se hayan producido exactamente 2 accidentes.
c) El número esperado de accidentes y su desviación típica.
Se considera la variable X: “número de semanas, de las 7, en las que se ha producido un accidente”. La variable X
tiene distribución Bin=
p 0,15 ) .
( n 7,=
a) La probabilidad de que la variable X tome el valor cero, se puede ver en la tabla de la binomial o calcularla:
7
P(X
= 0=
0,3206
) 0,85=
b) La probabilidad de que la variable X tome el valor 2 es:
7
2
5
P(X =
2) =
0,2097
 2  0,15 ⋅0,85 =
 
c) El numero esperado de accidentes, o esperanza matemática de la variable X es:
E [X] =
7 0,15
⋅
=
1,05
Se procede a calcular la desviación típica:
Var ( X ) = np (1 − p ) = 7 0,15 0,85
⋅
⋅
= 0,8925 ⇒ σ = + 0,8925 = 0,9447
11. Ejercicio interactivo.
12. Ejercicio resuelto.
Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
197
13. Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad es:
c x 2 + 2 )
f (x) =  (
0
si 0 < x < 3
en el resto
a) Calcula c y dibuja su gráfica.
b) Calcula su esperanza y su varianza.
c) Calcula P ( X > 2 ) y P (1 < X < 2 ) .
a) El valor de c debe ser tal que el área encerrada por la gráfica de la función f ( x ) , el eje de abscisas y las rectas
verticales x = 0 y x = 3, sea 1. Es decir:
3
∫ c (x
1=
3
2
0
1
 x3

+ 2 ) dx= c  + 2x  = c ( 9 + 6 )= 15c ⇒ c=
3
15

0
Así:
1 2
 ( x + 2)
f ( x ) =  15
0
si 0 < x < 3
en el resto
Y su gráfica:
b) La esperanza de X se obtiene de la siguiente manera:
3
3
1
1  x4
1  81

 39
2
+ x2  =
+ 9 =
= 1,95
dx =

∫0 15 x ( x + 2) 15  4
15
4

 20
0
E [X] =
Para calcular la varianza de X, en primer lugar se calcula:
3
3
1 2 2
1  x5
x3 
1  243 54  111
x ( x + 2 ) 2
dx =
+

 = 15  5 + 3  = 25 = 4, 44
15
15
5
3



0
0
E  X 2  = ∫
Y, por último:
Var ( X ) = E  X 2  − 4,
( E [ X ]) = 44 − 1,952 = 0,6375
2
c) La probabilidades se calculan como sigue:
P ( X > 2) =
3
1
∫ 15 ( x
2
+ 2 ) dx =
2
P (1 < X < 2 )=
2
3
1  x3
1 

8
 5
+ 2x  =
9 + 6 −  3 + 4   = 9 = 0,5556
15  3
15



2
2
1 2
1  x3
1 8

1
  13
∫1 15 ( x + 2) dx= 15  3 + 2x 1= 15  3 + 4 −  3 + 2 = 45= 0,2889
198 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
14. Sea la variable aleatoria X con función de densidad:
f (x) =
{
x
0
si − 1 < x < 1
en el resto
a) Dibuja su gráfica.
3

b) Calcula las probabilidades P ( X > 0 ) y P  X <  .

4
a) La gráfica de la función de densidad es:
b) Las probabilidades que se piden se calculan como sigue y corresponden a las áreas que se representan en las
gráficas:
P ( X > 0) =
1
= 0,5
2
3 3
⋅
3
3
9

 3
P X <  =
P  − < X <  =⋅
2 4 4 = =
0,5625
4
4
2
16

 4
15. Utilizando la tabla de la distribución N ( 0, 1) , halla:
a) P ( Z ≤ −0,17 )
c) 0,33
P(
≤ Z < 1,95 )
b) P ( Z ≥ −0,12 )
d) P ( −1,28 < Z ≤ 0,78 )
a) P ( Z ≤ −0,17 ) = 1 − Φ ( 0,17 ) = 1 − 0,5675 = 0, 4325
b) P ( Z ≥ −0,12 ) = Φ ( 0,12 ) = 0,5478
c) P ( 0,33 ≤ Z ≤ 1,95 ) = Φ (1,95 ) − Φ ( 0,33 ) = 0,9744 − 0,6293 = 0,3451
d) P ( −1,28 < Z ≤ 0,78 ) = Φ ( 0,78 ) − Φ ( −1,28 ) = Φ ( 0,78 ) − (1 − Φ (1,28 ) ) = 0,7823 − 1 + 0,8997 = 0,682 0
Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
199
16. Encuentra el valor de a en cada uno de los casos siguientes.
a) P ( Z ≤ a ) =
0,1736
c) P ( Z ≥ a ) =
0,1335
b) P ( −2a < Z ≤ 2a ) =
0,8654
d) P ( Z ≥ a ) =
0,8686
≤ a ) 0,1736 ⇒ 1 − P ( Z =
≤ −a ) 0,1736 ⇒ P ( Z =
≤ −a ) 0,8264 =
⇒ −a 0,94=
⇒ a −0,94
a) P ( Z=
a 1, 496 ⇒ =
a 0,748
b) P ( −2a < Z ≤ 2a=
) 0,8654 ⇒ P ( 0 < Z ≤ 2a=) 0, 4327 ⇒ P ( Z ≤ 2a=) 0,9327 ⇒ 2=
a ) 0,1335 ⇒ P ( Z ≤=
a ) 0,8665 ⇒=
a 1,11
c) P ( Z ≥=
≥ a ) 0,8686 ⇒ P ( Z =
≤ −a ) 0,8686 =
⇒ −a 1,12=
⇒ a −1,12
d) P ( Z=
17 y 18. Ejercicios resueltos.
19. Los salarios mensuales de los recién titulados que acceden a su primer empleo se distribuyen según una
ley normal de media 1300 € y desviación típica 600 €. Calcula el porcentaje de titulados que cobran:
a) Menos de 600 € al mes.
b) Entre 1000 y 1500 € al mes.
c) Más de 2200 € al mes.
Sea la variable aleatoria X: “salarios mensuales, en euros, de los recién titulados en su primer empleo”.
N ( µ 1300,
=
σ 600 ) . En los cálculos de los dos apartados, se utiliza la
La distribución de la variable X es =
tipificación de la variable para obtener las probabilidades a partir de la tabla de la N ( 0, 1) .
a) Se debe calcular la probabilidad de que la variable X no supere los 600 € al mes:
600 − 1300 

P ( X < 600 ) = P  Z <
 = P ( Z < −1,17 ) = 1 − Φ (1,17 ) = 1 − 0,8790 = 0,1210
600


Luego el 12,1 % de los recién titulados cobra menos de 600 € al mes en su primer trabajo.
b) En este caso, se calcula la siguiente probabilidad:
1500 − 1300 
 1000 − 1300
<Z<
Φ ( 0,33 ) − (1 − Φ ( 0,5 ) ) =
P (1000 < X < 1500 ) =
P
P ( −0,5 < Z < 0,33 ) =
=
600
600


= 0,6293 − (1 − 0,6915
=
)) 0,3208
De modo que el 32,08 % de los recién titulados cobra entre 1000 y 1500 € al mes.
c) De igual forma que en los partidos anteriores:
2200 − 1300 

P ( X > 2200 ) = P  Z >
 = P ( Z > 1,5 ) = 1 − Φ (1,5 ) = 1 − 0,9332 = 0,0668
600


Por tanto, el 6,68 % de los recién titulados cobra más de 2200 €.
20. En una panadería se cortan panecillos con un peso que se ajusta a una distribución normal de media
100 g y desviación típica 9 g. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un panecillo cuyo peso oscila entre
80 gramos y la media?
Sea la variable aleatoria X: “peso, en gramos, de los panecillos”, cuya distribución es N=
σ 9 ) .
( µ 100,=
Se debe calcular la probabilidad de que el valor de la variable X esté entre 80 y 100 gramos:
100 − 100 
 80 − 100
P ( 80 < X < 100 ) =
P
P ( −2,22 < Z < 0 ) =
<Z<
Φ ( 0 ) − (1 − Φ ( 2,22 ) ) =
=
9
9


= 0,5 − (1 − 0,9868 ) = 0, 4868
200 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
21. En un almacén hay un gran número de cajas. El peso de cada una de ellas es una variable aleatoria con
distribución normal de media 50 kg y desviación típica 5 kg.
a) Calcula el porcentaje de cajas que pesan más de 53 kg.
b) Halla el porcentaje de cajas que pesan entre 50 y 55 kg.
c) Para transportar las cajas se dispone de un camión que tiene autorizado un peso máximo de 2000 kg en total.
¿Cuál es la probabilidad de que el camión soporte la carga de 41 cajas sin exponerse a superar el peso
máximo autorizado?
µ 50, =
σ 5 ) .
Sea la variable aleatoria X: “peso, en kg, de las cajas”, con distribución N (=
a) Se calcula la probabilidad de que la variable X supere los 53 kg. Es decir:
53 − 50 

P ( X > 53 ) = P  Z >
 = P ( Z > 0,6 ) = 1 − Φ ( 0,6 ) = 1 − 0,7257 = 0,2743
5


El 27,43 % de las cajas pesan más de 53 kg.
b) En este caso, se calcula la probabilidad siguiente:
55 − 50 
 50 − 50
P ( 50 < X < 55 ) =
P
<Z<
P ( 0 < Z < 1) =
Φ (1) − Φ ( 0 ) =
0,8413 − 0,5 =
0,3413 =
5
5


El 34,13 % de las cajas pesan entre 50 y 55 kg.
c) Sea la variable Y: “la suma de los pesos de las 41 cajas”, la cual sigue una distribución normal de media
µ 41 = nµ = 41⋅ 50 = 2050 y varianza σ241 = nσ2 = 41⋅ 52 = 1025.
De manera que para que el camión pueda transportar las 41 cajas, el peso de éstas no debe superar los 2000
kg. Por tanto:
2000 − 2050 

P (Y < 2000 ) = P  Z <
 = P ( Z < −1,56 ) = 1 − Φ (1,56 ) = 1 − 0,9406 = 0,0594
1025


22. Ejercicio interactivo.
23 y 24. Ejercicios resueltos.
Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
201
25. En una ciudad, el 55 % de los hogares tiene conexión a internet. De la ciudad se eligen al azar
90 viviendas. Calcula la probabilidad de que:
a) Más de 50 viviendas tengan conexión a internet.
b) Entre 35 y 45 de las viviendas no tengan conexión a internet.
c) Tengan conexión a internet menos de 45 viviendas.
Se considera la variable aleatoria X: “número de hogares, de los 90, que tienen conexión a internet”. La variable
aleatoria X tiene distribución binomial, X ~ Bin
=
=
p 0,55 ) , que como n es grande y=
np 90 ⋅ 0,55
= 49,5 > 5
( n 90,
y
n (1 − p )= 90 ⋅ 0, 45= 40,5 > 5, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal
Y ~ N ( µ= 49,5, σ2= 90 ⋅ 0,55 ⋅ 0, 45= 22,275 ) .
De esta manera, efectuando en todos los casos la corrección por continuidad:
a) La probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor superior a 50 es:

50,5 − 49,5 
P ( X > 50 )  P (Y ≥ 50,5 ) = P  Z ≥
 = P ( Z ≥ 0,21) = 1 − Φ ( 0,21) = 1 − 0,5832 = 0, 4168
22,275 

b) Si la variable aleatoria es T: “número de hogares, de los 90, que no tienen conexión a internet”, su distribución
de probabilidad es T ~ Bin
=
=
p 0, 45 ) que se puede aproximar por una variable W con distribución
( n 90,
normal W ~ N ( µW = 90 ⋅ 0, 45= 40,5, σ2 = 90 ⋅ 0, 45 ⋅ 0,55= 22,275 ) .
De modo que la probabilidad de que entre 35 y 45 viviendas no tengan acceso a internet es:
 34,5 − 40,5
45,5 − 40,5 
P ( 35 ≤ T ≤ 45 )  P ( 34,5 ≤ W ≤ 45,5 ) = P 
≤Z≤
= P ( − ,27 ≤ Z ≤ 1,06 ) =
 1
22,275 
 22,275
= Φ (1,06 ) − (1 − Φ (1,27 ) ) = 0,8554 − 1 + 0,8980 = 0,7534
c) Debe calcularse la probabilidad de que la variable X tome un valor inferior a 45. Es decir:

44,5 − 49,5 
P ( X < 45 )  P (Y ≤ 44,5 ) = P  Z ≤
 = P ( Z ≤ −1,06 ) = 1 − Φ (1,06 ) = 1 − 0,8554 = 0,1446
22,275 

26. La administración de un medicamento produce una mejoría en el 75 % de los pacientes de malaria. Calcula
la probabilidad de que:
a) Si se eligen al azar 8 personas que padecen la enfermedad, al menos 6 mejoren.
b) Si se eligen 250 personas que padecen la enfermedad, mejoren más de 170 y como mucho 190.
a) Sea la variable aleatoria X: “número de pacientes, de los 8 seleccionados, que mejoran con el tratamiento”. La
variable X tiene distribución X ~ Bin=
p 0,75 ) . La probabilidad de que al menos 6 mejoren es:
( n 8,=
8
8
8
6
2
7
8
P ( X ≥ 6) =
P(X =
6) + P ( X =
7) + P ( X =
8) =
 6  0,75 ⋅ 0,25 +  7  0,75 ⋅ 0,25 +  8  0,75 =
 
 
 
= 0,3115 + 0,2670 + 0,1001 = 0,6786
Estas probabilidades se pueden obtener de la tabla de la distribución binomial, teniendo en cuenta la variable W
con distribución Bin=
p 0,25 ) y que:
( n 8,=
P(X
= 6=
) P (W= 2=) 0,3115 P ( X= 7=) P (W= 1=) 0,2670 P ( X= 8=) P (W= 0=) 0,1001
b) En este caso, la variable binomial X: “número de personas, de las 250, que mejoran con el tratamiento” tiene
Bin ( n 250,
=
p 0,75 ) , que puede aproximarse por una variable aleatoria Y con
una distribución binomial, X ~ =
2
= 187,5, σ
=
250 ⋅ 0,75 ⋅ 0,25
= 46,875 ) , de manera que:
distribución normal Y ~ N =
( µ 250 ⋅ 0,75
 170,5 − 187,5
190,5 − 187,5 
P (170 < X ≤ 190 )  P (170,5=
≤ Y ≤ 190,5 ) P 
≤Z≤ =

46,875
46,875 

= P ( −2, 48 ≤ Z ≤ 0, 44 ) = Φ ( 0, 44 ) − (1 − Φ ( 2, 48 ) ) = 0,67 − 1 + 0,9934 = 0,6634
27 a 35. Ejercicios resueltos.
202 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
EJERCICIOS
Variable aleatoria discreta
36. La función de masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta viene dada en la siguiente tabla.
xj
−2
−1
pj
0,15
0,30
1
a
3
5
0,20
0,10
a) Calcula a y representa gráficamente la distribución.
b) Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica.
c) Calcula P ( −1 ≤ X < 3,5 ) y P ( X < 1) .
a) Para calcular el valor de a, basta con tener en cuenta que no puede ser negativo y que las probabilidades
deben sumar 1:
0,15 + 0,30 + a + 0,20 + 0,10 = 1 ⇒ a = 0,25
La distribución de probabilidad se puede representar mediante un diagrama de barras:
b) La esperanza, la varianza y la desviación son, respectivamente:
E [ X ] =−2 ⋅ 0,15 − 1⋅ 0,3 + 1⋅ 0,25 + 3 ⋅ 0,2 + 5 ⋅ 0,1 =0,75
Para calcular la varianza, se obtiene en primer lugar E  X 2  :
2
E  X 2  =−
( ) ⋅ 0,15 + ( −1) ⋅ 0,3 + 12 ⋅ 0,25 + 32 ⋅ 0,2 + 52 ⋅ 0,1 =5, 45
2
2
Y entonces:
Var ( X ) = 5,
E  X 2  − ( E [ X ]) = 45 − 0,752 =4,8875
2
De manera que la desviación típica es:
σ = + Var ( X ) = + 4,8875 = 2,2107
c) P ( −1 ≤ X < 3,5 ) =
P(X =
−1) + P ( X =
1) + P ( X =
3 ) =+
0,30 0,25 + 0,20 =
0,75
P ( X < 1) =P ( X =−1) + P ( X =−2 ) =0,30 + 0,15 =0, 45
Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
203
37. Sea X una variable aleatoria con función de masa de probabilidad:
P ( X= j=
)
c
j 1, 2, 3, 4
=
3j
a) Calcula el valor de la constante c.
b) Representa gráficamente la función de masa.
c) Calcula la esperanza y la varianza de X.
a) Para calcular el valor de la constante c, debe tenerse en cuenta que las probabilidades son no negativas y que
tienen que sumar 1:
c c c c
25
36
P ( X =+
1) P ( X =
2) + P ( X =
3) + P ( X =
4 ) =+ + + = c=
1⇒ c =
3 6 9 12 36
25
De manera que la distribución de probabilidad de la variable X es:
36
=
1) 25
P (=
X =
3
36
=
P (=
X =
3 ) 25
9
36
6
= = 0,24 2 ) 25
P (=
X =
6
25
36
3
= = 0,12
P (=
X =
4 ) 25
12 25
12
= 0, 48 25
4
= 0,16 25
b) La función de masa de probabilidad de X se puede representar en un diagrama de barras:
c) La esperanza de X es:
E [ X ] = 1⋅ 0, 48 + 2 ⋅ 0,24 + 3 ⋅ 0,16 + 4 ⋅ 0,12 = 1,92
Para calcular la varianza, se calcula en primer lugar E  X 2  :
E  X 2  = 12 ⋅ 0, 48 + 22 ⋅ 0,24 + 32 ⋅ 0,16 + 42 ⋅ 0,12 = 4,8
De manera que la varianza es:
Var ( X ) = 4,8
1,1136
E  X 2  − ( E [ X ]) = − 1,922 =
2
204 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
Variables aleatorias binomiales
38. La variable aleatoria X tiene una distribución binomial de parámetros n = 7 y p = 0,4. Calcula:
a) La esperanza y la varianza de X.
b) P ( X < 1) y P ( X ≥ 5 ) .
c) P ( 2 ≤ X < 5 ) .
Se tiene que X ~ Bin=
p 0, 4 ) .
( n 7,=
a) La esperanza y la varianza de X son respectivamente:
E [ X ] =np =7 ⋅ 0, 4 =2,8 Var ( X ) =np (1 − p ) =7 ⋅ 0, 4 ⋅ 0,6 =1,68
b) Las probabilidades se pueden calcular o bien obtenerlas directamente de la tabla de la distribución binomial:
P ( X < 1) = P ( X = 0 ) = 0,0280
P ( X ≥ 5) =
P(X =
5) + P ( X =
6) + P ( X =
7) =
0,0774 + 0,0172 + 0,0016 =
0,0962
c) En este caso:
P (2 ≤ X < 5) =
P(X =
2) + P ( X =
3) + P ( X =
4) =
0,2613 + 0,2903 + 0,1935 =
0,7451
39. En un instituto aprueba la materia de Filosofía el 80 % de los alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de que de
un grupo formado por 8 alumnos elegidos al azar hayan aprobado 6 alumnos?
La variable aleatoria X: “número de alumnos, de los 8 elegidos, que aprueban filosofía” tiene distribución
Bin=
p 0,8 ) . Entonces:
( n 8,=
8
2
P(X
0,2936
= 6=
)   0,86 ⋅ 0,2=
6
Esta probabilidad se puede obtener de la tabla teniendo en cuenta que la variable W: “número de alumnos, de los
8, que no aprueban filosofía” es binomial Bin=
p 0,2 ) y, por tanto, resulta:
( n 8,=
P(X
= 6=
) P (W= 2=) 0,2936
40. El 10 % de los huevos de un supermercado están rotos. Halla la probabilidad de que un cliente que compra
media docena de huevos encuentre como máximo un huevo roto.
La variable aleatoria X: “número de huevos rotos, de los 6 elegidos” tiene distribución:
Bin=
p 0,1)
( n 6,=
Se pide la probabilidad de que la variable X tome un valor menor o igual a 1. Es decir:
P ( X ≤ 1) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) = 0,5314 + 0,3543 = 0,8857
donde las probabilidades se han obtenido directamente de la tabla de la distribución binomial.
Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
205
41. Por término medio en el último mes, un vendedor de periódicos ha devuelto el 30 % de los ejemplares
diarios que le han servido del periódico A. Si un día elegido al azar le sirven 15 unidades, calcula la
probabilidad de que:
a) Devuelva por lo menos 4.
b) Venda todos los periódicos.
c) Venda más de 12 si se sabe que al menos ha vendido 10.
Se considera la variable aleatoria X: “número de periódicos devueltos, de los 15 ejemplares”.
=
=
p 0,3 ) .
La distribución de probabilidad de X es Bin
( n 15,
a) Se calcula la probabilidad de que devuelva menos de 4 ejemplares. Es decir:
P ( X < 4) =
P(X =
0 ) + P ( X =+
1) P ( X =
2) + P ( X =
3) =
 15 
 15 
 15 
 15 
=   0,715 +   0,3 ⋅ 0,714 +   0,32 ⋅ 0,713 +   0,33 ⋅ 0,712 =
0
1
2
 
 
 
3
= 0,0047 + 0,0305 + 0,0916 + 0,1700 = 0,2968
De manera que la probabilidad de que devuelva por lo menos 4 es:
P ( X ≥ 4) =
1− P ( X < 4) =
1 − 0,2968 =0,7032
b) La probabilidad de que venda todos los periódicos es la de que la variable X tome el valor 0, esto es:
 15 
= 0=
P(X
)   0,715= 0,0047
0
c) Vender más de 12 ejemplares es equivalente a devolver menos de 3. Y vender al menos 10 es equivalente a
devolver como mucho 5. De modo que, en este caso se trata de calcular la probabilidad condicionada:
P (=
X < 3| X ≤ 5 )
P( X < 3 ∩ X ≤ 5) P( X < 3)
=
P ( X ≤ 5)
P ( X ≤ 5)
Se calcula la probabilidad del numerador:
 15 
 15 
 15 
0) P ( X =
1) + P ( X ==
2 )   0,715 +   0,3 ⋅ 0,714 +   0,32 ⋅ 0,713 =
P ( X < 3) =
P ( X =+
0
1
2
=
0,0047 + 0,0305 + 0,0916 =
0,1268
Se calculan la probabilidad del denominador:
0 ) + P ( X =+
1) P ( X =
2) + P ( X =
3) + P ( X =
4) + P ( X =
5) =
P ( X ≤ 5) =
P(X =
 15 
 15 
 15 
 15 
 15 
 15 
=   0,715 +   0,3 ⋅ 0,714 +   0,32 ⋅ 0,713 +   0,33 ⋅ 0,712 +   0,34 ⋅ 0,711 +   0,35 ⋅ 0,710 =
0
1
2
3
4
5
= 0,0047 + 0,0305 + 0,0916 + 0,1700 + 0,2186 + 0,2061 =
0,7215
Entonces, la probabilidad pedida es:
P ( X < 3| X ≤=
5)
206 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
0,1268
= 0,1757
0,7215
42. En un proceso de fabricación, se sabe que la probabilidad de que un producto sea defectuoso es 0,1. Se
selecciona una muestra aleatoria de 8 productos. Calcula la probabilidad de que:
a) Exactamente uno sea defectuoso.
b) Al menos uno sea defectuoso.
c) Haya más de dos defectuosos.
Sea la variable aleatoria X: “número de productos defectuosos, de los 8 seleccionados”.
La distribución de probabilidad de la variable X es Bin=
p 0,1) , cuya función de masa se puede ver en la
( n 8,=
tabla de la distribución binomial.
a) La probabilidad de que exactamente uno de los ocho sea defectuosos es:
P ( X= 1=
) 0,3826
b) En este caso, se procede calculando la probabilidad de que ningún producto de los 8 sea defectuoso:
P(X
= 0=
) 0, 4305
Y la probabilidad de que al menos uno de los 8 sea defectuoso es:
P ( X ≥ 1) =1 − P ( X < 1) =1 − P ( X =0 ) =1 − 0, 4305 =0,5695
c) Se calcula la probabilidad de que haya como mucho 2 defectuosos:
P ( X ≤ 2) =
P ( X =+
0) P ( X =
1) + P ( X ==
2 ) 0, 4305 + 0,3826 + 0,1488 =
0,9619
De manera que la probabilidad de que haya más de dos defectuosas es:
P ( X > 2 ) =1 − P ( X ≤ 2 ) =1 − 0,9619 =0,0381
Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
207
Variables aleatorias continuas
43. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad:
k (10 − x )
f (x ) = 
0
si 0 < x < 10
en el resto
a) Calcula el valor de k y dibuja la gráfica de la función de densidad.
b) Calcula P ( X > 5 ) .
c) Calcula la esperanza y la varianza de la variable X.
a) La función f ( x ) es no negativa siempre que k > 0 . Además, el área de la región limitada por la función, el eje
de abscisas y las rectas verticales x = 0 y x = 10 , debe ser la unidad. Esto es:
1=
10
∫f ( x ) dx=
0
10
10
x2 
100 
1


∫0 k (10 − x ) dx= k 10x − 2  0 = k 100 − 2 = 50k ⇒ k= 50
 1
 (10 − x )
De manera que la función de densidad de la variable aleatoria X es: f ( x ) =  50
0
La gráfica de la función de densidad queda:
si 0 < x < 10
en el resto
b) El cálculo de la probabilidad de que el valor de la variable sea superior a 5, se puede obtener gráficamente:
La probabilidad de que X sea mayor que 5 es el área del triángulo coloreado en la figura:
P ( X > 5=
)
c) La esperanza de la variable X es:
E [ X ]=
10
1
1 
5 ⋅ 0,1
= 0,25 2
dx=
x
∫ 50 (10 − x ) x 5
50 
10
2
−
0
1 
1000  10
x3 
=
 500 −
=
3  0
50 
3  3
Para calcular la varianza se debe calcular antes:
E  X 2 =
10
1
∫ 50 (10 − x ) x
0
10
2
dx=
1  10x 3 x 4 
1  10000 10000  50
−
=
−

=
50  3
4  0
50  3
4  3
2
2
50  10 
50
Finalmente: Var ( X ) =
E  X 2  − ( E [ X ]) = −   =
3  3 
9
208 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
.
44. Un tren de cercanías sale de la estación cada 10 minutos. Si un viajero llega al andén de forma aleatoria:
a) Escribe la función de densidad de la variable X: “tiempo de espera del viajero en el andén”.
b) Calcula la probabilidad de que el viajero deba esperar menos de 3 minutos.
c) Calcula la esperanza y la varianza de la variable X.
a) La función de densidad de la variable aleatoria X: “tiempo de espera del viajero en el andén”, para un viajero
que llega de forma aleatoria es:
1

f ( x ) =  10
 0
si 0 < x < 10
en el resto
Cuya gráfica es:
b) La probabilidad de que el viajero tenga que esperar menos de tres minutos se puede obtener gráficamente
como el área del rectángulo coloreado de la figura:
De manera que:
P ( X < 3 ) =3 ⋅ 0,1 =0,3
c) La esperanza de la variable X es:
E [X]
=
10
10
1
 x2 
x
5
dx
=
=

∫0 10
 20  0
Para calcular la varianza se debe calcular antes:
E =
X 2 
10
10
1 2
1000 100
 x3 
x
=
d
x
=
 3=

∫0 10
0
30
3
 0
Finalmente:
Var ( X )= E  X 2  − ( E [ X ]) =
2
100
25
− 52 =
3
3
Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
209
45. Considera una variable aleatoria continua con función de densidad:
1
3 x

2
f ( x=
)  ( 3 − x )
3

0
si 0 < x < 2
si 2 < x < 3
en el resto
a) Dibuja la gráfica de la función de densidad.
b) Calcula su esperanza y su varianza.
c) Calcula P ( X < 1) , P ( X > 2 ) y P (1 < X < 2,5 ) .
a) La gráfica de la función de densidad es:
b) La esperanza de la variable X es:
E [X] =
2
3
2
3
1
2
1  x3 
2  3x 2 x 3 
−
=
dx + ∫ ( − x ) x dx =   + 
∫0 3 x ⋅ x 3
3  3 0 3  2
3  2
2 3
=
1 8 2  27 27 
8  8 2 7 5
⋅ + 
−
− 6 −  = + ⋅ =
3 3 3 2
3 
3  9 3 6 3
Y para la varianza se calcula en primer lugar E  X 2  :
2
E  X 2  = ∫
0
=
2
3
3
1
2
1  x4 
2
x4 
=
x ⋅ x 2 3
dx + ∫ ( − x ) x 2 dx =   +  x 3 −
3
3  4 0 3 
4  2
2 3
1
2
81
 4 2 11 19
⋅ 4 +  27 −
− (8 − 4)  =
+ ⋅
=
3
3
4
6
 3 3 4
Con lo que la varianza de X es:
2
2
19  5 
7
Var ( X ) =
E  X 2  − ( E [ X ]) = −   =
6 3
18
210 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
c)
Las probabilidades se pueden obtener gráficamente en este caso:
La primera se puede obtener por medio del área de un triángulo:
P ( X < 1)=
1
3= 1
2
6
1⋅
La segunda, de forma análoga, mediante el área de un triángulo:
P ( X > 2 )=
2
3= 1
2
3
1⋅
Y la tercera, sumando el área de un triángulo y un rectángulo:
P (1 < X < 2,5 ) =
1
3 + 1,5 ⋅ 1 = 1 + 1 = 3
2
3 4 2 4
1,5 ⋅
46. La demanda diaria X, en kilogramos, de un determinado producto es una variable aleatoria que puede
tomar cualquier valor del intervalo [0, 10]. Se sabe que X tiene una distribución continua con función de
densidad:
x +1

f ( x ) =  60
0
si 0 ≤ x ≤ 10
en el resto
a) Halla la probabilidad de que la demanda supere los 7 kg.
b) Calcula su esperanza y su varianza.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda sea superior a la media?
a) La probabilidad de que la variable X supero los 7 kg es:
P ( X > 7) =
10
∫
7
10
x +1
1  x2
1 
1 57 19

 49

50
dx =
+ x =
+ 7 =
⋅
=
= 0, 475
 + 10 − 
60
60  2
60 
40
 2
  60 2
7
b) La esperanza o valor esperado medio de la demanda diaria, en kg, de este producto es:
E [X] =
10
∫
0
10
1  x3 x2 
1  1000
x +1
 115
x dx =
+
=
+ 50  =
= 6,389 kg

60
60  3
2  0
60  3
 18
Para la varianza se necesita calcular:
10
E  X 2  =∫
0
10
x +1 2
1  x4 x3 
1 
1000  425
+
=  2500 +
=47,222 kg
x dx = 
=
60
60  4
3  0
60 
3 
9
2
2
425  115 
De manera que: Var ( X ) =
6,404 k
g
E  X 2  − ( E [ X ]) = − 
 =
9
 18 
c) La probabilidad de que la demanda sea superior a la media calculada en el apartado anterior es:
P ( X > 6,389
=
)
10
∫
6,389
10
x +1
1  x2
1 

 6,3892

50
=
dx
+ x =
+ 6,389=
 + 10 − 
  0,5534

60
60  2
 6,389 60 
 2

Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
211
Variables aleatorias con distribución normal
47. La duración de la batería de un teléfono móvil sigue una distribución normal de media 3 años y desviación
típica 0,5 años. Calcula la probabilidad de que una batería dure entre 2 y 4 años.
La variable aleatoria X: “duración, en años, de una batería de móvil” tiene una distribución normal:
N ( µ= 3, σ= 0,5 )
La probabilidad de que una batería elegida al azar dure entre 2 y 4 años es:
4−3
 2−3
P ( 2 < X < 4 ) =P 
<Z<
 =P ( −2 < Z < 2 ) =Φ ( 2 ) − Φ ( −2 ) =2Φ ( 2 ) − 1 =2 ⋅ 0,9772 − 1 =0,9544
0,5 
 0,5
48. Se estima que el tiempo en horas que se necesita para memorizar un tema de Historia de la Filosofía es una
variable aleatoria con distribución normal, pero cuya media y varianza se desconocen. Calcula la media y la
varianza de esta distribución si se conoce que las tres cuartas partes de los estudiantes necesitan más de
tres horas y que el 5 % necesita más de 6 horas para hacerlo.
Sea la variable aleatoria X: “tiempo, en horas, necesario para memorizar un tema de Historia de la Filosofía”. La
variable X tiene distribución N ( µ, σ2 ) , ambos parámetros desconocidos.
Si las tres cuartas partes de los estudiantes necesitan más de tres horas, significa que:
P ( X > 3) =
0,75
Si el 5% necesita más de 6 horas, entonces se tiene que:
P ( X > 6) =
0,05
Tipificando ambas expresiones, se obtiene:
3−µ 
3−µ 


3−µ 
P Z >
0,75 P  Z ≤
1 − 0,75 ⇒ Φ 
0,25  =⇒
=
=
σ 
σ 


 σ 
6−µ 
6−µ 


 6−µ 
P Z >
0,05 P  Z ≤
1 − 0,05 ⇒ Φ 
0,95  =⇒
=
=
σ
σ




 σ 
De la tabla de la distribución normal estándar se tiene que:
3−µ
3−µ 
Φ 
= −0,675 ⇒ µ − 0,675 σ = 3
 = 0,25 ⇒
σ
 σ 
6−µ
 6−µ 
Φ =
=
σ
 0,95 ⇒ = 1,645 ⇒ µ + 1,645 6
σ
 σ 
Resolviendo el sistema se obtienen los valores de la media y la varianza de la distribución normal:
σ=
µ − 0,675 3
=
⇒ µ 3,8728
=
y σ 1,2931
=
( σ2 1,6721)

µ
+
1
,645 6
σ
=

212 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
49. El número de páginas que se pueden escribir con los bolígrafos de una determinada marca sigue una
distribución normal de media 80 páginas y desviación típica 12 páginas.
a) Si se elige un bolígrafo al azar, calcula:
I. La probabilidad de que el número de páginas escritas sea superior a 100.
II. La probabilidad de que el número de páginas escritas sea inferior a 50.
III. La probabilidad de que el número de páginas escritas esté comprendido entre 75 y 85.
b) ¿Cuál es el número máximo de páginas que se pueden escribir con uno de estos bolígrafos, con una
probabilidad del 95 %?
Se considera la variable aleatoria X: “número de páginas que se pueden escribir con los bolígrafos de una
determinada marca”. La variable sigue una distribución normal: N (=
µ 80 , =
σ 12 ) .
a) Elegido al azar un bolígrafo de esa marca:
100 − 80 

I. P ( X > 100 ) = P  Z >
 = P ( Z > 1,67 ) = 1 − Φ (1,67 ) = 1 − 0,9525 = 0,0475
12


50 − 80 

II. P ( X < 50 ) = P  Z <
 = P ( Z < −2,5 ) = 1 − Φ ( 2,5 ) = 1 − 0,9938 = 0,0062
12 

85 − 80 
 75 − 80
III. P ( 75 < X < 85 ) =P 
<Z<
 =P ( −0, 42 < Z < 0, 42 ) =2Φ ( 0, 42 ) − 1 == 2 ⋅ 0,6628 − 1 = 0,3256
12
12 

b) Sea a el número máximo de páginas que, con probabilidad 0,95, se puede escribir con uno de estos bolígrafos
elegidos al azar. Ello quiere decir que P ( X ≤ a ) =
0,95.
Tipificando la expresión y mediante la tabla de la normal estándar se tiene que:
a − 80 
a − 80

P Z ≤
=
= 1,645 ⇒ a= 99,74 páginas
 0,95 ⇒
12
12


50. El retraso con el que los trenes llegan a una estación tiene una distribución normal de media
4 minutos. Además el 80 % de los trenes llega con un retraso inferior a 7 minutos. Calcula:
a) La desviación típica de la distribución.
b) La probabilidad de que llegue antes de la hora prevista.
c) La probabilidad de que el retraso supere los 10 minutos.
Sea la variable aleatoria X: “retraso, en minutos, con el llegan los trenes a la estación”. La distribución de
probabilidad de X es N ( µ= 4, σ ) con σ desconocida.
a) Si el 80 % de los trenes llegan con retraso inferior a 7 minutos, se tiene que:
7−4
3
3
P ( X < 7=
=
σ
= 3,5714
) 0,8 ⇒ P  Z <
 0,8 ⇒ = 0,84 ⇒ =
0,84
σ 
σ

b) Debe calcularse la probabilidad de que la variable X sea inferior a cero:
0−4 

P ( X < 0) = P  Z <
 = P ( Z < −1,12 ) = 1 − Φ (1,12 ) = 1 − 0,8686 = 0,1314
3,5714 

c) La probabilidad de que el retraso supere los 10 minutos es:
10 − 4 

P ( X > 10 ) = P  Z >
 = P ( Z > 1,68 ) = 1 − Φ (1,68 ) = 1 − 0,9535 = 0,0465
3,5714


Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
213
51. Se sabe que el tiempo necesario para trasladarse desde el domicilio a un campus universitario sigue una
distribución normal de media 45 minutos y desviación típica 15 minutos. Se pide calcular las siguientes
probabilidades expresando el resultado en porcentajes.
a) Probabilidad de que el traslado dure menos de una hora.
b) Probabilidad de que dure entre 30 y 45 minutos.
c) Probabilidad de que el traslado dure menos de 20 minutos.
La variable aleatoria X: “tiempo necesario, en minutos, para trasladarse del domicilio al campus” tiene una
µ 45, =
σ 15 ) .
distribución de probabilidad normal N (=
a) La probabilidad de que el traslado dure menos de 60 minutos es:
60 − 45 
P ( X < 60=
) 0,8413
) P  Z <
= P ( Z < 1=
15 

El 84,13 % de los traslados dura menos de una hora.
b) La probabilidad de que el traslado dure entre 30 y 45 minutos es:
45 − 45 
 30 − 45
P ( 30 < X < 45 ) =
P
<Z<
P ( −1 < Z < 0 ) =
Φ ( 0 ) − (1 − Φ (1) ) =
0,5 − 1 + 0,8413 =
0,3413
=
15 
 15
El 34,13 % de los traslados tienen una duración de entre 30 y 45 minutos.
c) La probabilidad de que el traslado dure menos de 20 minutos es:
20 − 45 

P ( X < 20 ) = P  Z <
 = P ( Z < −1,67 ) = 1 − Φ (1,67 ) = 1 − 0,9525 = 0,0475
15 

El 4,75 % de los traslados al campus desde el domicilio dura menos de 20 minutos.
Aproximación de la binomial a la normal
52. Se sabe que aprueban el 65 % de las personas que se presentan por primera vez al examen para obtener el
carné de conducir. Si un día se van a presentar 180 personas por primera vez:
a) ¿Cuántos se espera que suspendan?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben al menos 110?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben como mínimo 100 y como máximo 115?
Sea la variable aleatoria X: “número de personas, de las 180, que aprueban a la primera el carné de conducir”. La
distribución de probabilidad de X es Bin
=
=
p 0,65 ) .
( n 180,
a) El valor esperado de aprobados o esperanza matemática de X es:
E [ X ] =np =180 ⋅ 0,65 =117
Por tanto, se espera que suspendan 180 − 117 =
63 personas (este valor, también podría haberse calculado
mediante el producto n (1 − p ) = 180 ⋅ 0,35 = 63 ).
b) Para calcular esta probabilidad, se aproxima la distribución binomial de la variable X por la distribución normal
de la variable Y, siendo esta:
2
µ 117, σ=
= 40,95 )
Y ~ N (=
180 ⋅ 0,65 ⋅ 0,35
De modo que la probabilidad de que aprueben a la primera al menos 110, utilizando la aproximación normal y
aplicando la corrección por continuidad es:

