Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales

Introducción
Problemas de valores frontera
Ejercicios
La ecuación del calor. Separación de variables
Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
Introducción a las ecuaciones en derivadas
parciales
Manuel Fernández Garcı́a-Hierro
Universidad de Extremadura, Badajoz
17 de enero de 2011
M. Fernández
Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales
Introducción
Problemas de valores frontera
Ejercicios
La ecuación del calor. Separación de variables
Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
I
Hasta ahora las ecuaciones diferenciales estudiadas han sido
relaciones entre una o más funciones de una variable y sus
derivadas. Se llaman ecuaciones diferenciales ordinarias.
M. Fernández
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La ecuación del calor. Separación de variables
Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
I
Hasta ahora las ecuaciones diferenciales estudiadas han sido
relaciones entre una o más funciones de una variable y sus
derivadas. Se llaman ecuaciones diferenciales ordinarias.
I
Problemas importantes en matemáticas aplicadas conducen a
ecuaciones en derivadas parciales.
M. Fernández
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Problemas de valores frontera
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La ecuación del calor. Separación de variables
Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
I
Hasta ahora las ecuaciones diferenciales estudiadas han sido
relaciones entre una o más funciones de una variable y sus
derivadas. Se llaman ecuaciones diferenciales ordinarias.
I
Problemas importantes en matemáticas aplicadas conducen a
ecuaciones en derivadas parciales.
I
Una ecuación en derivadas parciales es una relación entre una
o más funciones de varias variables y sus derivadas parciales.
M. Fernández
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La ecuación del calor. Separación de variables
Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
Ejemplo
I
La ecuación
∂3u
+
∂x 3
∂u
∂t
2
=
∂2u
∂x
es una ecuación en derivadas parciales para la función u(t, x).
M. Fernández
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Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
Ejemplo
I
La ecuación
∂3u
+
∂x 3
∂u
∂t
2
=
∂2u
∂x
es una ecuación en derivadas parciales para la función u(t, x).
I
Las ecuaciones
∂v
∂u
=
,
∂x
∂y
∂u
∂v
=−
∂y
∂y
son un sistema de ecuaciones en derivadas parciales para las
dos funciones u(x, y ) y v (x, y ).
M. Fernández
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Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
Definición
El orden de una ecuación en derivadas parciales es el orden de la
derivada parcial más elevada que aparece en la ecuación.
M. Fernández
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La ecuación del calor. Separación de variables
Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
Definición
El orden de una ecuación en derivadas parciales es el orden de la
derivada parcial más elevada que aparece en la ecuación.
Hay tres ecuaciones diferenciales de orden 2 que aparecen con
mucha frecuencia en las aplicaciones. Estas ecuaciones son:
I La ecuación del calor
∂2u
∂u
= α2 2 ,
∂t
∂x
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La ecuación del calor. Separación de variables
Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
Definición
El orden de una ecuación en derivadas parciales es el orden de la
derivada parcial más elevada que aparece en la ecuación.
Hay tres ecuaciones diferenciales de orden 2 que aparecen con
mucha frecuencia en las aplicaciones. Estas ecuaciones son:
I La ecuación del calor
∂2u
∂u
= α2 2 ,
∂t
∂x
I La ecuación de ondas
2
∂2u
2∂ u
=
c
,
∂t 2
∂x 2
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Series de Fourier
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Definición
El orden de una ecuación en derivadas parciales es el orden de la
derivada parcial más elevada que aparece en la ecuación.
Hay tres ecuaciones diferenciales de orden 2 que aparecen con
mucha frecuencia en las aplicaciones. Estas ecuaciones son:
I La ecuación del calor
∂2u
∂u
= α2 2 ,
∂t
∂x
I La ecuación de ondas
2
∂2u
2∂ u
=
c
,
∂t 2
∂x 2
I La ecuación de Laplace o del potencial
∂2u ∂2u
+
= 0.
∂x 2 ∂y 2
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La ecuación del calor. Separación de variables
Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
Al resolver las ecuaciones anteriores por el método de separación
de variables surge el siguiente problema:
M. Fernández
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La ecuación del calor. Separación de variables
Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
Al resolver las ecuaciones anteriores por el método de separación
de variables surge el siguiente problema:
¿Para qué valores de λ se pueden encontrar funciones no triviales
X (x) que cumplan
X 00 (x) + λX (x) = 0;
aX (0) + bX 0 (0) = 0, cX (l) + dX 0 (l) = 0?
