Funciones - AFAMaC
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Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Funciones Dra. Karen R. Ríos-Soto Departamento de Ciencias Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Mayaguez AFAMaC, 6 de septiembre de 2010 Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Outline 1 Funciones Crecientes y Decrecientes 2 Otros tipos de funciones Función Recíproca Función a Trozos Función Valor Absoluto 3 Combinación de Funciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones 4 Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Definición Definition Sea I un intervalo que pertenece al dominio de la función f . Entonces, f es creciente en un intervalo I si f (b) > f (a) siempre que b > a en I. f es decreciente en un intervalo I si f (b) < f (a) siempre que b > a en I. f es constante en un intervalo I si f (b) = f (a) para todo a y b en I. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Definición Definition Sea I un intervalo que pertenece al dominio de la función f . Entonces, f es creciente en un intervalo I si f (b) > f (a) siempre que b > a en I. f es decreciente en un intervalo I si f (b) < f (a) siempre que b > a en I. f es constante en un intervalo I si f (b) = f (a) para todo a y b en I. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Definición Definition Sea I un intervalo que pertenece al dominio de la función f . Entonces, f es creciente en un intervalo I si f (b) > f (a) siempre que b > a en I. f es decreciente en un intervalo I si f (b) < f (a) siempre que b > a en I. f es constante en un intervalo I si f (b) = f (a) para todo a y b en I. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Definición Definition Sea I un intervalo que pertenece al dominio de la función f . Entonces, f es creciente en un intervalo I si f (b) > f (a) siempre que b > a en I. f es decreciente en un intervalo I si f (b) < f (a) siempre que b > a en I. f es constante en un intervalo I si f (b) = f (a) para todo a y b en I. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Ejemplo Función Creciente La función y = 2x + 5 es creciente en los números reales. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Ejemplo Función Decreciente La función y = −x 3 + 1 es decreciente en los números reales. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Ejemplo 1 Hallar los intervalos donde la función es creciente o decreciente. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Función Recíproca Función a Trozos Función Valor Absoluto Outline 1 Funciones Crecientes y Decrecientes 2 Otros tipos de funciones Función Recíproca Función a Trozos Función Valor Absoluto 3 Combinación de Funciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones 4 Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Función Recíproca Función a Trozos Función Valor Absoluto Definición y Ejemplo Función Recíproca Definition Una función recíproca para f (x) es definida de la forma siempre que f (x) 6= 0. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones 1 f (x) Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Función Recíproca Función a Trozos Función Valor Absoluto Outline 1 Funciones Crecientes y Decrecientes 2 Otros tipos de funciones Función Recíproca Función a Trozos Función Valor Absoluto 3 Combinación de Funciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones 4 Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Función Recíproca Función a Trozos Función Valor Absoluto Función por Partes Definition Una función definida a trozos es aquella cuya expresión contiene más de una fórmula para distintos valores del dominio. Ejemplos de la vida real: Enviar paquetes por correo dependiendo del peso, el origen y el destino. Población de alguna ciudad como función del tiempo. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Función Recíproca Función a Trozos Función Valor Absoluto Función por Partes Definition Una función definida a trozos es aquella cuya expresión contiene más de una fórmula para distintos valores del dominio. Ejemplos de la vida real: Enviar paquetes por correo dependiendo del peso, el origen y el destino. Población de alguna ciudad como función del tiempo. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Función Recíproca Función a Trozos Función Valor Absoluto Función por Partes Definition Una función definida a trozos es aquella cuya expresión contiene más de una fórmula para distintos valores del dominio. Ejemplos de la vida real: Enviar paquetes por correo dependiendo del peso, el origen y el destino. Población de alguna ciudad como función del tiempo. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Función Recíproca Función a Trozos Función Valor Absoluto Ejemplo de una Función por Partes Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Función Recíproca Función a Trozos Función Valor Absoluto Ejemplo 2 Grafique las siguientes funciones a trozos. ( −x si x < 0 a. f (x) = 2 si x ≥ 0 2 x si x ≤ −1 b. f (x) = x si − 1 < x ≤ 1 2 si x > 1 Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Función Recíproca Función a Trozos Función Valor Absoluto Ejemplo 2 Grafique las siguientes funciones a trozos. ( −x si x < 0 a. f (x) = 2 si x ≥ 0 2 x si x ≤ −1 b. f (x) = x si − 1 < x ≤ 1 2 si x > 1 Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Función Recíproca Función a Trozos Función Valor Absoluto Outline 1 Funciones Crecientes y Decrecientes 2 Otros tipos de funciones Función Recíproca Función a Trozos Función Valor Absoluto 3 Combinación de Funciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones 4 Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Función Recíproca Función a Trozos Función Valor Absoluto Radicales con Varibles La función valor absoluto es un ejemplo de una función a trozos. Definition La función valor ( absoluto está definida como −x si x < 0 f (x) = |x| = x si x ≥ 0 Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Outline 1 Funciones Crecientes y Decrecientes 2 Otros tipos de funciones Función Recíproca Función a Trozos Función Valor Absoluto 3 Combinación de Funciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones 4 Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Suma y Resta de Funciones Para obtener la función f + g, resultado de sumar dos funciones, f y g, sumamos, punto a punto, los valores de sus ordenadas. Es decir: h(x) = (f + g)(x) = f (x) + g(x). Similarmente, para obtener la función f − g, resultado de restar dos funciones, f y g,restamos, punto a punto, los valores de sus ordenadas. Es decir: h(x) = (f − g)(x) = f (x) − g(x). El dominio vive en la intersección de las funciones. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Suma y Resta de Funciones Para obtener la función f + g, resultado de sumar dos funciones, f y g, sumamos, punto a punto, los valores de sus ordenadas. Es decir: h(x) = (f + g)(x) = f (x) + g(x). Similarmente, para obtener la función f − g, resultado de restar dos funciones, f y g,restamos, punto a punto, los valores de sus ordenadas. Es decir: h(x) = (f − g)(x) = f (x) − g(x). El dominio vive en la intersección de las funciones. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Suma y Resta de Funciones Para obtener la función f + g, resultado de sumar dos funciones, f y g, sumamos, punto a punto, los valores de sus ordenadas. Es decir: h(x) = (f + g)(x) = f (x) + g(x). Similarmente, para obtener la función f − g, resultado de restar dos funciones, f y g,restamos, punto a punto, los valores de sus ordenadas. Es decir: h(x) = (f − g)(x) = f (x) − g(x). El dominio vive en la intersección de las funciones. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Ejemplo Suma y Resta Si f (x) = x 2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces, Suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x) = x 2 + 2 + 2x − 1 = x 2 + 2x + 1 Resta: (f − g)(x) = f (x) − g(x) = (x 2 + 2) − (2x − 1) = x 2 − 2x + 3 En ambos casos el dominio es todos los reales. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Ejemplo Suma y Resta Si f (x) = x 2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces, Suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x) = x 2 + 2 + 2x − 1 = x 2 + 2x + 1 Resta: (f − g)(x) = f (x) − g(x) = (x 2 + 2) − (2x − 1) = x 2 − 2x + 3 En ambos casos el dominio es todos los reales. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Ejemplo Suma y Resta Si f (x) = x 2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces, Suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x) = x 2 + 2 + 2x − 1 = x 2 + 2x + 1 Resta: (f − g)(x) = f (x) − g(x) = (x 2 + 2) − (2x − 1) = x 2 − 2x + 3 En ambos casos el dominio es todos los reales. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Ejemplo Suma y Resta Si f (x) = x 2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces, Suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x) = x 2 + 2 + 2x − 1 = x 2 + 2x + 1 Resta: (f − g)(x) = f (x) − g(x) = (x 2 + 2) − (2x − 1) = x 2 − 2x + 3 En ambos casos el dominio es todos los reales. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Multiplicación y Cociente de Funciones Para obtener la función f · g, resultado de multiplicar dos funciones, f y g, multiplicamos, punto a punto, los valores de sus ordenadas. Es decir: h(x) = (f · g)(x) = f (x) · g(x). Similarmente, para obtener la función gf , resultado de dividir dos funciones, f y g, dividimos, punto a punto, los valores desus ordenadas. Es decir: f (x) h(x) = gf (x) = g(x) , siempre que g(x) 6= 0. El dominio vive en la intersección de las funciones. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Multiplicación y Cociente de Funciones Para obtener la función f · g, resultado de multiplicar dos funciones, f y g, multiplicamos, punto a punto, los valores de sus ordenadas. Es decir: h(x) = (f · g)(x) = f (x) · g(x). Similarmente, para obtener la función gf , resultado de dividir dos funciones, f y g, dividimos, punto a punto, los valores desus ordenadas. Es decir: f (x) h(x) = gf (x) = g(x) , siempre que g(x) 6= 0. El dominio vive en la intersección de las funciones. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Multiplicación y Cociente de Funciones Para obtener la función f · g, resultado de multiplicar dos funciones, f y g, multiplicamos, punto a punto, los valores de sus ordenadas. Es decir: h(x) = (f · g)(x) = f (x) · g(x). Similarmente, para obtener la función gf , resultado de dividir dos funciones, f y g, dividimos, punto a punto, los valores desus ordenadas. Es decir: f (x) h(x) = gf (x) = g(x) , siempre que g(x) 6= 0. El dominio vive en la intersección de las funciones. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Ejemplo Multiplicación y Cociente Si f (x) = x 2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces, Suma: (f ·g)(x) = f (x)·g(x) = (x 2 +2)·(2x −1) = 2x 2 −x 2 +4x −2 y el dominio es todos los reales. f (x) (x 2 +2) Resta: gf (x) = g(x) = (2x−1) en este caso el dominio es todos los reales excepto x = 21 . Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Ejemplo Multiplicación y Cociente Si f (x) = x 2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces, Suma: (f ·g)(x) = f (x)·g(x) = (x 2 +2)·(2x −1) = 2x 2 −x 2 +4x −2 y el dominio es todos los reales. f (x) (x 2 +2) Resta: gf (x) = g(x) = (2x−1) en este caso el dominio es todos los reales excepto x = 21 . Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Ejemplo Multiplicación y Cociente Si f (x) = x 2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces, Suma: (f ·g)(x) = f (x)·g(x) = (x 2 +2)·(2x −1) = 2x 2 −x 2 +4x −2 y el dominio es todos los reales. f (x) (x 2 +2) Resta: gf (x) = g(x) = (2x−1) en este caso el dominio es todos los reales excepto x = 21 . Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Ejemplo 3 Halle la suma, resta, multiplicación y cociente de las siguientes funciones. Para cada uno de los casos establecer el dominio. a. f (x) = x + 5 y g(x) = 3 b. f (x) = x 2 y g(x) = 1 x Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Ejemplo 3 Halle la suma, resta, multiplicación y cociente de las siguientes funciones. Para cada uno de los casos establecer el dominio. a. f (x) = x + 5 y g(x) = 3 b. f (x) = x 2 y g(x) = 1 x Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Outline 1 Funciones Crecientes y Decrecientes 2 Otros tipos de funciones Función Recíproca Función a Trozos Función Valor Absoluto 3 Combinación de Funciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones 4 Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Composición Definition Dada las funciones f (x) y g(x), la composición de f con g, está dada por (f ◦ g)(x) = f (g(x)) donde g(x) es el dominio de f (x). Definition Dada las funciones f (x) y g(x), la composición de g con f , está dada por (g ◦ f )(x) = g(f (x)) donde f (x) es el dominio de g(x). Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Composición Definition Dada las funciones f (x) y g(x), la composición de f con g, está dada por (f ◦ g)(x) = f (g(x)) donde g(x) es el dominio de f (x). Definition Dada las funciones f (x) y g(x), la composición de g con f , está dada por (g ◦ f )(x) = g(f (x)) donde f (x) es el dominio de g(x). Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Diagrama Composición Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Ejemplo Composición Si f (x) = x 2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces, (f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (2x −1) = (2x −1)2 +2 = 4x 2 +4x +3 (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x 2 + 2) = 2(x 2 + 2) − 1 = 2x 2 + 3. En ambos casos el dominio es todos los reales. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Ejemplo Composición Si f (x) = x 2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces, (f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (2x −1) = (2x −1)2 +2 = 4x 2 +4x +3 (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x 2 + 2) = 2(x 2 + 2) − 1 = 2x 2 + 3. En ambos casos el dominio es todos los reales. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Ejemplo Composición Si f (x) = x 2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces, (f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (2x −1) = (2x −1)2 +2 = 4x 2 +4x +3 (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x 2 + 2) = 2(x 2 + 2) − 1 = 2x 2 + 3. En ambos casos el dominio es todos los reales. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Ejemplo Composición Si f (x) = x 2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces, (f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (2x −1) = (2x −1)2 +2 = 4x 2 +4x +3 (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x 2 + 2) = 2(x 2 + 2) − 1 = 2x 2 + 3. En ambos casos el dominio es todos los reales. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Ejemplo 4 Halle las composiciones f ◦ g, g ◦ f , g ◦ g y f ◦ f de las siguientes funciones. Para cada uno de los casos establecer el dominio. a. f (x) = x + 5 y g(x) = 3 b. f (x) = x 2 y g(x) = 1 x Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Ejemplo 4 Halle las composiciones f ◦ g, g ◦ f , g ◦ g y f ◦ f de las siguientes funciones. Para cada uno de los casos establecer el dominio. a. f (x) = x + 5 y g(x) = 3 b. f (x) = x 2 y g(x) = 1 x Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Ejemplo 5 Halle los valores de (f ◦ g)(8) y (g ◦ f )(9), para las funciones: √ f (x) = x, g(x) = x + 1. Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Ejemplo 6 Halle la composición de tres funciones, x f (x) = x+1 , g(x) = x 10 , h(x) = x + 3, esto es halle (f ◦ g ◦ h)(x). Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Reconociendo Composiciones de Funciones Dado una función debemos reconocer cuando es una composición identificando sus componentes. Por ejemplo en dado F (x) = F (x) = (f ◦ g)(x). En este caso f (x) = 1 x 1 3x+7 hallar f y g tal que y g(x) = 3x + 7. Verificando F (x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (3x + 7) = Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones 1 3x+7 . Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Reconociendo Composiciones de Funciones Dado una función debemos reconocer cuando es una composición identificando sus componentes. Por ejemplo en dado F (x) = F (x) = (f ◦ g)(x). En este caso f (x) = 1 x 1 3x+7 hallar f y g tal que y g(x) = 3x + 7. Verificando F (x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (3x + 7) = Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones 1 3x+7 . Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Reconociendo Composiciones de Funciones Dado una función debemos reconocer cuando es una composición identificando sus componentes. Por ejemplo en dado F (x) = F (x) = (f ◦ g)(x). En este caso f (x) = 1 x 1 3x+7 hallar f y g tal que y g(x) = 3x + 7. Verificando F (x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (3x + 7) = Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones 1 3x+7 . Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Reconociendo Composiciones de Funciones Dado una función debemos reconocer cuando es una composición identificando sus componentes. Por ejemplo en dado F (x) = F (x) = (f ◦ g)(x). En este caso f (x) = 1 x 1 3x+7 hallar f y g tal que y g(x) = 3x + 7. Verificando F (x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (3x + 7) = Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones 1 3x+7 . Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Ejemplo 7 Dado las siguientes funciones hallar f y g tal que F (x) = (f ◦ g)(x). √ a. F (x) = 8x + 5 b. F (x) = |x 2 + 1| c. F (x) = (10x + 1)3 Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Ejemplo 7 Dado las siguientes funciones hallar f y g tal que F (x) = (f ◦ g)(x). √ a. F (x) = 8x + 5 b. F (x) = |x 2 + 1| c. F (x) = (10x + 1)3 Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones Ejemplo 7 Dado las siguientes funciones hallar f y g tal que F (x) = (f ◦ g)(x). √ a. F (x) = 8x + 5 b. F (x) = |x 2 + 1| c. F (x) = (10x + 1)3 Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Outline 1 Funciones Crecientes y Decrecientes 2 Otros tipos de funciones Función Recíproca Función a Trozos Función Valor Absoluto 3 Combinación de Funciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones 4 Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Desplazamiento Vertical Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Ejemplo de Desplazamiento Vertical Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Ejemplo 8 Dibujar las gráficas de: a. f (x) = x 2 + 3 b. g(x) = x 3 − 1 c. h(x) = |x| + 2 Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Ejemplo 8 Dibujar las gráficas de: a. f (x) = x 2 + 3 b. g(x) = x 3 − 1 c. h(x) = |x| + 2 Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Ejemplo 8 Dibujar las gráficas de: a. f (x) = x 2 + 3 b. g(x) = x 3 − 1 c. h(x) = |x| + 2 Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Desplazamiento Horizontal Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Ejemplo de Desplazamiento Horizontal Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Ejemplo 8 Dibujar las gráficas de: a. f (x) = (x + 3)2 b. g(x) = (x − 1)3 c. h(x) = |x + 2| Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Ejemplo 8 Dibujar las gráficas de: a. f (x) = (x + 3)2 b. g(x) = (x − 1)3 c. h(x) = |x + 2| Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Ejemplo 8 Dibujar las gráficas de: a. f (x) = (x + 3)2 b. g(x) = (x − 1)3 c. h(x) = |x + 2| Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Outline 1 Funciones Crecientes y Decrecientes 2 Otros tipos de funciones Función Recíproca Función a Trozos Función Valor Absoluto 3 Combinación de Funciones Operaciones Básicas de Funciones Composición de Funciones 4 Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Reflexión de una Función Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Ejemplo de Reflexión Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Ejemplo 9 Dibujar las gráficas de: a. f (x) = −x 2 √ b. g(x) = −x √ b. h(x) = − x Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Ejemplo 9 Dibujar las gráficas de: a. f (x) = −x 2 √ b. g(x) = −x √ b. h(x) = − x Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones Traslaciones Verticales y Horizonales Reflexión Ejemplo 9 Dibujar las gráficas de: a. f (x) = −x 2 √ b. g(x) = −x √ b. h(x) = − x Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones
