Clave-114-4-M-2-00-2013 - Departamento de Matemática

Clave-114-4-M-2-00-2013
Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de ingeniería
Departamento de matemática
Curso: Matemática intermedia 3
Tipo de examen: Examen final
Semestre: Segundo semestre
Fecha: 18 de septiembre de 2013
Nombre del auxiliar: Haroldo José López de los Ríos
Revisado por: Ingeniero Renaldo Girón.
Tema No. 1
Un tanque de agua tiene la forma del sólido que se obtiene al hacer girar la curva
4
y=x
3
alrededor del eje “ y ”. Al mediodía, se retira un tapón circular que está en el
fondo, cuando la profundidad del agua en el tanque es de 12 pies. A la 1:00 p.m. el
nivel del agua ha descendido 6 pies. ¿A qué hora estará vacío el tanque?
Solución:
La ecuación diferencial que modela al problema es:
dh
A
=−
2gh
ΔW
dt
A = Área transversal del agujero por donde sale el agua
ΔW = Área del espejo de agua
%&!
g = Gravedad (9.8 # o 32 # )
!"
t = Tiempo
!"
ΔW = π ∗ r, Donde r es x de la función que se hace girar
Despejando x de la función que se hace girar:
/
x = y0
/ ,
/
ΔW = π ∗ 1y 0 2 = π ∗ y ,
A = π ∗ R,
2gh =
πy
3
2
2(32)y= 8√h
1
dy
= −8πR 2 y 2
dt
y2
= −8 R 2 t + C
2
→
y
dy
= −8 R 2
dt
Ecuación 1
Aplicando las condiciones del problema:
Sustituyendo t = 0 → y = 12 en la ecuación 1 se obtiene C = 72
Sustituyendo t = 3600s → y = 6 en la ecuación 1 se obtiene R =
3
40
Por último cuando y=0 significa que el tanque está vacio. Por lo tanto el tiempo de
vaciado se obtiene:
,
√3
8 6 9 t = 72 → t = 4800 s
40
R/ El tanque quedará vacío a las 13:30 horas.
Tema No. 2
Un peso de 4 libras comprime un resorte 0.5 pies. Una fuerza externa igual a
f (t ) =
1
cos 8t está actuando sobre el resorte. Encuentre la ecuación del
2
desplazamiento, si el peso se suelta desde su posición de equilibrio con una
velocidad dirigida hacia arriba de 4 pie/s.
Solución:
La ecuación que describe un movimiento forzado amortiguado es:
m
d, x
dx
= −kx − β + f(t)
,
dt
dt
Como la masa se suelta desde su posición de equilibrio:
β=0
La constante k está dada por:
k=
4
= 8 lb / pie
0.5
La masa deber expresarse en slug:
m=
4 1
= slug
32 8
Por lo tanto la ecuación diferencial se puede escribir como:
1
1
x ′′ + 8 x = cos 8t
8
2
→
x ′′ + 64 x = 4 cos 8t
Planteando la solución complementaria se tiene:
@, + 64 = 0 → @ = ±8C
x c = c1 cos 8t + c 2 sen 8t
Planteando una solución particular se tiene:
x p = t ( A cos 8t + Bsen8t ) →
x ′p = A cos 8t + Bsen8t + t ( −8 Asen8t + 8 B cos 8t )
x ′p′ = −16 Asen8t + 16 B cos 8t − t (64 A cos 8t + 64 Bsen8t )
Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la ecuación original se tiene:
x′′ + 64 x = 4 cos 8t
− 16 Asen8t + 16 B cos 8t − t (64 A cos 8t + 64 Bsen8t ) +64 t ( A cos 8t + Bsen8t ) = 4 cos 8t
Haciendo simplificaciones
16( B cos 8t − Asen8t ) = 4 cos 8t
Por lo tanto igualando los coeficientes de seno y coseno A=0 y B=1/4
Entonces la solución particular es:
xp =
1
tsent
4
La solución de la ecuación diferencial es la suma de la solución complementaria y la
solución particular:
x = c1 cos 8t + c 2 sen8t +
1
t sen 8t
4
Ec. final