109,5 − 117 
P ( X ≥ 110 )  P (Y ≥ 109,5 ) = P  Z ≥
 = P ( Z ≥ −1,17 ) = Φ (1,17 ) = 0,8790
40,95 

c) La probabilidad de que aprueben como mínimo 100 y como máximo 115, se obtiene utilizando la aproximación
normal, aplicando la corrección por continuidad:
 99,5 − 117
115,5 − 117 
P (100 ≤ X ≤ 115 )  P ( 99,5 ≤ Y ≤ 115,5 ) = P 
≤Z≤
 = P ( −2,73 ≤ Z ≤ −0,23 ) =
40,95
40,95 

Φ ( 2,73 ) − Φ (=
0,23 ) 0,9968 − 0,5910
= 0, 4058
214 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
53. En la consulta de un médico especialista, 3 de cada 10 pacientes son diagnosticados con una enfermedad
grave. Si se eligen 60 pacientes al azar de esta consulta, calcula la probabilidad de que hayan sido
diagnosticados:
a) Como máximo 10 pacientes.
b) Más de 20 pacientes.
c) Entre 15 y 25 pacientes.
Se considera la variable aleatoria X: “número de pacientes, de los 60, diagnosticados con enfermedad grave”. La
distribución de probabilidad de la variable X es Bin
=
=
p 0,3 ) .
( n 60,
Para calcular las probabilidades de ambos apartados, se puede aproximar la distribución de X por la de una
variable aleatoria normal, Y, con la media y la varianza siguientes:
µ =np =60 ⋅ 0,3 =18 σ2 =npq =60 ⋅ 0,3 ⋅ 0,7 =12,6
a) La probabilidad de que, como máximo, 10 pacientes sean diagnosticados con enfermedad grave se obtiene
utilizando la aproximación normal, la corrección por continuidad y tipificando a la normal estándar:

10,5 − 18 
P ( X ≤ 10 )  P (Y ≤ 10,5 ) = P  Z ≤
 = P ( Z ≤ −2,11) = 1 − Φ ( 2,11) = 1 − 0,9826 = 0,0174
12,6 

b) Del mismo modo se calcula la probabilidad de que se diagnostique con enfermedad grave a más de 20
pacientes:

20,5 − 18 
P ( X > 20 )  P (Y ≥ 20,5 ) = P  Z ≥
 = P ( Z ≥ 0,70 ) = 1 − Φ ( 0,70 ) = 1 − 0,7580 = 0,2420
12,6 

c) La probabilidad de que hayan sido diagnosticados entre 15 y 25 pacientes es:
 14,5 − 18
25, 5 − 18 
≤Z≤
P (15 ≤ X ≤ 25 )  P (14,5 ≤ Y ≤ 25,5 ) = P 
 = P ( −0,99 ≤ Z ≤ 2,11) =
12,6 
 12,6
= Φ ( 2,11) − (1 − Φ ( 0,99 ) ) = 0,9826 − 1 + 0,8389 = 0,8215
54. En una población el 10 % tiene suscrita alguna póliza de seguro de vida. Si en dicha población se
seleccionan 350 personas, calcula la probabilidad de que:
a) Al menos 40 tengan suscrito algún seguro de vida.
b) Como máximo 30 tengan suscrito algún seguro de vida.
c) Entre 30 y 40 personas tengan suscrito algún seguro de vida.
Sea la variable aleatoria X: “número de personas, de las 350, que tiene suscrito una póliza de seguro de vida”.
X tiene una distribución binomial =
Bin ( n 350,
=
p 0,1) .
Para los cálculos de las probabilidades que se piden en los apartados se utiliza la aproximación por una variable
aleatoria Y con distribución normal de media y varianza respectivas:
2
=
µ np
= 350 ⋅ 0,1
= 35 σ
=
npq
= 350 ⋅ 0,1⋅ 0,9
= 31,5
a) La probabilidad de que al menos 40 tengan suscrito un seguro de vida, se aproxima por la normal, mediante la
corrección por continuidad y tipificando a la normal estándar:

39,5 − 35 
P ( X ≥ 40 )  P (Y ≥ 39,5 ) =
P  Z ≥
P ( Z ≥ 0,80 ) =
1 − Φ ( 0,8 ) =
1 − 0,7881 =
0,2119
=
31,5 

b) En este caso se trata de calcular la probabilidad siguiente:

30,5 − 35 
P ( X ≤ 30 )  P (Y ≤ 30,5 ) = P  Z ≤
 = P ( Z ≤ −0,8 ) = 1 − Φ ( 0,8 ) = 1 − 0,7881 = 0,2119
31,5 

c) La probabilidad de que haya entre 30 y 40 personas suscritas a algún seguro de vida es:
 29,5 − 35
40,5 − 35 
P ( 30 ≤ X ≤ 40 )  P ( 29,5 ≤ Y ≤ 40,5 ) = P 
≤Z≤
 = P ( −0,98 ≤ Z ≤ 0,98 ) =
31,5
31,5 

= Φ ( 0,98 ) − (1 − Φ ( 0,98 ) ) = 2Φ ( 0, 98 ) − 1 = 2 ⋅ 0,8365 − 1 = 0,6730
Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
215
55. *En el balance final del último año en una entidad financiera, la morosidad (créditos concedidos y no
pagados) ha ascendido al 28 %. Si de dicha entidad se eligen al azar 60 clientes a los que se les ha
concedido un crédito, calcula probabilidad de que entre los 60:
a) Haya al menos 18 morosos.
b) Los morosos sean exactamente 12.
c) El número de créditos impagados esté entre 20 y 25.
Se considera la variable X: “número de clientes morosos, entre los 60”. La distribución de probabilidad de X es
=
=
p 0,28 ) . Para calcular las probabilidades de los apartados se puede aproximar por la
binomial Bin
( n 60,
distribución de una variable aleatoria normal Y de media y varianza respectivas:
2
µ= np= 60 ⋅ 0,28= 16,8 σ=
np (1 − p=
) 60 ⋅ 0,28 ⋅ (1 − 0,28=) 12,096
a) La probabilidad de que entre los 60 clientes haya al menos 18 morosos es:

17,5 − 16,8 
P ( X ≥ 18 )  P (Y ≥ 17,5 ) = P  Z ≥
 = P ( Z ≥ 0,2 ) = 1 − Φ ( 0,2 ) = 1 − 0,5793 = 0, 4207
12,096 

b) La probabilidad de que haya exactamente 12 morosos es:
 11,5 − 16,8
12,5 − 16,8 
≤Z≤
P ( X = 12 )  P (11,5 ≤ Y ≤ 12,5 ) = P 
 = P ( −1,52 ≤ Z ≤ −1,24 ) =
12,096 
 12,096
= Φ (1,52 ) − Φ (1,24 ) = 0,9357 − 0,8925 = 0,0432
Esta probabilidad se puede calcular directamente con la binomial:
 60 
12
48
P(X =
12 ) =
0,0461.
 12  0,28 ⋅ 0,72 =
 
Y, como puede observarse, la aproximación realizada con la normal es bastante buena. En realidad, las
diferencias que se observan se deben a los redondeos necesarios para poder utilizar la tabla de la distribución
normal.
c) La probabilidad de que el número de créditos impagados esté entre 20 y 25, ambos incluidos, es:
 19,5 − 16,8
25,5 − 16,8 
=
≤Z≤
=
=
P ( 20 ≤ X ≤ 25 )  P (19,5 ≤ Y ≤ 25,5
) P 
)
 P ( 0,78 ≤ Z ≤ 2,5
12,096 
 12,096
= Φ ( 2,5 ) − Φ ( 0, 78 ) = 0,9938 − 0,7823 = 0,2115
216 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
CUESTIONES
56. Si Z es una variable aleatoria con distribución normal estándar, prueba que la variable aleatoria
2
X = aZ + b tiene distribución normal de media b y varianza a .
Para responder a esta cuestión, basta con conocer las siguientes propiedades lineales del operador esperanza. Si
X e Y son variables aleatorias y k es una constante cualquiera:
E [ X + Y=
] E [ X ] + E [Y ] E [kX=] kE [ X ]
Dado que Z ~ N ( µ= 0, σ2= 1) , la media o esperanza de X es:
µ=
E [=
X ] E [aZ +=
b ] aE [ Z ] + E [=
b] b
X
donde E [ Z ] = µ = 0 y E [ b ] = b por tratarse de una constante.
En cuanto a la varianza, en primer lugar se calcula:
2
E  X 2  = E ( aZ + b )  = E a 2Z 2 + 2abZ + b 2  = a 2E Z 2  + 2abE [ Z ] + b 2 = a 2 + b 2


donde E Z 2  = σ2 + µ 2 = 1 + 0 = 1.
De modo que la varianza de X es:
σ2X = Var ( X ) = E  X 2  − ( E [ X ]) = a 2 + b 2 − b 2 = a 2
2
Otra forma de verlo es mediante la siguiente propiedad de la varianza: Var ( aY + b ) =
a 2 Var (Y ) . Luego:
Var ( X ) = Var ( aZ + b ) = a 2 Var ( Z ) = a 2 ⋅ 1 = a 2
57. Si X es una variable aleatoria con distribución Bin ( n, p ) e Y es otra variable aleatoria, independiente
de X, con distribución Bin ( m, p ) :
a) ¿Cuál será la distribución de la variable X + Y ?
b) ¿Cuál es la esperanza y la varianza de las variables W = k X y T= Y + c ?, donde k y c son constantes
arbitrarias.
a) La distribución de la variable X + Y es binomial de parámetros n + m y p , ya que:
E [ X + Y ] = E [ X ] + E [Y ] = np + mp = ( n + m ) p
Y al ser independientes: Var ( X + Y ) =Var ( X ) + Var (Y ) = npq + mpq = ( n + m ) pq.
b) Si k y c son constantes cualesquiera:
E
=
=
[ X ] knp
[kX ] kE
[W ] E=
Var
=
=
Var
( X ) k 2npq
(W ) Var
( kX ) k 2=
En cuanto a la variable Y= T + c :
E [T ]= E [Y + c ]= E [Y ] + c = mp + c
Var (T
=
c ) Var (Y
=
) Var (Y +=
) mpq
Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
217
p

58. Sean las variables aleatorias X  Bin ( n, p ) e Y  Bin  2n,
.
2

a) Comprueba que tienen la misma media.
b) ¿Cuál de las dos distribuciones tiene los datos menos dispersos respecto a su media?
a) En efecto, ambas variables tiene la misma media puesto que:
p
E=
n
np
[ X ] np E=
[Y ] 2=
2
b) Se procede a calcular la varianza de cada una de las variables:
Var (=
X ) np (1 − p )
Var (Y ) = 2n
Y como 1 − p < 1 −
p
p
p

 1 −  = np  1 − 
2
2
2

p
, resulta que:
2
Var ( X ) < Var (Y )
Por tanto, la distribución de la variable X tiene los datos menos dispersos respecto a su media.
59. Sea X una variable aleatoria cuya distribución es continua.
a) ¿Cuál es la media y la varianza de la distribución de la variable 2X?
b) ¿Y de la distribución de X + 2?
a) La esperanza o media de la variable Y = 2 X es:
=
E [Y ] E=
[2 X ] 2 E [ X ]
Para obtener la varianza de Y = 2 X se calcula en primer lugar E Y 2  :
=
E Y 2  E=
X 2 
E  X 2 
 4 4 Con lo que:
(
Var (Y ) =E Y 2  − ( E [Y ]) =4 2 4
E  X 2  − ( E [ X ]) = E  X 2  − ( E [ X ])
2
2
2
) =4 Var ( X )
Otra forma de verlo es mediante la siguiente propiedad de la varianza: Var ( aX + b ) =
a 2 Var ( X ) . Luego:
=
Var (Y ) Var
=
Var ( X ) 4 Var ( X )
( 2 X ) 22=
Por tanto, la esperanza de Y = 2 X es el doble de la esperanza de X y la varianza de Y = 2 X es cuatro veces
la varianza de X.
b) En cuanto a la media y la varianza de la variable W= X + 2 :
E [W=
] E [ X + 2=] E [ X ] + E [2=] E [ X ] + 2
Var ( X + 2 ) =
Var ( X )
218 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
PROBLEMAS
60. Según una encuesta de opinión se sabe que el 80 % de la población adolescente de una determinada
ciudad es seguidora de una serie de televisión. Se elige una muestra aleatoria de
225 adolescentes de esa ciudad. ¿Cuál es la probabilidad de que sigan la serie de televisión entre 170 y 190
adolescentes, incluyendo los extremos?
Sea la variable aleatoria X: “número de adolescentes, de los 225, que sigue la serie de televisión”. La distribución
de probabilidad de X es binomial, =
Bin ( n 225,
=
p 0,8 ) .
Para calcular la probabilidad que se pide, la distribución de X puede aproximarse por la de una variable
aleatoria Y con distribución normal de media y varianza respectivas:
µ = np = 225 ⋅ 0,8 = 180 σ2 = np (1 − p ) = 225 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2 = 36
De manera que la probabilidad de que, de los 225 adolescentes, sigan la serie al menos 170 y como mucho 190 se
obtiene efectuando la corrección por continuidad, tipificando y usando las tablas de la normal estándar:
190,5 − 180 
 169,5 − 180
≤Z≤ =
P (170 ≤ X ≤ 190 )  P (169,5 ≤=
Y ≤ 190,5 ) P 

36
36


= P ( −1,75 ≤ Z ≤ 1,75 ) = 2Φ (1,75 ) − 1 = 2 ⋅ 0,9599 − 1 = 0,9198 61. En el control de calidad de un gran lote de artículos manufacturados se estima que el 8 % de los artículos
tiene algún defecto. Si se examinan al azar 10 artículos del lote, calcula la probabilidad de que no se
obtendrá más de un artículo defectuoso:
a) Mediante la distribución binomial.
b) Mediante la aproximación normal a la distribución binomial.
c) Interpreta la diferencia obtenida en los resultados de los dos apartados anteriores.
Se considera la variable aleatoria X: “número de artículos, de los 10 examinados, que presentan algún defecto”.
La variable X tiene distribución de probabilidad binomial, Bin
=
=
p 0,08 ) .
( n 10,
a) La probabilidad de que no se obtendrá más de un artículo defectuoso, es decir, que como mucho X tome el
valor 1 es:
 10 
 10 
9
P ( X ≤ 1) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) =   0,9210 +   0,08 0,92
⋅
= 0, 4344 + 0,3777 = 0,8121
0
 
1
b) La distribución binomial de X, se puede aproximar por la distribución normal de una variable Y con media y
varianzas respectivas:
µ= np= 10 ⋅ 0,08= 0,8 σ2= np (1 − p =
) 10 ⋅ 0,08 ⋅ 0,92= 0,736
Entonces, efectuando la corrección por continuidad, tipificando y usando las tablas de la normal estándar:

1,5 − 0,8 
P ( X ≤ 1)  P (Y ≤ 1,5 ) = P  Z ≤
 = P ( Z ≤ 0,82 ) = 0,7939
0,736 

c) La diferencia observada en las probabilidades de los dos apartados anteriores es de aproximadamente
2 puntos porcentuales que son fundamentalmente debidos a que:
− El tamaño de la muestra (n = 10) no es suficientemente grande para que la aproximación sea fiable.
− El valor de la proporción p = 0,08 está muy alejado del valor p = 0,5.
− Además, puede comprobarse que np = 0,8 es claramente inferior a 5.
Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
219
62. En la zona comercial de la ciudad se sabe que el 54 % de las compras realizadas se pagan con tarjeta de
crédito. Si en un día cualquiera se realizan 250 compras:
a) ¿Cuál es el número esperado de las que no han sido pagadas con tarjeta de crédito?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hayan sido pagadas con tarjeta de crédito entre 130 y 145?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 115 no se paguen con tarjeta de crédito?
Sea la variable aleatoria X: “número de compras realizadas con tarjeta de crédito, de las 250 compras observadas”.
La variable X tiene distribución de probabilidad binomial, =
Bin ( n 250,
=
p 0,54 ) .
Dado el tamaño de la muestra (250 compras) y el valor de p, es factible aproximar los cálculos de las
probabilidades binomiales por los de una distribución de probabilidad normal:
2
Y ~N=
= 135, σ
=
250 ⋅ 0,54 ⋅ 0, 46
= 62,1)
( µ 250 ⋅ 0,54
a) El número esperado de las que no han sido pagadas con tarjeta de crédito es: 250 ⋅ (1 − 0,54 ) =
115.
b) Esta probabilidad se obtiene, aproximado por la distribución normal, aplicando la corrección por continuidad,
tipificando y usando las tablas de la normal estándar:
 129,5 − 135
145,5 − 135 
P (130 ≤ X ≤ 145 )  P (129,5 ≤ Y ≤ 145,5 ) = P 
≤Z≤
 = P ( −0,7 ≤ Z ≤ 1,33 ) =
62,1
62,1 

0,7 ) ) 0,9082 − 1 + 0,7580
Φ (1,33 ) − (1 − Φ (=
= 0,6662
c) Que más de 115 no se paguen con tarjeta de crédito equivale a que como mucho 135 (= 250 − 115) se paguen
con tarjeta de crédito. Es decir:

135,5 − 135 
P ( X ≤ 135 )  P (Y ≤ 135,5 ) =P  Z ≤
 =P ( Z ≤ 0,06 ) =0,5239
62,1 

63. En el último balance anual, las ventas de un comercio se han distribuido según una variable normal
N=
σ 0,8 ) , en millones de euros. Calcula la probabilidad de que:
( µ 3, 4,=
a) En un mes elegido al azar, las ventas superen los 4 millones de euros.
b) La diferencia de ventas entre dos meses elegidos al azar sea superior a 1 millón de euros.
c) Las ventas acumuladas de tres meses elegidos al azar superen los 12 millones de euros.
La variable aleatoria X: “ventas mensuales del comercio en millones de euros” tiene distribución:
N ( µ X = 3, 4, σ X 0,8
= )
a) En este caso, se pide calcular la probabilidad:
4 − 3, 4 

P ( X > 4) = P  Z >
 = P ( Z > 0,75 ) = 1 − Φ ( 0,75 ) = 1 − 0,7734 = 0,2266
0,8 

b) Si X1, X 2 representan las ventas de dos meses elegidos al azar, se pide P ( X1 − X 2 > 1) .
La distribución de probabilidad de la variable Y
= X1 − X 2 es normal, con media y varianza:
µY =µ X1 − µ 3, 4 − 3, 4 =0 y σY2 =σ2X1 + σ2X 2 =0,64 + 0,64 =1,28 ⇒ Y =X1 − X 2 ~ N ( µY =0, σY2 =1,28 ) X2 =
Entonces, se calcula:
 −1 − 0
1− 0
P ( X1 − X 2 < 1) = P ( −1 ≤ X1 − X 2 ≤ 1) = P 
≤Z≤
1,28
 1,28
= 2 ⋅ 0,8106 − 1 = 0,6212

 = P ( −0,88 < Z < 0,88 ) = 2Φ ( 0,88 ) − 1 =

Por tanto, P ( X1 − X 2 > 1) =1 − P ( X1 − X 2 ≤ 1) =1 − 0,6212 =0,3788.
220 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
c)
Sean X1, ,
X 2 X 3 las ventas de tres meses elegidos al azar, la distribución de la variable suma de los tres meses,
T, es normal con la media y varianza siguientes:
µT = µ X1 + µ X 2 + µ X3 = 3, 4 + 3, 4 + 3, 4 = 10,2 σT2 = σ2X 2 + σ2X 2 + σ2X3 = 0,64 + 0,64 + 0,64 = 1,92
De modo que la probabilidad de que T supere los 12 millones de euros es:

12 − 10,2 
P (T > 12 ) = P  Z >
 = P ( Z > 1,3 ) = 1 − Φ (1,3 ) = 1 − 0,9032 = 0,0968
1,92 

64. En el control de calidad de una máquina envasadora de botellas de vino de 750 cL se comprueba que la
cantidad media que contienen las botellas analizadas es 745 cL, con una desviación típica de 4 cL. Si solo
se admiten para la venta botellas que contengan entre 745 y 755 cL:
a) Calcula el porcentaje de botellas no admisibles que está produciendo la máquina envasadora.
b) Si la máquina se ajusta a una media de 750 cL y se mantiene la desviación típica en 4 cL, ¿cuál es el
porcentaje de botellas listas para su distribución?
c) Si la media se ajusta a 750 cL, ¿cuál debería ser la desviación típica para que el 99 % de las botellas fuera
admisible?
Se considera la variable aleatoria X: “cantidad, en cL, que contienen las botellas”. Se supone que la variable X
tiene distribución de probabilidad normal, X ~ N=
σ 4).
( µ 745,=
a) Se calcula el porcentaje de botellas que están dentro de los límites admisibles, es decir, la probabilidad de que
los valores de la variable X estén entre 745 y 755 cL:
755 − 745 
 745 − 745
P ( 745 < X < 755 ) =
P
<Z<
P ( 0 < Z < 2,5 ) =
Φ ( 2,5 ) − Φ ( 0 ) =
0,9938 − 0,5 =
0, 4938
=
4
4


Es decir, el 49,38 % de las botellas son admisibles y, por tanto, el 50,62 % no son admisibles.
σ 4).
b) Se procede como en el apartado anterior, pero ahora teniendo en cuenta que X ~ N=
( µ 750,=
755 − 750 
 745 − 750
P ( 745 < X < 755 ) =P 
<Z<
 =P ( −1,25 < Z < 1,25 ) =2Φ (1,25 ) − 1 =
4
4


= 2 ⋅ 0,8944 − 1 = 0,7888
El 78,88 % de las botellas están listas para su distribución.
c) En este caso, X ~ N=
( µ 750, σ ) , y se debe calcular la desviación típica para que el 99 % de las botellas sea
admisible. Es decir:
755 − 750 
5
 745 − 750
 −5
5
P ( 745 < X < 755 ) =P 
<Z<
< Z <  =2Φ   − 1
 =P 
σ
σ
σ


 σ
σ
De modo que igualando a 0,99 y usando las tablas de la distribución normal estándar, resulta:
5
5
5
2Φ  =
= 2,575 =
⇒ σ 1,9417
 − 1 0,99 ⇒ Φ =
  0,995 ⇒
σ
σ
σ
Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
221
65. Se planifica llevar a cabo una encuesta con pequeñas y medianas empresas de una determinada población.
Se elige una muestra aleatoria simple de empresas a partir del listado telefónico. Por experiencia, se sabe
que solo la mitad de las empresas con las que se contacta responden a la encuesta. Si se contacta con 150
empresas:
a) ¿Cuál es el número esperado de empresas que responderán a la encuesta?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo respondan 70 empresas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de empresas que responden a la encuesta sea superior a la media?
Sea X: “número de empresas, de las 150, que responden”. Dado que la mitad de las empresas responden, la
variable X tiene distribución binomial Bin
=
=
p 0,5 ) .
( n 150,
a) El número esperado de empresas que responderán es la esperanza matemática de la variable X:
E [ X ] = np = 150 ⋅ 0,5 = 75
b) Para el cálculo de esta probabilidad, se aproxima la distribución de la variable X por la de una variable Y con
2
distribución normal de media µ =75 y varianza σ=
npq= 150 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5= 37,5. De manera que:

70,5 − 75 
P ( X ≤ 70 )  P (Y ≤ 70,5 ) = P  Z ≤
 = P ( Z ≤ −0,73 ) = 1 − Φ ( 0,73 ) = 1 − 0,7673 = 0,2327
37,5 

c) Si se tiene en cuenta la variable Y del apartado anterior, se pide calcular:

75,5 − 75 
P ( X > 75 )  P (Y ≥ 75,5 ) =
P  Z ≥
P ( Z ≥ 0,08 ) =
1 − Φ ( 0,08 ) =
1 − 0,5319 =
0, 4681
=
37,5 

66. Una moneda está trucada de modo que la probabilidad de obtener cara es 0,7. Si se lanza 10 veces la
moneda, calcula:
a) La probabilidad de obtener al menos 8 caras.
b) La probabilidad de obtener menos de 5 caras.
c) El número medio de caras y la desviación típica de la variable X: “número de caras en los 10 lanzamientos”.
Sea la variable aleatoria X: “número de veces que se obtiene cara en los 10 lanzamientos”. La distribución de X es
binomial, Bin
=
=
p 0,7 ) .
( n 10,
a) La probabilidad de obtener al menos 8 caras es:
 10 
 10 
 10  10
8
2
9
P ( X ≥ 8) =
P(X =
8) + P ( X =
9) + P ( X =
10 ) =
0,3828
 8  0,7 ⋅ 0,3 +  9  0,7 ⋅ 0,3 +  10  0,7 =
 
 
 
b) La probabilidad de obtener menos de 5 caras es:
P ( X < 5) =
P(X =
0 ) + P ( X =+
1) P ( X =
2) + P ( X =
3) + P ( X =
4) =
 10 
 10 
 10 
 10 
 10 
0,36 =   0,310 +   0,7 0,3
⋅ 9 +   0,72 ⋅ 0,38 +   0,73 ⋅ 0,37 +   0,74 ⋅=
0
1
2
3
 
 
 
 
4
= 0,0000 + 0,0001 + 0,0014 + 0,0090 + 0,0368 = 0,0473
c) El número medio de caras o esperanza matemática de la variable X es:
E [ X ] =np =10 ⋅ 0,7 =7
La varianza y la desviación típica de X son, respectivamente:
Var ( X =
) npq= 10 ⋅ 0,7 ⋅ 0,3= 2,1 ⇒ σ=
222 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
2,1= 1, 4491
67. Un examen tipo test de una oposición consta de 300 preguntas, cada una de ellas con cuatro respuestas
posibles y de las cuales solo una es correcta. Un opositor que no ha preparado el examen, responde al
azar.
a) Calcula el número esperado de respuestas que tendrá correctas.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que responda correctamente 100 o más preguntas?
La variable aleatoria X: “número de respuestas correctas, de las 300 preguntas” tiene distribución de probabilidad
binomial, =
Bin ( n 300,
=
p 0,25 ) , ya que la probabilidad de acertar, cuando se responde al azar, una de las 4
posibles respuestas es 0,25.
a) El número esperado de respuestas correctas si se responde al azar es: E [ X ] =np =300 ⋅ 0,25 =75.
b) Para calcular la probabilidad de responder correctamente a más de 100 preguntas, se aproxima la distribución
de probabilidad de la variable binomial X por la de una variable Y con distribución normal:
2
Y ~ N (=
µ 75, σ=
300 ⋅ 0,25 ⋅ 0,75
= 56,25 )
De manera que, aplicando la corrección por continuidad, tipificando y usando la tabla de la normal estándar:

99,5 − 75 
P ( X ≥ 100 )  P (Y ≥ 99,5 ) = P  Z ≥
 = P ( Z ≥ 3,27 ) = 1 − Φ ( 3,27 ) = 1 − 0,9995 = 0,0005
56,25 

68. *La pensión de los jubilados de una región es una variable con distribución normal de media 750 € y
desviación típica 100 €.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un jubilado de esa región tenga una pensión de, al menos, 850 €?
b) Para una muestra de 200 jubilados de esa región, ¿cuál es la estimación del número de los que tienen una
pensión entre 600 y 800 €?
c) Para la muestra de 200 jubilados, ¿cuál es la probabilidad de que más de 40 tengan una pensión de al menos
850 €?
Sea X: “pensión, en euros, de los jubilados”, variable aleatoria con distribución N=
σ 100 ) .
( µ 750,=
a) Esta probabilidad se calcula tipificando y utilizando las tablas de la normal estándar:
850 − 750 

P ( X ≥ 850 ) = P  Z ≥
 = P ( Z ≥ 1) = 1 − Φ (1) = 1 − 0,8413 = 0,1587
100


b) Se calcula la probabilidad de que la pensión de un jubilado elegido al azar esté entre 600 y 800 €:
800 − 750 
 600 − 750
<Z<
Φ ( 0,5 ) − (1 − Φ (1,5 ) ) =
P ( 600 < X < 800 ) =
P
P ( −1,5 < Z < 0,5 ) =
=
100
 100

= 0,6915 − 1 + 0,9332
= 0,6247
De modo que el 62,47 % de los jubilados cobra una pensión entre 600 y 800 €. Por tanto, como el 62,47 % de
200 es 124,94, puede decirse que, de la muestra aleatoria de 200, unos 125 jubilados tienen una pensión entre
600 y 800 €.
c) La probabilidad de que un jubilado elegido al azar tenga una pensión de al menos 850 € es p = 0,1587 ,
calculada en el apartado a). Sea ahora la variable aleatoria Y: “número de jubilados, de los 200, que cobra una
pensión de al menos 850 €”. La distribución de probabilidad de la variable Y es binomial:
Y ~ =
B
in ( n 200,
=
p 0,1587 )
Debe calcularse la probabilidad de que la variable Y sea mayor que 40. Para ello, se aproxima la distribución de
probabilidad de Y por la de una variable T con distribución normal:
2
T ~ N (µ=
200 ⋅ 0,1587
= 31,74, σ=
200 ⋅ 0,1587 ⋅ (1 − 0,1587=
) 26,7029 )
T
De esta manera:

40,5 − 31,74 
P (Y > 40 )  P (T ≥ 40,5 ) = P  Z ≥
 = P ( Z ≥ 1,7 ) = 1 − Φ (1,7 ) = 1 − 0,9554 = 0,0446
26,7029 

Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
223
69. *El tiempo de atención a un paciente, en una consulta médica, tiene distribución normal de media
10 minutos y desviación típica igual a 3 minutos.
a) Si hay citados 5 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que la consulta de al menos uno de ellos dure menos de
5 minutos?
b) Si hay citados 8 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que dos de ellos sean atendidos en más de 12 minutos?
c) Si hay citados 300 pacientes, ¿cuál es la estimación del número de pacientes cuya consulta durará más de 12
minutos?
Sea la variable aleatoria X: “tiempo, en minutos, de atención a un paciente en una consulta médica”. La distribución
de X es normal, X ~ N (=
µ 10, =
σ 3 ) .
a) La probabilidad de que la consulta de un paciente elegido al azar dure menos de 5 minutos es:
5 − 10 

P ( X < 5) = P  Z <
 = P ( Z < −1,67 ) = 1 − Φ (1,67 ) = 1 − 0,9525 = 0,0475
3 

Sea la variable Y: “número de pacientes, de los 5, que son atendidos en menos de 5 minutos”. La distribución
de probabilidad de Y es binomial, Y ~ Bin=
p 0,0475 ) .
( n 5,=
Por tanto, la probabilidad de que la consulta de al menos uno de los 5 dure menos de 5 minutos es:
5
P (Y ≥ 1) =1 − P (Y =0 ) =1 −   0,95255 =0,2160
0
b) La probabilidad de que la consulta de un paciente elegido al azar dure más de 12 minutos es:
12 − 10 

P ( X > 12 ) = P  Z >
 = P ( Z > 0,67 ) = 1 − Φ ( 0,67 ) = 1 − 0,7486 = 0,2514
3 

Sea la variable T: “número de pacientes, de los 8, que son atendidos en más de 12 minutos”. La distribución de
probabilidad de T es binomial, T ~B
in=
p 0,2514 ) .
( n 8,=
Por tanto, la probabilidad de que la consulta de 2 de los 8 pacientes dure más de 12 minutos es:
8
6
2
P (Y =
2) =
0,3114
( − 0,2514 ) =
 2  0,2514 1
 
c) Elegido un paciente al azar, la probabilidad de que su consulta dure más de 12 minutos es:
12 − 10 

P ( X > 12 ) = P  Z >
 = P ( Z > 0,67 ) = 1 − Φ ( 0,67 ) = 1 − 0,7486 = 0,2514
3 

Es decir, el 25,14 % de las consultas duran más de 12 minutos. Como el 25,14 % de 300 es 75,42,
aproximadamente 75 pacientes tendrán una consulta de más de 12 minutos.
224 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
70. Una máquina produce arandelas de acero inoxidable. La medida del diámetro interior sigue una
distribución normal de media μ = 16 mm y desviación típica σ = 0,3 mm. Las referencias especifican que
solo son admisibles las arandelas con un diámetro interior entre 14,85 y 16,5 mm.
a) Calcula el porcentaje de arandelas producidas que cumplen las especificaciones.
b) Si se eligen 300 arandelas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que más de 210 sean admisibles?
c) Calcula el diámetro máximo que pueden tener las arandelas para que sean admisibles el 98 % de ellas.
Se considera la variable X: “diámetro interior, en mm, de las arandelas”. La distribución de probabilidad de X es:
X ~ N (=
µ 16, =
σ 0,3 )
a) La probabilidad de que una arandela elegida al azar sea admisible es:
16,5 − 16 
 14,85 − 16
P (14,85 ≤ X ≤ 16,5 ) =
P
P ( −3,83 ≤ Z ≤ 1,67 ) =
≤Z≤
Φ (1,67 ) − (1 − Φ ( 3,83 ) ) =
=
0,3
0,3 

= 0,9525 − 1 + 0,9999
= 0,9524
De manera que el 95,24 % de las arandelas producidas por esta máquina son admisibles.
b) La variable aleatoria Y: “número de arandelas, de las 300, que son admisibles” tiene una distribución de
probabilidad binomial, con la probabilidad de que una arandela sea admisible obtenida en el apartado
anterior, Y ~ =
Bin ( n 300,
=
p 0,9524 ) . Para calcular la probabilidad de que más de 210 sean admisibles se
aproxima la distribución de Y por la de una variable normal T cuya media y varianza son respectivamente:
np =
300 ⋅ 0,9524 =
285,72 σ2 =
npq =
300 ⋅ 0,9524 ⋅ 0,0476 =
13,6003
µ=
Utilizando la corrección por continuidad:

210,5 − 285,72 
P (Y > 210 )  P (T ≥ 210,5
4) 1
=
=
) P  Z ≥
 P ( Z ≥ −20,=
13,6003 

c) Se quiere hallar el diámetro máximo, k, de tal forma que P (14,85 ≤ X ≤ k ) =
0,98. Luego:
k − 16 
k − 16 
 14,85 − 16

≤Z≤
0,98 ⇒ P  −3,83 ≤ Z ≤
P (14,85 ≤ X ≤ k ) =
P
=
=
0,3 
0,3 
0,3


k − 16 
 k − 16 
Φ
=
=
) 0,98 ⇒ Φ 
) ) 0,98 ⇒
 − Φ ( −3,83
 − (1 − Φ ( 3,83
 0,3 
 0,3 
k − 16 
k − 16
 k − 16 
Φ
=
=
= 2,06 ⇒=
k 16,618
) 0,98 ⇒ Φ 
 − (1 − 0,9999
 0,9801 ⇒
0,3
 0,3 
 0,3 
Luego el diámetro máximo exigido que pueden tener las arandelas es de 16,618 mm.
71. Un examen de tipo test consta de 100 preguntas, cada una de las cuales va acompañada por 5 respuestas
de las que solo una es correcta. Si un estudiante contesta al azar, ¿qué es más probable, que el número de
respuestas acertadas sea menor que 15, o que esté entre 20 y 30?
Sea X: “número de respuestas acertadas, de las 100 preguntas”. Dado que solo una de las 5 posibles respuestas
es correcta, la probabilidad de acertar una respondiendo al azar es p = 0,2 . Por tanto, X es una variable aleatoria
con distribución de probabilidad binomial, X ~ Bin
=
=
p 0,2 ) .
( n 100,
La distribución de X puede aproximarse por la de una variable T con distribución normal:
T ~ N ( µ = 100 ⋅ 0,2 = 20, σ2 = 100 ⋅ 0,20 ⋅ 0,8 = 16 )
De esta manera, la probabilidad de que el número de respuestas acertadas sea inferior a 15 es:
14,5 − 20 

P ( X < 15 )  P (T ≤ 14,5 ) = P  Z ≤
 = P ( Z ≤ −1,38 ) = 1 − Φ (1,38 ) = 1 − 0,9162 = 0,0838
4


Mientras que la probabilidad de que el número de respuestas esté entre 20 y 30 es:
30,5 − 20 
 19,5 − 20
P ( 20 ≤ X ≤ 30 )  P (19,5 ≤ T ≤ 30,5 ) = P 
≤Z≤
 = P ( −0,13 ≤ Z ≤ 2,63 ) =
4
4


= Φ ( 2,63 ) − (1 − Φ ( 0,13 ) ) 0,9957
=
− 1 + 0,5517 = 0,5474
Por tanto, es más probable que el número de respuestas acertadas esté entre 20 y 30.
Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
225
72. Las puntuaciones obtenidas en una prueba de aptitud de una empresa multinacional se distribuyen
normalmente con media 76 y desviación típica 15. Calcula:
a) La puntuación por debajo de la cual se sitúan el 10 % de los peores resultados.
b) La puntuación por encima de la cual se sitúan el 15 % de los mejores.
La variable aleatoria X: “puntuaciones obtenidas en la prueba de aptitud” es normal con N (=
µ 76, =
σ 15 ) .
a) Sea a la puntuación por debajo de la cual está el 10% de los resultados más bajos: P ( X < a ) =
0,1.
Tipificando la expresión y utilizando la tabla de la distribución normal estándar:
a − 76 
a − 76

 a − 76 
P Z <
a 56,8
=
=
= −1,28 ⇒ =
 0,1 ⇒ Φ 
 0,1 ⇒
15 
15

 15 
0,15.
b) Sea b la puntuación por encima de la cual está el 15 % de los resultados más altos: P ( X > b ) =
Tipificando la expresión y utilizando la tabla de la distribución normal estándar:
b − 76 
b − 76

 b − 76 
 b − 76 
P Z >
0,15 ⇒ 1 − Φ 
0,15 ⇒ Φ 
0,85 ⇒
=
1,037 ⇒ b =
91,555
=
=
=
15
15
15
15






73. Según un estudio, el tiempo que tardan los estudiantes de cierta titulación universitaria en completar el
grado sigue una distribución normal, de media 5,6 años y desviación típica 0,5 años.
a) ¿Qué proporción de estudiantes completa el grado en 5 años o menos?
b) ¿Cuánto tiempo ha tardado un titulado en completar el grado, si el 91,92 % de los titulados ha necesitado
menos tiempo que él?
La variable aleatoria X: “tiempo, en años, que tardan los estudiantes en completar el grado en cuestión” tiene una
distribución normal N =
σ 0,5 ) .
( µ 5,6,=
a) Debe calcularse la probabilidad de que la variable X sean inferior o igual a 5 años:
5 − 5,6 

P ( X ≤ 5) = P  Z ≤
 = P ( Z ≤ −1,2 ) = 1 − Φ (1,2 ) = 1 − 0,8849 = 0,1151
0,5 

Por tanto, la proporción de estudiantes que completa el grado en 5 años o menos es
1151
.
10 000
b) Sea a el tiempo que ha tardado dicho titulado en completar el grado. Si el 91,92% ha tardado en completar el
grado menos que él, se tiene que P ( X < a ) =
0,9192.
Tipificando y utilizando la tabla de la distribución normal se obtiene el valor de a:
a − 5,6 
a − 5,6

 a − 5,6 
P Z < =
⇒ a 6,3
 0,9192 ⇒ Φ  =
 0,9192 ⇒ = 1, 4=
0,5 
0,5

 0,5 
Luego el titulado ha tardado 6,3 años en completar el grado.
226 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
74. El porcentaje de vacas que contraen una enfermedad después de suministrarles una determinada vacuna
es del 2 %. En una granja se vacuna a 600 vacas.
a) Halla el número esperado de animales vacunados que no contraerán la enfermedad.
b) Halla la probabilidad de que, como máximo, enfermen 20 vacas que ya han sido vacunadas.
Se considera la variable aleatoria X: “número de vacas, de las 600 vacunadas, que contraen la enfermedad”.
La variable X tiene distribución binominal, =
Bin ( n 600,
=
p 0,02 ) .
a) El número esperado de vacas que contraerán la enfermedad es la esperanza de X: E [ X ] = 600 ⋅ 0,02 =12
Por lo que el número esperado de vacas que no contraerán la enfermedad es 600 − 12 =
588.
Nota: Este número se podría haber obtenido mediante el producto 600 ⋅ 0,98 =
588.
b) Debe calcularse la probabilidad que la variable X tome un valor inferior o igual a 20. Para ello, se aproxima la
distribución de probabilidad de X por la de una variable Y con distribución normal de media y varianza:
2
=
µ 600 ⋅ 0,02
= 12 σ
=
= 11,76
600 ⋅ 0,02 ⋅ 0,98
De manera que la probabilidad pedida se obtiene utilizando la corrección por continuidad, tipificando y usando
la tabla de la distribución normal estándar es:

20,5 − 12 
P ( X ≤ 20 )  P (Y ≤ 20,5 ) =P  Z ≤
 =P ( Z ≤ 2, 48 ) =0,9934
11, 76 

75. Según un estudio realizado con los tiques de compra de un hipermercado, el gasto que hicieron los
clientes un día determinado se ajustaba a una distribución normal de media 35 € y desviación típica 10 €.
Halla:
a) La proporción de clientes que gastaron entre 20 y 40 €.
b) El gasto que realizó el cliente C, si solo hubo un 10 % de clientes que gastaron más que él.
La variable aleatoria X: “gasto, en euros, de los clientes en el día elegido” tiene una distribución de probabilidad
normal, N (=
µ 35, =
σ 10 ) .
a) La probabilidad de que el gasto se encuentre entre 20 y 40 euros es:
40 − 35 
 20 − 35
≤Z≤
Φ ( 0,5 ) − (1 − Φ (1,5 ) ) =
P ( 20 ≤ X ≤ 40 ) =
P
P ( −1,5 ≤ Z ≤ 0,5 ) =
=
10
10 

= 0,6915 − 1 + 0,9332
= 0,6247
b) Sea c el gasto que realizó el cliente C. Puesto que el 10 % de los clientes gastó más que él, se tiene que:
P ( X > c ) = 0,1 ⇒ P ( X < c ) = 0,9
Tipificando la expresión y usando la tabla de la distribución normal estándar:
c − 35 
c − 35

P Z <
= 1,28 ⇒ c = 47,8
 = 0,9 ⇒
10 
10

Luego el gasto que hizo dicho cliente fue de 47,8 €.
Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
227
76. Los salarios netos, es decir, después de descontar impuestos, que reciben los trabajadores de una región
siguen una variable con distribución normal de media igual a 950 € y desviación típica igual a
125 €.
a) ¿Cuál es probabilidad de que, elegido un trabajador, su salario neto sea de, al menos, 800 €?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que, elegido un trabajador, su salario neto sea mayor que 700 € y, como máximo,
igual a 1100 €?
c) Si se seleccionan 675 trabajadores, ¿cuántos se espera que tengan un salario neto de, al menos, 1000 €?
σ 125 ) .
La variable X: “salario neto, en euros, de los trabajadores de la región” tiene distribución N=
( µ 950,=
a) La probabilidad de que un trabajador elegido al azar tenga un salario neto de al menos 800 euros es:
800 − 950 

P ( X ≥ 800 ) = P  Z ≥
 = P ( Z ≥ −1,2 ) = Φ (1,2 ) = 0,8849
125


b) En este caso, debe calcularse la probabilidad siguiente:
1100 − 950 
 700 − 950
P ( 700 < X ≤ 1100 ) =
P
P ( −2 < Z ≤ 1,2 ) =
<Z≤
Φ (1,2 ) − (1 − Φ ( 2 ) ) =
=
125
 125

= 0,8849 − 1 + 0,9772
= 0,8621
c) Se calcula la probabilidad de que un trabajador elegido al azar tenga un salario neto de al menos 1000 €:
1000 − 950 

P ( X > 1000 ) =
P Z >
P ( Z > 0, 4 ) =
1 − P ( Z ≤ 0, 4 ) =
1 − 0,6554 =
0,3446
=
125


De manera que si se seleccionan aleatoriamente 675 trabajadores, el número esperado de ellos que tiene un
232,6  233 trabajadores.
salario de al menos 1000 € es de 675 ⋅ 0,3446 =
77. Una urna contiene dos bolas rojas y tres verdes. De la urna se extraen 6 bolas una a una con
reemplazamiento. Si se llama X al número de bolas verdes extraídas:
a) Describe la distribución de probabilidad de X.
b) Calcula la media y la varianza de X.
c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos dos bolas verdes?
a) Dado que las extracciones son con reemplazamiento, en cada extracción la probabilidad de obtener bola verde
es la misma:
p=
3
= 0,6
5
Cada extracción es una variable de Bernoulli de parámetro p = 0,6, Ber ( p = 0,6 ) . Las extracciones son
independientes, por tanto, la distribución de la variable aleatoria X: “número de bolas verdes extraídas en los
seis intentos” es binomial, X ~B
in=
p 0,6 ) .
( n 6,=
b) La media o esperanza matemática de X y su varianza son, respectivamente:
E [ X ] =6 ⋅ 0,6 =3,6 Var ( X ) =6 ⋅ 0,6 ⋅ 0, 4 =
1, 44
c) La probabilidad de que la variable X tome un valor igual o superior a 2 es:
P ( X ≥ 2 ) =1 − P ( X < 2 ) =1 − ( P ( X =0 ) + P ( X =1) )
Se procede a calcular las siguientes probabilidades:
6
6
5
P ( X= 0=
0,0041 P ( X= 1=
0,0369
) 0, 4=
)   0,6 0, 4=
 1
De modo que:
P ( X ≥ 2 ) =1 − ( 0,0041 + 0,0369 ) =0,959
228 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
78. En un concurso de televisión se debe responder a 10 preguntas, cada una de las cuales tiene 4 posibles
respuestas y solo una de ellas es correcta. Para ganar el premio es preciso contestar correctamente al
menos a 6 preguntas. Calcula la probabilidad de que un concursante gane el premio si:
a) Contesta al azar a todas las preguntas.
b) Sabe seguro la mitad de las respuestas.
Si se responde al azar, la probabilidad de acertar con la respuesta correcta de una pregunta es p = 0,25 . Como el
concurso consta de 10 preguntas (se supone que independientes), la variable X: “número de preguntas acertadas,
=
=
p 0,25 ) .
de las 10” tiene una distribución binomial, X ~ Bin
( n 10,
a) Para ganar, el concursante debe acertar al menos a 6 preguntas ( X ≥ 6) , de modo que la probabilidad de que
gane el premio si contesta a todas las preguntas al azar es:
6) + P ( X =
7) + P ( X =
8) + P ( X =
9) + P ( X =
10 ) =
P ( X ≥ 6) =
P(X =
 10 
 10 
 10 
 10 
 10 
=   0,256 ⋅ 0,75 4 +   0,257 ⋅ 0,753 +   0,258 ⋅ 0,752 +   0259 0,75
+   0,2510 =
⋅
6
7
8
9
 10 
= 0,0162 + 0,0031 + 0,0004 + 0,0000 + 0,0000 = 0,0197
b) En este caso, como sabe con seguridad 5 de las 10 preguntas, se considera la variable Y: “número de
preguntas acertadas, de las 5 que no sabe” cuya distribución es binomial, Y ~ Bin=
p 0,25 ) .
( n 5,=
Y, para ganar el concurso debe acertar al menos una de las cinco que no sabe, cuya probabilidad es:
P (Y ≥ 1) =1 − P (Y < 1) =1 − P (Y =0 ) =1 − 0,755 =0,7627
79. *El tiempo de un usuario en ser atendido en una ventanilla sigue una normal de media 8 minutos con una
desviación típica de 2,5 minutos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario tarde entre 5 y 10 minutos?
b) ¿Cuánto tiempo emplea un usuario si el 80 % de los clientes tarda menos que él?
c) Si en la cola hay 24 usuarios, ¿cuántos de ellos se espera que tarden más de 8 minutos?
La variable aleatoria X: “tiempo de espera en ventanilla, en minutos,” tiene una distribución N ( µ= 8, σ= 2,5 ) .
a) Para calcular esta probabilidad, se tipifica y se consulta la tabla de la distribución normal estándar:
10 − 8 
5−8
P ( 5 < X < 10 ) =
P
P ( −1,2 < Z < 0,8 ) =
<Z<
Φ ( 0,8 ) − (1 − Φ (1,2 ) ) =
=
2,5 
 2,5
= 0,7881 − 1 + 0,8849
= 0,6730
b) Sea t el tiempo que este usuario emplea en ventanilla. Si el 80 % de los clientes emplea menos tiempo que él,
entonces P ( X < t ) =
0,8. Tipificando y utilizando la tabla de la normal estándar:
t −8
t −8

t −8
P Z <
t 10,1 minutos
=
=
= 0,84 ⇒=
 0,8 ⇒ Φ 
 0,8 ⇒
2,5 
2,5

 2,5 
c) Se considera la variable Y: “número de usuarios, de los 24, que esperen más de 8 minutos”, que tiene una
distribución de probabilidad binomial, Y ~ Bin
=
=
p 0,5 ) , donde p= P ( X > 8 )= P ( Z > 0 )= 0,5.
( n 24,
El número esperado de usuarios que tardará más de 8 minutos en ser atendido, es la esperanza matemática de
la variable Y:
E [Y ] =24 ⋅ 0,5 =12 usuarios
Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
229
80. Las cápsulas de café de una determinada marca contienen una cantidad que sigue una distribución normal
de media 30 g y desviación típica 1,5 g. Calcula el porcentaje de cápsulas que contienen una cantidad:
a) Superior a 32 g.
b) Inferior a 27 g.
c) Se considera que una cápsula es admisible si tiene entre 27 y 33 gramos de café.
I. Si elegimos al azar 10 cápsulas, calcula la probabilidad de que más de 8 sean admisibles.
II. Si elegimos 100 cápsulas, calcula la probabilidad de que más de 90 sean admisibles.
La variable aleatoria X: “contenido, en gramos, de las cápsulas de café” tiene distribución de probabilidad normal:
X ~ N (=
µ 30, =
σ 1,5 )
a) Se calcula la probabilidad de que una cápsula elegida al azar supere los 32 gramos de café:
32 − 30 

P ( X > 32 ) = P  Z >
 = P ( Z > 1,33 ) = 1 − Φ (1,33 ) = 1 − 0,9082 = 0,0918
1,5 

Es decir, el 9,18 % de las cápsulas contienen una cantidad superior a 32 gramos.
b) Se calcula la probabilidad de que una cápsula elegida al azar contenga menos de 27 gramos de café:
27 − 30 

P ( X < 27 ) = P  Z <
 = P ( Z < −2 ) = 1 − Φ ( 2 ) = 1 − 0,9772 = 0,0228
1,5 

Es decir, el 2,28 % de las cápsulas contienen una cantidad inferior a 27 gramos.
c) La probabilidad de que una cápsula elegida al azar sea admisible es:
33 − 30 
 27 − 30
<Z<
P ( 27 < X < 33 ) = P 
 = P ( −2 < Z < 2 ) = 2Φ ( 2 ) − 1 = 2 ⋅ 0,9772 − 1 = 0,9544
1,5 
 1,5
I. Se considera, ahora, la variable Y: “número de cápsulas admisibles, de las 10 elegidas al azar”.
La distribución de Y es binomial, Y ~ Bin
=
=
p 0,9544 ) , de manera que la probabilidad de que más de
( n 10,
8 sean admisibles es:
 10 
 10 
⋅ ( − 0,9544 ) +   0,954410 = 0,2996 + 0,6271 = 0,9267
P (Y > 8 ) = P (Y = 9 ) + P (Y = 10 ) =   0,95449 1
9
 
 10 
II. Si se eligen 100 cápsulas, la variable T: “número de cápsulas que son admisibles, de las 100 elegidas al
azar” tiene distribución de probabilidad binomial, T ~ Bin
=
=
p 0,9544 ) .
( n 100,
Para calcular la probabilidad de que más de 90, de las 100, sean admisibles, se puede proceder
directamente calculando las probabilidades binomiales o aproximando la distribución de T por la de una
variable W con distribución normal:
2
W ~ N (=
µ 100 ⋅ 0,9544
= 95, 44, σ=
100 ⋅ 0,9544 ⋅ (1 − 0,9544
=
) 4,3521)
De modo que:

90,5 − 95, 44 
P (T > 90 )  P (W ≥ 90,5 ) = P  Z ≥
 = P ( Z ≥ −2,37 ) = Φ ( 2,37 ) = 0,9911
4,3521 

230 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
81. La probabilidad de que se entregue un cheque sin fondos en una entidad bancaria es 0,14. Si en dicha
entidad se reciben 900 cheques en un mes, calcula:
a) El número esperado de cheques sin fondos.
b) La probabilidad de que se entreguen más de 110 cheques sin fondos en ese mes
c) ¿Cuántos cheques sin fondos se entregarán ese mes, como máximo, con una probabilidad del 90 %?
Sea la variable aleatoria X: “número de cheques sin fondos, de los 900”. La distribución de probabilidad de la
variable X es binomial, X ~ =
Bin ( n 900,
=
p 0,14 ) .
a) El número esperado de cheques sin fondos es la esperanza matemática de la variable X:
E [ X ] = 900 ⋅ 0,14 =126
b) Para calcular esta probabilidad se aproxima la distribución de la variable X por la de una variable Y con
distribución normal de media y varianza respectivas:
2
=
µ 900 ⋅ 0,14
= 126 σ
=
900 ⋅ 0,14 ⋅ 0,86
= 108,36
De esta manera:

110,5 − 126 
P ( X > 110 )  P (Y ≥ 110,5 ) = P  Z ≥
 = P ( Z ≥ −1, 49 ) = Φ (1, 49 ) = 0,9319
108,36 

c) Sea k el número de cheques sin fondo que se entregarán como máximo con probabilidad 0,9. Entonces:

k + 0,5 − 126 
k − 125,5
P ( X ≤ k )  P (Y ≤ k + 0,5 )= P  Z ≤
= 1,28 ⇒ k = 138,82
= 0,9 ⇒
108,36
108,36


Es decir, con probabilidad 0,9, se entregarán como máximo aproximadamente 139 cheques sin fondos.
82. *El programa de noticias del fin semana de una determinada cadena de televisión es seguido por el 40 % de
la audiencia. Se ha seleccionado una muestra aleatoria de 1500 personas. Calcula:
a) La probabilidad de que entre 550 y 700 personas vean el programa de noticias del fin de semana en dicha
cadena.
b) El valor de la constante k, de tal manera que el 95 % de espectadores del programa esté comprendido en el
intervalo ( 600 − k, 600 + k ) .
La probabilidad de que una persona elegida al azar siga el programa de noticias de fin de semana de la cadena de
televisión es p = 0, 4 . Por lo que la variable aleatoria X: “número de personas, de las 1500, que ven el programa de
Bin ( n 1500,
=
p 0, 4 ) .
noticias de fin de semana” tiene distribución binomial, X ~=
Para el cálculo de probabilidades, la distribución de probabilidad de X puede aproximarse por la de una variable T
0, 4 600,=
0,6 360 ) .
σ2 1500 ⋅ 0, 4 ⋅ =
con distribución normal: T ~ N=
( µ 1500 ⋅ =
a) Para calcular esta probabilidad se procede de la siguiente manera:
700,5 − 600 
 549,5 − 600
≤Z≤
P ( 550 ≤ X ≤ 700 )  P ( 549,5 ≤ T ≤ 700,5 ) = P 
 = P ( −2,66 ≤ Z ≤ 5,3 ) =
360
360


= Φ ( 5,3 ) − (1 − Φ ( 2,66 ) ) = 1 − 1 + 0,9961 = 0,9961
b) En este caso:
600,5 + k − 600 
 599,5 − k − 600
P ( 600 − k ≤ X ≤ 600 + k )  P ( 599,5 − k ≤=
T ≤ 600,5 + k ) P 
≤Z≤ =

360
360


0,5 + k 
 −0,5 − k
 0,5 + k 
=P 
≤Z≤
Φ
 =2 1
−
360 
 360
 360 
De manera que, igualando esta probabilidad a 0,95 y usando la tabla de la distribución normal estándar:
0,5 + k
 0,5 + k 
 0,5 + k 
2 1
Φ
−
0,95 ⇒ Φ 
=
= 1,96 ⇒=
k 36,69
=
 0,975 ⇒
360
 360 
 360 
Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
231
83. La probabilidad de romper una galleta al ser envasada es el 1 %. Si en un envase hay 10 galletas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna galleta rota debido a la operación de envasado?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una galleta esté rota debido a la operación de envasado?
La variable aleatoria X: “número de galletas rotas, de las 10 envasadas (al azar)” tiene distribución de probabilidad
binomial, X ~ Bin
=
=
p 0,01) .
( n 10,
a) La probabilidad de que no haya ninguna galleta rota es:
P(X
= 0=
) 0,9910= 0,9044
b) La probabilidad que se pide es la de que la variable X tome un valor igual o superior a 1:
P ( X ≥ 1) =1 − P ( X =0 ) =1 − 0,9044 =0,0956
84. En un reconocimiento médico a los trabajadores de una empresa, la media de la presión arterial sistólica se
situó en 122 mm de Hg con una varianza de 121 para los hombres y de 118 de media con una varianza de
100 para las mujeres. Si se supone que la presión arterial sistólica tiene distribución normal, y que valores
por encima de 140 mm de Hg significa riesgo de hipertensión:
a) ¿Cuál es el porcentaje de hombres en riesgo de hipertensión? ¿Y el porcentaje de mujeres?
b) Si se eligen al azar un hombre y una mujer de esta empresa, ¿cuál es la probabilidad de que la tensión arterial
sistólica de la mujer sea más alta?
c) Si las varianzas se mantienen en su actual valor, ¿cuál debería ser el valor medio de la presión arterial de cada
colectivo, para que solo el 5 % esté en riesgo de hipertensión?
Se consideran las variables aleatorias con sus respectivas distribuciones de probabilidad:
2
122, σ=
121) .
X: “presión arterial sistólica, en mm de Hg, para los hombres”, X ~ N ( µ=
X
X
2
118, σ=
100 ) .
Y: “presión arterial sistólica, en mm de Hg, para las mujeres”, Y ~ N ( µ=
Y
X
a) Elegidos un hombre y una mujer al azar, se calculan las probabilidades respectivas de que un hombre y una
mujer tengan la presión arterial sistólica por encima de 140 mm de Hg:
140 − 122 

P ( X > 140 ) = P  Z >
 = P ( Z > 1,64 ) = 1 − Φ (1,64 ) = 1 − 0,9495 = 0,0505
11


140 − 118 

P (Y > 140 ) = P  Z >
 = P ( Z > 2,2 ) = 1 − Φ ( 2,2 ) = 1 − 0,9861 = 0,0139
10


Es decir, el 5,05 % de los hombres y el 1,39 % de las mujeres de la empresa están en riesgo de hipertensión.
b) Debe calcularse la probabilidad de que la variable X sea menor que la variable Y. La distribución de
probabilidad de la variable X − Y también es normal con la siguiente media y varianza:
µ X −Y = µ X − µY = 4 σ2X −Y = σ2X + σY2 = 221
De esta forma:
0−4 

P ( X < Y ) = P ( X − Y < 0) = P  Z <
 = P ( Z < −0,27 ) = 1 − Φ ( 0,27 ) = 1 − 0,6064 = 0,3936
221 

232 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
c)
En el caso de los hombres, para estar en riesgo de hipertensión la variable X debe tomar valores superiores a 140
mm HG. Es decir:
140 − µ X 
 140 − µ X 
P ( X > 140
=
=
=
) 0,05 ⇒ P  Z >
 0,05 ⇒ 1 − Φ 
 0,05 11 
11 


De donde, utilizando la tabla de la distribución normal estándar, se obtiene que:
140 − µ X
 140 − µ X 
Φ 
=
= 1,645 ⇒ =
µ X 121,905
 0,95 ⇒
11 
11

En el caso de las mujeres, para estar en riesgo de hipertensión la variable Y debe tomar valores superiores a 140
mm HG. Es decir:
140 − µY 
 140 − µY 
=
=
=
P (Y > 140
) 0,05 ⇒ P  Z >
 0,05 ⇒ 1 − Φ 
 0,05 10


 10

Y utilizando nuevamente la tabla de la distribución normal estándar:
140 − µY
 140 − µY 
Φ
=
= 1,645 ⇒=
µY 123,55
 0,95 ⇒
10
 10 
Debe observarse que en el caso de los hombres, la tensión media requerida es prácticamente igual a la que se
observó, ya que como se ha visto en el apartado a) el porcentaje de hombres en riesgo de hipertensión es de
5,05 %, muy parecido al que ahora se requiere.
Mientras que en el caso de las mujeres, la tensión sistólica que se requiere es superior a la que se observó, puesto
que en ese caso tan solo el 1,39 % de las mujeres estaba en riesgo de hipertensión.
85. Una universidad pública recibe 800 solicitudes de acceso para uno de los grados en los que la oferta de
plazas se reduce a 120. Sabiendo que la nota final de un solicitante después de las pruebas de acceso
sigue una distribución normal de media 7,3 y desviación típica 0,7, calcula la nota mínima necesaria para
obtener una de las 120 plazas ofertadas.
σ 0,7 ) .
La variable X: “calificación final” tiene una distribución normal, N =
( µ 7,3,=
De las 800 solicitudes solo admitirán 120, lo que representa el 15 % de las solicitudes, es decir, para que un
solicitante tenga acceso debe tener una calificación k tal que:
P ( X > k )= 0,15 ⇒ P ( X < k )= 0,85
Sea k la nota mínima necesaria para obtener una de las 120 plazas ofertadas. En consecuencia, el valor de k se
obtiene de tipificar la expresión y utilizar la tabla de la distribución normal estándar:
k − 7,3 
k − 7,3

P Z <
=
= 1,036 ⇒ k= 8,025
 0,85 ⇒
0,7 
0,7

Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
233
86. Se considera que la cotización en bolsa de la acción de una compañía sigue una distribución normal,
aunque se desconocen sus parámetros. Se sabe que con probabilidad 0,03 la acción superará el valor de
120 € y que con probabilidad 0,3 no alcanzará los 105 €.
a) Calcula la media y la varianza de esta distribución.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un momento elegido al azar la cotización esté entre 110 y 115 €?
Sea la variable aleatoria X: “cotización en bolsa, en euros, de la acción de la compañía”. La distribución de
probabilidad de X es normal, X ~ N (µ, σ ) , con ambos parámetros desconocidos.
Con probabilidad 0,03 la acción superará los 120 €. Es decir:
120 − µ 

 120 − µ 
 120 − µ 
P ( X > 120 ) =
0,03 ⇒ P  Z >
0,03 ⇒ 1 − Φ 
0,03 ⇒ Φ 
0,97 =
=
=
σ 

 σ 
 σ 
Y mediante la tabla de la normal estándar, se obtiene la ecuación:
120 − µ
= 1,88 ⇒ µ + 1,88 120
=
σ
σ
Con probabilidad 0,3, la cotización de la acción no alcanzará los 105 €. Es decir:
105 − µ 
 105 − µ 
=
=
P ( X < 105=
) 0,3 ⇒ P  Z <
 0,3 ⇒ Φ 
 0,3 σ 

 σ 
Y mediante la tabla de la normal estándar, se obtiene la ecuación:
105 − µ
= −0,525 ⇒ µ − 0,525 105.
σ=
σ
+ 1,88 σ 120=
 µ =
µ 108,27443  108,27 €
a) Resolviendo el sistema de ecuaciones: 
⇒
=
σ 105=
⇒ σ2 38,94 €
µ − 0,525 σ 6,237  6,24 €=
b) La probabilidad de que la cotización esté entre 110 y 115 € es:
115 − 108,27 
 110 − 108,27
<Z<
Φ (1,08 ) − Φ ( 0,28 ) =
P (110 < X < 115 ) =
P
P ( 0,28 < Z < 1,08 ) =
=
6,24
6,24


= 0,8599 − 0,6103 = 0,2496
87. Se sabe que el gasto mensual en gas y electricidad de las familias de una determinada región sigue una
distribución normal de media 90 € y desviación típica 30 €. Se pide calcular las siguientes probabilidades
expresando el resultado en porcentajes.
a)
b)
c)
d)
Probabilidad de que el gasto sea superior a 140 €.
Probabilidad de que el gasto esté comprendido entre 70 € y 100 €.
Probabilidad de que el gasto sea inferior a 60 €.
Sabiendo que la probabilidad de que el gasto sea superior a una determinada cantidad es del 5 %, ¿cuál es esa
cantidad?
La variable aleatoria X: “gasto mensual, en euros, en gas y electricidad de las familias” tiene una distribución de
probabilidad normal, X ~ N (=
µ 90, =
σ 30 ) .
a) La probabilidad de que X tome un valor superior a 140 euros es:
140 − 90 

P ( X > 140 ) = P  Z >
 = P ( Z > 1,67 ) = 1 − Φ (1,67 ) = 1 − 0,9525 = 0,0475
30 

El 4,75 % de las familias de la región tiene un gasto mensual en gas y electricidad superior a 140 €.
b) En este caso:
100 − 90 
 70 − 90
<Z<
Φ ( 0,33 ) − (1 − Φ ( 0,67 ) ) =
P ( 70 < X < 100 ) =
P
P ( −0,67 < Z < 0,33 ) =
=
30
30 

= 0,6293 − 1 + 0,7486
= 0,3779
El 37,79 % de las familias de la región tiene un gasto en gas y electricidad entre 70 y 100 €.
c) La probabilidad de que le gasto sea menor de 60 € es:
60 − 90 

P ( X < 60 ) = P  Z <
 = P ( Z < −1) = 1 − Φ (1) = 1 − 0,8413 = 0,1587
30 

El 15,87 % de las familias de la región tiene un gasto en gas y electricidad inferior a 60 €.
d) Sea k dicha cantidad. Entonces:
k − 90 
k − 90

 k − 90 
P ( X >=
k ) 0,05 ⇒ P  Z >
=
=
= 1,645 ⇒=
k 139,35 €
 0,05 ⇒ Φ 
 0,95 ⇒
30 
30

 30 
234 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
88. En un centro educativo, a pesar de los controles rigurosos, un 12 % de los ordenadores resulta infectado
por algún tipo de virus informático.
a) Si en un aula hay 10 ordenadores, calcula la probabilidad de que más de un ordenador tenga virus.
b) Si se quiere que la probabilidad de que haya, como máximo, dos ordenadores infectados sea al menos 0,7,
¿cuál tiene que ser el número máximo de ordenadores en el aula?
c) Si en todo el centro el número de ordenadores es 150, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos el 10 % de
ellos tenga virus?
La probabilidad de que un ordenador elegido al azar esté infectado es p = 0,12. Sea la variable aleatoria
X: “número de ordenadores con virus, de los 10 del aula” con X ~ Bin
=
=
p 0,12 ) .
( n 10,
a) La probabilidad de que más de un ordenador resulte infectado, se calcula por la del suceso contrario:
 10 
 10 
P ( X > 1) =1 − P ( X ≤ 1) =1 − ( P ( X =0 ) + P ( X =1) ) =1 −   0,8810 −   0,12 ⋅ 0,889 =
0
 1
1 − 0,2785 − 0,3798 =
0,3417 =
b) En este caso, la distribución de la variable Y: “número de ordenadores infectados, de los n del aula” es:
Y ~ Bin ( n, p = 0,12 )
Se quiere que se cumpla la condición 0,7 ≤ P (Y ≤ 2 ) . Debe calcularse el valor de n para que se cumpla dicha
condición. Dado que:
n
n
n
n
n −1
2
n −2
P (Y ≤ 2 ) =
P (Y =
0 ) + P (Y =+
1) P (Y =
2) =
 0  0,88 +  1  0,12 ⋅ 0,88 +  2  0,12 ⋅ 0,88 =
 
 
 
n ( n − 1)
0,88n + n ⋅ 0,12 ⋅ 0,88n −1 +
0,122 ⋅ 0,88n − 2
2
Se trata de encontrar el valor más alto de n que hace que esta expresión supere el valor 0,7. En la siguiente
tabla se puede ver que el valor más alto de n que verifica la condición impuesta es n = 16 ordenadores por aula.
Así, la probabilidad de que como mucho haya dos ordenadores infectados resulta mayor que 0,7.
n
P(Y = 0)
P(Y = 1)
P(Y = 2)
P(Y ≤ 2)
14
0,1670
0,3188
0,2826
0,7685
15
0,1470
0,3006
0,2870
0,7346
16
0,1293
0,2822
0,2886
0,7001
17
0,1138
0,2638
0,2878
0,6655
18
0,1002
0,2458
0,2850
0,6310
c) Si el número de ordenadores en todo el centro es n = 150, la variable T: “número de ordenadores infectados, de
=
=
p 0,12 ) .
los 150” tiene distribución de probabilidad binomial, T ~ Bin
( n 150,
T se puede aproximar por la de una variable aleatoria W con distribución normal:
2
W ~ N (=
150 ⋅ 0,12 ⋅ 0,88
µ 150 ⋅ 0,12
= 18, σ=
= 15,84 )
De esta forma, la probabilidad de que tengan virus al menos 15 ordenadores (10 % de 150) es:

14,5 − 18 
P (T ≥ 15 )  P (W ≥ 14,5 ) = P  Z ≥
 = P ( Z ≥ −0,88 ) = Φ ( 0,88 ) = 0,8106
15,84 

Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
235
89. En una localidad hay dos salas de cine que tienen el mismo aforo de m localidades y compiten por una
clientela de 500 personas. Se supone que cada cliente elige al azar y de forma independiente el cine al que
acudirá en cada ocasión.
a) Encuentra una expresión para m, mediante una distribución binomial, tal que la probabilidad de que un cliente
no tenga entrada para el cine que eligió, sea menor que 0,05.
b) Halla el valor de m, por medio de la aproximación normal a la binomial.
Se considera la variable aleatoria X: “número de clientes, de los 500, que elige el cine A (o B)”. La distribución de la
1

=
=
p
variable X es binomial X ~ Bin
 n 500,
.
2

a) Si un cliente elige el cine A (o B) y no encuentra entrada, se debe a que el número de clientes que eligió ese
cine supera el aforo, m. Se calcula entonces la probabilidad de que la variable X supere el valor m:
m
m
 1  m  500 
P ( X > m ) =−
k ) =−
1 P ( X ≤ m ) =−
1 ∑P ( X =
1   ∑

 2  k 0 k 
k 0=
=
m
m
 1  m  500 
 1  m  500 
Dicha probabilidad debe ser menor que 0,05: 1 −   ∑ 
< 0,05 ⇒ 0,95 <   ∑ 

.
 2  k 0=
 2  k 0 k 
 k 
=
b) La distribución de la variable X se puede aproximar por la de una variable Y con distribución normal de media y
varianza respectivas:
1
1 1
µ= 500 ⋅ = 250 σ2= 500 ⋅ ⋅ = 125
2
2 2
De forma que la probabilidad de que X supere el valor m se puede aproximar:
m + 0,5 − 250 

 m − 245,5 
P ( X > m )  P (Y ≥ m + 0,5 ) = P  Z ≥
 = 1− Φ 

125
125 



 m − 245,5 
 m − 245,5 
Probabilidad que debe ser menor que 0,05: 1 − Φ 
 < 0,05 ⇒ 0,95 < Φ 
.
125 
125 


Que mediante el uso de la tabla de la normal estándar, permite obtener un valor para m:
1,645 <
m − 245,5
125
⇒ 263,9 < m
Es decir, el valor de m para asegurar la probabilidad pedida debe ser de al menos 264 localidades.
90. Una empresa fabrica minas de grafito para portaminas cuya longitud sigue una distribución
N (=
µ 30, =
σ 5 ) en milímetros. Solo se aceptan las minas si su longitud está comprendida entre 29 y
31 mm. Si un control de calidad selecciona al azar 1000 minas, calcula la probabilidad de que sean
aceptadas más de 950 minas.
Se tiene que X: “longitud, en mm, de las minas de grafito” tiene una distribución normal, X ~ N (=
µ 30, =
σ 0,5 ) .
La probabilidad de que una mina elegida al azar sea aceptada es:
31 − 30 
 29 − 30
P ( 29 ≤ X ≤ 31) = P 
≤Z≤
 = P ( −2 ≤ Z ≤ 2 ) = 2Φ ( 2 ) − 1 = 2 ⋅ 0,9772 − 1 = 0,9544
0,5 
 0,5
En el proceso de calidad se seleccionan al azar 1000 minas. La variable aleatoria Y: “número de minas aceptadas,
de las 1000” tiene una distribución binomial, Y ~=
Bin ( n 1000,
=
p 0,9544 ) , que puede aproximarse por la de una
variable aleatoria T con distribución normal, de media y varianza respectivas:
2
µ=
1000 ⋅ 0,9544
= 954, 4 σ=
1000 ⋅ 0,9544 ⋅ (1 − 0,9544
=
) 43,521
T
T
La probabilidad de que sean aceptadas más de 950 minas es:

950,5 − 954, 4 
P (Y > 950 )  P (T ≥ 950,5 ) = P  Z ≥
 = P ( Z ≥ −0,59 ) = Φ ( 0,59 ) = 0,7224
43,521 

236 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
91. La cantidad de café depositada en cada bolsa por una máquina envasadora sigue una distribución normal
con media µ =1040 gramos y desviación típica σ =50 gramos.
a) Calcula el tanto por ciento de paquetes que contienen más de un kilo.
b) Calcula α sabiendo que el 97,5 % de los paquetes contienen menos de α gramos.
c) Calcula el tanto por ciento de paquetes cuyo contenido tiene un peso comprendido entre 950 y
1050 gramos.
Sea la variable aleatoria X: “cantidad de café, en gramos, depositada en cada bolsa”. Se tiene que:
X ~ N
=
=
σ 50 )
( µ 1040, a) La probabilidad de que un paquete contenga más de un kilo (1000 gramos) es:
1000 − 1040 

P ( X > 1000 ) = P  Z >
1 − 0,7881 =
0,2119
 = P ( Z > −0,8 ) = 1 − Φ ( 0,8 ) =
50


Por tanto, el 21,19 % de los paquetes contienen más de un kilo.
b) Lo que se plantea en el enunciado es encontrar un α tal que P ( X < α ) =0,975 . Es decir:
α − 1040 

 α − 1040 
P ( X < α) = P  Z <
 = Φ
 = 0,975
50
50




Mediante el uso de la tabla de la normal estándar, se obtiene un valor para α:
α − 1040
 α − 1040 
Φ
=
= 1,96 ⇒=
α 1138 gramos
 0,975 ⇒
50
50


c) La probabilidad de que el contenido de un paquete esté entre 950 y 1050 gramos es:
1050 − 1040 
 950 − 1040
P ( 950 ≤ X ≤ 1050 ) =
P
≤Z≤
P ( −1,8 ≤ Z ≤ 0,2 ) =
Φ ( 0,2 ) − (1 − Φ (1, 8 ) ) =
=
50
50


= 0,5793 − 1 + 0,9641
= 0,5434
Por tanto, el 54,34 % tendrá un peso comprendido entre 950 y 1050 gramos.
Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
237
AUTOEVALUACIÓN
Comprueba qué has aprendido
1.
Sea la variable aleatoria X, que toma los valores −3, −1, 0, 1 y 3 con probabilidades respectivas 0,05; 0,15;
0,15; 0,4 y 0,25.
a) Representa gráficamente la distribución de probabilidad.
b) Calcula la esperanza y la varianza de X.
a) La distribución de probabilidad de la variable aleatoria X se puede representar mediante un diagrama de barras:
b)
=
E [X]
4
=
xp
∑
j =1
j
j
xj
pj
x j pj
x 2j p j
−3
0,05
−0,15
0,45
−1
0,15
−0,15
0,15
0
0,15
0
0
1
0,4
0,4
0,4
3
0,25
0,75
2,25
1
0,85
3,25
0,85.
2
Para calcular la varianza se calcula en primer lugar: E=
 X 
4
=
x p
∑
j =1
2
j
j
3,25
Y la varianza es: Var ( X ) =E  X 2  − ( E [ X ]) =3,25 − 0,852 =2,5275
2
2.
De una baraja de 40 cartas se extraen 9 cartas una a una con reemplazamiento. Sea la variable aleatoria
X: “número de ases extraídos”.
a) Distribución de probabilidad de X.
b) Probabilidad de que X sea mayor 2.
c) Esperanza y varianza de X.
a) Al ser con reemplazamiento, las extracciones son independientes. Además, la probabilidad de obtener un “as”
en cada una de las extracciones es p = 0,1. Entonces, la variable aleatoria X: “número de ases extraídos, en
p 0,1) , que se puede escribir en una
los 9 intentos” tiene distribución de probabilidad binomial, Bin=
( n 9,=
tabla (las probabilidades han sido obtenidos de la tabla de la distribución binomial):
xj
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
pj
0,3874
0,3874
0,1722
0,0446
0,0074
0,0008
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
b) La probabilidad de que X sea mayor que 2, se obtiene de la tabla anterior:
P ( X > 2) =
P(X =
3) + P ( X =
4) + P ( X =
5) + P ( X =
6) + P ( X =
7) + P ( X =
8) + P ( X =
9) =
= 0,0446 + 0,0074 + 0,0008 + 0,0001 + 0,0000 + 0,0000 + 0,0000 = 0,0529
c) La esperanza y la varianza de X se pueden obtener a partir de la tabla o utilizando el hecho de que se trata de
una variable con distribución binomial:
E [ X ] =np =9 ⋅ 0,1 =0,9 Var ( X ) =npq =9 ⋅ 0,1⋅ 0,9 =0,81
238 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
3. Sea X una variable aleatoria con función de densidad:
 10 − 2x
f (x) =  k
0
si 0 ≤ x ≤ 5
en el resto
a) Calcula el valor de k y dibuja la gráfica de f ( x ) .
b) Calcula P ( X ≥ 3 ) .
c) Halla la esperanza y la varianza de X.
a) El valor de k debe ser tal que la función f ( x ) sea no negativa en el intervalo [0, 5] y que el área limitada por la
gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas verticales x = 0 y x = 5 sea la unidad. De modo que:
1=
5
1
∫ k (10 − 2x ) dx =
0
5
1
1
25
⇒ k = 25
10x − x 2  0 =
( 50 − 25 ) =
k
k
k
Por tanto, la función de densidad de la variable X es:
 10 − 2x

f ( x ) =  25
0
si 0 ≤ x ≤ 5
en el resto
Y su gráfica:
b) La probabilidad de P ( X ≥ 3 ) puede obtener mediante la integral de la función de densidad o como el área del
triángulo coloreado en la figura:
De esta manera: P ( X ≥ 3 ) =
c) E [ X
=
]
5
∫
0
5
2⋅
4
25 = 4 = 0,16
2
25
5
10 − 2x
1
1  2 2x 3 
1 
250  5
⋅ x 10
=
=
=
dx
x − 2x 2 dx
5x −
 125 −
=
3 0 25 
3  3
25
25
25 
0
∫
Para la varianza se calcula en primer lugar E  X 2  :
E  X 2=

5
5
1  1250 625  25
10 − 2x 2
1 5
1  10x 3 x 4 
x
x 2 − 2x 3 d=
d=
x
⋅ x 10
− =


 3 − 2=

∫
25
25
25
25
2  6
 3

0
0
0
∫
2
2
25  5 
25
Por tanto, la varianza de X es: Var ( X ) =
E  X 2  − ( E [ X ]) = −   =
6 3
18
Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
239
4.
En una empresa cooperativa, los salarios mensuales netos siguen una distribución normal de media
1500 € y desviación típica 500 €. Calcula el porcentaje de trabajadores de esa empresa con salario:
a) Inferior a 800 €.
b) Entre 1200 y 1800 €.
c) Del 10 % de los empleados con mejores sueldos, ¿cuál es el salario más bajo?
La variable aleatoria X: “salario mensual neto, en euros, de los empleados de la empresa” tiene distribución normal,
X ~ =
N ( µ 1500,
=
σ 500 ) .
a) La probabilidad de que un trabajador elegido al azar tenga un sueldo mensual neto inferior a 800 € es:
800 − 1500 