M. Fernández
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Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
Al resolver las ecuaciones anteriores por el método de separación
de variables surge el siguiente problema:
¿Para qué valores de λ se pueden encontrar funciones no triviales
X (x) que cumplan
X 00 (x) + λX (x) = 0;
aX (0) + bX 0 (0) = 0, cX (l) + dX 0 (l) = 0?
El problema anterior se llama problema de valores frontera, puesto
que se suministra información sobre la solución X (x) y su derivada
X 0 (x) en la frontera del intervalo de extremos x = 0 y x = l,
mientras que en un problema de valor inicial se conoce el valor de
X (x) y de su derivada en un punto x = x0 .
M. Fernández
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De nuevo la ecuación del calor
El problema de valores frontera tiene soluciones no triviales solo
para algunos valores de λ
Ejemplo
Resuelva el problema de valores frontera
X 00 (x) + λX (x) = 0;
M. Fernández
X (0) = 0, X (l) = 0.
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Se cumple el siguiente teorema que establecemos sin demostración
M. Fernández
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Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
Se cumple el siguiente teorema que establecemos sin demostración
Teorema
El problema de valores frontera
X 00 (x) + λX (x) = 0;
aX (0) + bX 0 (0) = 0, cX (l) + dX 0 (l) = 0
tiene soluciones no triviales solo para un conjunto numerable de
valores λ1 ≤ λ2 , . . . tales que lı́mn→∞ λn = ∞.
M. Fernández
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Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
Se cumple el siguiente teorema que establecemos sin demostración
Teorema
El problema de valores frontera
X 00 (x) + λX (x) = 0;
aX (0) + bX 0 (0) = 0, cX (l) + dX 0 (l) = 0
tiene soluciones no triviales solo para un conjunto numerable de
valores λ1 ≤ λ2 , . . . tales que lı́mn→∞ λn = ∞.
Comentario
Los valores λn se llaman autovectores del problema de valores
frontera y las soluciones no triviales, Xn (x) se llaman autofunciones
correspondientes al autovalor λn .
M. Fernández
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Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
Se cumple el siguiente teorema que establecemos sin demostración
Teorema
El problema de valores frontera
X 00 (x) + λX (x) = 0;
aX (0) + bX 0 (0) = 0, cX (l) + dX 0 (l) = 0
tiene soluciones no triviales solo para un conjunto numerable de
valores λ1 ≤ λ2 , . . . tales que lı́mn→∞ λn = ∞.
Comentario
Los valores λn se llaman autovectores del problema de valores
frontera y las soluciones no triviales, Xn (x) se llaman autofunciones
correspondientes al autovalor λn . En el ejemplo, los autovalores
son λn = n2 π 2 /l 2 y las autofunciones son Xn (x) = sin(nπx/l)
M. Fernández
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De nuevo la ecuación del calor
Encuentre los autovalores y autofunciones de cada uno de los
siguientes problemas de valores frontera.
1. X 00 (x) + λX (x) = 0, X (0) + X 0 (0) = 0, X (1) = 0.
2. X 00 (x) + λX (x) = 0, X (0) = 0, X 0 (l) = 0.
3. X 00 (x) + λX (x) = 0, X 0 (0) = 0, X 0 (l) = 0.
4. X 00 (x) − λX (x) = 0, X 0 (0) = 0, X 0 (l) = 0.
5. X 00 (x) + λX (x) = 0, X 0 (0) = 0, X (l) = 0.
6. X 00 (x) + λX (x) = 0, X (0) = 0, X (π) − X 0 (π) = 0.
7. X 00 (x) + λX (x) = 0, X (0) − X 0 (0) = 0, X (1) = 0.
8. X 00 (x) + λX (x) = 0, X (0) − X 0 (0) = 0, X (π) − X 0 (π) = 0.
M. Fernández
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I
Separación de variables
Considérese una varilla de metal delgada de longitud l cuya
superficie está aislada.