Para encontrar las constantes se debe aplicar las condiciones iniciales:
x(0) = 0 x′(0) = −4
Derivando la Ec. Final se tiene:
x ′ = −8c1 sen 8t + 8c 2 cos 8t +
1
sen 8t + 2t cos 8t
4
Sustituyendo las condiciones iniciales se obtiene que c1 = 0
Por lo tanto la ecuación de movimiento estará dada por:
&
c2 = −
1
2
E
R/ D = − GHI JK +
F
E
L
K GHI JK
Tema No. 3
Resuelva es sistema de ecuaciones diferenciales:
2 x ′ + y ′ − 4 x − y = e t Ec.1
x ′ + 3 x + y = 0 Ec.2
Solución:
Derivando la Ec. 2 se obtiene:
x ′′ + 3x ′ + y ′ = 0 Ec.3
Sumando las ecs. 1 y 2 se obtiene:
3x′ − x + y ′ = e t
Ec .4
Luego restando las ecs. 3 de la 4 da:
x ′′ + x = − e t Ec .5 ,
Resolviendo la ecuación 5 por coeficientes indeterminados
x c = c1 cos t + c 2 sent
:
1
x p = − et
2
y
Por lo tanto la ecuación para x está dado por la suma de la solución complementaria
con la solución particular:
P
M (N) = OP OQR N + O, RST N − S U Ec. 6
,
Sustituyendo esta solución a la Ec. 2
y (t ) = − x ′ − 3x = −( −c1 sent + c 2 cos t −
1 t
e )
2
y (t ) = (c1 − 3c 2 ) sent − (3c1 + c 2 ) cos t + 2e t
Siendo la resolución del sistema:
1
M (N) = OP OQR N + O, RST N − S U
2
y(t ) = (c1 − 3c2 )sent − (3c1 + c2 ) cos t + 2et
Tema No. 4
A un circuito RLC que tiene una resistencia de 300 ohms, una capacitancia de 5x10-5
faradios y una inductancia de 1 Henrio, se le aplica una tensión de 40 voltios.
Encuentre la carga y la corriente para cualquier tiempo, asuma que la carga y
corriente iniciales son iguales a cero.
La ecuación diferencial del circuito está dada por:
L
dq 1
d, q
+ R + q = 40
,
dt
dt C
d 2q
dq
+ 300
+ 2000q = 40
2
dt
dt
Encontrando la solución complementaria:
m, + 300 m + 20000 = 0
m = −200 y m = −100
q c = c1 e −100 t + c 2 e −200 t
Resolviendo por coeficientes indeterminados:
q% = k
qZ% = 0
qZZ% = 0
q% =
1
500
Mostrado la solución de la ecuación diferencial como:
q = c1e −100t + c2 e −200t + 0.002 → i (t ) =
dq
= −100c1e −100 t − 200c2 e −200t
dt
Luego sustituyendo las condiciones iniciales se obtiene:
c1 = −0.004 & c 2 = 0.002
Por lo tanto las soluciones de la ecuación diferencial está dada por:
q (t ) = 0.002( −2e −100 t + e −200 t + 1)
i (t ) = 0.4(e −100 t − e − 200 t )
Tema No. 5
Un tanque de 300 galones contiene inicialmente una solución de 200 galones de
agua y 50 libras de sal. Una solución que contiene 3 libras de sal por galón se deja
fluir al tanque a una tasa de 4 gal/min. La mezcla sale del tanque a una tasa de 2
gal/min. ¿Cuántas libras de sal quedan en el tanque después de 30 minutos?
Solución:
La ecuación diferencial que representa el problema está dada por:
dQ
2Q
Q
= 4(3) −
= 12 −
dt
200 + ( 4 − 2)t
100 + t
dQ
Q
+
= 12
dt 100 + t
Esta una ecuación lineal, cuya solución es:
Factor de integración:
P
e\P]]^_`_ = eab(_^P]]) = t + 100
dQ
∗ (t + 100) + Q = 12 ∗ (t + 100)
dt
d
d(t + 100) ∗ Q] = 12(t + 100)
dt
Q(t + 100) = f 12(t + 100)dt
Q(t + 100) = 6 ∗ (t + 100), + C
Q = 6(t + 100) +
C
t + 100
Q (t ) = 6(100 + t ) +
C
100 + t
, luego sustituyendo t = 0 → Q = 50 → C = −55000
Por lo tanto la cantidad de sal a los 30 minutos viene dada por:
R/
g(K = hi) = j(Ehi) −
kkiii
= hkj. l mnopqG rH Gqm
Ehi