ecuaciones diferenciales ordinarias de 1er orden reducibles a exactas

236
 Concluimos que la ecuación diferencial dada no es exacta, ya que
P( x , y) Q( x, y)

y
x
¿Qué deberán hacer a continuación?
 Debemos buscar un factor integrante
g ( v ) dv
 (x, y) = e 
con
 P( x , y) Q( x, y) 
 y  x 


g (v) =

 v( x, y) 
 v( x, y) 

  P( x, y)
Q( x, y)
 x 
 y 

Muy bien. ¿Quien es v?
 Hay que ir probando entre las distintas opciones. Por ejemplo, si v = x
entonces
v( x, y)
v( x, y)
= 1,
= 0.
x
y
En este caso ¿Cómo queda g(v)?
 g(v) queda
g ( v) 
 6 y 2  2 x 2  2(3y 2  x 2 )
( x 2  3y 2 )  (3x 2  3y 2 )
2
2


 
2
2
2
3
3
2
2
2
x
v
( x  3xy )1  ( x y  y )0
x  3xy
x ( x  3y )
Observen que efectivamente g(v) depende de v, por lo tanto, es la función que
sirve para hallar el factor integrante  (x, y)
¿Quién es entonces el factor integrante  (x, y)?
237
 El factor integrante es
2
  dv
2
1
g ( v ) dv
 e v  e 2 ln v  e ln v  2
 (x, y)  e 
v
Si devuelven el cambio de variables, es decir sustituyen v = x ¿Cómo queda
el factor integrante (x,y)?
 El factor integrante queda  (x, y) =
1
x2
Correcto. ¿Cuál es el siguiente paso?
 El siguiente paso es multiplicar la ecuación diferencial dada, por  (x, y) dx ,
es decir, por
1
dx
x2
Exacto. ¿Cómo queda la ecuación diferencial?
 La ecuación diferencial queda
1
1
(x2y – y3) dx + 2 (x3 + 3xy2) dy = 0
2
x
x
o equivalentemente
3 
2


 y  y dx   x  3y dy  0


x 
x 2 


Esta última ecuación diferencial ¿De qué tipo es?
 Es una ecuación diferencial exacta.
238
¿Cómo lo determinan?
 Para determinar que la ecuación diferencial
3 
2


 y  y dx   x  3y dy  0


x 
x 2 


es exacta, debemos verificar que si
entonces se cumple que
M (x, y) = y -
x2
, N (x, y) = x +
3y 2
,
x
M ( x , y) N( x , y)
=
y
x
Correcto. Verifiquémoslo. ¿Cuánto les da
 Esa derivada da
y3
M ( x , y)
?
y
3y 2
M ( x , y)
 1 2
y
x
Bien. ¿Cuánto les da
N
?
x
3y 2
N( x , y)
 Esa derivada da
 1 2
x
x
¿Qué pueden concluir?
 Se puede concluir que como
diferencial
M ( x , y)
N( x , y)
=
, entonces la ecuación
y
x
3 
2


 y  y dx   x  3y dy  0 es una ecuación diferencial exacta.


x 
x 2 


239
Muy bien. ¿Qué deberán hacer ahora?
 Debemos determinar una función F(x, y), tal que:
y3
F( x , y)
 M ( x , y)  y  2
x
x
3y 2
F( x , y)
 N ( x , y)  x 
x
y
Exacto ¿Cuál es el siguiente paso?
 El siguiente paso es integrar parcialmente una de las dos derivadas anteriores,
por ejemplo
y3
F( x , y)
 M ( x , y)  y  2
x
x
la integramos parcialmente respecto de
"x", es decir, se asume “y” como constante
x

F( x, y)
x  M ( x , y) x 
x

x
3
3 

 y  y  dx  F(x,y) = yx + y + h (y)

x
x 2 
y ctte 

Correcto. Nos queda determinar quién es la función h (y) ¿Qué debemos hacer
para determinarla?
 Para determinar h(y) derivamos parcialmente respecto de “y” la función F(x,y)
que obtuvimos anteriormente y luego comparamos con N (x, y)
3y 2 dh ( y)
3y 2
F( x, y)
x