M. Fernández
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Separación de variables
I
Considérese una varilla de metal delgada de longitud l cuya
superficie está aislada.
I
Sea u(t, x) la temperatura de la varilla en el tiempo t y el
punto x.
M. Fernández
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Separación de variables
I
Considérese una varilla de metal delgada de longitud l cuya
superficie está aislada.
I
Sea u(t, x) la temperatura de la varilla en el tiempo t y el
punto x.
I
Esta función cumple la ecuación
∂u
∂2u
= α2 2 ,
∂t
∂x
M. Fernández
0 < x < l.
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Separación de variables
I
Considérese una varilla de metal delgada de longitud l cuya
superficie está aislada.
I
Sea u(t, x) la temperatura de la varilla en el tiempo t y el
punto x.
I
Esta función cumple la ecuación
∂u
∂2u
= α2 2 ,
∂t
∂x
I
0 < x < l.
La constante α2 es el coeficiente de difusión térmico de la
varilla que depende únicamente del material de la que
está construida.
M. Fernández
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Separación de variables
Para conocer la temperatura de la varilla en cualquier tiempo,
u(t, x), se necesita conocer
I
La distribución inicial de temperatura, es decir, u(0, x).
I
¿Qué sucede en los extremos de la varilla? Por ejemplo, están
a la temperatura constante de cero grados, es decir,
u(t, 0) = 0, u(t, l) = 0, o bien ambos extremos están aislados,
de modo que el calor no puede pasar a través de ellos, es
decir, ux (t, 0) = ux (t, l) = 0.
M. Fernández
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Series de Fourier
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Separación de variables
Sea el problema de valor inicial-frontera
∂u
∂2u
= α2 2 ;
∂t
∂x
u(0, x) = f (x), 0 < x < l, u(t, 0) = u(t, l) = 0.
M. Fernández
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Separación de variables
Sea el problema de valor inicial-frontera
∂u
∂2u
= α2 2 ;
∂t
∂x
u(0, x) = f (x), 0 < x < l, u(t, 0) = u(t, l) = 0.
En primer lugar obsérvese que si u1 (t, x), . . . , un (t, x) son
soluciones del problema de valores frontera
∂u
∂2u
= α2 2 ;
∂t
∂x
u(t, 0) = u(t, l) = 0,
entonces c1 u1 (t, x) + · · · + cn un (t, x) donde c1 , . . . , cn ∈ R
también es solución del mismo problema de valores frontera.
M. Fernández
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Separación de variables
Ası́ que para resolver el problema de valor inicial-frontera se
utilizará la siguiente estrategia:
M. Fernández
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Series de Fourier
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Separación de variables
Ası́ que para resolver el problema de valor inicial-frontera se
utilizará la siguiente estrategia:
I
Encontraremos tantas soluciones u1 (t, x), u2 (t, x), . . . del
problema de valores frontera cuantas podamos.
M. Fernández
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Separación de variables
Ası́ que para resolver el problema de valor inicial-frontera se
utilizará la siguiente estrategia:
I
Encontraremos tantas soluciones u1 (t, x), u2 (t, x), . . . del
problema de valores frontera cuantas podamos.
I
Determinaremos la solución u(t, x) del problema de valor
inicial-frontera tomando una apropiada combinación lineal de
las funciones un (t, x), n = 1, 2, . . . , es decir, de la forma
u(t, x) = c1 u1 (t, x) + c2 u2 (t, x) + . . . ,
con c1 , c2 , . . . elegidos apropiadamente.
M. Fernández
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Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
En 1807 el ingeniero Joseph Fourier anunció a la Academia de
Ciencias Francesa que una función cualquiera admite un desarrollo
infinito en serie de senos y cosenos.
