Matemáticas

Matemáticas
para administración y economı́a
Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul
Unidad I
(Capı́tulo 16 del texto)
Cálculo de Varias Variables
1.1 Funciones de varias
variables.
1.2 Derivadas parciales.
1.3 Aplicaciones de las
derivadas parciales .
1.4 Diferenciación parcial
implı́cita.
1.5 Derivadas parciales de
orden superior.
1.6 Regla de la cadena.
1.7 Máximos y mı́nimos
para funciones de dos
variables.
1.8 Multiplicadores de
Lagrange.
Multiplicadores de Lagrange
Multiplicadores de Lagrange
∂Vλ
∂x
∂Vλ
∂y
∂Vλ
∂z
=
=
=
x
=0
a2
y
8xz − 2λ 2 = 0
b
z
8xy − 2λ 2 = 0
c
8yz − 2λ
y2
z2
x2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
Optimización restringida
Introducción
En muchos problemas, una función de dos variables debe
optimizarse sujeta a una restricción o condición en las
variables, por ejemplo si tenemos un presupuesto fijo de
$25000 y sólo debemos emplearlo en la publicidad y la
producción de textos, queremos saber
¿cómo podrı́amos obtener el número de textos que debe
producirse para alcanzar nuestro máxima venta ?
Multiplicadores de Lagrange
Dado el problema de optimización restringida:
Max (Min)
f (x; y)
sujeto a: g(x; y) = k
El par (a; b) es un punto critico asociado al problema anterior,
si existe un valor λ, talque se cumple:
fx (a, b) = λgx (a, b)
fy (a, b) = λgy (a, b)
g(a, b) = k
Al numero λ se llama multiplicador de Lagrange
Procedimiento:
1
Hallamos los puntos crı́ticos. Para ello resolvemos el sistema:
fx (a, b) = λgx (x, y)
fy (a, b) = λgy (x, y)
g(a, b) = k
2
Evaluar f en todos los puntos crı́ticos. Si el máximo (mı́nimo)
requerido existe, será el mayor (menor) de estos valores.
Método de los multiplicadores de Lagrange (EJEMPLO)
Minimización de costos
Supóngase que una empresa ha recibido un pedido por 200 unidades
de su producto y desea distribuir su fabricación entre dos de sus
plantas, planta 1 y planta 2.
Sea q1 y q2 las producciones de las empresas 1 y 2, respectivamente,
y supóngase que la función de costo total esta dado por
c = f (q1 , q2 ) = 2q12 + q1 q2 + q22 + 200
¿Cómo debe distribuirse la producción para minimizar los costos?
Solución
Minimizamos c = f (q1 , q2 ) dada la restricción q1 + q2 = 200.
Tenemos
F (λ, q1 , q2 ) = 2q12 + q1 q2 + q22 + 200 − λ(q1 + q2 − 200)
∂
F (q1 , q2 , λ) = 4q1 − λ + q2 = 0
∂q1
∂
F (q1 , q2 , λ) = q1 − λ + 4q2 = 0
∂q2
∂
F (q1 , q2 , λ) = 200 − q2 − q1 = 0
∂λ
Después de las derivaciones parciales, procedemos a encontrar los
puntos crı́ticos, es decir, resolvemos el sistema de ecuación mostrado
arriba para q1 , q2 y λ.
Solución (Continuación)
De esta manera observamos que de las dos primeras ecuaciones podemos eliminar λ y quedarnos con dos ecuaciones con dos incógnitas.
Restemos la segunda ecuación de la primera y encontrando
3q1 − q2 = 0
por lo que q2 = 3q1
Sustituyamos en la tercera ecuación, y encontremos
−q1 − 3q1 + 200 = 0
−4q1 = −200
q1 = 50
Ası́, q2 = 150. Por lo tanto, la producción de la planta 1 debe ser
50 y 150 de la planta 2 para minimizar los costos.