 N ( x , y)  x 
x
dy
x
x
simplificando resulta que
dh ( y)
=0
dy
¿Cómo se obtiene h (y)?
240
 h(y) se obtiene integrando. Así,
 dh(y)   0dy
 h ( y)  C
¿Qué hacen con la función h (y) = C que obtuvieron?
 Se sustituye en F(x,y) = yx +
y3
+ h (y) resultando que
x2
y3
F(x,y) = yx + 2 + C
x
¿Qué concluyen?
y3
 Concluimos que la función F(x,y) = yx + 2 + C = 0, es la solución general
x
de la ecuación diferencial
3 
2


 y  y dx   x  3y dy  0


x 
x 2 


Abran sus guías en la página 37 y revisemos cuales son los pasos que deben
seguirse para obtener la solución general de una ecuación diferencial reducible a
exacta.
PASOS A SEGUIR PARA LA OBTENCION DE LA SOLUCIÓN
GENERAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE
PRIMER ORDEN REDUCIBLE A EXACTA
P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0
1- Chequear que
Q( x, y )
P ( x , y )

y
x
241
g ( v )dv
2- Determinar un factor integrante  (x, y) = e 
con
  P ( x , y )  Q( x , y ) 
 y  x 


g( v ) 

 v ( x , y )  
 v ( x , y ) 
 
  P( x, y )
Q( x, y )
 x 
 y  

(donde v = x o v = y o v = x + y o v = x – y o v = xy o v = x2 + y2)
3- Multiplicar la ecuación diferencial dada por el factor integrante (x, y)
P (x, y) dx + (x, y) Q (x, y) dy = 0
4- Verificar que la ecuación diferencial obtenida en el paso 3 es exacta
5- Aplicar todos los pasos indicados para la obtención de la solución general
de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden exacta.
Resuelvan ahora el Problema 2 de la guía ubicado en la página 38. Disponen
de 10 minutos para ello. Pueden trabajar en grupos de tres
PROBLEMA 2:
Obtenga la solución general de la ecuación diferencial:
2y dx + (1 – lny – 2x) dy = 0
Revisemos que pasos siguieron para resolver el Problema 2.
¿Cuál es el primer paso que deben realizar?
 Lo primero que debemos hacer es verificar si la ecuación diferencial dada es o
no exacta, para lo cual calculamos las derivadas parciales
comparamos, siendo P (x, y) = 2y Q (x, y) = 1 –- lny – 2x.
P( x, y) Q( x, y)
,
y las
y
x
242
Muy bien. ¿Qué obtienen?
 Obtenemos
P( x, y)
2
y
Q( x, y)
 2
x
¿Qué concluyen?
 Concluimos que, como
P( x, y) Q( x , y)

, la ecuación diferencial dada no
y
x
es exacta.
¿Qué deberán hacer a continuación?
g ( v ) dv
 Debemos buscar un factor integrante (x,y) = e 
con
 P( x , y) Q( x , y) 
 y  x 


g ( v) 

 v( x , y) 
 v( x , y) 

  P( x , y)
Q( x , y)
 x 
 y 

Muy bien. ¿Quién es v?
 Hay que ir probando entre las distintas opciones que tenemos para v. Por
ejemplo si v = x, entonces
v( x, y)
v( x, y)
1
0
x
y
¿Cómo queda g(v), para v = x?
 g(v) queda:
243
P( x , y) Q( x , y)

22
4
4
y
x



Q( x , y )
1  ln y  2 x 1  ln y  2 x 1  ln y  2 v
g(v) =
Observen que g(v) no queda dependiendo sólo de v ¿Qué nos indica este
resultado?
 Este resultado indica que el cambio v = x no sirve para obtener un factor
integrante
Exactamente. ¿Qué sugieren hacer ahora?
 Debemos probar, por ejemplo, con v = y, entonces
v( x, y)
0
x
v( x, y)
1
y
¿Cómo queda g (v) para v = y?
 g(v) queda
P( xy) Q( x , y)

22
4
2
2
y
x
g ( v) 


 
 P ( x , y)
 2y
2y
y
v
 Observen que efectivamente g(v) depende sólo de v, por lo tanto, es la función
que sirve para hallar un factor integrante  (x, y).
¿Quién es entonces  (x, y)?
244
2
  dv
2
1
g ( v ) dv
 e v e 2 ln v  e ln v  v 2  2
  (x, y) = e 
v
Si devuelven el cambio de variable ¿Quién es  (x, y)?
  (x, y) =
1
y2
Correcto. ¿Cuál es el siguiente paso?
 El siguiente paso es multiplicar la ecuación diferencial dada por el factor
integrante  (x, y) =
1
y2
Exacto. ¿Cómo queda la ecuación diferencial?
 La ecuación diferencial queda:
1
y
2
(2 y) dx 
1
y2
1  ln y  2x dy  0
o equivalentemente
 1 ln y 2 x 
2
dx   2  2  2 dy  0
y
y
y
y 

¿Qué tipo de ecuación diferencial debe ser esta última?
 Debe ser una ecuación diferencial exacta.
¿Cómo lo determinan?
245
 Para determinar si la ecuación diferencial
2
dx +
y
 1 ln y 2 x 
 2  2  2  dy = 0
y
y 
y
es exacta, debemos verificar que sí denotamos como
M (x, y) =
entonces
2
y
 1 ln y 2 x 
N (x, y) =  2  2  2 
y
y 
y
M( x, y) N( x, y)

y
x
Correcto, verifiquémoslo ¿Qué les da

M
2
=- 2
y
y
Bien. ¿Qué les da

M( x, y)
?
y
N( x , y)
?
x
2
N( x , y)
=- 2
x
y
¿Qué pueden concluir?

