Quiz4_II_2010 40KB Aug 27 2010 12:25:52 AM

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA
II SEMESTRE 2010
ESCUELA DE INGENIERIA EN ELECTRÓNICA
CURSO: EL-4409 ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES
MEDIO: Quiz
PROF: ING. EDUARDO INTERIANO
Quiz 4
Nombre: ______________________________________ Carné ________________________
Problema: Se muestra en la figura el diagrama simplificado de una polea simple con resorte que
ha estado en esa posición desde hace ya mucho tiempo.
En la gráfica, el momento de inercia de la polea es J; la constante de fricción viscosa en el eje es
B. El radio de la polea es r. La constante del resorte es K, la masa del objeto es m y la tensión de
la cuerda es T. Se aplica una fuerza f(t) en el sentido del desplazamiento x(t).
q
J
r
T
B
T
x
m
K
f
Escriba el modelo en variables de estado de fase; considerando a la posición, x(t), como la salida
y la fuerza, f(t), como la entrada.
EIS/eis
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Solución:
Escribimos la ecuación diferencial para la masa m:
d 2 x (t )
m
 T  f (t )
dt
rq (t )  x(t )
(1)
(2)
Escribimos la ecuación diferencial para la polea J.
d 2q (t )
dq (t )
J
B
 Kx(t ) r  T  r
dt
dt
(3)
Despejando q (t ) en (2) y sustituyendo en (3)
J d 2 x(t ) B dx(t )

 Kx(t )  r  T  r
r dt
r dt
(4)
Despejando T de (1) y sustituyendo en (4), agrupando y normalizando:

J d 2 x(t ) B dx(t )
d 2 x (t ) 
  r

 Kx(t )  r   f (t )  m
r dt
r dt
dt


2
J
 d x(t ) B dx(t )
 2
 Kx(t )  f (t )
 2  m
r dt
r
 dt
d 2 x (t )
B
dx(t )
Kr 2
r2


x (t ) 
f (t ) (5)
dt
J  mr 2 dt
J  mr 2
J  mr 2
Finalmente
x1 (t )  x(t )
x2 (t )  x1  x
(6)
dx2 (t )
Kr 2
B
r2

x
(
t
)

x
(
t
)

f (t )
1
2
dt
J  mr 2
J  mr 2
J  mr 2

x  
 J
y (t )  1
0
Kr 2
 mr 2
0x
1
  0 
B    r 2  f (t )

J  mr 2   J  mr 2 
(7)
EIS/
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