P ( X < 800 ) = P  Z <
 = P ( Z < −1, 4 ) = 1 − Φ (1, 4 ) = 1 − 0,9192 = 0,0808
500


El 8,08 % de los trabajadores de esta empresa tiene un salario neto mensual inferior a 800 €.
b) En este caso, elegido aleatoriamente un trabajador:
1800 − 1500 
 1200 − 1500
<Z<
P (1200 < X < 1800 ) =P 
 =P ( −0,6 < Z < 0,6 ) =2Φ ( 0,6 ) − 1 =
500
500


= 2 ⋅ 0,7257 − 1 = 0, 4514
El 45,14 % de los trabajadores tiene un salario neto mensual entre 1200 y 1800 €.
c) Sea k el salario más bajo del 10 % de la plantilla que más cobra. Esto es:
P ( X > k ) = 0,1 ⇒ P ( X < k ) = 0,9
Tipificando y utilizando la tabla de la distribución normal estándar:
k − 1500 
k − 1500

P Z <
= 1,28 ⇒ k = 2140
 = 0,9 ⇒
500 
500

Por tanto, del 10 % de los empleados con mejor sueldo, 2140 € es el sueldo más bajo.
5.
En una población, el 10 % de los bebés pesa más de 4 kg al nacer. Si de la población se eligen
aleatoriamente 80 bebés, calcula la probabilidad de que:
a) Al menos 10 pesen más de 4 kilos al nacer.
b) Más de 7 y como mucho 12, pesen más de 4 kilos al nacer.
La probabilidad de que un bebé elegido al azar pese más de 4 kg al nacer es p = 0,1. Si se eligen 80 bebés, sea la
variable aleatoria X: “número de bebés, entre los 80, que pesan más de 4 kg al nacer”. La distribución de
probabilidad de X es binomial, Bin
=
=
p 0,1) . Para calcular las probabilidades siguientes, se puede
( n 80,
aproximar la distribución de X por la de una variable aleatoria Y con distribución normal, de media y varianza
respectivas:
µ= 80 ⋅ 0,1
= 8 σ2= 80 ⋅ 0,1⋅ 0,9= 7,2
a) La probabilidad de que la variable X tome el valor 10 o superior es:

9,5 − 8 
P ( X ≥ 10 )  P (Y ≥ 9,5 ) = P  Z ≥
 = P ( Z ≥ 0,56 ) = 1 − Φ ( 0,56 ) = 1 − 0,7123 = 0,2877
7,2 

b) En este caso, se debe calcular la siguiente probabilidad:
 7,5 − 8
12,5 − 8 
P ( 7 < X ≤ 12 )  P ( 7,5 < Y < 12,5 ) =
P 
<Z≤
P ( −0,19 < Z ≤ 1,68 ) =
Φ (1,68 ) − (1 − Φ ( 0,19 ) ) =
=
7,2 
 7, 2
= 0,9535 − 1 + 0,5753
= 0,5288
240 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
6.
El proceso de producción de botellas de plástico de medio litro para envasar agua se ha ajustado a una
media de 0,5 L. Una botella no es aceptable si su capacidad es inferior a 0,48 L o superior a 0,52 L.
Suponiendo normalidad, ¿cuál debe ser la varianza del proceso para que como máximo se rechacen el
2 % de las botellas?
La variable aleatoria X: “contenido de agua, en litros, de la botella de medio litro” tiene distribución de probabilidad
normal, X ~ N =
( µ 0,5, σ2 ) . La varianza del proceso de embotellado debe establecerse para que el 98 % de las
0,98. Tipificando la expresión, se obtiene:
botellas sean admisibles, es decir, P ( 0, 48 ≤ X ≤ 0,52 ) =
0,52 − 0,5 
0,02 
 0,48 − 0,5
 −0,02
 0,02 
 0,02 
≤Z≤
≤Z≤
P
 =P 
 =2Φ 
 − 1 =0,98 ⇒ Φ 
 =0,99
σ
σ
σ 


 σ
 σ 
 σ 
Utilizando la tabla de la distribución de probabilidad de la normal estándar, se tiene que:
0,02
= 2,33 ⇒=
σ 0,0086 L ⇒=
σ2 0,000074 L
σ
Relaciona y contesta
Elige la única respuesta correcta en cada caso
1.
*La variable aleatoria X toma los valores 0, −2, 4, m y 6 con probabilidades respectivas 0,1; 0,3; 0,1; p; 0,3.
Se sabe que la esperanza de X es 2,2. El valor de m y su probabilidad p son:
m 2=
p 0, 4
A. =
m 3=
p 0,3
B. =
C. =
m 3=
p 0,2
D. =
m 2=
p 0,2
La solución es C. Si se aplica la definición de esperanza teniendo en cuenta que ésta vale 2,2, queda:
E [ X ] =∑ xi pi =0 ⋅ 0,1 − 2 ⋅ 0,3 + 4 ⋅ 0,1 + mp + 6 ⋅ 0,3 =1,6 + mp =2,2 ⇒ mp =0,6
Por tanto, los valores de m y p que cumplen que mp = 0,6 son los de la opción C.
2.
Si X es una variable aleatoria con distribución de probabilidad Bin ( n, p ) , su varianza es máxima cuando:
A. p = 0,1
C. p = 0, 4
B. p = 0,5
D. p = 0,25
La solución es B. La varianza de una variable aleatoria cuya distribución es binomial viene dada por la expresión:
Var ( X ) = np (1 − p ) = n ( p − p 2 )
Independientemente del n dado, para ver cuando la varianza es máxima hay que derivar la siguiente expresión e
igualar a cero para obtener el máximo de la función:
( p − p2 )′ =1 − 2p =0 ⇒ p =0,5
Si se vuelve a derivar se comprueba que p = 0,5 es máximo como se pretendía ver:
( p − p2 )′′ =(1 − 2p )′ =−2 < 0 ⇒ p =0,5 proporciona el valor máximo para Var ( X ) .
Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
241
3.
σ 7 ) aproxima la distribución binomial Bin ( n, p ) los valores de
Si se sabe que la distribución N=
( µ 100,=
n y p son:
A. n 200 =
=
p 0, 49
C. n 196 =
=
q 0,51
B. n 196 =
=
p 0,51
D. n 200 =
=
q 0, 49
La solución es B. Si se aproxima la distribución de una binomial por la de una variable aleatoria con distribución
normal, su media y varianza son, respectivamente:
µ = np
σ = + npq
Los valores que cumplen las condiciones del enunciado son los de la opción B. Se puede comprobar que:
µ = E [ X ] = np = 196 ⋅ 0,51 = 99,96  100
σ = + Var ( X ) = + 196 ⋅ 0,51⋅ 0, 49 = 6,99  7
Señala, en cada caso, las respuestas correctas
4.
Sea X  N=
25
σ2
( µ 100,=
) . La variable X aproxima una variable Bin ( n, p ) , tal que:
A. n es mayor que 130.
B. p = q
C. La probabilidad de que ocurra el suceso A es el triple de que no ocurra.
D. n es inferior a 100.
Las soluciones son A y C. Si X es una variable aleatoria con distribución binomial, Bin ( n, p ) , y se aproxima a la de
una variable aleatoria con distribución normal, su media y varianza son, respectivamente:
=
µ np =
σ2 npq
Con los datos del enunciado se obtiene que:
= np ⇒ 100
= np
µ
⇒ 25= 100q ⇒ q= 0,25 ⇒ p= 0,75
 2
σ
=
npq
⇒
25
= npq

Además, ahora se puede despejar n: 100 = n ⋅ 0,75 ⇒ n =
100
= 133,33.
0,75
Con lo cual se concluye que n es mayor que 130 y que la probabilidad de que ocurra el suceso A (p = 0,75) es el
triple de que no ocurra (q = 0,25).
σ ) . Entonces, la variable Y = X + k, k ≠ 0,
5. Sea X es una variable aleatoria con distribución normal X  N ( µ, también sigue una distribución normal:
A. Igual que la de X.
B. De media k µ.
C. De media k + µ.
D. De varianza σ2.
Las soluciones son C y D.
Si X e Y son variables aleatorias y a, b y k son constantes cualquiera, se tienen las siguientes propiedades
respecto a la esperanza y la varianza:
E [ X + Y=
] E [ X ] + E [Y ] E [kX=] kE [ X ]
Var ( aX + b ) =
a 2 Var ( X )
Dado que X ~ N ( µ, σ ) , la media o esperanza de Y es:
µY = E [Y ] = E [ X + k ] = E [ X ] + E [ k ] = µ + k = k + µ
Y, por otro lado, la varianza de Y es:
Var (Y ) =
Var ( X + k ) =
Var ( X ) =
σ2
242 Distribuciones de probabilidad | Unidad 11
Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas
6.
Sean X  Bin ( n, p ) e Y  N ( µ, σ ) . Se consideran las siguientes afirmaciones:
1. La distribución de Y aproxima la de X.
2. σ2 < µ .
A. 1 ⇔ 2
B. 1 ⇒ 2
C. 2 ⇒ 1
D. 1 y 2 son independientes una de otra.
La solución es B. Si X es una variable aleatoria con distribución binomial, Bin ( n, p ) , y se aproxima a la de una
variable aleatoria Y con distribución normal, su media y varianza respectivas son:
=
µ np =
σ2 npq
Como 0 < q < 1 ⇒ npq < np ⇒ σ2 < µ . Luego la relación correcta es la de la opción B.
Señala el dato innecesario para contestar
7.
Si X es una variable aleatoria con distribución N ( 0, .
σ ) Para calcular la probabilidad P ( −k σ < X < k σ ) es
necesario conocer:
A. k
B. σ
C. k y σ
D. No hace falta conocer ningún dato.
La solución es B. Si se tipifica la variable se tiene que:
kσ − µ 
µ
µ
 −k σ − µ

P ( −k σ < X < k σ ) = P 
<Z<
 = P  −k − < Z < k − 
σ
σ 
σ
σ


0
0

Como µ =0, queda: P ( −k σ < X < k σ ) = P  −k − < Z < k −  = P ( −k < Z < k ) .
σ
σ

Por tanto, solo se necesita el valor de k para hallar dicha probabilidad siendo el valor de σ innecesario.
Unidad 11| Distribuciones de probabilidad
243
12 Distribuciones muestrales
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
2.
Ejercicio resuelto.
El aeropuerto de una gran ciudad desea conocer la opinión de los viajeros acerca de los servicios que
ofrece el aeropuerto.
a) Describe la población objetivo.
b) ¿Cómo elegirías una muestra representativa de la población objetivo?
a) Viajeros de entrada y/o salida del aeropuerto.
b) Para elegir una muestra representativa, debería realizarse un muestreo aleatorio estratificando al menos por
días de la semana, horario (mañana, tarde y noche) y tipo de vuelo (nacional, internacional). Además, se
puede estratificar por tramos de edad y por sexo. Debe tenerse en cuenta que, a mayor estratificación, se
necesita mayor tamaño de la muestra total. En cambio, si no se estratifica convenientemente, no se pueden
extraer conclusiones adecuadas para los grupos de interés.
3.
Para realizar una encuesta de satisfacción con el gobierno municipal de una ciudad, se dispone del
listado por orden alfabético de calles y del nombre de las personas que viven en cada domicilio. ¿Qué
utilizarías para obtener una muestra, una lista con las direcciones o una lista con los nombres de las
personas?
Para facilitar la recogida de información, se podría diseñar la obtención de la muestra en tres etapas:
i) En la primera etapa, se divide la ciudad en secciones homogéneas y se clasifican, por ejemplo, por tamaño
de la población en cada sección, de mayor a menor. Se eligen al azar un determinado número de secciones.
ii) En la segunda etapa, se eligen aleatoriamente un determinado número de hogares (direcciones).
iii) En la tercera etapa, se sortea al azar una persona adulta de las que viven en el hogar.
El número de secciones y de domicilios de cada sección depende de la precisión con la que se deseen estimar
los parámetros poblacionales y, claro está, del presupuesto disponible para llevar a cabo la encuesta.
4.
La tercera parte de los alumnos de un centro estudia el idioma A, la mitad, el B, y el resto, el C. Cada
alumno estudia solo uno de estos idiomas. Se selecciona una muestra de 60 alumnos, mediante muestreo
aleatorio estratificado con asignación proporcional al número de alumnos de cada idioma.
a) ¿Cómo debería estar conformada la muestra?
b) En otra muestra seleccionada por el procedimiento anterior, el número de alumnos seleccionados del idioma
A es 14.
Determina cuántos se han elegido de los otros dos idiomas.
a) La muestra debería elegirse proporcionalmente al número de alumnos que estudia cada uno de los idiomas.
Por tanto, la proporción de alumnos que estudian el idioma C es 1 −
1 1 1
− =.
2 3 6
1
1
1
N.º de alumnos seleccionados de cada idioma A: 60
30 y C: 60
⋅ =
20, B: 60
⋅ =
⋅ =
10.
3
2
6
b) Sabemos que 14 es el número de alumnos seleccionados que estudian el idioma A, siendo estos un tercio
1
del total. Si consideramos que n es el número de alumnos de la muestra, tenemos que ⋅ n = 14 ⇒ n = 42.
3
Como los alumnos del idioma B son la mitad, estos deben ser 21.
Por último, los alumnos que estudian el idioma C son 7, los que faltan para completar la muestra de 42
alumnos de la muestra.
244
Distribuciones muestrales | Unidad 12
5.
6.
Ejercicio resuelto.
La duración de un tipo de baterías para dispositivos móviles tiene una distribución normal de media
9 horas y de desviación típica 1,2 horas. Se toma una muestra aleatoria de 80 baterías. ¿Cuál es la
probabilidad de que la duración media supere las 9,2 horas?
La variable X: “duración de la batería para dispositivos móviles” tiene una distribución X ~ N ( µ= 9; σ= 1,2 ) .
Si la muestra es de 80 baterías, la media muestral tiene una distribución normal:
1,22 

2
X ~ N  µ= 9; σ2=
= N ( µ= 9; σ = 0,018 )
80 

Por tanto,

9,2 − 9
P X > 9,2 =
P  Z >
0,018

(
7.
)

P ( Z > 1, 49 ) =
1 − P ( Z < 1, 49 ) =
1 − 0,9319 =
0,0681
 =

En un aeropuerto, el tiempo de espera tiene distribución normal de media de 23 minutos con una
desviación típica de 7 minutos. Si un viajero parte de dicho aeropuerto y viaja de lunes a viernes, calcular
la probabilidad de que el tiempo medio de las 5 esperas sea superior a 25 minutos.
La media muestral de los 5 días, es una variable aleatoria X =
1 5
∑ X i con distribución:
5 i =1
49 


2
X ~ N =
µ 23; σ=
=
µ 23; =
σ
 N =
5



7

= 3,1305 
5

Entonces:
25 − 23 

P X > 25 =
P Z >
P ( Z > 0,64 ) =
1 − P ( Z < 0,64 ) =
1 − 0,7389 =
0,2611
=
3,1305 

(
)
8.
Ejercicio resuelto.
9.
En las últimas elecciones el partido A ha recibido el 24 % de los votos emitidos. Si se elige una muestra
aleatoria de 80 personas que han votado, se pide:
a) Distribución aproximada de la proporción de votantes al partido A.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hayan votado al partido A más de 25 personas de la muestra?
a) Sea la variable aleatoria X: “número de votantes del partido A, entre los 80”. X ~ Bin(
=
n 80;
=
p 0,24).
Sea p̂ el estimador de la proporción de votantes del partido A. Como la muestra es suficientemente grande,
la distribución de p̂ se puede aproximar por
0,24 (1 − 0,24 ) 

pˆ  N=
σ2
=
σ2 0,002 28 )
( µ 0,24; =
 µ 0,24; =
 N=
80


b) La probabilidad de que al partido A le hayan votado más de 25 personas en la muestra, puede calcularse
aproximando la distribución de X por la de una variable aleatoria Y con distribución normal de media y
varianza:
µ= 80 ⋅ 0,24= 19,2 σ2= 80 ⋅ 0,24 ⋅ 0,76= 14,592
Entonces, teniendo en cuenta la corrección por continuidad:

25,5 − 19,2 
P ( X > 25 )  P (Y ≥ 25,5 ) =
P  Z ≥
P ( Z ≥ 1,65 ) =
1 − P ( Z < 1,65 ) =
1 − 0,9505 =
0,0495
=
14,592 

Unidad 12| Distribuciones muestrales
245
10. De una muestra aleatoria de 500 personas residentes en una determinada ciudad, 350 utilizan
habitualmente el transporte público. Se pide:
a) Distribución aproximada de la proporción de usuarios habituales de transporte público.
b) Calcula la probabilidad de que menos de la cuarta parte de los habitantes no utilice el transporte público.
a) Si de la muestra aleatoria de 500 personas, 350 declararon utilizar habitualmente el transporte público, un
estimador de la proporción es:
=
p̂
350
= 0,7
500
Dado que el tamaño de la muestra es suficientemente grande, la distribución de la proporción de usuarios
habituales del transporte público es aproximadamente normal:
p (1 − p ) 
0,7 (1 − 0,7 )



2
pˆ ~ N  µ= p; σ2=
= 0,00042 
= N  µ= 0,7; σ =
n
500




b) Utilizando la distribución aproximada de p̂ obtenida en el apartado a), y teniendo en cuenta que el hecho de
que menos de la cuarta parte (25 %) no utilice el trasporte público equivale a decir que más de las tres
cuartas partes (75 %) sí lo utiliza, se tiene que:

0,75 − 0,7 
P ( pˆ > 0,75 ) =
P Z >
P ( Z > 2,44 ) =
1 − P ( Z < 2,44 ) =
1 − 0,9927 =
0,0073
=
0,00042 

11. Ejercicio resuelto.
12. El tiempo medio de atención a los pacientes en un centro médico es de 15 minutos, con una desviación
típica de 8 minutos. Si en un determinado día se han citado 40 pacientes, calcula la probabilidad de que:
a) Se tarde más de 9 horas en atenderlos.
b) Se tarde en atenderlos menos de diez horas y media.
c) Se tarde entre 9 y 11 horas en atenderlos.
a) Sea X: “tiempo de atención a los pacientes del centro médico”. X es una variable aleatoria, con media
µ 15; =
σ 8 ) .
µ =15 minutos y desviación típica σ =8 minutos, es decir, X ~ N (=
Suponiendo que los 40 pacientes se han elegido al azar, la distribución de la suma de los tiempos de
atención de atención a los 40 pacientes puede aproximarse por una distribución normal:
T40 ~ N ( µ 40 = 40 ⋅ 15 = 600; σ240 = 40 ⋅ 82 = 2560 )
La probabilidad de que se tarde más de 9 horas (540 minutos) en atenderlos es:
540 − 600 

P (T40 > 540
=
=
=
=
) P Z >
) P ( Z < 1,19
) 0,8830
 P ( Z > −1,19
2560 

b) La probabilidad de que tarde menos de 10 horas y media (630 minutos) en atenderlos es:
630 − 600 

P (T40 < 630 ) = P  Z <
 = P ( Z < 0,59 ) = 0,7224
2560 

c) La probabilidad de que tarde entre 9 horas (540minutos) y 11 horas (660 minutos) en atenderlos es:
660 − 600 
 540 − 600
P ( 540 ≤ T40 ≤ 660 ) = P 
≤Z≤
 = P ( −1,19 ≤ Z ≤ 1,19 ) = P(Z ≤ 1,19) − P(Z ≤ −1,19) =
2560
2560 

= P(Z ≤ 1,19) − (1 − P(Z ≤ 1,19)) = 2P(Z ≤ 1,19) − 1 = 2 ⋅ 0,8830 − 1 = 0,7660
246
Distribuciones muestrales | Unidad 12
13. En una almazara se embotella el aceite en garrafas de 5 L. Después se agrupan en cajas que contienen
4 garrafas cada una. La máquina envasadora llena las garrafas según una distribución normal de
media 5 L y desviación típica 5 cL.
a) Si un cliente compra una caja, calcula la probabilidad de que se lleve menos de 19,9 L de aceite.
b) Si un cliente compra 10 cajas, calcula la probabilidad de que se lleve menos de 199 L de aceite.
a) Se considera la variable X: “cantidad de aceite envasado en las garrafas de 5 L”, cuya distribución es normal
N ( µ= 5; σ= 0,05 ) , en litros.
Cada caja contiene 4 garrafas, por lo que la suma de las 4 garrafas tiene una distribución normal de media
µ 4 = 4 ⋅ 5 = 20 L y varianza σ24 = 4 ⋅ 0,052 = 0,01 L, es decir, T4 ~ N ( µ 4= 20; σ24= 0,01) .
Entonces, la probabilidad de que la caja lleve menos de 19,9 L de aceite es:

19,9 − 20 
P (T4 < 19,9 ) = P  Z <
 = P ( Z < −1) = 1 − P ( Z < 1) = 1 − 0,8413 = 0,1587
0,01 

b) Si un cliente compra 10 cajas, la suma de las 40 garrafas tiene una distribución normal de media
= 200; σ240
= 0,1) .
µ 40 = 40 ⋅ 5 = 200 L y varianza σ24 = 40 ⋅ 0,052 = 0,1 L, es decir, T40 ~ N ( µ 40
De manera que la probabilidad de que las 10 cajas lleven menos de 199 L es:

199 − 200 
P (T40 < 199 ) = P  Z <
 = P ( Z < −3,16 ) = 1 − P ( Z < 3,16 ) = 1 − 0,9992 = 0,0008 0,1 

14. Ejercicio resuelto.
15. A una estación llegan autobuses procedentes de los puntos A y B. El tiempo medio de retraso del
autobús procedente de A es de 10 minutos con una deviación típica de 4 minutos y el del procedente de B
es de 15 minutos con una desviación típica de 5 minutos. Calcula la probabilidad de que el retraso medio
de una muestra aleatoria de 25 días del autobús B no supere en 4 minutos el retraso medio de una
muestra aleatoria de 30 días del autobús A.
Se consideran las variables aleatorias:
X: “tiempo de retraso del autobús procedente de A”, con media µ X =
10 y desviación típica σ X =
4, en minutos.
Y: “tiempo de retraso del autobús procedente de B”, con media µY =
15 y desviación típica σY =
5, en minutos.
Se eligen aleatoriamente n1 = 30 días del autobús A y n2 = 25 días del autobús B.
Dado que los tamaños muestrales son suficientemente grandes, las distribuciones de las medias muestrales de
X e Y son, respectivamente, normales con la media y varianza que se indican:
42
52




X ~ N  µ X= 10; σ2X=
= 0,53  Y ~ N  µY= 15; σY2=
= 1
30
25




La distribución de la diferencia de las medias muestrales del autobús procedente de B menos la del autobús
procedente de A tiene media y varianza respectivas:
µY − X = µY − µ X = 15 − 10 = 5 σY2 − X = σ2X + σY2 = 0,53 + 1 = 1,53
Por tanto, resulta: Y − X ~ N (µY − X =5; σY2 − X =1,53 ) , en minutos.
Entonces, la probabilidad de que el retraso medio de un autobús de B no supere en 4 minutos el retraso medio
de un autobús de A es:

4−5
P Y − X ≤ 4 = P  Z ≤
1,53

(
)

 = P ( Z ≤ −0,81) = 1 − P ( Z < 0,81) = 1 − 0,7910 = 0,2090

Unidad 12| Distribuciones muestrales
247
16. El peso medio de los pollos de una granja A es 2 kg con una desviación típica de 300 g. En otra granja B
el peso medio es de 2,4 kg con una desviación típica de 400 g. Se eligen al azar 100 pollos de la granja A
y 50 de la granja B. Calcula la probabilidad de que la suma de los pesos medios de ambas muestras sea
mayor que 4,5 kg.
Se consideran las variables aleatorias:
2 kg y desviación típica σ X =
0,3 kg.
X: “peso de los pollos de la granja A”, con distribución de media µ X =
2, 4 kg y desviación típica σY =
0, 4 kg.
Y: “peso de los pollos de la granja B”, con distribución de media µY =
Se eligen aleatoriamente n1 = 100 pollos de A y n2 = 50 pollos de B.
Dado que los tamaños muestrales son suficientemente grandes, las distribuciones de las medias muestrales de
X e Y son respectivamente, normales con la media y varianza que se indican:
0,32
0, 42




X ~ N  µ X = 2; σ2X =
= 0,0009  Y ~ N  µY = 2, 4; σY2 =
= 0,0032  100
50




Entonces, la distribución de la suma de las medias muestrales de la granja A y de la granja B es normal con
media y varianza:
µ X +Y =µ X + µY =2 + 2, 4 =4, 4 kg σ2X +Y = σ2X + σY2 =0,0009 + 0,0032 =0,0041 kg
De modo que la probabilidad de que la suma de los pesos medios sea superior a 4,5 kg es:

4,5 − 4, 4 
P X + Y > 4,5 =P  Z >
 =P ( Z > 1,56 ) =1 − P ( Z < 1,56 ) =1 − 0,9406 =0,0594
0,0041 

(
)
17. Ejercicio interactivo.
18 y 19. Ejercicios resueltos.
20. La proporción de artículos defectuosos en un gran lote de productos es 0,12. ¿Cuál debe ser el menor
tamaño de la muestra aleatoria elegida para que, con una probabilidad de al menos 0,99, la proporción
muestral de defectuosos sea menor que 0,15?
Si la muestra aleatoria de artículos tiene tamaño n, sea p̂ el estimador de la proporción de artículos
defectuosos. Suponiendo que n es suficientemente grande, por el teorema central de límite, la distribución de la
proporción muestral se puede aproximar a la de una normal:
0,12 (1 − 0,12 ) 0,1056 

pˆ ~ N=
σ2
=
 µ 0,12;=

n
n 

Se exige que:
P ( pˆ < 0,15 ) =
0,99 Tipificando y buscando en las tablas de la normal estándar:
2


0,15 − 0,12
 2,33 
P  Z <
n=
n=
⇒ n= 
 0,99 ⇒ P Z < 0,0923 n = 0,99 ⇒ 0,0923 2,33
= 637,25
 0,0923 
0,1056


(
)
Por tanto, con un tamaño muestral de n = 638 se consigue el objetivo pedido.
248
Distribuciones muestrales | Unidad 12
21. De una población de 50 000 personas se estima que 1500 ven un determinado programa de televisión. Se
selecciona una muestra aleatoria de 200 personas. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que menos
de 4 personas hayan visto el programa?
1
La variable X : 
0
varianza:
si la persona seleccionada ve el programa
, es una variable de Bernoulli con esperanza y
en otro caso
E [X] =
1500
= 0,03 Var ( X ) = 0,03 (1 − 0,03 ) = 0,0291
50 000
De tal manera que X1, X 2,…, X 200 es una muestra aleatoria de una variable de Bernoulli, Ber ( p = 0,03 ) . Por el
teorema central de límite, la variable suma, que es binomial
=
Y
200
∑X
j =1
j
=
~=
Bin ( n 200;
p 0,03 ) , se puede
aproximar por una distribución normal de media y varianza:
µ 200 = 200 ⋅ 0,03 = 6 σ2200 = 200 ⋅ 0,0291= 5,82
Entonces, se tiene que Y  T200 ~ N ( µ 200 = 6; σ2200 = 5,82 ) . Por tanto, utilizando la corrección por continuidad, la
probabilidad de que menos de 4 personas, de las 200, hayan visto el programa es, aproximadamente:

3,5 − 6 
P(Y < 4)  P (T200 ≤ 3,5 ) = P  Z <
 = P ( Z < −1,04 ) = 1 − P ( Z < 1,04 ) = 1 − 0,8508 = 0,1492
5,82 

22. La estatura de los estudiantes de bachillerato de un centro escolar tiene una distribución de media
µ =170 cm y desviación típica σ =5 cm . Si se seleccionan 40 estudiantes al azar:
a) Determina la distribución aproximada de la media muestral.
b) Calcula la probabilidad de que la estatura media de la muestra sea inferior a 168 cm.
c) Calcula la probabilidad de que la suma de las estaturas de los 40 alumnos de la muestra sea superior a
68,5 metros.
a) La variable X: “estatura de los estudiantes de bachillerato” es una variable continua cuya distribución tiene
media µ =170 cm y desviación típica σ =5 cm.
Se selecciona una muestra de tamaño n = 40 y, aplicando el teorema central del límite, se tiene que la
distribución de probabilidad de la media muestral es aproximadamente normal:
25


2
X ~ N =
µ 170; σ=
= 0,625 
40


b) La probabilidad de que la media muestral sea inferior a 168 cm, es:

168 − 170 
P X < 168 = P  Z <
 = P ( Z < −2,53 ) = 1 − P ( Z < 2,53 ) = 1 − 0,9943 = 0,0057
0,625 

(
)
c) La distribución de la suma de las estaturas de la muestra es, también, aproximadamente normal, con media y
varianza:
µ 40 = 40 ⋅ 170 = 6800 cm σ240 = 40 ⋅ 25 = 1000 cm2
T=
40
40
∑X
i =1
i
2
~ N ( µ=
6800; σ=
1000 )
40
40
Si se tiene en cuenta que 68,5 m son 6850 cm, se tiene que:
6850 − 6800 

P (T40 > 6850 ) =
P Z >
P ( Z > 1,58 ) =
1 − P ( Z < 1,58 ) =
1 − 0,9429 =
0,0571
=
1000


23 a 29. Ejercicios resueltos.
Unidad 12| Distribuciones muestrales
249
EJERCICIOS
Población y muestra. Tipos de muestreo
30. Para estimar el número de erratas de un libro que contiene ilustraciones:
a) ¿Cuál será la población objetivo?
b) ¿Y la unidad de muestreo?
a) La población objetivo la constituyen las páginas que no contienen ilustraciones.
b) La unidad de muestreo es la página.
31. En las encuestas trimestrales del centro de investigaciones sociológicas (CIS) suele preguntarse, entre
otras muchas cuestiones, por la puntuación que, de 1 a 10, le otorgan los ciudadanos a los líderes de los
partidos políticos. La encuesta suele hacerse sobre 2500 personas.
a) Describe la población y la muestra.
b) ¿Qué técnica de muestreo será la más adecuada?
a) La población la constituyen los ciudadanos y ciudadanas mayores de edad con derecho a voto. La muestra
estará formada por 2500 personas representativas de la población objeto de estudio.
b) Muestreo estratificado con al menos tres tipos de estratos: edades, tipo de ciudad (tamaño) y sexo. El
procedimiento de muestreo se realiza en varias etapas, estratificando por conglomerados.
i) 1ª etapa: selección de los municipios.
ii) 2ª etapa: selección de las secciones dentro de los municipios de forma proporcional al tamaño de los
municipios.
iii) 3ª etapa: selección de los individuos por rutas aleatorias y cuotas de sexo y edad.
Los estratos se forman por el cruce de las 17 comunidades autónomas con el tamaño de hábitat, dividido en
7 categorías: a) municipios de menos de 2001 habitantes; b) de 2001 a 10 000; c) de 10 001 a 50 000;
d) de 50 001 a 100 000; e) de 100 001 a 400 000; f) de 400 001 a 1 000 000; y g) de más de 1 000 000 de
habitantes.
Nota: Toda la información pertinente aparece en la página web del CIS.
32. Una universidad desea conocer el nivel de satisfacción de estudiantes, profesores y personal no docente.
La universidad cuenta con dos campus y 22 facultades en total. Para ello encarga un estudio a una
empresa consultora. Describe la población objetivo y la técnica de muestreo que sería más adecuada
para obtener una muestra representativa de la población.
La población objetivo la forman todos los estudiantes matriculados en la universidad, así como los profesores y
el personal no docente que trabajan en ella.
La técnica más adecuada sería un muestreo estratificado en dos etapas. En primer lugar se clasifican las
facultades de cada campus por su tamaño y se selecciona una muestra de las mismas con afijación proporcional
de acuerdo con su tamaño.
En la segunda etapa se procede a seleccionar, dentro de cada centro, una muestra aleatoria de cada colectivo,
alumnos, profesores y personal no docente, proporcional al número de ellos en la facultad.
250
Distribuciones muestrales | Unidad 12
33. De los 15 000 empleados de una empresa multinacional, 9000 trabajan en labores de manufactura, 4500
en tareas administrativas o comerciales y el resto son cargos directivos. ¿Cómo se elegiría una muestra
aleatoria de 250 personas representativa de los empleados de esta empresa?
La muestra de n = 250 empleados, debería elegirse mediante muestreo estratificado en tres estratos:
i) E1: empleados en labores de manufactura, con N1 = 9000 personas.
ii) E2: empleados en tareas comerciales o administrativas, con N2 = 4500 personas.
iii) E3: cargos directivos, con N3 = 1500 .
Dentro de cada estrato, el tamaño de la muestra, n1, n2 y n3, debe ser proporcional al tamaño del estrato:
n3
n1
n2
9000
4500
1500
= =
=
15 000 250
15 000 250
15 000 250
De esta forma, el tamaño de la muestra en cada estrato debe ser:
=
n1
9000 ⋅ 250
4500 ⋅ 250
1500 ⋅ 250
= 150 =
n2
= =
75 n3 = 25
15 000
15 000
15 000
Distribuciones muestrales de la media y la proporción
34. Una población tiene 5 elementos. Mediante muestreo aleatorio simple se seleccionan muestras de
tamaño 3, siendo 2 la desviación típica de sus medias y 7 la media de las medias muestrales. ¿Cuánto
valen la media y la varianza de la población?
Sea la variable X cuya media y varianza de la población son, respectivamente, µ y σ2.
Si se extrae una muestra aleatoria de tamaño 3, la distribución de probabilidad de la media muestral X tiene
σ2
σ2
, es decir, µ= 7 y = 22= 4.
media µ y varianza
3
3
De manera que la media poblacional es µ =7 y la varianza poblacional es σ2 = 3 ⋅ 4 = 12.
35. Una población está formada por los elementos {2, 4, 5, 6}.
a) Escribe todas las muestras de tamaño 2 que pueden formarse mediante muestreo aleatorio simple con
reemplazamiento y sin reemplazamiento.
b) Calcula para cada muestra la proporción de cifras impares.
c) Calcula la media y la varianza de la distribución muestral de la proporción de cifras impares.
a) Mediante muestreo con reemplazamiento, se pueden formar las siguientes muestras de tamaño 2:
=
R1
=
R2
2, 2} R3 {=
2, 5} R5 {=
4, 4} R7 {4, =
6} R9 {5, 6}
{=
=
4} R4 {2, =
6} R6 {=
4, 5} R8 {5, =
5} R10 {6, 6}
{2, Y sin reemplazamiento:
=
M1
=
4} M2 {=
2, 5} M3 {2,=
6} M 4 {4, =
5} M5 {4, =
6} M6 {5, 6}
{2, b) En cada caso, con y sin reemplazamiento, la proporción de cifras impares es:
=
pˆ R1 0=
pˆ R 2 0=
pˆ R3 0,5=
pˆ R 4 0=
pˆ R5 0=
pˆ R 6 0,5=
pˆ R7 0=
pˆ R8 1=
pˆ R9 0,5=
pˆ R10 0
Con reemplazamiento:
Sin reemplazamiento:
=
pˆ M1 =
0 pˆ M 2 0,5
=
pˆ M 3 =
0 pˆ M 4 0,5
=
pˆ M 5 =
0 pˆ M 6 0, 5
c) Se calcula la media y la varianza de la distribución muestral de la proporción de cifras impares:
1 10
2,5
1 10 2
1,75
pˆ Ri =
= 0,25 y Var ( pˆ R ) =
pˆ Ri − pR2 =
− 0,252 = 0,1125
∑
∑
10
10
10
10
=i 1=i 1
Si es con reemplazamiento: pR =
Si es sin reemplazamiento: pM =
6
1
1,5
1 6
0,75
pˆMj =
= 0,25 y Var ( pˆM ) = ∑ pˆM2 i − pM2 =
− 0,252 = 0,0625
∑
6 j =1
6
6 i =1
6
Unidad 12| Distribuciones muestrales
251
36. El 25 % de las personas que viven en una determinada ciudad son mayores de 65 años. De los habitantes
de la ciudad se elige una muestra aleatoria de 250 personas.
a) Determina la distribución muestral de la proporción de personas mayores de 65 años.
b) Calcula la probabilidad de que más del 30% de la muestra sean personas mayores de 65 años.
c) Calcula la probabilidad de que el porcentaje de personas de la muestra sean menores de 65 años esté entre
el 50 % y el 75 %.
a) La distribución de la proporción p̂ de personas mayores de 65 años en la muestra de
250 personas es aproximadamente normal:
0,25 (1 − 0,25 )


p̂ ~ N=
=
σ2
= 0,000 75 
 µ 0,25; 250


b) La probabilidad de que la proporción muestral de personas mayores de 65 años sea superior al 30 % se
calcula utilizando la aproximación del aparatado anterior:

0,3 − 0,25
P ( pˆ > 0,3 ) =
P Z >

0,000 75


1 − P ( Z < 1,83 ) =
1 − 0,9664 =
0,0336
P ( Z > 1,83 ) =
=


c) La distribución de la proporción p̂ de personas menores de 65 años en la muestra de
250 personas es aproximadamente normal:
0,75 (1 − 0,75 )


p̂ ~ N=
=
σ2
= 0,000 75 
 µ 0,75; 250


La probabilidad de que la proporción muestral de personas menores de 65 años esté entre el 50 % y el 75 %
se calcula utilizando la aproximación anterior:
 0,5 − 0,75
0,75 − 0,75 
P ( 0,5 < pˆ < 0,75 ) = P 
<Z<
 = P ( −9,13 < Z < 0 ) = P(Z < 0) − P(Z < −9,13) =
 0,000 75
0,000 75 

= 0,5 − 0= 0,5.
37. Supongamos que el IMC (índice de masa corporal) en hombres adultos de una población sigue una
distribución normal, N ( µ, σ =4 ) .
a) Si el 6,68% de los hombres está en riesgo de sobrepeso, es decir, su IMC es superior a 25, calcula el valor
del IMC medio, μ, para los hombres adultos de la población.
b) Si el IMC para los hombres adultos de la población sigue una distribución N (=
µ 22; =
4
σ
) y se extrae una
muestra aleatoria de 10 hombres adultos de esa población, calcula la probabilidad de que el IMC medio de
la muestra esté entre los valores que la OMS considera normales, que son 18,5 y 25.
a) La variable aleatoria X: “IMC en hombres adultos” tiene distribución N ( µ; σ =4 ) . Entonces, la información
proporcionada afirma que P ( X > 25 ) =
0,0668 . Tipificando se obtiene:
25 − µ 
25 − µ 
25 − µ 



P Z >
 =0,0668 ⇒ 1 − P  Z <
 =0,0668 ⇒ P  Z <
 =0,9332
4 
4 
4 



Si se consulta en las tablas de la normal estándar se tiene que
25 − µ
= 1,5 ⇒ =
µ 19.
4
b) Si la variable X tiene una distribución N (=
µ 22; =
σ 4 ) , la media muestral de una muestra de 64 hombres
16


2
adultos también tiene distribución normal: X ~ N =
µ 22; σ=
= 1,6 
10


De modo que la probabilidad de que el índice medio de la muestra esté entre 18,5 y 25 es:
 18,5 − 22
25 − 22 
P 18,5 < X < 25= P 
Z<
=
) P(Z < 2,37) − P(Z < −2,77)=
 P ( −2,77 < Z < 2,37=
1,6
1,6 