Podemos concluir que, como
diferencial
2
dx +
y
M ( x , y) N( x , y)

entonces, la ecuación
y
x
 1 ln y 2 x 
 2  2  2  dy = 0 es una ecuación diferencial exacta.
y
y 
y
246
Muy bien. ¿Qué deben hacer ahora?
 Debemos determinar una función F (x, y), tal que
F( x , y)
2
 M ( x , y) 
x
y
1 ln y 2 x
F( x, y)
 N ( x , y)  2  2  2
y
y
y
y
Exacto. ¿Cuál es el siguiente paso?
 El siguiente paso es integrar parcialmente una de las dos derivadas anteriores
Por ejemplo,
F( x , y)
2
=
la integramos parcialmente respecto de x, es decir, se
x
y
asume “y” como constante

 F( x, y) 

x 
 x 
x

y ctte
2
dx
y

F(x, y) =
2x
+ h (y)
y
Correcto. Debemos ahora determinar la función desconocida h (y). ¿Qué
debemos hacer para determinarla?
 Para determinar h(y), derivamos F(x,y) parcialmente respecto de “y” y luego
comparamos con N (x, y)
2 x h ( y)
F( x , y)
1 ln y 2 x
 N ( x , y)  2  2  2


y
y
x
y
y
y
de donde, simplificando resulta que
¿Cómo se obtiene h (y)?
1 ln y
h ( y)
 2  2
y
y
y
247
 Integrando

 1 ln y 
dh ( y)   2  2  dy 
y
y 


1
y
¿Cómo resuelven
 Es inmediata,
y
¿Cómo resuelven
1
2
2
1
dy 
2
y
ln y
2
dy
dy ?
dy  
y
y
ln y
1
y
dy ?
2
 Se resuelve usando integración por partes
1

u  ln y  du  y dy


dv  1 dy  v   1

y
y2

y
ln y
2

ln y

y
y
1
2
dy  
ln y 1

y
y
¿Quién es entonces h (y)?
 h (y) = -
1  ln y 1  ln y
- 
+C
 =
y  y
y
y
¿Qué hacen con esta función h (y) =
 Se sustituye en F (x, y) =
2x
+ h (y)
y
ln y
+ C?
y

F (x, y) =
2x
ln y
+
+C
y
y
248
¿Qué concluyen?
 Concluimos que la función F (x, y) =
general de la ecuación diferencial
2x
ln y
+
+ C = 0 es la solución
y
y
 1 ln y 2 x 
2
dx   2  2  2  dy  0
y
y
y
y 

Resuelvan ahora el Problema 3 que está en la página 38 de sus guías.
Disponen de 10 minutos para ello Pueden trabajar en grupos de tres.
PROBLEMA 3:
Obtenga la solución general de la ecuación diferencial.
(x2 + 2x tg (x + y) ) + dx + x2 dy = 0
¿Cuál es el primer paso que deben realizar?
 Lo primero que debemos hacer es verificar si la ecuación diferencial dada
es o no una ecuación diferencial exacta para lo cual calculamos las derivadas
parciales
P( x, y) Q( x, y)
,
y las comparamos, siendo P(x,y) = x2 + 2xtg(x + y),
y
x
Q (x, y) = x2
Muy bien. ¿Qué obtienen?
 Obtenemos
P( x, y)
= 2x sec2(x + y)
y
Q( x, y)
= 2x
x
249
¿Qué concluyen?
 Concluimos que como
P( x, y) Q( x , y)

entonces la ecuación diferencial
x
y
dada no es exacta.
¿Qué deberán hacer a continuación?
 Debemos buscar un factor integrante  (x, y) = e 
g ( v ) dv
con
 P( x , y) Q( x , y) 
 y  x 


g(v) =
.

 v( x , y) 
 v( x , y) 

  P( x , y)
Q( x , y)
 x 
 y 

Muy bien. ¿Quién es v?
 Hay que ir probando. Por ejemplo, si v = x entonces
v( x, y)
= 1
x
v( x, y)
=0
y
¿Cómo queda f (v), para v = x?
 P( x , y) Q( x, y) 
 y  x 
2
2
 = 2x sec ( x  y)  2 x  2x (Sec ( x  y)  1)
f (v) = 
Q( x , y)
x2
x2
2(Sec 2 ( x  y)  1)
2(Sec 2 ( v  y)  1)
=
=
x
v
250
Observen que f(v) no queda dependiendo sólo de v ¿Qué nos indica este
resultado?
 Este resultado nos indica que el cambio v = x, no sirve para obtener un factor
integrante.
Exacto. ¿Qué sugieren hacer ahora?
 Debemos probar, por ejemplo, con v = y entonces
v( x, y)
v( x, y)
=1
= 0,
y
x
¿Cómo queda f (v) para v = y?
 f (v) queda
 P( x , y) Q( x , y) 
 y  x 
2
2
 = 2 x sec ( x  y)  2 x  2x (Sec ( x  y)  1)
f(v) = 
 P( x , y)
 x ( x  2 tg( x  y))
 x 2  2 x tg( x  y)
2 tg 2 ( x  v)
2 tg 2 ( x  y)
=

x  2 tg( x  v)
x  2 tg( x  y)
Observen que aquí tampoco f (v) quedó dependiendo sólo de v ¿Qué nos
indica este resultado?
 Este resultado indica que el cambio v =y, no sirve para obtener un factor
integrante.
Exactamente. ¿Qué debemos hacer ahora?
251

Debemos probar, por
ejemplo, con v = x + y entonces
v( x, y)
1
x
v( x, y)
1
y
¿Cómo queda f (v) para v = x + y?
 f (v) queda
f (v) =
 P( x , y) Q( x , y) 
 y  x 
2
2
 = 2 x sec ( x  y)  2 x  2 x (Sec ( x  y)  1)

Q( x, y)  P( x, y)
 2x tg( x  y))
 x 2  x 2  2 x tg( x  y)
2x tg 2 ( x  y)
= - tg (x + y) = - tg v
= 
2x tg( x  y)
Observen que efectivamente para v = x + y, resultó que f (v) depende sólo de
v, por lo tanto, es la función que sirve para hallar un factor integrante  (x, y). ¿Quién
es entonces  (x, y)?
sen v
dv

g ( v ) dv
 tg v dv
ln cos v
e 
 e cos v  e
 cos v
  (x, y) = e 
Si devuelven el cambio de variable ¿Quién es  (x, y)?
 (x,y) = Cos (x + y)
Correcto. ¿Cuál es el siguiente paso?
252
 El siguiente paso es multiplicar la ecuación diferencial dada por el factor
integrante (x,y) = Cos (x + y)
Exacto. ¿Cómo queda la ecuación diferencial?
 La ecuación diferencial queda:
Cos (x + y) [x2 + 2x tg (x + y)] dx + x2 Cos (x + y) dy = 0
o equivalentemente:
[x2 Cos (x + y) + 2x Sen (x + y)] dx + x2 Cos (x + y) dy = 0
¿Qué tipo de ecuación diferencial debe ser esta última?
 Debe ser una ecuación diferencial exacta
¿Cómo lo determinan?
 Para determinar si la ecuación diferencial:
[x2 Cos (x + y) + 2x Sen (x + y)] dx + x2 Cos (x + y) dy = 0
es exacta, debemos verificar que siendo
M (x, y) = x2 Cos (x + y) + 2x Sen (x + y)
entonces
M ( x, y) N( x , y)
=
y
x
Correcto. Verifiquémoslo. ¿Qué les da

N (x, y) = x2 Cos (x + y)
M ( x, y)
= - x2 Sen (x + y) + 2x Cos xy
y
M ( x, y)
?
y
253
Bien. ¿Qué les da

N( x , y)
?
x
N( x , y)
= 2x Cos (x + y) - x2 Sen (x + y)
x
¿Qué pueden concluir?

Podemos concluir que, como
diferencial
M ( x, y) N( x, y)

entonces, la ecuación
x
y
[x2 Cos (x + y) + 2x Sen (x + y)] dx + x2 Cos (x + y) dy = 0 es una
ecuación diferencial exacta.
Muy bien. ¿Qué deben hacer ahora?
 Debemos determinar una función F (x, y), tal que:
F( x, y)
= M (x, y) = x2 Cos (x + y) + 2x Sen (x + y)
x
F( x, y)
= N (x, y) = x2 Cos (x + y)
y
Exacto. ¿Cuál es el siguiente paso?
 El siguiente paso es integrar parcialmente una de las dos derivadas anteriores.
Por ejemplo, si integramos parcialmente respecto de "y"
asumiendo “x” constante
F( x, y)
= x2 Cos (x + y);
y
254