M. Fernández
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Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
En 1807 el ingeniero Joseph Fourier anunció a la Academia de
Ciencias Francesa que una función cualquiera admite un desarrollo
infinito en serie de senos y cosenos. Concretamente, si f (x)
está definida en el intervalo (−l, l) y
Z
1 l
nπx
an =
dx, n = 0, 1, 2, . . .
f (x) cos
l −l
l
bn =
1
l
Z
l
f (x) sin
−l
M. Fernández
nπx
dx, n = 1, 2, . . .
l
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De nuevo la ecuación del calor
En 1807 el ingeniero Joseph Fourier anunció a la Academia de
Ciencias Francesa que una función cualquiera admite un desarrollo
infinito en serie de senos y cosenos. Concretamente, si f (x)
está definida en el intervalo (−l, l) y
Z
1 l
nπx
an =
dx, n = 0, 1, 2, . . .
f (x) cos
l −l
l
bn =
1
l
Z
l
f (x) sin
−l
nπx
dx, n = 1, 2, . . .
l
Entonces, la serie infinita
∞
a0
πx
πx
a0 X nπx
nπx +a1 cos
+b1 sin
+· · · = +
an cos
+ bn sin
2
l
l
2
l
l
n=1
converge a f (x).
M. Fernández
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Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
I
El anuncio de Fourier causó un enorme rechazo. Muchos de
sus miembros más importantes, incluido Lagrange, pensaron
que el resultado de Fourier era falso.
M. Fernández
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Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
I
El anuncio de Fourier causó un enorme rechazo. Muchos de
sus miembros más importantes, incluido Lagrange, pensaron
que el resultado de Fourier era falso.
I
Este fue el inicio del Análisis de Fourier. A partir de este
momento, muchos matemáticos se pusieron a la tarea de
demostrar el resultado de Fourier.
M. Fernández
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Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
I
El anuncio de Fourier causó un enorme rechazo. Muchos de
sus miembros más importantes, incluido Lagrange, pensaron
que el resultado de Fourier era falso.
I
Este fue el inicio del Análisis de Fourier. A partir de este
momento, muchos matemáticos se pusieron a la tarea de
demostrar el resultado de Fourier.
I
En 1965, el matemático sueco Lennart Carleson demostró la
convergencia de la Serie de Fourier ( en casi todo punto del
intervalo [−l, l]) para funciones de cuadrado integrable en el
sentido de Lebesgue.
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Series de Fourier
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El siguiente teorema cubre la mayor parte de las situaciones que
aparecen en las aplicaciones.
Teorema
Sean f y f 0 funciones continuas a trozos en el intervalo [−l, l].
(Esto significa que f y f 0 tienen a lo sumo un número finito de
discontinuidades en el intervalo, y ambas f y f 0 tienen lı́mites
laterales por la derecha y por la izquierda en los puntos de
discontinuidad). La serie de Fourier de f ,
∞
a0 X nπx
nπx +
an cos
+ bn sin
,
2
l
l
n=1
M. Fernández
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Series de Fourier
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Teorema (Continuación)
donde
1
l
Z
1
bn =
l
Z
an =
l
f (x) cos
nπx
dx, n = 0, 1, 2, . . . ,
l
f (x) sin
nπx
dx, n = 1, 2, . . . ,
l
−l
l
−l
converge a f (x), si f es continua en x ∈ (−l, l) y a
(f (x + 0) + f (x − 0))/2, si f es discontinua en x ∈ (−l, l).
M. Fernández
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Comentario
La cantidad (f (x + 0) + f (x − 0))/2 es la media de los lı́mites
laterales por la derecha y por la izquierda de f en x. Si se redefine
f (x) = (f (x + 0) + f (x − 0))/2 en los puntos de discontinuidad del
intervalo (−l, l), entonces la serie de Fourier converge a f (x) en
todos los puntos del intervalo (−l, l).
M. Fernández
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Series de Fourier
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Supóngase que se ha redefinido f tal como se indica en el
comentario anterior y que se cumple el teorema de convergencia.
entonces
∞
nπx
nπx a0 X +
an cos
+ bn sin
,
f (x) =
2
l
l
−l < 0 < l.
n=1
nπx
Obsérvese que las funciones cos nπx
l y sin l son 2l- periódicas.
Entonces la serie de Fourier converge para todo x a una función
2l-periódica, llamada la extensión periódica de f , definida por
−l < x < l
F (x) = f (x),
F (x + 2l) = F (x).
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Definición
Una función f (x) es par si f (x) = f (−x). Una función f (x) es
impar si f (x) = −f (−x).
nπx
La función cos nπx
l es par y la función sin l es impar.
