5.6 - Extremos Condicionados

Extremos condicionados
Dada una función real :Rn  R y una función G: Rn  Rm la
cual restringe los valores del dominio de f.
El cálculo de los valores extremos de la función f sujeta a las
condiciones dadas por G. Se denomina estudio de extremos
condicionados.
La función f se denomina función a optimizar y a la función G
restricción.
Sustitución directa
Métodos para calcular
Extremos condicionados
Multiplicadores de LaGrange
Método de sustitución directa
Dada una función real de dos variables f(x,y), si se desea estudiar
el comportamiento de esta función sobre una curva C:y=g(x) del
plano, contenida en el dominio de f. Basta con considerar la
función de una sola variable f(x, g(x)) = h(x). Los valores extremos
de h(x) son los de f sujeta a g.
Método de los multiplicadores de LaGrange
Sea :ARn  R y sea la función g: ARn  Rm tal que
g(X)=. La cual restringe los valores del dominio de f.
Se denomina Función de LaGrange a la función formada por:
F (X +  g(X)) = f(X) + 1 g1(X) + 2 g2(X) + . . . + m gm(X) .
La cual posee los mismos puntos críticos que f.
g1(X), g2(X) + . . . + gm(X) Son las funciones componentes de la
función implícita g(X)=.
A los escalares  se les denomina multiplicadores de LaGrange.
Y a la obtención de los puntos críticos de la función
f restringida a g mediante la anulación del gradiente de F. Se
denomina Método de los multiplicadores de LaGrange.
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Extremos de una función continua en un conjunto
compacto
Sea :ARn  R continua XA. sea K un conjunto compacto
contenido en el dominio de la función (K  A). Entonces existen
puntos X0 y X1 pertenecientes a K tales que:
M = f(X0)  f(X) X K
m = f(X0)  f(X) X K
Donde M = Máximo absoluto de f en K.
Y
m = Mínimo absoluto de f en K.
Es decir:
“La función continua f en el conjunto compacto K, alcanza sus
máximos y mínimos absolutos en puntos de K”