y
 F( x, y) 

 y 
x 2 Cos( x  y) dy
 y 
x ctte


F(x, y) = x2 Sen (x + y) + h (x)
Correcto. Ya sabemos como va a ser F(x,y), pero desconocemos la función
h(x). ¿Qué debemos hacer para determinarla?
 Para determinar h (x), derivamos F (x, y) parcialmente respecto de “x”, y luego
comparamos con M (x, y)
F( x, y)
 dh(x) 
2
= 2x Sen(x + y) + x2 Cos (x + y) + 
 = x Cos(x + y) + 2xSen (x + y)
x
dx


 dh ( x ) 
de donde, simplificando resulta que 
 = 0
 dx 
¿Cómo se obtiene h (x)?
 Integrando
 dh(x)   0

h (x) = C
¿Qué hacen con esta función h (x) = C?
 Se sustituye en F(x,y) = x2 Sen (x + y) + h (x) Asi tenemos que
F (x, y) = x2Sen (x + y) + C
¿Qué concluyen?
 Concluimos que la función F (x, y) = x2Sen (x + y) + C = 0 es la solución
general de la ecuación diferencial:
[x2 Cos (x + y) + 2x Sen (x + y)] dx x2 Cos (x + y) dy = 0
255
Muy bien. El Problema 4, les queda como asignación con la finalidad de que
refuercen los aspectos aquí tratados.
PROBLEMA 4:
Obtenga la solución general para cada una de las ecuaciones diferenciales que
se dan a continuación:
1.
(2x3 – d) dx + x dy = 0
2.
(3x2 + y + 3x3y) dx + x dy = 0
3.
(y2 + xy + 1) dx + (x2 + xy + 1) dy = 0
4.
y dx + (3x – y3) dy = 0
5.
(y3 + 2ex y) dx + (ex + 3y2) dy = 0
6.
(2x + y + x2) dx + (1 + y + x2) dy = 0
7.
(2x – 2xy2) dx + (x – 3x2 y) dy = 0
8.
(4xy2 – 5x2 – y2) dx + (2x2y + 6y3 – 4xy) dy = 0
9.
(5x3 + 3x2y + 2y) dx + (2x3 + x + 3y) dy = 0
10.
(2xy + 1 – 2y2) dx + (2x2 – 2xy – 1) dy = 0
11.
y 2  xy
x2  y2
dx +
x 2  xy
x2  y2
dy = 0
12.
(xy3 + xy) dx + (2x2y2 – 3xy3) dy = 0
13.
(-xy senx + 2yCosx) dx + 2x Cos y dy = 0
CIERRE:
¿Qué estudiamos en esta lección?
256
 Estudiamos las ecuaciones diferenciales reducibles a exactas.
¿Qué significa que una ecuación diferencial P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, sea
reducible a exacta?
 Significa que es posible conseguir una función (x,y), denominada factor
integrante, tal que la ecuación diferencial
(x,y) P(x,y) dx + (x,y) Q (x, y) dy = 0
es exacta
Muy bien ¿Cómo se obtiene un factor integrante (x,y)?
g ( v ) dv
con
 Se obtiene por medio de la ecuación  (x, y) = e 
 P( x, y) Q( x, y) 
 y  x 


g(v) =

 v( x, y) 
 v( x, y) 

  P( x, y)
Q( x, y)
 x 
 y 

y tal que v puede ser x, y, x+y, x-y, xy, x2+y2
Exacto. ¿Qué pasos deben seguir para resolver una ecuación diferencial de la
forma P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 reducible a exacta?
1- Verificar que
Q( x, y)
P( x, y)

, es decir, que la ecuación diferencial dada
y
x
no es exacta.
g ( v ) dv
2- Suponer que admite un factor integrante de la forma (x,y) = e 
con
257
g (v) =
 P Q 
 

 y x 
  v 
 v 
Q   P 
 y 
  x 
donde v puede ser x , y , x.y , x + y, x – y, x2 + y2
3- Obtenido el factor integrante (x,y), se multiplica la ecuación diferencial dada
por dicha función
 (x, y) P (x, y) dx +  (x, y) Q (x, y) dy = 0
4- Se verifica que la ecuación diferencial obtenida en el paso 3 es exacta, esto es,
si M(x,y) = (x,y) P (x, y) N(x,y) = (x,y) Q (x,y), entonces
M( x, y) N( x, y)
=
y
x
5- A partir de aquí se siguen todos los pasos de resolución de una ecuación
diferencial exacta.