= P(Z < 2,37) − (1 − P(Z < 2,77)=
= 0,9883
) 0,9911 − 1 + 0,9972
(
252
)
Distribuciones muestrales | Unidad 12
Distribución muestral de la suma
38. Una prueba consta de 100 preguntas tipo test, cada una con cuatro posibles respuestas de las cuales
solo una es correcta. Si un estudiante contesta a las preguntas de forma aleatoria e independiente y para
superar el examen es preciso responder correctamente al menos a 60 preguntas, ¿Cuál es la probabilidad
de que apruebe?
0 si la respuesta no es correcta
La variable aleatoria X : 
, es una variable de Bernouilli Ber( p = 0,25) donde
1 si la respuesta sí es correcta
p = 0,25 es la probabilidad de acertar una respuesta si se responde al azar.
En la prueba se tienen 100 variables X1, X 2,…, X100 independientes e idénticamente distribuidas a X.
La suma de estas variables, la cual mide el número de respuestas acertadas, tiene una distribución binomial:
100
∑X
Y
=
j =1
j
~ Bin
p 0,25 )
=
=
( n 100;
Por el teorema central de límite, la distribución de Y se puede aproximar por la de una variable T con distribución
normal:
2
T 100 ~ N ( µ100 = 100 ⋅ 0,25 = 25; σ100
= 100 ⋅ 0,25 ⋅ 0,75 = 18,75 )
Y, para calcular la probabilidad pedida, debe efectuarse la corrección por continuidad dado que la variable
binomial es discreta y la normal es continua:

59,5 − 25 
P (Y ≥ 60 )  P (T100 ≥ 59,5 ) =P  Z ≥
 =P ( Z ≥ 7,97 ) =0
18,75 

39. El tiempo de atención a un paciente, en una consulta médica, tiene una distribución normal de media
10 minutos y desviación típica igual a 3 minutos.
a) Si hay citados 8 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que sean atendidos en menos de 72 minutos?
b) Si hay citados 40 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que se necesiten más de 7 horas para atenderlos?
a) La variable X: “tiempo, en minutos, de atención al paciente” tiene una distribución N (=
µ 10; =
σ 3 ) .
Si hay citados 8 pacientes, sus tiempos de atención representan una muestra aleatoria de tamaño n = 8
de X y la suma tiene una distribución normal:
T8 =
8
∑X
j =1
j
~ N ( µ8 = 8 ⋅ 10 = 80; σ82 = 8 ⋅ 9 = 72 )
De forma que la probabilidad de que los ocho pacientes sean atendidos en menos de 72 minutos es:
72 − 80 

P (T8 < 72 ) = P  Z <
 = P ( Z < −0,94 ) = 1 − P ( Z < 0,94 ) = 1 − 0,8264 = 0,1736
72 

b) Como en el apartado anterior, la suma de los tiempos de atención de los n = 40 pacientes tiene una
distribución normal:
T40 =
40
∑X
j =1
j
~ N ( µ 40 = 40 ⋅ 10 = 400; σ240 = 40 ⋅ 9 = 360 )
De tal manera que la probabilidad de que se necesiten más de 7 horas (420 minutos) para atender a los
40 pacientes es:
420 − 400 

P (T40 > 420 ) =
P Z >
P ( Z > 1,05 ) =
1 − P ( Z < 1,05 ) =
1 − 0,8531 =
0,1469
=
360 

Unidad 12| Distribuciones muestrales
253
Distribuciones muestral de la suma y la diferencia de medias
40. La altura de los pinos (pinus pinaster) de una plantación A tiene una distribución con media 22 metros y
desviación típica 1,5 metros. Mientras que los de otra plantación B tienen media 20 metros y desviación
típica 1,25 metros. Se toman muestras aleatorias de 50 pinos de la plantación A y 25 de la B.
a) Escribe la distribución muestral de la media de cada una de las plantaciones.
b) Calcula la probabilidad de que la diferencia de las medias muestrales sea superior a un metro.
a) Se consideran las variables aleatorias:
X: “altura, en metros, de los pinos de la plantación A”, con media µ X =
22 y varianza σ2X= 1,52= 2,25.
2
2
Y: “altura, en metros, de los pinos de la plantación B”, con media µY =
20 y varianza σ
=
1,25
=
1,5625.
Y
La distribución de la media muestral de una muestra aleatoria de n = 50 pinos de la plantación A, se puede
2,25


aproximar por la de una distribución normal X ~ N  µ X= 22; σ2X=
= 0,045  .
50


La distribución de la media muestral de una muestra aleatoria de m = 25 pinos de la plantación B, se puede
1,5625


aproximar por la de una distribución normal Y ~ N  µY= 20; σY2=
= 0,0625  .
25


b) Se calcula primero la probabilidad de que la diferencia de las medias muestrales sea inferior a 1 metro, es
decir, de que X − Y < 1 . Como las muestras de X e Y son independientes, la diferencia de las medias
muestrales tiene una distribución normal X − Y ~ N ( µ X −Y = 22 − 20 = 2; σ2X −Y =0,045 + 0,0625 =0,1075 ) .
De manera que:
 −1 − 2
1− 2
P X − Y < 1 = P −1 < X − Y < 1 = P 
<Z<
0,1075
 0,1075
= P(Z < −3,05) − P(Z < −9,15)= (1 − P(Z < 3,05)) − P(Z < −9,15)=
(
)
(
(
)
)
(

 = P ( −9,15 < Z < −3,05 ) =

(1 − 0,9989) − 0= 0,0011
)
Y, por tanto, P X − Y > 1 =1 − P X − Y < 1 =1 − 0,0011 =0,9989.
Luego es prácticamente seguro que la diferencia de las medias muestrales sea superior a 1 metro.
41. En una población A, la tensión ocular de personas adultas tiene una distribución normal de media 18 y
varianza 2, mientras que en otra población B tiene una distribución normal de media 20 y varianza 4. Se
elige al azar una muestra de 25 personas adultas en cada una de las dos poblaciones.
a) Determina la distribución de la media muestral de cada población.
b) Escribe la distribución de la suma y de la diferencia de las medias muestrales.
c) Calcula la probabilidad de que la media muestral de la población A sea menor que la de la población B en al
menos una unidad.
a) Se consideran las variables aleatorias:
X : “tensión ocular de las personas adultas de A”, con distribución X ~ N ( µ X = 18; σ2X = 2 ) .
Y : “tensión ocular de las personas adultas de B”, con distribución Y ~ N ( µY= 20; σY2= 4 ) .
La distribución de las medias muestrales de una muestra aleatoria de n = 25 personas adultas de cada una
de las dos poblaciones tiene distribución normal:
2
4




X ~ N  µ X= 18; σ2X=
= 0,08  Y ~ N  µY= 20; σY2=
= 0,16 
25
25




b) Las distribuciones de la suma y de la diferencia de las medias muestrales son también normales:
X + Y ~ N ( µ X +Y = 18 + 20 = 38; σ2X +Y = 0,08 + 0,16 = 0,24 )
X − Y ~ N ( µ X −Y =
18 − 20 =−2; σ2X −Y =
0,08 + 0,16 =
0,24 )
254
Distribuciones muestrales | Unidad 12
c) Para este caso, la distribución de la diferencia de las medias muestrales es una normal:
(
Y − X ~ N µY − X = 20 − 18 = 2; σ2
Y −X
= 0,08 + 0,16 = 0,24
)
La probabilidad de que la media muestral de la población A, X , sea menor que la de la población B, Y , en
al menos una unidad se calcula como sigue:

1− 2 
P Y − X ≥=
1 P  Z ≥
=
=
=
) P ( Z < 2,04
) 0,9793
 P ( Z ≥ −2,04
0,24 

(
)
Teorema central del límite
42. Un servicio de urgencias recibe, en media, 8 avisos por hora con una varianza de 8. Si del servicio de
urgencias se elige una muestra aleatoria de 150 horas:
a) Determina la distribución aproximada de la suma y de la media muestrales.
b) Calcula la probabilidad de que en la muestra se hayan recibido más de 1250 llamadas.
c) Calcula la probabilidad de que la media muestral esté entre 8 y 9 llamadas.
a) X: “número de avisos por hora en el servicio de urgencias”, con distribución X ~ N ( µ= 8; σ2= 8 ) .
Si se seleccionan al azar 150 horas de ese servicio de urgencias, las distribuciones de la suma del número
de avisos en esas 150 horas y de la media muestral se pueden aproximar por las distribuciones de variables
normales, dado que el tamaño muestral ( n = 150 ) es suficientemente grande. Así, se tiene que:
T150=
150
∑X
j =1
j
2
~ N ( µ150= 150 ⋅ 8= 1200; σ150
= 150 ⋅ 8= 1200 )
8


X ~ N  µ X= 8; σ2X=
= 0,0533 
150


y
b) Teniendo en cuenta el apartado anterior, queda que:
1250 − 1200 

P (T150 > 1250 ) =
P Z >
P ( Z > 1, 44 ) =
1 − P ( Z < 1, 44 ) =
1 − 0,9251 =
0,0749
=
1200


c) La probabilidad de que la media muestral esté entre 8 y 9 llamadas de urgencia es:
 8−8
P 8 ≤ X ≤ 9 =P 
≤Z≤
 0,0533
(
)

=P ( ≤ Z ≤ 4,33 ) =P ( Z ≤ 4,33 ) − P ( Z ≤ 0 ) =1 − 0,5 =0,5
 0

0,0533 
9−8
43. En una entidad bancaria, el 40% de los clientes tiene una hipoteca. Si se elige una muestra aleatoria de
50 clientes:
a) ¿Cuál es la distribución aproximada del número de clientes que tiene una hipoteca?
b) ¿Cuál es la distribución aproximada de la proporción de clientes que tienen una hipoteca?
c) Calcula la probabilidad de que más de 22 clientes de los 50 tengan una hipoteca.
0 si el cliente no tiene hipoteca
, es una variable de Bernoulli Ber ( p = 0, 4 ) ,
a) La variable aleatoria X : 
1 si el cliente tiene hipoteca
donde p es la probabilidad de que un cliente elegido al azar tenga hipoteca.
Si consideramos la muestra X1, X 2,…, X 50 , la variable
=
Y
50
∑X
j =1
j
~B
=
in ( n 50;
=
p 0, 4 ) se puede aproximar
2
= 50 ⋅ 0, 4 ⋅ 0,6 = 12 ) .
por una distribución normal T50 ~ N ( µ50 = 50 ⋅ 0, 4 = 20; σ50
b) Dado que el tamaño muestral es suficientemente grande, la distribución de la proporción p̂ se puede
0, 4 ⋅ 0,6


aproximar por la de una distribución normal pˆ ~ N =
σ2
= 0,0048  .
 µ 0, 4; =
50


c) Se utiliza la aproximación normal teniendo la precaución de efectuar la corrección por continuidad, dado que
la variable binomial es discreta y la normal es continua:
22,5 − 20 

P (Y > 22 )  P (T50 ≥ 22,5 ) =
P Z ≥
=
P (Z ≥
1 − P ( Z < 0,72 ) =
1 − 0,7642 =
0,2358
)=
 0,72
12 

Unidad 12| Distribuciones muestrales
255
CUESTIONES
44. Señala cuál sería la población objetivo e indica la conveniencia o no de extraer una muestra en cada uno
de los casos.
a) La media de la estatura de los asistentes a una manifestación.
b) El tiempo de vida de un tipo de batería para móviles.
c) El número de clientes potenciales de un nuevo hipermercado.
a) La población objetivo son todos los asistentes a dicha manifestación. En principio, mientras la asistencia no
fuera extremadamente elevada, se podría realizar un estudio individuo a individuo. Por tanto, no haría falta
extraer ninguna muestra.
b) La población objetivo son todas las baterías de ese determinado tipo. En este caso, habría que extraer una
muestra ya que realizar un estudio de cada elemento de la población objetivo, resultaría inviable debido a
los costes que esto supondría; bien por ser la muestra extremadamente grande, o bien por otros factores
tales como, por ejemplo, que ese modelo de batería se haya comercializado por todo el mundo.
c) La población objetivo son todos los individuos que pueden ser clientes del nuevo hipermercado (población
que viva cerca del hipermercado, personas que estén interesadas en los tipos de productos que ofrezca
dicho hipermercado, personas que encuentren interesantes los precios del hipermercado, etc.). En este
caso, sí convendría extraer una muestra ya que resulta muy costoso tener acceso a todos los posibles
clientes que puedan estar interesados en comprar en este hipermercado.
45. En los siguientes casos, ¿qué proceso de muestreo resultaría el más adecuado?
a)
Se quiere estimar el porcentaje de ciudadanos con estudios superiores en una determinada ciudad
seleccionando una muestra de hogares y realizando una encuesta por teléfono.
b)
Para estimar los ingresos medios de la población de 18 a 65 años de edad de un país se selecciona una
muestra.
a)
Lo primero que se debe tener en cuenta es el número de habitantes que tiene dicha ciudad. Si éste fuera
muy grande, obtener un listado de todos los ciudadanos para llevar a cabo un muestreo aleatorio simple y
que todos tuvieran la misma probabilidad de ser incluidos en la muestra, resultaría poco viable puesto que,
por ejemplo, pueden haber personas que estén censadas en dicha ciudad pero que no residan en ella. Por
tanto, resulta más efectivo realizar un muestreo estratificado, estratificando la población, por ejemplo, por
barrios o secciones censales.
b)
Si el país no tuviera grandes diferencias de población entre sus distintas regiones,
un muestreo por conglomerado o por estratos resultaría muy acertado. Sin embargo, si hubiese muchas
diferencias de población entre unas regiones y otras, realizar un muestreo aleatorio simple a través de un
listado de todas las personas que habitan en dicho país (entre 18 y 65 años) sería la forma más efectiva de
realizar el proceso de muestreo.
PROBLEMAS
46. El 10 % de un gran lote de artículos manufacturados es defectuoso. Del lote de artículos se selecciona
una muestra aleatoria de tamaño n.
a) Si n = 40, ¿cuál es la probabilidad de que en la muestra el porcentaje de artículos defectuosos sea superior
al 9 %?
b) ¿Cuál debe ser el mínimo tamaño muestral para que con probabilidad 0,95, el porcentaje de artículos
defectuosos en la muestra sea inferior al 13 %?
0 si el artículo no es defectuoso
es una variable de Bernoulli Ber ( p = 0,1) .
a) La variable aleatoria X : 
1 si el artículo es defectuoso
Se selecciona una muestra aleatoria de n artículos, que se corresponde con una muestra aleatoria de
X1, X 2,…, X n de la variable X. Así, si n = 40 , la distribución de la proporción p̂ se puede aproximar por
0,1⋅ 0,9


2
µ 0,1; σ
=
= 0,00225  . Por tanto, queda que:
una normal: p̂ ~ N =
40



0,09 − 0,1 
P ( pˆ > 0,09 ) = P  Z >
 = P ( Z > −0,21) = 1 − P ( Z < 0,21) = 1 − 0,5832 = 0, 4168
0,00225 

256
Distribuciones muestrales | Unidad 12
0,09 

2
µ 0,1; σ=
b) Se tiene que la distribución de la proporción es aproximadamente normal p̂ ~ N =
.
n 



0,13 − 0,1
P ( pˆ < 0,13=
n=
) 0,95 ⇒ P  Z <
 0,95 ⇒ P Z < 0,1 n = 0,95 ⇒ 0,1 n= 1,645 ⇒ n= 270,6
0,09


)
(
Luego es necesario tener una muestra de 271 artículos.
47. En una fiesta se inflan globos de una bombona de helio de 40 L. Se espera que, en promedio, cada globo
que se infle contenga 20 cL, con una desviación típica de 8 cL. Los globos se inflan de forma
independiente. Calcula la probabilidad de que la bombona quede vacía después de inflar 190 globos.
La variable X: “contenido, en cL, de cada globo” sigue una distribución X ~ N ( µ= 20; σ2= 82= 64 ) , en cL.
La variable aleatoria suma de los contenidos de la muestra de 190 globos tiene una distribución que puede
aproximarse mediante la de una normal T190 =
190
∑X
j =1
j
2
~ N ( µ190 = 190 ⋅ 20 = 3800; σ190
= 190 ⋅ 64 = 12 160 ) .
La bombona quedará vacía si la suma del contenido de los 190 globos supera los 4000 cL (40 L), entonces:
4000 − 3800 

P (T190 ≥ 4000 ) =
P Z ≥
P ( Z ≥ 1,81) =
1 − P ( Z < 1,81) =
1 − 0,9649 =
0,0351
=
12160 

48. El error en centigramos, que se comete al pesar un determinado objeto, es una variable aleatoria con
distribución normal de media µ =0 y varianza σ2 =100. Se pesa el objeto n veces.
a) Determina la distribución del error medio de las n pesadas.
b) Si se pretende que con probabilidad 0,99 el error medio cometido no supere los 4 centigramos, ¿cuántas
pesadas deben hacerse?
a) La variable aleatoria X: “error, en centigramos, al pesar un objeto” tiene distribución X ~ N (µ= 0; σ2= 100 ) .
Se pesa n veces el objeto, es decir, se toma una muestra aleatoria de tamaño n.
100 

La distribución del error medio es normal X ~ N  µ= 0; σ2=
.
n 

b) Si no se quiere que el error medio cometido supere los 4 centigramos, entonces:
(
)
4−0


P X ≤ 4= 0,99 ⇒ P  Z ≤
n=
 0,99 ⇒ P Z ≤ 0, 4 n = 0,99 ⇒ 0, 4 n= 2,33 ⇒ n= 33,9
10


(
)
Por tanto, se necesitan 34 pesadas.
49. En un laboratorio, una investigadora lleva a cabo sucesivas pesadas de un objeto con una báscula de
precisión que, no obstante, en cada medición, tiene una desviación típica σ . La investigadora realiza
25 pesadas del objeto. Utiliza el teorema central del límite para hallar aproximadamente la probabilidad de
que la investigadora estime el verdadero peso del objeto con una precisión superior a la cuarta parte de la
desviación típica.
La variable X: “peso del objeto en la báscula”, tiene media µ y desviación típica σ , ambas desconocidas.
Se realizan 25 pesadas del objeto, es decir, se considera una muestra aleatoria de X de tamaño n = 25.
σ2 

La distribución de la media muestral se puede aproximar por una distribución normal: X ~ N  µ;  .
25 

Si la media muestral debe estimar el valor de µ con precisión superior a un cuarto de la desviación típica σ ,
esto implica que:
5
σ
σ
σ 5

 σ
 σ 5
 5
P  X − µ <  = P  − < X − µ <  = P  − ⋅ < Z < ⋅  = P  − < Z < −  = P ( −1,25 < Z < 1,25 ) =
4
4
4 σ
σ

 4
 4  4 4 
= P ( Z < 1,25 ) − P ( Z < −1,25 ) = P ( Z < 1,25 ) − (1 − P ( Z < 1,25 ) ) = 2P ( Z < 1,25 ) − 1 = 2 ⋅ 0,8944 − 1 = 0,7888
Unidad 12| Distribuciones muestrales
257
50. El cociente intelectual de los individuos presentes en una sala puede suponerse que sigue una
distribución normal de media µ y varianza igual a 81.
a) ¿Cuánto vale µ si sabemos que solo un 10 % de las personas en la sala supera un cociente intelectual
de 105?
En los dos siguientes apartados se considera que µ =95 :
b) Elegida al azar una persona de la sala, ¿cuál es la probabilidad de que su cociente intelectual esté entre 86 y
107?
c) Elegimos 9 personas al azar de la sala y se considera la media de sus cocientes intelectuales. ¿Cuál es la
probabilidad de que esa media esté entre 86 y 107?
a) La variable aleatoria X: “cociente intelectual de los individuos presentes en la sala” sigue X ~ N ( µ; σ2 =81) .
Si el 10 % supera el cociente intelectual 105, se expresa:
105 − µ 
105 − µ 
105 − µ 



P ( X > 105 ) =
0,1 ⇒ P  Z >
0,1 ⇒ 1 − P  Z <
0,1 ⇒ P  Z <
0,9
=
=
=
9 
9 
9 



Y, por tanto, usando la tabla de la normal estándar queda
105 − µ
= 1,282 ⇒
=
µ 93, 462.
9
107 − 95 
 86 − 95
<Z<
b) Si X ~ N ( µ = 95; σ2 = 81) ⇒ P ( 86 < X < 107 ) = P 
 = P ( −1 < Z < 1,33 ) =
9
 9

= P ( Z < 1,33 ) − P ( Z < −1) = P ( Z < 1,33 ) − (1 − P ( Z < 1) ) = 0,9082 − 1 + 0,8413 = 0,7495
81


2
µ 95; σ=
= 9 .
c) Con una muestra aleatoria de 9 personas, se tiene que la media muestral X ~ N  =
9


107 − 95 
 86 − 95
P 86 < X < 107 = P 
<Z<
 = P ( −3 < Z < 4 ) = P ( Z < 4 ) − P ( Z < −3 ) =
3
3


= P ( Z < 4 ) − (1 − P ( Z < 3 ) ) = 1 − 1 + 0,9987 = 0,9987
(
)
51. En una cabaña ganadera, el 20 % de las reses se ha visto afectada por una enfermedad no mortal. Si de
esta cabaña se selecciona una muestra aleatoria de 80 reses:
a) ¿Cuál es la distribución de la proporción muestral?
b) Calcula la probabilidad de que la proporción muestral de reses que han estado enfermas sea inferior al 18 %.
c) Determina la distribución muestral de la suma de reses que estuvieron enfermas.
a)
0 si la res no ha enfermado
, es una variable aleatoria de Bernoulli Ber ( p = 0,2 ) , siendo
La variable X : 
1 si la res ha enfermado
p = 0,2 la probabilidad de que una res elegida al azar haya enfermado. De la cabaña ganadera se elige una
muestra aleatoria de 80 reses: X1, X 2,…, X 80.
1 80
La distribución de la proporción muestral, pˆ =
∑X j , se puede aproximar por la de una distribución
80 j =1
0,2 ⋅ 0,8


2
normal, dado que el tamaño muestral es suficientemente grande: pˆ ~ N =
µ 0,2; σ
=
= 0,002 
80


b) Para calcular la probabilidad pedida se utiliza la aproximación del apartado anterior:

0,18 − 0,2 
P ( pˆ < 0,18 ) = P  Z <
 = P ( Z < −0, 45 ) = 1 − P ( Z < 0, 45 ) = 1 − 0,6736 = 0,3264
0, 002 

c) La distribución muestral de la suma de reses que estuvieron enfermas se aproxima por una normal:
T80 =
258
80
∑X
j =1
j
2
2
~ N ( µ80 = 80 ⋅ 0,2 = 16; σ80
= 80 ⋅ 0,002 = 0,16 ) ⇔ T80 ~ N ( µ80 = 16; σ80
= 0,16 )
Distribuciones muestrales | Unidad 12
52. En una determinada región, el salario medio de los hombres es de 1500 € al mes, con una desviación
típica de 300 €, y el de las mujeres, de 1100 €, con una desviación típica de 200 €. Si de esta región, se
elige una muestra aleatoria de 100 mujeres y 80 hombres:
a) Escribe las distribuciones de las sumas y las medias muestrales de hombres y mujeres.
b) Calcula la probabilidad de que la suma de las medias muestrales de hombres y mujeres supere los 2500 € al
mes
c) Calcula la probabilidad de que la diferencia de las medias muestrales entre hombres y mujeres supere
los 450 €.
a) Se consideran las variables aleatorias:
=
µ X 1500 € =
y σ X 300 €.
X: “salario mensual de los hombres”, con media y desviación típica respectivas
Y: “salario mensual de las mujeres”, con media y desviación típica respectivas
=
µY 1100 € =
y σY 200 €.
Se extraen muestras aleatorias independientes de los salarios de 80 hombres y 100 mujeres:
X1, X 2,…, X 80 e Y1, Y2,…, Y100
Las distribuciones de las sumas y las medias muestrales son aproximadamente normales:
Para los hombres:
80
∑X
T80 =
i =1
i
2
~ N ( µ80 = 80 ⋅ 1500 = 120 000; σ80
= 80 ⋅ 3002 = 7 200 000 )
3002


X ~ N=
σ2
= 1125 
 µ 1500; =
80


Para las mujeres:
T100 =
100
∑Y
i =1
i
2
~ N ( µ100 = 100 ⋅ 1100 = 110 000; σ100
= 100 ⋅ 2002 = 4 000 000 )
2002


Y ~N
=
σ2
= 400 
 µ 1100; =
100


b) La distribución de la suma de las medias muestrales de hombres y mujeres se puede aproximar por la de una
distribución normal como sigue:
X + Y ~ N ( µ X +Y = 1500 + 1100= 2600; σ2X +Y = 1125 + 400= 1525 )
Por lo que la probabilidad que se pide se obtiene de la siguiente manera:
2500 − 2600 

P X + Y > 2500
= P Z >
=
=
=
) P ( Z < 2,56
) 0,9948
 P ( Z > −2,56
1525


(
)
c) La distribución de la diferencia de las medias muestrales de hombres y mujeres se puede aproximar por la de
una distribución normal como sigue:
X − Y ~ N ( µ X −Y = 1500 − 1100= 400; σ2X −Y = 1125 + 400= 1525 )
(
)
La probabilidad que se pide, P X − Y > 450 , se obtiene de la siguiente manera. Primero calculamos la
probabilidad de que la diferencia no supere los 450 €:
450 − 400 
 −450 − 400
P X − Y < 450 = P −450 < X − Y ≤ 450 = P 
≤Z≤
 = P ( −21,77 ≤ Z ≤ 1,28 ) =
1525
1525 

= P ( Z ≤ 1,28 ) − P ( Z ≤ −21,77
=
− 0 0,8997 ) 0,8997 =
(
)
(
)
Sabiendo esto, se tiene que:
(
)
(
)
P X − Y > 450 =
1 − P X − Y ≤ 450 =
1 − 0,8997 =
0,1003
Unidad 12| Distribuciones muestrales
259
53. La duración de una conocida marca de bombillas tiene una distribución normal de media 1380 horas y
desviación típica 390 horas. Se extrae una muestra aleatoria de tamaño 10 que presentó una duración
media de 1425 horas. Otra muestra aleatoria de tamaño 8, independiente de la anterior, presentó una
duración media de 1342 horas. Calcula la probabilidad de que las medias muestrales presenten una
diferencia mayor de la que se ha obtenido en esta ocasión.
=
=
σ 390 ) .
Sea X: “duración, en horas, de las bombillas de esta marca”. Se sabe que X ~ N
( µ 1380; La media de la muestra de tamaño 10 tiene distribución normal:
3902


2
X10 ~ N=
σ10
= 15 210 
 µ 1380; =
10


La media de la muestra de tamaño 8 tiene distribución normal:
3902


X 8 ~ N=
σ82
= 19 012,5 
 µ 1380; =
8


(
La distribución de la diferencia de las medias muestrales es X10 − X 8 ~ N µ= 0; σ2X
)
= 34 222,5 .
10 − X 8
En esta ocasión la diferencia observada ha sido de 1425 – 1342 = 83 horas.
(
)
La probabilidad de que esa diferencia sea superior a 83 horas es P X10 − X 8 > 83 .
Primero se calcula la siguiente probabilidad:


83
−83
≤Z≤
P X10 − X 8 ≤ 83 = P −83 ≤ X10 − X 8 ≤ 83 = P 
 = P ( −0, 45 ≤ Z ≤ 0, 45 ) =
 34 222,5

34 222,5 

0, 45 ) P ( Z ≤ 0, 45 ) − (1 − P ( Z ≤ 0, 45 ) ) = 2P ( Z ≤ 0, 45 ) − 1 = 2 ⋅ 0,6736 − 1 = 0,3472 = P ( Z ≤ 0, 45 ) − P ( Z ≤ −=
(
)
(
)
(
)
(
)
1 − P X10 − X 8 ≤ 83 =
1 − 0,3472 =
0,6528.
Así, se obtiene que P X10 − X 8 > 83 =
AUTOEVALUACIÓN
Comprueba qué has aprendido
1.
En un centro donde se estudian idiomas, 440 alumnos estudian inglés, 122, alemán, y 80, otros idiomas.
Se supone que un alumno solo cursa uno de los idiomas. Si se quiere conocer el nivel de satisfacción de
los estudiantes matriculados en el centro ¿cómo debería elegirse una muestra de 120 alumnos, que sea
representativa del conjunto de alumnos del centro?
Debe elegirse una muestra aleatoria estratificada, con afijación proporcional al tamaño de cada estrato.
Se tienen tres estratos:
i) E1: “alumnos que estudian inglés”, con N1 = 440 alumnos.
ii) E2: “alumnos que estudian alemán” con N2 = 122 alumnos.
Total: 642 alumnos
iii) E3: “alumnos que estudian otros idiomas” con N3 = 80 alumnos.
Para elegir el tamaño muestral de cada estrato, n1, n2 y n3 , se reparten los 120 alumnos, que deben formar
parte de la muestra, proporcionalmente al tamaño de cada estrato:
n3
n1
n2
120
= =
=
642 440 122 80
Con lo que
=
n1
120 ⋅ 440
120 ⋅ 122
120 ⋅ 80
= 82,24; =
n2
= 22,8; =
n3
= 14,95
642
642
642
Por tanto, la muestra debería elegirse con 82 alumnos de inglés, 23 de alemán y 15 de otros idiomas.
260
Distribuciones muestrales | Unidad 12
2.
En un conocido concurso de televisión el premio que se lleva el ganador se va acumulando si no se
completa la prueba final, y aumenta cada programa una media de 2558 € con una desviación típica de
280 €. Si se elige una muestra aleatoria de 40 programas emitidos:
a) ¿Cuál será la distribución de la suma de los premios acumulados en los 40 programas?
b) Halla la probabilidad de que dicha suma supere los 100 000 €.
a) Sea X: “cantidad, en euros, que aumenta el bote cada programa”. La distribución de X tiene media µ =2558
y desviación típica σ =280, en euros.
Se elige una muestra aleatoria de 40 programas: X1, X 2,…, X 40.
Como el tamaño de la muestra es suficientemente grande, la distribución de la suma de los 40 premios se
puede aproximar por la de una distribución normal:
T40 =
40
∑X
j =1
j
~ N ( µ 40 = 40 ⋅ 2558 = 102 320; σ240 = 40 ⋅ 2802 = 3 136 000 )
b) La probabilidad de que la suma supere los cien mil euros:

100 000 − 102 320 
P (T40 > 100 000
=
=
=
=
 P ( Z > −1,31
) P  Z >
) P ( Z < 1,31
) 0,9049

3 136 000


3.
Una epidemia de gripe ha afectado al 60 % de la plantilla de una gran empresa. Si se elige una muestra
aleatoria de 125 empleados, se pide:
a) Distribución de la proporción muestral de afectados.
b) Calcula la probabilidad de que la gripe haya afectado a más de 70 empleados de la muestra.
a) Se considera la variable aleatoria X: “la gripe ha afectado al empleado”, que es una variable aleatoria de
Bernoulli
con p 0,6,
=
=
Ber ( p 0,6 ) . Se elige una muestra aleatoria de 125 empleados y se observa las
variables X1, X 2, …, X125 independientes e idénticamente distribuidas que X.
La distribución de la proporción del número de afectados, se puede aproximar por la distribución normal de
0,6 (1 − 0,6 )
σ2 0,001 92 ) .
=
σ2
= 0,001 92 . Así, p̂ ~ N =
media µ =0,6 y varianza
( µ 0,6; =
125
b) 70 empleados de 125, representa el 56% de los empleados de la muestra. Por tanto:

0,56 − 0,6 
P ( pˆ > 0,56
=
=
=
=
) P ( Z < 0,91
) 0,8186
) P  Z >
 P ( Z > −0,91
0,00192 

4.
El peso de los bebés al nacer en un hospital tiene una distribución normal de media 3,25 kg y desviación
típica 500 g. Se elige una muestra aleatoria de 20 bebés nacidos en dicho hospital.
a) Calcula la distribución de la media muestral del peso de los bebés.
b) Calcula la probabilidad de que el peso medio supere los 3,5 kg.
=
σ
a) La variable X: “peso en kg de los bebés al nacer” tiene una distribución X  N=
( µ 3,25; 0,5
) , en kilos.
Se elige una muestra aleatoria X1, X 2,…, X 20. La distribución de la media muestral es también normal:
0,52


X ~ N=
σ2
= 0,0125 
 µ 3,25; =
20


b) Entonces, la probabilidad que se pide es:

3,5 − 3,25 
P X > 3,5 =
P  Z >
P ( Z > 2,24 ) =
1 − P ( Z < 2,24 ) =
1 − 0,9875 =
0,0125
=
0,0125 

(
)
Unidad 12| Distribuciones muestrales
261
Relaciona y contesta
Elige la única respuesta correcta en cada caso
1.
Para acceder a una determinada universidad, se deben superar unas pruebas tipo test con respuesta
múltiple. En la última convocatoria, la proporción de aciertos fue del 70 %. Si se elige una muestra
aleatoria de 50 estudiantes, la proporción muestral de aciertos tiene una distribución:
σ2 0,065 )
A. N =
( µ 0,7; =
C. N =
(µ 0,3; σ=2 0,0042)
σ2 0,0042 )
B. N =
(µ 0,7; =
σ2 0,065 )
D. N =
( µ 0,3; =
La solución es B. La media es=
µ
2.
0,7 ⋅ (1 − 0,7 )
70
= 0,0042.
==
0,7 y σ2
50
100
Las notas de matemáticas en una clase de 2.º de Bachillerato tienen una distribución normal de media 6 y
desviación típica 2. Se elige una muestra de 6 alumnos. La probabilidad de que la media de la muestra sea
superior a 7 puntos es:
A. 0,1112
B. 0,8888
C. 0,9987
D. 0,0013
22


La solución es A. Tenemos que X  N  µ= 6; σ2=
= 0,67  . Por tanto, queda que:
6



7−6
P X >7 =
P Z >
0,67

(
)

P X > 1,22 =
1 − P X < 1,22 =
1 − 0,8888 =
0,1112
=

(
)
(
)
Señala, en cada caso, las respuestas correctas
3.
El jugador de baloncesto A promedia 16 puntos por partido con una desviación típica de 4 puntos, y el
jugador B, 20 puntos con una desviación típica de 6. Si se elige una muestra aleatoria de 10 partidos:
2
µ 16; σ=
0,16 ) .
A. La media muestral de A se distribuye X A  N (=
B. La distribución de la diferencia de las medias muestrales tiene media 4 puntos y varianza 5,2.
C. La suma de las medias muestrales tiene media 36 puntos.
D. Lo más probable es que la media muestral del jugador B sea mayor de 4 puntos que la de A.
42
= 1,6 ≠ 0,16. Tampoco es la opción D, pues
10
no se indica numéricamente a qué se refiere con que un suceso sea “lo más probable” y, por lo tanto, no
42 62


podemos concluir nada. La B es correcta ya que Y − X  N  µY − X = 20 − 16 = 4; σY2 − X =
+
= 5,2  .
10
10


Las soluciones son B y C. La opción A no es correcta ya que σ2=
42 62


Y también lo es la opción C ya que X + Y  N  µ X +Y = 16 + 20 = 36; σ2X +Y =
+
= 5,2  .
10 10


4.
Se elige una muestra aleatoria de una población con µ =25 y σ =5 . La distribución de la media muestral
se puede aproximar por la de una distribución normal:
A. en cualquier caso.
B. si la distribución de la variable es normal.
C. si el tamaño muestral es grande.
D. si no se conoce la distribución exacta.
Las soluciones son B y C. Para poder aproximar la distribución de la media muestral mediante una distribución
normal, debe darse al menos una de las siguientes opciones: la variable tiene que tener distribución normal o si
no la tiene, el tamaño de la muestra debe ser suficientemente grande. Por tanto, las únicas respuestas que se
pueden aceptar como correctas son B y C, descartando así A y D.
262
Distribuciones muestrales | Unidad 12
Elige la relación correcta entre las tres afirmaciones dadas
5.
Sea X una variable aleatoria.
a) “X no sigue una distribución normal”.
b) “Se toma una muestra de tamaño 15”.
c) “La distribución en el muestreo de las medias muestrales se puede aproximar por una normal”.
A. a y b ⇒ c
B. No a ⇒ c
C. c ⇒ No a
D. No b ⇒ c
La solución es B. En general, se considera n suficientemente grande si n ≥ 30. Por tanto, la opción b) no puede
implicar nada con lo que descartamos A. Además, que el tamaño de la muestra sea distinto de 15 no implica que
el tamaño vaya a ser mayor, por lo que también se descarta la opción D. Si la variable tiene una distribución
normal, la distribución de la media muestra es también normal; mientras que al contrario no siempre es cierto.
Por tanto, la opción C no es correcta pero sí lo es la opción B.
Señala el o los datos innecesarios para contestar
6.
De una población se elige una muestra aleatoria. Para estimar la distribución de la media muestral de una
determinada característica, debe conocerse:
A. la moda de la variable.
B. la varianza de la población.
C. el tamaño muestral.
D. la media de la variable.
La solución es A. La moda no es, a priori, un dato relevante a la hora de determinar la distribución de la media
muestral mientras que el resto de parámetros (varianza, tamaño muestral y media) son necesarios para
determinarla.
7.
El 88 % de los estudiantes que se presentan a las pruebas de acceso a la universidad, supera el examen.
Si se eligen n estudiantes, para calcular la probabilidad de que más del 90 % de ellos haya superado la
prueba, mediante una distribución normal, es preciso que:
A. la distribución de los porcentajes sea normal.
B. se conozca la varianza.
C. el tamaño de la muestra sea suficientemente grande.
D. que se conozca la puntuación media de los estudiantes seleccionados.
La solución es A, B y D. Este problema se resuelve mediante el estadístico pˆ, el cual es un estimador de la
p (1 − p ) 

proporción p. Si el tamaño de n es suficientemente grande se tiene que pˆ  N  µ= p; σ2=
 . Como se
n


sabe que p = 0,88, solo es preciso que el tamaño de la muestra sea suficientemente grande. Por tanto, la opción
C es el dato que sí es necesario.
Unidad 12| Distribuciones muestrales
263
13 Intervalos de confianza
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Ejercicio resuelto.
2.
El peso de los huevos de una granja sigue una ley normal de media desconocida y desviación típica 1,23
gramos. Para estimar la media poblacional se ha tomado una muestra de dos docenas de huevos que han
dado un peso total de 1615,2 gramos. Halla un intervalo de confianza, al 96 %, para la media poblacional.
Dado que la variable X: “peso en gramos de huevos de la granja” tiene una distribución N (µ , σ )= N (µ ; 1,23 ) , la
media muestral de las dos docenas de huevos, también sigue una distribución normal con:
1,232 

X ~ N  µ ; σ2X =
= N (µ ; σ2X= 0,06304 )
24 

Si dos docenas de huevos han pesado 1615,2 gramos, la media de la muestra=
es x
1615,2
= 67,3 g .
24
α
= 0,02 . De las tablas de la N(0,1), se obtiene que:
2
Como 1 − α = 0,96 , resulta
P ( Z < z0,02 ) =
1 − 0,02 =
0,98 ⇒ z0,02 =
2,055
De manera que el intervalo de confianza al 96 % para la media poblacional μ, en gramos, es:
1,23
1,23 
IC0,97 =
; 67,3 + 2,055
=
(µ )  67,3 − 2,055

24
24 

3.
( 66,784;
67,816 )
Los precios en euros de un producto se distribuyen según una normal de desviación típica 15. Se ha
tomado una muestra de los precios de dicho producto en 9 comercios elegidos al azar en un barrio de una
ciudad, y se han encontrado los siguientes precios:
195, 208, 238, 212, 199, 206, 225, 201, 215
Determina el intervalo de confianza, al 90 %, para el precio medio de este producto.
σ= ).
La variable aleatoria X: “precio, en euros, del producto” tiene una distribución N (µ , 15
La muestra aleatoria del precio del producto en 9 tiendas tiene una media muestral de:
x
Como 1 − α = 0,90 , resulta
195 + 208 + 238 + 212 + 199 + 206 + 225 + 201 + 215
= 211 €
9
α
= 0,05 . De las tablas de la N(0,1), se obtiene que:
2
P ( Z < z0,05 ) =
1 − 0,05 =
0,95 ⇒ z0,05 =
1,645
De manera que el intervalo de confianza al 90% para el precio medio del producto µ es:
15
15 

