1 x x x 1 + x x x x x 3 2 2 − + − + 2 en 3 )( −= + = x x x xf 1 en 1 1 )( = +

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PATAGONIA SAN JUAN BOSCO
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES
CATEDRA: Matemática I
CURSO: 2014
TRABAJO PRÁCTICO Nº 3 - Primera Parte
TEMA: Derivada
Parte I: Interpretación geométrica de la derivada. Derivabilidad. Reglas de derivación.
1) Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
2
a) f (x) = 2x + x -
3
b) f (x) = 3 lnx
e) f (x) =
c) f (x) = 4x ( 2 + x 3- x 4 )
x
3
d) f (x) = 3 e ( x + 5x)
f) f (x) =
1
2
g) f (x) =
x
x3 + 1
x 2 − 3x + 2
x3 − 2 x 2 + x
x
2) En los incisos a) , b) , y d) del ejercicio anterior, hallar: f ‘ (1)
3) Teniendo en cuenta el siguiente gráfico: OBS: Retomar el ejercicio 13 del 2º tema funciones lineales y
cuadraticas, desarrollado en el cuadernillo del ingreso, antes de resolver el siguiente ejercicio.
Interpretar y hallar gráficamente:
a)
i) f ‘(0)
ii) f ‘(1)
iii) f ‘(2)
b) la ecuación de la recta tangente al
gráfico en cada uno de los puntos de abscisas que
se indican :
i)
x=0
ii)
x=1
iii) x = 2
4) Encontrar y graficar la recta tangente a la curva f(x) = x2 – 2 en el punto de abscisa :
a) x = -2
b) x = 2
5) Encontrar la inclinación de las rectas tangentes del ejercicio anterior .
6) Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las siguientes funciones en los puntos cuyas
abscisas se indican.
x2
1
3
a) f ( x) =
en x = −2
b) f ( x) = + 1
en x = 1
c) f ( x ) = x
en x = 0
x+3
x
TP N° 3- Parte I – Matemática I – Pág. 1
2
7) Dada f (x) = x – 6x + 8 , hallar los puntos de la curva tal que f '(x ) = 0. Interpretar geométricamente.
3
8) Sea f(x) = x - 12x ¿En qué punto de la gráfica de f(x) la recta tangente tiene pendiente igual a 0 ?
9) Sea f(x) = ax3
Determinar el valor de a para que la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en el punto de abscisa x =1
sea igual a 6.
10) La pendiente de una curva en cualquier punto (x, y) de ella es igual a 3x+ 6 . Si la curva pasa por el punto
(1, 1) enunciar su ecuación.
2
11) Hallar la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = x + 5x + 8 que es:
a) Paralela a la recta y = 2x - 1
b) Perpendicular a la recta y = -1/3 x + 5
12) Analizar la derivabilidad de las siguientes funciones:
a) f (x) = x 2 + 4 en x = ½
 1
b) f (x) =  x − 3
0
1
c) f (x) =
x2
en
si
x≠3
si
x=3
d) f (x) =
en x = 3
e)
x si x ≤ 1

1 x si x > 1
f ( x) = x 2 − 1
en R
en R
( 0,+∞)
13) Calcular las derivadas de las siguientes funciones, aplicando la regla de la cadena
3
2
2
a) f (x) = ( 3x + 2x +x )
2
2
b) f (x) = ( x + 2x ) - ( x + 3)
2
c) f (x) = 3x + 2
2
-x
d) f (x) = e
e) f (x) = ln ( sen (x))
2
f) f (x) = sen ( ln ( x )
g) f (x) = 2 cos 2 ( 3x - 2)
h) f (x) = ( x - 3) 2( x + 1)
2
i) f (x) = ( x + 1) x − x
j)f(x)=xarctg(4x)
14) Hallar las derivadas primera y segunda de las siguientes funciones:
a) f (x) = x 2 e x
b) f (x) = sen (x) cos (x)
c) f (x) =
4 x − 12
x−2
d) f (x) =
ln( x + 1)
x2
15) Calcular la derivada de las siguientes funciones implícitas:
x −1
x +1
2
y2
x
e) 2 + 2 = 1
a
b
2
(x - 1) + ( y + 4)2 = 1
f)
3
a ) x 2 + xy = 1
d) y 2 =
b) x 3 + x 2 y = 0
c) x 2 - y 2 = 1
16) Calcular la derivada de las siguientes funciones aplicando derivada logarítmica:
ln x
a) f (x) = x
ln x
b) f (x) = ( 2x)
c) f (x) = x x

d) f (x) = 3 −

e) f (x) =
x
(
1
1 x

x
x −4)
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EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1) ¿En qué puntos de la curva f (x) = 2x 3 + 4x , la pendiente de la recta tangente vale 10?.
2) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = 1/x en el punto (-1,-1).
3) Determinar a y b para que la pendiente de la recta tangente al gráfico de f(x) = ax2 + bx + 4 en el punto (2,6)
sea igual a 7.
2
4) Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva f(x) = x – 5x + 6 en el punto de
abscisa x = 4.
3
2
3
2
5) ¿En qué puntos las rectas tangentes a las curvas y = x + 2x – 4x + 5 y 3y = 2x + 9x – 3x –3 son
paralelas?. Hallar las ecuaciones de las rectas verticales que cortan a dichas curvas en los puntos
encontrados.
2
6) Encontrar el área del triángulo formado por el eje y , y las rectas tangente y normal a la curva f (x) = x - 2x
en x 0 = 2 . Graficar
7) Analizar la derivabilidad de las siguientes funciones:
a) f (x) = x – 2 en x = 2
3
d) f (x) =
2
b) f (x) = x - 3x + 2 en x = 1
x 2 − 1
x −1

c) f (x) = 1 / 2

si x ≠ 1
si x = 1
 x - 1

 1 - x
si x ≤ 1
en
x
=
1
en x = 1
8) Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
3
a) f (x) = x -3x +1
b) f (x) = 3x 5 + 2x 2 - 5x
d) f (x) =
x2
2
1
3)
c) f (x) = 4( 2x +
si x > 1
e) f (x) =
x2
9) Calcular las derivadas de las siguientes funciones , aplicando la regla de la cadena
a) f (x) = ln ( x 2 + 1 )
2
2
b) f (x) = sen (x - 1 )
1
c) f (x) = e x
g) f (x) = tg x / (1 + x2)
h) f (x) = [ 3 . cos3 x ]
1− x
d) f (x) = cos e
e) f (x) = ln (ex + 5 senx)
3
f) f (x) = x .cos (1/x)
-1
10) Hallar las derivadas primera y segunda de las siguientes funciones :
a) f (x) = x 2 - 5x + 6
b) f (x) = x arctg (x)
c) f (x) =
d) f (x) = ln ( 2x 2 + 1 )
1 − x2
x+2
11) Calcular la derivada de las siguientes funciones aplicando derivada logarítmica:
2 lnx
a) f (x) = (3x – 6x )
b) f (x) =
5x
x −1
1
2 x

c) f (x) =  5 + 
x

d) f (x) =
(3x)
x
12) Calcular la derivada de las siguientes funciones implícitas:
a) 5x 3 + 2xy = 9
2
b) 2y = x
3 + x2
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c) y 2 (x + 2) = (x – 2)
3 3
2
2
d) x y = x + y +3
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