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I
El producto de dos funciones pares es una función par.
I
El producto de dos funciones impares es una función par.
I
El producto de una función par por una impar es una función
impar.
Rl
Si f (x) es impar, entonces −l f (x) dx = 0.
Rl
Rl
Si f (x) es par, entonces −l f (x) dx = 2 0 f (x) dx.
I
I
M. Fernández
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Lema
La serie de Fourier de una función par no contiene términos de la
forma sin nπx
l . Es decir, es una serie sólo de cosenos.
La serie de Fourier de una función impar no contiene términos de
la forma cos nπx
l . Es decir, es una serie sólo de senos.
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Series de Fourier
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Los resultados que siguen nos permiten resolver el problema de
valor inicial-frontera para la ecuación del calor.
Teorema
Sean f y f 0 continuas a trozos en el intervalo [0, l]. Supóngase que
f se ha redefinido de forma que f (x) = (f (x + 0) + f (x − 0))/2 en
los puntos de discontinuidad de (0, l).
Entonces f admite un desarrollo en solo cosenos
∞
nπx
a0 X
+
an cos
,
2
l
0 < x < l,
n=1
donde
an =
2
l
Z
l
f (x) cos
0
nπx
dx,
l
M. Fernández
n = 0, 1, 2, . . . .
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Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
Teorema
Sean f y f 0 continuas a trozos en el intervalo [0, l]. Supóngase que
f se ha redefinido de forma que f (x) = (f (x + 0) + f (x − 0))/2 en
los puntos de discontinuidad de (0, l).
Entonces f admite un desarrollo en solo senos
∞
X
bn sin
n=1
donde
2
bn =
l
Z
nπx
,
l
l
f (x) sin
0
0 < x < l,
nπx
dx,
l
M. Fernández
n = 1, 2, . . . .
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Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
Otro problema de valor inicial-frontera para la ecuación del calor
Sea el problema de valor inicial-frontera
∂u
∂2u
= α2 2 ;
∂t
∂x
u(0, x) = f (x), 0 < x < l, u(t, 0) = u(t, l) = 0.
Se ha visto que la función
u(t, x) =
∞
X
cn sin
n=1
nπx −α2 n2 π2 t/l 2
e
l
es solución del problema de valores frontera
∂u
∂2u
= α2 2 ;
∂t
∂x
u(t, 0) = u(t, l) = 0.
cualesquiera que sean c1 , c2 , . . .
M. Fernández
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Otro problema de valor inicial-frontera para la ecuación del calor
Esto nos conduce a preguntarnos si existen constantes c1 , c2 , . . .
tales que
u(0, x) =
∞
X
cn sin
n=1
nπx
= f (x),
l
0 < x < l.
Como ya hemos visto la respuesta es sı́, siempre que f y f 0 sean
continuas en [−l, l]. Tomando
cn =
la serie de Fourier
P∞
2
l
n=1 cn
Z
l
f (x) sin
0
nπx
dx ,
l
sin nπx
l converge a la función f (x).
M. Fernández
Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales
Introducción
Problemas de valores frontera
Ejercicios
La ecuación del calor. Separación de variables
Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
Otro problema de valor inicial-frontera para la ecuación del calor
La solución buscada es
∞ Z l
X
2
nπx −α2 n2 π2 t/l 2
nπx
u(t, x) =
.
f (x) sin
dx sin
e
l 0
l
l
n=1
M. Fernández
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La ecuación del calor. Separación de variables
Series de Fourier
De nuevo la ecuación del calor
Otro problema de valor inicial-frontera para la ecuación del calor
Considérese una varilla delgada de metal de longitud l y coeficiente
de difusión termal α2 , cuya superficie lateral y extremos están
aislados de modo que no pasa calor a través de ellos. La
distribución inicial de temperatura en la varilla es f (x). Encuentre
la distribución de temperatura en la varilla en cualquier tiempo
posterior.
Sea u(t, x) la temperatura de la varilla en el tiempo t y en el
punto x. Entonces esta función cumple
∂2u
∂u
= α2 2 ;
∂t
∂x
u(0, x) = f (x), 0 < x < l, ux (t, 0) = ux (t, l) = 0.
M. Fernández
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