IC0,90 (=
µ )  211 − 1,645
; 211 + 1,645 =

9
9

264
Unidad 13| Intervalos de confianza
( 202,78; 219,23 )
4.
Se supone que el número de telespectadores (en millones) de un programa semanal de televisión se
aproxima a una distribución normal de desviación típica 0,5 (millones). Si una muestra aleatoria de
10 semanas proporciona una media muestral de 6,54 millones de telespectadores, calcula un intervalo al
95 % de confianza para la media semanal de telespectadores de ese programa.
La variable aleatoria X: “número, en millones, de telespectadores del programa” tiene una distribución:
N (µ ; 0,5
σ= )
La muestra aleatoria de 10 semanas tiene una media muestral x = 6,54 millones de telespectadores.
Como 1 − α = 0,95 , resulta
α
= 0,025 . De las tablas de la N(0,1), se obtiene que:
2
P ( Z < z0,025 ) =
1 − 0,025 =
0,975 ⇒ z0,025 =
1,96
De manera que el intervalo de confianza al 95% para la media semanal µ , en millones, es:
0,5
0,5 

IC0,95 =
; 6,54 + 1,96 =
(µ )  6,54 − 1,96

10
10 

5.
( 6,23; 6,85 )
El tiempo de espera para ser atendido en un cierto establecimiento se puede aproximar por una variable
aleatoria con distribución normal de media μ desconocida y desviación típica igual a 3 minutos. Se toma
una muestra aleatoria simple de tamaño 121.
a) Determina un intervalo de confianza con un nivel del 95 % para μ, si la media de la muestra es igual a 7
minutos.
b) Calcula la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media de la muestra y μ sea mayor que
0,5 minutos.
σ= ).
La variable aleatoria X: “tiempo de espera, en minutos” tiene una distribución N (µ , 3
a) La muestra aleatoria de tamaño 121 proporciona una media muestral x = 7 minutos.
Como 1 − α = 0,95 , resulta
α
= 0,025 . De las tablas de la N(0,1), se obtiene que:
2
⇒ z0,025 =
P ( Z < z0,025 ) =
1 − 0,025 =
0,975 1,96
De manera que el intervalo de confianza al 95% para la media semanal µ , en minutos, es:
3
3 

IC0,95 (µ )=  7 − 1,96
; 7 + 1,96
=
121
121 

( 6,5; 7,5 )
b) La distribución de la media muestral es también normal:
9 

~ X N (µ X , σ2X ) = N  µ , 
 121 
Para calcular la probabilidad de que X − µ > 0,5 , se calcula la probabilidad de que sea menor que 0,5 minutos,
y después la del suceso contrario. Por lo que, desarrollando y tipificando a la Z ~ N ( 0,1) :
(
) (
)
0,5 
 −0,5
P X − µ < 0,5 = P −0,5 < X − µ < 0,5 = P
<Z<
 = 2 Φ ( 0,17 ) − 1= 2·0,5675 − 1= 0,135 3 
 3
(
)
(
)
Y, por último: P X − µ > 0,5 = 1 − P X − µ < 0,5 = 1 − 0,135 = 0,865
Intervalos de confianza | Unidad 13
265
6.
7.
Ejercicio resuelto.
En una población se desea conocer la proporción de personas de estatura superior a 190 cm. Para ello se
elige una muestra aleatoria de 600 personas, de las que 60 miden más de 190 cm. Para la proporción de
personas que miden más de 190 cm en esta población:
a) Determina un estimador puntual.
b) Calcula un intervalo de confianza al 99 %.
c) Halla el nivel de confianza para el intervalo (0,076 ; 0,124)
Sea X: “número de personas, de las 600, que miden más de 190 cm”. La variable X tiene distribución binomial
B ( n = 600, p ) , siendo p la probabilidad de que una persona elegida al azar, en esa población, mida más de 190
cm.

a) Un estimador puntual para la proporción p , es la proporción muestral:=
p
60
= 0,1
600
 se puede aproximar por la de una distribución normal, dado que el
b) La distribución de la proporción muestral p
tamaño de la muestra es suficientemente grande:
 ~ N  µ= p ; σ2= p (1 − p ) 
p


600 

 en la estimación de la varianza y teniendo en cuenta que:
Aproximando p por p
α
α 0,99 ⇒= 0,005 ⇒ z=
z0,005
= 2,575
1 −=
α/ 2
2
Se tiene que un intervalo de confianza al 99% para la proporción poblacional p , de personas que miden más
de 190 cm, viene dado por:

0,1(1 − 0,1)
0,1(1 − 0,1)
 0,1 − 2,575
IC0,99 ( p ) =
;0,1 + 2,575

600
600


=
( 0,0685; 0,131 5 )


c) Tenemos que:
(
)
(

 1− p


 1− p
p
p
p
 +z
 −z
IC1−α ( p ) =
;p
α
α

n
n

2
2

)  =
( 0,076; 0,124 )




0,1(1 − 0,1)
0,1(1 − 0,1)
 0,1 − z α
IC1−α ( p ) =
;0,1 + z α

600
600
2
2


=
( 0,076; 0,124 )


Despejando z α de cualquiera de estas dos ecuaciones:
2
0,1 − z α
2
0,1(1 − 0,1)
0,1(1 − 0,1)
0,076 ; 0,1 + z α
=
0,124
=
600
600
2


α
α
0,975 =
1 − , con lo finalmente
Se obtiene que z α = 1,959 6  1,96 , por lo que P  Z < z α  =
= 0,025 .
2
2

2 
2
=
= 95 .
Como α =0,05 entonces 100 (1 − α
) 100 (1 − 0,05=) 100 ⋅ 0,95
Así pues, el nivel de confianza será del 95 %.
266
Unidad 13| Intervalos de confianza
8.
Un fabricante de automóviles ha realizado un estudio de mercado en un determinado municipio y ha
encontrado que de una muestra aleatoria de 500 turismos, 80 de ellos tienen motor diésel.
Con un nivel de confianza del 94 %, determina el intervalo de confianza para la proporción de turismos que
tiene motor diésel en este municipio.
Sea X: “número de turismos, de los 500, con motor diesel”. La variable X tiene distribución binomial B ( n = 500, p ) ,
siendo p la probabilidad de que un turismo elegido al azar, en ese municipio, tenga motor diesel.
Un estimador puntual para la proporción p , es la proporción muestral:

=
p
80
= 0,16
500
 se puede aproximar por la de una distribución normal, dado que el
La distribución de la proporción muestral p
tamaño de la muestra es suficientemente grande:
 ~ N  µ= p ; σ2= p (1 − p ) 
p


500 

 = 0,16 en la estimación de la varianza, y teniendo en cuenta que:
Aproximando p por p
α
1 −=
α 0,94 ⇒= 0,03 ⇒=
z α z=
1,88
0,03
2
2
Se tiene que un intervalo de confianza al 94 % para la proporción poblacional p , de turismos con motor diésel,
viene dado por:

0,16 (1 − 0,16 )
0,16 (1 − 0,16 )
 0,16 − 1,88
IC0,94 ( p ) =
; 0,16 + 1,88

500
500


=
( 0,129 2; 0,1908 )


9 y 10. Ejercicios resueltos.
11. En un estudio sobre gorriones se sabe que la distancia que recorren volando en una pasada, en busca de
alimento, sigue una distribución normal tanto en los machos como en las hembras. Las desviaciones
típicas poblacionales son de 80 y 75 m respectivamente. Con el fin de estimar la diferencia de medias de
distancias recorridas, se toma una muestra de 40 machos y 35 hembras y se determinan las medias
muestrales que son, respectivamente, 230 y 140 m. Halla un intervalo de confianza al 95 % para la
diferencia de medias poblacionales.
Se consideran las variables aleatorias:
X: “distancia, en metros, que recorre el macho de gorrión en una pasada”. X ~ N (µ X , σ X = 80 ) .
Y: “distancia, en metros, que recorre la hembra de gorrión en una pasada”. Y ~ N (µY , σY = 75 ) .
Se toman muestras aleatorias de n = 40 machos y de m = 35 hembras. Las distribuciones de las medias
muestrales son, respectivamente, las siguientes distribuciones normales:
80 
75 


X ~ ; N  µX , σX =
Y ~ N  µY , σY =


40 
35 


De modo que, la distribución de la diferencia entre la media muestral de los machos y la media muestral de las
hembras, es una distribución normal, con la media y la varianza que se indican a continuación:
2
2
2
752 
X − Y ~ N (µ X −Y , σ2X −Y=
+
= N (µ X − µY ;320,714 )
) N  µ X − µY , σnX + σmY = N  µ X − µY , 80
40
35 



Las muestras seleccionadas proporcionan los estimadores de las medias poblacionales:
=
x 230 m ; =
y 140 m
α
Por tanto, teniendo en cuenta que 1 −=
α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒=
z α z0,025
= 1,96 , un intervalo de confianza al
2
2
95 %, para la diferencia entre la media poblacional de los machos y la de las hembras, es:
IC0,95 (µ X − µY ) =
(230 − 140 − 1,96
)
320,714 ; 230 − 140 + 1,96 320,714 =
( 54,9;1 25,1)
Intervalos de confianza | Unidad 13
267
12. El contenido medio en azúcar de una muestra aleatoria de 50 envases de una bebida refrescante de la
marca A es 248 g, con una cuasidesviación típica de 7,2 g, en tanto que el contenido medio en una muestra
de 40 envases del mismo tamaño de la marca B es de 320 g, con una cuasidesviación típica de 4,26 g.
Obtén un intervalo de confianza al 97 % para la diferencia de contenido medio en azúcar de las marcas A y
B. A este nivel de confianza, ¿puede decirse que los envases de la marca B tienen mayor contenido en
azúcar que la marca A?
Se consideran las variables aleatorias:
N (µ X , σ X ) .
X: “contenido, en gramos, de azúcar en la bebida marca A”. X ~ N (µY , σY ) .
Y: “contenido, en gramos, de azúcar en la bebida marca B”. Y ~ Se toman muestras aleatorias de n = 50 envases de la marca A y de m = 40 envases de la marca B. Como los
tamaños muestrales son suficientemente grandes, las varianzas poblacionales pueden estimarse por las
cuasivarianzas muestrales.
Además, la distribución de la diferencia de la media muestral del contenido en azúcar de la marca A menos la
media muestral del contenido en azúcar de la marca B puede aproximarse por una distribución normal con la
media y varianza que se indican:
2
4,262 
X − Y ~ N (µ X −Y , σ2X −Y=
+
) N  µ X − µY , 7,2
50
40 

Las muestras seleccionadas proporcionan los estimadores de las medias poblacionales:
=
x 248 ; =
g y 320 m
α
Por tanto, teniendo en cuenta que 1 −=
z α z0,015
α 0,97 ⇒= 0,015 ⇒=
= 2,17 , un intervalo de confianza al 97 %,
2
2
para la diferencia entre la media poblacional de la marca A y la de la marca B es:

7,22 4,262
7,22 4,262 
IC0,97 (µ X − µY ) =
+
; 248 − 320 + 2,17
+
−
 248 − 320 − 2,17
=
( −74,65 ; 69,35
)

50
40
50
40 

Dado que el intervalo de confianza para la diferencia entre la media de A y la media de B, tiene los extremos
negativos, y, por tanto, no contiene al cero, puede decirse que el contenido medio de azúcar de los envases de la
marca B es significativamente más alto que el de la marca A.
13 a 15. Ejercicios resueltos.
268
Unidad 13| Intervalos de confianza
16. Para estimar la proporción de balances contables incorrectos de un banco, se seleccionan aleatoriamente
200 balances, y se encuentra que 19 de ellos son incorrectos.
a) Obtén un intervalo de confianza, al 95 %, para la proporción de balances incorrectos.
b) Calcula el tamaño muestral para que el error al estimar la proporción no sea superior a 0,02 al 99 % de
confianza.
La variable aleatoria X: “número de balances incorrectos del banco, de los 200 elegidos,” tiene una distribución
binomial B ( n = 200, p ) , con la probabilidad p, de que un balance elegido al azar sea incorrecto, desconocida.
Dado que el tamaño de la muestra, n = 200, es suficientemente grande, la distribución de la proporción muestral
de balances incorrectos se puede aproximar por una distribución normal:
p (1 − p ) 

 ~ , p
N  µ= p σ2=

200 


a) Aproximando p por =
p
19
= 0,095 , en la estimación de la varianza, y teniendo en cuenta que
200
α
1 −=
z α z0,025
α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒=
= 1,96 , se tiene que un intervalo de confianza al 95 %, para la proporción
2
2
poblacional p , viene dado por:

0,095 (1 − 0,095 )
0,095 (1 − 0,095 )
 0,095 − 1,96
IC0,95 ( p ) =
; 0,095 + 1,96

200
200


=
( 0,054 4; 0,135 6 )


b) El error cometido al estimar la proporción p mediante un intervalo de confianza es:
(
 1− p

p
E = zα
)
n
2
α
 = 0,095 y el error debe ser menor o igual que 0,02,
⇒ z0,005 = 2,575 . Además p
= 0,005 2
por lo que se tiene que:
Como 1 − α = 0,99 ⇒
zα
2
(
 1− p

p
n
) ≤ 0,02 ⇒ n ≥ 2,575
2
0,095 (1 − 0,095 )
⇒ n ≥ 1425,17
0,022
Por tanto, el tamaño de la muestra debería ser, al menos, de 1426 balances, para asegurar las condiciones
exigidas.
Intervalos de confianza | Unidad 13
269
17. En 169 poblaciones distintas en el territorio nacional, se ha encuestado a agentes inmobiliarios sobre el
precio de la vivienda, resultando que el precio medio por metro cuadrado es de 1764 €, con una desviación
típica de 258 €.
a) Estima el precio medio poblacional con un 97 % de confianza.
b) ¿De qué tamaño tendría que ser la muestra para hacer dicha estimación con un error menor de 30 €, con una
confianza del 97 %?
La distribución de la variable X: “precio, en euros, del metro cuadrado de vivienda” tiene media µ y desviación
típica σ, ambas desconocidas.
Para estimar ambos parámetros se selecciona una muestra de 169 viviendas. Al ser la muestra suficientemente
grande, la distribución de la media muestral se puede aproximar por la de una distribución normal, con media µ y
σ2
varianza
, en la que σ se puede aproximar por la desviación típica de la muestra. Es decir:
n
2582 

X ~ ,
N  µ σ2X =
n 

α
a) Como 1=
− α 0,97 ⇒= 0,015 ⇒ z0,015
= 2,17 , un intervalo de confianza al 97% para la media poblacional µ es,
2
por tanto:
258
258 

IC0,97=
,1
764 + 2,17
=
(µ )  1764 − 2,17

169
169 

(1720,93 ; 1 807,07 )
b) Si z0,015 = 2,17 y la desviación típica σ se puede estimar por 258 euros, para que el error E cometido en la
estimación de la media poblacional sea inferior a 30 euros, se debe cumplir que:
Error < 30 ⇒ =
E zα
2
σ
n
< 30 ⇒ 2,17
258
2
 2,17·258 
< 30 ⇒ n > 
=
 348,27
30


n
Por tanto, la muestra debería tener un tamaño de, al menos, 349 viviendas para que se satisfagan las
condiciones propuestas.
18. La dirección de un centro educativo, está interesada en conocer la opinión de los estudiantes de todos los
cursos a partir de primero de ESO, sobre determinados servicios que presta el centro.
Diseña una ficha técnica que sirva para la realización tal encuesta.
La ficha técnica debe contar, al menos, con los siguientes apartados:
1. Objetivos de la investigación: conocer la opinión de los estudiantes (a partir de 1.º de ESO) sobre algunos
servicios que presta el centro.
2. Descripción del universo o población objeto del estudio: todos los estudiantes matriculados en el centro, de
1.º ESO en adelante.
3. Método de selección de la muestra: estratificada, por ejemplo, por curso (1.º ESO, 2.º ESO, etc.) y dentro de
cada estrato una muestra aleatoria proporcional al tamaño del estrato.
Tamaño muestral: en total se encuestará a 300 alumnos.
4. El nivel de confianza será del 95 % y se admite un error de ± 5,7 % bajo supuesto de máxima indeterminación.
5. Descripción de cómo se ha llevado a cabo el trabajo de campo: mediante la realización de un cuestionario
anónimo que los estudiantes llevan a su casa y devuelven en sobre cerrado sin identificar.
6. Período de recogida de la información: del 5 al 10 de junio del presente curso.
7. Organismos, empresas o personas responsables del informe: departamento de Orientación.
270
Unidad 13| Intervalos de confianza
19. La Consejería de Turismo de una Comunidad Autónoma está interesada en conocer la opinión de los
turistas mayores de 18 años que visitan una ciudad de esta Comunidad.
Diseña una ficha técnica que recoja las características necesarias que debe tener ese estudio estadístico.
La ficha técnica debe contener, al menos, los siguientes apartados:
1. Objetivos de la investigación: conocer la opinión de los turistas que visitan la ciudad acerca de los servicios y la
información que presta la Oficina de Turismo.
2. Descripción del universo o población objeto del estudio: todos los visitantes de la ciudad en un año
determinado, mayores de 18 años que buscan información en las oficinas de turismo.
3. Método de selección de la muestra: muestra aleatoria por cuotas de edad y sexo y estratificada mensualmente
en función del número de visitantes esperados.
Tamaño muestral: muestra de tamaño 1500 personas.
4. El nivel de confianza será del 90 % y el error con el que se presentan los resultados de ±2,12 % bajo supuesto
de máxima indeterminación.
5. Descripción de cómo se ha llevado a cabo el trabajo de campo: mediante encuestas que se entregan a los
visitantes elegidos y que estos depositan, de forma anónima, en buzones habilitados al efecto.
6. Período de recogida de la información: todo el año en curso.
7. Organismos, empresas o personas responsables del informe: empresa contratada por la Consejería de turismo
mediante concurso público.
20 a 27. Ejercicios resueltos.
Intervalos de confianza | Unidad 13
271
EJERCICIOS
Intervalo de confianza para la media poblacional
28. Se ha obtenido una muestra de diez valores de una variable con distribución normal de media
desconocida y varianza σ2 = 3. Los valores observados son:
2,1; 2,5; 1,6; 2,4; 2,8; 2,0; 1,9; 1,2; 2,9; 3,2.
Construye un intervalo de confianza para la media con nivel de confianza del:
a) 90 %
b) 95 %
c) 99 %
(
)
La variable aleatoria X tiene una distribución N µ , 3
σ=
.
La muestra aleatoria tiene una media muestral de:
x
=
2,1 + 2,5 + 1,6 + 2,4 + 2,8 + 2,0 + 1,9 + 1,2 + 2,9 + 3,2
= 2,26
10
a) De 1 − α = 0,90 , resulta que
α
= 0,05 ; y de las tablas de la N(0,1), se obtiene que:
2
P ( Z < z0,05 ) =
1 − 0,05 =
0,95 ⇒ z0,05 =
1,645
Por lo que el intervalo de confianza al 90% para la media µ es:

3
3 
IC0,90=
; 2,26 + 1,645 =
(µ )  2,26 − 1,645

10
10 

b) De 1 − α = 0,95 , resulta que
(1,36 ; 3,16 )
α
= 0,025 ; y de las tablas de la N(0,1), se obtiene que:
2
P ( Z < z0,025 ) =
1 − 0,025 =
0,975 ⇒ z0,025 =
1,96
Por lo que el intervalo de confianza al 95% para la media µ es:

3
3 
IC0,90 =
; 2,26 + 1,96 =
(µ )  2,26 − 1,96

10
10 

c) De 1 − α = 0,99 , resulta que
(1,19; 3,33 )
α
= 0,005 ; y de las tablas de la N(0,1), se obtiene que:
2
P ( Z < z0,005 ) =
1 − 0,005 =
0,995 ⇒ z0,005 =
2,575
Por lo que el intervalo de confianza al 99% para la media µ es:

3
3 
IC0,90 =
; 2,26 + 2,575 =
(µ )  2,26 − 2,575

10
10 

272
Unidad 13| Intervalos de confianza
( 0,85; 3,67 )
µ
29. La cantidad de refresco que se sirve en cada vaso a la entrada de unos cines está normalmente distribuida
con una desviación típica de 15 mL. Se han medido las cantidades en los vasos de los 25 asistentes de una
determinada sesión que compraron un refresco y se ha obtenido un promedio de 200,8 mL. Fijado un nivel
de confianza del 90 %, calcula el intervalo de confianza para la media de la cantidad de refresco que se
sirve en cada vaso. Detalla los pasos realizados para obtener los resultados.
Se considera la variable aleatoria X: “cantidad de refresco que se sirve en cada vaso, en mL”.
La distribución de la variable X es normal, de media desconocida: X ~ N (µ , σ =15 )
Una muestra aleatoria de tamaño n = 25 , proporciona una media muestral x = 200,8 mL. Si el nivel de confianza
es del 90 % entonces:
α
1 −=
α 0,9 ⇒ = 0,05 ⇒ z0,05
= 1,645
2
De manera que el intervalo de confianza correspondiente para el contenido medio de refresco, µ , que se sirve en
cada vaso es:
15
15 

IC0,9=
; 200,8 + 1,645 =
(µ )  200,8 − 1,645
 (195,865 ; 205,735 )
25
25 

30. La edad a la que obtienen el permiso de conducir los habitantes de una determinada población es una
variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de media desconocida y desviación
típica de 4 años. Para estimar la media se elige aleatoriamente una muestra de 100 habitantes de dicha
población.
a) ¿Cuál es la varianza de la distribución muestral?
b) Si la media muestral es 24 años, halla un intervalo de confianza al 90 % para la media poblacional.
La variable aleatoria X: “edad, en años, a la que obtienen el permiso de conducir” tiene una distribución normal:
X ~ N (µ , σ =4 )
a) La media muestral tiene, también, una distribución normal X ~ N ( µ X , σ2X ) cuya varianza vale:
σ2X =
σ2
16
=
= 0,16
n 100
α
b) Como el nivel de confianza es del 90 %: 1 − =
α 0,9 ⇒ = 0,05 ⇒ z0,05
= 1,645
2
Por lo que, un intervalo de confianza al 90 %, para la media de edad poblacional a la que se obtiene el permiso
de conducir, es:
IC0,9 (µ=
)
(24 − 1,645
)
0,16; 24 + 1,645 0,16=
( 23,34; 24,66 )
31. Se desea estimar la presión arterial sistólica de las personas mayores de edad tras la realización de un
determinado ejercicio físico. La presión arterial sistólica media de una muestra aleatoria de 50 personas fue
de 190 mmHg, con una desviación típica estimada de 26 mmHg. Calcula un intervalo de confianza al
90 % para la presión sistólica media.
Sea X: “presión arterial sistólica, en mmHg, para personas mayores de edad, tras la realización de un ejercicio
físico”. Sean μ la media de X y σ su desviación típica.
Para estimar ambos parámetros, se elige una muestra aleatoria de n
= 50 personas que proporciona una media y
una desviación típica muestrales
de: x 190 mmHg ; =
=
σ 26 mmHg
Como el tamaño de la muestra es suficientemente grande, la distribución de media muestral puede aproximarse
por una distribución normal, y como el nivel de confianza es del 90 % tenemos que:
α
1 −=
α 0,9 ⇒ = 0,05 ⇒ z0,05
= 1,645
2
Un intervalo de confianza al 90 %, para la presión sistólica media poblacional μ, es:
26
26 

IC0,9 (=
µ )  190 − 1,645
; 1
90 + 1,645
=

50
50 

(183,95 ; 196,05 )
Intervalos de confianza | Unidad 13
273
32. El consumo bimestral de energía eléctrica de una población de 100 personas se distribuye normalmente
con una media de 59 kWh y una desviación típica de 6 kWh. Calcula el intervalo de confianza para la media
con un nivel de confianza del 97 %. Detalla los pasos realizados para obtener los resultados.
La variable aleatoria X: “consumo bimestral de energía eléctrica, en kWh”. La distribución de la variable X es
normal, de media y varianza desconocidas.
Una muestra aleatoria de n = 100 personas, proporciona una media muestral x = 59 kWh y una desviación típica
de σ
= 6 kWh. A un nivel de confianza del 97 % se tiene que:
α
1=
− α 0,97 ⇒= 0,015 ⇒ z0,015
= 2,17
2
De manera que el intervalo de confianza al 97 %, para la media µ , del consumo de energía eléctrica, es:
6
6 

IC0,97 (µ=
; 59 + 2,27
=
)  59 − 2,17

100
100 

( 57,698; 60,302)
33. Para una muestra de 49 pisos de dos habitaciones de una gran ciudad, el alquiler medio resultó igual a
425 €. Tomando una desviación típica igual a 50 €, construir un intervalo de confianza, del 97 %, para la
media del alquiler de los pisos de dos habitaciones de esa gran ciudad.
La variable aleatoria X: “precio del alquiler, en euros, de pisos de 2 habitaciones”.
Se desconoce la media µ de la distribución de X, pero se sabe que su desviación típica es σ =50 euros.
Una muestra aleatoria de n = 49 pisos proporciona una media muestral x = 425 € . Como la muestra es
suficientemente grande, la distribución de la media muestral puede aproximarse por una distribución normal. Es
decir:
502 

X ~ , N  µ X =µ σ2X =
49 

Teniendo en cuenta que a un nivel de confianza del 97% resulta que:
α
1=
− α 0,97 ⇒= 0,015 ⇒ z0,015
= 2,17
2
Un intervalo de confianza al 97%, para la media del alquiler de pisos de dos habitaciones, es:
50
50 

IC0,97 (=
µ )  425 − 2,17
; 425 − 2,17 =

7
7 

( 409,5 ; 440,5 )
Intervalo de confianza para la proporción
34. En una muestra de 450 jóvenes, 110 dicen que sus lecturas favoritas son cómics. Para un nivel del 90 %,
obtén un intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que tienen los comics como sus lecturas
favoritas.
La variable X: “la lectura favorita del joven es el cómic” es una variable de Bernoulli de parámetro p , probabilidad
de que la lectura favorita de un joven elegido al azar sea el cómic.
Si se selecciona una muestra de tamaño n = 450 , la distribución de la proporción muestral p̂ se puede aproximar
por la de una normal:
p (1 − p ) 

 ~ , p
N  µ= p σ2=

450 


En este caso, una estimación puntual para p es=
p
110
= 0,244 4 .
450
 para estimar la varianza, y teniendo en cuenta que:
Sustituyendo p por p
α
1 −=
1,645
α 0,90 ⇒= 0,05 ⇒ z=
0,05
2
Un intervalo de confianza al 90 % para la proporción p es:

0,244 4 1
( − 0,244 4 ) ; 0,244 4 + 1,645 0,244 4 1
( − 0,244 4 )
 0,2444 − 1,645
IC0,90 ( p ) =

450
450

274
Unidad 13| Intervalos de confianza

=
( 0,2111; 0,2777 )


35. Para estimar la proporción de personas con sobrepeso en una población se ha tomado una muestra
aleatoria simple de tamaño 100 personas, de las cuales 21 tienen sobrepeso. Calcula el intervalo de
confianza al 96 % para la proporción de personas con sobrepeso en la población.
Si de la población se elige una persona al azar, la variable X: “la persona tiene sobrepeso” es una variable de
Bernoulli de parámetro p , probabilidad de que una persona elegida al azar tenga sobrepeso.
Si se selecciona una muestra de tamaño n = 100 , la distribución de la proporción muestral p̂ se puede aproximar
por la de una normal:
 ~ N  µ= p , σ2= p (1 − p ) 
p


100 


En este caso, una estimación puntual para p es=
p
21
= 0,21 .
100
 para estimar la varianza, y teniendo en cuenta que:
Sustituyendo p por p
α
1 −=
2,055
α 0,96 ⇒= 0,02 ⇒ z=
0,02
2
Un intervalo de confianza al 96 % para la proporción p es:

0,21 1
( − 0,21) ; 0,21 + 2,055 0,21 1
( − 0,21)
 0,21 − 2,055
IC0,96 ( p ) =

100
100


=
( 0,1263; 0,2937 )


36. Una compañía aérea tiene contratada una empresa para la recuperación de los equipajes perdidos de sus
pasajeros. Para comprobar la eficiencia de la empresa, la compañía desea saber la proporción de equipajes
recuperados. Para ello realiza una encuesta a 122 pasajeros que perdieron el equipaje. De ellos, 103 lo
recuperaron.
a) ¿Cuál es la estimación de la proporción de equipajes recuperados?
b) Obtén el intervalo de confianza al 99 % para la proporción de equipajes recuperados.
Si de la población (pasajeros que perdieron el equipaje) se elige una persona al azar, la variable X: “la persona
recuperó el equipaje” es una variable de Bernoulli de parámetro p, que es la probabilidad de que una persona de
esa población elegida al azar haya recuperado el equipaje.
a) En este caso, si de la muestra de tamaño n = 122 pasajeros que perdieron el equipaje, 103 lo recuperaron, una
estimación puntual para p es:
 103
p
=
= 0,8443
122
b)
 se puede
Si se selecciona una muestra de tamaño n = 122 , la distribución de la proporción muestral p
aproximar por la de una distribución normal:
p (1 − p ) 

 ~ , p
N  µ= p σ2=

122 

 para estimar la varianza, y teniendo en cuenta que:
Sustituyendo p por p
α
1=
− α 0,99 ⇒= 0,005 ⇒ z0,005
= 2,575
2
Un intervalo de confianza al 99 % para la proporción p es:

0,8443 1
( − 0,8443 ) ; 0,8443 + 2,575 0,8443 1
( − 0,8443 )
 0,8443 − 2,575
IC0,99 ( p ) =

122
122


=
( 0,7598; 0,9288 )


Intervalos de confianza | Unidad 13
275
37. Una encuesta pregunta a los individuos de una población por la modificación de la ordenanza municipal. Se
entrevistó a 2 500 personas de las que 955 se decantaron por mantener la ordenanza municipal como está.
a) ¿Cuál es la estimación puntual del porcentaje de individuos que se inclinan por seguir manteniendo la
ordenanza actual del municipio?
b) Obtén un intervalo de confianza al 95 % para el porcentaje de población que prefiere mantener como está la
ordenanza municipal.
Si de la población se elige una persona al azar, la variable X: “la persona se decanta por mantener la ordenanza
municipal como está” es una variable de Bernoulli de parámetro p, probabilidad de que una persona de esa
población elegida al azar opine que la ordenanza municipal siga como está.
a) En este caso, si de la muestra de n
la estimación de p es:
= 2500 personas, 955 opinan que la ordenanza municipal siga como está,

=
p
b) Si se selecciona una muestra de tamaño n
aproximar por la de una distribución normal:
955
= 0,382
2500
= 2 500, la distribución de la proporción muestral
 se puede
p
p (1 − p ) 

 ~ , p
N  µ= p σ2=

2500 

 para estimar la varianza, y teniendo en cuenta que:
Sustituyendo p por p
α
1=
− α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96
2
Un intervalo de confianza al 95 % para la proporción p es:

0,382 1
( − 0,382 ) ; 0,382 + 1,96 0,382 1
( − 0,382 )
 0,382 − 1,96
IC0,95 ( p ) =

2500
2500

276
Unidad 13| Intervalos de confianza

=
( 0,363; 0,401)


Intervalo de confianza para la diferencia de medias
38. *Se supone que el gasto por persona en las rebajas de enero sigue una distribución normal. En la ciudad A,
es N (µ A , σ A =
50 ) . Para estimar el gasto medio por persona, en la ciudad A,
40 ) y en la ciudad B N (µ B , σB =
se ha seleccionado una muestra aleatoria de 100 personas y se ha obtenido un gasto medio de 225 €. Y
para estimar el gasto medio por persona en B, se eligió una muestra de 150 personas cuya gasto medio
ascendió a 350 €.
a) Construye un intervalo de confianza al 95% para la diferencia del gasto medio por persona en ambas ciudades
A y B, en las rebajas de enero.
b) ¿Se puede afirmar, con un nivel de significación del 5 %, que el gasto medio por persona en B es mayor que en
A?
a) Las distribuciones de las medias muestrales en las ciudades A y B son, respectivamente:
40 


=
X A ~ ; N  µA , σA
X B ~ N  µ B , σB
 =
100 


50 

150 
Y la distribución de la diferencia de las medias muestrales es también una distribución normal:
402 502


X A − X B ~ N  µ X A − X B = µ A − µ B ; σ2X A − X B =
+
= 32,67 
100 150


α
Dado que 1 −=
α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96 , un intervalo de confianza al 95 % para la diferencia del gasto
2
medio en A menos el gasto medio en B es:
(
)
IC0,95 (µ A − µ B ) =
225 − 350 − 1,96 32,67; 225 − 350 + 1,96 32,67 =
−
)
( −136,20 ; 113,80
b)
Puesto que el intervalo de confianza calculado en el apartado anterior no contiene al cero, ya que ambos
extremos son negativos, puede decirse que el gasto medio en B es significativamente mayor que el gasto
medio en A al 95 % de confianza (5 % de significación).
39. Las puntuaciones en las pruebas de acceso en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales siguen una
ley normal de media desconocida. En la universidad A la desviación típica es 1,8 puntos, mientras que en la
universidad B la desviación típica es de 2,2 puntos. En una muestra de 36 alumnos de la universidad A se
ha obtenido una puntuación media de 5,5 puntos y en una muestra de 48 de la universidad B, la puntuación
media ha sido de 7,2 puntos.
a) Calcula un intervalo de confianza del 90 % para la diferencia de las puntuaciones medias en Matemáticas
Aplicadas a las Ciencias Sociales, de las universidades A y B.
b) ¿Se puede afirmar que las puntuaciones medias son mejores en la universidad B que en la A, al 90 % de
confianza?
a) Las distribuciones de las medias muestrales en las universidades A y B son, respectivamente:
1,8 
2,2 


X A ~ ; N  µ X A =µ A , σ2X A =
X B ~ N  µ X =µ B , σ2X B =


36 
48 


La distribución de la diferencia de las medias muestrales es también una distribución normal:
1,82 2,22


X A − X B ~ N  µ X A − X B = µ A − µ B ; σ2X A − X B =
+
= 0,1908 
36
48


α
Como 1 −=
α 0,90 ⇒= 0,05 ⇒ z=
1,645 , un intervalo de confianza al 90 %, para la diferencia de la
0,05
2
puntuación media en MACS, en la universidad A, menos la puntuación media en la universidad B, es:
(
)
IC0,95 (µ A − µ B ) =5,5 − 7,2 − 1,645 0,1908 ; 5,5 − 7,2 + 1,645 0,1908 =
( −2,42; − 0,98 )
b)
Dado que el intervalo de confianza calculado en el apartado anterior no contiene al cero, ya que ambos
extremos son negativos, se puede afirmar que la puntuación media en la universidad B es significativamente
mayor que en la universidad A, al 90 % de confianza (10 % de significación).
Intervalos de confianza | Unidad 13
277
Error de la estimación y tamaño muestral
40. El tiempo de espera para ser atendido en la caja de un establecimiento sigue una distribución normal de
desviación típica 5 minutos.
a) Calcula el tamaño mínimo de la muestra para estimar, con un nivel de confianza del 95 %, el tiempo medio de
espera con un error que no sea superior a medio minuto.
b) ¿Cuál es dicho tamaño mínimo para un nivel de confianza del 99 %?
La variable aleatoria X: “tiempo de espera, en minutos, en la caja del establecimiento” tiene distribución normal,
con la media µ desconocida y desviación típica 5 minutos, es decir: X ~ N (µ , σ =5 ) .
α
a) Si el nivel confianza requerido es del 95 %, se tiene que: 1 −=
α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96 .
2
Y como el error E para estimar el tiempo medio de espera debe ser menor que 0,5 min; entonces:
= zα
E
σ
n
2
2
5
 1,96 ⋅ 5 
< 0,5 ⇒ n > 
= 384,16
n
 0,5 
< 0,5 ⇒ 1,96
Es decir, con las condiciones requeridas, se requiere un tamaño muestral de, al menos, 385 clientes para
estimar el tiempo medio de espera en la caja.
α
b) Si el nivel de confianza se eleva al 99 %, entonces: 1 −=
α 0,99 ⇒= 0,005 ⇒ z0,005
= 2,575 .
2
Y como el error E para estimar el tiempo medio de espera debe ser menor que 0,5 min; entonces:
= zα
E
2
σ
n
2
5
 2,575 ⋅ 5 
< 0,5 ⇒ n > 
= 663,1
n
 0,5 
< 0,5 ⇒ 2,575
Es decir, con las condiciones requeridas, se requiere un tamaño muestral de, al menos, 664 clientes para
estimar el tiempo medio de espera en la caja.
41. Se supone que el número de horas semanales dedicadas al estudio por los estudiantes de una universidad
sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 6 horas. Para estimar la media de
horas semanales de estudio se quiere utilizar una muestra de tamaño n.
Calcula el valor mínimo de n para que, con un nivel de confianza del 99 %, el error en la estimación sea
menor de 1 hora.
La variable X: “tiempo semanal, en horas, dedicado al estudio” tiene distribución normal N (µ , 6
σ = ) ; con µ desconocida.
Se selecciona una muestra de tamaño n. Si el nivel de confianza es del 99 %, entonces:
α
1 −=
z0,005
α 0,99 ⇒= 0,005 ⇒ 2,575
=
2
De manera que, para que el error de la estimación E sea menor que 1 hora, se debe cumplir que:
=
E zα
2
σ
n
< 1 ⇒ 2,575
6
n
< 1 ⇒ n > ( 2,575 ⋅=
6 ) 238,7
2
Es decir, debe tomarse una muestra de al menos 239 estudiantes para estimar la media µ con la precisión
deseada.
278
Unidad 13| Intervalos de confianza
42. Se supone que el precio de un kilo de patatas en una cierta región se puede aproximar por una variable
aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 10 céntimos de euro. Una muestra aleatoria
simple de tamaño 256 proporciona un precio medio del kilo de patatas igual a 19 céntimos de euro.
a) Determina un intervalo de confianza del 95 % para el precio medio de un kilo de patatas en la región.
b) Se desea aumentar el nivel de confianza al 99 % sin aumentar el error de la estimación ¿Cuál debe ser el
tamaño muestral mínimo que ha de observarse?
La variable aleatoria X: “precio, en céntimos de euro, del kilo de patatas”, tiene distribución normal, con la media µ
desconocida y desviación típica 10 céntimos de euro. Es decir:
X ~ N (µ , σ =10 )
a) Una muestra aleatoria de n = 256 kilos, proporciona una media muestral de x = 19 céntimos/kilo.
Si el nivel de confianza exigido es del 95%, entonces:
α
1 −=
α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96
2
De manera que un intervalo de confianza al 95 %, para el precio medio de un kilo de patatas, es:

IC0,95 (µ=
)  19 − 1,96

10
256
;1
9 + 1,96
10 
=

256 
(17,775; 20,225 ) céntimos
α
b) Si se aumenta el nivel confianza al 99 %, se tiene que: 1 −=
z0,005
α 0,99 ⇒= 0,005 ⇒ = 2,575 ; y como el error
2
σ
10
de estimación del apartado anterior =
es E z=
1,96 = 1,225 ; Si se desea un nivel de confianza al
α
n
256
2
99 % con el error anterior E, el tamaño muestral mínimo que debe observarse es:
=
E 2,575
10
2
 2,575 ⋅ 10 
≤ 1,225 ⇒n≥
=
 441,86
n
 1,225 
Es decir, con la nueva condición del 99 % de confianza, se requiere una muestra aleatoria de al menos 442
kilos de patatas para estimar el precio medio del kilo de patatas en la región, con las condiciones propuestas.
Intervalos de confianza | Unidad 13
279
Síntesis
43. En un determinado municipio, los ingresos mensuales de sus habitantes siguen una distribución normal de
media µ y desviación típica 200 €. Se seleccionó al azar una muestra de 100 personas cuya media de
ingresos mensuales resultó de 1060 €.
a) Para un nivel de confianza del 95 %, calcula un intervalo de confianza para el ingreso medio mensual en ese
municipio.
b) Si se toma un nivel de significación de 0,01, calcula el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el
ingreso medio mensual con un error menor de 30 €.
c) ¿Cuál tendría que ser el tamaño muestral para que, manteniendo el nivel de confianza del apartado anterior, el
error se redujese a la mitad?
Sea la variable aleatoria X: “ingresos mensuales, en euros, de los habitantes del municipio”. La distribución de X es
normal, con la media µ desconocida:
X ~ N (µ , σ =200 )
a) Una muestra aleatoria de n
confianza es del 95 %:
= 100 personas, proporciona una media muestral de x = 1060 €. Si el nivel de
α
1 −=
α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96
2
De manera que un intervalo de confianza al 95% para el ingreso mensual medio en ese municipio es:
200
200 

; 1060 + 1,96
IC0,95=
=
(µ )  1060 − 1,96

100
100 

(1020,8; 1099,2)
b) Si el nivel de significación es del 1 % (nivel de confianza 99 %), entonces:
α
1 −=
α 0,99 ⇒= 0,005 ⇒ z0,005
= 2,575
2
El error E para estimar el ingreso mensual medio debe ser menor que 30 €, por lo que:
=
E 2,575
200
2
 2,575 ⋅ 200 
< 30 ⇒ n > 
=
 294,7
30


n
Es decir, se requiere un tamaño muestral de, al menos, 295 personas para estimar el ingreso mensual medio
con las condiciones propuestas.
c) Para que el error E se reduzca, al menos, a la mitad, es decir a
=
E zα
2
σ
n
30
= 15 ; el tamaño muestral n debe cumplir:
2
2
≤
30
200
 2,575 ⋅ 200 
⇒ 2,575
≤ 15 ⇒ n ≥ 
=
 1178,8
2
15


n
Por tanto, el tamaño muestral tendría que ser de, al menos, 1179 personas, para que el error se reduzca a la
mitad.
280
Unidad 13| Intervalos de confianza
44. La estatura de los alumnos de un colegio es una variable aleatoria que tiene una distribución normal de
desviación típica 25 cm. Se ha elegido una muestra de 100 alumnos de ese colegio comprobándose que la
estatura media es de 170 cm. Calcula:
a) El intervalo de confianza para la estatura media con un nivel de confianza del 99 %.
b) El error máximo de estimación que se ha cometido en el intervalo anterior.
c) El tamaño muestral mínimo necesario para conseguir, con un nivel de confianza del 95 %, un error máximo de
8 cm en la estimación de la estatura media.
La variable aleatoria X: “estatura, en cm, de los alumnos del colegio” tiene distribución normal, con la media µ
desconocida y desviación típica 25 cm. Es decir,
X ~ N (µ , σ =25 )
a) Una muestra aleatoria de n = 100 alumnos, proporciona una media muestral de x = 170 cm. Si el nivel de
confianza exigido es del 99 %, entonces:
α
1=
− α 0,99 ⇒=
0,005 ⇒ z0,005
= 2,575
2
De manera que un intervalo de confianza al 99% para la estatura media de los alumnos del colegio es:

IC0,99 (=
µ )  170 − 2,575

b)
25
100
25 
=

100 
;1
70 − 2,575
(163,6; 176,4 )
El error máximo de estimación E que se comete con un nivel de confianza del 99 % es:
σ
25
=
E z=
2,575 = 6,44
α
n
100
2
c)
Si el nivel confianza es del 95 %, se tiene que :
α
1 −=
α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96
2
Como el error E para estimar la estatura media debe ser menor que 8 cm, entonces:
=
E 1,96
25
2
 1,96 ⋅ 25 
<8⇒n>
=
 37,52
8


n
Es decir, se requiere un tamaño muestral de, al menos, 38 alumnos para estimar la estatura media de los
alumnos del colegio con las condiciones establecidas.
Intervalos de confianza | Unidad 13
281
45. El tiempo de renovación de un teléfono móvil, expresado en años, se puede aproximar mediante una
distribución normal con desviación típica 0,4 años.
a) Se toma una muestra aleatoria simple de 400 usuarios y se obtiene una media muestral igual a 1,75 años.
Determina un intervalo de confianza al 95 % para el tiempo medio de renovación de un teléfono móvil.
b) Determina el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor absoluto de la diferencia entre la media
muestral y la media poblacional sea menor o igual a 0,02 años con un nivel de confianza del 90 %.
La variable aleatoria X: “tiempo, en años, de renovación de un teléfono móvil” tiene distribución normal, con la
media µ desconocida y desviación típica 0,4 años. Es decir:
X ~ N (µ; σ =0,4 )
a) Una muestra aleatoria de n = 400 usuarios, proporciona una media muestral de x = 1,75 años. Si el nivel de
confianza exigido es del 95 %, se cumple que:
α
1 −=
α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96
2
De manera que un intervalo de confianza al 95%, para el tiempo medio de renovación de un teléfono móvil, es:
0,4
0,4 

IC0,95 (=
µ )  1,75 − 1,96
;1
,75 + 1,96
=

400
400 

b)
(1,7108; 1,7892)
años
Si el nivel de confianza es del 90 %, se tiene que :
α
1 −=
z0,05
α 0,90 ⇒= 0,05 ⇒ = 1,645
2
Como el error E para estimar el tiempo medio de renovación debe ser menor o igual que 0,02 años, entonces:
=
E 1,645
0,4
2
 1,645 ⋅ 0,4 
≤ 0,02 ⇒n≥
=
 1082,41
n
 0,02 
Es decir, con las condiciones establecidas, se requiere un tamaño muestral de, al menos, 1083 usuarios para
estimar el tiempo medio de renovación de un teléfono móvil.
46. En una encuesta realizada en una población, se ha obtenido que 3700 de 4000 jóvenes encuestados tienen
reproductor de música en formato MP3. Determina, justificando la respuesta:
a) La estimación puntual que podríamos dar para el porcentaje de jóvenes que poseen reproductor de música en
formato MP3.
b) El error máximo que cometeríamos con dicha estimación, con una confianza del 90 %.
a) La variable X: “Número de jóvenes, de los 4000, que poseen un MP3” tiene distribución binomial
B ( n = 4000, p ) , donde p es la proporción desconocida de jóvenes de la población que poseen un MP3.
Una estimación puntual para p es la proporción muestral, que en este caso es:
 3700
p
=
= 0,925
4000
Es decir, se estima que el 92,5 % de los jóvenes posee un MP3.
b) Como el tamaño muestral es suficientemente grande, la distribución de la proporción muestral se puede
aproximar por una distribución normal, con lo que, si la confianza es del 90 %, se tiene que:
α
1 −=
α 0,90 ⇒= 0,05 ⇒ z0,05
= 1,645
2
Y, por tanto, el error máximo E que se cometería es:
0,925 1
( − 0,925 )
=
E 1,645
= 0,00685
4000
282
Unidad 13| Intervalos de confianza
47. La duración en kilómetros de los neumáticos de una cierta marca se puede aproximar por una variable
aleatoria con distribución normal de media µ desconocida y desviación típica igual a 3000 kilómetros.
a) Se toma una muestra aleatoria simple de 100 neumáticos y se obtiene una media muestral de 48 000
kilómetros. Determínese un intervalo de confianza con un nivel del 90 % para µ.
b) Calcúlese el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el valor absoluto de la diferencia entre la
media de la muestra y µ sea menor o igual a 1000 kilómetros con probabilidad mayor o igual que 0,95.
La variable aleatoria X: “duración, en kilómetros, de los neumáticos” tiene distribución normal, con la media µ
desconocida y desviación típica 3000 km. Es decir:
X ~ N (µ , σ =3000 )
a) Una muestra aleatoria de n = 100 neumáticos, proporciona una media muestral de x = 48 000 km. Si el nivel
de confianza exigido es del 90 %, entonces:
α
α 0,90 ⇒= 0,05 ⇒ 1 −=
z=
1,645
0,05
2
De manera que un intervalo de confianza al 90 % para la duración media µ de los neumáticos es:
3000
3000 

; 48000 + 1,645 =
IC0,90
=
(µ )  48000 − 1,645

100
100 

( 47506,5; 48 493,5 ) km
b) Si el nivel confianza debe ser del 95 %, se tiene que :
α
1 −=
α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96
2
El tamaño muestral mínimo que debe tener la muestra para que el error E no supere los 1000 km es:
=
E 1,96
3000
2
 1,96 ⋅ 3000 
≤ 1000 ⇒n≥
=
 34,574 4
 1000 
n
Es decir, se requiere una muestra aleatoria de, al menos, 35 neumáticos para estimar la duración media de los
neumáticos de la marca, con las condiciones propuestas.
48. La antigüedad de los aviones comerciales sigue una distribución normal con una desviación típica de 8,28
años. Se selecciona una muestra de 40 aviones y la media de la antigüedad es de 13,41 años.
a) Obtén un intervalo de confianza del 90 % para la antigüedad media.
b) ¿Cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para obtener un intervalo de confianza al 95 % con la
misma amplitud que el anterior?
σ=
La variable X: “antigüedad, en años, de los aviones comerciales” tiene distribución normal N (µ ; 8,28
) , con
µ desconocida.
Una muestra aleatoria de n = 40 aviones, proporciona una media muestral de antigüedad de x = 13,41 años.
a) Si el nivel de confianza exigido es del 90 %, entonces:
α
α 0,90 ⇒= 0,05 ⇒ 1 −=
z=
1,645
0,05
2
De manera que un intervalo de confianza al 90 %, para la antigüedad media µ de los aviones comerciales, es:
8,28
8,28 

IC0,90=
; 13,41 + 1,645 =
(µ )  13,41 − 1,645

40
40 

(11,256; 15,564 )
b) Si para seleccionar una muestra de tamaño n, el nivel de confianza es del 95 %, es decir:
α
1 −=
α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96
2
El error E que se permite es el mismo del intervalo anterior, es decir la mitad de la longitud del intervalo:
Entonces, debe ser:
8,28
=
E 1,645
= 2,153 6
40
8,28
2
 1,96 ⋅ 8,28 
≤ 2,1536 ⇒n≥
=
 56,79
n
 2,153 6 
Es decir, debe tomarse una muestra de al menos 57 aviones comerciales para estimar la antigüedad media µ
con las condiciones propuestas.
=
E 1,96
Intervalos de confianza | Unidad 13
283
CUESTIONES
49. Para estimar la proporción p de una característica X de una población mediante un intervalo de confianza
de nivel 100(1 − α) %, ¿cuál es el error máximo a priori que se puede cometer?
El error máximo a priori que se puede cometer, es el error de estimación por intervalos de confianza y coincide con
la mitad de la longitud del intervalo de confianza para la proporción p:


 
 x ± z p 1− p 
α


n


2


 1− p

p
Por tanto, dicho error es E = z α
.
n
2
(
(
)
)
50. Un estimador T1 es un 75 % más eficiente que otro estimador T2. Si la varianza de T1 es 6,25, ¿Cuál es la
varianza del estimador T2? El tamaño muestral es el mismo en ambos casos.
Un estimador T1 es un más eficiente que otro T2 si su varianza es menor, es decir, si: σ12 < σ2 2 , siendo:
Estimador
T1
T2
2
Varianza
σ1 =
6,25
σ22
σ12
= 0,75 .
σ22
Como el estimador T1 es un 75 % más eficiente el estimador T2 eso quiere decir que la varianza de T1 es el 75 %
σ12
6,25
2
de la varianza de T2, es decir: =
σ12 0,75 ⋅ σ2 2 , por tanto σ=
=
= 8,33 .
2
0,75 0,75
Se define, además, la eficiencia relativa entre los estimadores T1 y T2 como la razón
51. Para una muestra aleatoria se consideran la varianza y la cuasivarianza muestral como estimadores de la
varianza de la población. ¿Cuál es la relación entre ambos estimadores?
∑ ( xi − x )
∑ ( xi − x )
, y la cuasivarianza muestral como: s x 2 = i =1
.
=
n
n −1
n
Se define la varianza muestral como: σ x
2
2
n
2
i =1
La relación entre ambos estimadores es la siguiente nσ x 2 =
( n − 1) sx 2 ⇒ sx 2 =
n
s2
n
σx 2 ⇒ x 2 =
n −1
σx
n −1
La principal diferencia entre ambos es que la varianza, de una muestra aleatoria, es un estimador sesgado de la
varianza poblacional, mientras que la cuasivarianza, de esa misma muestra, es un estimador insesgado, es decir,
su media coincide con la de la varianza, por lo que, cuando se desconoce la varianza, se utiliza, preferentemente,
la cuasivarianza muestral como estimador.
284
Unidad 13| Intervalos de confianza
PROBLEMAS
52. El tiempo de espera en la cola de un supermercado sigue una distribución normal con media 180 segundos
y desviación típica 50 segundos.
a) Se toma una muestra de 64 clientes. Calcula la probabilidad de que la media de la muestra supere los 190
segundos.
b) Calcula el intervalo de confianza al 95 % para la espera media, si la media muestral de los 64 clientes es de
190 segundos de espera.
c) Calcula el tamaño mínimo que deben tener las muestras de manera que el intervalo de confianza, al 90 %, para
la espera media tenga longitud 22 segundos (semiamplitud 11 segundos)
Se considera la variable aleatoria X: “tiempo de espera, en segundos, en la cola de un supermercado”. La
=
σ
distribución de X es N=
(µ 180, 50
).
a) La media muestral de una muestra de n = 64 clientes tiene la siguiente distribución normal:
502


2
X ~ 180;
N  µ=
σ
=
= 39,0625 
X
X
64


Con lo que la probabilidad de que la media muestral supere los 190 segundos es:

190 − 180
P X > 190 = P  Z >

39,0625

(
b)
)

 = P ( Z > 1,6 ) = 1 − Φ (1,6 ) = 1 − 0,945 2 = 0,0548

Si la media de la muestra es de x = 190 segundos, y el nivel de confianza es del 95%, con lo que:
α
1 −=
α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96
2
Un intervalo de confianza al 95 % para el tiempo de espera medio en ese supermercado es:
50
50 

µ )  190 − 1,96
IC0,95 (=
;1
90 + 1,96 =

8
8 

c)
(177,75 ; 202,25 ) minutos
Si la confianza es del 90 %:
α
1 −=
α 0,90 ⇒= 0,005 ⇒ z0,005
= 1,645
2
De manera que el tamaño de la muestra para que el error al estimar el tiempo de espera medio sea inferior a
11 segundos debe verificar:
2
 50 
n > 1,6452 
55,91
 =
 11 
Es decir, debe seleccionarse una muestra de al menos 56 clientes para cumplir las condiciones propuestas.
Intervalos de confianza | Unidad 13
285
53. Las tensiones de ruptura de los cables fabricados por una empresa siguen una distribución normal
N (µ , σ =120 ) . A partir de una muestra de 70 cables se ha obtenido una tensión media de ruptura de 2100
kilos. Halla un intervalo de confianza al 95 % para la tensión media de ruptura.
¿Qué tamaño deberá tener la muestra para obtener un intervalo de confianza al 99 % con una amplitud
igual a la del anterior?
σ=
La variable X: “tensión de ruptura, en kilos, de los cables” tiene distribución normal N (µ , 120
) , con
µ desconocida.
Una muestra aleatoria de n = 70 cables, proporciona una media muestral para la tensión de ruptura de x = 2100
kilos. Si el nivel de confianza exigido es del 95 %:
α
1 −=
α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96
2
De manera que un intervalo de confianza al 95 % para la tensión de ruptura media µ de los cables es:
120
120 

; 2100 + 1,96 =
IC0,95=
(µ )  2100 − 1,96

70
70 

( 2071,888 ;
2128,112 )
Si para seleccionar una muestra de tamaño n, el nivel de confianza que se exige es del 99 %:
α
1 −=
z0,005
α 0,99 ⇒= 0,005 ⇒ = 2,575
2
El error E que se permite es el mismo del intervalo de confianza anterior, es decir la mitad de la longitud del
intervalo:
120
=
E 1,96
= 28,112
70
Por tanto, n debe cumplir:
2,575
120
2
 2,575 ⋅ 120 
≤ 28,112 ⇒n≥
120,82
 =
n
 28,112 
Es decir, debe tomarse una muestra de, al menos, 121 cables para estimar la resistencia media µ a la ruptura con
las condiciones propuestas.
286
Unidad 13| Intervalos de confianza
54. La valoración de las instituciones por parte de los ciudadanos se mide en unas unidades ficticias que se
pueden denominar como “u”. Se sabe que, en el caso de los españoles, dicha valoración sigue una
distribución normal con desviación típica 25 u.
a) Se elige una muestra de 100 españoles, dando una media de 180 u. Calcula un intervalo de confianza para la
media poblacional de la valoración de las instituciones, con una confianza del 90 %.
b) Si conocemos que la media poblacional es 182 u, calcula la probabilidad de que una muestra de tamaño 100
tenga media inferior a 180 u.
Se considera la variable aleatoria X: “valoración, en unidades u, de las instituciones por parte de los ciudadanos”.
La variable X tiene una distribución normal:
X ~ N (µ , σ =25 )
a) Una muestra de n = 100, ciudadanos españoles, proporciona una media muestral x = 180 u. Si el nivel de
confianza del intervalo es del 90 %, entonces:
α
1 −=
z=
α 0,90 ⇒= 0,05 ⇒ 1,645
0,05
2
De modo que el intervalo de confianza para la valoración media poblacional µ es:

IC0,90 (=
µ )  180 − 1,645

25
100
;1
80 + 1,645
25 
=

100 
(175,89; 184,11)
=
σ
b) En este caso, X ~ N=
(µ 182, 25
) ; con lo que la media muestral de una muestra de tamaño n
= 100, tiene
una distribución normal:
252 

2
182, σ=
X ~ N  µ=
X
X
100 

Por lo que, la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 180 u, es:



180 − 182 
P X < 180 = P  Z <
 = P ( Z < −0,8 ) = 1 − Φ ( 0,8 ) = 1 − 0,7881 = 0,2119
25




10
(
)
Intervalos de confianza | Unidad 13
287
55. La altura de los edificios de una ciudad sigue una distribución normal de media desconocida y desviación
típica 20 m.
a) Calcula el tamaño mínimo que ha de tener una muestra aleatoria de dichos edificios para que el error cometido
al estimar la altura media sea inferior a 2 m, con un nivel de confianza del 97 %.
b) Halla el intervalo de confianza al 95 % para la media de la altura de los edificios si una muestra aleatoria del
tamaño calculado en el apartado anterior, proporcionó una media muestral de 25,5 metros.
Sea la variable aleatoria X: “altura, en metros, de los edificios de la ciudad”. La distribución de X es normal de
media desconocida µ y desviación típica σ = 20 m.
α
a) Si el nivel de confianza es del 97 %, entonces: 1=
− α 0,97 ⇒= 0,015 ⇒ z0,015
= 2,17
2
Y como el error cometido E para estimar la altura media debe ser menor que 2, resulta:
=
E 2,17
20
2
 2,17 ⋅ 20 
<2⇒n>
=
470,89

2


n
Luego el tamaño mínimo de la muestra de edificios debe ser, al menos, de 471, para estimar la altura media
con las condiciones requeridas.
b) Con una muestra aleatoria de n
edificios de la población es:
= 471 edificios, el intervalo de confianza al 95 % para la altura media de los
α
1=
− α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96
2
20
20 
=
IC0,95 =
; 25,5 + 1,96
(µ )  25,5 − 1,96

471
471 

( 23,69; 27,31)
56. Se supone que el gasto que hacen los individuos de una determinada población en regalos de Navidad se
puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media µ y desviación típica igual a
45 €.
a) Se toma una muestra aleatoria y se obtiene el intervalo de confianza (251,6; 271,2) para µ, con un nivel de
confianza del 95 %. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.
b) Se toma una muestra aleatoria de tamaño 64 para estimar μ. Calcula el error máximo cometido por esa
estimación con un nivel de confianza del 90 %.
La variable aleatoria X: “gasto, en euros, en regalos de Navidad”, se puede aproximar por una distribución normal
N (µ , 45
σ = ) , con µ desconocida.
a) Dada una estimación puntual x para µ ,un intervalo de confianza al 95 % tiene la forma:

σ
σ 
IC1−α (µ )=  x − z α
, x + z α

n
n

2
2
De modo que la media muestral x , es el punto medio del intervalo de confianza. Por tanto:
251,6 + 271,2
= 261,4
2
α
Si la confianza es del 95 %, entonces: 1=
− α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96
2
=
x
Igualando, por ejemplo, el extremo superior del intervalo dado; 271,2; al del intervalo de confianza genérico al
95 %, se obtiene el tamaño de la muestra:
2
45
 1,96 ⋅ 45 
⇒=
n 
=
261,4 + 1,96 = 271,2  81
n
 9,8 
NOTA: el mismo resultado se obtiene si se igualan los extremos inferiores.
b) Si el tamaño de la muestra es de n = 64 y el nivel de confianza del 90 %, con lo que:
α
1=
− α 0,90 ⇒= 0,05 ⇒ z=
1,645
0,05
2
El error máximo E que se cometería al estimar µ es:
45
=
E 1,645
= 9,253 euros
8
288
Unidad 13| Intervalos de confianza
57. La proporción de mujeres de una población portadoras de hemofilia es desconocida. Para estimarla, se
elige una muestra aleatoria de 500 mujeres entre las que se encontraron 80 portadoras de la enfermedad.
a) Calcula un intervalo del 95 % de confianza para la proporción de mujeres portadoras de hemofilia de esa
población.
b) Suponiendo que aún no se tomó la muestra y queremos hacer una estimación cometiendo un error no superior
al 2 %, con 95 % de confianza, ¿de qué tamaño debería ser la muestra?
Se considera la variable X: “número de mujeres, de las 500, que son portadoras de hemofilia”. La distribución de X
es binomial B ( n = 500, p ) , con p, proporción de mujeres hemofílicas, desconocida.
En la muestra aleatoria de n = 500 mujeres, se encontró que 80 eran portadoras de la enfermedad. Por lo que una
estimación puntual de p es:
80
 =
=
p
0,16
500
a) Dado que n es suficientemente grande, la distribución de la proporción muestral puede aproximarse por la de
una normal. Para un nivel de confianza del 95 % resulta:
α
1 −=
α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96
2
De manera que un intervalo de confianza al 95 % para la proporción de p de mujeres hemofílicas en la
población es:

0,16 (1 − 0,16 )
0,16 (1 − 0,16 ) 
 0,16 − 1,96
=
IC0,95 ( p ) =
; 0,16 + 1,96
( 0,1279; 0,1921)


500
500


b) Para seleccionar una muestra de tamaño n, bajo supuesto de normalidad, si el nivel de confianza que se exige
z0,025 =
.
es del 95 %, se tiene que, nuevamente que 1,96
Entonces, como el error E que se tolera no debe ser mayor de 0,02 (es decir, 2 %):
0,16 (1 − 0,16 )
 1,96 
≤ 0,02 ⇒n≥
=
 0,16 (1 − 0,16 ) 1290,78
n
 0,02 
2
E 1,96
=
Es decir, debe tomarse una muestra de, al menos, 1291 mujeres para estimar la proporción p de mujeres
hemofílicas en la población con las condiciones propuestas.
Intervalos de confianza | Unidad 13
289
58. Una muestra de 2000 familias es seleccionada aleatoriamente en cierta ciudad. Se comprueba que 300 de
ellas disponen de acceso a internet desde su domicilio. Determina justificando la respuesta:
a) El intervalo de confianza al 99 % para el porcentaje de familias de esa ciudad que disponen de acceso a
internet desde su domicilio.
b) El error máximo que se comete, con una confianza del 99 %, si se estima que dicho porcentaje es un 15 %.
Se considera la variable X: ”la familia tiene acceso a internet desde su domicilio”, con distribución de probabilidad
Ber ( p ) , siendo p la probabilidad de que, en dicha ciudad, una familia elegida al azar tenga acceso a internet
desde su domicilio.
En una muestra aleatoria de 2000 familias, 300 de ellas disponen de acceso a internet desde el domicilio. Por tanto
una estimación puntual de p es:

=
p
300
= 0,15
2000
a) Dado que la muestra es suficientemente grande, la distribución de la proporción muestral puede aproximarse
por una distribución normal, es decir:

( − 0,15 )
 ~ N  p ; σ2 0,15 1
=
p
= 0,000 063 75 

2000


α
Si el intervalo de confianza es al 99 %, entonces: 1=
− α 0,99 ⇒= 0,005 ⇒ z0,005
= 2,575
2
De modo que un intervalo de confianza al 99 % para la proporción p es:
(
)
IC0,99 ( p ) =
0,15 − 2,575 0,000 063 75 ; 0,15 + 2,575 0,000 063 75 =
( 0,1294; 0,1706 )
Es decir, un intervalo de confianza al 99 % para el porcentaje de familias de esa ciudad que tiene acceso a
7,06 % )
internet desde su domicilio es (12,94 % ; 1
 = 0,15; que es el mismo valor que en el apartado anterior, el error máximo E que se cometería, con
b) Como p
una confianza del 99 %, es la semilongitud del intervalo calculado en el dicho apartado, es decir:
0,000 063 75 0,0206
E 2,575
=
=
Es decir, aproximadamente 2,06 %.
NOTA: En el apartado b), el error máximo E cometido en la estimación por intervalo también se puede obtener
directamente de la semilongitud del intervalo calculado en el apartado a). Es decir:
=
E
290
Unidad 13| Intervalos de confianza
0,1706 − 0,1294
= 0,0206
2
59. Un fabricante de automóviles ha realizado un estudio de mercado, en un determinado municipio, tomando
una nuestra de 500 turismos, y ha encontrado que 80 tienen motor diésel. Para un nivel de confianza
del 94 %:
a) Determina el intervalo de confianza de la proporción de turismos que tiene motor diésel en este municipio.
b) ¿Cuál es el error máximo de la estimación?
Se considera la variable X: “el turismo tiene motor diésel”, con distribución de probabilidad Ber ( p ) , siendo p la
probabilidad de que, en dicho municipio, un automóvil elegido al azar tenga motor diésel.
En una muestra aleatoria de 500 turismos, 80 de ellos tienen motor diésel. Por tanto una estimación puntual de p
es:
80
 =
=
p
0,16
500
a) Dado que la muestra es suficientemente grande, la distribución de la proporción muestral puede aproximarse
por una distribución normal, es decir:
( − 0,16 ) = 0,000 268 8 
 ~ N  µ= p; σ2 = 0,16 1
p


500


α
Si el intervalo de confianza es al 94 %, entonces: 1=
1,88
− α 0,94 ⇒
= 0,03 ⇒ z=
0,03
2
De modo que un intervalo de confianza al 94 % viene dado por:
IC0,94 ( p ) =
(0,16 − 1,88 ⇒
)
0,0002688 ; 0,16 + 1,88 ⇒ 0,0002688 =
( 0,1292 ; 0,1908 )
Es decir, un intervalo de confianza al 94 % para el porcentaje de familias de esa ciudad que tiene acceso a
internet desde su domicilio es (12,92 %; 1
9,08 % )
b) El error máximo E que se cometería al estimar la proporción p , con una confianza del 99 %, es la semilongitud
del intervalo calculado en el apartado anterior, es decir:
=
E 1,88
=
0,000 2688 0,0308
Por tanto, es, aproximadamente 3,08 %.
60. Se hace una encuesta sobre el nivel de conocimientos generales de los estudiantes de bachillerato de una
determinada ciudad. Para ello se ha elegido una muestra aleatoria de 9 de esos estudiantes, a los que se les
ha realizado un examen. Las calificaciones obtenidas han sido las siguientes:
7,8 6,5 5,4 7,1 5,0 8,3 5,6 6,6 6,2
Se supone que la variable objeto de estudio sigue una distribución normal de desviación típica 1.
Determina un intervalo de confianza al 98 % para la media de las calificaciones del examen.
La variable aleatoria X. “calificaciones del examen” tiene distribución normal N (µ , 1
σ = ) de media desconocida.
Para estimar µ se elige una muestra de tamaño n = 9, que proporciona una media muestral:
x
=
7,8 + 6,5 + 5,4 + 7,1 + 5,0 + 8,3 + 5,6 + 6,6 + 6,2
= 6,5
9
Que es una estimación puntual de la media µ .
α
Si la confianza es del 98 %, entonces: 1 −=
2,33
α 0,98 ⇒= 0,01 ⇒ z=
0,01
2
De manera que un intervalo de confianza al 98 % para la media de las calificaciones µ viene dado por:
1
1 

IC0,98 (µ=
; 6,5 + 2,33 =
)  6,5 − 2,33

9
9

( 5,723 ; 7,277 )
Intervalos de confianza | Unidad 13
291
61. Se considera una variable aleatoria con distribución normal de media µ y desviación típica igual a 210. Se
toma una muestra aleatoria simple de 64 elementos.
a) Calcula la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media µ de la
población sea mayor o igual que 22.
b) Determina un intervalo de confianza del 99 % para µ, si la media muestral es igual a 1532.
Se considera la variable aleatoria X ~ N (µ , σ =210 ) .
Si se selecciona una muestra aleatoria simple de tamaño n = 64, la media muestral X , tiene también distribución
normal:
2102


X ~ N  µ X =µ ; σ2X =
=689,0625 
64


a) Para calcular la probabilidad pedida, calculamos previamente la del suceso contrario, es decir:
(
)
(
P X − µ ≥ 22 = 1 − P X − µ < 22
)
Desarrollando y tipificando a la Z ~ N ( 0,1) :

−22
P X − µ < 22= P −22 < X − µ < 22= P 
<
 689,0625

(
) (
)
X −µ
689,0625
<

=

689,0625 
22
0,84
= P (−
< Z < 0,84 ) = 2 Φ ( 0,84 ) − 1 = 2 ⋅ 0,7995 − 1 = 0,5991
Con lo que, finalmente, se obtiene que:
(
)
(
)
P X − µ ≥ 22 = 1 − P X − µ < 22 = 1 − 0,5991= 0,4009
α
b) Como la confianza es del 99 % entonces: 1=
− α 0,99 ⇒= 0,005 ⇒ z0,005
= 2,575 . Si x = 1532 es una
2
estimación puntual de la media µ, un intervalo de confianza al 99 % para la media poblacional es:
IC0,99 =
(µ )
292
(1532 − 2,575
Unidad 13| Intervalos de confianza
)
689,0625 ; 1532 + 2,575 689,0625
=
(1464,41; 1599,59 )
62. El tiempo de espera para ser atendido en un restaurante se puede aproximar por una variable aleatoria con
distribución normal de media µ desconocida y desviación típica igual a 3 minutos. Se toma una muestra
aleatoria simple de tamaño 121.
a) Calcula la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media de la muestra y la media µ de la
población sea mayor que 0,5 minutos.
b) Determina un intervalo de confianza con un nivel del 95 % para µ, si la media de la muestra es igual a 7
minutos.
La distribución de la variable aleatoria X: “tiempo de espera, en minutos, para ser atendido en un restaurante”,
puede aproximarse por la de una distribución normal:
X ~ N (µ , σ =3 )
La distribución de la media muestral X de una muestra aleatoria de tamaño n = 121 es también normal:
32


X ~ N  µ X =µ ; σ2X =
=0,07438 
121


a) Para calcular la probabilidad pedida, calculamos previamente la del suceso contrario:
(
)
(
P X − µ > 0,5 = 1 − P X − µ ≤ 0,5
)
Desarrollando y tipificando a la Z ~ N ( 0;1) :
 −0,5
≤
P X − µ ≤ 0,5= P −0,5 ≤ X − µ ≤ 0,5= P 
 0,07438

(
) (
)
X −µ
≤
0,07438

0,5

0,07438 
1
= P ( − ,83 ≤ Z ≤ 1,83 ) = 2 Φ (1,83 ) − 1 = 2 ⋅ 0,9664 − 1 = 0,9328
(
)
(
)
Por tanto: P X − µ ≥ 0,5 = 1 − P X − µ ≤ 0,5 = 1 − 0,9328 = 0,0672
α
b) Si la confianza es del 95 % entonces: 1=
− α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96 ; y puesto que x = 7 es una
2
estimación puntual de la media µ , un intervalo de confianza al 95 % para el tiempo medio de espera en el
restaurante es:
IC0,95 (µ ) =
(7 − 1,96
)
0,07438 ; 7 + 1,96 0,07438 =
( 6,47; 7,53 )
63. En una encuesta, se ha preguntado a 10 000 estudiantes de Bachillerato sobre su consumo semanal de
refrescos y se ha calculado una media de 5 botes con una desviación típica de 2 botes.
a) Determina el intervalo de confianza para la media a un nivel del 95 %.
b) Si se acepta un error máximo de 0,25 botes para la media poblacional, y si queremos un nivel de confianza del
95 %, ¿cuántas personas es necesario entrevistar como mínimo?
Se considera la variable X: “número de botes de refrescos consumidos en una semana”. Dado que la muestra es
suficientemente grande, la distribución de la media muestral X , se puede aproximar por la siguiente distribución
normal:
4 

X ~ N  µ X = 5, σ2X =

10000 

a) Un intervalo de confianza para la media µ al 95 % viene dado por:
2
2 

; 5 + 1,96
IC0,95 =
( 4,96 ; 5,04 )
 5 − 1,96
=
100
100 

α
Para una confianza del 95% resulta: 1=
− α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96
2
b) Con el mismo nivel de confianza que en el apartado anterior, si el error E debe ser menor de 0,25 botes,
entonces:
=
E 1,96
2
2
 1,96 ⋅ 2 
≤ 0,25 ⇒n≥
=
 245,86
n
 0,25 
Se necesita, por tanto, entrevistar, al menos, a 246 personas para asegurar las condiciones establecidas.
Intervalos de confianza | Unidad 13
293
64. El peso (en gramos) de las manzanas de un agricultor es aleatorio, con distribución normal de desviación
típica igual a 30 g. Queremos construir un intervalo de confianza para la media del peso de las manzanas
del agricultor.
a) Determina el tamaño de la muestra para que el intervalo de confianza del 98 % tenga una amplitud menor o
igual que 10 g.
b) Si se toma una muestra de tamaño 100, se pesan las 100 manzanas y se calcula su promedio, que es igual a
160 g, construye el intervalo de confianza del 98 % para la media del peso de las manzanas del agricultor.
La variable aleatoria X: “peso, en gramos, de las manzanas” tiene una distribución N (µ , 30
σ = ) , con µ
desconocida.
α
a) La confianza del 98 % implica que: 1 −=
α 0,98 ⇒= 0,01 ⇒ z=
2,33
0,01
2
Para que la amplitud del intervalo (simétrico respecto a la media muestral) sea menor o igual que 10 g, que el
error E debe ser inferior o igual a 5 g, entonces:
=
E 2,33
2
30
 2,33 ⋅ 30 
≤ 5 ⇒ n ≥
=
 195,44
5


n
De manera que el tamaño mínimo de la muestra para que se satisfagan las condiciones propuestas debe ser
de 196 manzanas.
b)
En este caso, n = 100 y la estimación puntual para el peso medio es x = 160 g. De esta manera, un intervalo
de confianza al 98 % para el peso medio de las naranjas, µ es:
30
30 

IC0,98 =
;1
60 + 2,33
(153,01; 166,99 )
 160 − 2,33
=
100
100 

65. La temperatura durante los meses de verano en una ciudad sigue una distribución normal con una
desviación típica de 5 °C. Elegida una muestra y con un nivel de confianza del 98 %, se obtiene el intervalo
(25 °C, 30 °C). Calcula la media y el tamaño de la muestra elegida. Detalla los pasos realizados para obtener
los resultados.
La variable X: “temperatura, en ºC, en los meses de verano” tiene una distribución normal N (µ , 5
σ = ) , con la
media µ desconocida.
Como el intervalo de confianza, al 98 %, es (25, 30); la media de la muestra es el punto medio de ese intervalo de
confianza, es decir:
25 + 30
x = 27,5 º C
=
2
Para calcular el tamaño de la muestra, se tiene en cuenta que el máximo error cometido E al estimar la media µ
mediante un intervalo de confianza al 98 % es la semilongitud del intervalo.
α
Como 1 −=
2,33
α 0,98 ⇒= 0,01 ⇒ z=
0,01
2
Igualando el error máximo E cometido con la semilongitud del intervalo, se obtiene:
E = 2,33
5
2
 2,33 ⋅ 5 
= 2,5 ⇒ n= 
 = 21,72
n
 2,5 
En consecuencia, el tamaño de la muestra elegida debe ser, aproximadamente, de 22 días.
294
Unidad 13| Intervalos de confianza
66. En una encuesta electoral se ha preguntado, entre otras cosas, por la intención de voto a determinado
partido político A. La ficha técnica informa que se entrevistó a 1200 personas y que el error es inferior a
±2,7 %. De las 1200 personas, 340 dijeron que votarían al partido A. ¿Cuál es el nivel de confianza de esta
afirmación?
Si se desea obtener una estimación por intervalo con una precisión de ±1,5 %, al 97 % de confianza, ¿cuál
debe ser el número de personas entrevistadas?
Una estimación puntual de la proporción personas que tienen intención de votar al partido A es:

=
p
340
= 0,2833
1200
Dado que el tamaño de la muestra es suficientemente grande, la distribución de la proporción muestral se puede
aproximar por la de una distribución normal. De esta manera, como el error máximo cometido con esta estimación
es 0,027. Se tiene que:
(
)
 1− p

p
0,2833 (1 − 0,2833 )
α
= 2,7 = 0,027 ⇒=
⇒ 1=
−
⇒1
=
− α 0,9624
% ⇒ zα
z α 2,08 0,9812 n
1200
2
2
2
zα
2
De manera que el nivel de confianza de esa afirmación es del 96,24 %.
Si, al 97 % de confianza, se desea un intervalo con un error máximo de 0,015 (1,5 %), entonces, como
α
1=
− α 0,97 ⇒= 0,015 ⇒ z0,015
= 2,17 ; resulta que:
2
0,2833 (1 − 0,2833 )
 2,17 
≤ 0,015 ⇒ n≥ 
4249,33
 0,2833 (1 − 0,2833 ) =
n
 0,015 
2
2,17
Por tanto, se requieren, al menos, 4250 entrevistas para conseguir las condiciones propuestas.
67. La cantidad de horas que duermen los vecinos de un pueblo se puede aproximar por una distribución
normal con una desviación típica de 0,64 horas. Se toma una muestra aleatoria simple y se obtienen los
siguientes datos, en horas, que duermen cada noche:
6,9 7,6 6,5 6,2 7,8 7,0 5,5 7,6
7,3 6,6 7,1 6,9 6,7 6,5 7,2 5,8
a) Calcula la media muestral del número de horas que se duerme cada noche.
b) Determina el nivel de confianza para el cual el intervalo de confianza de la media de horas que se duerme cada
noche es (6,65; 7). Detalla los pasos realizados para obtener los resultados.
La variable X: “cantidad de horas que duermen los vecinos” tiene distribución N (µ ; 0,64
σ=
).
a) La muestra aleatoria de tamaño n = 16, proporciona una estimación puntual de la media µ:
x
6,9 + 7,6 + 6,5 + 6,2 + 7,8 + 7,0 + 5,5 + 7,6 + 7,3 + 6,6 + 7,1 + 6,9 + 6,7 + 6,5 + 7,2 + 5,8
= 6,825 horas
16
b) Si el intervalo de confianza para la media µ, de horas que se duerme cada noche, es (6,65; 7), el error máximo
E que se comete es la semilongitud del intervalo, es decir:
=
E
7 − 6,65
= 0,175
2
Para un nivel de confianza del 100 (1 − α ) % , con n=16, se tiene que:
=
E zα
2
α
0,64
0,175 ⋅ 4
= 0,175 ⇒=
zα
= 1,09 ⇒1
−= 0,8621 1
⇒ −=
α 0,7242
0,64
2
16
2
Por tanto el nivel de confianza es del 72,42 %.
Intervalos de confianza | Unidad 13
295
68. Se desea estimar la proporción de individuos con sobrepeso en una población. Para ello se va a tomar una
muestra aleatoria simple y se va a determinar, de cada individuo, si tiene sobrepeso o no, y a partir de los
resultados se construirá un intervalo de confianza para la proporción de individuos con sobrepeso en la
población. El intervalo se hará a un nivel de confianza del 96 %.
a) Si se quiere que el intervalo no tenga una amplitud mayor que 0,1; ¿qué tamaño de la muestra debemos
escoger?
b) Se decide tomar una muestra de tamaño 200 individuos, de los cuales 40 tienen sobrepeso. Calcula el intervalo
de confianza al 96 % para la proporción de individuos con sobrepeso en la población.
α
Dado que el intervalo debe tener un nivel del confianza del 96 %, entonces: 1 −=
α 0,96 ⇒ = 0,02 ⇒ z0,02
= 2,05 .
2
a) Si la amplitud del intervalo no debe ser mayor que 0,1; ello quiere decir que el error máximo E permitido es
0,05. Como no se dispone de estimación puntual para la proporción poblacional de individuos con sobrepeso,
 = 0,5 (que representa la situación más desfavorable). De esta manera:
se toma p
0,5 1
( − 0,5 ) ≤ 0,05  2,05 
⇒ n≥=
 0,5 ⋅ 0,5 420,25
n
 0,05 
2
=
E 2,05
Se debe elegir, por tanto una muestra de, al menos, 421 individuos para cumplir las condiciones propuestas.
 de la proporción p de individuos con sobrepeso en la población es:
b) Una estimación puntual p

=
p
40
= 0,2
200
Con lo que un intervalo de confianza al 96 % para p viene dado por:

0,2 (1 − 0,2 )
0,2 (1 − 0,2 )
 0,2 − 2,05
IC0,96 ( p ) =
; 0,2 + 2,05

200
200


=
( 0,142; 0,258 )


La muestra es lo suficientemente grande como para poder asumir que la distribución de la proporción muestral
es aproximadamente normal.
69. Se desea estudiar la proporción de alumnos repetidores de una región.
a) Se ha tomado una muestra de 200 alumnos, de los cuales 30 son repetidores. Construye un intervalo de
confianza, con un nivel del 95 %, para estimar la proporción de alumnos repetidores de la región.
b) ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo muestral para poder estimar la proporción de alumnos repetidores de la
región con un error máximo de estimación del 2 % si se desea un nivel de confianza del 90 %?
La variable X: “el alumno es repetidor” tiene una distribución de Bernoulli Ber ( p ) , con p desconocido. Con los
datos de la muestra, una estimación puntual de p es:

=
p
30
= 0,15
200
a) La distribución de la proporción muestral puede aproximarse por la de una distribución normal ya que el tamaño
de la muestra es suficientemente grande.
α
Como el nivel de confianza es del 95 % se tiene que: 1 −=
α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96
2
El intervalo de confianza para estimar p viene dado por:

0,15 1
( − 0,15 )
( − 0,15 ) ; 0,15 + 1,96 0,15 1
 0,15 − 1,96
IC0,95 ( p ) =

200
200


=
( 0,1005; 0,1995 )


α
b) Como el nivel de confianza es del 90 % se tiene que: 1 −=
α 0,90 ⇒= 0,05 ⇒ z0,05
= 1,645
2
Utilizando 0,5 como el caso más desfavorable para estimar la proporción desconocida y que el error máximo E
es de 0,02; se tiene que:
2
=
E 1,645
0,5 ⋅ 0,5
 1,645 
2
≤ 0,02 ⇒ n ≥ =
 0,5 1691,3
n
 0,02 
Por lo que el tamaño mínimo de la muestra, para que se satisfagan las condiciones propuestas, debe ser de
1692 alumnos.
296
Unidad 13| Intervalos de confianza
70. El mínimo tamaño muestral necesario para estimar la media de una variable aleatoria con distribución
normal de desviación típica σ, con un error máximo de 3,29 y un nivel de confianza del 90 %, supera en 7500
unidades al que se necesitaría si el nivel de confianza fuera del 95 % y el error máximo fuera de 7,84.
Exprésense los tamaños muestrales en función de la desviación típica σ y calcula la desviación típica de la
población y los tamaños muestrales respectivos.
La variable X tiene una distribución normal: X ~ , N (µ σ )
α
En el primer caso, como el nivel de confianza es del 90 % se tiene que: 1 −=
α 0,90 ⇒= 0,05 ⇒ z=
1,645
0,05
2
Además, si el error máximo E1 es 3,29 y el tamaño de la muestra es n, se tiene que:
2
 1,645 σ 
2
= 3,29 ⇒ n= 
 ⇒ n= 0,25 σ
n
 3,29 
σ
E1= 1,645
α
En el segundo caso, como el nivel de confianza es del 95 % se tiene que: 1 −=
α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96
2
Además, si el error máximo E2 es 7,84, y el tamaño de la muestra es m, se tiene que:
E2= 1,96
2
 1,96 σ 
2
= 7,84 ⇒ m= 
 ⇒ m= 0,0625 σ
m
 7,84 
σ
Como, n = m + 7500, simplificando y despejando σ2 se obtiene:
0,25 =
σ2 0,0625 σ2 + 7500 ⇒=
σ2
7500
= 40000 ⇒
=
σ 200
0,1875
Y el tamaño de las muestras es:
0,25 σ2 =
0,25 ⋅ 40000 =
10000 m =
0,0625 ⋅ 40000 =
2500
n=
71. Una industria conservera envasa latas de sardinas, cuyo peso, en gramos, sigue una distribución normal
con media µ y desviación típica 1 g. Para estimar el valor de µ, se selecciona una muestra de 30 latas, que
proporciona el intervalo (79,81; 80,49) como estimador de µ.
a) Calcula el peso medio de la muestra de 30 latas.
b) ¿Cuál es el nivel de confianza con el que se ha construido el intervalo?
c) Determina el tamaño muestral mínimo para que con un 99 % de confianza se estime el valor de la media con
un error menor que 0,2 g.
La variable X: “Peso, en gramos de las latas de sardinas” tiene una distribución normal N (µ , σ =1) .
a) El peso medio de la muestra de 30 latas es el punto medio del intervalo, es decir:
x
=
79,81 + 80,49
= 80,15 g
2
b) El nivel de confianza se obtiene igualando el máximo error a la semilongitud del intervalo
E
= zα
2
1
=
30
80,49 − 79,81
α
0,34 30
⇒ z=
= 1,86 1
⇒ − = 0,9686 1
⇒ −=
α 0,9371
α
2
2
2
Por lo que el nivel de confianza es del 93,71 %.
α
c) Si la confianza es del 99 %, entonces: 1 −=
α 0,99 ⇒= 0,005 ⇒ z0,005
= 2,575
2
Como el error de la estimación E debe ser menor de 0,2 gramos, tenemos que:
=
E 2,575
1
2
 2,575 
< 0,2 ⇒ n >  =
 165,8
n
 0,2 
El tamaño muestral mínimo, para cumplir las condiciones requeridas, es de 166 latas de sardinas.
Intervalos de confianza | Unidad 13
297
72. Para estimar la proporción de habitantes que es favorable a la construcción de un centro comercial en un
municipio, se ha obtenido el intervalo de confianza (0,31; 0,39), al 94 %.
a) ¿Cuál ha sido el valor de la proporción muestral?
b) Si la muestra aleatoria elegida de esa población para el estudio fue de 500 personas, ¿cuántas de ellas
deseaban la construcción del centro comercial?
c) Se desea repetir el estudio para obtener un intervalo de confianza con un error máximo de 0,03 y el mismo
nivel de confianza. ¿Cuántas personas, como mínimo, debe tener la nueva muestra aleatoria?
La variable aleatoria X: “el habitante seleccionado es favorable a la construcción de un centro comercial” es una
variable de Bernoulli Ber ( p ) , siendo p la probabilidad de que un habitante elegido al azar sea favorable a la
construcción del centro comercial.
a) El valor de la proporción muestral, que es una estimación puntual de p , es el punto medio del intervalo de
confianza dado. Es decir:
+ 0,39
 0,31
p
=
= 0,35
2
b) De las n = 500 personas de la muestra aleatoria, deseaban la construcción del centro comercial
500 · 0,35 = 175 personas.
α
c) Si el nivel de confianza es del 94 %, se tiene que: 1=
− α 0,94 ⇒= 0,03 ⇒ z=
1,88
0,03
2
Como el máximo error E que se permite es 0,03, entonces:
0,35 1
( − 0,35 ) ≤ 0,03  1,88 
⇒ n ≥
=
 0,35 (1 − 0,35 ) 893,42
n
 0,03 
2
=
E 1,88
Por lo que, para que se cumplan las condiciones impuestas, deben formar parte de la muestra, al menos, 894
personas.
73. En un tramo peligroso de una carretera, se sabe que la velocidad a la que circulan los vehículos sigue una
distribución normal de media desconocida y desviación típica σ = 15 km/h. Se tomó una muestra aleatoria
de 400 vehículos que circulaban por dicho punto peligroso, y se comprobó que la velocidad media de los
vehículos de dicha muestra era de 110 km/h.
a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional de la velocidad de circulación en el tramo peligroso,
con un nivel de confianza del 95 %.
b) Explica razonadamente el efecto que tendría sobre el intervalo de confianza el aumento o la disminución del
nivel de confianza.
La variable aleatoria X: “velocidad, en km/h, a la que circulan los vehículos” tiene una distribución normal
N (µ , 15
σ = ) , con µ desconocida.
Una muestra aleatoria de n = 400 vehículos proporciona una estimación puntual x = 110 km/h de la media μ.
α
a) El nivel de confianza del 95 %, implica que: 1=
− α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96 ; con lo que un intervalo de
2
confianza al 95 % para la media µ es:

IC0,95 (=
µ )  110 − 1,96

15
400
; 1
10 + 1,96
15 
=

400 
(108,53; 1 11,47 ) b) Si el nivel de confianza aumenta (disminuye) la amplitud del intervalo de confianza aumenta (disminuye) con lo
que la precisión en la estimación disminuye (aumenta). El motivo es que la abscisa zα , para la que
P ( Z < zα ) = 1 − α , de la distribución normal es mayor (menor) si se aumenta (disminuye) el nivel de confianza.
En efecto, si 100 (1 − α1 ) % < 100 (1 − α2 ) % entonces:
1 − α1 < 1 − α2 ⇒
α1 α2
σ
σ
>
⇒ z α1 < z α2 ⇒ z α1
< z α2
2
2
n
n
2
2
2
2
Y, por tanto, la longitud del intervalo correspondiente a la confianza 100 (1 − α1 ) % es menor que la longitud del
intervalo correspondiente a la confianza 100 (1 − α2 ) % .
298
Unidad 13| Intervalos de confianza
74. Un nuevo operador telefónico quiere lanzar en la ciudad una nueva línea de ADSL. Realiza una encuesta
entre 520 familias de la ciudad, de las cuales 150 contestan que se cambiarían al nuevo operador.
a) ¿En qué intervalo se encuentra la proporción de familias que cambiaría de operador, con una confianza
del 97 %?
b) Haciendo uso de la información muestral inicial, ¿qué tamaño muestral sería necesario para estimar la
proporción de familias que se cambiarían de operador, con un error menor del 2 % y una confianza del 95 %?
La variable aleatoria X: “la familia seleccionada se cambiaría al nuevo operador” es una variable aleatoria de
Bernoulli Ber (p) con p la probabilidad (desconocida) de que una familia elegida al azar cambie de operador.
Una estimación puntual de p, obtenida mediante una encuesta a 520 personas, es:
 150
=
p
= 0,288
520
α
a) Si la confianza del intervalo es del 97 %, entonces: 1=
− α 0,97 ⇒= 0,015 ⇒ z0,015
= 2,17
2
Y un intervalo de confianza para la proporción p viene dado por:
b)

0,288 (1 − 0,288 )
0,288 (1 − 0,288 ) 
 0,288 − 2,17
=
IC0,97 ( p ) =
; 0,288 + 2,17
( 0,245; 0,331)


520
520


α
Con una confianza del 95%, resulta: 1=
− α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96
2
De modo que para que el error cometido E en la estimación por intervalo sea menor de 0,02, debe ser:
0,288 1
( − 0,288 ) < 0,02 ⇒ n > 0,288
 1,96 
(1 − 0,288 ) 1969,35
 0,02=

n


2
=
E 1,96
Por lo que, para estimar la proporción de familias que cambiaría de operador, con las condiciones propuestas,
debería elegirse una muestra de, al menos, 1970 familias.
75. En un país en vías de desarrollo, se quiere estimar la proporción de mujeres en su población. El país se
compone de cuatro regiones A, B, C y D con 1 millón, 2 millones, 2,5 millones y 7 millones de habitantes
respectivamente. Se selecciona una muestra aleatoria estratificada del 1 % de la población, con afijación
proporcional.
a) ¿Cuántos habitantes de cada una de las regiones hay en la muestra?
b) Si en la muestra de la región A hay 5100 mujeres, ¿cuál es la estimación de la proporción de mujeres en esa
región?
c) Obtén el intervalo de confianza al 90 % para la estimación de la proporción de mujeres en la región A.
Se considera la variable X: “la persona elegida es mujer”, que es una variable aleatoria de Bernoulli Ber ( p ) , con
p probabilidad de que una persona elegida al azar sea mujer.
El total de la población es de 12,5 millones de habitantes repartidos en cuatro regiones.
a) En la tabla se puede ver el número de habitantes de cada región que se incluyen en la muestra, junto con el
total:
Población
Muestra
A
1 000 000
10 000
B
2 000 000
20 000
C
2 500 000
25 000
D
7 000 000
70 000
Total
12 500 000
125 000
b) El tamaño de la muestra en la región A es nA = 10 000 . Si en la muestra hay 5100 mujeres, una estimación
puntual de la proporción de mujeres en la región A es:
5100
= 0,51
10 000
α
c) Con un nivel de confianza de 90%, se tiene que: 1=
− α 0,90 ⇒= 0,05 ⇒ z0,025
= 1,645
2

=
p
A
De manera que un intervalo de confianza al 90% para la proporción de mujeres en la región A, pA , es:

0,51(1 − 0,51)
0,51(1 − 0,51)
 0,51 − 1,645
IC0,90 ( pA ) =
; 0,51 + 1,645

10000
10000


=
( 0,5018; 0,5182 )


Intervalos de confianza | Unidad 13
299
76. Se ha tomado una muestra aleatoria de 80 conejos en un criadero industrial. Se ha encontrado que 21 de
ellos presentaban una enfermedad que, probablemente, adquirían a través del pienso con que se les
alimentaba. Se sabe que la población de conejos en el criadero es de 12 000 unidades.
a) Determina, con una confianza del 92 %, entre qué valores se encuentra el número de conejos enfermos.
b) Haciendo uso de la información muestral inicial, ¿qué número de conejos será necesario estudiar para estimar
la proporción de conejos enfermos con un error menor del 7 % y con una confianza del 92 %?
Sea la variable aleatoria X: “el conejo elegido presenta la enfermedad”. La variable X tiene distribución de Bernoulli
Ber ( p ) , con p , la proporción de conejos enfermos, desconocida
Mediante una muestra aleatoria de n = 80 conejos se obtiene una estimación puntual de p :
 21
=
p
= 0,2625
80
α
a) Si la confianza es del 92 %, entonces: 1=
− α 0,92 ⇒= 0,04 ⇒ z=
1,75
0,04
2
De manera que un intervalo de confianza al 92% para la proporción p viene dado por:

0,2625 (1 − 0,2625 )
0,2625 (1 − 0,2625 )
 0,2625 − 1,75
IC0,92 ( p ) =
; 0,2625 + 1,75

80
80


=
( 0,1764; 0,3486 )


Esto quiere decir que, con una confianza del 92 %, entre el 17,64 % y el 34,86 % de los conejos del criadero
presentan la enfermedad. Aplicando estos porcentajes al total de 12 000 conejos del criadero, se obtiene que el
número de conejos enfermos está comprendido, al 92 % de confianza, en el siguiente intervalo:
( 0,1764 ⋅ 12 000; 0,3486 ⋅ 12 000 ) =
( 2116,8; 4183,2 )
α
b) Si la confianza debe ser ahora del 92 %, entonces: 1=
1,75
− α 0,92 ⇒= 0,04 ⇒ z=
0,04
2
Como se pide un error E inferior al 7 %:
0,2625 1
( − 0,2625 ) < 0,07 ⇒ n > 0,2625
 1,75 
=
(1 − 0,2625 ) 121
 0,07

n


2
=
E 1,75
De modo que para que se verifiquen las condiciones propuestas la muestra debe estar compuesta de, al
menos, 121 conejos.
300
Unidad 13| Intervalos de confianza
77. El saldo en cuenta a fin de año de los clientes de una cierta entidad bancaria se puede aproximar por una
variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 400 €. Con el fin de estimar la media
del saldo en cuenta a fin de año para los clientes de dicha entidad, se elige una muestra aleatoria simple de
100 clientes.
a) ¿Cuál es el nivel máximo de confianza de la estimación si se sabe que el valor absoluto de la diferencia entre la
media muestral y la media poblacional es menor o igual que 66 €?
b) Calcula el tamaño mínimo necesario de la muestra que ha de observarse para que el valor absoluto de la
diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea menor o igual que 40 €, con un nivel de confianza
del 95 %.
La variable aleatoria X: “saldo en cuenta, en euros, a fin de año de los clientes” tiene una distribución de
probabilidad que se puede aproximar por la de una distribución normal N (µ , 400
σ=
) , con la media µ
desconocida.
Se elige una muestra aleatoria de n = 100 clientes. La distribución de la media muestral es:
4002


X ~ N  µ X =µ , σ2X =
=1600 
100


a) Se sabe que el error E (diferencia en valor absoluto entre la media muestral y la poblacional) es menor o igual
que 66 €. Por tanto:
400
66
α
=
E zα ≤ 66 ⇒ z α ≤ = 1,65 ⇒1
− = 0,9505 ⇒1
−=
α 0,9011 40
2
100
2
2
El nivel de confianza es, por tanto del 90,11 %
α
b) Si el nivel de confianza es del 95 %, entonces: 1=
− α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96
2
Como el error E de la estimación por intervalo debe ser menor o igual de 40 €, se tiene que:
=
E 1,96
400
2
 1,96 ⋅ 400 
≤ 40 ⇒ n ≥
=
 384,16
40


n
Es decir, para que error cometido en la estimación sea menor o igual que 40 € con un 95 % de confianza se
deben tomar una muestra de, al menos, 385 clientes.
Intervalos de confianza | Unidad 13
301
AUTOEVALUACIÓN
Comprueba qué has aprendido
1.
*El peso de las barras de pan que se producen en un horno sigue una distribución normal con desviación
típica 33 gramos. Una muestra aleatoria de 100 barras proporciona un peso medio de 252
gramos:
a) Calcula un intervalo de confianza al 96 % para el peso medio de las barras.
b) Si se quiere estimar el precio medio con un error menor de 30 gramos, ¿cuál debería ser el tamaño muestral?
c) Si se quiere aumentar la confianza al 98 %, ¿cuánto hay que aumentar el tamaño muestral para que el error se
mantenga?
La variable X: “peso, en gramos, de las barras de pan” tiene una distribución normal N (µ , 33
σ = ) , la media µ
desconocida.
Con una muestra aleatoria de n = 100 barras se obtiene un peso medio de x = 252 g.
α
a) Si la confianza del intervalo es del 96 %, entonces: 1=
− α 0,96 ⇒= 0,02 ⇒ z=
2,054
0,02
2
De modo que un intervalo de confianza al 96 % para la media μ viene dado por:
33
33 

IC0,96 (=
µ )  252 − 2,054
; 252 + 2,054
=

100
100 

b)
( 245,222 ; 258,778 )
Si se quiere que el error cometido E, con una confianza del 96 %, al estimar el precio medio µ sea menor de
30 gramos:
=
E 2,054
2
33
 2,054 ⋅ 33 
< 30 ⇒ n > 
=
 5,105
30


n
Se precisa una muestra de, al menos, 6 barras de pan para estimar el peso medio con las condiciones
propuestas.
α
c) Si la confianza del nuevo intervalo es del 98 %, entonces: 1 −=
2,33
α 0,98 ⇒= 0,01 ⇒ z=
0,01
2
Como se mantiene el error E = 5,105; entonces:
E = z0,01
σ
n
= 30 ⇒ 2,33
33
2
 2,33 ⋅ 33 
= 30 ⇒ n > 
 = 6,56
 30 
n
La nueva muestra deberá tener en total, al menos, 7 barras; es decir 7 – 6 = 1 barras más.
302
Unidad 13| Intervalos de confianza
2.
En una encuesta se afirma que, con una confianza del 95 %, la proporción de fumadores está comprendida
entre el 28,2 % y el 34,4 %. Determina:
a) La proporción estimada con la muestra.
b) El error cometido en la estimación.
c) El tamaño de la muestra utilizada.
a) La proporción estimada con la muestra es el punto medio del intervalo de confianza dado. Es decir:
+ 0,344
 0,282
=
p
= 0,313
2
Lo que representa el 31,3 %.
b) El error cometido E en la estimación es la semiamplitud del intervalo:
=
E
0,344 − 0,282
= 0,031
2
α
c) Si la confianza es del 95%, entonces: 1=
− α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96
2
Igualando el error E, calculado en el apartado anterior, con el que se comete aproximando la distribución de la
proporción muestral por una distribución normal, se obtiene:
0,313 1
0,313 )
( −=
 1,96 
⇒n 
=
(1 − 0,313 ) 859,58
 0,313
n
 0,031 
2
=
0,031 1,96
Se ha utilizado, pues, una muestra aleatoria de 860 personas.
3.
Se supone que la vida útil de un dispositivo electrónico que fabrica una determinada empresa sigue una
distribución normal de media desconocida y desviación típica 60 horas. Para estimar la vida media se
quiere utilizar una muestra de tamaño n. Calcula el valor mínimo de n tal que, con un nivel de confianza del
99 %, el error de la estimación sea menor que 10 horas.
La variable aleatoria X: “tiempo, en horas, de duración del dispositivo electrónico” tiene una distribución de
probabilidad N (µ , 60
σ = ) con la media µ desconocida.
Con un nivel de confianza del 99 %, se tiene que:
α
1=
− α 0,99 ⇒= 0,005 ⇒ z0,005
= 2,575
2
De modo que, si se quiere que el error E, cometido en la estimación de µ, sea menor que 10 horas:
=
E 2,575
60
2
 2,575 ⋅ 60 
< 10 ⇒ n > 
=
 238,7
10


n
El tamaño mínimo de la muestra debe ser 239 bombillas.
Intervalos de confianza | Unidad 13
303
4.
El nivel de colesterol en sangre se supone que sigue una distribución normal. En una muestra de 300
personas de una población A, la media muestral del colesterol en sangre fue de 189 mmg/dL, con una
desviación típica de 40 mmg/dL. En otra población B, el análisis de sangre de 180 personas, proporcionó
una media muestral de 168 mmg/dL con una desviación típica de 50 mmg/dL. Halla un intervalo de
confianza al 90 % para la diferencia de las medias del colesterol entre ambas poblaciones.
Se considera la variable X: “nivel de colesterol en sangre, en mmg/dL”. La distribución probabilidad de X es normal.
Tanto la media como la desviación típica de X se estiman en cada una de las poblaciones A y B con una muestra
suficientemente grande.
=
nA 300 =
x A 189 =
σ A 40
=
nB 180 =
x B 168 =
σB 50
α
Una confianza del 90%, implica que: 1 −=
α 0,9 ⇒ = 0,05 ⇒ z0,05
= 1,645
2
Por tanto, un intervalo de confianza al 90 %, para la diferencia de medias de A menos B, viene dado por:

402 502
402 502 
IC0,9 (µ A − µ B ) =  189 − 168 − 1,645
+
; 1
89 − 168 + 1,645
+
=

300 180
300 180 

304
Unidad 13| Intervalos de confianza
(13,79; 28,21) Relaciona y contesta
Elige la única respuesta correcta en cada caso
1.
Como resultado de una encuesta se asegura que, con un nivel de confianza del 95 %, el porcentaje de
ciudadanos que quiere un carril bici está entre el 59 % y el 62 %. El tamaño mínimo de la muestra ha sido:
A. 4004 personas
B. 4080 personas
C. 4086 personas
D. No se puede saber con esos datos.
La proporción estimada con la muestra es el punto medio del intervalo de confianza dado, pues:
+ 0,62
 0,59
=
p
= 0,605
2
α
Si la confianza es del 95 %, entonces: 1=
− α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96
2
Como el error cometido E en la estimación es la semiamplitud del intervalo:
0,605 (1 − 0,605 ) 0,62 − 0,59
 1,96 
=
= 0,015 ⇒=
n 
=
) 4080,2
 0,605 (1 − 0,605
n
2
 0,015 
2
=
E 1,96
La respuesta, por tanto, es la B.
2.
Una encuesta realizada a 100 hogares, se obtiene como resultado que cada familia tira al año una media de
40 kg de plástico al contenedor de basura orgánica. Si la cuasivarianza muestral es 25, el límite superior
del intervalo de confianza al 90 % para la estimación de la media poblacional es:
A. 50,00 kg
B. 42,19 kg
C. 40,82 kg
D. 41,29 kg
Utilizamos la cuasivarianza muestral s2 = 25, como estimador de la varianza poblacional σ2.
La muestra aleatoria es de n = 100 hogares.
α
Si la confianza es del 90%, entonces: 1=
− α 0,90 ⇒= 0,05 ⇒ z=
1,645
0,05
2
El límite superior del intervalo de confianza se calcula de la siguiente manera:
x + z0,05
5
40 + 1,645 40,82
=
=
10
n
s
La respuesta, por tanto, es la C.
3.
Para estimar el precio medio de los libros de bolsillo, se elige una muestra aleatoria de 64 libros. El error
que se comete en la estimación por intervalo al 99 % de confianza es:
A. 0,64375
B. 0,64735
C. 0,64537
D. No se puede calcular.
La solución es la D, pues el error E se calcula mediante la fórmula E = z α
σ
n
2
, y tenemos los datos z α (que se
2
obtiene de la confianza del 99 %) y n = 64, pero falta la desviación típica σ.
Intervalos de confianza | Unidad 13
305
Señala, en cada caso, las respuestas correctas
4.
En la ficha técnica de una encuesta se ha borrado el número de entrevistas realizadas y no se dispone del
nivel de confianza, pero se sabe que el error de estimación es ±3,2 % bajo supuesto de máxima
indeterminación (p = 0,5). El nivel de significación y el tamaño de la muestra pueden ser:
A. 95 %; n = 1661
C. 99 %; n = 938
B. 95 %; n = 938
D. 99 %; n = 1661
α
Para el nivel de significación del 95 %: 1=
− α 0,95 ⇒= 0,025 ⇒ z0,025
= 1,96
2
α
Para el nivel de significación del 99 %: 1=
− α 0,99 ⇒= 0,005 ⇒ z0,005
= 2,575
2
El error E se calcula mediante la fórmula: E = z α
2
p (1 − p )
n
p (1 − p )
0,5 (1 − 0,5 )
Para la respuesta
A: E z=
=
1,96
= 0,024
0,025
n
1661
p (1 − p )
0,5 (1 − 0,5 )
Para la respuesta
B: E z=
=
1,96
= 0,032
0,025
n
938
p (1 − p )
0,5 (1 − 0,5 )
Para la respuesta
C: E z=
=
= 0,042
2,575
0,005
n
938
p (1 − p )
0,5 (1 − 0,5 )
Para la respuesta
D: E z=
=
2,575
= 0,032
0,005
n
1619
La respuestas correctas son, por tanto, la B y la D.
Señala el dato innecesario para contestar
5.
Para estimar un intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos poblaciones independientes se
necesita:
A. El tamaño de la muestra en cada población.
B. La media muestral en cada población.
C. El nivel de confianza.
D. La longitud del intervalo
Un intervalo de confianza para la diferencia de las medias se calcula mediante la fórmula:

σ X 2 σY 2
σ X 2 σY 2 
+
, X − Y + zα
+
 X − Y − zα
=

n
m
n
m 
2
2


σ X 2 σY 2 
+
 X − Y ± zα
 .

n
m 
2

Donde:
•
X eY son las medias muestrales de cada población.
•
σ X 2 y σY 2 son las varianzas de las poblaciones.
•
n y m son los tamaños de las muestras de cada población.
•
z α se obtiene a partir del nivel de confianza.
2
A simple vista parece que se necesitan casi todos los datos, pero hay que observar que la longitud del intervalo es
el doble del error de estimación
=
E zα
2
σ X 2 σY 2
. Es decir, que bastaría con la longitud del intervalo (dato D) y
+
n
m
con las medias muestrales X e Y (dato B) para poder calcular el intervalo de confianza.
La solución, pues, es que, en ese caso no serían necesarios los datos A, C.
306
Unidad 13| Intervalos de confianza
Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones
6.
1. El intervalo de confianza al 100(1 – α) % para la diferencia de medias de dos poblaciones normales
contiene el cero.
2. Las medias de las dos poblaciones no se pueden considerar diferentes al 100(1 – α) % de confianza.
A. 1 ⇒ 2
B. 2 ⇒ 1
C. 1 ⇔ 2
D. No hay relación posible.
Cuando el intervalo de confianza contiene el cero, porque cada extremo del intervalo es distinto signo, no se puede
afirmar, con el nivel de confianza del 100(1 – α) %, que la medias de una de las dos poblaciones sea mayor que la
otra, ya que dicho intervalo contiene tanto valores positivos como negativos.
En este caso tenemos la relación: 1 ⇒ 2
Si el intervalo confianza no contiene al cero entonces sí que se pueden considerar las medias de las poblaciones
diferentes, al 100(1 – α) % de confianza, por lo que tendremos la relación: 2 ⇒ 1
Así pues las afirmaciones 1 y 2 son equivalentes.
La relación correcta es la C: 1 ⇔ 2
Intervalos de confianza | Unidad 13
307
PRUEBA I SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Resuelve las siguientes cuestiones.
a) Se elige al azar un número de 4 cifras distintas escrito con las cifras 7, 2, 3 y 8. Calcula la probabilidad de que
dicho número sea mayor que 7500.
b) Sean A y B dos sucesos independientes, tal que P(A) = 0,2 y P(A ∩ B) = 0,16. Halla la probabilidad de A ∩ B.
a) Casos favorables: Los de la forma 78 _ _ y los de la forma 8 _ _ _ , es decir, P2 + P3 = 2! + 3! = 8
4!
= 24
Casos posibles: P=
4
Por tanto, P(El número sea mayor de 7500) =
8
1
= .
24 3
b) Si los sucesos A y B son independientes:
P(A ∩ B) = P(A)P(B) ⇒ 0,16 = 0,2 · P(B) ⇒ P(B) =
0,16
= 0,8
0,2
Si dos sucesos son independientes también lo son sus contrarios.
Como P ( A ) = 1 – P(A) = 1 – 0,2 = 0,8 y P ( B ) = 1 – 0,8 = 0,2, se tendrá:
P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) = 0,8 ⋅ 0,2 = 0,16
2.
Una urna, A, contiene siete bolas numeradas del 1 al 7. Otra urna, B, contiene cinco bolas numeradas del 1
al 5. Se lanza una moneda equilibrada, de forma que si sale cara, se extrae una bola de la urna A, y, si sale
cruz, se extrae de la urna B.
Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos:
a) “La bola haya sido extraída de la urna A y el número sea par”.
b) “El número de la bola extraída sea par”.
c) “La bola sea de la urna A, si ha salido un número par”.
Se consideran los sucesos:
C = “salir cara”
X = “salir cruz”
A = “se elije la urna A”
B = “se elije la urna B”
Par = “se extrae n.º par”
Impar = “se extrae nº impar”
a) Aplicando la fórmula de la probabilidad condicionada se tiene:
P(A ∩ par) = P(A)P(par|A) =
1 3
3
· =
2 7 14
b) Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total se tiene:
P(par) = P(A)P(par|A) + P(B)P(par|B) =
c) Aplicando el Teorema de Bayes:
P(A) P(par | A)
P(A |=
par)
=
P(par)
308
Bloque III Estadística
1 3
·
2=
7 15
29
29
70
1 3 1 2 29
· + · =
2 7 2 5 70
3.
En una localidad llueve en 73 de los 365 días del año. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva más de 2 días
en una semana cualquiera?
=
p
La probabilidad de que llueva un día cualquiera es
73
= 0,2 .
365
Se considera la variable X: “número de días que llueve en una semana”, X ∼ Bin(n = 7, p = 0,2).
Entonces, la probabilidad de que llueva más de 2 días en una semana cualquiera será:
P ( X > 2) =
1 − P ( X ≤ 2) =
1− P ( X =
0) − P ( X =
1) − P ( X =
2) =
7
7
7
 
 
 
5
5
= 1 −   0,20 ⋅ 0,87 −   0,2 ⋅ 0,86 −   0,22 ⋅ 0,8=
1 − 0,87 − 7 ⋅ 0,2 ⋅ 0,86 − 21⋅ 0,22 ⋅ 0,8=
0,148 032
0
1
2
4.
La duración de las baterías de una tableta tiene una distribución normal con media igual a 9 horas y con
desviación típica igual a 2 horas. Se toma una muestra aleatoria de 16 tabletas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías esté entre 7 horas y media, y 9 horas y
media?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías sea mayor de 10 horas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías sea menor de 8 horas?
La media de las muestras de tamaño n obtenidas en una población de media µ y desviación típica σ, N(µ, σ), se
2 

σ 

distribuye según una normal N  µ,
= N ( µ= 9, σ= 0,5 )
 . En este caso: N  µ= 9, σ=
n
16 


9,5 − 9 
 7,5 − 9
1) P(Z < 1) − P(Z < −=
3)
a) P 7,5 < X =
< 9,5 P 
<Z<
 = P ( −3 < Z <=
0,5 
 0,5
(
)
= 0,8413 – (1 – 0,9987) = 0,84.
10 − 9 

b) P X > 10 =P  Z >
 =P ( Z > 2 ) =1 − P ( Z < 2 ) = 1 – 09772 = 0,0228
0,5 

8−9

c) P X < 8 = P  Z <
 = P ( Z < −2 ) = 1 − P ( Z < 2 ) = 1 – 0,9772 = 0,0228.
0,5 

(
(
)
)
Bloque III Estadística
309
5.
Una empresa produce dispositivos electrónicos con pantalla HD. La resolución de estas pantallas sigue
una distribución normal de media desconocida y desviación típica σ = 20 píxeles. Se tomó una muestra
aleatoria de 100 dispositivos electrónicos y mediante un estudio estadístico se obtuvo el intervalo de
confianza (1076,08; 1083,92) para la resolución media de las pantallas elegidas al azar.
a) Calcula el valor de la resolución media de las pantallas de los 100 dispositivos electrónicos elegidos para la
muestra.
b) Calcula el nivel de confianza con el que se ha obtenido dicho intervalo.
c) ¿Cómo se podría aumentar o disminuir la amplitud del intervalo? Sin calcular el intervalo de confianza, ¿se
podría admitir que la media poblacional sea µ = 1076,08 píxeles con un nivel de confianza del 90 %? Razona
tus respuestas.
=
a) La media muestral es el punto medio
del intervalo: x
b) Como σ = 20, n = 100, x = 1080 y x + zα / 2
1080 + zα / 2
20
100
= 1083,92 ⇒ zα / 2 =
σ
n
1076,08 + 1083,92
= 1080
2
=
1083,92 , se tiene:
3,92·10
= 1,96 ⇒ Hay un 95 % de confianza.
20
σ 

c) La amplitud del intervalo es 2· zα / 2
.
n

En este caso, puesto que σ es fijo, la amplitud depende de los valores de zα / 2 y de n.
Si aumenta el tamaño muestral, el intervalo puede estrecharse; pero si se pide una mayor confianza, lo que
significa que zα / 2 debe ser mayor, el intervalo se ensancha.
Igualmente, para un menor nivel de confianza (manteniendo constantes los demás parámetros) el intervalo
disminuye su amplitud.
Así, si el nivel de confianza pasa del 95 % al 90 % el intervalo se estrecha, sería (1076,08; 1083,92), que tiene
menor amplitud que el dado. Esto significa que 1076,08 quedaría fuera de él. Luego no se puede admitir que la
media poblacional sea µ = 1076,08 píxeles. En todos los casos los sucesos (superar o no superar la prueba) son
independientes.
PRUEBA II SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
De un experimento se sabe que P(A) = 0,25, P(B) = 0,6 y P(A|B) = 0,15. La probabilidad del suceso A ∪ B es
de:
A. 0,09
B. 0,45
P(A ∩ B) = P(B)P(A|B) = 0,6 · 0,15 = 0,09
2.
C. 0,7
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,25 + 0,6 – 0,09 = 0,76
Decide cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas.
A. Si A y B son dos sucesos incompatibles, entonces P(A) + P(B) = 1.
B. Si A y B son dos sucesos independientes, entonces son también incompatibles.
C. Si A es un suceso imposible, también es independiente con cualquier otro suceso.
D. Si A es un suceso seguro, también es independiente con cualquier otro suceso.
Son correctas C y D.
Si P(A) = 0, entonces P(A ∩ B) = P( ∅ ) = 0 y P(A)· P(B) = 0
Si P(A) = 1, entonces P(A ∩ B) = P(B) y P(A)·P(B) = P(B)
310
Bloque III Estadística
D. 0,76
3.
Si Z sigue una distribución N(0, 1), P(Z > 1,2) es:
A. 0,8849
B. 0,7801
P(Z > 1,2) = 1 – P(Z < 1,2) = 1 – 0,8849
4.
0

=
f ( x ) kx
Para afirmar que la función

t
dicen:
1. a = 0
C. 0,2299
D. 0,1151
Solución: D
si x < a
si a ≤ x ≤ b es una función de densidad, con k, t, a, b ∈  nos
si x > b
2. b > 0
A. 1 es suficiente por sí sola, pero 2 no.
C. Son necesarias las dos.
B. 2 es suficiente por sí sola, pero 1 no.
D. Faltan más datos.
t siempre es nulo. Si conocemos a y b la constante k la podemos deducir teniendo en cuenta que el área
encerrada por la curva es 1. Por tanto faltan datos para responder.
Solución: D
5.
Dadas las siguientes afirmaciones:
1. X es una variable aleatoria discreta.
2. X es una variable aleatoria continua.
3. P(X = k) = 0, siendo k un número real cualquiera.
¿Cuál o cuáles de las siguientes relaciones entre las afirmaciones son ciertas?
A. 1 ⇒ 3
B. 2 ⇒ 3
C. 3 ⇒ 1
D. 3 ⇒2
Solución: B
6.
Indica cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones pueden completar la frase haciendo que la afirmación
sea cierta.
“A medida que el tamaño de la muestra tiende a infinito…
A. …la desviación típica de la distribución en el muestreo de la proporción tiende a 0”.
B. …la media de la distribución en el muestreo de la media tiende a infinito”.
C. …la desviación típica de la distribución en el muestreo de la media tiende a 0”.
D. …la media de la distribución en el muestreo de las sumas muestrales tiende a 0”.
A y C son correctas.
B no es correcta, ya que la media coincide con la media poblacional.
D no es correcta porque tiende a infinito, siempre que la media poblacional no sea nula.
Bloque III Estadística
311
El solucionario de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II de 2.º de Bachillerato forma parte
del Proyecto Editorial de Educación de SM. En su realización ha participado el siguiente equipo:
Autoría
Luis Sanz, Joaquín Hernández, María Moreno, Esteban Serrano
Edición
Alberto Villaseca, Oiana García, Teresa Boyero, Fernando de Blas, Fernando de Diego
Corrección científica
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Corrección
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Ilustración
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Diseño de cubierta e interiores
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Coordinación editorial de Matemáticas
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